1. No category

9. Särmiä pitkin matka on 3a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on
a2 + a2 + a2 = a 3
a 3
3
=
≈ 0,577 , eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on
3a
3
100 % − 57,7 % = 42,3 % lyhyempi.
Matkojen suhde on
Vastaus: 42,3 %
10. Tilavuus on 1000 cm3. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan korkeus
1
V = Ah = 1000 cm3
3
V
1000
=
≈ 20,8 cm
h=
1
1 2
⋅12
A
3
3
Vastaus: 20,8 cm
Laudatur 3 MAA3 ratkaisut kertausharjoituksiin
Yhdenmuotoisuus
402. a) Kolmion kolmannen kulman suuruus on 180° – 45° – 63° = 72°.
Kulman 72° vieruskulman on 180° – 72° = 108°.
Koska l1 l2 , niin myös kulma α on 108°.
b) Muodostetaan yhtälöpari
⎧2α + x = 180°
⎨
⎩3x + α = 180°
Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan α = 72°.
Vastaus: a) α = 108° b) α = 72°
403. Kolmion suurin kulma on 67°.
Komplementtikulma: 90° – 67° = 23°
Suplementtikulma: 180° – 67° = 113°
Vastaus: Komplementtikulma on 23° ja suplementtikulma on 113°.
404. Nelikulmion kulmien summa on 360°.
x + 2 x + 12° + 140° − x + 3x + 15° = 360°
5 x = 193°
x = 38, 6°
Suurin kulma on 3x + 15° = 3 · 38,6° + 15° = 130,8°.
Vastaus: Suurin kulma on 130,8°.
157
405. Kulman 54° vieruskulma on 180° – 54° = 126°.
Koska nelikulmion summa on 360°, niin
x = 360° – 92° – 80° – 126° = 62°
Kulman x vieruskulma on 180° – 62° = 118°.
Koska nelikulmion summa on 360°, niin
y = 360° – 118° – 54° – 70° = 118°
Vastaus: x = 62°, y = 118°
406. Koska kolmion suurin kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta kulmaa yhteensä, niin
suurimman kulman suuruus on 180° : 2 = 90°.
Vastaus: Suurimman kulman suuruus on 90°.
407. a) Lasketaan sivujen pituuksien suhde
x
40
=
110 65
65 x = 4 400
: 65
x ≈ 68
b) Lasketaan sivujen pituuksien suhde
38
35
=
38 + x 50
1330 + 35 x = 1900
35 x = 570
: 35
x ≈ 16
Vastaus: a) x = 68 b) x = 16
408. Mittakaavalla on 1 . 200 000 matkan pituus kartalla on 25 cm.
Mittakaavalla 1 : 75 000 matkan pituus kartalla on x.
Muodostetaan kääntäen verrannollisuus
200 x
=
75 25
75 x = 5000
: 75
x ≈ 67
Vastaus: Matka kartalla on 67 cm.
409. Arkki A4: leveys 297 mm
korkeus 210 mm
A5-arkki muodostetaan taittamalla A4 arkki pidemmän sivun keskeltä kaksin kerroin.
Taitetusta sivusta muodostuu arkin A5 korkeus.
158
Arkki A5: leveys 210 mm
korkeus: 297 mm : 2 = 148, 5 mm ≈ 149 mm
A3 arkin leveys muodostuu kertomalla A4 arkin korkeus kahdella. A4 arkin leveys muuttuu
A3 arkin korkeudeksi.
Arkki A3: leveys: 210 mm · 2 = 420 mm
korkeus: 297 mm
Vastaus: Arkki A5: 149 mm x 210 mm, A3: 297 mm x 420 mm
410. Maalimenekki on suoraan verrannollinen maalattavaan pinta-alaan.
A2 ⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟
A1 ⎝ 16 ⎠
2
A2 = 162 A1
Eli maalia kuluu 256 · 0,15 cl = 38,4 cl.
Vastaus: 38 cl
411. a)
3
V2
⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟
2500 ⎝ 32 ⎠
323 V2 = 2500
V2 =
2500
≈ 76 cm3
3
32
b)
3
0, 2
⎛3⎞
⎜ ⎟ =
V2
⎝4⎠
27V2 = 64 ⋅ 0, 2
V2 =
64 ⋅ 0, 2
= 0, 474 dm3
27
Vastaus: a) 76 cm3 b) 0,5 dm3
412. a)
A
k2 = 1
A2
k=
1, 25 cm 2
1
=
5 ⋅108 cm 2 20 000
159
b)
k3 =
k=
V1
V2
3
2,3 dm3
1
≈
3
300 000 dm
50
Vastaus: a)
1
1
b)
20 000
50
413. Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen
3
0,160 kg
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ =
m2
⎝ 20 ⎠
m2 = 203 ⋅ 0,16 kg
m2 = 1280 kg
Vastaus: 1280 kg
414. Pikkuympyröiden ala yhteensä
2
1
⎛r⎞
A1 = 2π ⎜ ⎟ = π r 2
2
2
⎝ ⎠
Ison ympyrän ala
A2 = π r 2
1 2
πr
A1 2
1
Suhde
=
=
π r2
A2
2
Vastaus: 50 %
415. Lasketaan suhde
V
1,13 = 2
V1
V2 = 1,13 V1 = 1,331V1
Vastaus: 33,1 %
416.
k3 =
V2
= 1, 20
V1
k = 3 1, 20
(
A2
= 3 1, 20
A1
Vastaus: 12,9 %
k2 =
)
2
≈ 1,129
160
Kulmien piirtäminen harpilla ja viivaimella
421. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain
kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaalit
leikkaavat samassa pisteessä.
422. Piirrä suora. Mittaa suoralta 4,0 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka
kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Mittaa normaalilta 2,0 cm:n pituinen jana, jonka
toinen päätepiste on suoralla. Piirrä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.
423. a) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Mittaa annetun janan pituus harpilla. Alkaen
suoran ja normaalin leikkauspisteestä piirrä annettu janan pituus säteenä ympyrän kaari,
joka leikkaa sekä suoraa, että sen normaalia. Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä
ympyrän kaaren ja normaalin leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka
kyljen pituus on annetun janan mittainen.
b) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Puolita saatu suora kulma. Mittaa annetun janan
pituus harpilla. Alkaen suoran ja suoran kulman puolittajan leikkauspisteestä piirrä annettu
janan pituus säteenä ympyrän kaari, joka leikkaa sekä suoraa, että kulman puolittajaa.
Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä ympyrän kaaren ja kulman puolittajan
leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka kyljen pituus on annetun janan
mittainen.
424. Piirrä suora. Piirrä harpilla suoralla oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän
kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän
kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin
saat suoran normaalin.
425. a) Piirrä suora. Merkitse suoralle piste. Piirrä harpilla suoralla oleva piste
keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista
leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä.
Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin.
b) Piirrä suora ja sen ulkopuolelle piste. Piirrä harpilla suoran ulkopuolella oleva piste
keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista
leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä.
Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin.
426. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain
kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaali
leikkaa sivua sen keskipisteessä. Yhdistä kulmien kärjet vastaisten sivujen keskipisteisiin.
Mediaanit leikkaavat samassa pisteessä. Piirrä suora, joka kulkee mediaanien
leikkauspisteen kautta ja joka leikkaa annettua suoraa.
Siirrä annetulle suoralle muodostunut kulma mediaanien leikkauspisteeseen Piirrä suorien
leikkauspiste keskipisteenä ympyrän kaari, joka leikkaa molempia suoria ja piirrä sama
kaari mediaanien leikkauspisteeseen.. Mittaa suorien välisen kaaren pituus ja siirrä tämä
pituus mediaanien keskipisteenä piirretylle säteelle alkaen leikkauspisteen kautta kulkevan
suoran ja mediaanien leikkauspiste keskipisteenä piirretyn säteen leikkauspiste. Piirrä suora
mitatun kaaren loppupisteen ja mediaanien leikkauspisteen kautta, jolloin saat kysytyn
suoran.
161
Suorakulmainen kolmio
427. Piirrä suora. Mittaa suoralta 3,5 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka
kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä
ympyrän kaari, jonka pituus on 8,0 cm ja joka leikkaa normaalia. Ympyrän kaaren ja
normaalin leikkauspiste on kolmion kolmas kärkipiste. Piirrä suorakulmaisen kolmion
hypotenuusa.
428. Pythagoraan lauseella 32 + x 2 = 52
x 2 = 16
x=4
3 cm ⋅ 4 cm
Kolmion ala A =
= 6 cm 2
2
5,0 cm
x
Vastaus: Kolmion ala on 6 cm2
3,0 cm
429.
C
18 cm
A
x
α
130°
D
B
130°
Huippukulman puolikas α =
= 65°
2
x
⋅ 18
Kolmiosta ∆ADC saadaan sin 65° =
18
x = 18 sin 65° = 16,313...
Kolmion kanta AB = 2 x = 2 ⋅ 16,315... cm ≈ 33 cm
Vastaus: Kanta on 33 cm.
430. Kulmien summa x + 2 x + 3x = 180°
x = 30°
Kulmat ovat 30 ° , 60 ° ja 90 ° , joten kolmio on suorakulmainen ja voidaan käyttää
trigonometrisia funktioita.
4,0
Sivu a (cm) tan 30° =
a
4,0
4,0
a=
=
= 4,0 3 ≈ 6,9
1
tan 30°
3
4,0
Sivu b (cm) sin 30° =
b
4,0
4,0
b=
=
= 8,0
1
sin 30°
2
Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm.
162
431. Kolmion sivun pituus x (dm)
x + x + x = 9,0
x = 3,0
Muistikolmion avulla
h
3
=
3,0
2
h=
3,0 3
2
Kolmion pinta-ala
3,0 3
dm
3,0 dm ⋅
9,0 3
2
dm2 ≈ 3,9 dm2
A=
=
2
4
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,9 dm2.
432. a) Jyrkkyys 6 %
Vaakasuora etäisyys a
Pystysuora korkeusero on 0,06a
0,06a
= 0,06
Tällöin tan α =
a
α ≈ 3,4°
b) Jyrkkyys 13 %
0,13a
tan α =
= 0,13
a
α ≈ 7,4°
Vastaus: a) 3,4° b) 7,4°
433. Pythagoraan lauseella 252 = x 2 + ( x + 7) 2
625 = x 2 + x 2 + 14 x + 49
2 x 2 + 14 x − 576 = 0
−14 ± 142 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−576)
2⋅2
−14 − 4804
x1 =
= −20,8 (ei käy)
4
−14 + 2 1201 −7 + 1201
x2 =
=
≈ 13,83
4
2
−7 + 1201
7 + 1201
cm ja
cm
Kateettien pituudet ovat
2
2
−7 + 1201
7 + 1201
cm +
cm = (25 + 1201) cm ≈ 59,7 cm
Kolmion piiri p = 25 cm +
2
2
x=
163
Pinta-ala A =
7 + 1201
1 −7 + 1201
1201 − 49
⋅
cm ⋅
cm =
cm 2 = 144 cm 2
2
2
2
8
Vastaus: Kolmion piiri on 59,7 cm ja pinta-ala 144 cm2.
x
⋅ 600
600
x = 600 tan 40° ≈ 500
434. Suorakulmaisesta kolmiosta tan 40° =
Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m.
435. Piirretään kolmio käyttäen kulmaviivainta. Mitataan viivaimella kolmion korkeus h =
1,1 cm
3, 0 cm ⋅1,1 cm
≈ 1, 7 cm 2
Kolmion pinta-ala A =
2
436. Tasasivuisen kolmion sivun pituus x (dm)
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 2 =
FG x IJ
H 2K
2
+ 2,52
3 2
x = 2,52
4
x2 =
x=
:
3
4
4 ⋅ 2,52
3
5
,x > 0
3
5
dm ⋅ 2,5 dm
12,5 3
3
Kolmion pinta-ala on A =
=
dm 2 ≈ 3, 6 dm 2
2
6
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,6 dm2.
437. Pythagoraan lauseella x 2 + 32 = (10 − x ) 2
x 2 + 9 = 100 − 20 x + x 2
20 x = 91 :20
x=
Toinen osa 10 − x = 10 −
91
= 4,55
20
91 109
=
= 5,45
20 20
Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä.
164
438. Muistikolmioista
x
2
=
1,0
3
2
x=
≈ 115
,
3
Vastaus: Mittarin metrin tulee olla 1,15 m pitkä.
Tylpän kulman sini ja kosini
439. a) cos α = 0,3, jolloin α ≈ 73°
b) cos α = −0,3, jolloin α ≈ 107°
c) sin α = 0,3, jolloin α ≈ 17° tai 180° − 17° = 163°
Vastaus: a) 73° b) 107° c) 17° tai 163°
440. a) x-koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten cos α = 0,561.
y-koordinaatti ilmaisee kulman sinin, joten sin α = 0,828
b) cos α = −0,075
sin α = 0,997
441. a) cos α = 0,767, joten α = 39,9°
b) cos α = –0,142, joten α = 98,2°
c) sin α = 0,812, joten α = 54,3° tai α = 180° − 54,3° = 125,7°
d) sin α = 0,635, joten α = 39,4° tai α = 180° − 39,4° = 140,6°
442. a) cos α = –0,538, joten α = 122,5°
b) sin α = 0,635, joten α = 29,3° tai α = 180° − 29,3° = 150,7°
Tylppä kulma on 150,7°.
443. a) Kehäpisteen x-koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten
cos α = 0,369
Kehäpisteen y-koordinaatti
0,3692 + y 2 = 12
y = ± 1 − 0,3692
y≥0
y ≈ 0,929
Kulman sini sin α = 0,929
b) Kulman kosini
cos α = −0, 217
Kehäpisteen y-koordinaatti
2
−0, 217 + y 2 = 12
y = 1 − (−0, 217) 2
y ≈ 0,976
Kulman sini sin α = 0,976
165
y≥0
c) Kulman kosini
cos α = 0,193
Kehäpisteen y-koordinaatti
0,1932 + y 2 = 12
y = 1 − 0,1932
y≥0
y ≈ 0,981
Kulman sini sin α = 0,981
d) Kosini on välillä −1 ≤ cos α ≤ 1 , joten kulmaa ei ole.
Sinilause
444. a) Olkoon tuntemattomat kulmat α ja β.
Kulma α sinilauseella
8, 22
6, 25
=
sin 80° sin α
8, 22sin α = 6, 25sin 80°
6, 25sin 80°
sin α =
Kulma on terävä
8, 22
α ≈ 48, 49°
Kulma β
β = 180° − 80° − 48,5° = 51,5°
Sivu x
x
8, 22
=
sin 51,5° sin 80°
x sin 80° = 8, 22sin 51,5°
8, 22sin 51,5°
≈ 6,53 cm
x=
sin 80°
α
8,22 cm
β
6,25 cm
x
80°
b) Kolmas kulma on 180° − 80° − 22° = 78°. Olkoon 80° kulman vastainen sivu x ja
viereinen sivu y.
Sivu x (cm)
x
6, 25
=
sin 80° sin 78°
x sin 78° = 6, 25sin 80°
x
6, 25sin 80°
y
x=
≈ 6, 29
sin 78°
80°
22°
6,25 cm
166
Sivu y (cm)
y
6, 25
=
sin22° sin 78°
y sin 78° = 6, 25sin 22°
y=
6, 25sin 22°
≈ 2,39
sin 78°
Vastaus: a) Kulmat ovat 48,5°, 51,5° ja sivu 6,53 cm. b) Kulma on 78° sekä sivut 2,39 cm
ja 6,29 cm.
445. a) Kulma α sinilauseella
24
15
=
sin110° sin α
24sin α = 15sin110°
15sin110°
sin α =
24
α ≈ 36, 0°
Kulma β
β = 180° − 110° − 36° = 34°
Kulma α on terävä
α
24 m
x
Sivu x (m)
x
24
=
sin 34° sin110°
x sin110° = 24sin 34°
24sin 34°
x=
≈ 14, 28
sin110°
110°
β
15 m
b) Kulma α sinilauseella
7, 0
9, 0
=
sin 26° sin α
7, 0sin α = 9, 0sin 26°
9, 0sin 26°
sin α =
Kulma α on terävä
7, 0
α ≈ 34,3°
Kulma β
β = 180° − 26° − 34,3° = 119, 7°
7,0 dm
26°
9,0 dm
167
α
x
β
Sivu x (dm)
x
7, 0
=
sin119, 7 sin 26°
x sin 26° = 7, 0sin119, 7°
7, 0sin119, 7°
x=
sin 26°
x ≈ 13,9
Vastaus: a) Kulmat ovat 36,0°ja 34,0° sekä sivu 14,3 m b) Kulma ovat 34,3° ja 119,7° sekä
sivu 13,9 dm.
446. Terävä kulma α
7,1
2, 4
=
sin 35° sin α
7,1sin α = 2, 4sin 35°
2, 4sin 35°
7,1
α ≈ 11,18°
sin α =
Kulma α on terävä.
Kolmas kulma
γ = 180° − 35° − 11,18° = 133,82°
Pinta-ala
1
A = ⋅ 7,1 m ⋅ 2, 4 m ⋅ sin133,82° ≈ 6,15 m 2
2
35°
2,4 m
γ
α
7,1 m
Vastaus: Ala on 6,15 m2.
447. Kolmas kulma on 180° − 25° − 85° = 70°.
Suurin sivu x on suurimman kulman vastainen sivu.
4
x
=
sin 70° sin 85°
x sin 70° = 4sin 85°
4sin 85°
x=
≈ 4, 24
sin 70°
1
4sin 85°
⋅ sin 25° ≈ 3,58
Pinta-ala A = ⋅ 4 ⋅
2
sin 70°
Vastaus: Suurin sivu on 4,24 ja ala on 3,58.
168
85°
4
70°
25°
x
448. Lasketaan kulmat: 3x + 4x + 5x = 180°, josta x = 15°.
Kulmat ovat siis 45°, 60°, 75°.
Lasketaan sinilauseella toinen sivu x (cm)
12
x
=
sin 75° sin 60°
x sin 75° = 12sin 60°
12sin 60°
x=
≈ 10, 76
sin 75°
1 12sin 60°
cm ⋅12 cm ⋅ sin 45° ≈ 45, 6 cm 2
Pinta-ala A = ⋅
2 sin 75°
75°
x
60°
45°
12 cm
Vastaus: Ala on 45,6 cm2.
449.
Ala A =
1
1
ab sin γ = ⋅ 2a ⋅ 3a ⋅ sin 45° = 3a 2 ⋅
2
2
Vastaus: Ala on
2)
1
2
=
3 2a 2
2
3 2a 2
.
2
45°
450. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60°.
Tasasivuisen kolmion sivu a (m)
1
A = 60 m 2 A = ab sin γ
2
1
⋅ a ⋅ a ⋅ sin 60° = 60
2
3 2
a = 60
4
a2 =
a=
Vastaus: Sivun pituus on
3a
240
3
sin 60° =
:
60
3
4
240
3
3
4
,a ≥ 0
≈ 11, 771
m ≈ 11, 771 m .
169
3
2
2a
451. Kolmion kanta x sinilauseella
x
12, 64
=
sin107,56° sin 46, 76°
x sin 46, 76° = 12, 64sin107,56°
12, 64sin107,56°
≈ 16,542
x=
sin 46, 76°
1
Kolmion ala A = ⋅12, 64 ⋅16,542 ⋅ sin 25, 68° = 45,31
2
C
12,64
A
107,56°
46,76°
25,68°
Vastaus: Ala on 45,31.
452. Kolmas kulma on 180° − 30° − 45° = 105°. Kolmio ei siis ole suorakulmainen.
Lasketaan ensin toinen sivu x sinilauseella
4
x
=
105°
sin 45° sin105°
4
x sin 45° = 4sin105°
4sin105°
45°
30°
x=
≈ 5, 46
sin 45°
x
1
4sin105°
⋅ sin 30° ≈ 5, 46
Pinta-ala A = ⋅ 4 ⋅
2
sin 45°
Vastaus: Kolmio ei ole suorakulmainen, ala on 5,46.
453. Neljännestunnissa kuljettu matka s = vt = 12
Kolmion ABD kulmat D ja B
D = 180° − 38° = 142°
B = 180° − 142° − 25° = 13°
Sivun AB pituus y (km) kolmiosta ABD
3
y
=
sin13° sin142°
3sin142°
y=
= 8, 210...
sin13°
Kysytty lyhin etäisyys x (km)
x
⋅y
sin 25° =
y
x = y sin 25°
x=
y=
3sin142°
sin13°
3sin142°
⋅ sin 25° ≈ 3,5
sin13°
170
km 1
⋅ h = 3 km
h 4
x
C
38°
D
s 25°
A
B
y
B
Pisteestä A kuljettava matka AC (km)
AC
⋅y
cos 25° =
y
AC = y cos 25°
AC =
Matkaan kuluu t =
y=
3sin142°
sin13°
3sin142°
⋅ cos 25° ≈ 7, 441...
sin13°
AC 7, 441...km
=
= 0, 620...h ≈ 37 min
km
v
12
h
Vastaus: Saari näkyy 37 minuutin kuluttua 90o kulmassa, laskettaessa aika pisteestä A.
Etäisyys on silloin 3,5 km.
454. Heijastuksen tapahtuessa järvestä tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma.
Kolmion ACP kulmat
A = 62° + 65° = 127°
C = 180° − 2 ⋅ 65° = 50°
P = 180° − 127° − 50° = 3°
P
Kolmion ABC sivu x (m)
10
sin 65° =
x
10
x=
= 11, 033...
sin 65°
Sinilauseella kolmion ACP sivu y (m)
h
y
x
y
=
sin127° sin 3°
A 62°
x sin127°
10
65°
y=
x=
35°
sin 3°
sin 65°
x
10 m
65°
65°
10sin127°
≈ 168,37...
y=
B
C
D
sin 65° sin 3°
Pilven korkeus järven pinnasta h (m)
h
sin 65° =
y
h = y sin 65°
y=
10sin127°
sin 65° sin 3°
10sin127°
⋅ sin 65°
sin 65° sin 3°
10sin127°
h=
≈ 152, 6
sin 3°
h=
Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on noin 150 metriä.
171
Kosinilause
455. a) Sivu c (m)
c 2 = 9, 02 + 8, 02 − 2 ⋅ 8, 0 ⋅ 9, 0 ⋅ cos 24°
c 2 = 145 − 144 cos 24°
,c ≥ 0
8,0 m
c = 145 − 144 cos 24° ≈ 3, 67
c
Kulma α
8, 0
3, 67
=
sin α sin 24°
3, 67 sin α = 8, 0sin 24°
8, 0sin 24°
3, 67
α ≈ 62,5°
sin α =
24°
9,0 m
Kyseessä on terävä kulma
Kulma β = 180° − 24° − 62,5° = 93,5°
Pinta-ala A =
1
⋅ 8, 0 m ⋅ 9, 0 m ⋅ sin 24° ≈ 14, 6 m 2
2
b) Sivu c (cm)
c 2 = 7, 02 + 3, 02 − 2 ⋅ 7, 0 ⋅ 3, 0 ⋅ cos80°
,c ≥ 0
c = 58 − 42 cos80° ≈ 7,12
Kulma α
7,0 cm
7, 0
7,12
=
sin α sin 80°
7,12sin α = 7, 0sin 80°
7, 0sin 80°
sin α =
7,12
α ≈ 75,5°
80°
3,0 cm
c
Kyseessä on terävä kulma
Kulma β = 180° − 80° − 75,5° = 24,5°
Pinta-ala A =
1
⋅ 3, 0 cm ⋅ 7, 0 cm ⋅ sin 80° ≈ 10,3 cm 2
2
Vastaus: a) Sivu on 3,67 m, kulmat 62,5° ja 93,5° sekä ala 14,6 m2 b) 7,1 cm, 75,5°, 24,5°,
10,3 cm2.
456. a) Sivu c (m)
c 2 = 122 + 62 − 2 ⋅12 ⋅ 6 ⋅ cos120°
c
c = 180 − 144 cos120° = 252 ≈ 15,9
12 m
172
120°
6m
Kulma α
6
252
=
sin α sin120°
6sin120° = sin α 252
sin α =
6sin120°
252
α ≈ 19,1°
Kulma β = 180° − 120° − 19,1° = 40,9°
Kyseessä on terävä kulma
b) Kulma α
7, 0
15
=
sin10° sin α
7, 0sin α = 15sin10°
15sin10°
sin α =
7, 0
10°
c
15 cm
7,0 cm
α ≈ 21,8° Ei käy. Kyseessä on tylppä kulma
α ≈ 180° − 21,8° = 158, 2°
Kulma β = 180° − 158, 2° − 10° = 11,8°
Sivu c (cm)
c 2 = 152 + 7, 02 − 2 ⋅15 ⋅ 7, 0 ⋅ cos11,8°
c = 274 − 210 cos11,8° ≈ 8,3
Vastaus: a) Sivu on 15,9 cm, kulmat 19,1° ja 40,9°. b) Sivu on 8,3 cm, kulmat 11,8° ja
158,2°.
457. Lasketaan ensin tunnettujen sivujen välinen kulma α sinilauseen avulla.
8,5
6,3
=
sin α sin 35°
c
8,5sin 35° = 6,3sin α
8,5sin 35°
Kyseessä on terävä kulma
6,3
α ≈ 50, 70°
Kolmas kulma β = 180° − 50, 70° − 35° = 94,3°
sin α =
Pinta-ala A =
1
⋅ 8,5 m ⋅ 6,3 m ⋅ sin 94,3° ≈ 26, 7 m 2
2
Vastaus: Ala on 26,7 m2.
173
35°
8,5 m
6,3 m
458.
Sivu c (cm)
c 2 = 4, 02 + 7, 02 − 2 ⋅ 4, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ cos 48°
β
,c ≥ 0
c
4,0 cm
c = 65 − 56 cos 48° ≈ 5, 247
α
48°
Kulma α
7,0 cm
5, 247
4, 0
=
sin 48° sin α
5, 247 sin α = 4, 0sin 48°
4, 0sin 48°
Kyseessä on terävä kulma.
5, 247
α ≈ 34,5°
Toinen kulma β = 180° − 48° − 34,5° = 97,5°
sin α =
Vastaus: Kolmas sivu on 5,2 cm, kulmat ovat 34,5° ja 97,5°.
459.
Kolmion kolmas sivu kosinilauseella
82 = 42 + x 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ cos 30°
cos 30° =
3
2
82 − 4 2 = x 2 − 4 3 ⋅ x
x 2 − 4 3 ⋅ x − 48 = 0
x=
4 3±
(4 3)
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( −48 )
2 ⋅1
4 3 + 240
≈ 11, 21
2
4 3 − 240
≈ −4, 28
x2 =
2
x1 =
Ei käy
Tylppä kulma α
x
11, 21
8
=
sin α sin 30°
8sin α = 11, 21sin 30°
β
30°
4
11, 21sin 30°
8
α ≈ 44,5° Ei käy
sin α =
α ≈ 180° − 44,5° ≈ 135,5°
Terävä kulma β = 180° − 135,5° − 30° = 14,5°
Vastaus: Kolmas sivu on 11,2, kulmat ovat 135,5° ja 14,5°.
174
α
8
460. Ratkaistaan yksi kulma α kosinilauseella ja toinen kulma sinilauseella
7 2 = 32 + 52 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ cos α
7 2 − 32 − 52 = −30 cos α
7
15
30
α = 120°
cos α = −
Kulma β
γ
β
3
5
α
7
5
=
sin120° sin β
7 sin β = 5sin120°
5sin120°
Terävä kulma
7
β ≈ 38, 2°
Kolmas kulma γ = 180° − 120° − 38, 2° = 21,8°
sin β =
Pinta-ala A =
1
⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ sin120° ≈ 6,50
2
Vastaus: Kulmat ovat 120°, 38,2° ja 21,8°. Ala on 6,50.
461. Sivu c (m)
c 2 = 222 + 152 − 2 ⋅ 22 ⋅15 ⋅ cos 33°
,c ≥ 0
a = 22 m
33°
c = 709 − 660 cos 33° ≈ 12, 47
b = 15 m
β
Kulma β
c
12, 47
15
=
sin 33° sin β
12, 47 sin β = 15sin 33°
15sin 33°
12, 47
β ≈ 40,9°
sin β =
Kyseessä on terävä kulma.
Kolmas kulma β = 180° − 33° − 40,9° = 106°
Vastaus: Kolmas sivu on 12,47 m, kulmat ovat 40,9° ja 106°.
175
α
462. Sivu x
x2
α1
α2
b = 302
x1
β1
β2
25°
a = 704
3022 = 7042 + x 2 − 2 ⋅ 704 ⋅ x ⋅ cos 25°
x 2 − 1408cos 25° x + 404 412 = 0
x=
1408cos 25° ±
(1408cos 25° )
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( 404 412 )
2 ⋅1
x1 ≈ 689,847
x2 ≈ 586,847
Kulma α sinilauseella
704
302
=
sin α sin 25°
704sin 25°
sin α =
302
α1 ≈ 80,1°
α 2 ≈ 180° − 80,1° = 99,9°
Kolmas kulma
β1 = 180° − 25° − 80,1° = 74,9°
β 2 = 180° − 25° − 99,9° = 55,1°
Vastaus: Kolmion sivu on joko 689 m sekä kulmat 80,1° ja 74,9° tai kolmion sivu on joko
587 m sekä kulmat 99,9° ja 55,1°.
Monikulmiot
463. Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta
tasasivuisesta
kolmiosta, niin 5x = 10 ja kuusikulmion sivu on x = 2,0 .
Kuusikulmion piiri p = 6 x = 6 ⋅ 2,0 m = 12,0 m .
Vastaus: Kuusikulmion piiri on 12,0 m.
176
464. Suorakulmaisen kolmion korkeus h (dm)
h 2 + 2,52 = 5,02
h 2 = 18, 75
,h ≥ 0
h = 18,75 = 4,330...
Kuusikulmion ala A = 6 ⋅
5,0 dm ⋅ 18,75 dm
≈ 65 dm 2 .
2
Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm2.
465. Suunnikkaan ala on 12h = 72 , josta h = 6 . Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
6
sin α =
, josta suunnikkaan pienempi
10
kulma α ≈ 37° .
Suurempi kulma on β = 180°−α = 143° .
Suorakulmaisesta kolmiosta ∆AED saadaan
102 = 62 + x 2 , josta x = 8 . Tällöin
y = 12 − x = 4 . Kolmiosta ∆BDE saadaan
z 2 = 4 2 + 62 , mistä z = 52 ≈ 7,2 .
Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 37o ja 143o. Lyhyempi lävistäjä on 7,2 cm.
466. Suorakulmaisesta kolmiosta ∆ABC saadaan 4 2 + h 2 = 62 , josta
h = 20 = 4,472... . Suorakulmion ala on
A = kh = 4,0 cm ⋅ 4,472... cm ≈ 18 cm 2 .
Suorakulmaisesta kolmiosta ∆ADE saadaan sin α =
josta α = 41,810... ° ja 2α = 2 ⋅ 41,810... ° ≈ 84° .
2
,
3
Vastaus: Suorakulmion ala on 18 cm2 ja lävistäjien välinen kulma 84°.
467. Suorakulmion ala As = 6 ⋅ 8 = 48 .
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 2 = 62 + 82 ,
josta x = 10 .
Neliön ala An = 102 = 100 .
An 100
=
= 2,083...
As
48
Neliön ala on 2,083... − 1 = 1,083... ≈ 108% suurempi
kuin suorakulmion ala.
Alojen suhde on
Vastaus: Neliön ala on 108 % suurempi kuin
suorakulmion ala.
177
468. Levyjen pinta-ala A = 5 ⋅ 0,225 m ⋅ 0,31 m = 0,348... m2 .
Levyjen hinta on h = 0,348... ⋅ 30 euroa ≈ 10,46 euroa .
Vastaus: Levyjen hinta on 10,46 euroa.
469. Pythagoraan lauseella x 2 + 2 2 = 4 2 , josta x = 12 = 2 3 ≈ 3,5 .
2
Suorakulmaisesta kolmiosta ∆ABD saadaan sin α = , josta α = 30° ,
4
jolloin β = 75°−30° = 45° .
y
Kolmiossa ∆BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten cos45° = ,
4
1
josta y = 4 cos 45° = 4 ⋅
= 2 2 ≈ 2,8 .
2
Nelikulmion ala on A =
2⋅2 3 2 2 ⋅2 2
+
= 2 3 + 4 ≈ 7,5 .
2
2
Vastaus: Sivut ovat 2, 2 2 , 2 2 ≈ 2,8 ja 2 3 ≈ 3,5 . Ala on 2 3 + 4 ≈ 7,5 .
470. Yhden setelin ala on A = 0,12 m ⋅ 0,062 m = 0,00744 m 2 .
Peittyvä pinta-ala on Akok =
2,3 ⋅ 109
⋅ 0,00744 m 2 ≈ 3 420 000 m 2 = 3,42 km 2 .
5
Vastaus: Setelit peittäisivät 3,42 km2.
800 kg
kg
= 0,101... 2 .
75 m ⋅ 105 m
m
Suurimman lipun massa oli 80 ⋅ 152 ⋅ 0,101... kg ≈ 1 200 kg .
471. Olympialippu painoi
Vastaus: Suurin lippu painoi 1 200 kg.
472. Koska suunnikkaan sivujen pituudet ovat 2 ja 6, niin pituudeltaan 6 oleva lävistäjä on
lyhyempi lävistäjistä.
Kolmiosta ABD lasketaan kosinilauseella kulma γ
D
22 = 62 + 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ cos γ
68
cos γ =
72
γ = 19,188...°
E
2
Lasketaan kolmiosta ABE kosinilauseella lävistäjän puolikkaan pituus x
x 2 = 32 + 62 − 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ cos19,188...°
x = 45 − 36 cos19,188...° = 3,316...
178
,x ≥ 0
2
3
x
A
C
x
3
γ
6
B
Lävistäjän pituus 2 x = 2 ⋅ 3,316... ≈ 6, 6
1
Suunnikkaan ala A = 2 Akolmio = 2 ⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sin19,188... ≈ 11,8
2
Vastaus: Lävistäjän pituus on 6,6 ja suunnikkaan ala 11,8.
473.
Säännöllisen viisikulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät.
(5 − 2) ⋅180°
Viisikulmion kulman suuruus γ =
= 108°
5
Lävistäjän pituus x
x 2 = 32 + 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ cos108°
,x ≥ 0
C
3
D
B
γ
x
3
6
x = 18 − 18cos108° ≈ 4,85
A
E
Vastaus: Lävistäjän pituus on 4,85.
474. Lasketaan nelikulmion ala molemmissa tapauksissa.
Kolmiosta CED suunnikkaan korkeus h
h
3
=
6
2
h=3 3
Sivu CE
x 1
=
6 2
A
4
F
x=3
Nelikulmion BEDF ala
6
A = (4 + x) h = (4 + 3)3 3 = 21 3
6
(2)
Kolmiosta BHC suunnikkaan
korkeus h
60°
60° (1)
B
h
3
x
C
=
4
2
h=2 3
Sivu CH
x 1
=
4 2
x=2
Nelikulmion BEDF ala A = (4 + x)h = (4 + 2)2 3 = 12 3
Vastaus: Pienimmän nelikulmion ala on 12 3 .
179
I
A
D
6
h
E
D
B
60° 4
30° (2)
6
C
(1)
h
H
x
YMPYRÄ
475. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde r + 1,23 metriä. Koska suorat s
ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on
2 s + 2π (r + 1,23) − ( 2 s + 2π r ) = 2 s + 2π r + 2π ⋅ 1,23 − 2 s − 2π r = 2π ⋅ 1,23 ≈ 7,73 .
Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,73 metriä.
476.
Kulmaa α vastaava keskuskulma 2α,
ja sen vieruskulma 180° − 2α .
P
α 180° − 2α
β
Kysytty kulma
β = 180° − 90° − (180° − 2α ) = 2α − 90°
A
2α
B
Vastaus: 2α − 90°
477. Tutkitaan kolmiota ∆ABD .
Sivu AB = DF + FC = 14 + 7 = 21 .
Hypotenuusa BD = BE + DE = AB + DE = 21 + 14 = 35 .
Pythagoraan lauseella x 2 + 212 = 352 , josta x2 = 784 ja x = 28.
Tällöin BC = x = 28.
Vastaus: BC = 28
478. a) Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s.
Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s2.
Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on 2 neliön ala eli 2s2.
Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän
1
alan s 2 − πs 2 .
4
FG
H
FG
H
IJ
K
IJ
K
1 2
5
5
πs = 5s 2 − πs 2 = s 2 5 − π ≈ 11
, s2
4
4
4
Kirjaimen kokonaisala 8s2 + 2s2 + 1,1s2 = 11,1s2
Kaarevien yhteisala on 5 ⋅ s 2 −
b) Ala on A = Aisopy − A pienipy + A pienipy = Aisopy =
1
⋅ π ⋅ (6,0 cm) 2 ≈ 57 cm 2 .
2
6,0 cm
Vastaus: a) Ala on 11,1. b) Ala on 57 cm2.
180
479. Säde R
Suorakulmaisesta kolmiosta
1
R
sin 67,5° = 2
11,5
R = 2 ⋅11,5 ⋅ sin 67,5°
R ≈ 21, 2
11,5
67,5°
cm
1– R
2
Vastaus: Suurimman ympyrän säde on 21,2 cm.
480. Oven ala Aovi = 2,10 m ⋅ 3,10 m +
1
⋅ π ⋅ (1,05 m) 2 = 8,241... m 2 .
2
1
Lasin ala Alasi = 6 ⋅ (0,40 m) 2 + ⋅ π ⋅ (1,05 m) 2 = 2,691... m 2 .
2
A
2,691... m 2
Alojen suhde lasi =
≈ 0,33 = 33% .
Aovi 8,241... m 2
Vastaus: Ovesta on 33 % lasia.
6,0
Suuren ympyrän säde on R = 5 ⋅ r = 5 ⋅
A=πR
F
= π G5⋅
H
6,0
π
I
cmJ
K
2
= π ⋅ 25 ⋅
π
6,0
π
6,0
π
cm 2 = 150 cm 2 .
482. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä.
Segmentin ala on Asegmentti = Asektori − Akolmio .
1
r
1
2
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cos α =
= ,
2
r
josta α = 60° ja sektorin keskuskulma 2α = 120° .
x2 =
FG 1 rIJ
H2 K
.
. Ison ympyrän ala on
Vastaus: Ison ympyrän ala on 150 cm2.
Pythagoraan lauseella x 2 +
3,10 m
40 cm
40 cm
2,10 m
481. Pienen ympyrän ala on π r 2 = 6,0 , josta r =
2
1,05 m
2
= r 2 , josta
3
3 2
r ja x =
r . Tällöin segmentin ala on
2
4
181
Asegmentti
120° 2
=
πr −
360°
A = 2 Asegmentti =
2⋅
I
JK
F
GH
3 1
r⋅ r
2
2 = π − 3 r 2 ja kysytyn alueen ala on
2
3 4
F 2π − 3 I r
GH 3 2 JK
2
Vastaus: Leikkausalueen ala on
≈ 1,23r 2 .
F 2π − 3 I r
GH 3 2 JK
2
≈ 1,23r 2 .
1⋅ 1 1
= . Pythagoraan lauseella 12 + 12 = x 2 ,
2
2
josta kolmion hypotenuusan pituus on x = 2 . Kuun sirpin ala saadaan
vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala
483. Kolmion ala Ak =
A py =
1
π
2
F 2I
GH 2 JK
2
=
π
4
.
90°
1 π 1
π ⋅ 12 − = − .
360°
2 4 2
π
π 1
1
= −
−
= .
4
4 2
2
Segmentin ala on Asegmentti = Asektori − Akolmio =
Kuun sirpin ala on Asirppi = A py − Asegmentti
Vastaus: Kuun sirpin ala on
FG
H
IJ
K
1
1
ja kolmion ala on .
2
2
484.
Jana AD = BC =2 ⋅ 6 =12
Jana OQ = QR = RP = 3, joten AB = DC = 6 + 3 ⋅ 3 + 6 = 21.
Piiri 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 21 = 66.
D
C
O
A
485.
Neliö ympyrässä
Neliön sivu a
Neliön ala a2
182
R
P
B
Vastaus: 66
Ympyrän halkaisija 2r on yhtä suuri kuin neliön lävistäjä a 2 eli r =
Q
a 2
.
2
Alojen suhde
Aneliö
=
Aympyrä
a2
⎛a 2⎞
π ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 ⎠
2
=
2
π
≈ 0, 64
Ympyrä neliössä
Neliön sivu on ympyrän halkaisija 2r
Aympyrä
π r2 π
Alojen suhde
=
= ≈ 0, 79 > 0, 64
(2r ) 2 4
Aneliö
Vastaus: Ympyrä neliössä täyttää suuremman osan.
486. Koska ympyrä kulkee pikkuneliöiden keskipisteiden kautta, sen säde on pikkuneliön
1
2
lävistäjän puolikas
.
2
1
2
⎛ 2⎞
π
Ympyrän ala A = π ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ =
2
2
⎝
⎠
1
Vastaus: Ala on
π
2
.
487. Sivu AB = 8 + 6 +8 = 22
1
Kolmion ala Akolmio = ⋅ 22 ⋅16 2 = 176
2
Koska kolmion kulmien summa on 180° ja sektorit ovat
saman säteisiä, sektoreista muodostuu puoliympyrä.
1
Kysytty ala Akolmio − Asektorit = 176 − π ⋅ 82 = 176 − 32π
2
Vastaus: Ala on 176 − 32π .
B
8
6
F
G
8
A
45°
PALLO
488. Puolipallon säde r =
d
= 7,0 m . Puolipallon pinta-ala on
2
1
1
⋅ 4π r 2 = ⋅ 4π ⋅ (7,0 m) 2 = 98π m 2 ≈ 308 m 2 . Koska grammasta kultaa voidaan
2
2
takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 308 g.
A=
Vastaus: Kultaa tarvitaan 308 g.
183
C
489. Veden määrä V = Ah =
b
g
2
2
2
⋅ 4π r 2 ⋅ h = ⋅ 4π 6 370 km ⋅ 0,00018 km ≈ 61 000 km3 .
3
3
Vastaus: 61 000 km3
490.
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 2 + 6 3702 = 6 370,12 ,
josta x 2 = 1 274,01 ja x ≈ 35,7 .
Vastaus: Saaren etäisyys on 35,7 km.
491.
Pythagoraan lauseella x 2 = 5 000 2 + 6 370 2 , josta x = 8 097,956...
Etäisyys maan pinnasta on h = x − R = 8 097,956... km − 6 370 km ≈ 1 700 km.
Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 1 700 km.
492. Hillan massa m =
1 096 €
€
168 000
kg
≈ 0, 00652 kg = 6, 52 g . Koska 1 dm3 hilloja
painaa 1 kg = 1000 g, niin hillan tilavuus on 0,00652 dm3 = 6,52 cm3 .
Hillan säde on
6,52 ⋅ 3
4 3
6,52 ⋅ 3
π r = 6,52 , josta r 3 =
ja r = 3
≈ 1,2 .
4π
3
4π
Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm3 ja säde 1,2 cm.
493. Pallon säde R
Kuopan reunaympyrän säde 0,8R
Kuopan syvyys 2,0
Pythagoraan lauseella
R 2 = (0,8 R) 2 + ( R − 2, 0) 2
R
R − 2,0
−0, 64 R + 4 R − 4 = 0
2
R=
R1 =
−4 ± 42 − 4 ⋅ (−0, 64) ⋅ (−4)
2 ⋅ (−0, 64)
−4 − 5, 76
=5
−1, 28
−4 + 5, 76
= 1, 25 < 3 ei käy
−1, 28
Pallon pinta-ala A = 4π ⋅ 52 ≈ 310
R2 =
Vastaus: Ala on 310 cm2.
184
0,8R
2,0
494. Pallon halkaisija d
Tasasivuisen kolmion sivu on 4d
Tasasivuisen kolmion korkeus
4d 3
⋅2
33 − d =
2
66 − 2d = 4d 3
66
d=
≈ 7, 4
4 3+2
A
4d
4d
33 − d
H
Vastaus: Pallon halkaisija on
66
cm ≈ 7, 4 cm .
4 3+2
4d
LIERIÖ
495. Yksikkömuunnos 200 l = 0,200 m3
r = pohjaympyrän säde
π ⋅ r 2 ⋅ 1,20 = 0,200
0,200
= 0,230...
π ⋅ 1,20
Pohjaympyrän halkaisija on 2r ≈ 0,46 (m).
r=±
Vastaus: 0,46 m
496. Yksikkömuunnos 25 cm = 2,5 dm
A = 2 ⋅ AP + AV = 2 ⋅ π ⋅ 1,0 2 + 2 ⋅ π ⋅ 1,0 ⋅ 2,5 = 21,99 ≈ 22 (dm2)
V = AP h = π ⋅ 1,02 ⋅ 2,5 = 7,85 ≈ 7,9 (dm3)
Vastaus: 7,9 dm3, 2 200 cm2
497. Yksikkömuunnokset 0,001 mm = 0,000001 m ja 2 km2 = 2 000 000 m2
V = A ⋅ h = 2 000 000 m 2 ⋅ 0, 000001 m = 2, 0 m3 = 2 000 l
Vastaus: 2 000 l
498. a) kehän pituus p = 2 ⋅ π ⋅ 6,0 ≈ 37,699 ≈ 37,7
b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan
levyn ulko- ja sisäreunan ala,
jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn paksuus 1 mm = 0,1 cm
A = 2 ⋅ (π ⋅ 6,02 − π ⋅ 0,752 ) + 2 ⋅ π ⋅ 6,0 ⋅ 0,1 + 2 ⋅ π ⋅ 0,75 ⋅ 0,1 ≈ 230
185
c) tilavuus V = π ⋅ 6, 02 ⋅ 0,10 − π ⋅ 0, 752 ⋅ 0,10 = 11,133...
15,0 g
≈ 1,3 g / cm 3
tiheys ρ =
11,133...cm 3
Vastaus: a) 37,7 cm b) 230 cm2 c) 1,3 g/cm3
499. V =
V = π r 2h
h=
h=
m
ρ
=
3 948 ⋅106
= 5, 640 ⋅109 (dm3)
0, 700
: (π r 2 )
V
V = 5, 640 ⋅109 dm3 = 5, 640 ⋅106 m3 , r =
π ⋅ r2
20, 0 m
= 10, 0 m
2
5, 640 ⋅106 m3
≈ 18000 m = 18 km
π ⋅ (10, 0 m) 2
Vastaus: 18 km
500. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja
korkeutena 2,0 cm.
V = A p ⋅ h = π ⋅ 5,0 2 ⋅ 2,0 ≈ 160 (cm3)
Vastaus: 160 cm3
501. 2,4 kg:n nestemäärän tilavuus on 1 dm3
2, 0
2,0 kg:n nestemäärän tilavuus on
dm3 = 0,8333… dm3 = 833,3… cm3
2, 4
Lasketaan lieriön korkeus h
V = Ah
V = 833,3 cm3 , A = 90 cm 2
833,3... = 90h
h=
:90
833,3...
≈ 9,3
90
Vastaus: 9,3 cm
502. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja
ikkunoiden alalla.
A = 2 ⋅ 4,5 ⋅ 2,8 + 2 ⋅ 3,8 ⋅ 2,8 − 5,0 = 41,48
Maalataan kahteen kertaan
2A = 82,96
82,96
≈ 10 litraa
Maalia
8,0
186
Maalikerroksen paksuus
maalin tilavuus
10 000 cm3
=
≈ 0, 024 cm = 0,24 mm
maalattu pinta-ala 414 800 cm 2
Vastaus: 10 l ja 0,24 mm
503. Kuution särmä a
4
Maapallon tilavuus ⋅ π ⋅ (6380 km)3
3
4
3
3
a = ⋅ π ⋅ 6380
3
4
a = 3 ⋅ π ⋅ 63803 ≈ 10300 km
3
Vastaus: 10 300 km
504. Kuution tilavuus s3
1
a) suklaapallon säde s
2
4
1
⋅ π ⋅ ( s )3
Vsuklaa 3
π
2
=
= ≈ 52, 4 %
suklaan osuus
3
Vkuutio
s
6
b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on 2 palloa rinnakkain jolloin niiden säde on
1
s.
4
4
1
8 ⋅ ⋅ π ⋅ ( s )3
Vsuklaa
π
3
4
=
= ≈ 52, 4 %
suklaan osuus
6
Vkuutio
s3
c) Palloja on rasiassa 27 kpl ja jokaisella sivulla on 3 palloa rinnakkain jolloin niiden säde
1
on s .
6
4
1
27 ⋅ ⋅ π ⋅ ( s )3
Vsuklaa
π
3
6
=
= ≈ 52, 4 %
6
Vkuutio
s3
Vastaus: a)
π
6
≈ 52, 4 % b)
π
6
≈ 52, 4 % c)
π
6
187
≈ 52, 4 %
505. Lieriön tilavuus V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 5, 02 ⋅ 32 = 800π
Lasketaan lieriöiden pohjien säteet.
V = π r 2h
:(π h)
V
πh
= r2
V
π ⋅h
r=
r2 =
800π
= 50
π ⋅16
r3 =
800π
= 100 = 10
π ⋅8
r4 =
800π
= 200
π ⋅4
r5 =
800π
= 400 = 20
π ⋅2
Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet
r2
50 5 2
=
=
= 2
r1
5
5
r3
=
r2
50
10
50
=
10 50 50 2
=
= 2
50
50
r4
200 10 2
=
=
= 2
r3
10
10
r5
=
r4
200 )
20
200
=
20 200 200 2
=
= 2
200
200
Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio
2.
506. Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on 1:2, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä
suuret.
V = Ah = π ⋅ h 2 ⋅ h = π ⋅ h 3
π ⋅ h 3 = 6,28
h=3
6,28
π
A pohja = π ⋅ h
2
F
= π ⋅G
H
3
6,28
π
I
JK
2
= 4,985...
188
Avaippa
F
= 2 ⋅π ⋅ h ⋅ h = 2 ⋅π ⋅ G
H
3
6,28
π
I
JK
2
= 9,970...
Akok = 4,985...+9,970... ≈ 15,0 (m2)
Vastaus: 15,0 m3
507. x = särmiön pituus
A = 2 ⋅ 0,8 x ⋅ x + 2 ⋅ 0,8 x ⋅ 0,9 x + 2 ⋅ 0,9 x ⋅ x = 4,84 x 2
4,84 x 2 = 484
x 2 = 100
x = 10
V = 0,8 x ⋅ x ⋅ 0,9 x = 8,0 ⋅ 10 ⋅ 9 = 720 (cm3)
Vastaus: 720 cm3
508.
m =V ⋅ρ
4
⋅ π ⋅ 0,53 ⋅ 2,2 ⋅ 103 kg = 1 151,9... kg
3
= 0,65 ⋅ 115
, ⋅ 115
, ⋅ 2,2 ⋅ 103 = 1 891,1... kg
m pallo =
m jalusta
Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa
0,33
2
msegm = π ⋅ 1,00 − 0,67 ⋅ 0,5 −
⋅ 2,2 ⋅ 103 =293,5... kg
3
mkok = 18911
, ...+1151,9...−293,5... ≈ 2 700 kg
b
g FGH
IJ
K
Vastaus: 2 700 kg
509.
a) 2πrulko = 2π ⋅ 6,25 = 39,26... ≈ 39
b) 2πrsisä = 2π ⋅ 2,15 = 13,50... ≈ 14
Kerroksen paperimäärän keskiarvo =
39,26...+13,50...
= 26,38...
2
62,5 − 21,5
= 273,3...
0,15
Paperia yhteensä 273,3... ⋅ 26,38 cm ≈ 7 200 cm = 72 m
Kerroksia yhteensä
Vastaus: a) 39 cm b) 14 cm c) 72 m
189
510. Hämähäkin lyhin reitti on joko katon tai lattian kautta suoraviivaisesti, kumpaakin
kautta tulee matkaksi
1 m + 30 m + 11 m = 42 m
Tehtävästä saa haastavamman, jos kärpänen on esimerkiksi vastakkaisen seinän nurkassa,
jolloin särmiö joudutaan levittämään tasoon ja käyttämään Pythagoraan lausetta.
Vastaus: 42 m
511.
4,5
9
α = 60°
Ympyräsektorin keskuskulma β = 360° − 2α = 240°
Ympyräsektorin ala
240°
1
81 3
A=
π ⋅ 92 + ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ sin120° = 54π +
360°
2
4
Veden tilavuus
⎛
81 3 ⎞
3
3
V = ⎜⎜ 54π +
⎟⎟ ⋅110 cm ≈ 22 500 cm = 22,5l
4
⎝
⎠
cos α =
4,5
13,5
α
9
β
Vastaus: 22,5 l
512. astian tilavuus 9 ⋅11 ⋅ 38, 5 = 3811,5
veden korkeus h
veden tilavuus 9 ⋅11 ⋅ h = 99h
jäätyneen veden tilavuus 1,1 ⋅ 99h = 108,9h
Saadaan yhtälö
108,9h = 3 811,5
h = 35
Vastaus: Vettä voi laittaa 35 cm verran.
513. pohjan säde r
korkeus r + 5
Tilavuus
π r 2 (r + 5) = 28π
:π
r 3 + 5r 2 − 28 = 0
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r = 2 eli polynomin yksi tekijä on r − 2. Muut
juuret saadaan tekijöihin jakamalla.
190
r 2 + 7 r + 14
r + 5r 2 − 28
r−2
3
∓ r 3 ± 2r 2
7r 2
∓7r 2 ± 14r
14r − 28
∓14r ± 28
0
Muut juuret
r 2 + 7 r + 14 = 0
r=
−7 ± 7 2 − 4 ⋅1 ⋅14 −7 ± −7
=
2 ⋅1
2
ei reaalijuuria
Vastaus: Pohjan säde on 2.
KARTIO
514. Kartion korkeus h
h 2 + 1252 = 1802
h = 1802 − 1252
h = 129,5...
1
1
V = π r 2 h = π ⋅ (125 cm) 2 ⋅129,5... cm ≈ 2120 000 cm 3 = 2,12 m 3
3
3
A = Apohja + Avaippa = π ⋅ (125 cm) 2 + π ⋅ 125 cm ⋅ 180 cm ≈ 120 000 cm 2 = 12, 0 m 2
Vastaus: 2,12 m3, 12,0 m2
515. Kartion sivujana s
s2 = 262 + 122
s = ± 820
s = 28,63...
Avaippa = π rs = π ⋅12 ⋅ 28, 63... ≈ 1100 (cm2)
tan α =
α ≈ 65°
26
12
Vastaus: 1 100 cm2, 65 °
191
516.
1
V = π r 2h
3
1
25, 0 = π r 2 ⋅15, 0
3
75, 0 = π r 2 ⋅15, 0
r2 =
r=
V = 25, 0 dm3 , h = 15, 0 dm
⋅3
: (15, 0π )
75, 0
15, 0π
75, 0
15, 0π
r = 1, 2615...
Pohjan halkaisija
2r ≈ 2,5 dm
Vastaus: 2,5 dm
517. a) Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita.
Tasasivuisen kolmion korkeusjana a
a2 + 52 =102
a = ± 75
a = 8,66...
10
10
1
A = 10 ⋅ 10 + 4 ⋅ ⋅ 10 ⋅ 8,66... ≈ 270
2
10
Pyramidin korkeus h
h2 + 52 = a2
h=±
e 75j
2
− 25
h = 50 = 7,07...
1
1
V = ⋅ A ⋅ h = ⋅ 100 ⋅ 7,07... ≈ 240
3
3
b) Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on 2,4 m.
72°
Avaippa =
π ⋅ 2,4 2 = 3,6191...
360°
2,4 m
Kartion pohjaympyrän kehän pituus
72°
72°
⋅ 2 ⋅ π ⋅ 2,4
2πr =
360°
r = 0,48
Apohja = π ⋅ r 2 = π ⋅ 0,48 2 = 0,7238...
Akok = 3,6191…+ 0,7238… ≈ 4,3 (m2)
Kartion korkeus h
h2 + 0,482 = 2,42
h = ± 5,5296 = 2,351...
192
V=
1
⋅ π ⋅ 0,482 ⋅ 2,351... ≈ 0,57 (m3)
3
Vastaus: a) Pinta-ala 270, tilavuus 240 b) Pinta-ala 4,3 m2, tilavuus 0,57 m3
518. Kartion pohjan säde 11,4 cm
Kartion sivujana s
Kartion korkeus h
Vaipan ala
π rs = 652,8
r = 11, 4
652,8
11, 4π
Pythagoraan lauseella
s=
s
h
2
⎛ 652,8 ⎞
2
h= ⎜
⎟ − 11, 4 ≈ 14, 22
11,
4
π
⎝
⎠
Tilavuus
1
1
V = π r 2 h = π ⋅11, 42 ⋅14, 22 ≈ 1 900
3
3
1
Massa m = V ρ = π ⋅11, 42 ⋅14, 22 ⋅ 5,8 ≈ 11 000
3
Vastaus: Tilavuus on 1 900 cm3 ja massa 11 000 g.
519. Pyramidin korkeus h
h2 + 40,02 = 120,02
h = ± 12800
h = 113,13...
1
V = ⋅ 80,02 ⋅ 113,13... ≈ 241000 (cm3) = 241 (dm3)
3
1
A = Apohja + Avaippa = 802 + 4 ⋅ ⋅ 80,0 ⋅ 120,0 = 25600 (cm2)
2
Vastaus: 241 dm3, 25 600 cm2
520. Sivutahkokolmion korkeus a
a2 + 11,52 =232
a = ± 396,75
a = 19,91...
Pyramidin korkeus h
h2 + 11,52 = a2
h = ± 396,75 − 11,52
h = 264,5 = 16,263...
193
11,4
1
⋅ 232 ⋅ 16,263... ≈ 2 900 (cm3)
3
1
A = 232 + 4 ⋅ ⋅ 23 ⋅ 19,91... ≈ 1400 (cm2)
2
V=
Vastaus: 2 900 cm3, 1 400 cm2
521. Hiekkaa tunnissa 60 ⋅ 1,0 cm3 = 60 cm3
Kartion korkeus h
1
⋅ π ⋅ h 2 ⋅ h = 60,0
3
180
h=3
≈ 3,9 (cm)
π
Vastaus: 60 cm3 ja 3,9 cm
522. Yhdenmuotoisista kolmioista
h1 h1 + 26,7
=
1,6
2,6
2,6 h1 = 1,6h1 + 42,72
h1 = 42,72
Alaosan katkaistun kartion tilavuus
1
1
V1 = ⋅ 2, 62 ⋅ (42, 72 + 26, 7) − ⋅1, 62 ⋅ 42, 72 = 119,972
3
3
Yläosan kartion tilavuus
1
V2 = ⋅ 1,62 ⋅ 2,9 = 3,489...
3
Vkok = 119,972 + 3,489... = 123,461...
m = V ⋅ ρ = 123,461...⋅2,7 ⋅ 103 kg ≈ 330000 kg = 330 t
Vastaus: 330 t
523. Kuution särmä 8,0 m
Sisällä olevan kuution särmä 3,4 m
Seinän paksuus 0,2 m
Katkaistut pyramidit
Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun
pyramidin korkeus
1
1
1
1
⋅ ison kuution särmä – ⋅ pienen kuution särmä = ⋅ 8,0 m − ⋅ 3,4 m = 2,3 m.
2
2
2
2
194
Kokonaisen pyramidin korkeus:
h
h − 2,3
=
8, 0
3, 4
3,4 h = 8,0 h – 18,4
h=4
1
1
Vkatkpyr = ⋅ 8, 02 ⋅ 4 − ⋅ 3, 42 ⋅ ( 4, 0 − 2,3) = 78, 78... (m3)
3
3
Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita, joiden kannat ovat 8,0 m ja
3,4 m.
Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan
korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla:
Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 ⋅ 2 m (neliön lävistäjä on s 2 , jossa s on neliön sivu)
Pienen kuution pohjan lävistäjä 3,4 ⋅ 2 m
Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä, saadaan
kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on
8, 0 2 − 3, 4 2
= 3, 252...
2
Puolisuunnikkaan muotoisia ja 20 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl.
8, 0 + 3, 4
Vkok = Valin pyramidi + 8 ⋅
⋅ 3, 252... ⋅ 0, 20 ≈ 110 (m3)
2
m = V ⋅ ρ = 110 ⋅ 2,0 ⋅ 103 kg ≈ 220000 kg = 220 t
Vastaus: 220 t
524. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista.
Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5 ⋅ 2 , 10 ⋅ 2 ja 20 ⋅ 2
Pyramidien korkeudet:
h1
2
F5 2I
+G
H 2 JK
h1 = ± 25 −
2
= 52
25
2
h1 = 3,535...
h2
2
F 10 2 I
+G
H 2 JK
2
= 102
h2 = ± 100 − 50
h2 = 7,071...
195
h3
2
F 20 2 I
+G
H 2 JK
2
= 202
h3 = ± 400 − 200
h3 = 14,142...
1
1
1
Vkok = 10 ⋅ ⋅ 52 ⋅ 3,535...+2 ⋅ ⋅ 102 ⋅ 7,071...+2 ⋅ ⋅ 202 ⋅ 14,142... ≈ 4500 (cm3)
3
3
3
Vastaus: 4 500 cm3
525. Kartion pohjan ja pallon säde r
Pinta-alojen summa
π r 2 + π rs + 4π r 2 = 135π
:π,s = 7
1
2
1
5r 2 + 7 r − 135 = 0
2
1
1
−7 ± (7 ) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−135)
2
2
r=
2⋅5
1
−7 ± 2 756, 25
2
r=
10
1
1
−7 − 52
2
2 < 0 ei käy
r1 =
10
1
1
−7 + 52
2
2 = 41
r2 =
10
2
Kartion korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella
1
1
h = (7 ) 2 − (4 ) 2 = 6
2
2
2
Tilavuuksien suhde
Vastaus:
1 ⎛ 1⎞
π ⋅⎜ 4 ⎟ ⋅6
3 ⎝ 2⎠
Vkartio
1
=
=
3
Vpallo
3
4 ⎛ 1⎞
π ⋅⎜ 4 ⎟
3 ⎝ 2⎠
Vkartio 1
=
Vpallo 3
196
526. Pohjasärmä s
Pinta-ala
1
4 ⋅ ⋅10 ⋅ s + s 2 = 384
2
2
s + 20 s − 384 = 0
−20 ± 202 − 4 ⋅1 ⋅ (−384)
2 ⋅1
−20 − 1 936
s1 =
< 0 ei käy
2
−20 + 1 936
= 12
s1 =
2
Pyramidin korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta, jonka
12
=6.
hypotenuusa on apoteema 10,0 ja toisena kateettina pohjaneliön sivun puolikas
2
s=
h = 102 − 62 = 8
1
Tilavuus V = ⋅122 ⋅ 8 = 384
3
Pyramidin massa m = V ⋅ ρ = 384 ⋅ 5, 55 ≈ 2 130
Vastaus: Massa on 2 130 g
527. Kartion pohjan säde R
Pallon säde r
Pinta-ala
π R 2 + π Rs = 54π
:π ,s = 7
1
2
1
R 2 + 7 R − 54 = 0
2
1
1
−7 ± (7 ) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−54)
2
2
R=
2 ⋅1
1
−7 ± 272, 25
2
R=
2
1
1
−7 − 16
2
2 < 0 ei käy
R1 =
2
1
1
−7 + 16
2
2 = 41
R2 =
2
2
197
Kartion korkeus H saadaan Pythagoraan lauseella
1
1
H = (7 ) 2 − (4 ) 2 = 6
2
2
1
1
1
a) Tilavuus V = π ⋅ (4 ) 2 ⋅ 6 = 40 π ≈ 127
3
2
2
b) Kartionsivujana BC = 7
1
2
DC = H − r = 6 − r
Yhdenmuotoisista kolmioista ABC ja EDC (kk) saadaan verranto
AB BC
=
DE DC
1
1
4
7
2= 2
6−r
r
1
1
27 − 4 r = 7 r
2
2
12r = 27
9
r=
4
3
4 ⎛9⎞
243
π ≈ 47, 7
Pallon tilavuus Vpallo = π ⎜ ⎟ =
3 ⎝4⎠
16
c) Pallon säde r
Tilavuus
4
1
π ⋅ r 3 = 40 π
3
2
243
r3 =
8
3
243
r=
2
2
⎛ 3 243 ⎞
Pallon pinta-ala A = 4π ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = 3 59 049 π ≈ 122
2
⎝
⎠
243
1
Vastaus: a) 40 π = 127 cm3 b)
π cm3 ≈ 47, 7 cm3 c)
16
2
198
3
59 049 π cm 2 ≈ 122 cm 2
528. Kartio ja sen yläosa ovat yhdenmuotoisia.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.
Saadaan verranto
3
1
⎛ x⎞
⎜ ⎟ =
2
⎝ 12 ⎠
x 31
=
12
2
x
12
1
2
Täytettävä korkeus pohjasta lukien
1
12 − 12 3 ≈ 2, 48
2
x = 12 3
Vastaus: 12 − 12 3
12 − x
8
1
cm ≈ 2, 48 cm
2
529. Pohjan säde r
Sivujana s
Pohjaympyrän kehä 2π r = s + 1 , josta r =
s +1
2π
Vaipan ala
π rs = 12π
:π,r =
s −1
⋅ s = 12
2π
s 2 − s − 24π = 0
s −1
π
⋅ 2π
−(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−24π )
2 ⋅1
1 + 1 + 96π
s=
2
s=
Vastaus:
1 + 1 + 96π
2
530. Pohjan säde r
Korkeus r + 5
Tilavuus
1 2
π r (r + 5) = 2π
3
1 2
r (r + 5) = 2
3
r 3 + 5r 2 − 6 = 0
:π
⋅3
199
s>0
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r = 1 eli polynomin yksi tekijä on r − 1. Muut
juuret saadaan tekijöihin jakamalla.
r 2 + 6r + 6
3
r − 1 r + 5r 2 − 6
∓r3 ± r 2
6r 2
∓6r 2 ± 6r
6r − 6
∓6r ± 6
0
Muut juuret
r 2 + 6r + 6 = 0
−6 ± 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6
2 ⋅1
−6 − 12
r1 =
< 0 ei käy
2
−6 + 12
< 0 ei käy
r2 =
2
r=
Vastaus: Pohjan säde on 1.
Harjoituskoe 1
1. a) Kosinilauseella kolmiosta RST saadaan
r 2 = t 2 + s 2 − 2ts cos α
cos α =
T
r
h
t
t 2 + s2 − r 2
2ts
b) Kolmion pinta-ala
kanta ⋅ korkeus
A=
2
1
A = sh
2
c) sin(180 − α ) =
kanta = s, korkeus = h
T
h
t
h
h
d) sin α = sin(180 − α ) =
t
r
t
180° −
R
Vastaus: a)
S
s
R
t 2 + s2 − r 2
h
h
1
b) s h c)
d)
2ts
t
t
2
200
s
S
2. Säiliö ja siinä oleva vesi muodostavat yhdenmuotoiset kappaleet.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.
Mittakaava on vastin janojen suhde.
Veden tilavuus Vv
Säiliön tilavuus Vs
Lasketaan, kuinka mones osa säiliöstä on täyttynyt
vedellä, loput on jäänyt tyhjäksi.
1
h
Vv
1
3
=k
k= 2 =
Vs
h
2
h
h
3
Vv ⎛ 1 ⎞
1
=
=
Vs ⎜⎝ 2 ⎟⎠
8
Tilavuudesta jää loput tyhjäksi eli
1 7
1 − = = 87,5 %
8 8
Vastaus: Tyhjäksi jää 87,5 % tilavuudesta.
3. a) Mittakaava on 1: 2, joten piirroksen jokainen
sivusärmä on puolet alkuperäisestä.
Kavaljeeriperspektiivissä pysty- ja vaakasuorat viivat
piirretään oikeassa mitassa. Eteen ja taaksepäin olevat
viivat piirretään 45°:een kulmassa vaakatasoon nähden
ja puolet lyhyempinä.
12,0 cm
b) Kuutioon mahtuu nestettä
25 cm3 = 25 ml = 2,5 cl
12,0 cm
12,0 cm
Vastaus: b) 2,5 cl
4. Jos kolmion piirtää harppia ja viivoitinta käyttäen, huomaa heti, että syntyy kaksi
kolmiota. Laskemallakin sen toki saa.
C
Tässä kolmion pinta-ala kannatta laske
käyttäen kaavaa
1
A = sivu ⋅ sivu ⋅ sin(sivujen välinen kulma)
2
4,0 cm
1
A = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin 30°
D
2
4,0 cm
A
201
30°
6,0 cm
B
Sivu AC saadaan kosinilauseella
Merkitään
AB = c, BC = a, AC = b
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
42 = b 2 + 6 2 − 2 ⋅ b ⋅ 6 ⋅
α = 30 , cos 30 =
3
, a = 4, 0 cm, c = 6, 0 cm
2
3
2
b 2 − 6 3b + 20 = 0
b=
−(−6 3) ± (−6 3) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 20
2 ⋅1
6 3 ± 28
2
6 3+2 7
=3 3+ 7
b1 =
2
6 3 −2 7
=3 3− 7
b2 =
2
b=
Pinta-ala
1
1
A = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin 30
AB = 6, 0 cm, AC = (3 3 + 7 ) cm tai AC = (3 3 − 7 ) cm, sin30° =
2
2
1
1
A = ⋅ 6, 0 cm ⋅ (3 3 + 7 ) cm ⋅ ≈ 11,8 cm 2
2
2
tai
1
1
A = ⋅ 6, 0 cm ⋅ (3 3 − 7 ) cm ⋅ ≈ 3,8 cm 2
2
2
Vastaus: Pinta-ala on 11,8 cm 2 tai 3,8 cm 2 .
5. Alue A1 on ympyrän segmentti.
Segmentin pinta-ala
α
⋅ π r 2 − Akeskuskolmio
360°
Piste D on puoliympyrän kaaren AB keskipiste, joten α = 90°
Keskuskolmio AOD on suorakulmainen kolmio, jonka kateetteina ovat ympyrän säteet.
Ympyrän O säde r = 2
A1 =
A1 =
α
360°
⋅ π r 2 − Akeskuskolmio =
90°
1
π ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 2 = π − 2
360°
2
Alue A2 muodostuu sektorista BAC, josta vähennetään kolmio AOD ja sektori BOD.
Sektorin BOD keskuskulma on 90°, joten sen pinta-ala on neljäsosa koko ympyrän
(säde = 2) alasta.
202
Sektorin BAC säde R = 4. Keskuskulma BAC = β = 45°, sillä kulma β on tasakylkisen,
suorakulmaisen kolmion AOD kantakulma.
β
45
1
1
A2 =
⋅ π R 2 − A∆AOD − Asektori BOD =
π ⋅ 42 − ⋅ 2 ⋅ 2 − π ⋅ 22 = π − 2
2
4
360
360
Vastaus: Tummennettujen alueiden pinta-alat ovat A1 = A2 = π − 2 .
6. Suurin etäisyys h (km)
Maapallon ympärysmitta 40 000 km
Maapallon keskipisteen ja tunnelin yläosan etäisyys x (km)
Maapallon säde r (km)
Kysytty etäisyys saadaan tiedosta h = r − x
Maapallon säde r
Ympyrän piiri 2π r on maapallon
ympärysmitta 40 000 km
2π r = 40 000
40 000
r=
2π
Jana x lasketaan suorakulmaisesta
kolmiosta OAS.
x
α
= cos
2
r
α
x = r cos
2
Tarvitaan siis kulman
α
200 km
B
Reposaari
R
r
b=
200 =
α
360
α
⋅ 2π r
α
⋅ 40 000
360
200
α=
⋅ 360
40 000
α = 1,8
α
2
s
O
⋅ 2π pituus
360
Kaaren b pituus on Reposaaren ja Söderhamin välimatka 200 km.
Ympyrän kaaren RS = b =
Söderham
S
x
suuruus.
2
h
A
= 0,9
203
Etäisyys h
h=r−x
h = r (1 − cos
x = r cos
α
2
)
α
2
40 000 α
r=
, = 0,9
2π
2
40 000
(1 − cos 0,9 ) ≈ 0, 790
2π
Suurin etäisyys on 0,790 km = 790 m
h=
Vastaus: Yläreunan suurin etäisyys on 790 m.
7. Kuution särmä a
Kartion korkeus 2a
Kartion pohjaympyrän säde r
Jana DE on kuution pohjatahkon
lävistäjä
C
D
F
E
2a
a
DE 2 = a 2 + a 2
DE 2 = 2a 2
A
, DE > 0
B
r
DE = a 2
Tilavuuksien suhde
Vkuutio
a3
a3
=
=
1 2
1 2
Vkartio
πr ⋅h
π r 2a
3
3
Suhteen laskemiseksi pitää säde r sanoa särmän a avulla.
Kolmiot ABC ja FEC ovat yhden muotoiset
∆ABC ∼ ∆FEC
⎧⎪ C on yhteinen
kk ⎨
⎪⎩ F = A = 90
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinjanojen suhde on sama.
AB CA
1
a 2
=
, CA = 2a, CF = 2a − a = a
AB = r , FE = DE =
2
2
FE CF
2a
r
=
a
a 2
2
r=a 2
204
D
E
a
a
Tilavuuksien suhde
Vkuutio
3
75
a3
a3
% ≈ 23,9 %
=
=
=
⋅100 % =
1 2
1
π
Vkartio
πr ⋅h
π (a 2) 2 2a 4π
3
3
Vastaus: Kuution tilavuus on
75
π
% ≈ 23,9 % kartion tilavuudesta.
8. Kysytty etäisyys EC = x (m) saadaan suorakulmaisesta kolmiosta EFC.
Kateetti EF = DB = y (m)
Kateetti FC = BC − BF = z (m)
C
Pythagoraan lause x 2 = y 2 + z 2
x
z
Kolmiosta ABD kosinilauseella
y 2 = 2, 42 + 5,32 − 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 5,3 ⋅ cos 45 = 33,85 −
25, 44
E
2
F
y
3,2 m
Kolmiosta ABC
y
D
BC
tan 60 =
5,3
2,4 m
48° 60°
BC = 5,3 ⋅ tan 60
5,3 m
A
BC = 5,3 ⋅ 3
Kateetti FC
z = BC − BF
BF = DE = 3, 2 m
z = 5,3 3 − 3, 2
Sipin ja Tipin etäisyys
x2 = y 2 + z 2
x 2 = 33,85 −
x 2 = 33,85 −
y 2 = 33,85 −
25, 44
2
25, 44
2
(
+ 5,3 3 − 3, 2
)
2
+ 84, 27 − 33,92 3 + 10, 24
x 2 = 51, 62004...
, x>0
x ≈ 7, 2
Vastaus: Lintujen etäisyys on 7,2 m.
205
25, 44
2
, z = 5,3 3 − 3, 2
B
Harjoituskoe 2
1. Pinta-ala A = 253 ha = 2 530 000 m2 ja tien pituus a = 25,8 km = 25 800 m, joten
moottoritien alle jäävä alue on suorakulmion muotoinen.
A = 2 530 000
ah = 2 530 000
25 800h = 2 530 000
: 25 800
h ≈ 98
Vastaus: Moottoritien leveys on 98 m.
2. Kolmion piiri 35 cm
Kulman puolittajan vastainen sivu 3 cm + 4 cm = 7 cm
Sivun y pituus y = 35 – 7 – x = 28 – x
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun
viereisten sivujen suhteessa.
Sivu x (cm)
3
x
=
28 − x 4
4 x = 84 − 3 x
x = 12
Kolmion kolmas sivu y = 28 cm – 12 cm = 16 cm
Vastaus: Kolmion sivut ovat 7 cm, 12 cm ja 16 cm.
3. Lasketaan ensin ulos tulevan jäälieriön tilavuus.
Kasvanut tilavuus 1,08 ⋅ 1,5 l = 1,62 l
Ulos tulevan osan tilavuus 1,62 l − 1,6 l = 0,02 l = 20 cm3
Lieriön korkeus h
2
2
⎛d ⎞
⎛ 2, 0 cm ⎞
2
Lieriön pohjan ala A = π ⎜ ⎟ = π ⎜
⎟ = π cm
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠
Tulpan korkeus h (cm)
A = π cm 2 ,V = 20 cm3
V = Ah
20 = π h
h=
20
π
:π
≈ 6, 4
Vastaus: Tulppa työntyy 6,4 cm.
4. Lieriön korkeus 45 cm. Pohjan säde
2π r = 60 : 2π
r=
30
π
206
3 cm
4 cm
x
y
2
40 500 3
⎛ 30
⎞
Lieriön tilavuus V1 = π r 2 h = π ⎜
cm ⎟ ⋅ 45 cm =
cm ≈ 12 891 cm3
π
⎝π
⎠
Toisen lieriön korkeus 60 cm. Pohjan säde
2π r = 45 : 2π
r=
45
2π
2
30 375 3
⎛ 45
⎞
Lieriön tilavuus V2 = π r 2 h = π ⎜
cm ⎟ ⋅ 60 cm =
cm ≈ 9 669 cm3
π
π
2
⎝
⎠
40 500
V
4
= .
Tilavuuksien suhde 1 = π
V 2 30 375 3
π
Vastaus: Tilavuuksien suhde 4 : 3..
5. Suorakulmion piiri on 18.
18 − 2 x
= 9− x
Pystysuora sivu y =
2
Sivu x
x 2 + (9 − x ) 2 = (3 5) 2
y
x 2 + 81 − 18 x + x 2 = 45
x
2 x 2 − 18 x + 36 = 0
18 ± (−18) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 36
2⋅2
18 + 36
x1 =
=6
4
18 − 36
=3
x2 =
4
x=
Sivu y
y1 = 9 − 6 = 3
y2 = 9 − 3 = 6
Suorakulmion ala A = 6 ⋅ 3 = 18
Vastaus: Suorakulmion ala on 18.
6. Kulman A puolikas α = 55° : 2 = 27,5°
Sivu x (cm)
Kosinilauseella
x 2 = 2, 7 2 + 6, 002 − 2 ⋅ 2, 7 ⋅ 6, 00 ⋅ cos 27,5°
x = 3,8145...
D
C
x
A
207
y
δ
5° 2,7 cm
27,
α = 27,5°
β
6,0 cm
B
Sinilauseella
3,8145...
2, 7
=
kyseessä on terävä kulma
sin 27,5° sin β
2,7sin27,5°
sinβ =
3,8145...
β = 19, 076...°
Kolmion ABD kolmas kulma δ = 180° − 19, 076...° − 55° = 105,923...°
Sivu y
2, 7
y
=
sin 27,5° sin105,923...°
2, 7 sin 27,5°
y=
sin105,923...°
y = 1, 296...
Kolmion ala A =
1
⋅ 6, 00 ⋅ (3,81455... + 1, 296...) sin19, 0766...° ≈ 5, 01
2
Vastaus: 5,01 cm2
7. Onton osan tilavuus on puolet koko pallon tilavuudesta, joten
1
Vx = V p
2
4 3 1 4 3
4
π x = ⋅ πr
: π
3
2 3
3
1
x3 = r 3
2
1
x= 3 r
2
Lisäksi seinämän paksuus on 2,0 cm, joten x = r – 2. Täten
1
r−2 = 3 r
2
3
1
2)
r− 3 r =2
2
3
2 −1
3
2
3
r=2
r=
:
C
2 −1
3
2
3
2 2
2 −1
r ≈ 9, 7
2R
3
F
R−x
Vastaus: Pallon säde on 9,7 cm.
D
x
208
B
R
A
R
E
8.
Kolmiot ABC ja ABD ovat yhdenmuotoiset (kk).
x
R
=
R 3R
1
x= R
3
1
R− R
FD R − x
3 =1
Sivuamissuhde
=
=
1
DE R + x R + R 2
3
Vastaus: Taso jakaa halkaisijan suhteessa 1:2.
HARJOITUSKOE 3
1.
a) α =180° – (180° – 102° – 25°) = 127°
b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto
40
60
=
x 17 + x
40 ⋅17 + 40 x = 60 x
x = 34
α
67°
102°
25°
20
40
Vastaus: a) 127° b) 34
17
2.
Ala A1 muodostuu neliöstä, josta on leikattu 2
1
–säteinen neljännesympyrä.
2
1 25π
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞
A1 = ⎜ 2 ⎟ − π ⋅ ⎜ 2 ⎟ = 6 −
4 16
⎝ 2⎠ 4 ⎝ 2⎠
2
2
⎛ 1 25π
Avarj = 5,02 – 8A1 25 − 8 ⋅ ⎜ 6 −
⎝ 4 16
Vastaus:
⎞ 25π
− 25 ≈ 14
⎟=
2
⎠
25π
− 25 ≈ 14
2
3. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö
2
120 ⎛ 6 ⎞
=⎜
A ⎝ 6 ⋅12 ⎟⎠
A=
x
120 ⋅ 722
≈ 1, 7 (m2)
36
209
b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan
kuutio.
3
m ⎛ 6 ⎞
=⎜
⎟
85 ⎝ 6 ⋅12 ⎠
m=
85 ⋅ 63
≈ 0, 049 kg = 49 g
723
Vastaus: a) 1,7 m2 b) 49 g
4.
sin 8,3° =
x=
1, 0
x
1, 0
≈ 6,9 (m)
sin 8,3°
Vastaus: 6,9 m
5. Tilavuus
3 ( x + 2 )( x + 5 ) = 162
3x 2 + 21x − 132 = 0
−21 ± 212 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−132)
2⋅3
−21 − 2 025
x1 =
< 0 ei käy
6
−21 + 2 025
=4
x2 =
6
x=
Pinta-ala 2 ⋅ ( 3 ⋅ 6 + 6 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 ) = 198
Vastaus: x = 4 ja ala on 198.
6. Oletetaan, että silmät ovat 1,6 m korkeudella.
6370
cos α =
6370, 0016
α = 0, 04060...°
b=
0, 04060...°
⋅ 2π ⋅ 6370 ≈ 5 km
360°
Vastaus: noin 5 km
210
7. Sivutahkokolmion korkeus a
a2 + 102 = 252
a2 = 525
Pyramidin korkeus h
h2 + 102 = a2
h = ± 425
h = 20,615...
1
V = ⋅ 202 ⋅ 20, 615... ≈ 2 700 (m3)
3
20, 615...
tan α =
10
α ≈ 64°
Vastaus: 2 700 m3, 64°
8. Halkileikkauskuvioon muodostuu pienempi tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on
20. Yhdenmuotoisuussuhde on 1:2, joten alkuperäisen ympyräkartion pohjan säde on 20.
Kartion poikkileikkauskuvio on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 40.
40 3
Kartion korkeus
2
1
40 3 8 000π 3
Kartion tilavuus V = π ⋅ 202 ⋅
=
≈ 14500
10
3
2
3
Vastaus:
8 000π 3
cm3 ≈ 14500 cm3
3
20
211