1. No category

Kevään 2016 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Nämä ratkaisut tehty alusta loppuun TI-Nspire CX CAS -ohjelmistolla ja tallennettu lopuksi
PDF -muotoon. Tarkoituksena on havainnollistaa, miten tietokoneella voidaan rakentaa
lyhyen ja pitkän matematiikan vastauksia.
TI-Nspire on matematiikan ja luonnontieteiden ohjelmisto, jolla opiskelijat tulevissa Digabi ja
Abitti -kokeissa voivat laatia koko vastauksensa kätevästi yhden ohjelman sisällä. Mikä
tärkeintä, eri sovelluksissa tehdyt osiot linkittyvät automaattisesti yhteen, nopeuttaen ja
selkeyttäen vastaamisprosessia. Muokattaessa esim. funktion lauseketta tekstin seassa,
muuttuu funktion kuvaaja automaattisesti.
Koevastauksen laatimisessa voidaan esimerkiksi hyödyntää.
▪ Muistiinpanot -sovellusta (perustelut, kaavat, laskut)
▪ Kuvaajat -sovellusta (kuvaajat ja niiden tulkinta, analyyttisen geometrian ongelmat)
▪ Geometria -sovellusta (geometristen kuvioiden piirtäminen ja tutkiminen, voimakuvioiden piirtäminen)
▪ DataQuest -sovellusta (datan analysointi)
Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta
osoitteessa: www.nspire.fi
Opiskelijat voivat hankkia ohjelmiston vuosilisenssin verkkokaupasta 21,90€ hintaan.
5. Tehtävä
Vaihtoehtoja yhteensä 37 kpl.
a) Voittavia vaihtoehtoja 1. Voitto 35 €, tappio 1 €.
36
1
−1
Odotusarvo
· −1+ · 35 =
37
37
37
b) Voittavia vaihtoehtoja 3, voitto 11 €, tappio 1 €.
37-3
3
−1
Odotusarvo
· −1+ · 11 =
37
37
37
c) Voittavia vaihtoehtoja 18, voitto 1 €, tappio 1 €.
37-18
18
−1
Odotusarvo
· −1+ · 1 =
37
37
37
1
1
1
Vastaus a) €, b) €, c) €
37
37
37
maa_k16
Sivu 1 aihe: 7
6. Tehtävä
Lasketaan pohjoisen napapiirin säde
kuvanmukaisesti muodostuvasta
suorakulmaisesta kolmiosta
r
sin 90°-66.5° =
, josta
6371
r= sin 23.5° · 6371 = 2540.43
a) Kysytty tunnelin pituus on alemmassa
kuvassa suorakulmaisen kolmion
hypotenuusa
1 cm
r
6371
23.5°
2540.43 2 + 2540.43 2 = 3592.71
b) Kaaren lyhyemman kaaren pituus on
1/4-osa koko napapiirin pituudesta, eli
2· π· 2540.43
= 3990.5
4
r
66.5°
90°
r
Vastaus a) 3593 km b) 3991 km
0.592 cm
7. Tehtävä
Olkoon kysytyn ympyrän säde x .
Pythagoraan lauseen avulla isosta
kolmiosta saadaan sinisen ja vihreän janan
yhteispituudeksi 5 2 -3 2 = 4 .
Tällöin vihreän janan pituus on 4- 2+x =2-x
A
5
Pythagoraan lause kolmiolle AED
3+x 2 =3 2 + 2-x 2 , josta x
3
2
E
solve 3+x 2 =3 2 + 2-x 2 ,x ▸ x=
5
Vastaus: Kysytyn ympyrän säde on
maa_k16
D
2
5
Sivu 2 aihe: 7
8. Tehtävä
a) Tason yhtälö on muotoa a· x+b· y+c· z+d=0. Koska xy -tasossa x+2y=3, on oltava
x+2· y+c· z-3=0, josta voidaan ratkaista c tunnetun pisteen 2, 4, 6 avulla:
−7
solve 2+2· 4+c· 6-3=0,c ▸ c=
6
b) Tason ja x-akselin leikkauspisteen x-koordinaatti: solve x+2· y=3,x |y=0 ▸ x=3
3
Tason ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti: solve x+2· y=3,y |x=0 ▸ y=
2
7
−18
Tason ja z-akselin leikkauspisteen z-koordinaatti: solve 0+2· 0- · z-3=0,z ▸ z=
6
7
Vastaus:
7
a) Tason yhtälö on x+2· y- · z-3=0.
6
3
b) Akseleiden leikkauspisteet ovat 3, 0, 0 , 0, ,0 ja 0, 0, -18/7
2
Tehtävä 9.1
20
x ₁ =1 ja y ₂ = =20
x₁
x ₁ +y ₁ 1+20
20
≈ 1.90476
x₂=
=
=10.5 y ₂ =
2
2
10.5
x ₂ +y ₂ 10.5+1.90476
≈ 6.20238
x₃=
=
2
2
20
≈ 3.22457
y₃=
6.20238
Jatketaan laskemista taulukkolaskentaa
hyödyntäen
Suhteellinen virhe
4.47213596-4.4783144454744
▸ 0.001382
4.47213596
Vastaus: 0.1 %
maa_k16
A1
1
A
B
C
1
1
20.
2
10.5
1.90476
3
6.20238
3.22457
4
4.71347
4.24315
5
4.47831
4.46597
6
4.47214
4.47213
7
4.47214
4.47214
8
4.47214
4.47214
9
4.47214
4.47214
10
4.47214
4.47214
11
4.47214
4.47214
12
4.47214
4.47214
13
4.47214
4.47214
14
4.47214
4.47214
15
4.47214
4.47214
16
4.47214
4.47214
17
4.47214
4.47214
D
Sivu 3 aihe: 7
Tehtävä 9.2
Ehdosta -20≤g x ≤16 kaikillla reaaliluvuilla voidaan päätellä, että g on määritelty kohdassa
x=0. Funktio on derrivoituva kohdassa x=0, mikäli raja-arvo
lim
h→0
lim
h→0
f 0+h -f 0
h
f 0+h -f 0
h
Koska -20≤g x ≤16 ,
on olemassa.
=
lim
h 2 · g h -0 2 g 0
h
h→0
lim
=
lim
h→0
h2· g h
h
=
lim
h· g h
h→0
h· g h =0
h→0
Funktio f on siis derivoituva kohdassa x=0.
Tehtävä 10.
a) Viimeinen luku on sama kuin jakojäännös jaettuna luvulla 10
Koska 2016≡6 mod 10 myös 2016 2016 ≡ 6 2016 mod 10 . Kaikki luvun 6 potenssit päättyvät
lukuun 6 (todistus seuraavalla sivulla), joten myös 2016 2016 viimeinen luku on 6.
2016
b) 2016 2016 =10 log 2016
=10 2016· log 2016 , jossa 2016· log
10
2016 ≈ 6661.85290
2016 2016 =10 6661.8529… =10 0.8529… · 10 6661 , jossa 10 0.8529 ≈ 7.12689
Kaksi ensimmäistä lukua ovat siis 7 ja 1.
c) Luvussa on edellisen kymmenpotenssiesityksen perusteella 6661+1=6662 numeroa.
maa_k16
Sivu 4 aihe: 7
Väite: Luvun 6 n viimeinen numero on 6, kun n on luonnollinen luku.
Todistetaan väite induktiolla:
I1: Väite tosi, kun n=1, koska 6 1 =6 .
I2: Oletetaan, että väite pätee jollakin n≥1
I3: Tutkitaan päteekö väite, arvolla n+1
6 n+1 = 6 n · 6 = 6 n · 5+1 = 6 n · 5+6 n
Luvun 6 n · 5 = 6 n-1 · 3· 2· 5 = 6 n-1 · 3· 10 viimeinen numero on 0.
Luvun 6 n viimeinen numero on I2 perusteella 6, joten summan 6 n · 5+6 n viimeinen numero on
6
Tehtävä 11
Olkoon tölkin pohjan ala π· r 2 ja korkeus h. Tällöin tölkin tilavuus on V=π· r 2 · h
1000
Koska tilavuus on 1000 m 3 , korkeus on toisaalta h r :=
π· r 2
1000
Muodostetaan funktio, joka kuvaa kustannuksia hinta r :=2· π· r 2 · 2+2· π· r·
·1.
π· r 2
2000
K
Funktion derivaattafunktio on
hinta r = 8· π· r, jonka nollakohta on
Kr
r2
1
1
zeros
K
hinta r ,r ▸
Kr
5· 2 3
1
. Tallennetaan kyseinen arvo muistiin r₀:=
5· 2 3
1
▸
1
5· 2 3
1
π3
π3
π3
Funktion saa pienimmän arvonsa (r>0) derivaatan nollakohdassa (derivaatan kuvaaja).
korkeus
h r₀
Lasketaan kysytty suhde
=
=2
pohjan halkaisija 2· r₀
Vastaus: Kysytty suhde on 2
maa_k16
Sivu 5 aihe: 7
Derivaattafunktion kuvaaja
500
y
f1 x = 8· π· x-
2000
x2
, x>0
x
20
−1
1
15
r₀
−100
Tehtävä 12
a) Funktio sin t on jaksollinen, jakso π .
Laskettaessa f 2π lasketaan määrätty
integraali kahden kokonaisen jakson yli.
Laskettaessa 2f π lasketaan määrätty
integraali yhden kokonaisen jakson yli ja
kerrotaan kahdella, joten 2f π = f 2π .
b) Jaetaan tehtävä kahteen osaan:
Kun 0≤x≤π ,
x
f x = sin t d t = 1-cos x .
0
Kun π<x≤2π ,
π
x
f x = sin t d t + −sin t d t = cos x +3 .
0
π
fx=
5
y
f1 x = sin x
1
2
−1.19
4
π
x
7
1-cos x , 0≤x≤π
cos x +3, π<x≤2π
−5
maa_k16
Sivu 6 aihe: 7
Tehtävä 13.
Kolmion pinta-ala on sama kuin puolet kolmion sivuvektoreiden ristitulovektorin pituudesta
A= u × v /2 . Tallennetaan muistiin funktio, joka laskee kolmion pinta-aloja:
norm crossP u,v
ala u,v :=
2
Tällöin tahkojen pinta-alat ovat:
b· c
a· c
A = ala 0 b 0 , 0 0 c ▸
B = ala a 0 0 , 0 0 c ▸
2
2
C = ala a 0 0 , 0 b 0 ▸
maa_k16
2
b· c 2
Tällöin A 2 +B 2 +C 2 = expand
ja D 2 = expand
a· b
2
D = ala a −b 0 , a 0 −c ▸
+
a 2 · b 2 +c 2 +b 2 · c 2
2
a· c 2
2
2
▸
+
a· b 2
2
a2· b2
4
+
▸
a2· c2
4
a2· b2
4
+
+
a 2 · b 2 +c 2 +b 2 · c 2
2
a2· c2
4
+
b2· c2
4
b2· c2
4
Sivu 7 aihe: 7