1. No category

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Andreas Leopold Knutsen
11. oktober 2016
Den deriverte
f0
I Newton-kvotienten
gjennom punktene
f (x +h)−f (x )
er stigningen til sekantlinjen
h
(x , f (x )) og (x + h, f (x + h)) på grafen til f
I At f er derivérbar i x betyr at grensen
f
0
(x ) =
lim
h→0
f (x
+ h ) − f (x )
h
er denert.
I f 0 (x )
=
stigningen til tangentlinjen i x (og grafen til f er
glatt i x ).
f
ikke derivérbar i
x
(singulært punkt)
Når f ikke er derivérbar i x , sier vi at x er et singulært punkt. Da
er det to muligheter:
f (x
+ h) − f (x )
= ∞ eller −∞, er f ikke derivérbar
h
i x , men grafen har en vertikal tangentlinje (og er glatt i x ).
I Hvis lim
h→0
I Ellers har grafen til f ingen tangentlinje (har knekkpunkt i
x ). I dette tilfellet kan de ensidige grensene
lim
h→0−
og
lim ,
h→0+
hvis de eksisterer, gi informasjon om stigningen til hver del av
grafen på de to sidene
Eks:
f (x ) =
lim
h →0
=⇒
√
3
f (0
x (2 − x ) i x =
+ h) − f (0)
h
=
lim
h→0
0
1
h 3 (2
− h)
h
=
lim
h→0
2
−h
2
h3
=∞
f ikke derivérbar i 0, og grafen har vertikal tangentlinje i 0
Eksempel i
x =
0
1
lim
h→0+
f (h) − f (0)
h3
1
= lim+
= lim+ 2/3 = ∞
h →0 h
h→0 h
h
lim
h→0−
f (h) − f (0)
h2
= lim−
= lim− h = 0
h
h →0 h
h→0
.
=⇒
grafen har knekkpunkt og de to grensene sier oss noe om
brattheten på hver side
Eks:
√
3
f (x ) = 2x + 3 x 2 i x =
0
2
lim
h →0
.
=⇒
lim
h→0−
f (h) − f (0)
2h + 3h 3
= lim
= lim
h→0
h →0
h
h
(· · · ) = −∞
og
lim
h→0+
2+
3
1
h3
(· · · ) = ∞
=⇒ grafen har knekkpunkt og de to grensene sier at brattheten
∞ på hver side: et slikt singulært punkt kalles en cusp
er
Voksende funksjon (Def. 6 i 2.8)
I f er (strengt) voksende på intervallet I dersom
x1
< x2
i I
=⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Avtagende funksjon (Def. 6 i 2.8)
I f er (strengt) avtagende på intervallet I dersom
x1
< x2
i I
=⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Sammenheng med
I f0
>0
f0
på åpen I
(Teorem 12 i 2.8)
=⇒
f voksende på I (med eventuelle
=⇒
f avtagende på I (med eventuelle
endepunkt).
I f0
<0
på åpen I
endepunkt).
Krumning av (graf til) funksjon (4.5)
I f er oppoverkrummet/konveks/concave up på et åpent
0
intervall I dersom f er derivérbar på I og f er voksende på I ;
I Ekvivalent: alle tangenter til grafen ligger under grafen.
I f 00
>0
på I
=⇒ f
konveks på I
Krumning av (graf til) funksjon (4.5)
I f er nedoverkrummet/konkav/concave down på et åpent
0
intervall I dersom f er derivérbar på I og f er avtagende på I ;
I Ekvivalent: alle tangenter til grafen ligger over grafen.
I f 00
<0
på I
=⇒ f
konkav på I
Vendepunkt til (graf til) funksjon (4.5)
f har vendepunkt i x dersom:
I f skifter krumning i x ; og
I f har en tangentlinje i x
Merk: Tangentlinjen til grafen skjærer grafen i vendepunktet
Eks:
f (x ) =
I f 0 (x )
√
3
=
I =⇒ f 0
0
og f
x (2 − x ) i x =
2(1−2x )
√
, x
3
3 x2
0
6= 0
> 0 på (−∞, 0) og (0, 12 ) (f
< 0 på ( 12 , ∞) (f avtagende
voksende på
1
på [ , ∞))
2
(−∞, 12 ])
I Fra før: f ikke derivérbar i 0, men har vertikal tangentlinje
4(x +1)
I f 00 (x ) = −
5 , x 6= 0
9x 3
00
I =⇒ f > 0 på (−1, 0) (f konveks)
00
og f < 0 på (−∞, −1) og (0, ∞) (f konkav)
I
=⇒
Vendepunkt for x
= −1
og 0.
I f 00 (x )
I f 00 (x )
=2
=
på
− 25
9x 3
(−∞, 0):
<0
på
konveks
(0, ∞):
konkav
I Fant tidligere at f ikke har tangentlinje i 0
I
=⇒
Ikke vendepunkt i 0, selv om graf skifter krumning.
Asymptoter (4.6)
I Linjen x
= a kalles en vertikal asymptote
= ±∞ eller lim f (x ) = ±∞
lim f (x )
x →a+
I Kurven y
x
→∞
til (grafen til) f hvis
x →a−
= g (x )
er en asymptotekurve for (grafen til) f når
hvis
lim
x →∞
→ −∞).
horisontal hvis y = g (x ) = L (konstant),
skrå hvis y = g (x ) = ax + b, a 6= 0.
(tilsvarende for x
I
kalles
I
kalles
(f (x ) − g (x )) = 0
Eksempel
f (x )
I
=
x 2 +5x −4
2x −2
lim f (x )
x →1±
=
1
2x
+3+
= ±∞ =⇒
x
1
x −1
=1
(ved polynomdivisjon)
er vertikal asymptote.
Ingen andre vert. as. siden f denert og kont. for x
I
lim
x →±∞
=⇒
y
f (x )
=
1
2x
−(
+3
1
2
x
+ 3) =
lim
=0
−1
når x → ±∞
x →±∞ x
er skrå asymptote
1
6= 1
Eksempel
f (x )
I
=
x 3 −9x 2 +27x −27
x +1
lim
x →−1±
f (x )
= x 2 − 10x + 37 −
= ∓∞ =⇒
x
= −1
64
x +1 (ved polynomdiv.)
er vertikal asymptote.
Ingen andre vert. as. siden f denert og kont. for x
I
lim
x →±∞
=⇒
y
f (x )
− (x 2 − 10x
= x 2 − 10x + 37
+ 37) =
lim
x →±∞
−
64
x
+1
er asymptotekurve når x
6= −1
=0
→ ±∞
Omegn om et punkt (neighborhood)
La x0 være et punkt i denisjonsmengden til en funksjon f , dvs.
x0
∈ D (f ).
I En
δ -omegn
om x0 (eller bare omegn om x0 ) er et åpent
(x0 − δ, x0 + δ), eller evt. bare
[x0 , x0 + δ), hvis f bare er denert på den
intervall om x0 på formen
(x0 − δ, x0 ]
siden av x0 .
eller
ene
Lokale og globale ekstremalverdier
f (x0 ) er
I lokalt/relativt maksimum om f (x0 )
≥ f (x )
for alle x i en
omegn om x0 ;
I lokalt/relativt minimum om f (x0 )
≤ f (x )
for alle x i en omegn
om x0 ;
I (globalt/absolutt) maksimum om f (x0 )
≥ f (x )
for alle x i
denisjonsmengden til f ;
I (globalt/absolutt) minimum om f (x0 )
denisjonsmengden til f .
≤ f (x )
for alle x i i
Hvor nnes (lokale) ekstremalverdier? (T. 6 i 4.4)
Hvis f denert på intervall I har ekstremalverdi i x0 , da er x0 en av
følgende tre typer:
I x0 kritisk (stasjonært) punkt (KP), dvs. f 0 (x0 )
= 0;
I x0 singulært punkt (SP), dvs. f 0 (x0 ) er ikke denert;
I x0 endepunkt (EP) i I .
Men...
f trenger ikke ha lokale ekstremalverdier i disse punktene:
KP
SP
EP
Er det lokalt maks. eller min.?
I 1. derivert-testen (T. 7 i 4.4)
(Lignende i endepunkt)
I 2. derivert-testen i kritiske punkt (T. 10 i 4.5)
Finnes globale maks eller min?
I Ekstremalverditeoremet (Maks-Min-teoremet) T. 8 i 1.4
Hvis f kontinuerlig på lukket, begrenset intervall [a, b ], da har
f (globalt) maksimum og minimum på [a, b ]
I Ikke nødvendigvis sant om f ikke kontinuerlig eller intervall
ikke lukket:
Konsekvens: Strategi for å nne globale maks/min for
kont. på
f
[a , b ]
I Begrunn at Ekstremalverditeoremet garanterer at maks og min
nnes.
I Vi vet disse kan kun forekomme i kritiske punkt, singulære
punkt og endepunkt, så vi regner ut funksjonsverdiene i alle
disse.
I Den største (hhv. minste) av disse er maks (hhv. min)
I NB: noen ganger kan svaret nnes ved å tenke logisk fremfor å
regne ut mange funksjonsverdier!
Konsekvens: Strategi for å nne globale maks/min ellers
I Regn ut funksjonsverdiene i alle kritiske punkt, singulære
punkt (inkl. punkt der f ikke er kont.) og endepunkt.
I Den største (hhv. minste) av disse er kandidaten til global
maks (hhv. min), men det kan hende at f ikke har noen global
maks/min.
I Sjekk hvor f er voksende/avtagende, sjekk grenser mot
eventuelle endepunkter, punkter der f ikke er kont. og
±∞,
og tenk logisk, for å nne ut om kandidatene virkelig er globale
maks/min!
I NB: Se Teorem 8 i 4.4, men det er bedre å forstå teoremet enn
å pugge det. Les godt Eks. 5-6 i 4.4
Eks:
√
3
f (x ) = 2x + 3 x 2
√
I f 0 (x )
I
I
=
på
[−5, ∞)
2( 3 x +1)
√
, slik at
3x
x = −1,
f (−1) = 1;
f (0) = 0;
x = 0,
I EP x = −5,
f (−5) = −1, 22 . . .
0
0
f > 0 på (−5, −1) og (0, ∞), og f < 0 på (−1, 0)
=⇒ lok.min. i x = −5 og x = 0, lok. maks. i x = −1
lim f (x ) = ∞ =⇒ intet globalt maks
I
KP
I
SP
x →∞
I f (−5)
≈ −1, 22 min. på [−5, 0] ved ekstremalverditeoremet,
≥ 0 for x ≥ 0
=⇒ f (−5) = −1, 22 . . . er globalt min
og f (x )
Eks:
f (x ) =
I f 0 (x )
I
√
3
=
KP
x (2 − x )
på
(−∞, ∞)
2(1−2x )
√
, slik at
3
3 x2
x = 12 ,
x =0,
I
SP
I
ingen EP
f ( 12 ) = √332 ;
f (0) = 0;
(−∞, 12 ] og avtagende på [ 12 , ∞)
1
maks. i x = , ingen andre lokale
2
I Fra før: f voksende på
=⇒
lok. og glob.
maks/min.
I (At det ikke nnes globale min. er bekreftet av at
lim
x →±∞
f (x )
= −∞)
Eksempel på å tenke enkelt!
Finn maks/min til y (t )
Siden sin
y (t )
πt
= y0 e
6k
π
sin( π6t )
−1
(−∞, ∞)
og disse verdiene oppnås, vil
6k
− 6k
svinge mellom maksimalverdi y0 e π og minimalverdi y0 e π .
6
svinger mellom 1 og
på
Annet eksempel på å tenke enkelt!
Finn maks/min til f (x )
=
x2
1+x 2 på
I Vi ser med en gang at 0
I f (0)
I
lim
= 0 =⇒ f (0) = 0
x →±∞
f (x )
=
(−∞, ∞)
≤ f (x ) < 1
for alle x
er derfor (globalt og lokalt) minimum.
1
lim
x →±∞ 1 + 12
x
=1
=⇒ f (x ) kommer så nær vi vil 1 uten
=⇒ f har intet globalt maksimum
å bli lik