Jaksollisen signaalin spektri
LuK-tutkielma
Topi Suviaro
2257699
Matemaattisten tieteiden laitos
Oulun yliopisto
Syksy 2015
Sisältö
Johdanto
2
1 Jaksollisuudesta
2
2 Spektristä
3
2.1 Symmetrian vaikutuksesta Fourier-sarjaan . . . . . . . . . . . 11
Lähdeluettelo
13
1
Johdanto
Tässä tutkielmassa käydään läpi Fourier-sarjaa ja jaksollisen signaalin muuttamista spektrin muotoon sen avulla. Fourier-sarja on matemaattinen menetelmä, jolla signaali voidaan esittää sinimuotoisten komponenttien summana.
Spektrissä signaali on taajuustasossa. Jaksollisella signaalilla ja sen spektrin
analysoinnilla on useita käyttötarkoituksia ja käytännön sovelluksia. Fouriersarjan avulla signaalin muuttamista spektrimuotoon voidaan käyttää hyväksi
esimerkiksi valoa tai ääntä analysoitaessa.
1
Jaksollisuudesta
Tässä työssä käsitellään jaksollisen funktion spektriä, joten määritellään ensin jaksollisen funktion käsite. Havainnollisesti jaksollinen funktio on funktio,
joka saa samoja arvoja tietyn jakson välein. Funktion kuvaaja esiintyy samanlaisena tietyn jakson välein. Muodollinen jaksollisuuden määritelmä on
seuraava.
Määritelmä 1.1. Funktio g on jaksollinen, jos on olemassa positiivinen luku
T niin, että
g(t) = g(t + T )
(1)
kaikilla t ∈ R. Pienintä positiivista lukua T , jolle (1) toteutuu kaikilla t ∈ R
sanotaan funktion g perusjaksoksi.
Fourier’n sarja eli Fourier-sarja on tapa, jolla voidaan esittää jokin jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla äärettömänä
summana. Sinimuotoiset funktiot eli sini- ja kosinifunktiot ovat keskenään
identtisiä, mutta niillä on vaihe-ero π2 , sillä
sin(t) = cos(t −
π
).
2
Signaalin aaltomuodolla kuvataan signaalin käyttäytymistä aikatasossa eli
ajan funktiona. Sinimuotoinen signaali toimii perustana kaikkien signaalien
taajuussisällön käsittelyssä, sillä periaatteessa mikä tahansa signaali voidaan
esittää sinimuodossa olevien signaalien summana.
Sinimuotoinen signaali on muotoa
A sin(ωt + φ) = A sin(2πf t + φ)
tai
A cos(ωt + φ) = A cos(2πf t + φ).
2
Sinimuotoinen signaali värähtelee yhdellä kulmataajuudella ω ja perussuureet ovat
f = 1/T ,
T = jakson pituus [s],
f = taajuus [Hz],
ω = 2πf ,
ω = kulmataajuus [rad],
T = 2π/ω,
Ai = amplitudi,
fi = taajuus,
φi = vaihe.
Käytännössä jaksollinen signaali voidaan esittää kosinisignaalien summana
valitsemalla kosinisignaalit sopivasti. Esimerkiksi funktio g voidaan siis esittää muodossa
X
g(t) ∼
Ai cos(2πfi t + φi )
= A0 cos(2πf0 t + φ0 ) + A1 cos(2πf1 t + φ1 ) + A2 cos(2πf2 t + φ2 ) + . . . .
missä merkinnällä ∼ tarkoitetaan, että funktio g ei välttämättä yhdy sarjaesitykseen jokaisella t:n arvolla.
Termien lukumäärä summalausekkeessa riippuu esitettävästä signaalista ja
esitystarkkuudesta.
2
Spektristä
Spektri tarkoittaa mitattavan suureen jakautumista komponentteihin taajuuden tai energian suhteen. Spektrianalyysiä käytetään esimerkiksi fysiikassa
ilmiöiden tulkitsemiseen. Jaksollisen signaalin tapauksessa spektri saadaan
aaltomuodon Fourier-sarjasta. Fourier-sarja on tapa esittää jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla sarjakehitelmänä eli äärettömänä summana.
Määritellään Fourier-sarja muodollisesti seuraavaksi.
Määritelmä 2.1. Olkoon f : R → R T -jaksollinen funktio. Sarjaa
∞
a0 X
2πnt
2πnt
(an cos(
+
) + bn sin(
)),
2
T
T
n=1
missä
2
an =
T
Z
0
T
g(t) cos(
2πnt
)dt,
T
3
n = 0, 1, 2, . . .
ja
2
bn =
T
Z
T
g(t) sin(
0
2πnt
)dt,
T
n = 1, 2, . . .
sanotaan funktion f Fourier-sarjaksi. Kertoimia an ja bn sanotaan funktion
f Fourier-kertoimiksi.
Huomautus 2.2. Määritelmässä 2.1 ei ole oleellista, minkä välin yli funktio
integroidaan, sillä T-jaksolliselle funktiolle
Z T
Z t0 +T
f (x)dx
f (x)dx =
0
t0
mille tahansa t0 ∈ R.
Fourier-sarjan määritelmän avulla voidaan määritellä työn pääkäsitteet amplitudispektri ja vaihespektri.
Määritelmä 2.3. Olkoon f : R → R T -jaksollinen funktio. Joukkoa
q
k
{( , a2k + b2k )|k = 0, 1, 2, . . . },
T
missä luvut ak ja bk ovat funktion f Fourier-kertoimia, sanotaan funktion f
amplitudispektriksi.
Määritelmä 2.4. Olkoon f : R → R T -jaksollinen funktio. Joukkoa
k
{( , φk )|k = 0, 1, 2, . . . },
T
missä φk = arctan(bk /ak ) ja luvut ak ja bk ovat funktion f Fourier-kertoimia,
sanotaan funktion f vaihespektriksi. Kiinnitetään vaihekulma
φk = arctan(bk /ak ) ∈ ] − π, π] seuraavasti.
1. φk ∈ [0, π2 [, jos bk ≥ 0 ja ak > 0,
2. φk ∈ ] π2 , π], jos bk ≥ 0 ja ak < 0,
3. φk ∈ ] − π, − π2 [, jos bk < 0 ja ak < 0,
4. φk ∈ ] − π2 , 0[, jos bk < 0 ja ak > 0.
Lisäksi sovitaan, että
5. φk = π2 , jos bk > 0 ja ak = 0,
4
6. φk = − π2 , jos bk < 0 ja ak = 0.
Jos ak = bk = 0, niin tällöin φk ei ole määritelty.
Amplitudispektri liittää kuhunkin taajuuteen kyseisellä taajuudella värähtelevän kosinisignaalin amplitudin. Vastaavasti vaihespektri liittää kuhunkin taajuuteen kyseisellä taajuudella värähtelevän kosinisignaalin vaihekulman. Jaksollisen signaalin spektri on luonteeltaan diskreetti eli koostuu erillisistä komponenteista, joiden taajuudet saadaan signaalin perustaajuuden
f0 = 1/T harmonisina monikertoina fn = n/T . Fourier-sarja koostuu siis
perustaajuudella ja sen monikerroilla värähtelevistä sini- ja kosinikomponenteista.
Esimerkki 2.5. Olkoon f (t) = 3 sin(2π2t). Lasketaan funktion f (t)
amplitudispektri.
Ratkaisu: Koska funktio
f (t) = 3 sin(2π2t)
on muotoa
missä
∞
2πkt
2πkt
a0 X
+
) + bk sin(
)),
(ak cos(
2
T
T
k=1
T = 1,
b2 = 3,
ak = 0 kaikilla k,
niin funktion f (t) = sin(2π2t) Fourier-sarja on funktio itse. Näiden nojalla
funktio
f (t) = 3 sin(2π2t)
voidaan esittää Fourier-sarjana
∞
a0 X
+
(ak cos(2πkt) + bk sin(2πkt)).
2
k=1
Määritelmän 2.3 nojalla amplitudispektriksi saadaan
{(2, 3)} ∪ {(k, 0)|k 6= 2}.
Parametri ak = 0 kaikilla k ja ainoa nollasta poikkeava parametri bk on b2 .
Määritelmän 2.4 kohdan 5 perusteella φ2 = π2 . Määritelmän 2.4 nojalla
vaihespektriksi saadaan
π
{(2, )}.
2
5
Kuva 1: Funktio f(t):n kuvaaja ja amplitudispektri.
6
Esimerkki 2.6. Olkoon f (t) = sin(2t) + 3 sin(5t) + 4 cos(5t).
Lasketaan funktion f (t) amplitudi ja vaihespektri.
Ratkaisu:
Jaetaan funktio f (t) kahteen osaan värähtelevän kulmataajuuden mukaan eli
olkoon f1 (t) = sin(2t) ja f2 (t) = 3 sin(5t) + 4 cos(5t). Lasketaan ensin funktion f1 (t) = sin(2t) spektrit. Sijoitetaan luvut paikalleen aiemmin esiteltyyn
amplitudispektrin kaavaan, jolloin saadaan amplitudispektriksi
{(
2 √ 2
1
, 0 + 12 )} = {( , 1)}.
2π
π
Vaihespektri saadaan vastaavasti ja tehdään sijoitus, josta saadaan, että
2
1
1
π
= , arctan( ) = .
2π
π
0
2
Vaihespektri on siis
1 π
{( , )}.
π 2
Lasketaan
√ sitten funktion f2 (t) amplitudi- ja vaihespektri.
Koska 32 + 42 = 5, voidaan
f2 (t) = 3 sin(5t) + 4 cos(5t)
kirjoittaa muodossa
4
3
f2 (t) = 5 · ( · sin(5t) + · cos(5t)).
5
5
Merkitään x = 5t ja ratkaistaan y yhtälöparista
(
cos(y) = 45
sin(y) = 53
ja käytetään kosinin yhteenlaskukaavaa
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y,
josta saadaan, että f2 (t) voidaan kirjoittaa muodossa
f2 (t) = 5 · cos(5t − φ),
missä
3
φ = arctan .
4
7
Tästä saadaan, että komponentin f2 (t) amplitudi on 5 ja vaihe on φ =
arctan 43 . Funktion f amplitudispektriksi saadaan edellisestä
{(
2
5
k
, 1)} ∪ {( , 5)} ∪ {( , 0)|k 6= 2, 5}
2π
2π
2π
ja vaihespektriksi
{(
2 π
5
3
, )} ∪ {( , arctan )}.
2π 2
2π
4
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Funktion f(t) amplitudispektri
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
20
Kuva 2: Funktio f(t):n kuvaaja ja amplitudispektri. Kuvan amplitudispektrissä näkyvät epätarkkuudet johtuvat käytetystä piirto-ohjelmasta, joka laskee
spektrin Fourier-muunnoksen avulla.
Esimerkki 2.7. Olkoon
f (x) = |x|,
−π < x < π
Lasketaan funktion f Fourier-sarja ja määrätään amplitudi- ja vaihespektri.
8
1
Ratkaisu: Funktio on muotoa
∞
a0 X
f (x) =
(an cos(nx) + bn (sin(nx)).
+
2
n=1
Lasketaan ensin kerroin a0 , joksi saadaan
1
a0 =
π
π
2
|x|dx =
π
−π
Z
Z
0
π
|x|dx = π,
jonka jälkeen kerroin
Z
2 π
|x| cos(nx)dx =
x cos(nx)dx
π 0
−π
Z π
π
π
2 . x sin(nx)
2 . cos(nx)
sin(nx)
= [
−
dx] =
π
n
n
π
n2
0
1
an =
π
Z
π
0
0
n
n
=
2
2((−1) − 1)
2(−1)
− 2 =
,
2
πn
πn
πn2
ja lopuksi kerroin
Z
Z
1 0
1 π
|x| sin(nx)dx =
−x sin(nx)dx +
x sin(nx)dx
π −π
π 0
−π
Z 0
Z π
0
π
1 . x cos(nx)
1 . −x cos(nx)
cos(nx)
cos(nx)
= [
−
dx] + [
+
dx]
π
n
n
n
n
n
−π
0
1
bn =
π
Z
π
0
−π
1 π(−1)n
−
= [
π
n
.0
−π
n
=
π
1 −π(−1)n . sin(nx)
sin(nx)
[
+
]
+
]
n2
π
n
n2
0
n
1 π(−1)
1 −π(−1)
+
= 0.
π n
π
n
Jokainen pariton luku n on muotoa n = 2k + 1 jollakin k = 0, 1, 2, . . . , joten
4
a2k+1 = − π(2k+1)
2 kaikilla k = 0, 1, 2, . . . .
Parillisilla n:n arvoilla an = 0, kun n ≥ 1 ja bn = 0 kaikilla n = 1, 2, . . .
9
Amplitudispektri on
{(
2n + 1
4
2n
,
, 0)|n = 1, 2, . . . }.
)|n
=
0,
1,
.
.
.
}
∪
{(
2π
π(2n + 1)2
2π
Vaihespektriä tarkastellessa huomataan, että nyt a2n+1 < 0 ja b2n+1 = 0.
Määritelmän 2.3 perusteella φ2n+1 ∈] π2 , π] ja yksikköympyrän perusteella
tästä seuraa, että φ2n+1 = π.
Vaihe φ2n ei ole määritelty millään luvun n arvolla.
Näin ollen vaihespektri on
{(
2n + 1
, π)|n = 0, 1, . . . }.
2π
10
2.1
Symmetrian vaikutuksesta Fourier-sarjaan
Fourier-sarjan kertoimien laskeminen yksinkertaistuu, jos funktio on
parillinen tai pariton. Esimerkin 2.7 funktio oli parillinen ja kertoimien an laskemisessa hyödynnettiin parillisuutta. Parillisuutta voidaan hyödyntää yleisemminkin. Jokaiselle T -jaksolliselle parilliselle funktiolle g saadaan kerroin
Z
4 T /2
2πnt
an =
)dt, n = 0, 1, 2, . . . ,
g(t) cos(
T 0
T
sillä kosini on parillinen ja kahden parillisen funktion tulo on parillinen.
Vastaavasti, koska sini on pariton ja parittoman funktion tulo parillisen funktion kanssa on pariton, saadaan kertoimiksi
bn = 0.
Jos funktio g on pariton, eli g(−t) = −g(t) kaikilla t, niin edellä esitetyn
päättelyn mukaan kertoimiksi saadaan
Z
2πnt
4 T /2
g(t) sin(
)dt, n = 1, 2, . . . .
bn =
T 0
T
Parittomalle funktiolle an = 0 kaikilla n.
Parilliselle funktiolle g(−t) = g(t) kaikilla t, josta kertoimeksi a0 saadaan
Z
2 T /2
a0 =
g(t)dt.
T 0
Vastaavalla tavalla kertoimeksi an saadaan
Z
4 T /2
2πnt
an =
dt.
g(t) cos
T 0
T
Parittomalle funktiolle saadaan nollakertoimet
a0 = 0 ja
an = 0
sekä kerroin
Z T0 /2
2π
2
g(t) sin n tdt
bn = 2 ·
T0 0
T
Esimerkki 2.8. Olkoon
g(x) =
(
−1, kun − π < x < 0
1,
kun 0 < x < π.
Lasketaan funktion g Fourier-sarja.
11
Ratkaisu: Valitaan T = 2π ja jatketaan g 2π-jaksolliseksi. Funktio g on
pariton, joten edellä esitetyn nojalla kertoimet an ovat nollia kaikilla n =
0, 1, 2, . . .. Kertoimiksi bn saadaan
Z
Z
1 π
2 π
bn =
g(x) sin nxdx =
g(x) sin nxdx,
π −π
π 0
koska g(x) sin nx on parillinen. Tämän nojalla
2
bn =
π
Z
π
0
2
2
2 .
cos nx =
sin nxdx = −
(1 − cos nπ).
nπ
nπ
0
Koska cos nπ = (−1)n niin seuraa, että
bn =
2
(1 − (−1)n )
nπ
on auki kirjoitettuna
(bn ) =
1
1
4
(1, 0, , 0, , . . . ).
π
3
5
Koska cos nπ = (−1)n , niin
bn =
2
(1 − (−1)n ).
nπ
Nähdään, että kertoimet bn ovat nollia parillisilla
n:n arvoilla. Kertoimista
∞
4
1
1
bn saadaan jono (bn )n=1 = π 1, 0, 3 , 0, 5 , . . . .
Fourier-sarja on siis
g(x) ∼
eli
4
1
1
(sin x + sin 3x + sin 5x + . . . )
π
3
5
∞
4 X sin(2k − 1)x
.
g(x) ∼
π n=1
2k − 1
Aiemmassa esimerkissä 2.7 symmetriaa olisi voitu käyttää hyväksi siten, että
funktion f Fourier-sarjan sinikertoimet eli kertoimet bn menevät nollaksi parillisuuden nojalla. Tällöin kertoimia ei olisi tarvinnut laskea, koska funktion
symmetrisyys varmistaa kertoimien bn nollautumisen kaikilla n:n arvoilla.
12
Lähdeluettelo
[1] Antti Koivumäki: Johdatus tietoliikennesignaalien Fourier-analyysiin
http://users.metropolia.fi/~koiva/S2015/TV14K-Integr/
040_johdatus.tietoliikennesignaalien.Fourier-analyysiin.pdf
[2] Antti Kosonen: Signaalien taajuusanalyysi
https://noppa.lut.fi/noppa/opintojakso/
bl40a0400/materiaali/luentokalvot_4.pdf
[3] Jyrki
Laitinen:
Signaalit
aikaja
taajuustasossa
http://www.oamk.fi/~jyrkila/0405/tl5231/tl5231.fourier.pdf
[4] Seppo
Seikkala:
Signaalit
http://www.ee.oulu.fi/~ssa/sig/
13
ja
järjestelmät