Prøveeksamen i MAT1140, H-15
Prøveeksamen i MAT1140, H-15
Oppgave 1. A og B er delmengder av et univers U . Vis at
A ∩ (B c ∩ A)c = A ∩ B
Oppgave 2. Løs ligningen x̄2 + 7̄x̄ − 4 = 0̄ i Z/(61).
Oppgave 3. Fargelegg grafen nedenfor med fire farger. Bevis at det ikke er
mulig med færre farger. Forklar at dersom vi legger til en kant fra e til b, så
trenger vi fem farger for å fargelegge grafen. Hvorfor strider ikke dette mot
firefargeteoremet?
dt
@@
@
e t
A
A
a At
@t c
t
b
Oppgave 4. La R være en relasjon på en ikke-tom mengde X.
a) Definer en ny relasjon S på X ved
S = R ∪ {(x, x) : x ∈ X} ∪ {(y, x) : (x, y) ∈ R}
Vis at S er refleksiv og symmetrisk.
b) Vi sier at x ∈ X er S-forbundet med y ∈ X dersom det finnes elementer
x0 , x1 , . . . , xn ∈ X, n ∈ N, slik at
x = x0 ,
x0 Sx1 ,
x1 Sx2 ,
...,
xn−1 Sxn ,
xn = y
Definer en ny relasjon T på X ved
xT y ⇐⇒ x er S-forbundet med y
Vis at T er en ekvivalensrelasjon.
Oppgave 5. Anta at t ∈ Z, t ≥ 2, og at ā er et element i Z/(t) som er
innbyrdes primisk med t. Ordenen til ā er det minste naturlige tallet d slik
at ād = 1̄.
a) Vis at d|φ(t), der φ er Eulers φ-funksjon.
Vi kaller et element ā ∈ Z/(t) en primitiv rot dersom det er innbyrdes
primisk med t og har orden φ(t).
1
b) Vis at dersom ā er en primitiv rot, og b̄ er innbyrdes primisk med t,
så finnes det et naturlig tall k ≤ φ(t) slik at āk = b̄.
Oppgave 6. En funksjon f : N → N har konstant hale dersom det finnes et
tall nf ∈ N slik at f har samme verdi for alle k ≥ nf . Vis at mengden
A = {f : f : N → N har konstant hale}
er tellbar.
Oppgave 7. I pensum har vi bare sett på endelige grafer, men i denne
oppgaven skal vi tillate grafer med uendelig mange hjørner og kanter. Alle
andre definisjoner er som før, men for sikkerhets skyld går vi gjennom dem
vi trenger:
I denne oppgaven er en graf G = (V, E) et par bestående av en ikke-tom
mengde V og en mengde E av par {u, v} der u, v er ulike elementer i V .
Elementene i V kalles hjørner eller noder, og elementene i E kalles kanter.
En sti i G er en følge
v0 −→ v1 −→ v2 −→ . . . −→ vn−1 −→ vn
der (vi , vi+1 ) ∈ E for i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, og der v0 , v1 , v2 , . . . , vn er forskjellige. En sykel er en følge
v0 −→ v1 −→ v2 −→ . . . −→ vn−1 −→ v0
der (vi , vi+1 ) ∈ E for i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, og der v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 er
forskjellige. En graf er sammenhengende dersom det for alle u, v ∈ V finnes
en sti som starter i u og ender i v. Et tre er en sammenhengende graf
T = (VT , ET ) uten sykler. Vi sier at T er et deltre av grafen G = (V, E)
dersom VT ⊆ V og ET ⊆ E, og vi sier at deltreet T av G er et utspenningstre
(spanning tree) for G dersom VT = V . Målet med oppgaven er å vise at alle
sammenhengende grafer har et utspenningstre.
I resten av oppgaven er G = (V, E) en sammenhengende graf i henhold
til definisjonene ovenfor, og T er mengden av alle deltrær av G.
a) Definer en relasjon ≤ på T ved
T1 ≤ T2 ⇐⇒ VT1 ⊆ VT2 og ET1 ⊆ ET2
Vis at ≤ er en partiell ordning på T .
b) Anta at T ∈ T ikke er et utspenningstre for G. Vis at det finnes en
T 0 ∈ T slik at T < T 0 .
c) Anta at C er en kjede av trær i T . Vis at det finnes et tre S ∈ T slik
at T ≤ S for alle T ∈ C.
d) Vis at det finnes et utspenningstre for G.
Slutt
2
© Copyright 2024