1. No category

Föreläsning 3
Derivata och integral, några samband
Antag att f (x) är kontinuerlig på ett intervall.
Z
d
f (x) dx = f (x).
dx
Antag att f 0 (x) är kontinuerlig på ett intervall.
Z
df
dx = f (x) + C
dx
Vidare:
d
dx
Z
a
x
Z
1
d
1
1
dx = ln x + C ty
(ln x + C) = + 0 = .
x
dx
x
x
Z x
Z h(x)
1
d
d
1 d
ln tdt = ln x och
f (t)dt = f (h(x))h0 (x).
dt =
(ln x−ln a) = ,
t
dx
x dx a
dx a
Lite om linearitet
Z
Z
Z
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx.
Bevis genom att derivera båda led.
Z
b
b
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
b
f (x)dx +
a
a
g(x)dx.
a
Bevis genom att låta F (x) och G(x) beteckna primitiv funktion till f resp.
g.
Variabelsubstitution
Obestämd integral
Z
Z
f (x(t)) ·
f (x) dx =
dx
dt.
dt
Förutsättning: x0 (t) är kontinuerlig och f (x) kontinuerlig.
Obs! Likheten är en likhet sånär som på en additiv konstant.
Z
b
Z
β
f (x(t)) ·
f (x) dx =
a
α
dx
dt.
dt
Förutsättningar som ovan, samt att x(α) = a och x(β) = b.
Z 1
1 x/2
Ex 1 Beräkna
ex/2 dx. LösningVi vet att F (x) :=
e
= 2ex/2
1/2
0
är en primitiv funktion. Alltså är
Z 1
h
i1
√
ex/2 dx = 2ex/2 = 2( e − 1).
0
0
Alternativt kan man gör en V.S. x = 2t = x(t), så att

x = 2t, dx = 2 ⇐⇒ dx = 2dt
dt
x = 0 ⇐⇒ t = 0, x = 1 ⇐⇒ t = 1/2
1
=⇒
Z
1
x/2
e
Z
dx = 2
0
1/2
√
et dt = 2(e1/2 − 1) = 2( e − 1)
0
d.v.s. samma svar.
Om f (x) och x0 (t) kontinuerliga så är
Z
Z
dx
f (x)dx = f (x(t)) . dt
dt
(1)
Om dessutom x(α) = a och x(β) = b, så är
Z
b
Z
β
f (x(t))
f (x)dx =
a
α
2
dx
. dt
dt
(2)