1. No category

Optimala vägval i alpin skidåkning
Truls Neubeck
Tillämpad matematik D
2006­06­02
Institutionen för Teknik, Fysik och Matematik
Handledare: Fredrik Ståhl
Optimala vägval i alpin skidåkning
Truls Neubeck
D­uppsats i Tillämpad Matematik
Institutionen för Teknik, Fysik och Matematik
Mittuniversitetet.
Sammanfattning
Problemet med att avgöra det snabbaste vägvalet för en alpin skidåkare går att undersöka med hjälp av variationskalkyl. Tidigare resultat visar att lösningen är unikt bestämd som den del av en cykloid som går mellan två portar. I denna uppsats visas att om problemet utvidgas så att backens lutning ändras mellan portarna består lösningen av olika cykloiddelar, där man gör en större del av förflyttningen i den brantare delen av backen. För att kunna beskriva vägvalet förbi fler portar än två måste en begränsning på hur snävt man kan svänga införas. Fördelar och nackdelar med ett antal sådana begränsningar diskuteras. Tidigare studier har utgått från att det optimala vägvalet förbi flera portar består av cykloiddelar sammanbundna med delar av en cirkel med minsta tillåtna svängradie. Problemet är dock globalt och en lokal begränsning kan påverka hela lösningen. Man bör alltså försöka formulera och lösa problemet för hela intervallet. Tyvärr är det då svårt att hitta villkor som garanterar existensen av ett entydigt minimum, vilket två exempel visar.
Abstract
The problem of determining the fastest trajectory in alpine skiing can be solved with the aid of calculus of variations. Earlier results show that the solution is a part of the unique cycloid that passes through two gates. This paper shows that if the problem includes a change of the inclination between the gates, the solution consists of parts of different cycloids, where a larger part of the traverse is made in the steeper part of the slope. Different constraints on how tight the turn can be made are discussed in order to describe the trajectory through more than two gates. Earlier studies have made the assumption that the optimal trajectory consists of parts of cycloids joined together with parts of circles with a given shortest radius. However a local constraint may cjange the global solution. The problem should therefore be studied on the whole interval, including the constaints. But it is not so easy to find conditions that guarantee the existence of a unique minimum, which is shown in two examples.
Optimala vägval i alpin skidåkning
Innehållsförteckning
1.Alpin utförsåkning.................................................................................................................................7
2.En fysikaliskt förenklad modell av en alpin skidåkare..........................................................................9
3.Funktionalanalys..................................................................................................................................11
4.Variationskalkyl...................................................................................................................................13
5.Traversfasen.........................................................................................................................................15
5.1.Den snabbaste vägen mellan två portar, Brachystochronen.........................................................15
5.2.Lösning på Brachystochronproblemet..........................................................................................15
5.3.Ingångsfart va  0........................................................................................................................17
5.4.En backe med konstant lutning....................................................................................................18
5.5.En backe med varierande lutning.................................................................................................18
5.6.Resultat och jämförelse med den raka vägen...............................................................................20
6.Svängfasen...........................................................................................................................................23
6.1.Den snabbaste vägen i en backe med tre portar...........................................................................23
6.2.Några olika beskrivningar av svängfasen....................................................................................24
6.2.1.Svängen som en elastisk stöt................................................................................................24
6.2.2.Carvingekvationen...............................................................................................................26
6.2.3.Begränsad krökningsradie...................................................................................................27
6.2.4.Begränsad Fload..................................................................................................................28
6.3.Jämförelse mellan de olika modellerna för svängfasen...............................................................28
7.Travers­ och svängfas tillsammans.......................................................................................................29
7.1.Formulering med hinder...............................................................................................................29
8.Variationskalkylens fundamentalsats...................................................................................................31
8.1.Villkor på mängden X..................................................................................................................32
8.1.1.Problem med entydigheten av minimerande punkter...........................................................32
8.1.2.Problem med existensen av minimerande punkter...............................................................33
9.Numeriska och direkta metoder...........................................................................................................35
9.1.Variationsolikheter.......................................................................................................................35
9.2.Ritz metod....................................................................................................................................36
9.3.Finit differens metod....................................................................................................................37
10.Diskussion..........................................................................................................................................39
11.Slutsats................................................................................................................................................41
12.Appendix A........................................................................................................................................43
12.1.Mer funktionalanalys..................................................................................................................43
12.1.1.Konvexitet...........................................................................................................................43
12.1.2.Topologier..........................................................................................................................43
12.1.3.Normerade rum..................................................................................................................44
12.1.4.Dual och bidual..................................................................................................................45
12.1.5.Svag och *­svag topologi...................................................................................................46
13.Appendix B........................................................................................................................................47
13.1.Variations.m................................................................................................................................47
13.2.Varsol.m.....................................................................................................................................48
13.3.F.m.............................................................................................................................................49
13.4.T.m.............................................................................................................................................49
14.Avslutningsvis....................................................................................................................................50
15.Referenser...........................................................................................................................................51
5
Truls Neubeck
Beteckningar
Modell av en skidåkare.
m
W
FN
Flar
Fp
Fc
e
g G
S
v
α
β
a, b,..
x(y)
A, B,..
R
K
massa
gravitationskraft
kraft vinkelrätt mot backen
kraft vinkelrätt mot åkriktningen
kraft parallellt med åkriktningen
centrifugalkraft
enhetsvektor
gravitation
masscentrum
Skidans belastningspunkt
hastighet
backens lutning
ingångsvinkel mot porten
reella tal
vägval, kurva, funktion
punkter i planet
krökningsradie
krökning
Funktionalanalys och Variationskalkyl.
X
mängden av möjliga vägval ℝ
reella talen

f
J[x]
reellt tal
funktion
funktional
[h]
F
linjär funktional
funktion i en funktional
J[x]
första variationen
2J[x]
C
C1
C2
Lp
Wm,p
andra variationen
mängden av kontinuerliga funktioner
mängden av funktioner med kontinuerlig första derivata
mängden av funktioner med kontinuerlig andra derivata
Lebesquerummen
Sobolevrummen
∥x∥
normen av x
[y]
hinderfunktion

testfunktion

minimum
6
Optimala vägval i alpin skidåkning
1. Alpin utförsåkning.
Alpin utförsåkning innefattar konsten att på skidor ta sig via portar så fort som möjligt ned för en backe. Vad kan matematik och utförsåkning ha med varandra att göra? Jo som det står i en bok för tränare i alpinåkning.
Oavsett vilken nivå av åkare och oavsett vilken tidsepok det gäller, påverkas åkaren av Newtons mekaniska lagar. Att kunna utnyttja och balansera Newtons krafter på bäs ta sätt är en av alpinsportens stora utmaningar. Åkaren kan påverka krafterna och skidtekniken genom att röra sig framåt och bakåt, i sidled, böja och sträcka, samt i roterande rörelser. Utifrån dessa grundrörelser kan åkaren i sin tur påverka skidorna genom att vrida, kantställa och belasta/avlasta skidorna [Zell, 2005].
Om nu man kan anse skidåkningen som styrd utifrån fysikaliska regler så kanske man kan skapa en förenklad modell för vilka krafter som påverkar en skidåkare. Utifrån denna förenklade modell av en skidåkare kan man sen se om det går att räkna ut det snabbaste vägvalet utför backen. Hur ska en given åkare välja sin väg utför backen för att det ska gå så fort som möjligt? 7
Truls Neubeck
8
Optimala vägval i alpin skidåkning
2. En fysikaliskt förenklad modell av en alpin skidåkare.
Låt oss betrakta en skidåkare med massa m som rör sig nedför en backe med lutning α. Åkaren består av n st partiklar med massa mi ,i=1,2,..,n. Summan av de krafter som verkar på ett system av partiklar kommer att verka på systemets masscentrum enligt lagen för tyngdpunktens rörelse [Grahn & Jansson, 1997]. De krafter som påverkar åkaren kommer alltså att verka som en summa utifrån åkarens masscentrum G. Skidåkaren påverkas av gravitationen med kraften W=mg. W kan delas upp i tre komponenter enligt [se figur 1]
W= FN + Flat + Fp
FN är vinkelrät mot snöytans plan, Flat ligger i planet och är vinkelrät mot skidornas riktning, Fp ligger i planet och verkar i skidornas åkriktning, det är Fp som är den kraft som kan öka åkarens hastighet. I en sväng så kommer åkaren även påverkas av en centrifugalkraft Fc som verkar vinkelrätt mot skidorna och utåt i svängen.
De krafter som inte ökar åkarens fart måste kompenseras genom muskelkraft och kan betecknas Fload = FN + Flat + Fc. De krafter som bromsar skidåkarens fart är friktionen mellan skida och snö och luftmotståndet. I denna uppsats antar jag att dessa bromsande krafter inte påverkar resultatet och de sätts därför till noll. Figur 1: En alpin skidåkare med de krafter som påverkar henne under en sväng.
För att få ett uttryck för åkarens fart så kan man anta att energin konserveras under hela åket, dvs att ingen energi förloras i friktion eller sladdar. Om den positiva y axeln är riktad nedåt och g' är den komponent av gravitationen som ligger i planet så gäller sambandet mellan läges­ och rörelseenergi
9
Truls Neubeck
1 2 1 mv −mg ' y= mv2 A −mg ' y A .
2 2 Då startpunkten a ligger i origo A = (0, 0) så kan farten uttryckas
2 v=  v A 2g ' y .
Det vägval som åkaren följer kan beskrivas av kurvan x=x(y) i backens plan och då ges de verkande krafterna av följande vektorer:
F N = W cos  .
Genom att projicera den del av W som ligger i planet på enhetsvektorer i åkarens riktning ep =
[ x1´ ] = 1 x ´
[1 ]
∥[ x ´ ]∥  1  x ´
1
2
och vinkelrätt mot åkarensriktning elat = [−x1 ´ ] = 1 1
[ ]
∥[ 1 ]∥ 1 x ´ −x ´
−x ´
2
,
så får man Fp = W sin ⋅e p
2
∥ep∥
e p = [ ]
W sin  x ´
1x ´ 2 1
och
Flat = W sin ⋅e lat
2
∥elat∥
e lat = W sin 
[ ]
1
.
1x ´ −x ´
2
Krökningsradien, R, ges av
2 3 /2
R=
1  x ' 
∣x ' '∣
.
För centrifugalkraften gäller nu
m v 2A2gy∣x ''∣ 1
v2 e =
Fc = m
.
R lat
1x ' 22
−x '
[ ]
Utförsåkningen kan beskrivas av två faser, en traversfas och en svängfas [Lind & Sanders, 2004]. Under traversfasen åker man mot nästa port. Under svängfasen ändrar man riktning för att återigen traversera mot nästa port. Modellen ovan beskriver de krafter som påverkar skidåkaren under travers­ och svängfasen utifrån en given väg x = x(y).
10
Optimala vägval i alpin skidåkning
3. Funktionalanalys
För att kunna undersöka om visst vägval är bättre än ett annat så måste man kunna mäta tiden det tar att röra sig utmed olika vägar, kurvor. Man måste också kunna tala om vägval som är nära varandra i en generell mening. Man kan då använda sig av funktionalanalys, och här införs nu några grundläggande definitioner och satser från [Gelfand & Fomin, 2000]. För mer definitioner och satser i funktionalanalys se appendix A.
Definition 1: En avbildning f: X  ℝ som till varje element ur X tilldelar ett reellt tal kallas för en funktional.
Detta innebär att den avbildning som till varje kurva tilldelar tiden det tar att röra sig utmed kurvan med farten v är en funktional.
Definition 2: låt [h] vara en funktional definierad på ett rum X. Då är [h] en linjär funktional om följande gäller:
1. [ah] = a[h] för alla h ∈X och alla a ∈ℝ .
2. [h1+h2] = [h1] + [h2] för alla h1, h2 ∈X. I denna uppsats kommer speciellt funktionaler på formen b
J [x ] = ∫ F  y , x , x ´  dx
a
där F(y,x,x´) är en funktion av y, x(y) och x´(y) att vara av intresse.
Mängden X som innehåller möjliga vägval eller kurvor är ett funktionsrum. För att beskriva det behöver man något som motsvarar begreppet avstånd i ℝn . För att kunna tala om avstånd i abstrakta mängder använder man ett koncept som kallas norm. Definition 3: ett linjärt rum är en mängd, X, av element x, y, z,... där operationerna addition och multiplikation med reella tal a, b,... är definierade och följande axiom gäller:
1. x + y = y + x
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. ∃ 0 ∈X sådant att x + 0 = x för alla x ∈X
4.
5.
6.
7.
8.
för alla x ∈ X ∃­x ∈X sådant att x + (­x) = 0
1x = x
a(bx) = (ab)x
(a+b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
11
Truls Neubeck
Definition 4:Ett normerat rum X är ett linjärt rum där varje x ∈X tilldelas ett ickenegativt tal ∥x∥,
normen av x, sådant att:
1. ∥x∥ = 0 omm x = 0
2. ∥ax∥=∣a∣ ∥x∥ 3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
för alla x, y ∈ X och a ∈ ℝ
Man kan nu införa avståndet d mellan två element x1 och x2 i ett normerat linjärt rum X. Avståndet ges av d(x1, x2) = ∥x1 – x2∥.
Exempel: Mängden av alla kontinuerliga funktioner C på ett slutet intervall [a, b] är ett normerat rum med normen ∥x∥C = max ∣ x  y  ∣
a xb
och vanlig addition och multiplikation av funktioner. Medan mängden C1 av alla funktioner vars derivata existerar och är kontinuerliga på [a, b] är ett normerat rum med normen
∥x∥C = max ∣ x  y  ∣  max ∣ x '  y ∣
1
a xb
a xb
Med hjälp av normen kan man även införa kontinuitet för funktionaler.
Definition 5: en funktional J[x] sägs vara kontinuerlig i x0 ∈X om det för varje ℇ>0 finns ett >0 sa ∣J[x]­J[x0]∣< ℇ förutsatt att ∥x ­ x0∥ < .
Exempel: Kurvlängd är ett exempel på en funktional som inte är kontinuerlig i C­normen. Två kurvor med liten skillnad i norm ligger nära varandra i funktionsvärden, men den ena kurvan kan svänga fram och tillbaka och på så sätt bli mycket längre, utan att avstånden mellan de två kurvornas funktionsvärden ökar. Om man tar ett band med given bredd längs en kurva så kan man alltid få in en annan kurva som är godtyckligt mycket längre än den första kurvan inom detta band, oavsett hur smalt bandet görs. Om man däremot använder C1 normen så är kurvlängdsfunktionalen kontinuerlig, eftersom man då även tar med första derivatans värden, vilka ju avgör hur snabbt en grafen till en funktion kan svänga fram och tillbaka.
Ibland är kontinuitet ett för starkt krav på funktionalerna och man behöver därför ett svagare krav.
Definition 6: En funktional J[x] är nedåt halvkontinuerlig (n.h.k.) i x0 ∈X om det för varje ℇ>0 finns ett >0 sa J[x]­J[x0]> -ℇ förutsatt att ∥x ­ x0∥ < .
Exempel: Kurvlängdem är en n.h.k. funktional med avseende på C­normen, eftersom en kurva som ligger i en omgivning av en annan kurva med avseende på C­normen kan bli godtyckligt mycket längre men bara lite kortare utan att hamna utanför omgivningen.
12
Optimala vägval i alpin skidåkning
4. Variationskalkyl
I denna uppsats kommer alltså funktionalanalysen utgöra de matematiska verktyg man behöver för att mäta hur lång tid det tar att åka utmed olika kurvor. Det behövs nu ett sätt att avgöra hur tiden varierar utmed olika närliggande kurvor för att kunna hitta ett optimalt vägval. Variationskalkyl är en gren av matematiken som behandlar sådana frågeställningar. Tekniken påminner mycket om studiet av max­ och minproblem i ℝn. Följande definitioner och satser från [Gelfand & Fomin, 2000] och [Blanchard & Brüning, 1992] ger nödvändiga och tillräckliga villkor för att en kurva x0∈X ska vara ett minimum till en funktional.
För att undersöka hur en funktional varierar när man ändrar lite grand på det objekt funktionalen verkar på, i vårt fall kurvan x, så kan vi tänka oss att man adderar en kurva h med liten norm till kurvan x. Detta resonemang leder fram till följande definition.
Definition 7: Låt J[x] vara en funktional definierad på ett normerat rum X och låt J[h] = J[x + h] – J[x] vara skillnaden mellan två närliggande kurvor, x och x + h, som beror av tillägget h = h(y) och den beroende variabeln x = x(y). Om x hålls fix så är J[h] en funktional av h, oftast ickelinjär. Antag att J[h] = [h] + ∥h∥ där [h] är en linjär funktional och 0 när ∥h∥0. Då sägs J[x] vara differentierbar och den linjära delen av J[h], dvs [h] kallas variationen av J[x] och betecknas 
J[h].
På samma sätt som för vanliga funktioner i ℝn så krävs det att J[x] – J[x0]  0 i en omgivning av x0 för att en funktional ska ha ett lokalt minimum vid en viss kurva x0.
Sats 1. Ett nödvändigt villkor för att J[x] ska ha ett minimum i x = x0 är att variationen försvinner, dvs J[h]=0 för x = x0 och alla tillgängliga h.
Sats 2. Betrakta funktionalen b
J [x ] = ∫ F  y , x , x ´  dx
a
definierad för alla x  X C1 och där x uppfyller randvillkoren x(a)=A och x(b)=B. Då är ett nödvändigt villkor för att J[x] ska ha ett minimum i x = x0 att x0 uppfyller Eulers ekvation
Fx −
d
F = 0.
dx x ´
Om ändpunkterna till x istället får variera utmed linjerna y=ya och y=yb så blir
yb
 J =∫  F x −
ya
d
F h  y dyF x ' ∣y=b h b − F x' ∣y=a h a 
dy x '
En metod för att hitta ett minimum till funktionalen är alltså att lösa en differentialekvation. Observera att Eulers ekvation endast är ett nödvändigt villkor och lösningen x0 är en extrempunkt. x0 kan alltså vara ett minimum eller maximum men också en inflexionspunkt.
13
Truls Neubeck
Man behöver alltså mer information för att få ett tillräckligt villkor för att J[x] har ett minimum i x=x0.
Definition 8. En funktional J[x, y] som är linjär i båda argumenten är en bilinjär funktional. Om y=x så är J en kvadratisk funktional. Definition 9. Om J kan skrivas J[h] = 1[h] + 2[h] +∥h∥2, där 1[h] är en linjär funktional, 2[h] en kvadratisk funktional och 0 när ∥h∥0, så är J[x] två gånger differentierbar och 2[h] är den andra variationen som skrivs 2J[h].
För funktionaler på formen b
J [x ] = ∫ F  y , x , x ´  dx
a
så kan J[h] genom Taylorutveckling skrivas som
b
b
1  J [h] = J [ xh ] − J [ x ] = ∫ F x h  F x ' h '  dy  ∫ F xx h 2  2F yy ' hh '  F y' y' h ' 2  dy 
2 a
a
där b
1  J [ h] = ∫ F xx h 2  2F xx ' hh '  F x ' x ' h ' 2  dy .
2 a
2 Partiell integration och randvillkoren h(a)=0, h(b)=0 ger
b
 J [h] = ∫ Ph ' 2  Qh 2 dy
2 a
där
P = P y  =
1 1 d
F x' x ' , Q = Q[ y ] =  F xx− F xx ' 
2
2
dy
Sats 3. Ett tillräckligt villkor för att J[x] ska ha ett minimum i x=x0 är att:
1. J[h] = 0 2. 2J[h] > 0 för x=x0 och alla tillgängliga h.
Hittar man en kurva x0 som uppfyller Sats 3 för den funktional som mäter tiden så är det alltså tillräckligt för att x0 är det snabbaste vägvalet.
14
Optimala vägval i alpin skidåkning
5. Traversfasen
5.1. Den snabbaste vägen mellan två portar, Brachystochronen.
Att hitta det vägval, kurva, som beskriver den snabbaste vägen under traversfasen mellan två portar har stora likheter med ett känt matematiskt problem från slutet av 1600­talet. År 1696 föreslog John Bernoulli Brachystochronproblemet som en utmaning till samtida matematiker [Kline, 1972]. Brachystochronproblemet innebar att avgöra den väg x= x(y) en partikel skulle ta från en punkt A ned till en annan punkt B, som inte ligger rakt under punkten A, på kortast möjliga tid driven av enbart gravitation. Det matematiska tillvägagångssättet för att lösa att sådant problem kan beskrivas på följande sätt: Betänk alla kurvor, med kontinuerliga derivator, som förbinder två punkter A och B. Varje kurva tilldelas ett tal, nämligen den tid det tar att glida från A till B. (Alla kurvor där man aldrig når punkten B utesluts eller tilldelas talet ∞). Sen tar man från alla dessa tal, glidtider, det minsta (förutsatt att ett sådant existerar) och den kurva som är associerad med detta talet är lösningen på problemet [Sagan, 1969].
Man ska alltså minimera funktionalen som mäter tiden det tar att röra sig längs en kurva,
B
J [x ] =∫
A
ds
v
som genom sambanden ds =  dx dy =  1  x ' dy
2 2
2
och (notera att ingångsfarten vA=0)
v =  2gy kan skrivas
yB
J [x ] =∫ F  y , x , x '  dy , F =
yA
1  2g

1  x ' 2
.
y
5.2. Lösning på Brachystochronproblemet.
Eulers ekvation är
Fx−
d
F =0
dx x '
men eftersom F i detta fall inte beror av x så kan Eulers ekvation reduceras till d
F =0
dx x'
som efter integration av båda sidor ger Fx '=
1 x'
C .
 2g  1  x ' 2  y 1
15
Truls Neubeck
Sätt C =  2gC 1 . Då gäller

dx
C2 y
.
=x '=
dy
1−C 2 y
Låt
(1)

C2 y
,
tan =
1−C 2 y
vilket ger
2 tan 
y=
2
2
C 1 tan 
=
1 c
2
2
sin  =
1 2C
2
(2)
1−cos 2 
och
dy=
2 C
2
sin  cos d  .
(3)
Sätt (3) i (1) och utnyttja (2). Då fås
dx =tan 
2 C
2
sin cos  d =
2 C
2
2
sin  d  =
1 C2
Integration av båda sidor ger x=
1  2 −sin 2 K . 2C2
Startpunkten x=0 ger K=0 , och med R=
1 , t=2 
2
2C
fås lösningen x = R(t – sin t ).
y = R(1 – cos t).
16
1−cos 2  d  .
Optimala vägval i alpin skidåkning
Figur 2: Den snabbaste vägen mellan punkterna A=(0, 0) och B=(7.5, 16) är unikt bestämd av den del av en cykloid som passerar genom punkterna A och B.
Kurvan visar sig vara den del av den cykloid som passerar genom A och B (figur 2). Newton, L'Hospital, John Bernoulli och hans äldre bror James fann alla lösningen på Brachystochronproblemet.
Cykloiden är alltså en extremalkurva till Brachystochronproblemet men för att vara säkra på att den även ger ett minimum så måste man visa att hela Sats 3 är uppfyllt dvs även att
2J[h] > 0 för x=x0 och alla tillgängliga h.
För Brachystochronproblemet beror F inte av x så
b
b
1 1  J [h] = ∫ F xx h 2  2F xx ' hh '  F x ' x ' h ' 2  dy = ∫ F x' x' h ' 2 dy
2 a
2 a
2 där
F x ' x' =
d
dx '
1 x'
1 =
1 x ' 2 −3 /2
2
 2gy  1 x '  2gy
som är strikt positiv eftersom y­axeln är positiv nedåt i åkarens riktning. Cykloiden uppfyller alltså hela Sats 3 och minimerar därför funktionalen J.
5.3. Ingångsfart va  0
Om åkaren startar från punkten A med en ingångsfart va ≠ 0 så motsvaras lösningen av att börja på 17
Truls Neubeck
cykloiden så långt ned som en partikel behöver falla från vila för att uppnå hastigheten va. Detta gäller eftersom det råder ett konserverande av energi i systemet och farten ges av sambandet mellan läges­ och rörelseenergi i slutna system. Den del av cykloiden som passerar genom A och B blir allt rakare ju högre ingångshastigheten är [Andersson, 1998]. Lösningen i det fall då va ≠ 0 ges av kurvan
x = R(t – sin t ) + Dx
y = R(1 – cos t)+ Dy.
Där D=(Dx, Dy) är startpunkten för cykloiden och den aktuella lösningen ges i intervallet tA  t  tB.
5.4. En backe med konstant lutning.
För en skidåkare i en backe med konstant lutning α så kommer problemet att hitta den snabbaste vägen att bli likadant som brachystochronproblemet med skillnaden att den drivande accelerationen är en komponent g´ = g sin α av g. Lösningen blir fortfarande en del av den cykloid som är unikt bestämd av punkterna A och B. Lösningen beror alltså inte av lutningen. Att den snabbaste vägen för en skidåkare mellan två portar verkligen är en del av en cykloid och inte en rak linje har visats både teoretiskt [Reinisch, 1991; Andersson, 1998] genom de tillämpningar av Brachystochronproblemet som redovisats ovan och experimentellt [Reinisch,Gautier & Monjo, 1994; Twardokens, 1996]. I de experimentella studierna har man tagit tid på alpina åkare som åkt både rakt mellan två portar och längs cykloidbanor. Tidsvinsten för en bana med A=(0, 0), B=(20, 40) blev upp till 23 hundradelar av en sekund och för en bana med A=(0, 0), B=(50, 100) upp till 36 hundradelar av en sekund. Dessa tidsvinster minskar när ingångshastigheten vA ökar, vid vA  40km/h är traversfasen i stort sett linjär och skillnaden mot att köra rakt på porten blir försumbar [Andersson, 1998; Reinisch,Gautier & Monjo, 1994].
5.5. En backe med varierande lutning.
Ett enkelt fall där lutningen varierar mellan A och B är när lutningen ändras i en punkt halvvägs mellan portarna (figur 3).
Figur 3: Backen kan beskrivas av två plan y1 och y2 med olika lutning 1 och 2. Planen skär varandra vid den höjd, hc, där backen ändrar lutning. Åkaren ska då ta sig från punkt A, via en punkt C någonstans på linjen y=yC, till punkten B på så kort tid som möjligt.
Då kan problemet att hitta det snabbaste vägvalet beskrivas så här:
18
Optimala vägval i alpin skidåkning
Två plan y1 och y2 med lutning 1 och 2 skär varandra i yC. Låt punkten A ligga i origo i y1 och punkten B ligga i (xB,yB) i y2. Då går den snabbaste vägen mellan A och B via någon punkt C på linjen yC. Man kan söka lösningen på problemet genom att minimera funktionalen
C
B
yC
yB
A
C
ds
ds
J [x ] =J 1 [x ]  J 2 [ x ]=∫ ∫ =∫ F 1 dy  ∫ F 2 dy
A v
C v
y
y
där
F 1 =

1 1  x '
y
 2g sin 1 2
,
F 2 =
Eftersom punkten C kan variera längs linjen yc så gäller det att yC

2
1 1 x '
.
y
 2g sin 2 yB
d
d
 J =∫  F 1 x − F 1 x'  h y  dyF 1 x ' ∣y= y h C   ∫ F 2 x − F 2 x '  h  y dy−F 2 x ' ∣y= y h C 
dy
dy
y
y
C
C
A
C
Ett nödvändigt krav för att x=x0 ska vara ett minimum är att J=0 för x=x0 och alla h(y). De h(y) sådana att h(c)=0 ger att x=x0 måste uppfylla Eulers ekvation för F1 och F2.dvs att
F 1 x−
d
F =0 dy 1 x '
4
F 2 x−
d
F =0 dy 2 x '
5
Om ingångsfarten i punkten A är vA=0 så ges lösningen till (4) av cykloiden 1:
x1 = R1(t – sin t )
y1 = R1(1 – cos t)
för tA  t  tC. Lösningen till (5) ges av cykloiden 2:
x2 = R2(v – sin v ) + Dx
y2 = R2(1 – cos v) + Dy
för vC  v  vB, D=(Dx, Dy) är startpunkten för cykloiden och (yC­Dy) är den sträcka i y­led som skidåkaren behöver åka för att uppnå farten vC .
19
Truls Neubeck
Kravet att J=0 ger då att
F 1 x ' ∣y= y h C  −F 2 x ' ∣y=y h C  = 0
C
C
och eftersom h(C) är lika i punkten C gäller
F 1 x ' ∣y= y = F 2 x' ∣y=y
C
C

1 x i ' 2
1 F i x '=
y
 2g sin i
x ' 1 =
dx 1 1 −cos t 
=
,
dy 1 sin t
x ' 2 =
i=1, 2 dx 2 1 −cos v 
=
dy2 sin v
sin2 1 1 −cos vC =sin2  2 1 −cos t C 
Det går nu att formulera ett ekvationsystem för de variabler som behövs för att beskriva lösningen x0, det snabbaste vägvalet i en backe med varierande lutning 1 och 2.
1
2
2
xc = R1(tC – sin tC)
(6)
yc = R1(1 – cos tC)
(7)
xc = R2(vC – sin vC) + Dx
(8)
yc = R2(1 – cos vC) + Dy
(9)
xb = R2(vB – sin vB)+ Dx
(10)
yb = R2(1 – cos vB)+ Dy
(11)
sin2 1(1 – cos vC) = sin2 2(1 – cos tC)
(12)
Ekvationerna 6­12 är ett ickelinjärt system som kan lösas numeriskt (se Appendix B).
5.6. Resultat och jämförelse med den raka vägen.
Det optimala vägvalet i en backe där lutningen ändras kan beskrivas av att man gör en större förflyttning i den brantare delen av backen medan man åker mer rakt i falllinjen i den flackare delen. I figur 4 kan man se hur detta vägval skulle se ut i två specialfall. Det första är när lutningen ändras från brant (30°) till flackt (5°) och det andra är när lutningen ändras från flackt (5°) till brant (30°).
20
Optimala vägval i alpin skidåkning
Figur 4: Linjen 5 till 30 visar det snabbaste vägvalet mellan två portar i en backe där lutningen ändras från 5 till 30 grader. Linjen 30 till 5 visar det snabbaste vägvalet om lutningen ändras från 30 till 5 grader. Det är tydligt att man bör försöka lägga en så stor del av svängen som möjligt i det brantare partiet av backen. Som jämförelse ligger den raka vägen mellan två portar med.
För att få ett mått på hur mycket tid man kan tjäna på ett optimalt vägval så kan man jämföra lösningarna med alternativet att ta den kortaste vägen, en rak linje mellan två portar (tabell 1).
Tabell 1 Lutningsförändring
Tid Position vid lutningsförändringen (xc)
30º till 5º (Brant till flackt), Cykloid
3.969 s
6.25m
30º till 5º (Brant till flackt), Raka vägen
3.974 s
3.75m
5º till 30º (Flackt till brant), Cykloid
5.336 s
0.31m
5º till 30º (Flackt till brant), Raka vägen
5.604 s
3.75m
I ett fall där ingångsfarten är noll så kan en skidåkare tjäna upp till 27 hundradelar av en sekund på ett optimalt vägval jämfört med att köra den kortaste vägen. Detta är viktigt att påpeka då undersökningar har visat att alpina tävlingsåkare instinktivt väljer ett vägval rakt på nästa port [Reinisch, Gautier & Monjo, 1994]. Tidsvinsten är störst då åkaren kommer från ett flackt parti in i ett brantare. Att inte tidsvinsten blir lika stor då åkaren kommer från ett brant parti in i ett flackare kan förklaras med att åkaren då har fått upp en högre fart och befinner sig därmed en kortare tid i det flacka partiet. 0.5 hundradelar av en sekund är fortfarande en viktig tidsvinst då det bara handlar om en port och tidsskillnaderna under hela tävlingsåk ofta handlar om några hundradelar mellan de snabbaste åkarna.
21
Truls Neubeck
Om ingångsfarten är större än noll så blir cykloiddelarna allt mer raka och i farter över 30 km/h så är de i stort sett linjära [Reinisch, 1991]. Det är troligt att betydelsen av vägvalet längs cykloiden minskar i förhållande till den raka vägen när farten ökar och en fortsatt undersökning där man testar olika ingångshastigheter vore intressant att genomföra. Tabell 1 visar även hur mycket man vid den höjd som backen ändrar lutning ska avvika från den räta linjen mellan två portar för att vara där den optimala vägvalet går. Åkaren ska avvika ca 3 m från vägvalet som går rakt på nästa port. Denna skillnad minskar troligen också när ingångsfarten på traversfasen ökar och delen av en cykloid blir allt mer linjär.
De vägval som modellen visar som de optimala stämmer med de vägval man eftersträvar inom alpinåkning. Man försöker i den alpina åkningen förlägga svängen i det brantare partiet av backen [Hjalmars, 2006]. Det tillkommer då ytterligare faktorer som att man måste kunna genomföra svängen utan att sladda, något som blir svårare ju brantare backen blir. Sådana faktorer tar inte denna förenklade modell hänsyn till.
22
Optimala vägval i alpin skidåkning
6. Svängfasen
6.1. Den snabbaste vägen i en backe med tre portar.
Om en skidåkare ska ta sig från en port, A,via en andra port, B, till en tredje port, C, på så kort tid som möjligt, ges lösningen av den extremalkurva x=x0 som minimerar funktionalen
B
C
ds
ds
J [x ] =J 1 [x ]  J 2 [ x ]=∫ ∫
A v
B v
Enligt de antaganden som gäller för den förenklade modell av en skidåkare som beskrivits ovan så gäller det att både J1 och J2 kommer att ha delar av cykloider som extremalkurvor x = x(y) och lösningen kommer att vara en bruten extremal med brytpunkt i B. En sådan kurva kallas i [Reinisch, 1991] för z­bana och innebär att skidåkaren gör en momentan riktningsförändring utan att förlora fart. Att åka så är naturligtvis omöjligt i verkligheten, men utvecklingen inom den alpina utförsåkningen går mot allt mindre svängradier [Andersson, 1998].
Figur 5: Lösningen på den snabbaste vägen mellan flera portar innebär att svängfasen består av att momentant byta riktning och banan kallas för z­bana. Från [Reinisch, 1991].
För att få en bild som mer överensstämmer med hur en verklig skidåkares sammanlänkande sväng mellan två cykloider ser ut måste man införa någon begränsning i modellen. Detta innebär att vi 23
Truls Neubeck
kommer begränsa mängden av de tillåtna kurvor som man kan mäta tiden utmed. En fråga som dyker upp då man inför en begränsning är om begränsningen kommer att påverka resultatet globalt, dvs en annan bana blir snabbare, eller lokalt så att begränsningen spelar roll enbart i svängfasen.
6.2. Några olika beskrivningar av svängfasen.
Genom att titta på några tidigare beskrivningar av svängfasen bör man kunna hitta en begränsning som gör att det optimala vägvalet inte innefattar några momentana riktningsförändringar.
6.2.1. Svängen som en elastisk stöt.
Detta är en modell av svängfasen som användes i [Andersson, 1998] för att länka samman cykloider till fullständiga svängar. Låt en port vara placerad i origo O och åkaren närma sig porten längs linjen Din med ingångsvinkeln β
och lämna porten längs linjen Dut som har utgångsvinkeln ­β och är symmetrisk med Din (se figur 6). Figur 6: Skidåkarens masscentrum rör sig mot porten längs en linje Din och från porten längs en linje Dut.
Masscentrum G hos åkaren rör sig längs Din och Dut med en fullständigt elastisk stöt i origo. För att genomföra denna sväng kan man anta att man pressar vinkelrätt mot skidorna i punkten S där l är avståndet SG mellan masscentrum och skidorna (se figur 7). l kan då ses som en fjäder med sambandet d = ­ k dl där  ä r den vinkel man vridit skidorna ifrån Din och k är den belastning som påverkar åkaren under svängen.
24
Optimala vägval i alpin skidåkning
Figur 7: Skidorna befinner sig på ett avstånd l från masscentrum G under svängen.
Ur figur 7 kan man få de geometriska sambanden
sin 
y =OG sin 
l =y
l =OG sin 
sin 
}
där sinβ är en konstant. En liten förändring av l med avseende på riktningen y ges då av
sin 
y cos  d 
dl
∂l
∂l d 
=

=

(se figur 8).
dy
∂y
∂ dy
sin 
sin  dy
Figur 8: Skidornas väg runt porten beskrivs av kurvan S=S(t).
Insättning i d
dl
= −k
dy
dy
ger 25
Truls Neubeck
d
sin 
k
där K =
.
= −K
sin 
dy
1  Ky cos 
Denna differentialekvation har en unik lösning enligt Picards sats och löses numeriskt med randvillkoret α(0) = π ­2β vilket fås ur att skidorna skall vara tangentiella med Dut i origo. Resultatet är kurvan S=S(t) som beskriver den väg skidorna tar i svängfasen och kan användas för att länka samman traversfasens cykloiddelar till hela åk. Modellen beskriver dock en åkteknik som kräver att man påbörjar svängen med ett hopp (≠0 i början av svängen), något som skiljer den från den carvingteknik som eftersträvas i dagens utförsåkning.
6.2.2. Carvingekvationen.
Studier av hur man kan balansera skidorna genom hela svängfasen utan att sladda eller hacka och göra en skärande sväng utan att förlora fart, dvs en carvingsväng, finns i [Jentschura & Fahrbach, 2004] och [Lind & Sanders, 2004]. Som tidigare beskrivits så kan kraften som påverkar en skidåkare delas upp i olika komponenter. Fp är den kraft som kan öka åkarens fart och Fload = FN + Flat +Fc måste kompenseras av snön. För att åkaren inte ska sladda måste hon därför balansera sitt masscentum ovanför skidorna i en linje parallell med Fload. Figur 9: Lutningsvinkeln, , på en åkare i svängfasen ges av att åkaren måste balansera sitt masscentum ovanför skidorna i en linje parallell med Fload. .
Vinkeln, , som åkaren behöver luta in i svängen ges av vinkeln mellan Fload och FN (se figur 9) enligt:
cos  =
F load⋅F N
∥F load∥∥F N ∥
Enligt antagandena för denna modell gäller det att i en perfekt carvingsväng så ges skidornas effektiva svängradie R av skidornas skärningsradie Rsc (se figur 10), och hur mycket man lutar skidorna enligt sambandet
R() = Rsc cos .
26
Optimala vägval i alpin skidåkning
Figur 10:Svängradien, Rsc, fås ur skidornas skärning Från [Jentschura & Fahrbach, 2004].
Genom att kombinera dessa två uttryck så får man carvingekvationen
F load⋅F N
R
=
R sc ∥F load∥∥F N ∥
vilken måste vara uppfylld för att man ska göra en perfekt carvingsväng. För kurvan x=x(y) kan carvingekvationen skrivas 3 2 2 2 3
tan  2y∣x ' '∣x ' x ' − Rsc∣x ' '∣ −1x '  = 0 .
Carvingekvationen är en differentialekvation av andraordningen där man har två frihetsgrader för den kurva längs med vilken perfekta carvingsvängar kan göras.
6.2.3. Begränsad krökningsradie.
Ett sätt att beskriva svängfasen är att begränsa hur snävt svängen kan göras genom att kurvans krökningsradie, R, aldrig får understiga ett minsta värde Rmin [Reinisch, 1991]. Begränsningen på kurvan blir då
2 3/2
R=
1 x ' 
∣x ' '∣
 Rmin .
Villkoret att RRmin kan skrivas
−K 
x''
K
1 x ' 2 3/ 2
där
K=
1 R
vilket gör att man kan söka lösningen x0 bland alla funktioner med kontinuerlig andra­derivata, x  C2.
Genom integrera villkoret RRmin över en positiv testfunktion  kan man få en svag formulering av villkoret där det räcker att lösningen x0 har kontinuerlig första­derivata.
Integration över  ger
27
Truls Neubeck
yB
yB
yB
x''
−∫ K  dy  ∫
 dy  ∫ K  dy
2 3/2
0 0 1  x ' 
0 , ∈ C∞0 [0, y B ]
partiell integrering ger
yB
yB
0 0 −∫ K  dy  ∫
x'
1 x '2
yB
 ' dy  ∫ K  dy
0 och man kan således söka lösningen x0 med en begränsning på krökningsradien bland alla
x  C1
med denna begränsning på x'.
6.2.4. Begränsad Fload
Ytterligare ett sätt att begränsa svängfasen är att tänka sig att åkaren bara klarar belastningen upp till ett visst värde FloadMAX. Om man begränsar hur snävt svängen kan göras genom att inte låta Fload överstiga FloadMAX. så får man uttrycket
Fload = FN + Flat + Fc.  FloadMAX
där
Wsin  1x ' 2   m v 2a2gy ∣x ''∣ 1
Fload = W cos  
.
1x '2 2
−x '
[ ]
Fload innehåller alltså uttrycket för krökningsradien. dessutom ökar Fload när farten ökar och när backen blir brantare. En begränsning på Fload innehåller en begränsning på x'' men kan på liknande sätt som begränsningen på krökningsradien skrivas om med en svag formulering så att man bara har en begränsning på x'.
6.3. Jämförelse mellan de olika modellerna för svängfasen.
Modellen med en elastisk stöt förutsätter att Din och Dut är symmetriska vilket bara gäller om banan är symmetriskt stakad. I den carvingteknik som eftersträvas i dagens åkning påbörjas svängen utan ett hopp (α0 = 0) något som får modellen med en elastisk stöt att divergera. Att se svängen som en elastisk stöt innebär att skidorna hackar vilket påverkar farten och därmed även nästa cykloid. Allt detta sammantaget gör att man bör försöka hitta ett annat sätt att beskriva svängfasen.
Carvingekvationen ger villkor under vilka en perfekt carvingsväng kan utföras, men det är svårt att direkt använda det komplicerade uttrycket för carvingekvationen som ett uttryck för begränsningen på svängfasen.
Att begränsa svängfasen med krökningsradien ger ett enkelt uttryck men det beror tyvärr inte av farten som åkaren har i svängen, rimligen borde ju en skidåkare kunna göra snävare svängar om hon åker långsammare.
Det verkar dock som om att Fload skulle vara en bra faktor att beskriva svängfasen med. Den ingår i carvingekvationen och innehåller både åkarens fart v och kurvans krökning R utan att bli så komplicerad som carvingekvationen.
28
Optimala vägval i alpin skidåkning
7. Travers­ och svängfas tillsammans
Kan man hitta det vägval, kurva, som minimerar tiden det tar att åka nedför en bana med tre portar givet en begränsning av hur snävt kurva får svänga? Om krökningsradien R inte får understiga ett visst värde Rmin så kan man anta att lösningen består av delar av cykloider under traversfasen och av kurvor med minsta tillåtna krökningsradie R = Rmin under svängfasen [Reinisch, 1991] (se figur 11).
Figur 11: Lösningen på problemet med begränsad krökningsradie består av delar av cykloider under traversfasen och av kurvor med minsta tillåtna krökningsradie R = Rmin under svängfasen [Reinisch, 1991].
Det är inte givet att problemet med att hitta ett optimalt vägval i en bana med tre portar och en begränsning på svängfasen inte kommer att påverka resultatet globalt och man bör därför utreda detta vidare innan man tar den ovan antagna lösningen för given.
7.1. Formulering med hinder.
Problemet med att hitta det snabbaste vägvalet via en port har likheter med andra variationsproblem med hinder. En hinderfunktion som villkor på mängden X underlättar inte nödvändigtvis beräkningarna i fallet med den snabbaste vägen via tre portar. Men det gör det lättare att jämföra med andra problem.
Åkaren måste runda porten B så att
x(yB)  1.
I ett variationsproblem med hinder har man ett villkor av typen
x(y)  (y),
där (y) är en hinderfunktion som tvingar kurvan man söker x0 att ta en viss väg (se figur 12).
29
Truls Neubeck
Figur 12: Problemet formulerat med en hinderfunktion (y) som gör att kurvan x(y) måste runda punkten B.
Resultat från andra studier av variationsproblem med hinder har visat att regulariteten hos lösningen följer regulariteten hos hinderfunktionen. Har hinderfunktionen  låg regularitet så har lösningen låg regularitet. Jämför med resultatet för z­banan där hinderfunktionen är
 y = 
1 : y=y B
0 ; y≠y B
och lösningen har diskontinuerlig derivata. Även den antagna lösningen ovan kan beskrivas med en hinderfunktion i form av en cirkel med radien Rmin där lösningen som består av en del av en cirkel med radie Rmin antar samma regularitet vid hindret.
De problem som inför denna uppsats studerats i litteraturen verkar tyvärr handla om helt andra funktionaler än
b
J [x ] = ∫
a

2
1x '
dy
y
och det är svårt att dra några slutsatser ifrån dessa. Dessutom går det inte att formulera en hinderfunktion som beror av farten, vilket krävs för en fysikaliskt motiverad begränsning (se kapitel 6.2).
30
Optimala vägval i alpin skidåkning
8. Variationskalkylens fundamentalsats
För att ta reda på om en begränsning på svängfasen påverkar resultatet globalt eller inte behöver man beräkna lösningen för problemet som helhet, dvs de villkor som begränsar möjliga vägval måste tas med från början och gälla på hela intervallet. För att göra det behöver man använda numeriska eller direkta metoder då det inte går att lösa Eulers ekvation med en begränsning på krökningsradien R eller Fload. Det är viktigt att säkerställa existens och entydighet av ett minimum på problemet innan man börjar beräkna lösningen numeriskt. Har man säkerställt existensen av ett minimum så vet man att den numeriska modell man använder kan konvergera. Vet man även att minimumet är entydigt så kommer modellen inte att kunna växla mellan olika lösningar under beräkningarna. Att visa existensen av ett minimum görs med variationskalkylens fundamentalsats. Variationskalkylens fundamentalsats förutsätter begrepp från funktional analysen vilka finns i appendix A.
Sats 4, Variationskalkylens fundamentalsats, Existens av minimerande punkter:
Låt f:Xℝ vara en nedåt halv kontinuerlig funktion (n.h.k.) på mängden X. Låt det finnas ett reellt tal  sådant att
1. Xf, ={xX∣f(x)} ≠ 0
2. Xf, är följd kompakt.
Då existerar en minimerande punkt x0 till f i X.
Sats 5, Entydighet av minimerande punkter: Låt X vara konvex och f:Xℝ en strikt konvex funktion på X. Då har f som mest en minimerande punkt i X.
Kombinationen av Sats 4 och 5 ger att om
1. X är konvex
2. f är strikt konvex
3. f är n.h.k.
4. ∃ℝ med Xf, ≠ ∅ och Xf, följdkompakt
så existerar endast en minimerande punkt x0 till f i X.
Ett problem med variationskalkylens fundamentalsats är att det ofta är svårt att hitta topologi på mängden X som uppfyller villkoren i sats 4. För en finare topologi ger fler n.h.k funktioner och en grövre topologi ger fler följdkompakta mängder. I ett Banachrum existerar det en topologi som är grövre än normtopologin och ger tillräckligt många följdkompakta mängder, nämligen den svaga topologin. Med hjälp av denna kan man formulera en variation på sats 4.
Sats 6, Variation av Variationskalkylens fundamentalsats:
1. Låt X vara ett reflexivt Banachrum och MX en svagt (följd) stängd delmängd. 2. Låt f:Mℝ vara koerciv svagt (följd) n.h.k. funktion på M. Då är infxM f(x) ändlig och uppnås i en punkt x0 M.
31
Truls Neubeck
8.1. Villkor på mängden X
För att uppfylla de villkor som krävs för att vara säker på att det existerar en entydig lösning på problemet måste man välja mängden X noggrannt. Valet av X styr även normen vilken påverkar hur funktionalen f beter sig. Följande två exempel visar att det inte är helt rättframt att tillämpa variationskalkylens fundamentalsats.
8.1.1. Problem med entydigheten av minimerande punkter.
För enkelhetens skull kan man undersöka möjligheten att visa att endast ett minimum existerar i fallet med villkoret
R  Rmin
För att visa att sats 5 gäller för villkoret att R  Rmin måste man visa att mängden X är konvex. Dvs att det för alla x1, x2 ∈ X gäller att 01 ⇒ x1+(1­)x2. X.
Man kan se att det blir problem med att visa att villkoret är konvext då x1' > x2' och x1''> x2'' och man kan utifrån denna iakttagelse konstruera två kurvor som motbevisar att X är en konvex mängd.
Antag att i en punkt, m, gäller följande
x1' = 2, x1'' = 4, R1 y=m = 2.8
x2' = 1, x2'' = 1, R2 y=m = 2.83
låt Rmin = min{R1 y=m, R2 y=m} för =0.5 får man då
R=0.5, y=m = 2.34 < Rmin.
Det går nu att skapa två kurvor x1 och x2 sådana att de uppfyller de övriga villkoren i mängden X. Låt x1 bestå av delar av en cirkel med radie R1 y=m och räta linjer och låt x2 bestå av en annan cirkel med radie R2 y=m och räta linjer så att de tre första villkoren på mängden uppfylls (se figur 13).
Figur 13: Kurvan består av delar av en cirkel med radie R1 y=m och räta linjer.
32
Optimala vägval i alpin skidåkning
Nu gäller x1, x2  X men för =0.5 så x1 + (1­)x2 ∉ X och mängden X är alltså ej konvex. Vilket innebär att det inte är säkert att det existerar endast en lösning på variationsproblemet.
8.1.2. Problem med existensen av minimerande punkter.
En annan sak som man vill visa är att det existerar ett minimum till problemet. För att visa att det säkert existerar minimerande punkter kan man använda sats 6. Mängden X måste då vara en delmängd i ett reflexivt Banachrum. Villkoren på mängden X kommer att innehålla x' vilket gör att man kan 1, 2
pröva att uppfylla sats 6 för till exempel Sobolevrummet, W 0 , som är ett Hilbertrum. Man får då att
1, 2
X ⊆W 0
och normen för x  X ges av
∥x∥W
1 /2
1,2
0
= ∫∣∇ x  y∣2 dy 


.
Man ska visa att f är en koerciv funktion, dvs att för
yC
f x = ∫
yA
gäller det att

2
1  x'
dy
y
∥x∥W  ∞ ⇒ f  x   ∞
1, 2
0
1 1 dy är en konvergent integral. c y
Man kan utifrån denna idé skapa en följd xi sådan att f(xi) konvergerar då i  ∞ trots att ∥x i∥ ∞ .
∫
c 0
Tyvärr gäller detta inte. Iden till motexemplet bygger på att lim
Låt x  = y[ y B− y1/ 2−1/ 2 ] , 1 /2 0 .
Då gäller
x  '= [ y B−y 1 / 2−1/ 2 ]−
1 y y B−y −1 / 2 .
2 Normen av x kan skrivas yB
2
 W 1,2
0
∥x ∥
= ∫  x  ' 2 dy = I 1 I 2 I 3
0 där
yB
I 1= ∫ [ y B −y − ] dy0
1 /2
1 /2 2 0 yB
I 2= −∫ y [1−1/ 2  y B −y −1 /2 ] dy−y B [1 −
0 33


]−y B då 0
y B
Truls Neubeck
yB
yB
1 1 I 3= ∫ y2 [y b −y ]−1 dy  y 2 B ∫  y B −y−1 dy =
4 0 8 y / 2 B
=
Så ∥x ∥W
1, 2
0
1 2 y  ln  y B / 2 −ln ∞ då 0 .
8 B
 ∞ när 0 .
Men för
F [ x ] = ∫ 
yB
0 1x ' 2
dy
y
har man
1x  ' 2 1 [ y B −y 1 /2 − 1/ 2 ]2 1 = 
−[1 −1/ 2  y B −y −1 /2 ]  y  y B− y−1
y
y
y
4 1 y B 
y

4 1y B  y B −y y
1 −1
y  y B− y =
4 4 y  y B −y 
2
vilket för uppdelningen
F [ x ]  I 1 I 2
ger
1 I1 =
2 y B/ 2
∫
0 
2
4 1y B  y B −y y
1 dy 
y  y B −y
2 y B / 2 K 1 
∫
0 y B /2
∫
0 
2
41 y B  y B y B /2
dy=
y y B /2 
dy
 C 1  ∞ då   0
y
och
yB

yB

41y B  y B−yy 2
4 1y B y B /2  y B 2
1 1 I2 =
dy 
dy=
∫
∫
2 y /2 y  y B− y
2 y / 2 y B / 2  y B− y
B
B
yB
K 2 
∫
y B / 2 dy
= K 2 [  y B /2 − ] C 2  ∞ då   0.
 y B−y
Alltså gäller
F [ x ]  C 1C 2  ∞ när ∥x∥W  ∞ ,
1,2
0
1,2
dvs F[x] är ej en koerciv funktion under W 0 ­normen. Man kan således inte använda sats 6 för att visa att ett minimum existerar till problemet om man använder denna norm.
34
Optimala vägval i alpin skidåkning
9. Numeriska och direkta metoder
Oavsett om man har lyckats att visa att villkoren för variationskalkylens fundamentalsats är uppfyllda eller ej så kan man försöka att beräkna lösningen till problemet med hjälp av någon lämplig metod. För att kontrollera om den beräknade lösningen verkligen är ett minimum så kan man till exempel göra flera beräkningar och jämföra resultaten sinsemellan. Verkar resultaten lika och de ger ett mindre värde än andra beräkningar kan man anta att de representerar ett minimum. Här följer några beräkningsmetoder som skulle kunna vara lämpliga att pröva på variationsproblemet med den snabbaste vägen mellan tre portar och en begränsning på svängfasen.
9.1. Variationsolikheter
Ett sätt att beräkna lösningen på variationsproblemet är genom att skriva om problemet som en variationsolikhet [Kinderlehrer & Stampaccia, 2000]. Exempel: Om man söker ett minimum x0 till en reell funktion f(x) på intervallet I =[a, b] så kan tre fall inträffa
1. om a<x0<b så f '(x0) = 0
2. om x0 = a så f '(x0)  0
3. om x0 = b så f '(x0)  0
alla fallen (1 ­3) ovan kan sammanfattas med att om x0 är ett minimum till f(x) så gäller att:
f '(x0)(x – x0)  0 för alla x  I.
Antag att x0 (y) är ett minimum till J[x] där
yC
1 J [x ] =∫ F  y , x , x '  dy , F =
 2g
y
A
Låt

1  x ' 2
.
y
x  = J [1 − x 0   x ] för 01, x  X
där X är konvex. Då gäller att
x ' 0  0 , ∀ x ∈ X
där
yC
x ' 0 = ∫ [F x '  y , x , x ' x '−x 0 '  F x  y , x , x '  x −x 0 ]dy .
yA
För J[x] har man att
Fx'  y , x , x ' =
x0 '
 2gy1 x ' 2 
Variationsolikheten kan då skrivas
35
, F xy , x , x ' = 0 .
Truls Neubeck
yC
x ' 0 = ∫
yA
x0'
2gy 1 x ' 
2
 x '−x 0 ' dy  0 .
Som ovan visats så är mängden X ej konvex med en begränsning på krökningsradien vilket gör att variationsolikheter inte är direkt tillämpbart i detta fall.
9.2. Ritz metod.
Ritz metod är en så kallad direkt metod för att beräkna lösningen på olika variationsproblem med hjälp av minimerande följder.
Definition 10: En följd {xn} kallas minimerande följd om lim J [x n ] = inf J [x ] =  −∞
n∞
x ∈X
Ritz metod minimerar en funktional genom att man
1. Konstruerar en minimerande följd.
2. Visar att följden konvergerar till x0  X.
3. Visar att lim J [x n ] = J [ lim x n ] gäller.
n ∞
n ∞
Variationskalkylens fundamentalsats är ett sätt göra det.
Antag att 1, 2, 3,... är en oändlig följd i X och låt Xn vara det n­dimensionella rummet som spänns upp av de n st första funktionerna , där X1 ⊆ X2 ⊆ ... ⊆ Xn ⊆ Xn+1 ⊆ ...⊆ X
då kan varje x  Xn kan skrivas på formen 11 +...+ nn där 1,...,n är reella tal. För varje delmängd Xn blir då J[x] = J[11 +...+ nn].
Man kan nu välja 1,...,n så att J[11 +...+ nn] minimeras med n. = inf J [ x ]
x∈ X n
Då gäller att 123...
eftersom varje linjärkombination av {1, 2,..., n} automatiskt är en linjärkombination av {1, 2,..., n+1}.
36
Optimala vägval i alpin skidåkning
Sats 7: Om J[x] är kontinuerlig och om {n} är en följd som är linjärt oberoende och spänner upp X så
lim  n = 
n ∞
där
 = inf J [ x ]
x∈ X
Genom att lösa ändliga optimeringsproblem med bivillkor i varje steg kan man konstruera en följd {xn} som konvergerar mot minimat i en mängd, X. Fördelen med Ritz metod är att om man lyckas välja bra funktioner, , så konvergerar metoden snabbt.
9.3. Finit differens metod
Ett annat sätt att beräkna lösningen på variationsproblemet är med en finit differens metod. Genom att låta kurvan bestå av n st räta linjer sammanbundna i punkter som kan variera i x­led så kan man få ett ändligt problem när man ska beräkna det snabbaste vägvalet. Denna diskretisering ger även en möjlighet att approximera begränsingen i svängfasen, som i en kontinuerlig modell är uttryckt i x' och x''. Några problem med denna metod är konvergens och tillförlitlighet hos resultatet.
37
Truls Neubeck
38
Optimala vägval i alpin skidåkning
10. Diskussion
Studiet av optimala vägval inom alpin utförsåkning visar att man kan tjäna upp till ett par tiondelars sekund genom att i traversfasen mellan två portar åka längs en del av en cykloid jämfört med den raka vägen så länge ingångsfarten till traversfasen inte överstiger 40 km/h. Även då lutningen förändras under traversfasen så kommer en ökad ingångshastighet att minska betydelsen av att åka längs cykloiden, då vinsten av att befinna sig en kort tid i det flackare partiet minskar ju fortare man åker. Betydelsen av cykloiden som vägval är därmed störst i början på åket innan åkaren har fått upp så stor fart, men tidsvinsten gör ändå att detta är relevant då skillnaderna i tidsresultatet för hela åk kan handla om hundradelar av en sekund mellan olika åkare.
För att få en enkel men realistisk modell för att länka samman olika traversfaser med en svängfas kan man använda en begränsning på den kraft Fload som åkaren måste motverka i svängen. Tidigare resultat av travers­ och svängfas tillsammans har antagit att lösningen inte förändras globalt om man använder en begränsing på svängfasen, något som inte är självklart. För att ytterligare undersöka problemet med travers och svängfas måste man definiera mängden X av möjliga vägval så att existensen och helst entydigheten av ett minimum garanteras.
Entydigheten garanteras av att mängden är konvex. Det är möjligt att villkoret Fload  FloadMAX är konvext. Men det verkar osannolikt då krökningsradien R ingår i uttrycket för Fload och villkoret R  Rmin inte är konvext. Existensen av ett minimum garanteras av variationskalkylens fundamentalsats med villkoren (1) Xf, ={xX∣f(x)} ≠ 0
och (2) Xf, är följd kompakt.
Dessa villkor kan gälla trots att förutsättningarna för den alternativa formuleringen av 1, 2
variationskalkylens fundamentalsats inte är uppfyllda för X ⊆W 0 .
Oavsett om man kan visa att ett entydigt minimum existerar eller ej så kan man försöka beräkna lösningen med någon numerisk metod. Det är då viktigt att kontrollera och uppskatta resultaten för att se om de är relevanta. Problemet påminner om andra problem med variationsolikheter men det är inte tillräckligt stora likheter för att man direkt ska kunna gå vidare och utnyttja tidigare resultat. Ritz metod har fördelen att den konvergerar snabbt om man lyckas välja bra basfunktioner. Det är dock oklart hur dessa basfunktioner ska väljas i detta fall. Förslagsvis skulle man köra flera olika numeriska metoder och jämföra lösningarna sinsemellan för att se om de liknar varandra.
39
Truls Neubeck
40
Optimala vägval i alpin skidåkning
11. Slutsats
Det optimala vägvalet för en alpin utförsåkare går att undersöka med variationskalkyl. Lösningen är relevant för traversfasen innan hastigheten uppgår till 40 km/h och ger tidsvinster på upp till ett par tiondelar av en sekund per port. Om lutningen ändras i traversfasen bör en större del av traversen utföras i den brantare delen av backen. För att få en någorlunda realistisk modell för travers­ och svängfasen tillsammans måste man införa en begränsning på svängfasen. Detta gör att villkoren på mängden av möjliga vägval inte nödvändigtvis garanterar existensen av ett entydigt minimum.
41
Truls Neubeck
42
Optimala vägval i alpin skidåkning
12. Appendix A
12.1. Mer funktionalanalys
12.1.1. Konvexitet
För att vara säker på att ett eventuellt minimum inte bara är lokalt så behöver man begrepp som beskriver om funktioner och mängder är konvexa.
Definition 11: En funktion f:Xℝ är strikt konvex om det för alla x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2, gäller att 0<<1 ⇒ f(x1+(1­)x2) < f(x1) + (1­)f(x2).
Figur 14: Konvex funktion.
Definition 12: En mängd X i ett linjärt rum är konvex om det för alla x1, x2 ∈ X gäller att 01 ⇒ x1+(1­)x2  X.
Figur 15: Konvex, X, och ej konvex, X*, mängd.
12.1.2. Topologier
Definition 13: En omgivning till ett element a i ett normerat rum X är
B a , r  = {x ∈ X∣∥x −a∥r }
Omgivningen till ett element, a, är helt enkelt alla element, x, som ligger i en 'boll' med radien r och centrum i a.
Definition 14: För en öppen mängd, G, i ett normerat rum, X, gäller det att för varje a G finns ett 43
Truls Neubeck
r>0 så att
∥x −a∥X  r ⇒ x ∈ G
Definition 15: En topologi på en mängd X är en uppsättning öppna delmängder G sådan att
•
varje union av element i G är ett element i G
•
snittet av ändligt många element i G är ett element i G
•
mängden, X, och den tomma mängden, ∅, är element i G
Paret <X, G> är ett topologiskt rum.
Följande definitioner beskriver kompakta mängder. För en kompakt mängd kan man vara säker på att en funktional är begränsad och antar sina gränser. För att beskriva kompakthet använder man sig av något som kallas öppna övertäckningar.
Definition 16: En öppen övertäckning av en mängd X är en klass av öppna mängder sådana att X är innehållen i unionen av mängderna i klassen.
Definition 17: En mängd X kallas kompakt omm varje öppen övertäckning av X innehåller en ändlig övertäckning.
Definition 18:En mängd X kallas följdkompakt om varje följd i mängden har en konvergent delföljd.
12.1.3. Normerade rum
Definition 19: En följd {xn} kallas Cauchyföljd om
∣xn ­ xm∣ 0
∥xn ­ x∥ 0
(m, n  ∞)
(n  ∞)
Definition 20: Ett Banachrum är ett fullständigt normerat rum X där alla Cauchyföljder konvergerar i rummets norm, dvs om {xn} är en Caucyföljd i X så existerar ett x ∈ X sådant att
Exempel. Ett exempel på Banachrum är Lebesquerummen, Lp() som består av alla funktioner x som uppfyller
∥x∥L
p

= ∫ ∣x  y ∣p dy
1/p
∞

Definition 21: Ett linjärt rum, X, där normen ges av den inre produkten enligt
∥x∥X =  〈 x , x 〉
kallas pre­Hilbertrum.
Definition 22: Ett Banachrum där normen ges av
∥x∥X =  〈 x , x 〉
är ett Hilbertrum, dvs ett fullständigt pre­Hilbertrum är ett Hilbertrum.
Exempel. Lebesquerummet, L2() är ett Hilbertrum där normen i L2() ges av
44
Optimala vägval i alpin skidåkning
∥x∥L  = 〈 x , x 〉 L  = ∫ x  y  dy
1/ 2
2
2
1/ 2
2

där
〈 x 1 , x 2 〉 L   = ∫ x 1  y x 2  y  dy .
2

Exempel. Sobolevrummet Wm,p() är en delmängd av ett Lebesquerum, Lp(), där normen ges av
∥x∥W
= ∫ ∣x  y∣ ∣∇ x  y ∣ 
p
m, p

p 1/p

.
Sobolevrummet W1,2() är ett Hilbertrum då normen
∥x∥W
1,2

=  〈 x , x 〉W
1,2

= 〈 x , x 〉 L    〈 ∇ x , ∇ x 〉 L   1/ 2
2
2
gör rummet fullständigt.
Definition 23: Två normer, A och B, är ekvivalenta normer om det existerar c1, c2  ℝ så att
c 1 ∥x∥A∥x∥B c 2 ∥x∥A
Ekvivalenta normer bevarar konvergens och därmed fullständighet. Exempel. Den delmängd av Sobolevrummet W1,2() som består av funktioner som är noll på randen 1,2
är ett Hilbertrum och betecknas W 0  . Detta rum är fullständigt med den enklare normen
∥x∥W

1 /2
= ∫∣∇ x  y∣ dy 
2
1,2
0

som är ekvivalent med W1,2() normen.
12.1.4. Dual och bidual
Definition 24: Mängden av alla begränsade linjära funktionaler f på ett rum X kallas dualen till X och betecknas X'.
Dualen X' till ett normerat rum X är alltid ett Banachrum med normen
∥ f ∥X ' = sup ∣ f  x∣ .
∥x∥ 1
X
Definition 25: Mängden av alla begränsade linjära funktionaler, F, som verkar på X' kallas bidualen till X och betecknas X''.
Bidualen är ett Banachrum med normen
∥F∥X ' ' = sup ∣F  f ∣
∥ f ∥X 1
Definition 26: Ett reflexivt rum X är ett rum med en bijektion mellan rummet X och dess bidual X''.
Alla Hilbertrum är reflexiva. 45
Truls Neubeck
12.1.5. Svag och *­svag topologi.
Definition 27: Låt a vara ett element i X, f1, f2,..., fn vara linjära och begränsade funktionaler i X' och ℇ< 0. Då kan man definiera en svag omgivning U till a genom
U(a, f1, f2,..., fn ,ℇ) = {x ∈ X ∣ sup ∣fi(x­a)∣ < ℇ}.
1 in
Definition 28:Om A är en icke­tom delmängd av X så är A svagt öppen omm varje a ∈ A har en svag omgivning U ⊂ A.
De svagt öppna delmängderna definierar en topologi på X som kallas en svag topologi.
Definition 29:I ett normerat rum X gäller att en följd {xn} konvergerar svagt mot x om
f(xn)  f(x) då n ∞ ,för alla f ∈ X'.
Sats 8:I alla reflexiva rum har varje begränsad följd en svagt konvergent delföljd
Definition 30: För g ∈ X', x1, x2,...,xn ∈ X och ℇ > 0 så är V(g, x1, x2,...,xn, ℇ) = {f ∈ X' ∣ sup ∣f(xi)­g(xi)∣ < ℇ}
1 in
en *­svag omgivning till g.
Definition 31: Låt G' vara en icke tom delmängd av X'. Om det till varje g ∈ G' finns en *­svag omgivning V ⊂ G' så är G' en *­svagt öppen mängd.
De *­svagt öppna mängderna definierar en topologi på X.
Definition 32: Om {fn} är en följd i X' och f ∈ X' säger man att {fn} konvergerar *­svagt mot f omm fn(x)  f(x) då n ∞ ,för alla x ∈ X.
I ett Hilbertrum är svag och *­svag konvergens samma sak.
46
Optimala vägval i alpin skidåkning
13. Appendix B
Det ickelinjära ekvationssystemet i kapitel 5.5 löstes med progamvaran Octave. De script som kördes var Variations.m, Varsol.m, F.m och T.m.
13.1. Variations.m
##
## GNU octave script
##
## Script for calculating the variational solution for different
## values of the angles alpha1 and alpha2.
##
## /Truls Neubeck
## Initialize plot window
clearplot;
## sätter origo i övre vänstra hörnet
axis ("ij");
hold on;
## Constants
yc = 8;
xb = 7.5;
yb = 16;
## Global variables
global r2 b2
## första banan för brant till flackt
alpha3 = pi/6;
sinalpha3 = sin(alpha3);
alpha4 = pi/36;
## Lös ekvationssystemet
[xc,r1,tc,vc,r2,vb,a2,b2] = varsol(sinalpha3,sin(alpha4),yc,xb,yb)
## Skapa punkter på kurvorna
t = 0:0.01:tc;
xt = r1*(t­sin(t));
yt = r1*(1 ­ cos(t));
v = vc:0.01:vb;
xv = r2*(v­sin(v))+a2;
yv = r2*(1­cos(v))+b2;
x = [xt,xv];
y = [yt,yv];
## Tid längs cykloid
tid1=sqrt(r1/(9.81*sin(alpha3)))*(tc);
tid2=sqrt(r2/(9.81*sin(alpha4)))*quad("T",vc,vb);
disp(tid1+tid2);
## tid längs den räta linjen
tid3=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha3))))*(2*sqrt(8));
tid4=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha4))))*(2*(sqrt(16)­sqrt(8)));
disp(tid3+tid4);
## Plotta kurvan
plot(x,y,";30 till 5;");
## plotta räta linjen
a=0:0.01:7.5;
b=16*a/7.5;
plot(a,b,";raka linjen;");
## Andra banan för flackt till brant
alpha3 = pi/36;
sinalpha3 = sin(alpha3);
alpha4 = pi/6;
47
Truls Neubeck
## Lös ekvationssystemet
[xc,r1,tc,vc,r2,vb,a2,b2] = varsol(sinalpha3,sin(alpha4),yc,xb,yb)
## Skapa punkter på kurvorna
t = 0:0.01:tc;
xt = r1*(t­sin(t));
yt = r1*(1 ­ cos(t));
v = vc:0.01:vb;
xv = r2*(v­sin(v))+a2;
yv = r2*(1­cos(v))+b2;
x = [xt,xv];
y = [yt,yv];
## Tid längs cykloid
tid1=sqrt(r1/(9.81*sin(alpha3)))*(tc);
tid2=sqrt(r2/(9.81*sin(alpha4)))*quad("T",vc,vb);
disp(tid1+tid2);
## tid längs den räta linjen
tid3=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha3))))*(2*sqrt(8));
tid4=(sqrt((1+(7.5/16)^2)/(2*9.81*sin(alpha4))))*(2*(sqrt(16)­sqrt(8)));
disp(tid3+tid4);
## Plotta kurvan
plot(x,y,";5 till 30;");
## Show plots
hold off;
## spara fil
gset terminal postscript;
gset output "varierad lutning.ps";
replot
## återställer plot till grafiskt
gset terminal x11;
13.2. Varsol.m
##
## GNU octave script
##
## Function describing the solution to a variational problem in alpine skiing
##
## /Truls Neubeck 2006­04­04
function [xc,r1,tc,vc,r2,vb,a2,b2] = varsol(_sinalpha1,_sinalpha2,_yc,_xb,_yb)
## Global parameters to be passed to F
global sinalpha1 sinalpha2 yc xb yb
sinalpha1 = _sinalpha1;
sinalpha2 = _sinalpha2;
yc = _yc;
xb = _xb;
yb = _yb;
## Starting point x0 = [r1,r2,tc,vc,vb]
x0 = [13,27,1,1,1];
## Solve the system of equations
[x,info] = fsolve('F', x0);
## Display message
perror("fsolve",info)
## Set the return values
r1=x(1);
r2=x(2);
tc=x(3);
vc=x(4);
vb=x(5);
xc=r1*(tc­sin(tc));
a2=r1*(tc­sin(tc))­r2*(vc­sin(vc));
b2=yc*(1­sinalpha1/sinalpha2);
48
Optimala vägval i alpin skidåkning
endfunction
13.3. F.m
##
## GNU octave script
##
## Utility function for a variational problem in alpine skiing
##
## /Truls Neubeck
## History:
## 2006­04­04: Created
## 2006­04­05: Corrected a mistake in the formula for z(5)
function z = F(x)
## Indata x = [r1,r2,tc,vc,vb]
## The following parameters are passed as global variables
global sinalpha1 sinalpha2 yc xb yb
z(1) = x(1)*(1 ­ cos(x(3))) ­ yc;
z(2) = x(2)*(1 ­ cos(x(4))) ­ yc*sinalpha1/sinalpha2;
z(3) = x(2)*(x(5) ­ sin(x(5))) + x(1)*(x(3)­sin(x(3))) \
­ x(2)*(x(4)­sin(x(4))) ­ xb;
z(4) = x(2)*(1 ­ cos(x(5))) + yc*(1 ­ sinalpha1/sinalpha2) ­ yb;
z(5) = sinalpha1^2*(1 ­ cos(x(4))) ­ sinalpha2^2*(1 ­ cos(x(3)));
endfunction
13.4. T.m
##
## GNU octave script
##
## Utility function for a variational problem in alpine skiing
##
## /Truls Neubeck
## History:
## 2006­04­24: Created
function y = T(v)
## The following parameters are passed as global variables
global r2 b2
y = sqrt( (1­cos(v)) / (1­cos(v)+b2/r2) );
endfunction
49
Truls Neubeck
14. Avslutningsvis
Arbetet med denna uppsats har varit roligt, intressant och ibland svårt. Jag vill särskilt tacka min handledare Fredrik Ståhl för många givande och lärorika diskussioner under arbetets gång. Tack även till Anders Holmbom och Lars Hjalmars för era ideer inför denna uppsats. Slutligen vill jag tacka min familj som har funnits där under hela arbetet.
/Truls.
50
Optimala vägval i alpin skidåkning
15. Referenser
Andersson N., 1998: Variationskalkyl med tillämpning på alpin utförsåkning. D­uppsats. Mitthögskolan.
Blanchard P. & Brüning E., 1992: Variational methods in mathematical physics. A unified approach. Springer­Verlag. 410s.
Gelfand I.M. & Fomin S.V., 2000: Calculus of variations. Dover publications. 232s.
Grahn R. & Jansson P.­Å., 1997: Mekanik, statik och dynamik. Studentlitteratur. 507s.
Hjalmars L., 2006: Personlig kommunikation.
Jentschura U.D. & Fahrbach F., 2004: Physics of skiing: The ideal­carving equation and its applications. Canadian Journal of Physics 82:4. 249­261.
Kinderlehrer D. & Stampacchia G., 2000: An introduction to variational inequalities and their applications. Siam. 313s.
Kline M., 1972: Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford university press.
Lind D. & Sanders S.P., 2004: The physics of skiing, skiing at the triple point. 2nd edition. Springer. 266s. Lundgren J., Rönnqvist M. & Värbrand P., 2001: Linjär och ickelinjär optimering. Studentlitteratur. 408s.
Reinisch G., 1991: A physical theory of alpine ski racing. Spektrum der sportwissenschaften 1, 26­50.
Reinisch G., Gautier G. & Monjo J.­L., 1994: The optimal trajectory in top­level alpine skiing. Spektrum der sportwissenschaften 2, 70­81.
Sagan H., 1969: Introduction to the calculus of variations, Dover publications, New York. 449s.
Twardokens G., 1996: Reprint from the proffesional skier fall 1996 , “longer line = shorter time”. TPS archives.
van Brunt B., 2004: The calculus of variations. Springer. 290s.
Zell S., 2005:Alpin skidteknik, ur ett helhetsperspektiv. SISU idrottsböcker. 64s. 51