Sinusformig stationär kretsanalys
Industrial Electrical Engineering and Automation
Hitintills…
osv...
• Polariteten och/eller beloppet på spänningen
ändras
• Ofta sinusformig variation
liten bokstav =
tidsberoende
Nu…
AC
(Alternating Current)
Några olika periodiska signaler
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
Vad är det då som växlar?
DC
(Direct Current)
Sinus
Sinus
50 Hz
i (t ) = iˆ sin ωt
ögonblicksvärde
toppvärde
i (t )
periodtid
iˆ
T [s]
vinkelfrekvens
ω [rad / s ]
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
I stationär växelström kan man räkna från
godtycklig tidpunkt
1
1
f = =
[Hz ]
T 2π
frekvens
Sinus (eller cosinus)
ϕ=
iˆ sin ϕ
ϕ
iˆ sin ϕ
kallas fas
Riktfas
π
Olika storheter med samma frekvens: välj en som riktfas
2
π⎞
⎛
sin ⎜ ωt + ⎟ = cos ωt
2⎠
⎝
i (t ) = iˆ cos ωt
Det går alltså lika
bra med cos
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
Alltså kan man sätta
i (t ) = iˆ sin (ωt + ϕ )
i1 (t ) = iˆ1 sin (ωt + 0 )
i2 (t ) = iˆ2 sin (ωt + ϕ )
Parallellkrets: samma spänning, lämpligt välja spänning
som riktfas
Seriekrets: samma ström, lämpligt välja ström
som riktfas
i=
i1 (t )
Likriktat medelvärde
1 T
i (t )
T ∫0
i1 = 0
i2 (t )
i2
T
T
i =
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
Medelvärde
1
T
∫ i(t )
T
0
i (t )
i (t )
i
T
T
Kan även kallas DC-nivå eller offset
Effektivvärde
i(t)
+
u(t)
_
u(t)
i(t)
R
t
p(t)
Momentan effekt
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t )
Medeleffekten oftast
intressantare…
t
Dubbel frekvens!
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
Effekt i resistiv växelströmskrets
+
Udc
_
Idc
R
+
uac(t)
_
iac
R
Det värde på iac som ger samma medeleffekt
som Idc i resistansen R
I effektiv =
1 T 2
i (t )
T ∫0
Betecknas med stor bokstav
Kallas även RMS (Root Mean Square)
Ueffektiv beräknas på samma sätt
Fortfarande enkelt att räkna!
Ueffektiv
230 V
Induktans i växelströmskrets
Effektivvärde
ideal induktans
Sinus
Ueffektiv
U effektiv =
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
i(t)
û
2
AC överlagrad på DC
U effektiv = U ac2 ,effektiv + U dc
Ueffektiv
Udc
2
i (t ) = iˆ sin ωt
+
u(t)
_
u (t ) = L
u (t ) = ωL ⋅ iˆ cos ωt
u (t ) = ωL ⋅ iˆ sin (ωt + 90°)
u(t) i(t)
Reaktans XL=ωL [Ω] motsvarar R för en resistans
ω → 0 ⇒ Kortslutning
Beteckningen URMS används också
i (t ) = iˆ sin ωt
uR(t)
uL(t)
u(t)
u (t ) = u R (t ) + u L (t ) = Ri(t ) + L
u (t ) = Riˆ sin ωt + ωLiˆ cos ωt
di
dt
efter en del räknande…
u (t ) = Z ⋅ iˆ sin (ωt + ϕ )
i(t)
Z = R 2 + (ωL ) = R 2 + X 2
2
ωL
X
ϕ = arctan
= arctan
R
R
φ
Impedans (Z) i RL-krets
induktans och resistans
Strömmen φº efter spänningen
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
+
u(t)
_
ω → ∞ ⇒ Avbrott
Strömmen 90º efter spänningen
Induktans i växelströmskrets
i(t)
di
dt
u (t ) = Z ⋅ iˆ sin (ωt + ϕ )
Z = R 2 + (ωL ) = R 2 + X 2
2
ωL
X
Samma som vinkel mellan U och I
R
R
Impedansen Z [Ω] är förhållandet mellan ström
och spänning. Z är frekvensberoende
ϕ = arctan
uˆ = Z ⋅ iˆ
= arctan
jämför
U = R⋅I
Kapacitans i växelströmskrets
Impedans (Z) i RL-krets
Z är alltid större än R, alltså är strömmen genom
induktansen alltid lägre med växelspänning än med
likspänning
Resistiv krets: Z =R
φ motsvarar fasförskjutning mellan ström och
spänning
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
i(t)
+
u(t)
_
i(t)
ideal kapacitans
i (t ) = iˆ sin ωt
du
i (t ) = C
dt
1
u (t ) = ∫ idt
C
1 ˆ
⋅ i cos ωt
u (t ) = −
u(t)
ωC
1 ˆ
⋅ i sin (ωt − 90°)
u (t ) =
ωC
Reaktans XC=1/ωC [Ω] motsvarar R för en resistans
ω → 0 ⇒ Avbrott
ω → ∞ ⇒ Kortslutning
Spänningen 90º efter strömmen
Kapacitans i växelströmskrets
uR(t)
uC(t)
1
u (t ) = u R (t ) + uC (t ) = Ri(t ) + ∫ idt
C
1 ˆ
u (t ) = Riˆ sin ωt −
i cos ωt
ωC
efter en del räknande…
u (t ) = Z ⋅ iˆ sin (ωt + ϕ )
2
u(t)
⎛ 1 ⎞
2
2
Z = R +⎜
⎟ = R +X
⎝ ωC ⎠
2
X
1 ⎞
⎛
⎟ = arctan
ω
CR
R
⎝
⎠
ϕ = arctan⎜ −
φ
Spänningen φº efter strömmen
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
i (t ) = iˆ sin ωt
+
u(t)
_
i(t)
Impedans (Z) i RC-krets
kapacitans och resistans
i(t)
u (t ) = Z ⋅ iˆ sin (ωt + ϕ )
2
⎛ 1 ⎞
2
2
Z = R2 + ⎜
⎟ = R +X
⎝ ωC ⎠
1 ⎞
X
⎛
⎟ = arctan
R
⎝ ωCR ⎠
Kapacitiv krets har negativ reaktans till skillnad
mot den induktiva kretsen
ϕ = arctan⎜ −
Sammanfattning
Sammanfattning
Reaktans X är växelströmsmotståndet i induktanser
eller kapacitanser
Momentanvärde
Toppvärde
Periodtid (T)
Frekvens beräknas som
f =
1
T
I Sverige är frekvensen 50 Hz
Effektivvärdet på en sinus beräknas som
U=
û
2
Ström i en induktans kommer 90° efter spänning
Ström i en kapacitans kommer 90° före spänning
Industrial Electrical Engineering and Automation
Industrial Electrical Engineering and Automation
Fas
Enheten för reaktans är Ω
Reaktansen för en induktans är ωL
Reaktansen för en kondensator är 1/ωC
Impedansen Z är förhållandet
mellan ström och spänning
Z=
uˆ U effektiv
=
iˆ I effektiv
Enheten för impedans är Ω
Z = R2 + X 2
X
ϕ = arctan
motsvarar vinkeln mellan U och I
R