Luvun 1 laskuesimerkit
Esimerkki 1.1
Suurin maan pinnalla saavutettu vauhti on 763.0 mailia tunnissa
(Andy Green Thrust SSC suihkumoottoriautolla). Esitä tämä vauhti
metreinä sekunnissa.
1 mi = 1.609 km
1 km = 1000 m
1 h = 3600 s = 60 ×60 s 1000m
1h
mi 1.609 km
·
·
763.0 mi
=
763
.
0
h
h
1 mi
1 km
3600 s
m
763.0 · 1609
3600 s
= 341.0 m /s .
Tämä ylittää juuri ja juuri äänen nopeuden ilmassa!
Esimerkki 1.2
Merkitsevät numerot: kertolasku/jakolasku ei enempää
merkitseviä numeroita kuin epätarkimmassa lähtöluvussa
0.745·2.2
3.885
= 0.421879 = 0.42
1.32578 × 107 · 4.11 × 10−3 = 54489.558 = 5.45 × 104
yhteenlasku/vähennyslasku epätarkimman lähtöluvun tarkkuus
27.153 + 138.2 − 11.74 = 153.613 = 153.6.
Esimerkki 1.3
Maastohiihtäjä etenee ensin 1.00 km pohjoiseen ja sitten 2.00 km
itään. Kuinka kaukana ja missä suunnassa hän on lähtöpaikastaan?
Siirtymävektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa → Pythagoraan lause
a2 + b2 = c 2 , missä a, b ovat kateetit ja c hypotenuusa.
Etäisyys:
p
√
d = (1.00 km)2 + (2.00 km)2 = 5.00 km =
2.236068 km
d = 2.24 km (3 merkitsevää).
Suunta:
km
tan φ = ba = 21..00
00 km = 2.00
φ = arctan 2.00 = 63.4◦ . (3 merkitsevää)
Suunta on 63.4◦ pohjoisesta itään tai 26.6 idästä pohjoiseen päin
katsottuna lähtöpisteestä.
Esimerkki 1.5
~ −E
~ suuruus kun
Laske siirtymän 2D
^
^
~
D = (6.00i + 3.00j − 1.00^k) ja E~ = (4.00^i − 5.00^j + 8.00^k).
~ = 2D
~ −E
~.
Merkitään nyt F
F~ = 2 · (6.00^i + 3.00^j − 1.00^k) − (4.00^i − 5.00^j + 8.00^k)
[(12.00 − 4.00)^i + (6.00 + 5.00)^j + (−2.00 − 8.00)^
k]
= 8.00^i + 11.00^j − 10.00^
k
Kysytty siirtymä
p saadaan tämän vektorin pituutena: √
~
F = |F | = (8.00)2 + (11.00)2 + (−10.00)2 = 285. =
16.9.
Esimerkki 1.6
~ ja B
~ pituudet ovat A = 4.00 ja B = 5.00, A
~ osoittaa
Vektorien A
◦
~
53.0 x-akselista positiiviseen kiertosuuntaan, B puolestaan 130◦
niin ikään positiiviseen kiertosuuntaan.
~ ·B
~.
Laske A
Ratkaisu 1: vektorien välinen kulma φ = 130.0◦ − 53.0◦ = 77.0◦
~ ·B
~ = AB cos φ = (4.00)(5.00) cos 77.0◦ = 4.50
→A
Ratkaisu 2: Jaetaan vektorit xy-akselien suuntaisiin
komponentteihin:
Ax = (4.00) cos 53.0◦ = 2.407
Ay = (4.00) sin 53.0◦ = 3.195
Bx = (5.00) cos 130.0◦ = −3.214
By = (5.00) sin 130.0◦ = 3.830
~ ·B
~ = Ax B x + Ay B y + Az B z
→A
= (2.407)(−3.214) + (3.195)(3.830) + (0)(0) = 4.50
Esimerkki 1.7
~ = 3^i − 2^j + ^
~ = ^i + 4^j − 2^
Laske vektorien A
k ja B
k ristitulo.
~ × B
~ =
A
^
^i ^j
k
3 −2 1
1 4 −2
= ^i(−2 · (−2)) + ^j(1 · 1 − 3 · (−2)) + ^
k(3 · 4 − (−2) · 1)
= (4 − 4)^i + (1 − 6)^j + (12 + 2)^
k
^
^
~
~
~
C = A × B = 7j + 14k.
Tämä vektori ~
C on kohtisuorassa samasta pisteestä lähteväksi
~ ja B
~ virittämää tasoa vasten. Myös ~
kuviteltujen vektorien A
C:n
vastavektori −~
C = −7^i − 14^
k on kohtisuorassa tätä tasoa
vastaan, mutta ristitulo antaa oikean suunnan kolmiulotteisessa
tapauksessa.