Sinin jatkuvuus
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y ∈ R, | sin x − sin y | ≤ |x − y |. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 24. syyskuuta 2015 19 / 40 Yhdistetyn funktion raja-arvo Lause Oletetaan että raja-arvo limx→x0 on jatkuva pisteessä raja-arvo pisteessä y0 . Tällöin x0 ja lim x→x0 Erityisesti jos g ◦f f Pekka Salmi lim x→x0 on jatkuva pisteessä f on olemassa ja että funktio yhdistetyllä funktiolla (g ◦ f )(x) = g ( on jatkuva pisteessä Huomautus: jos f (x) =: y0 x0 ja g ◦f g on olemassa f (x)) = g (y0 ). g on jatkuva pisteessä f (x0 ) niin x0 . on jatkuva, niin y0 = f (x0 ) FUNK ja täten g (y0 ) = (g ◦ f )(x0 ). 24. syyskuuta 2015 20 / 40 Alkeisfunktiot ovat jatkuvia Alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyalueellaan: polynomifunktiot rationaalifunktiot juurifunktiot trigonometriset funktiot eksponenttifunktiot logaritmifunktiot hyperboliset funktiot näiden äärelliset yhdistelmät (summat, tulot, osamäärät, yhdistetyt funktiot). Pekka Salmi FUNK 24. syyskuuta 2015 21 / 40 Alkeisfunktioiden äärelliset yhdistelmät ovat jatkuvia Esimerkki Funktio sin(x 2 ) + e x on jatkuva. Pekka Salmi FUNK 24. syyskuuta 2015 22 / 40 Puristuslause eli suppiloperiaate Seuraavan lauseen avulla voi laskea useita raja-arvoja. Lause Olkoot f, g ja h funktioita joille päätee 1 f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) 2 limx→x0 aina kun 0 < |x − x0 | < r f (x) = limx→x h(x) =: a. Tällöin funktiolla 0 g on raja-arvo pisteessä lim x→x0 Pekka Salmi x0 ja g (x) = a. FUNK 24. syyskuuta 2015 23 / 40 Puristuslauseen sovellus Esimerkki Tutkitaan raja-arvoa lim sin x x→0 x . (0, 1) sin x x tan x (0, 0) Kun 0 < x < π/2, Pekka Salmi sin x < x < tan x. FUNK 24. syyskuuta 2015 24 / 40 Raja-arvo äärettömyydessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa M ∈ R. a ∈ R on funktion f raja-arvo > 0 löytyy sellainen R > 0 että Luku äärettömyydessä |f (x) − a| < Vastaavasti aina kun +∞ [M, +∞[ mikäli kaikilla x > R. a ∈ R on funktion f : ]−∞, M] → R raja-arvo −∞ mikäli kaikilla > 0 löytyy sellainen R < 0 äärettömyydessä |f (x) − a| < jollain aina kun x < R. lim f (x). että Merkitään näitä raja-arvoja lim x→+∞ (∞ f (x) ja x→−∞ = +∞). Pekka Salmi FUNK 24. syyskuuta 2015 25 / 40 Asymptoottiesimerkki Tutkitaan funktion f (x) = 2x +1 x −1 raja-arvoja äärettömyydessä. 2x+1 x−1 Pekka Salmi FUNK 24. syyskuuta 2015 26 / 40 Asymptootit Suoraa y =c kutsutaan funktion lim x→−∞ Vastaavasti suoraa f (x) = c x =c f horisontaaliseksi asymptootiksi jos tai lim x→+∞ kutsutaan funktion f f (x) = c. vertikaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = +∞ tai lim f (x) = +∞ tai x→c− x→c+ Pekka Salmi lim f (x) = −∞ lim f (x) = −∞. x→c− x→c+ FUNK tai 24. syyskuuta 2015 27 / 40 Äärettömät raja-arvot Funktion R>0 f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä löytyy sellainen δ>0 R<0 f aina kun 0 δ>0 +∞ mikäli kaikilla < x − x0 < δ. oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä löytyy sellainen on että f (x) > R Funktion x0 x0 on −∞ mikäli kaikilla että f (x) < R aina kun 0 < x − x0 < δ. Näitä merkitään lim x→x0 + f (x) = +∞ ja lim x→x0 + f (x) = −∞. Vasemmanpuoleiset raja-arvot määritellään käyttämällä vasemmalla puolella (eli 0 0 < x0 − x < δ ). Pekka Salmi < x − x0 < δ Näitä merkitään limx→x0 − FUNK f :n arvoja x0 :n korvataan lausekkeella f (x). 24. syyskuuta 2015 28 / 40 Jatkuvien funktioiden väliarvolause Lause Olkoon lukujen f : [a, b] → R jatkuva. f (a) ja f (b) välissä. Pekka Salmi Tällöin funktio FUNK f saa kaikki arvot, jotka ovat 24. syyskuuta 2015 29 / 40
© Copyright 2024