Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015
Harjoitus 3 / viikko 39 / alkuviikko
Ratkaisuehdotuksia / MS-A0103, MS-A0105
AV 1:
Säiliössä vellovan öljymäisen nesteen viskositeetti µ riippuu nesteen paineesta
√ p funktion
µ(p) mukaisesti. Nesteen paine p taas riippuu ajasta t funktion p(t) = t mukaisesti.
Jos viskositeetti muuttuu paineen suhteen nopeudella dµ/dp = p2 , niin millä nopeudella
viskositeetti muuttuu ajan suhteen?
Vastaus
Haluamme tietää viskositeetin muutosnopeuden ajan suhteen, eli
dµ/dt.
Tämä voidaan avata ketjusäännöllä
√
√
dµ dp
p2
t
t
dµ
2 d( t)
=
=p
= √ = √ =
.
dt
dp dt
dt
2
2 t
2 t
AV 2:
Pistemäisen kappaleen paikka s, nopeus v ja kiihtyvyys a tunnetaan hetkellä t = 0.
Paikka on s(0) = 2, nopeus v(0) = 4 ja kiihtyvyys on a(0) = 3. Esitä toisen asteen
Taylor-polynomi, joka approksimoi paikkaa s(t) pisteen t = 0 ympäristössä. Mikä on
tämän approksimaation arvio luvulle s(2)?
Vastaus
Tiedetään, että nopeus on paikan ensimmäinen derivaatta ja kiihtyvyys paikan toinen
derivaatta:
s00 (t) = v 0 (t) = a(t)
Taylorin polynomi on yleisesti muotoa
f (t) =
∞
X
f (k) (t0 )
k=0
k!
1
(t − t0 )k ,
josta saamme toisen asteen Taylorin polynomin t0 = 0 lähistöllä
f2 (t) = f (0) + f 0 (0)t +
f 00 (0) 2
t
2
Näin ollen voimme sijoittaa f (t) = s(t) ja saamme
s2 (t) = s(0) + v(0)t +
a(0) 2
3
t = 2 + 4t + t2 .
2
2
Tämän approksimaation arvio luvulle s(2) on
s2 (2) = 2 + 8 +
3
· 4 = 16.
2
AV 3:
Tutki Taylor-kehitelmän avulla onko funktiolla f (x) = sin3 (x3 ) paikallinen ääriarvokohta
origossa. (Vihje: oikean vastauksen voi ensin arvata ja sen jälkeen miettiä miten Taylorkehitelmä auttaa perustelemaan sen. Myös verkkoluennosta 14 (Optimization) voi olla
hyötyä.)
Vastaus
Tapa 1 (kuten pyydetttiin): Tarkastellaan aluksi funktion sin(x3 ) Taylor-sarjaa nollan
läheisyydessä:
∞
∞
X
X
(−1)n
(−1)n 6n+3
x9 x15
3 2n+1
sin(x ) =
(x )
=
x
= x3 −
+
+ O(x21 ).
(2n
+
1)!
(2n
+
1)!
3!
5!
n=0
n=0
3
Tässä O(x21 ) kuvaa kaikkia tekijöitä, joiden potenssi on suurempi tai yhtä suuri kuin 21.
Huomataan, että Taylorin sarja sisältää ainoastaan parittomia tekijöitä. Kun kerromme
sarjan itsellään saamme siis ainoastaan parillisia tekijöitä:
x9 x15
x9 x15
x12 2x18
21
3
21
3
x −
+
+ O(x )
x −
+
+ O(x ) = x6 −
+
+ O(x24 )
3!
5!
3!
5!
3
45
Kun kerromme tämän vielä kerran funktion sin(x3 ) sarjalla, saamme Taylorin sarjan
funktiolle f (x) = sin3 (x3 ), joka sisältää vain parittomia tekijöitä:
x12 2x18
x −
+
+ O(x24 )
3
45
6
x9 x15
x15 13x21
3
21
x −
+
+ O(x ) = x9 −
+
+ O(x27 )
3!
5!
2
120
2
Koska kahden parittoman funktion summasta tulee aina myös pariton funktio, voimme
todeta nollan läheisyydessä funktion f (x) = sin3 (x3 ) Taylorin sarja olevan pariton. Ja
koska pariton funktio on aina origosymmetrinen, sillä ei voi olla ääriarvokohtaa kun x = 0.
Näin myöskään funktiolla f (x) = sin3 (x3 ) ei ole ääriarvokohtaa kun x = 0.
Tapa 2 (ilman Tayloria): Olkoon ε > 0. Tällöin käyttämällä sinin ominaisuuksia
saadaan
3
sin3 (−ε)3 = sin3 (−ε3 ) = − sin(ε3 ) = − sin3 (ε3 ) .
Koska ε > 0, pätee f (ε) 6= 0, kun ε riittävän pieni. Voidaan siis päätellä, että riittävän
pienellä ε saadaan, että f (ε) ja f (−ε) ovat eri merkkiset, joten origossa ei ole paikallista
ääriarvokohtaa.
Huom. Edellä käytetty sinin ominaisuus voidaan perustella Taylor-sarjan avulla.
AV 4:
Määritä
x 2/x
.
lim 1 + arctan
x→0
2
(Vihje: ota tutkittavasta lausekkeesta ensin logaritmi.)
Vastaus
Otetaan lausekkeesta logaritmi:
x 2/x
x 2/x
= exp ln 1 + arctan
1 + arctan
2
2
2
x
= exp
ln(1 + arctan
x
2
x ln(1 + arctan 2 )
= exp 2
.
x
Tarkastellaan eksponenttia kun x lähestyy nollaa:
lim 2
x→0
ln(1 + arctan x2 )
.
x
Sekä osoittaja että nimittäjä saavat arvon nolla, kun x lähestyy nollaa, eli käytetään
l’Hopitalin sääntöä, sekä sisä- ja ulkofunktion derivaatan laskusääntöjä:
ln(1 + arctan x2 )
1
1
1
lim 2
= lim 2
=1
x
x 2
x→0
x→0
x
1 + arctan 2 1 + ( 2 ) 2
3
Koska viimeinen raja-arvo oli olemassa, se osoittaa l’Hopitalin säännön käytön oikeellisuuden. Lopulta saamme siis
x 2/x
lim 1 + arctan
= exp(1) = e.
x→0
2
4