TENTAMEN I REGLERTEKNIK
FORTSÄTTNINGSKURS M, TSRT06
TID: Fredag 20 mars 2015, klockan 14 - 18.
ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel 070-3113019
BESÖKER SALEN: 15:00, 17:00
TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: ”Reglerteknik, Grundläggande teori”, Läroboken Glad-Ljung, ”Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder”. Miniräknare. MATLAB i lärosalens dator.
LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås på hemsida efter tentamen.
PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng
betyg 4 33 p
betyg 5 43 p
OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom
triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag.
Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till
en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d
printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den
aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema
kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan
vid Device option.
TENTAND-ID (AID) PÅ UTSKRIFTER: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink
genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman
kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text.
1
1. Betrakta det flervariabla systemet
Y (s) = G(s)U (s)
där
1
 s+2

G(s) = 
 1
s+1


2
s+4 


1 
s+2
(a) Bestäm systemets RGA för frekvensen ω = 0.
(3p)
(b) Antag att man vill styra systemet med en diagonal regulator på
formen
K 0
F (s) =
0 K
Använd resultatet i a) för att bedöma hur framgångsrikt detta
kan bli. Verifiera ditt resultat genom att beräkna det återkopplade
systemets poler för fallet K = 5.
(3p)
(c) Hur kan modellen (eller regulatorstrukturen) modifieras, baserat
på RGA-analysen, så att man har större chans att nå ett bra
resultat? Verifiera att ditt nya återkopplade system blir stabilt för
fallet K = 5.
(4p)
2
2. Ett system bestående av ett antal seriekopplade vattentankar kan beskrivas av överföringsfunktionen
G(s) = (
2 n
)
s+1
där n är antalet tankar. Systemet styrs med till/från-reglering, d v s
med hjälp av ett relä. Reläet antas ha utsignalen ±1. Reglersystemet
kan alltså beskrivas med blockschemat nedan.
r=0
Σ
e
f(e)
w
G(s)
y
-1
Figur 1: Reglersystem med relä
(a) Hur många tankar kan systemet innehålla för att asymptotisk stabilitet skall kunna garanteras med cirkelkriteriet?
(3p)
(b) Hur många tankar kan systemet innehålla utan att självsvängning
kan förväntas inträffa?
(3p)
(c) Studera det minsta antalet tankar för vilket självsvängning kan
misstänkas inträffa. Räkna ut förväntad frekvens och amplitud på
svängningen. Bör självsvängningen bli stabil eller instabil? (4p)
3
3. (a) Betrakta det olinjära systemet
ẋ1 = −βx1 x2 − u
ẋ2 = βx1 x2 − γx2
där β > 0 och γ > 0. Antag att styrsignalen hålls konstant u = 1.
Ange systemets stationära punkter. Beräkna även det linjäriserade
systemet och analysera dess stabilitet.
(5p)
(b) En dynamisk system med två insignaler och två utsignaler ges på
tillståndsform av ekvationerna
−2 1
1 0
ẋ(t) =
x(t) +
u(t)
1 −2
0 1
1 0
y(t) =
x(t)
0 1
Verifiera att återkopplingen
u(t) = −Lx(t) +
i fallen
r1 (t)
r2 (t)
3 1
1 3
3 3
1 3
L1 =
respektive
L2 =
ger samma poler för det återkopplade systemet.
(3p)
(c) Vad är fördelen med att använda förstärkningen L1 jämfört med
att använda förstärkningen L2 i uppgift b) ovan?
(2p)
4
4. På filen airc.mat finns matriserna A och B i den linjäriserade tillståndsbeskrivningen
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
för ett flygplan, där
x1 höjd relativt en jämviktsnivå
x2 hastighet framåt
x3 tippvinkel
x4 tippvinkelhastighet
x5 vertikalhastighet
och
u1 ”spoiler”-vinkel
u2 acceleration framåt
u3 höjdroder-vinkel
(a) Systemet har en pol i origo, vilket innebär att det finns begynnelsetillstånd x(0) = x0 sådant att x(t) ej går mot noll då t → ∞.
Vilket begynnelsetillstånd är detta för systemet ovan?
(2p)
(b) Antag nu att systemet startas i begynnelsetillståndet
x0 = (0 0 1 0 0)T
d v s nosen pekar uppåt, samt att ingen återkoppling används.
Vilken/vilka poler hos systemet syns tydligast i systemets uppträdande vid en simulering. Motivera!
(2p)
(c) Antag nu åter att systemet startas i begynnelsetillståndet
x0 = (0 0 1 0 0)T
Bestäm en återkoppling på formen
u(t) = −Lx(t)
sådan att avvikelsen i höjd blir liten samtidigt som styrytorna
används så lite som möjligt. Kraven kan formuleras enligt:
• | x1 (t) |< 1 hela tiden.
• | u1 (t) |< 3 · 10−5 hela tiden.
• | u3 (t) |< 2 · 10−5 hela tiden.
(6p)
5
5. Sambandet mellan inflöde och nivå i en tank kan kring en arbetspunkt
beskrivas med överföringsfunktionen
Y (s) =
k
U (s)
sτ + 1
(a) Inför tillståndsvariabeln x1 (t) = y(t) och skriv modellen på tillståndsform.
(1p)
(b) I verkligheten mäts nivån med en mätgivare som ger ett viss
mätfel, d v s
y(t) = Cx(t) + v2 (t)
där v2 (t) har medelvärde noll och R2 = 1. Antag att nivån skattas
med ett kalmanfilter på formen
˙
x̂(t)
= Ax̂(t) + Bu(t) + K(y(t) − C x̂(t))
utan att man antar att någon systemstörning påverkar systemet.
Vad blir kalmanfiltrets förstärkning? Är detta resultat rimligt?
Analytiska räkningar krävs för fullständiga poäng.
(3p)
(c) Antag nu att vi dessutom modellerar en systemstörning, d v s
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + v1 (t)
där v1 (t) har medelvärde noll och varians R1 , och att nivån skattas
med ett kalmanfilter enligt ovan. Gör en skiss av hur förstärkningen
K beror av R1 . Analytiska räkningar krävs för fullständiga poäng.
(6p)
6