Joakim Edsjö
Fysikum, Stockholms Universitet
Tel.: 08-55 37 87 26
E-post: [email protected]
Tentamen i Kvantmekanik II (FK5012)
27 augusti 2015
9:00–14:00
5 problem på 5 timmar. Maximal poäng på tentamen är 25 poäng.
Skriv kod på alla blad!
Hjälpmedel: Physics Handbook, bifogad formelsamling och miniräknare.
1. På dessa frågor räcker det med korta svar. Inga eventuella uträkningar behöver redovisas.
a) Betrakta ett system med två partiklar som beskrivs av vågfunktionen ψ(r1 , r2 ). Vad är sannolikheten att hitta partikel 1 vid ett bestämt läge (r1 ) oavsett var partikel 2 befinner sig?
(1p)
b) För systemet i a)-uppgiften ovan, skriv ner hur rörelsemängdsmomentsoperatorn ser ut för
partikel 1.
(1p)
c) Betrakta två partiklar med banrörelsemängdsmomentskvanttalen |l1 , m1 i respektive |l2 , m2 i
(egentillstånd till L̂2 och L̂z för de två partiklarna). Vilka är de möjliga kvanttalen |l, mi för
det totala banrörelsemängdsmomentet och dess z-komponent för dessa två partiklar?
(1p)
d) Vad är skillnaden mellan en degenererad och en icke-degenererad energinivå?
(1p)
e) Vad innebär det att en partikel är en boson respektive fermion? Måste vi ta hänsyn till det när
vi tar fram våra vågfunktioner/tillstånd?
(1p)
2. Den generaliserade osäkerhetsrelationen säger att
2 2
σA
σB ≥
2
1
h[Â, B̂]i
2i
2
2
är varianserna
och σB
där Â och B̂ är två hermitska operatorer och σA
2
σA
= h(Â − hÂi)2 i ;
2
σB
= h(B̂ − hB̂i)2 i
a) Med hjälp av den generaliserade osäkerhetsrelationen, tag fram hur osäkerhetsrelationen ser ut
för spinn-operatorerna för en spinn 21 -partikel, Ŝx och Ŝy .
(1p)
b) Betrakta nu en spinn- 12 -partikel som befinner sig i ett tillstånd med hŜz i = 0. Vad gäller då för
osäkerheten i Ŝx och Ŝy ?
(1p)
c) Diskutera om ditt resultat i b) är rimligt eller inte.
(1p)
d) Härled den generaliserade osäkerhetsrelationen! Schwartz olikhet får användas utan bevis. (2p)
Ledning: För ett komplext tal z kan vi skriva
|z|2 = [Re(z)]2 + [Im(z)]2 ≥ [Im(z)]2 =
1
2
1
(z − z ∗ )
2i
Om du har godkänd närvaro på webbföreläsningarna och FC-tillfällena i helklass behöver
du ej göra uppgift 3 nedan utan får tillgodoräkna dig den ändå.
3.
a) Beskriv vad Clebsch-Gordankoefficienter är för något och hur de kan användas.
(1p)
1
2
b) Betrakta två partiklar med spinn s1 = respektive s2 = 1. Hur ser egentillstånden till de totala
spinn-operatorerna Ŝ 2 och Ŝz ut, uttryckta i egentillstånden till Ŝ12 , Ŝ1z , Ŝ22 och Ŝ2z (där 1 respektive 2 indikerar vilken av partiklarna spinn-operatorn verkar på)? Clebsch-Gordantabellen
får användas.
(2p)
c) Låt nu de två partiklarna ovan befinna sig i en sfäriskt symmetriskt potential V (r). Antag att de
befinner sig i ett tillstånd med banrörelsemängdsmoment l = 1 (dvs en mätning av L2 skulle ge
ˆ ~ˆ ~ˆ
2h̄2 som resultat). Antag att vi nu mäter J 2 där J~ = L+
S är det totala rörelsemängdsmomentet
för systemet. Vilka värden på J 2 kan vi få vid en mätning?
(2p)
4. Betrakta heliumatomen.
a) Skriv ner Hamiltonoperatorn för dess två elektroner.
(1p)
b) Ofta försummar man elektron-elektron-växelverkan. Skissa hur grundtillståndet då ser ut. Väteatomens lösningar kan anses kända. Diskutera specifikt hur elektronernas spinntillstånd ser ut!
(2p)
c) Betrakta nu exciterade tillstånd där en av elektronerna är kvar i lägsta energitillståndet, medan
den andra är exciterad. Hur ser dessa tillstånd ut? Diskutera särskilt vilka spinn-tillstånd som
är möjliga. Vilket av dessa har lägst energi?
(2p)
5. Variationsprincipen säger att
hψ|Ĥ|ψi ≥ E0
där E0 är grundtillståndsenergin, Ĥ är Hamiltonoperatorn och ψ är en godtycklig normerad vågfunktion.
a) Visa variationsprincipen!
(2p)
b) Betrakta nu en partikel med massan m som rör

 ∞
V0 xa
V (x) =

∞
sig i en dimension i potentialen
; x<0
; 0≤x≤a
; x>a
där a och V0 är positiva och reella tal. Uppskatta med den metod du finner lämpligast grundtillståndets energi.
(2p)
c) För partikeln i b)-uppgiften, uppskatta energin hos första exciterade tillståndet med den metod
du finner lämpligast.
(1p)
Lycka till!
Lösningar kommer efter tentamen att finnas tillgängliga på
http://www.fysik.su.se/~edsjo/teaching/kvant2/.
2