1. No category

Lukion
Calculus
5
MAA9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot
Paavo Jäppinen
Alpo Kupiainen
Matti Räsänen
Otava
PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN
TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
1
Pikatesti (MAA9)
1.
Muunna a) radiaaneiksi –1777°, b) asteiksi 1777 radiaania.
Ratkaisu:
a) − 1 777° = −1 777 ⋅
2.
π
180
≈ −31,0 rad
180°
π
≈ 101814,6°
7π
ja sitä vastaavan kaaren pituus 5,5 cm.
4
Laske a) ympyrän säteen pituus, b) sektorin pinta-ala.
Ympyrän sektorin keskuskulma on
Ratkaisu:
5,5 cm
a) r =
≈ 1,0 cm
7π
4
3.
b) 1 777 = 1 777 ⋅
b) A =
Määritä funktion f suurin ja pienin arvo.
a) f ( x) = sin 5 x
b) f ( x ) = 2 sin 5 x
1
⋅ 5,5 cm ⋅ 1,0 cm ≈ 2,8 cm 2
2
c) f ( x ) = 1 + 2 sin 5 x
Ratkaisu:
Käytetään hyväksi tietoa, että sinifunktion suurin arvo on 1 ja pienin –1.
a) sin5x:n suurin arvo 1 ja pienin arvo –1. (Esim. 5 x = π / 2 ja 5 x = −π / 2 )
b) 2sin5x:n suurin arvo on 2 ja pienin arvo –2. (Vrt. a-kohta)
c) (1 + 2sin5x):n suurin arvo 3 ja pienin arvo –1. (Vrt. a-kohta)
4.
Ratkaise yhtälö. Ilmoita tulos asteina.
2
a) sin 3 x =
b) sin x = sin 35o
3
c) cos x − sin x = 0
Ratkaisu:
2
⇔ 3 x = 41,8° + n ⋅ 360° tai 3 x = 138,2° + n ⋅ 360°
3
⇔ x = 13,9° + n ⋅ 120° tai x = 46,1° + n ⋅ 120 °
b) sin x = sin 35° ⇔ x = 35° + n ⋅ 360° tai x = 145° + n ⋅ 360°
c) cos x − sin x = 0 ⇔ cos x = sin x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = 45° + n ⋅ 180°
a) sin 3 x =
5.
Derivoi.
x π
a) sin( − )
2 4
b)
cos x
x2
c) tan
x
4
Ratkaisu:
x π
1
x π
a) D sin( − ) = cos( − )
2 4
2
2 4
2
cos x x (− sin x) − 2 x cos x
x sin x + 2 cos x
b) D 2 =
=
−
x
x4
x3
c) D tan
x 1
x
= (1 + tan 2 )
4 4
4
© Lukion Calculus 5
2
6.
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Jatka lukujonoa kolmella luvulla. Etsi löytämääsi sääntöä noudattava yleisen jäsenen
an lauseke.
1 2 3
a) 5, 8, 11, …
b) , , , ...
c) 3, 12, 27, …
3 4 5
Ratkaisu:
a) 14, 17, 20, a n = 2 + 3n
7.
b)
n
4 5 6
, , , an =
n +1
6 7 8
c) 48, 75,108, a n = 3n 2
Määritä lukujonon (a n ) kymmenes jäsen, kun a1 = 1, a 2 = 3 ja a n +1 = a n + a n −1 ,
kun n ≥ 2.
Ratkaisu:
Jäsenet kolmannesta lähtien saadaan kahden edellisen summana. Jonon kymmenen
ensimmäistä jäsentä ovat: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123. Näin ollen a10 = 123.
8.
Tutki lukujonon suppenevuutta ja määritä raja-arvo, mikäli lukujono suppenee.
n +1
3n − 1
a) a n =
b) a n = 2
c) a n = 5 n − 5
n +1
n +1
Ratkaisu:
1
n = 3 . Lukujono suppenee, ja raja-arvo on 3.
1
1+
n
1
1+
n +1
n = 0 . Lukujono suppenee, ja raja-arvo on 0.
= lim
b) lim 2
n →∞ n + 1
n →∞
1
n+
n
c) Lukujono hajaantuu, sillä lim (5 n − 5) = ∞.
3n − 1
= lim
a) lim
n →∞ n + 1
n →∞
3−
n →∞
9.
Laske summa.
a) 7 + 14 + 21 + … + 539
b) 7 + 49 + 343 + … + 823 543
Ratkaisu:
a) Summa on aritmeettinen, a1 = 7 ja d = 7. Yhteenlaskettavien lukumäärä n = 77
7 + 539
lasketaan yhtälöstä 539 = 7 + (n − 1) ⋅ 7 . Tällöin S = 77 ⋅
= 21 021.
2
b) Summa on geometrinen, a1 = 7 ja q = 7. Yhteenlaskettavien lukumäärä n = 7
lasketaan yhtälöstä 823 543 = 7 ⋅ 7 n −1 . Tällöin S =
10.
7 ⋅ (1 − 7 7 )
= 960 799.
1− 7
Sadantuhannen euron laina maksetaan takaisin kymmenessä vuodessa suorittamalla
kunkin vuoden lopussa lyhennyksestä ja korosta muodostuva vakioerä. Minkä suuruinen tämä vakioerä on, kun vuotuinen korko on neljä prosenttia?
© Lukion Calculus 5
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
3
Ratkaisu:
Soveltamalla annuiteetin kaavaa a =
a=
α n (1 − α )
⋅ k saadaan
1−α n
1,0410 (1 − 1,04)
⋅ 100 000 ≈ 12 329,09 (euroa)
1 − 1,0410
Kertauskoe 1 (MAA9)
1.
Johda käyrälle y = sin x origoon asetetun tangentin yhtälö. Laske sitten x:n arvoa
0,25 vastaava y:n arvo sekä käyrältä että tangentilta ja ilmoita arvot kahdella desimaalilla.
Ratkaisu:
Origoon asetetun tangentin yhtälö on muotoa y = f ′(0) ⋅ x . Koska f ( x ) = sin x , on
f ′(0) = cos 0 = 1. Näin ollen tangentin yhtälö on y = x. Arvo käyrältä on
y = sin 0,25 ≈ 0,25 , ja arvo tangentilta y = x = 0,25.
2.
Ratkaise yhtälö. Ilmoita vastaus radiaaneina.
π
a) cos( + x) = −0,222
b) sin 2 x = sin 3x
4
c) sin 3 x =
3
2
Ratkaisu:
π
π
π
a) cos( + x) = −0,222 ⇔ + x = ±1,795 + n ⋅ 2π ⇔ x = ±1,795 − + n ⋅ 2π
4
4
4
⇔ x = 1,01 + n ⋅ 2π tai x = −2,58 + n ⋅ 2π
b) sin 2 x = sin 3 x ⇔ 2 x = 3 x + n ⋅ 2π tai 2 x = π − 3 x + n ⋅ 2π
2π
π
⇔ x = n ⋅ 2π tai x = + n
5
5
3
π
π
c) sin 3 x =
⇔ 3 x = + n ⋅ 2π tai 3 x = π − + n ⋅ 2π
2
3
3
2π
2π
2π
π
tai x =
⇔ x= +n
+n
9
3
9
3
3.
Laske lausekkeen sin x + sin y suurin arvo, kun x ja y ovat suorakulmaisen kolmion
terävät kulmat.
Ratkaisu:
Oletuksen mukaan 0 < x , y <
π
2
ja x + y =
π
2
, joten
π
sin x + sin y = sin x + sin( − x ) = sin x + cos x . Funktion
2
f ( x ) = sin x + cos x derivaatan f ′ ( x ) = cos x − sin x nollakohdat
saadaan yhtälöstä tan x = 1. Ainoa kysymykseen tuleva kulma on
f '(x)
+
π
4
.
Se on maksimikohta, ja funktio saa siinä suurimman arvonsa 2 .
© Lukion Calculus 5
4
4.
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Määritä ne kaksi lukua, joiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat tässä järjestyksessä aritmeettisen jonon peräkkäisiä jäseniä.
Ratkaisu:
Olkoot luvut a ja b. Tällöin jonon peräkkäiset jäsenet ovat a + b, a – b, ab ja
a
. Ehb
dosta, että kyseessä on aritmeettinen lukujono saadaan yhtälöpari
a(b − 1) = −3b
⎧a − b − (a + b) = ab − (a − b)
⎧
⎪
⎪
ja edelleen ⎨ 1
a
⎨
− ab = ab − (a − b)
⎪⎩
⎪⎩a( b − 2b + 1) = b.
b
9
3
Ratkaisuna saadaan a = − ja b = − .
8
5
5.
Metsäpalstalla on kaikkiaan 7 000 eri-ikäistä puuta, taimet mukaan lukien. Joka
vuosi metsää harvennetaan 12 % puista ja samalla istutetaan 600 puuntainta. Kuinka
monta puuta metsässä on kahdeksan vuoden kuluttua viimeisen istutuksen jälkeen?
Ratkaisu:
Puumäärä kahdeksantena vuotena viimeisen istutuksen jälkeen on
600 ⋅ (1 − 0,888 )
0,888 ⋅ 7 000 + 600 ⋅ (0,88 7 + 0,88 6 + ... + 1) = 0,888 ⋅ 7 000 +
≈ 5700 .
1 − 0,88
Kahdeksan vuoden kuluttua metsässä on noin 5 700 puuta.
6.
n2
suurin jäsen. Ilmoita suurimman jäsenen tarkka
n 3 + 210
arvo sekä likiarvo viiden desimaalin tarkkuudella.
Määritä lukujonon a n =
Ratkaisu:
x2
, x ≥ 1 , joka on jatkuva välillä x ≥ 1 ja derivoiTutkitaan funktiota f ( x) = 3
x + 210
420 x − x 4
ainoa nollakohta
tuva välillä x > 1. Derivaatan f ′( x) = 3
( x + 210) 2
x = 3 420 ≈ 7,49 on funktion suurimman arvon kohta. Arvoilla 1 ≤ x ≤ 3 420 funk-
tio on aidosti kasvava ja arvoilla x ≥ 3 420 aidosti vähenevä. Siksi jompikumpi lu7
vuista f (7) tai f (8) on lukujonon suurin jäsen. Koska f (7) = ≈ 0,08861 ja
9
32
32
f (8) =
≈ 0,08864 , lukujonon kahdeksas jäsen a8 =
≈ 0,08864 on suurin.
361
361
7.
Lausu lukua n käyttäen summa 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + ... + (3n – 2) + (3n – 1).
Ratkaisu:
Summa voidaan jakaa kahdeksi osasummaksi seuraavasti:
1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + ...+ (3n – 2) + (3n – 1 )
= (1 + 4 + 7 +...+(3n – 2)) + (2 + 5 + 8 +...+ (3n – 1))
© Lukion Calculus 5
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
5
Edellinen on aritmeettinen summa, jossa a1 = 1, d = 3 , termien lukumäärä n ja sum1 + (3n − 2) 3n 2 − n
=
.
2
2
Jälkimmäisessä summassa a1 = 2, d = 3 , termien lukumäärä n ja summan arvo
man arvo S = n ⋅
S = n⋅
2 + (3n − 1) 3n 2 + n
3n 2 − n 3n 2 + n
=
. Yhteensä osasummat ovat
+
= 3n 2 .
2
2
2
2
y
8.
y = 3sinx
Millä muuttujan x arvolla oheiseen kuvaan piirretyn suorakulmion piiri on pisin mahdollinen? Ilmoita vastaus kolmen
desimaalin tarkkuudella.
π x
x
Ratkaisu:
Käyrä y = 3 sin x kulkee origon kautta ja sen ensimmäinen positiivinen nollakohta
on x = π . Suorakulmion kannan pituus on kuvan merkintöjen mukaisesti π − 2x.
π
Piirin pituuden ilmaisee funktio p ( x) = 2(π − 2 x ) + 6 sin x, 0 ≤ x ≤ . Derivaatan
2
2
p ′( x ) = −4 + 6 cos x ainoa nollakohta x ≈ 0,841 ratkeaa yhtälöstä cos x = . Siinä
3
kohdassa piiri saavuttaa pisimmän arvonsa p (0,841) ≈ 7,39 , sillä määrittelyvälin
π
päätepistearvot p (0) = 2π ja p ( ) = 6 ovat sitä pienempiä.
2
Kertauskoe 2 (MAA9)
1.
Kulma α on kolmannessa neljänneksessä ja sin α = −
cos α ja tan α tarkat arvot.
5
. Määritä funktioiden
13
Ratkaisu:
Koska kulma α on kolmannessa neljänneksessä, sen kosini on negatiivinen.
5
25
12
− 5 / 13
5
cos α = − 1 − (− ) 2 = − 1 −
= − , tan α =
=
13
13
169
− 12 / 13 12
2.
Ratkaise yhtälö.
π
a) sin 2 x = sin( − 2 x)
4
Ratkaisu:
a) sin 2 x = sin(
π
4
b) 2 cos( x +
− 2 x) ⇔ 2 x =
⇔ 4x =
π
4
π
4
π
3
c) tan 3x =
) = −1
− 2 x + n ⋅ 2π tai 2 x = π − (
+ n ⋅ 2π ⇔ x =
π
16
+n
π
π
4
1
3
− 2 x ) + n ⋅ 2π
2
© Lukion Calculus 5
6
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
b) 2 cos( x +
π
3
) = −1 ⇔ cos( x +
⇔x=−
c) tan 3x =
3.
1
3
⇔ 3x =
π
6
π
3
π
3
±
)=−
1
2π
π
⇔ x+ =±
+ n ⋅ 2π
2
3
3
2π
π
+ n ⋅ 2π ⇔ x = + n ⋅ 2π tai x = −π + n ⋅ 2π
3
3
+ nπ ⇔ x =
π
18
+n
π
3
Määritä funktion f suurin arvo. a) f ( x ) = 4 − cos 4 x
b) f ( x) = sin
x
x
+ cos
2
2
Ratkaisu:
a) cos 4 x :n suurin arvo on 1 ja pienin –1. (Esim. 4x = 0 ja 4 x = π ). Silloin funktion
f ( x ) = 4 − cos 4 x suurin arvo on 5 ja pienin 3.
Toisin: Tehtävä voidaan ratkaista myös tavalliseen tapaan ääriarvotehtävänä funktion
derivaattaa käyttäen.
π
x
x
b) Muunnoskaavan sin x + cos x = 2 sin( x + ) avulla funktion f ( x) = sin + cos
4
2
2
⎛x π ⎞
lauseke saadaan muotoon f ( x) = 2 sin ⎜ + ⎟ . Koska x saa kaikki reaalilukuarvot,
⎝2 4⎠
⎛x π⎞
sin ⎜ + ⎟ :n suurin arvo on 1, joten funktion suurin arvo on 2 .
⎝2 4⎠
x
x
⎛x
⎞
⎛x
⎞
Toisin: Jaksollisuuden takia f ( x) = sin + cos = sin ⎜ + n 2π ⎟ + cos⎜ + n 2π ⎟ =
2
2
⎝2
⎠
⎝2
⎠
1
2
1
2
sin ( x + n 4π ) + cos ( x + n4π ) . Nähdään, että funktion arvot toistuvat 4π :n välein,
joten rajataan tutkimus välille [0, 4π ]. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat:
x
x
1
x 1
x
x
π
+ cos ⇒ f ′( x) = cos − sin = 0 ⇔ tan = 1 ⇔ x = + n 2π
2
2
2
2 2
2
2
2
5π
π
π
ja
. Koska f (0) = 1 , f ( ) = 2 ,
Kysymykseen tulevat kohdat
2
2
2
5π
f ( ) = − 2 ja f ( 4π ) = 1 , funktion suurin arvo on 2.
2
f ( x) = sin
4.
Helsingin Nikolain kirkon portaat ovat lampuilla valaistavat: ylimmälle portaalle
asetetaan yksi lamppu, toiselle kaksi, kolmannelle kolme jne., niin että kullekin portaalle pannaan yksi lamppu enemmän kuin lähinnä olevalle ylimmälle portaalle. Tähän tarvitaan 1 081 lamppua. Montako porrasta on? (yo-teht. 1880)
Ratkaisu:
Portaille asetetut lamput muodostavat aritmeettisen jonon, jossa a1 = 1 ja d = 1.
Alimmalle portaalle tarvittavien lamppujen määrä n on sama kuin portaiden luku1 + (1 + ( n − 1) ⋅ 1)
, joka sievenee toisen
määrä, ja se ratkaistaan yhtälöstä 1 081 = n ⋅
2
asteen yhtälöksi n 2 + n − 2 162 = 0 . Positiivisena juurena n = 46 , joka merkitsee
portaitten lukumäärää.
© Lukion Calculus 5
Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
5.
7
Selvitä, mikä seuraavista maksutavoista on omakotitalon myyjälle edullisin.
Vaihtoehdossa A 60 000 euron kauppasummasta maksettaisiin kaupantekohetkellä
20 000 euroa, 20 000 euroa kahden vuoden kuluttua ja loput neljän vuoden kuluttua.
Vaihtoehdossa B 55 000 euron kauppasummasta maksettaisiin heti 40 000 euroa ja
loput kolmen vuoden kuluttua.
Vaihtoehdossa C maksettaisiin kaupantekohetkellä 52 000 euroa. Laskennassa
käytetään korkokantaa 4,7 %.
Ratkaisu:
Vaihtoehto A: 20 000 + 20 000 ⋅ 1,047 −2 + 20 000 ⋅ 1,047 −4 ≈ 54 888 (euroa)
Vaihtoehto B: 40 000 + 15 000 ⋅ 1,047 −3 ≈ 53 069 (euroa)
Vaihtoehto C: 52 000 (euroa)
Vaihtoehto A on edullisin.
6.
Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen jäsenen summa on 3 ja kuuden
mäisen jäsenen summa 12. Laske yhdeksän ensimmäisen jäsenen summa.
ensim-
Ratkaisu:
Olkoon jono a, aq, aq 2 ,... Tällöin on a + aq + aq 2 = 3 ja
12 = a + aq + aq 2 + ... + aq 5 = a + aq + aq 2 + q 3 ( a + aq + aq 2 ) = 3 + 3q 3 .
Siis q 3 + 1 = 4 eli q = 3 3. Edelleen
S = 12 + aq 6 + aq 7 + aq 8 + aq 9 = 12 + q 6 ( a + aq + aq 2 ) = 12 + 3(3 3 ) 6 = 39.
7.
Millä x:n arvoilla ln 2, ln(2 x − 1) ja ln( 2 x + 1) ovat aritmeettisen lukujonon kolme
ensimmäistä jäsentä? Ilmoita tarkka arvo ja likiarvo kolmen merkitsevän numeron
tarkkuudella.
Ratkaisu:
Ehto toteutuu, kun ln( 2 x + 1) − ln( 2 x − 1) = ln(2 x − 1) − ln 2. Sievennyksen tuloksena
saadaan toisen asteen yhtälö ( 2 x ) 2 − 4 ⋅ 2 x − 1 = 0 , jonka ratkaisuna 2 x = 2 ± 5 .
Koska miinusmerkki ei tule kysymykseen, on x =
8.
ln(2 + 5 )
≈ 2,08.
ln 2
Määritä ne xy-tason pisteet, joilla sin x sin y + cos x cos y = 1 .Piirrä kuvio. (yo-teht.
K90/8)
Ratkaisu:
Kosinin vähennyslaskukaavan perusteella yhtälö sin x sin y + cos x cos y = 1 voidaan
kirjoittaa muotoon cos( x − y ) = 1. Tämä toteutuu, kun x − y = n ⋅ 2π . Yhtälö esittää
parvea yhdensuuntaisia suoria y = x + n ⋅ 2π , n ∈ Z . Esimerkiksi, jos n = 0, suora on
y = x.
© Lukion Calculus 5