Sähkömagnetismi
Harjoitus 4
Palauta maanantaina 13.2 klo 12 mennessä assistentin nimellä varustettuun
lokeroon. (Poikkeustapauksissa voit palauttaa laskuharjoitukset myös assistentille
sähköpostilla määräaikaan mennessä.)
1. Kaksi identtistä pysyvää sähködipolia on asetettu etäisyydelle r toisistaan
(Kuva 1). Dipolien akselit ovat x-akselin suuntaiset.
(a) Jäljennä Kuva 1 ja hahmottele siihen varauksiin vaikuttavat voimavektorit ja dipoleihin vaikuttavat nettovoimat.
(b) Osoita, että dipoleihin vaikuttavat nettovoimat ovat muotoa F ∼ (6q 2 s2 )/r 4 .
Kuva 1: Tehtävä 1
2. Ohuelle R-säteiselle pallokuorelle on jakautunut varaus q. Jakamalla pallokuori
sopiviin infinitesimaalisiin osiin laske integroimalla
(a) sähkökentän potentiaali
(b) ja edellistä derivoimalla sähkökentän voimakkuus kaikkialla.
3. Elektroniin vaikuttaa sähkökentässä voima F = Cxêy , missä C on positiivinen
vakio. Elektroni lähtee origosta ja kiertää kentässä xy-tasossa olevan neliön
L:n pituisia sivuja pitkin suljetun kierroksen vastapäivään (ks. Kuva oikealla).
Laske voiman elektroniin tekemä työ tällä suljetulla kierroksella. Onko voima
konservatiivinen?
Kuva 2: Tehtävä 3
4. Systeemi koostuu kahdesta lähekkäisestä johdelevystä etäisyydellä s toisistaan.
Levyjen etäisyys on paljon pienempi kuin läpimitta. Molemmat levyt ovat
tasaisesti varattuja, toisen varaus on +q ja toisen –q.
(a) Osoita että levyjen varausten q ja levyjen välisen jännitteen V suhde on
vakio, ts. q/V = C. Laske vakion C lauseke.
(b) Laske tehdyn työn määrä dW ja siis kuinka paljon systeemin potentiaalienergia dU muuttuu, kun positiiviselta levyltä siirretään pieni määrä
negatiivista varausta –dq negatiiviselle levylle.
(c) Ajatellaan levyjen varaaminen tapahtuvan seuraavasti: Aluksi levyt ovat
neutraaleja. Toiselta levyltä aletaan siirtämään negatiivista varausta −dq
kokoisissa erissä toiselle, kunnes levyjen varaukset ovat +q ja −q. Osoita, että tässä prosessissa, levyjen välisen jännitteen kasvaessa arvoon V
systeemin potentiaalienergia kasvaa arvoon
1
U = CV 2
2
5. Ajatellaan sylinterin muodostuvan suuresta määrästä vierekkäisiä suoria ohuita eristesauvoja. Sauvojen pituus on L, sylinterin säde R, L >> R. Sylinterillä
on tasainen pintavaraustiheys σ ja sen keskipiste on origossa. Leikataan sylinterin pinnasta osa pois Kuvan 2 mukaisesti. Mikä on kappaleen aiheuttaman
sähkökentän voimakkuus E origossa kulman θ funktiona?
Kuva 3: Tehtävä 5
6. Johtimessa kulkee virta 0.62 A. Kuvan kolmio muodostuu kolminkertaisesta
johtimesta, kolmion sivujen pituudet ovat L = 8.3 cm. Mikä on johtimien synnyttämän magneettikentän vuon tiheys origossa kolmion (massa)keskipisteessä?
Kuva 4: Tehtävä 6