מבוא לתורת החבורות מערכי תרגול קורס 88-211 - Math-Wiki

‫מבוא לתורת החבורות‬
‫מערכי תרגול קורס ‪88-211‬‬
‫דצמבר ‪ ,2016‬גרסה ‪0.6‬‬
‫אוניברסיטת בר־אילן‬
‫סמסטר א’ תשע”ז‬
‫תוכן העניינים‬
‫‪1‬‬
‫מבנים אלגבריים בסיסיים‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫חבורה אבלית‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫תת־חבורות‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫מבוא לתורת המספרים‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫חבורת אוילר ומציאת הופכי‬
‫‪13‬‬
‫‪6‬‬
‫חבורות ציקליות‬
‫‪13‬‬
‫‪7‬‬
‫תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים‬
‫‪18‬‬
‫‪8‬‬
‫החבורה הסימטרית )על קצה המזלג(‬
‫‪20‬‬
‫‪9‬‬
‫מחלקות שמאליות וימניות‬
‫‪23‬‬
‫‪ 10‬משפט לגראנז’ ושימושים‬
‫‪25‬‬
‫‪ 11‬חבורות מוצגות סופית‬
‫‪28‬‬
‫‪ 12‬תת־חבורות נורמליות‬
‫‪29‬‬
‫‪ 13‬הומומורפיזמים‬
‫‪31‬‬
‫‪ 14‬חבורות מנה‬
‫‪34‬‬
‫‪ 15‬משפטי האיזומורפיזם של נתר‬
‫‪35‬‬
‫‪2‬‬
‫מבוא‬
‫נתחיל עם כמה דגשים‪:‬‬
‫• דף הקורס נמצא באתר ‪.www.math-wiki.com‬‬
‫• שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס‪.‬‬
‫• תרגילי בית כל שבוע עם חובת הגשה‪.‬‬
‫• יהיה בוחן‪ .‬מתוכנן לתאריך ‪.27.12.2016‬‬
‫‪ 1‬מבנים אלגבריים בסיסיים‬
‫הגדרה ‪ .1.1‬חבורה למחצה )‪ (semigroup‬היא קבוצה לא ריקה ‪ S‬ומפעולה בינארית על‬
‫‪ S‬המקיימת קיבוציות )אסוציטיביות‪ .(associativity ,‬כלומר לכל ‪ a, b, c ∈ S‬מתקיים‬
‫)‪.(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c‬‬
‫דוגמה ‪ ,Z .1.2‬מילים ושירשור מילים‪ ,‬קבוצה ‪ X‬עם הפעולה ‪.a ∗ b = b‬‬
‫דוגמה ‪ .1.3‬המערכת )‪ (Z, −‬אינה חבורה למחצה‪ ,‬מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית‪.‬‬
‫למשל )‪.(5 − 2) − 1 ̸= 5 − (2 − 1‬‬
‫הגדרה ‪ .1.4‬תהי )∗ ‪ (S,‬חבורה למחצה‪ .‬איבר ‪ e ∈ S‬נקרא איבר יחידה אם לכל ‪a ∈ S‬‬
‫מתקיים ‪ .a ∗ e = e ∗ a = a‬חבורה למחצה שבה קיים איבר יחידה נקראת מונואיד‬
‫)‪ ,monoid‬או יחידון(‪.‬‬
‫דוגמה ‪ ,Z .1.5‬מטריצות ריבועיות מעל שדה‪ ,‬פונקציות על קבוצה ‪.X‬‬
‫הערה ‪ .1.6‬יהי ‪ M‬מונואיד‪ .‬קל לראות כי איבר היחידה ב‪ M -‬הוא יחיד‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .1.7‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי‪ ,‬ותהי )‪ P (X‬קבוצת החזקה שלה )זהו אוסף כל תתי‬
‫הקבוצות של ‪ .(X‬אזי )∩ ‪ (P (X),‬היא מונואיד שבו איבר היחידה הוא ‪ .X‬מה קורה‬
‫עבור )∪ ‪) ?(P (X),‬להמשך‪ ,‬נשים לב כי במונואיד זה לכל איבר ‪ a‬מתקיים ‪.(a2 = a‬‬
‫הגדרה ‪ .1.8‬יהי )‪ (M, ∗, e‬מונואיד‪.‬‬
‫איבר יקרא הפיך אם קיים איבר ‪ b ∈ M‬כך ש‪ .ba = ab = e-‬במקרה זה ‪= b‬‬
‫יקרא הופכי של ‪.a‬‬
‫תרגיל ‪) 1.9‬אם יש זמן(‪ .‬אם ‪ aba ∈ M‬הפיך במונואיד‪ ,‬הראו כי גם ‪ a, b‬הפיכים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪ .‬יהי ‪ c‬ההופכי של ‪ .aba‬כלומר‬
‫‪abac = caba = e‬‬
‫לכן ‪ cab‬הוא הופכי שמאלי של ‪ ,a‬ו‪ bac-‬הופכי ימני של ‪ .a‬בפרט ‪ a‬הפיך ומתקיים‬
‫‪ .cab = bac‬לכן מתקיים גם‬
‫)‪(aca)b = a(cab) = a(bac) = e = (cab)a = (bac)a = b(aca‬‬
‫וניתן להסיק כי ‪ aca‬הופכי שמאלי וימני של ‪.b‬‬
‫תרגיל ‪ .1.10‬האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל?‬
‫פתרון‪ .‬כן‪ .‬נבנה מונואיד כזה‪ .‬תהא ‪ X‬קבוצה‪ .‬נסתכל על קבוצת ההעתקות מ‪X-‬‬
‫לעצמה המסומנת }‪ .X X = {f : X → X‬ביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד‪ ,‬ואיבר‬
‫היחידה בו הוא העתקת הזהות‪.‬‬
‫ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח”ע‪ .‬ההפיכים מימין הם הפונקציות על )מהקורס‬
‫מתמטיקה בדידה(‪ .‬מה יקרה אם נבחר את ‪ X‬להיות סופית?‬
‫אם ניקח למשל ‪ X = N‬קל למצוא פונקציה על שאינה חח”ע‪ .‬הפונקציה שנבחר‬
‫היא )‪ .d(n) = max(1, n − 1‬לפונקציה זו יש הופכי מימין‪ ,‬למשל ‪ ,u(n) = n + 1‬אבל‬
‫אין לה הפיך משמאל‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 1.11‬ממבחן(‪ .‬הוכיחו כי לכל מונואיד )· ‪ (X,‬הקבוצה )‪ P∗ (X‬של כל תתי‬
‫הקבוצות הלא ריקות של ‪ X‬מגדירה מונואיד ביחס לפעולת הכפל הטבעית‪:‬‬
‫}‪A • B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B‬‬
‫ומצאו מי הם האיברים ההפיכים ב‪.(P∗ (X), •)-‬‬
‫פתרון‪ .‬הקבוצה )‪ P∗ (X‬אינה ריקה‪ ,‬לדוגמה היא מכילה את }‪) {e‬כאשר ‪ e‬הוא איבר‬
‫היחידה של ‪ .(X‬הפעולה • מוגדרת היטב וסגורה‪ .‬קל לבדוק כי הפעולה קיבוצית‬
‫בהתבסס על הקיבוציות של הפעולה ב‪ .X-‬איבר היחידה ב‪ (P∗ (X), •)-‬הוא }‪.{e‬‬
‫האיברים ההפיכים במונואיד הן הקבוצות מהצורה }‪ {a‬עבור ‪ a‬הפיך ב‪) X-‬ההופכי‬
‫הוא } ‪ .({a−1‬אכן‪ ,‬נניח כי )‪ A ∈ P∗ (X‬הפיך‪ .‬לכן קיימת )‪ B ∈ P∗ (X‬כך שלכל‬
‫‪ a ∈ A, b ∈ B‬מתקיים ‪ .ab = e‬נראה כי ‪ .|B| = 1‬אחרת קיימים לפחות שני איברים‬
‫‪ b1 , b2 ∈ B‬ומתקיים ‪ ,b1 a = ab1 = ab2 = b2 a = e‬ולכן מיחידות ההופכי של ‪ a‬נקבל‬
‫‪ .b1 = b2‬באופן סימטרי ‪.|A| = 1‬‬
‫הגדרה ‪ .1.12‬חבורה )‪ (G, ∗, e) (group‬היא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך‪.‬‬
‫מתקיים‪ :‬חבורה ⇐ מונואיד ⇐ חבורה למחצה‪.‬‬
‫לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית היא חבורה צריך להראות‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .1‬סגירות הפעולה‪.‬‬
‫‪ .2‬קיבוציות הפעולה‪.‬‬
‫‪ .3‬קיום איבר יחידה‪.‬‬
‫‪ .4‬כל איבר הוא הפיך‪.‬‬
‫דוגמה ‪) .1.13‬עבור קבוצה סופית אחת הדרכים להגדיר פעולה בינארית היא בעזרת‬
‫לוח כפל‪ (.‬למשל‪ ,‬אם }‪ S = {a, b‬ונגדיר‬
‫‪∗ a b‬‬
‫‪a a b‬‬
‫‪b b a‬‬
‫אז קל לראות שמתקיימת סגירות‪ ,‬אסוציאטיביות‪ a ,‬הוא יחידה ו‪ b‬הוא ההופכי של‬
‫עצמו‪.‬‬
‫למעשה‪ ,‬זוהי החבורה היחידה מגודל ‪) 2‬למה?(‪.‬‬
‫דוגמה ‪ N, Z, Q, R, C .1.14‬חבורות ביחס לחיבור‪ .‬מה קורה עם כפל? )כל שדה הוא‬
‫חבורה חיבורית ומונואיד כפלי(‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .1.15‬יהי ‪ n‬מספר טבעי‪ .‬נסמן את הכפולות שלו ב‪.nZ = {0, ±n, ±2n, . . . }-‬‬
‫למשל } ‪ .4Z = {. . . , −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . .‬לכל ‪ n‬המערכת )‪ (nZ, +‬היא‬
‫חבורה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .1.16‬יהי ‪ n‬מספר טבעי‪ .‬נאמר כי ‪ a, b ∈ Z‬הם שקולים מודולו ‪ n‬אם ‪.n|a − b‬‬
‫כלומר קיים ‪ k ∈ Z‬כך ש‪ .a = b + kn-‬נסמן זאת )‪ a ≡ b (mod n‬ונקרא זאת ”‪a‬‬
‫שקול ל‪ b-‬מודולו ‪.”n‬‬
‫טענה ‪ .1.17‬שקילות מודולו ‪ n‬היא יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו מתאימות‬
‫לשארית החלוקה של מספר ב‪ .n-‬כפל וחיבור מודולו ‪ n‬מוגדרים היטב‪ .‬כלומר אם‬
‫)‪ ,a ≡ b, c ≡ d (mod n‬אז )‪ ac ≡ bd (mod n‬וגם )‪.a + c ≡ b + d (mod n‬‬
‫דוגמה ‪ .1.18‬נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו ‪ ,n‬שמקובל לסמן = ‪Zn‬‬
‫}‪ .Z/nZ = {[a] | a ∈ Z‬למשל }]‪ .Z4 = {[0] , [1] , [2] , [3‬לפעמים מסמנים את מחלקת‬
‫השקילות ]‪ [a‬בסימון ‪ ,a‬ולעיתים כאשר ברור ההקשר פשוט ‪ .a‬כזכור ]‪[a]+[b] = [a + b‬‬
‫כאשר באגף שמאל הסימן ‪ +‬הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות‬
‫)‪ a‬הוא נציג של מחלקת שקילות אחת ו‪ b-‬הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת( ובאגף‬
‫ימין זו פעולת החיבור הרגילה של מספרים )שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות‬
‫שבה ‪ a + b‬נמצא(‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫אפשר לראות כי )‪ (Zn , +‬היא חבורה אבלית‪ .‬נבחר נציגים למחלקות השקילות‬
‫}]‪ .Zn = {[0] , [1] , . . . , [n − 1‬איבר היחידה הוא ]‪) [0‬הרי ]‪[0] + [a] = [0 + a] = [a‬‬
‫לכל ]‪ .([a‬קיבוציות הפעולה והאבליות נובעות מהקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור‬
‫הרגילה‪ .‬האיבר ההופכי של ]‪ [a‬הוא ]‪.[n − a‬‬
‫מה ניתן לומר לגבי )· ‪ ?(Zn ,‬ישנה סגירות‪ ,‬ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה ]‪.[1‬‬
‫אך זו לא חבורה כי ל‪ [0]-‬אין הופכי‪ .‬נסמן }]‪ .Z◦n = Zn \ {[0‬האם )· ‪ (Z◦n ,‬חבורה?‬
‫∈ ]‪,[0‬‬
‫לא בהכרח‪ .‬למשל עבור ‪ Z◦6‬נקבל כי ]‪ .[2] [3] = [6] = [0‬לפי ההגדרה ‪/ Z◦6‬‬
‫ולכן הפעולה ב‪ (Z◦n , ·)-‬אינה בהכרח סגורה )כלומר אפילו לא חבורה למחצה(‪ .‬בהמשך‬
‫נראה איך אפשר ”להציל” את הכפל‪.‬‬
‫הגדרה ‪) 1.19‬חבורת האיברים ההפיכים(‪ .‬יהי ‪ M‬מונואיד ויהיו ‪ a, b ∈ M‬זוג איברים‪.‬‬
‫אם ‪ a, b‬הם הפיכים‪ ,‬אזי גם ‪ a · b‬הוא הפיך במונואיד‪ .‬אכן‪ ,‬האיבר ההופכי הוא‬
‫‪ .(a · b)−1 = b−1 · a−1‬לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה‬
‫ביחס לפעולה‪ .‬כמו כן האוסף הנ”ל מכיל את איבר היחידה‪ ,‬וכל איבר בו הוא הפיך‪.‬‬
‫מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה‬
‫המצומצמת‪ .‬נסמן חבורה זו ב‪) U (M )-‬קיצור של ‪.(Units‬‬
‫הגדרה ‪ .1.20‬המערכת )· ‪ (Mn (R),‬של מטריצות ממשיות בגודל ‪ n×n‬עם כפל מטריצות‬
‫היא מונואיד‪ .‬לחבורת ההפיכים שלו‬
‫}‪U (Mn (R)) = GLn (R) = {A ∈ Mn (R) | det A ̸= 0‬‬
‫קוראים החבורה הלינארית הכללית )ממעלה ‪ (n‬מעל ‪.(General Linear group) R‬‬
‫דוגמה ‪ .1.21‬נגדיר את חבורת אוילר )‪ (Euler‬להיות ) ‪ Un = U (Zn‬לגבי פעולת הכפל‪.‬‬
‫נבנה את לוח הכפל של ‪) Z6‬בהתעלם מ‪ [0]-‬שתמיד יתן במכפלה ]‪:([0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם ‪) 1‬הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק‬
‫עמודות או רק שורות(‪ .‬כלומר }]‪ .U6 = {[1] , [5‬במקרה זה ]‪ [5‬הוא ההופכי של עצמו‪.‬‬
‫הערה ‪ .1.22‬אם ‪ p‬הוא מספר ראשוני‪ ,‬אז ‪.Up = Z∗p‬‬
‫טענה ‪ .1.23‬בדומה להערה האחרונה‪ ,‬נאפיין את האיברים ב‪ Un -‬לכל ‪.n‬‬
‫יהי ‪ .m ∈ Z‬אז ‪ [m] ∈ Un‬אם ורק אם ‪ .(n, m) = 1‬כלומר‪ ,‬ההפיכים במונואיד‬
‫)· ‪ (Zn ,‬הם כל האיברים הזרים ל‪.n-‬‬
‫‪6‬‬
‫דוגמה ‪.U12 = {1, 5, 7, 11} .1.24‬‬
‫דוגמה ‪ .1.25‬לא קיים ל‪ 5-‬הופכי כפלי ב‪ ,Z10 -‬שכן אחרת ‪ 5‬היה זר ל‪ 10-‬וזו סתירה‪.‬‬
‫‪ 2‬חבורה אבלית‬
‫הגדרה ‪ .2.1‬נאמר כי פעולה דו־מקומית ‪ ∗ : G × G → G‬היא אבלית )או חילופית‪,‬‬
‫‪ (commutative‬אם לכל שני איברים ‪ a, b ∈ G‬מתקיים ‪ .a ∗ b = b ∗ a‬אם )∗ ‪(G,‬‬
‫חבורה והפעולה היא אבלית‪ ,‬נאמר כי ‪ G‬היא חבורה אבלית )או חילופית(‪ .‬המושג נקרא‬
‫על שמו של נילס הנריק ָא ֶבּל )‪.(Niels Henrik Abel‬‬
‫דוגמה ‪ .2.2‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬החבורה )· ‪ (GLn (F ),‬אינה אבלית עבור ‪.n > 1‬‬
‫תרגיל ‪ .2.3‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬הוכיחו שאם לכל ‪ x ∈ G‬מתקיים ‪ ,x2 = 1‬אזי ‪ G‬היא‬
‫חבורה אבלית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מן הנתון מתקיים לכל ‪ a, b ∈ G‬כי ‪ .(ab)2 = a2 = b2 = 1‬לכן‬
‫‪abab = (ab)2 = 1 = 1 · 1 = a2 · b2 = aabb‬‬
‫נכפיל את השיוויון לעיל מצד שמאל בהופכי של ‪ a‬ומצד ימין בהופכי של ‪ ,b‬ונקבל‬
‫‪ .ba = ab‬זה מתקיים לכל זוג איברים‪ ,‬ולכן ‪ G‬חבורה אבלית‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫תת־חבורות‬
‫הגדרה ‪ .3.1‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬תת־קבוצה ‪ H ⊆ G‬נקראת תת־חבורה של ‪ G‬אם היא‬
‫חבורה ביחס לאותה פעולה )באופן יותר מדויק‪ ,‬ביחס לפעולה המושרית מ‪ .(G-‬מסמנים‬
‫‪.H ≤ G‬‬
‫תכלס מה שצריך לבדוק‪:‬‬
‫• תת־הקבוצה לא ריקה ‪-‬או‪.e ∈ H -‬‬
‫• סגירות לכפל‪ :‬לכל ‪ a, b ∈ H‬מתקיים ‪.ab ∈ H‬‬
‫• סגירות להופכי‪ :‬לכל ‪ a ∈ H‬מתקיים ‪.a−1 ∈ H‬‬
‫דוגמה ‪ .3.2‬נוכיח שקבוצת המטריצות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪ 1 a b‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫=‪H‬‬
‫‪ a, b, c ∈ R‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪0 0 1‬‬
‫היא תת־חבורה של )‪:GL3 (R‬‬
‫‪7‬‬
‫• יחידה‪ :‬ברור ש‪.I3 ∈ H -‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 a b‬‬
‫‪1 a ′ b′‬‬
‫‪1 a + a′ b + b′ + ac′‬‬
‫• ‪ ∈ H‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c + c′‬‬
‫‪  0 1 c   0 1 c′  =  0‬ולכן‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫יש סגירות לכפל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫• אפשר לראות שיש הפיך לפי הדטרמיננטה‪ ,‬אבל זה לא מספיק! צריך גם להראות‬
‫שהמטריצה ההופכית נמצאת ב‪ H-‬בעצמה‪ .‬אמנם‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 a b‬‬
‫‪1 −a ac − b‬‬
‫‪ 0 1 c  = 0 1‬‬
‫‪−c  ∈ H‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1‬‬
‫לחבורה זאת ודומותיה )!( קוראים חבורת הייזנברג‪.‬‬
‫דוגמה ‪.SLn (F ) ≤ GLn (F ) .3.3‬‬
‫עבור {‪ a ∈ G‬תמיד אפשר לבנות תת־חבורה הנוצרת ע”י איבר = ⟩‪⟨a‬‬
‫דוגמה} ‪ .3.4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ . a k ∈ Z ≤ G‬למשל‪:‬‬
‫• ‪:4 ∈ Z‬‬
‫• )‪∈ GL3 (R‬‬
‫‪⟨4⟩ = {4k | k ∈ Z} = 4Z‬‬
‫)‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫(‬
‫= ‪:a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 n‬‬
‫‪=  0 1 0 ,...‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 −2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0  , . . . , a−n , . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 2‬‬
‫‪⟨a⟩ = a0 = I, a, a2 =  0 1 0  , . . . , an‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. . . , a−1 =  0 1 0  , a−2 =  0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪ 1 0 k‬‬
‫‪=  0 1 0  k ∈ Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪0 0 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 4‬מבוא לתורת המספרים‬
‫הגדרה ‪ .4.1‬יהיו ‪ a, b‬מספרים שלמים‪ .‬נאמר כי ‪ a‬מחלק את ‪ b‬אם קיים ‪ k ∈ Z‬כך‬
‫ש‪ ,ka = b-‬ונסמן ‪ .a|b‬למשל ‪.−5|10‬‬
‫משפט ‪) 4.2‬משפט החילוק‪ ,‬או חלוקה אוקלידית(‪ .‬לכל ‪ d ̸= 0, n ∈ Z‬קיימים ‪ q, r‬יחידים‬
‫כך ש‪ n = qd + r-‬וגם |‪.0 ≤ r < |d‬‬
‫המשפט לעיל מתאר ”מה קורה” כאשר מחלקים את ‪ n‬ב‪ .d-‬הבחירה בשמות‬
‫הפרמטרים במשפט מגיעה מלע”ז ‪) quotient‬מנה( ו‪) remainder-‬שארית(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .4.3‬בהנתן שני מספרים שלמים ‪ n, m‬המחלק המשותף המירבי )ממ”מ‪greatest ,‬‬
‫‪ (common divisor‬שלהם מוגדר להיות המספר‬
‫}‪gcd(n, m) = max {d ∈ N | d|n ∧ d|m‬‬
‫לעיתים נסמן רק )‪ .(n, m‬למשל ‪ .(6, 10) = 2‬נאמר כי ‪ n, m‬זרים אם ‪.(n, m) = 1‬‬
‫למשל ‪.(2, 5) = 1‬‬
‫הערה ‪ .4.4‬אם ‪ d|a‬וגם ‪ ,d|b‬אזי ‪ d‬מחלק כל צירוף לינארי של ‪ a‬ו‪.b-‬‬
‫טענה ‪ .4.5‬אם ‪ ,n = qm + r‬אז )‪.(n, m) = (m, r‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ ,d = (n, m‬וצ”ל כי )‪ .d = (m, r‬אנו יודעים כי ‪ d|n‬וגם ‪ .d|m‬אנו יכולים‬
‫להציג את ‪ r‬כצירוף לינארי של ‪ ,n, m‬ולכן ‪ .d|r = n − qm‬מכך קיבלנו )‪.d ≤ (m, r‬‬
‫כעת‪ ,‬לפי הגדרה ‪ (m, r)|r‬וגם ‪ ,(m, r)|m‬ולכן ‪ (m, r)|n‬כי ‪ n‬הוא צירוף לינארי של‬
‫‪ .m, r‬אם ידוע כי ‪ (m, r)|m‬וגם ‪ ,(m, r)|n‬אזי ‪ .(m, r) ≤ d‬סך הכל קיבלנו כי‬
‫)‪.d = (m, r‬‬
‫משפט ‪) 4.6‬אלגוריתם אוקלידס(‪” .‬המתכון” למציאת ממ”מ בעזרת שימוש חוזר בטענה‬
‫‪ 4.5‬הוא אלגוריתם אוקלידס‪ .‬ניתן להניח ‪ .0 ≤ m < n‬אם ‪ ,m = 0‬אזי ‪.(n, m) = n‬‬
‫אחרת נכתוב ‪ n = qm + r‬כאשר ‪ 0 ≤ r < m‬ונמשיך עם )‪) .(n, m) = (m, r‬הבינו‬
‫למה האלגוריתם חייב להעצר‪(.‬‬
‫דוגמה ‪ .4.7‬נחשב את הממ”מ של ‪ 53‬ו‪ 47-‬בעזרת אלגוריתם אוקלידס‬
‫]‪(53, 47) = [53 = 1 · 47 + 6‬‬
‫]‪(47, 6) = [47 = 7 · 6 + 5‬‬
‫‪(6, 5) = 1‬‬
‫‪9‬‬
‫דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים‪:‬‬
‫]‪(224, 63) = [224 = 3 · 63 + 35‬‬
‫]‪(63, 35) = [63 = 1 · 35 + 28‬‬
‫]‪(35, 28) = [35 = 1 · 28 + 7‬‬
‫]‪(28, 7) = [28 = 4 · 7 + 0‬‬
‫‪(7, 0) = 7‬‬
‫משפט ‪) 4.8‬אפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי(‪ .‬מתקיים לכל מספרים שלמים ‪ a, b‬כי‬
‫}‪(a, b) = min {au + bv ∈ N | u, v ∈ Z‬‬
‫בפרט קיימים ‪ s, t ∈ Z‬כך ש‪.(a, b) = sa + tb-‬‬
‫הערה ‪ .4.9‬מן המשפט קיבלנו כי ‪.(a, b) ∈ aZ + bZ‬‬
‫דוגמה ‪ .4.10‬כדי למצוא את המקדמים ‪ s, t‬כשמביעים את הממ”מ כצירוף לינארי כנ”ל‬
‫נשתמש באלגוריתם אוקלידס המורחב‪:‬‬
‫]‪(234, 61) = [234=3·61+51 ⇒ 51 = 234 − 3 · 61‬‬
‫]‪(61, 51) = [61=1·51+10 ⇒ 10 = 61 − 1 · 51 = 61 − 1 · (234 − 3 · 61) = −1 · 234 + 4 · 61‬‬
‫]‪(51, 10) = [51=5·10+1 ⇒ 1 = 51 − 5 · 10 = 51 − 5 · (−1 · 234 + 4 · 61) = 6 · 234 − 23 · 61‬‬
‫‪(10, 1) = 1‬‬
‫ולכן ‪.(234, 61) = 1 = 6 · 234 − 23 · 61‬‬
‫תרגיל ‪ .4.11‬יהיו ‪ a, b, c‬מספרים שלמים כך ש‪ (a, b) = 1-‬וגם ‪ .a|bc‬הראו כי ‪.a|c‬‬
‫פתרון‪ .‬לפי אפיון הממ”מ כצירוף לינארי‪ ,‬קיימים ‪ s, t‬כך ש‪ .1 = sa + tb-‬נכפיל ב‪c-‬‬
‫ונקבל ‪ .c = sac + tbc‬ברור כי ‪ a|sac‬ולפי הנתון גם ‪ .a|tbc‬לכן )‪ ,a| (sac + tbc‬כלומר‬
‫‪.a|c‬‬
‫טענה ‪ .4.12‬תכונות של ממ”מ‪:‬‬
‫‪ .1‬יהי )‪ d = (n, m‬ויהי ‪ e‬כך ש‪ e|m-‬וגם ‪ ,e|n‬אזי ‪.e|d‬‬
‫‪(an, am) = |a| (n, m) .2‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ p‬ראשוני וגם ‪ ,p|ab‬אזי ‪ p|a‬או ‪.p|b‬‬
‫‪ .1‬קיימים ‪ s, t‬כך ש‪ .d = sn+tm-‬כיוון ש‪ ,e|n, m-‬אז הוא מחלק‬
‫הוכחת התכונות‪.‬‬
‫גם את צירוף לינארי שלהם ‪ ,sn + tm‬ז”א את ‪.d‬‬
‫‪10‬‬
‫‪) .2‬חלק מתרגיל הבית(‬
‫‪ .3‬אם ‪ ,p ∤ a‬אז ‪ .(p, a) = 1‬לכן קיימים ‪ s, t‬כך ש‪ .sa + tp = 1-‬נכפיל את השיוויון‬
‫האחרון ב‪ b-‬ונקבל ‪ .sab + tpb = b‬ברור כי ‪ p‬מחלק את אגף שמאל )הרי ‪,(p|ab‬‬
‫ולכן ‪ p‬מחלק את אגף ימין‪ ,‬כלומר ‪.p|b‬‬
‫הגדרה ‪) 4.13‬לבית(‪ .‬בהנתן שני מספרים שלמים ‪ n, m‬הכפולה המשותפת המזערית‬
‫)כמ”מ‪ (least common multiple ,‬שלהם מוגדרת להיות‬
‫}‪lcm(n, m) = min {d ∈ N | n|d ∧ m|d‬‬
‫בדרך כלל נסמן רק ]‪ .[n, m‬למשל ‪ [6, 10] = 30‬ו‪.[2, 5] = 10-‬‬
‫טענה ‪ .4.14‬תכונות של כמ”מ‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ m|a‬וגם ‪ ,n|a‬אז ‪.[n, m] |a‬‬
‫‪ .[n, m] (n, m) = |nm| .2‬למשל ‪.[6, 4] (6, 4) = 12 · 2 = 24 = 6 · 4‬‬
‫שאלה ‪) 4.15‬לבית(‪ .‬אפשר להגדיר ממ”מ ליותר מזוג מספרים‪ .‬יהי ‪ d‬הממ”מ של‬
‫המספרים ‪ .n1 , . . . , nk‬הראו שקיימים מספרים שלמים ‪ s1 , . . . , sk‬המקיימים ‪s1 n1 +‬‬
‫‪ .· · · + sk nk = d‬רמז‪ :‬אינדוקציה על ‪.k‬‬
‫תרגיל ‪ .4.16‬מצאו את הספרה האחרונה של ‪.333333‬‬
‫פתרון‪ .‬בשיטה העשרונית‪ ,‬הספרה האחרונה של מספר ‪ N‬היא )‪ .N (mod 10‬נשים לב‬
‫כי ‪ .333333 = 3333 · 111333‬לכן‬
‫)‪111 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 111333 ≡ 1333 ≡ 1 (mod 10‬‬
‫‪( )83‬‬
‫)‪3333 = 34·83+1 = 34 · 3 = 8183 · 3 ≡ 183 · 3 (mod 10‬‬
‫)‪333333 = 3333 · 111333 ≡ 3 (mod 10‬‬
‫ומכאן שהספרה האחרונה היא ‪.3‬‬
‫משפט ‪) 4.17‬משפט השאריות הסיני(‪ .‬אם ‪ n, m‬זרים‪ ,‬אזי לכל ‪ a, b ∈ Z‬קיים ‪ x‬יחיד עד‬
‫כדי שקילות מודולו ‪ nm‬כך ש‪) x ≡ b (mod m) ,x ≡ a (mod n)-‬יחד!(‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫הוכחה‪ .‬מפני ש‪ ,(n, m) = 1-‬אזי קיימים ‪ s, t ∈ Z‬כך ש‪ .sn + tm = 1-‬כדי להוכיח‬
‫קיום של ‪ x‬כמו במשפט נתבונן ב‪ .bsn + atm-‬מתקיים‬
‫)‪bsn + atm ≡ atm ≡ a · 1 ≡ a (mod n‬‬
‫)‪bsn + atm ≡ bsn ≡ b · 1 ≡ b (mod m‬‬
‫ולכן ‪ x = bsn + atm‬הוא פתרון אפשרי‪ .‬ברור כי גם ‪ x′ = x + kmn‬לכל ‪ k ∈ Z‬הוא‬
‫פתרון תקף‪.‬‬
‫כדי להראות יחידות של ‪ x‬מודולו ‪ nm‬נשתמש בטיעון קומבינטורי‪ .‬לכל זוג )‪ (a, b‬יש‬
‫‪) x‬לפחות אחד( המתאים לו מודולו ‪ .nm‬ישנם בסה”כ ‪ nm‬זוגות שונים )‪) (a, b‬מודולו‬
‫‪ ,(nm‬וכן רק ‪ nm‬ערכים אפשריים ל‪) x-‬מודולו ‪ .(nm‬ההתאמה הזו היא פונקציה חח”ע‬
‫בין קבוצות סופיות שוות עוצמה‪ ,‬ולכן ההתאמה היא גם על‪ .‬דרך אחרת‪ :‬אם קיים‬
‫מספר ‪ y‬המקיים את הטענה‪ ,‬אז ‪ n|x − y‬וגם ‪ .m|x − y‬מהנתון ‪ (n, m) = 1‬נקבל כי‬
‫∼ ‪(.Zn × Zm‬‬
‫‪ nm|x − y‬ולכן )‪) .x ≡ y (mod nm‬בהמשך נראה גם ‪= Znm‬‬
‫דוגמה ‪ .4.18‬נמצא ‪ x ∈ Z‬כך ש‪ x ≡ 1 (mod 3)-‬וגם )‪ .x ≡ 2 (mod 5‬ידוע כי‬
‫‪ ,(5, 3) = 1‬ולכן ‪ .−1 · 5 + 2 · 3 = 1‬במקרה זה ‪ n = 5, m = 3‬וכן ‪,s = −1, t = 2‬‬
‫ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את ‪ .x = 1 · (−5) + 2 · 6 = 7‬אכן מתקיים‬
‫)‪ 7 ≡ 1 (mod 3‬וגם )‪.7 ≡ 2 (mod 5‬‬
‫משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי‪ .‬הנה גרסה שלו למערכת משוואות של‬
‫שקילות מודולו‪:‬‬
‫משפט ‪) 4.19‬אם יש זמן(‪ .‬תהא } ‪ {m1 , . . . , mk‬קבוצת מספרים טבעיים הזרים זה לזה‬
‫)כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר(‪ .‬נסמן את מכפלתם ב‪ .m-‬בהנתן קבוצה כלשהי‬
‫של שאריות }‪ ,{ai (modmi ) : 1 ≤ i ≤ k‬קיימת שארית יחידה ‪ x‬מודולו ‪ m‬המהווה‬
‫פתרון למערכת המשוואות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪x ≡ a1 (mod m1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪x ≡ a (mod m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫דוגמה ‪ .4.20‬נמצא ‪ y ∈ Z‬כך ש‪-‬ש‪ y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3)-‬וגם ‪y ≡ 3‬‬
‫)‪ .(mod 7‬נשים לב שהפתרון ‪ y = 7‬מן הדוגמה הקודמת הוא נכון כדי כדי הוספה‬
‫של ‪) 3 · 5 = 15‬כי )‪ 15 ≡ 0 (mod 3‬וגם )‪ .(15 ≡ 0 (mod 5‬לכן את שתי המשוואות‬
‫)‪ y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3‬ניתן להחליף במשוואה אחת )‪.y ≡ 7 (mod 15‬‬
‫נשים לב כי ‪ (15, 7) = 1‬ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג‬
‫משוואות‪ .‬בדקו כי ‪ y = 52‬מהווה פתרון‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 5‬חבורת אוילר ומציאת הופכי‬
‫טענה ‪ .5.1‬יהי ‪ ,a ∈ Zn‬אזי ‪) a ∈ Un‬כלומר שהוא הפיך כפלית( אם ורק אם ‪.(a, n) = 1‬‬
‫לכן }‪.Un = {1 ≤ a < n | (a, n) = 1‬‬
‫יותר מזה‪ ,‬יש לנו דרך למצוא את ההופכי‪:‬‬
‫ראינו שקיימים ‪ s, t‬כך ש‪ .sa + tn = 1-‬אם נחשב מודולו ‪ n‬נקבל ‪ sa ≡ 1‬כלומר‬
‫ש‪ a−1 = s-‬ב‪ .Zn -‬כלומר ההופכי הוא המקדם המתאים בצירוף של הממ”מ‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .5.2‬מצאו ‪ 0 ≤ x ∈ Z‬כך ש‪.61x ≡ 1 (mod 234)-‬‬
‫פתרון‪ .‬לפי הנתון‪ ,‬קיים ‪ k ∈ Z‬כך ש‪ .61x + 234k ≡ 1-‬ז”א ‪ 1‬הוא צירוף לינארי‬
‫)מינימלי במקרה זה( של ‪ 61‬ו‪ .234-‬לפי איפיון ממ”מ קיבלנו כי ‪ .(234, 61) = 1‬כלומר‬
‫‪ k, x‬הם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי‪ .‬לפי תרגיל‬
‫קודם ‪ .1 = 6 · 234 − 23 · 61‬לכן )‪ ,x ≡ −23 (mod 234‬וכדי להבטיח כי ‪ x‬אינו שלילי‬
‫נבחר ‪.x = 211‬‬
‫הגדרה ‪ .5.3‬סדר של חבורה הוא מספר האיברים בחבורה ומסומן‪.|G| :‬‬
‫לדוגמא‪.|Zn | = n ,|Z| = ∞ :‬‬
‫דוגמה ‪ .5.4‬פונקציית אוילר מוגדרת לפי | ‪.φ(n) = |Un‬‬
‫עבור ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אנחנו כבר יודעים ש‪.φ(p) = p − 1-‬‬
‫ניתן להראות )בהרצאה( כי לכל ראשוני ‪ p‬ולכל ‪ k‬טבעי‪ ,φ(pk ) = pk − pk−1 ,‬כמו‬
‫כן‪ ,‬אם ‪ (a, b) = 1‬אזי )‪.φ(ab) = φ(a)φ(b‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.φ(n) = n 1 −‬‬
‫‪··· 1 −‬‬
‫מכאן מתקבלת ההכללה‪ :‬יהי ‪ n = pα1 1 · · · pαnn‬אזי‬
‫‪p1‬‬
‫‪pn‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫()‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪φ(60) = 60 1 −‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪= 16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 6‬חבורות ציקליות‬
‫הגדרה ‪ .6.1‬תהי ‪ G‬חבורה ויהי ‪ .a ∈ G‬אם כל איבר ב‪ G-‬הוא חזקה )חיובית או‬
‫שלילית( של ‪ a‬אז נאמר ש‪ G-‬נוצרת על ידי ‪ .a‬במקרה זה נאמר כי ‪ G‬חבורה ציקלית‪.‬‬
‫סימון‪.G = ⟨a⟩ = {ak : k ∈ Z} :‬‬
‫דוגמה ‪.6.2‬‬
‫• ‪ Z‬נוצרת ע”י ‪ .1‬שימו לב שהיוצר לא חייב להיות יחיד‪ .‬למשל במקרה שלנו גם‬
‫‪ −1‬הוא יוצר‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫• ⟩‪.nZ = ⟨n‬‬
‫• ⟩‪.Z6 = ⟨1⟩ = ⟨5‬‬
‫• ⟩‪.U10 = {3, 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1} = ⟨3‬‬
‫אם מצאנו ב”רחוב” חבורה ציקלית‪ ,‬אז הסדר שלה נותן לנו את כל המידע שצריך‬
‫עליה‪:‬‬
‫משפט ‪ .6.3‬כל חבורה ציקלית איזומורפית או ל‪ Zn -‬או ל‪.Z-‬‬
‫∼ ‪.nZ‬‬
‫דוגמה ‪= Z .6.4‬‬
‫∼ ‪.U10‬‬
‫דוגמה ‪= Z4 .6.5‬‬
‫אבל איך נזהה שחבורה היא ציקלית?‬
‫‪6.1‬‬
‫סדר של איבר‬
‫הגדרה ‪ .6.6‬יהי ‪ ,a ∈ G‬הסדר של ‪ a‬הוא‪ .o(a) = min{n ∈ N : an = 1} :‬אם לא‬
‫קיים כזה‪ ,‬נאמר שהסדר הוא אינסוף‪.‬‬
‫דוגמה ‪.6.7‬‬
‫• ב‪.o(5) = 2 ,U6 -‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪ .b = ( −1‬נראה ש‪ o(b) = 3-‬כי‬
‫• ב‪ ,(GL2 (R), ·)-‬נבחר את ) ‪−1‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪1 0‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= I2‬‬
‫= ‪̸= I2 , b‬‬
‫= ‪̸= I2 , b‬‬
‫= ‪b‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫טענה ‪ .6.8‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ויהי ‪ .a ∈ G‬מתקיים ‪ an = e‬אם ורק אם ‪.o (a) |n‬‬
‫שאלה ‪ .6.9‬תהי חבורה ‪ ,G × H‬הוכח כי הסדר של איבר )‪ (g, h‬הוא ])‪.[o(g), o(h‬‬
‫פתרון‪ .‬נסמן ‪ o(g) = n‬ו‪ .o(h) = m-‬נראה שהסדר של איבר )‪ (g, h‬הוא מחלק משותף‬
‫של ‪:n, m‬‬
‫(‬
‫)‬
‫) ‪(g, h)o(g,h) = g o(g,h) , ho(g,h) = (eG , eH‬‬
‫ולכן בפרט‪ ,‬לפי הטענה האחרונה‪:‬‬
‫‪n|o(g, h) ⇐ g o(g,h) = e‬‬
‫‪m|o(g, h) ⇐ ho(g,h) = e‬‬
‫מה שאומר ש‪ o(g, h)-‬הוא מכפלה משותפת של ‪ m‬ו‪ ,n-‬ולכן )‪.[n, m]|o(g, h‬‬
‫מצד שני נשים לב כי‬
‫‪′‬‬
‫‪(g, h)[n,m] = (g [n,m] , h[n,m] ) = (g nk , hmk ) = (eG , eH ) = eG×H‬‬
‫ולכן ]‪.o ((g, h)) |[n, m‬‬
‫‪14‬‬
‫משפט ‪ .6.10‬הסדר של איבר ‪ x‬שווה לסדר תת־החבורה שהוא יוצר‪ ,‬כלומר ל‪.|⟨x⟩|-‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .n‬אז ‪ G‬היא ציקלית אמ”ם קיים איבר מסדר ‪.n‬‬
‫דוגמה ‪ .6.11‬ב‪ U8 -‬קל לבדוק ש‪ o(3) = o(5) = o(7) = 2-‬ולכן החבורה אינה ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .6.12‬האם ‪ Zn × Zn‬היא ציקלית?‬
‫פתרון‪ .‬הסדר של החבורה הוא ‪ .n2‬ע”מ שהיא תהיה ציקלית יש למצוא איבר שהסדר‬
‫שלו הוא ‪ .n2‬אולם לכל ‪ (a, b) ∈ Zn × Zn‬מתקיים‪ n(a, b) = (na, nb) = (0, 0) :‬ולכן‬
‫הסדר של כל איבר קטן או שווה ל‪.n-‬‬
‫תרגיל ‪ .6.13‬תהי ‪ G‬חבורה אבלית‪ .‬הוכיחו שאוסף האיברים מסדר סופי הוא תת־חבורה‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬נסמן את האוסף הנ”ל ב‪ .A-‬נוכיח את התנאים הדרושים‪:‬‬
‫• ∅ ≠ ‪ A‬כי ‪.e ∈ A‬‬
‫• סגירות לפעולה‪ :‬יהיו ‪ .a, b ∈ A‬אז יש ‪ n, m‬טבעיים כך ש‪.an = bm = e-‬‬
‫אזי‪) .(ab)nm = anm bnm = (an )m (bm )n = em en = e :‬שימו לב לשימוש‬
‫בחילופיות!(‬
‫• סגירות להופכי‪ :‬יהי ‪ .a ∈ A‬יש ‪ n‬כך ש‪ ,an = e-‬אז ‪ a · an−1 = e‬לכן‬
‫‪ a−1 = an−1‬וכבר ראינו שיש סגירות לפעולה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .6.14‬תהי ‪ G‬חבורה ויהיו ‪ a, b ∈ G‬מסדר סופי‪ .‬האם גם ‪ ab‬בהכרח מסדר‬
‫סופי?‬
‫פתרון‪ .‬אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬אז ראינו שזה נכון בתרגיל ‪ .6.13‬באופן כללי‪ ,‬לא‪.‬‬
‫נמצא דוגמא נגדית‪ :‬נבחר את )· ‪ ,(GL2 (R),‬ונתבונן באיברים‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫=‪b‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 1‬‬
‫= ‪ ab‬אינו מסדר סופי כי‬
‫ניתן לבדוק שמתקיים‪ .a4 = b3 = I :‬אולם‬
‫‪0 1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 n‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪.(ab‬‬
‫‪0 1‬‬
‫טענה ‪ .6.15‬מספר תכונות של הסדר‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ G‬חבורה ציקלית סופית מסדר ‪ n‬אז לכל ‪ g ∈ G‬מתקיים ‪.g n = e‬‬
‫‪ .2‬בחבורה סופית הסדר של כל איבר הוא סופי‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ .o(ai ) ≤ o(a) .3‬למעשה )‪) o(ai )|o(a‬בהמשך(‪.‬‬
‫‪. o(a) = o(a−1 ) .4‬‬
‫פתרון‪ .‬נוכיח את הסעיף האחרון‪:‬‬
‫מקרה ראשון‪ ,‬נניח ‪ ,o(a) = n‬מספיק להראות ש‪) o(a ) ≤ o(a)-‬כי ‪.((a ) = a‬‬
‫אז ‪ .(a−1 )n = (an )−1 = e−1 = e .an = 1‬לכן ‪.o(a−1 ) ≤ n‬‬
‫מקרה שני‪ ,‬נניח שהסדר של ‪ a‬אינסופי‪ .‬אז גם הסדר של ‪ a−1‬אינסופי‪ ,‬כי אם הוא‬
‫היה איזשהו ‪ ,n‬אז מהמקרה הראשון‪ ,‬היינו מקבלים ש‪ ,o(a) = n-‬בסתירה‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫הערה ‪ .6.16‬יהי ‪ .a ∈ G‬אזי |⟩‪ .o (a) = |⟨a‬במילים‪ ,‬הסדר של איבר הוא סדר‬
‫תת־החבורה שהוא יוצר‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 6.17‬מההרצאה(‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ויהי ‪ .a ∈ G‬נניח ∞ < ‪ .o (a) = n‬הוכיחו‬
‫שלכל ‪ d ≤ n‬טבעי‪,‬‬
‫)‪( d‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪o (a‬‬
‫= ‪o a‬‬
‫=‬
‫)‪(d, n‬‬
‫))‪(d, o (a‬‬
‫הוכחה )לדלג(‪ .‬היתכנות‪ :‬נשים לב כי‬
‫‪n‬‬
‫)‪( d ) (d,n‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪= (an ) (d,n) = e‬‬
‫‪d‬‬
‫)הפעולות שעשינו חוקיות‪ ,‬כי ‪∈ Z‬‬
‫)‪(d, n‬‬
‫‪( d )t‬‬
‫‪dt‬‬
‫גם‬
‫מינימליות‪ :‬נניח ‪= e‬‬
‫‪ , a‬כלומר ‪ .a = e‬לפי טענה ‪ .n|dt ),6.8‬לכן‪( ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n dt‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫)שניהם מספרים שלמים – מדוע?(‪ .‬מצד שני‪= 1 ,‬‬
‫‬
‫)‪(d, n) (d, n‬‬
‫)‪(d, n) (d, n‬‬
‫‬
‫ ‪n‬‬
‫‪ ,‬כמו שרצינו‪.‬‬
‫לפי תרגיל ‪ ,4.11‬נקבל ‪t‬‬
‫)‪(d, n‬‬
‫(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .6.18‬תהי ‪ G‬חבורה ציקלית מסדר ‪ .n‬כמה איברים ב‪ G-‬יוצרים )לבדם( את‬
‫‪?G‬‬
‫פתרון‪ .‬נניח כי ⟩‪ .G = ⟨a‬אזי‬
‫‪n‬‬
‫‪= n ⇐⇒ (k, n) = 1‬‬
‫)‪(k, n‬‬
‫⟩ ⟨‬
‫) (‬
‫⇒⇐ ‪G = ak ⇐⇒ o ak = n‬‬
‫לכן‪ ,‬מספר האיברים היוצרים את ‪ G‬הוא | ‪ .|Un‬כלומר בדיוק )‪.φ(n‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ 6.2‬חבורת שורשי היחידה‬
‫דוגמה ‪ .6.19‬קבוצת שורשי היחידה מסדר ‪ n‬מעל ‪ C‬היא‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫ ‪2πk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Ωn = {z ∈ C | z = 1} = cis‬‬
‫‪k = 0, 1, . . . , n − 1‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ ,ωn = cis‬נקבל ⟩ ‪ .Ωn = ⟨ωn‬כלומר ‪ Ωn‬היא‬
‫זו תת־חבורה של ∗‪ .C‬אם נסמן‬
‫‪n‬‬
‫תת־חבורה ציקלית ונוצרת על ידי ‪ .ωn‬מפני ש‪ Ωn -‬מסדר ‪ n‬וציקלית‪ ,‬אז בהכרח‬
‫∼ ‪.Ωn‬‬
‫‪= Zn‬‬
‫∞‬
‫∪‬
‫= ∞‪ .Ω‬הוכיחו‪:‬‬
‫תרגיל ‪ .6.20‬נגדיר את קבוצת שורשי היחידה ‪Ωn‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ Ω∞ .1‬היא חבורה לגבי כפל‪) .‬איחוד חבורות הוא לא בהכרח חבורה!(‬
‫‪ .2‬לכל ∞‪) o (x) < ∞ ,x ∈ Ω‬כלומר‪ :‬כל איבר ב‪ Ω∞ -‬הוא מסדר סופי(‪.‬‬
‫‪ Ω∞ .3‬אינה ציקלית‪.‬‬
‫לחבורה כזו‪ ,‬שבה כל איבר הוא מסדר סופי‪ ,‬קוראים חבורה מפותלת‪.‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫‪ .1‬נוכיח שהיא חבורה על ידי זה שנוכיח שהיא תת־חבורה של ∗‪ .C‬ראינו בתרגיל‬
‫‪ 6.13‬שתת־חבורת הפיתול של חבורה אבלית היא תת־חבורה‪ .‬לפי הגדרת ∞‪,Ω‬‬
‫רואים שהיא מכילה בדיוק את כל האיברים מסדר סופי של החבורה האבלית‬
‫∗‪ ,C‬ולכן חבורה‪.‬‬
‫באופן מפורש ולפי הגדרה‪ :‬ברור כי ∞‪ ,1 ∈ Ω‬ולכן היא לא ריקה‪ .‬יהיו ∈ ‪g1 , g2‬‬
‫∞‪ .Ω‬לכן קיימים ‪ m, n‬שעבורם ‪ .g2 ∈ Ωn ,g1 ∈ Ωm‬נכתוב עבור ‪l, k ∈ Z‬‬
‫מתאימים‪:‬‬
‫‪2πk‬‬
‫‪2πl‬‬
‫‪g1 = cis‬‬
‫‪,‬‬
‫‪g2 = cis‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫לכן‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2πk 2πl‬‬
‫‪2πk‬‬
‫‪2πl‬‬
‫‪g1 g2 = cis‬‬
‫‪· cis‬‬
‫‪= cis‬‬
‫‪+‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‪2π (kn + lm‬‬
‫‪= cis‬‬
‫∞‪∈ Ωmn ⊆ Ω‬‬
‫‪mn‬‬
‫סגירות להופכי היא ברורה‪ ,‬שהרי אם ‪ ,g ∈ Ωn‬אז גם ∞‪.g −1 ∈ Ωn ⊆ Ω‬‬
‫)אם יש זמן‪ :‬לדבר שאיחוד של שרשרת חבורות‪ ,‬ובאופן כללי יותר‪ ,‬איחוד רשת‬
‫של חבורות‪ ,‬היא חבורה‪(.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ .2‬לכל ∞‪ x ∈ Ω‬קיים ‪ n‬שעבורו ‪ .x ∈ Ωn‬לכן‪.o (x) ≤ n ,‬‬
‫‪ .3‬לפי הסעיף הקודם‪ ,‬כל תת־החבורות הציקליות של ∞‪ Ω‬הן סופיות‪ .‬אך ∞‪Ω‬‬
‫אינסופית‪ ,‬ולכן לא ייתכן שהיא שווה לאחת מהן‪.‬‬
‫‪ 7‬תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים‬
‫הגדרה ‪ .7.1‬תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ S ⊆ G‬תת־קבוצה לא ריקה איברים ב‪) G-‬שימו לב‬
‫ש‪ S-‬אינה בהכרח תת־חבורה של ‪.(G‬‬
‫תת־החבורה הנוצרת על ידי ‪ S‬הינה תת־החבורה המינימלית המכילה את ‪ S‬ונסמנה‬
‫⟩‪ .⟨S‬אם ⟩‪ G = ⟨S‬אז נאמר ש‪ G-‬נוצרת על ידי ‪ .S‬עבור קבוצה סופית של איברים‪,‬‬
‫נכתוב בקיצור ⟩ ‪.⟨x1 , . . . , xk‬‬
‫הגדרה זו מהווה הכללה להגדרה של חבורה ציקלית‪ .‬חבורה היא ציקלית אם היא‬
‫נוצרת על ידי איבר אחד‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .7.2‬ניקח ‪ {2, 3} ⊆ Z‬ואת ⟩‪ .H = ⟨2, 3‬נוכיח בעזרת הכלה דו־כיוונית ש‪-‬‬
‫‪.H = Z‬‬
‫‪ H‬תת־חבורה של ‪ ,Z‬ובפרט ‪ .H ⊆ Z‬כיוון ש‪ 2 ∈ H-‬אזי גם ‪ (−2) ∈ H‬ומכאן‬
‫ש‪ .(−2) + 3 = 1 ∈ H-‬כלומר איבר היחידה‪ ,‬שהוא יוצר של ‪ ,Z‬מוכל ב‪ .H-‬לכן‬
‫‪ ,Z = ⟨1⟩ ⊆ H‬כלומר ‪ .Z ⊆ H‬קיבלנו ש‪.H = Z-‬‬
‫דוגמה ‪ .7.3‬אם ניקח ‪ ,{4, 6} ⊆ Z‬אז נקבל‪.⟨4, 6⟩ = {4n + 6m : m, n ∈ Z} :‬‬
‫נטען ש‪) ⟨4, 6⟩ = gcd (4, 6) · Z = 2Z-‬כלומר תת־חבורה של השלמים המכילה רק‬
‫את המספרים הזוגיים(‪ .‬נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית‪,‬‬
‫)⊆(‪ :‬ברור ש‪ 2|4m + 6n-‬ולכן ‪.⟨4, 6⟩ ⊆ 2Z‬‬
‫)⊇(‪ :‬יהי ‪ .2k ∈ 2Z‬אזי ⟩‪ .2k = 4 (−k) + 6k ∈ ⟨4, 6‬לכן מתקיים גם‪2Z ⊆ :‬‬
‫⟩‪.⟨4, 6‬‬
‫דוגמה ‪ .7.4‬בדומה לדוגמה האחרונה‪ ,‬במקרה שהחבורה אבלית‪ ,‬קל יותר לתאר את‬
‫תת־החבורה הנוצרת על ידי קבוצת איברים‪ .‬למשל אם ניקח שני יוצרים ‪a, b ∈ G‬‬
‫נקבל‪.⟨a, b⟩ = {ai bj : i, j ∈ Z} :‬‬
‫בזכות החילופיות‪ ,‬ניתן לסדר את כל ה‪-a-‬ים יחד וכל ה‪-b-‬ים יחד‪ .‬למשל‬
‫‪abaaab−1 bbba−1 a = a4 b3‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬בחבורה אבלית מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫‪⟨a1 , . . . , an ⟩ = ak11 . . . aknn ∀1 ≤ i ≤ n, ki ∈ Z‬‬
‫‪18‬‬
‫דוגמה ‪ .7.5‬נוח לעיתים לחשוב על איברי ⟩‪ ⟨A‬בתור קבוצת ”המילים” שניתן לכתוב‬
‫באמצעות האותיות בקבוצה ‪ .A‬מגדירים את האלפבית שלנו להיות ‪ A ∪ A−1‬כאשר‬
‫}‪ .A−1 = {a−1 : a ∈ A‬מילה היא סדרה סופית של אותיות מן האלפבית‪ ,‬והמילה‬
‫הריקה מייצגת את איבר היחידה ב‪.G-‬‬
‫הגדרה ‪ .7.6‬חבורה ‪ G‬תקרא נוצרת סופית‪ ,‬אם קיימת לה קבוצת יוצרים סופית‪ .‬כלומר‬
‫קיימים מספר סופי של איברים ‪ a1 , . . . , an ∈ G‬כך ש‪.⟨a1 , . . . , an ⟩ = G-‬‬
‫מסקנה ‪ .7.7‬כל חבורה סופית נוצרת סופית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .7.8‬כל חבורה ציקלית נוצרת סופית )מהגדרה(‪ .‬לכן יש חבורות אינסופיות כמו‬
‫‪ Z‬שנוצרות סופית‪ .‬האם יש עוד חבורות כאלו? כן‪ ,‬למשל ⟩)‪.Z × Z = ⟨(1, 0), (0, 1‬‬
‫תרגיל ‪ .7.9‬הוכיחו שהחבורות הבאות לא נוצרות סופית‬
‫‪ .1‬חבורת שורשי היחידה ∞‪.Ω‬‬
‫‪(M3 (R), +) .2‬‬
‫‪(Q∗ , ·) .3‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫‪ .1‬בעוד ש‪ Ω∞ -‬היא אינסופית‪ ,‬נראה שכל תת־החבורה הנוצרת על ידי מספר סופי‬
‫של איברים מ‪ Ω∞ -‬היא סופית‪ .‬יהיו ‪ a1 , . . . , ak‬שורשי יחידה מסדרים ‪n1 , . . . , nk‬‬
‫בהתאמה‪ .‬אז‬
‫‪{ i1‬‬
‫}‬
‫‪⟨a1 , . . . , ak ⟩ = a1 . . . aikk : 0 ≤ ij ≤ nj , 1 ≤ j ≤ k‬‬
‫מפני ש‪ Ω∞ -‬היא אבלית‪ .‬לכן יש מספר סופי )החסום מלמעלה במכפלה ‪(n1 · · · nk‬‬
‫של איברים ב‪ .⟨a1 , . . . , ak ⟩-‬לכן ∞‪ Ω‬אינה נוצרת סופית‪.‬‬
‫‪ .2‬אפשר להוכיח זאת בעזרת שיקולי עוצמה‪ .‬כל חבורה נוצרת סופית היא סופית או‬
‫בת מנייה )אוסף המילים הסופיות על אלפבית סופי הוא בן מנייה(‪ ,‬ואילו )‪M3 (R‬‬
‫אינה בת מניה‪.‬‬
‫‪ .3‬נניח בשלילה כי‬
‫‬
‫}‬
‫‪)k‬‬
‫ ‪( )kn‬‬
‫‪a1 1‬‬
‫‪an‬‬
‫‬
‫‪...‬‬
‫‪ ∀1 ≤ i ≤ n, ki ∈ Z‬‬
‫‬
‫‪b1‬‬
‫‪bn‬‬
‫({‬
‫⟩‬
‫=‬
‫‪an‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪,...,‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪bn‬‬
‫⟨‬
‫∗‬
‫= ‪Q‬‬
‫אז קל לראות שהגורמים הראשוניים במכנה של כל איבר מוגבלים לקבוצת‬
‫הגורמים הראשוניים שמופיעים בפירוק של המכפלה ‪ .b1 · · · bn‬אך זו קבוצה‬
‫סופית‪ ,‬ולכן לא ניתן לקבל את כל השברים ב‪ ,Q∗ -‬כלומר סתירה‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ 8‬החבורה הסימטרית )על קצה המזלג(‬
‫הגדרה ‪ .8.1‬החבורה הסימטרית מדרגה ‪ n‬היא‬
‫}‪Sn = {σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} | σ is bijective‬‬
‫זהו אוסף כל ההעתקות החח”ע ועל מהקבוצה }‪ {1, 2, . . . , n‬לעצמה‪ ,‬ובמילים אחרות –‬
‫אוסף כל שינויי הסדר של המספרים }‪ Sn .{1, 2, . . . , n‬היא חבורה‪ ,‬כאשר הפעולה‬
‫היא הרכבת פונקציות‪ .‬איבר היחידה הוא פונקציית הזהות‪ .‬כל איבר של ‪ Sn‬נקרא‬
‫תמורה‪.‬‬
‫הערה ‪) 8.2‬אם יש זמן(‪ .‬החבורה ‪ Sn‬היא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד ‪ X X‬עם‬
‫פעולת ההרכבה‪ ,‬כאשר }‪.X = {1, 2, . . . , n‬‬
‫דוגמה ‪ .8.3‬ניקח לדוגמה את ‪ .S3‬איבר ‪ σ ∈ S3‬הוא מהצורה ‪σ (2) = j ,σ (1) = i‬‬
‫ו‪ ,σ (3) = k-‬כאשר }‪ i, j, k ∈ {1, 2, 3‬שונים זה מזה‪ .‬נסמן בקיצור‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪i j k‬‬
‫נכתוב במפורש את האיברים ב‪:S3 -‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1 2 3‬‬
‫= ‪.id‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3‬‬
‫= ‪.τ‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3‬‬
‫= ‪.σ‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪2 3 1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.σ = σ ◦ σ‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪3 1 2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3‬‬
‫= ‪.στ = σ ◦ τ‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪3 2 1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3‬‬
‫= ‪.τ σ = τ ◦ σ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪1 3 2‬‬
‫מסקנה ‪ .8.4‬נשים לב ש‪ S3 -‬אינה אבלית‪ ,‬כי ‪ .στ ̸= τ σ‬מכאן גם קל לראות ש‪ Sn -‬אינה‬
‫ציקלית לכל ‪ ,n ≥ 3‬כי היא לא אבלית‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫הערה ‪ .8.5‬הסדר הוא !‪ .|Sn | = n‬אכן‪ ,‬מספר האפשרויות לבחור את )‪ σ (1‬הוא ‪;n‬‬
‫אחר כך‪ ,‬מספר האפשרויות לבחור את )‪ σ (2‬הוא ‪ ;n − 1‬כך ממשיכים‪ ,‬עד שמספר‬
‫האפשרויות לבחור את )‪ σ (n‬הוא ‪ ,1‬האיבר האחרון שלא בחרנו‪ .‬בסך הכל‪|Sn | = ,‬‬
‫!‪.n · (n − 1) · · · 1 = n‬‬
‫הגדרה ‪ .8.6‬מחזור )או עגיל( ב‪ Sn -‬הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של‬
‫מספרים שונים‪) a1 7→ a2 7→ a3 7→ · · · 7→ ak 7→ a1 :‬ושאר המספרים נשלחים לעצמם(‪.‬‬
‫כותבים את התמורה הזו בקיצור ) ‪ .(a1 a2 . . . ak‬האורך של המחזור ) ‪(a1 a2 . . . ak‬‬
‫הוא ‪.k‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3 4 5‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .8.7‬ב‪ ,S5 -‬המחזור )‪ (4 5 2‬מציין את התמורה‬
‫‪1 4 3 5 2‬‬
‫משפט ‪ .8.8‬כל תמורה ניתנת לכתיבה באופן יחיד כהרכבת מחזורים זרים‪ ,‬כאשר הכוונה‬
‫ב”מחזורים זרים” היא מחזורים שאין לאף זוג מהם איבר משותף‪.‬‬
‫הערה ‪ .8.9‬שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה )מדוע?(‪ ,‬ולכן חישובים עם‬
‫מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬
‫= ‪ .σ‬כדי‬
‫דוגמה ‪ .8.10‬נסתכל על התמורה הבאה ב‪:S7 -‬‬
‫‪4 7 3 1 5 2 6‬‬
‫לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים‪ ,‬לוקחים מספר‪ ,‬ומתחילים לעבור על המחזור‬
‫המתחיל בו‪ .‬למשל‪:‬‬
‫‪1 7→ 4 7→ 1‬‬
‫אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור )‪ .(1 4‬כעת ממשיכים כך‪ ,‬ומתחילים‬
‫ממספר אחר‪:‬‬
‫‪2 7→ 7 7→ 6 7→ 2‬‬
‫אז נקבל את המחזור )‪ (2 7 6‬בכתיבה‪ .‬נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם‪,‬‬
‫כלומר ‪ ,5 7→ 5 ,3 7→ 3‬ולכן‬
‫)‪σ = (1 4) (2 7 6‬‬
‫נחשב את ‪ .σ 2‬אפשר ללכת לפי ההגדרה‪ ,‬לעבור על כל מספר ולבדוק לאן ‪ σ 2‬תשלח‬
‫אותו; אבל‪ ,‬כיוון שמחזורים זרים מתחלפים‪ ,‬נקבל‬
‫)‪σ 2 = ((1 4) (2 7 6))2 = (1 4)2 (2 7 6)2 = (2 6 7‬‬
‫תרגיל ‪ .8.11‬יהי ‪ σ ∈ Sn‬מחזור מאורך ‪ .k‬מהו )‪?o (σ‬‬
‫פתרון‪ .‬נסמן ) ‪ .σ = (a0 a1 . . . ak−1‬נוכיח כי ‪.o (σ) = k‬‬
‫‪21‬‬
‫מתקיים ש‪) σ k (a0 ) = ai mod k -‬שימו לב‪ ,‬האינדקס מודולו ‪ k‬מאפשר לנו לעבוד‬
‫בטווח }‪ .({0, 1, . . . , k − 1‬ראשית‪ ,‬ברור כי ‪ :σ k = id‬לכל ‪ ai‬מתקיים‬
‫‪σ k (ai ) = σ k−1 (ai+1 ) = · · · = σ (ai−1 ) = ai‬‬
‫ולכל ‪) σ k (m) = m ,m ̸= ai‬כי ‪ .(σ (m) = m‬נותר להוכיח מינימליות‪ .‬אבל אם‬
‫‪ ,l < k‬אז ‪ ,σ l (a0 ) = al ̸= a0‬כלומר ‪.σ l ̸= id‬‬
‫‪ 8.1‬סימן של תמורה‬
‫הגדרה ‪ .8.12‬יהי ‪ σ‬מחזור מאורך ‪ ,k‬אזי הסימן שלו מוגדר להיות‪:‬‬
‫‪sign (σ) = (−1)k−1‬‬
‫עבור תמורות ‪ τ, σ ∈ Sn‬נגדיר‬
‫) ‪sign (στ ) = sign (σ) sign (τ‬‬
‫תכונה זו מאפשרת לחשב את הסימן של כל תמורה ב‪ .Sn -‬יש דרכים שקולות אחרות‬
‫להגדיר סימן של תמורה‪.‬‬
‫נקרא לתמורה שסימנה ‪ 1‬בשם תמורה זוגית ולתמורה שסימנה ‪ −1‬בשם תמורה אי‬
‫זוגית‪.‬‬
‫דוגמה ‪) .8.13‬נקודה חשובה ומאוד מבלבלת(‬
‫‪ .1‬החילוף )‪ (35‬הוא תמורה אי זוגית‪.‬‬
‫‪ .2‬התמורה הריקה היא תמורה זוגית‪.‬‬
‫‪ .3‬מחזור מאורך אי זוגי הוא תמורה זוגית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .8.14‬חבורת החילופין )חבורת התמורות הזוגיות( ‪ An‬היא תת־החבורה הבאה‬
‫של ‪:Sn‬‬
‫}‪An = {σ ∈ Sn | sign (σ) = 1‬‬
‫הערה ‪ .8.15‬הסדר של ‪ An‬הינו‬
‫!‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫= | ‪.|An‬‬
‫דוגמה ‪.A3 = {id, (123) , (132)} .8.16‬‬
‫נשים לב כי ⟩)‪ A3 = ⟨(123‬כלומר ‪ A3‬ציקלית‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ 9‬מחלקות שמאליות וימניות‬
‫הגדרה ‪ .9.1‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ותהי ‪ .H ≤ G‬לכל ‪ a ∈ G‬נגדיר מחלקות )‪:(cosets‬‬
‫‪ .1‬המחלקה השמאלית של ‪ a‬ביחס ל‪ H-‬היא הקבוצה }‪.aH = {ah | h ∈ H‬‬
‫‪ .2‬המחלקה הימנית של ‪ a‬ביחס ל‪ H-‬היא הקבוצה }‪.Ha = {ha | h ∈ H‬‬
‫את אוסף המחלקות השמאליות ביחס ל‪ H-‬נסמן ב‪.G/H-‬‬
‫)למה זה בכלל מעניין להגדיר אוסף זה? בתרגול הבא נראה שכאשר ‪ H‬תת־חבורה‬
‫”מספיק טובה” )נקראת נורמלית(‪ ,‬אז אוסף המחלקות יחד עם פעולה שמושרית מ‪G-‬‬
‫יוצרים חבורה‪(.‬‬
‫הערה ‪ .9.2‬עבור איבר היחידה ‪ e‬תמיד מתקיים ‪.eH = H = He‬‬
‫אם החבורה ‪ G‬היא אבלית‪ ,‬אז המחלקה השמאלית של ‪ a‬ביחס ל‪ H-‬שווה למחלקה‬
‫הימנית‪:‬‬
‫‪aH = {ah | h ∈ H} = {ha | h ∈ H} = Ha‬‬
‫דוגמה ‪ .9.3‬ניקח את )‪ ,G = (Z, +‬ונסתכל על המחלקות השמאליות של ‪:H = 5Z‬‬
‫} ‪H = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .‬‬
‫} ‪{. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .‬‬
‫} ‪{. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .‬‬
‫} ‪{. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .‬‬
‫} ‪{. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .‬‬
‫‪{. . . , −5, 0, 5, 10, 15, . . . } = H‬‬
‫‪1+H‬‬
‫‪2+H‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪0+H‬‬
‫‪1+H‬‬
‫‪2+H‬‬
‫‪3+H‬‬
‫‪4+H‬‬
‫‪5+H‬‬
‫‪6+H‬‬
‫‪7+H‬‬
‫וכן הלאה‪ .‬בסך הכל‪ ,‬יש חמש מחלקות שמאליות של ‪ 5Z‬ב‪ ,Z-‬וכן‬
‫}‪Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H‬‬
‫תרגיל ‪ .9.4‬תנו דוגמה לחבורה ‪ ,G‬תת־חבורה ‪ H‬ואיבר ‪ a ∈ G‬כך ש‪.aH ̸= Ha-‬‬
‫פתרון‪ .‬חייבים לבחור חבורה ‪ G‬שאינה אבלית‪ .‬נבחר ‪ ,G = S3‬את = ⟩)‪H = ⟨(1 2‬‬
‫})‪ {id, (1 2‬ואת )‪ .a = (1 3‬מתקיים‬
‫})‪(1 3) H = {(1 3) , (1 2 3‬‬
‫})‪H (1 3) = {(1 3) , (1 3 2‬‬
‫‪23‬‬
‫נמשיך ונחשב את ‪ :G/H‬המחלקות השמאליות הן‬
‫‪id H = {id, (1 2)} = (1 2) H‬‬
‫‪(1 3) H = {(1 3) , (1 2 3)} = (1 2 3) H‬‬
‫‪(2 3) H = {(2 3) , (1 3 2)} = (1 3 2) H‬‬
‫כלומר }‪ .G/H = {H, (1 3) H, (2 3) H‬נשים לב שאיחוד כל המחלקות הוא ‪ ,G‬וזהו‬
‫איחוד זר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫דוגמה אחרת )אם יש זמן(‪ :‬נבחר )‪ ,G = GL2 (Q‬ותהי }‪H = {( 0 1 ) : n ∈ Z‬‬
‫תת־חבורה של ‪ .G‬נבחר ) ‪ ,g = ( 50 01‬ונחשב‬
‫({‬
‫()‬
‫)‬
‫({ }‬
‫)‬
‫}‬
‫‪5 0‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪5 5n‬‬
‫= ‪gH‬‬
‫= ‪:n∈Z‬‬
‫‪:n∈Z‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫({‬
‫()‬
‫)‬
‫({ }‬
‫)‬
‫}‬
‫‪1 n‬‬
‫‪5 0‬‬
‫‪5 n‬‬
‫= ‪Hg‬‬
‫= ‪:n∈Z‬‬
‫‪:n∈Z‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫וקל לראות כי לא רק ש‪ ,gH ̸= Hg-‬אלא גם ‪.gH ⊊ Hg‬‬
‫הערה ‪ .9.5‬המחלקות הם חלוקה של ‪ ,G‬דהיינו ‪ G = ∪aH‬ושתי מחלקות ‪ aH, bH‬הן‬
‫או שוות ‪ aH = bH‬או זרות ∅ = ‪.aH ∩ bH‬‬
‫ולכן עומד מאחוריהן יח”ש ו‪ G/H‬הוא בעצם קבוצת המנה‪.‬‬
‫מהו יחס השקילות?\מתי שתי מחלקות הן שוות?‬
‫‪aH = bH ⇐⇒ ab−1 ∈ H‬‬
‫‪⇐⇒ ∃h ∈ H , a = bh‬‬
‫הגדרה ‪ .9.6‬מספר המחלקות )השמאליות( של ‪ H‬ב‪ G-‬נקרא האינדקס )השמאלי( של‬
‫‪ H‬ב‪ G-‬ומסומן ]‪ .[G : H‬למעשה ]‪.|G/H| = [G : H‬‬
‫ככל שהאינדקס קטן יותר‪ ,‬כך תת־החבורה ‪ H‬גדולה יותר‪ .‬בפרט‪[G : H] = 1 ,‬‬
‫אם ורק אם ‪.H = G‬‬
‫הערה ‪ .9.7‬ישנה התאמה חח”ע ועל בין מחלקות שמאליות של ‪ H ≤ G‬ובין מחלקות‬
‫ימניות לפי ‪ .gH 7→ Hg −1‬ניתן להבין התאמה זאת מכך שכל חבורה סגורה להופכי‪:‬‬
‫‪ .H −1 = H‬נחשב‬
‫{‬
‫{ }‬
‫{ }‬
‫}‬
‫‪gH 7→ (gH)−1 = (gh)−1 : h ∈ H = h−1 g −1 : h ∈ H = kg −1 : k ∈ H = Hg −1‬‬
‫בפרט קיבלנו שמספר המחלקות השמאליות שווה למספר המחלקות הימניות‪ .‬לכן אין‬
‫הבדל בין האינדקס השמאלי לבין האינדקס הימני של תת־חבורה‪ ,‬ופשוט נקרא לו‬
‫האינדקס‪ .‬בתרגיל הבית תדרשו להתאמה ‪.gH 7→ Hg‬‬
‫‪24‬‬
‫תרגיל ‪ .9.8‬מצאו חבורה ‪ G‬ותת־חבורה ‪ H‬כך ש‪.[G : H] = ∞-‬‬
‫פתרון‪ .‬נביא שתי דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נבחר ‪ G = Z × Z‬ואת }‪ .H = Z × {0‬יהיו ‪ a, b ∈ Z‬שונים‪ .‬אז‬
‫‪(0, a) + H = {(n, a) : n ∈ Z} ̸= {(n, b) : n ∈ Z} = (0, b) + H‬‬
‫ולכן ‪.[G : H] = ℵ0‬‬
‫‪ .2‬נבחר ‪ G = R × R‬ואת }‪ ,H = R × {0‬ואז מתקיים ‪ .[G : H] = ℵ‬כנ”ל עם‬
‫‪.K = Q × {0} ≤ H‬‬
‫‪ 10‬משפט לגראנז’ ושימושים‬
‫משפט ‪) 10.1‬משפט לגראנז’(‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ .H ≤ G-‬אז |‪.|G| = [G : H] |H‬‬
‫הערה ‪ .10.2‬המשפט נכון עבור חשבון עוצמות‪ .‬במקרה שהחבורה ‪ G‬היא סופית נקבל‬
‫|‪|G‬‬
‫|‪ ,[G : H] = |H‬כלומר הסדר של תת־החבורה ‪ H‬מחלק את סדר החבורה ‪.G‬‬
‫בפרט‪ ,‬מכיוון ואנו יודעים כי |⟩‪ o(a) = |⟨a‬לכל ‪ ,a ∈ G‬נקבל שהסדר של כל איבר‬
‫מחלק את סדר החבורה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .10.3‬תהא ‪ G‬חבורה מסדר ‪ .8‬הוכיחו‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ G‬היא ציקלית‪ ,‬אז קיימת תת־חבורה של ‪ G‬מסדר ‪) 4‬למה ברור כי‬
‫תת־החבורה ציקלית?(‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ G‬לא אבלית‪ ,‬אז קיימת תת־חבורה ציקלית של ‪ G‬מסדר ‪) 4‬כאן הציקליות‬
‫של תת־החבורה לא ברורה מיידית(‪.‬‬
‫‪ .3‬מצאו דוגמה נגדית לסעיף הקודם אם ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬אם יש זמן בכיתה‪ ,‬נוכל לספר שיש בדיוק חמש חבורות מסדר ‪ 8‬עד כדי‬
‫איזומורפיזם )ואפילו מכל סדר ‪ p3‬עבור ‪ p‬ראשוני(‪ .‬בפתרון לא נשתמש במיון זה‪.‬‬
‫‪ .1‬נניח ⟩‪ G = ⟨g‬ציקלית מסדר ‪ 8‬עם יוצר ‪ .g‬אזי קיימת תת־החבורה הציקלית‬
‫שנוצרת על ידי } ‪.⟨g 2 ⟩ = {e, g 2 , g 4 , g 6‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .2‬תהא ‪ G‬חבורה לא אבלית‪ .‬לפי משפט לגראנז’‪ ,‬הסדר של כל איבר בחבורה סופית‬
‫מחלק את סדר החבורה‪ .‬לכן הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר ‪ 8‬הם‬
‫‪ 4 ,2 ,1‬או ‪) 8‬לא בהכרח כל הסדרים משתתפים(‪.‬‬
‫יש רק איבר אחד מסדר ‪ 1‬והוא איבר היחידה‪ .‬לא ייתכן כי כל שאר האיברים‬
‫הם מסדר ‪ ,2‬שכן לפי תרגיל שראינו נקבל כי ‪ G‬אבלית‪ .‬אין בחבורה איבר‬
‫מסדר ‪ ,8‬שכן אז היא תהיה ציקלית‪ ,‬וכל חבורה ציקלית היא אבלית‪ .‬מכאן קיים‬
‫איבר‪ ,‬נאמר ‪ ,a ∈ G‬שהוא מסדר ‪ .4‬הסדר של איבר הוא הסדר של תת־החבורה‬
‫הציקלית } ‪ {e, a, a2 , a3‬שהוא יוצר‪.‬‬
‫‪ .3‬במקרה זה ‪ G‬לא יכולה להיות ציקלית‪ .‬נבחר את ‪ .Z2 × Z2 × Z2‬אפשר‬
‫לבדוק שהסדר של כל איבר בחבורה זו הוא ‪ ,2‬פרט לאיבר היחידה‪ .‬לכן אין לה‬
‫תת־חבורה ציקלית מסדר ‪.4‬‬
‫תרגיל ‪) 10.4‬אם יש זמן(‪ .‬הכלילו את התרגיל האחרון‪ :‬תהא ‪ G‬חבורה לא אבלית מסדר‬
‫‪ 2t‬עבור ‪ .t > 2‬אזי קיימת ב‪ G-‬תת־חבורה ציקלית מסדר ‪.4‬‬
‫פתרון‪ .‬באופן דומה לשאלה האחרונה‪ ,‬הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר ‪2t‬‬
‫)כאשר ‪ (t > 2‬הם רק מן הצורה ‪ 2k‬עבור }‪ .k ∈ {0, 1, 2, . . . , t‬ישנו רק איבר אחד‬
‫מסדר ‪ .1‬הסדר של כל שאר האיברים לא יכול להיות ‪ ,2‬כי אז ‪ G‬אבלית‪ .‬אין איבר‬
‫מסדר ‪ ,2t‬שכן אז החבורה ציקלית ולכן אבלית‪ .‬לכן קיים איבר‪ ,‬נאמר ‪ ,a ∈ G‬כך‬
‫ש‪.o(a) = 2k > 2-‬‬
‫נתבונן בתת־החבורה ⟩‪ ⟨a‬ונבחר את האיבר ‪ .ak−2‬מתקיים‬
‫‪2k‬‬
‫‪=4‬‬
‫) ‪(2k , 2k−2‬‬
‫=)‬
‫‪k−2‬‬
‫‪o(a2‬‬
‫וקיבלנו שזהו האיבר שיוצר את תת־החבורה הציקלית הדרושה מסדר ‪.4‬‬
‫תרגיל ‪ .10.5‬הוכיחו שחבורה סופית היא מסדר זוגי אם ורק אם קיים בה איבר מסדר‬
‫‪.2‬‬
‫פתרון‪ .‬הכיוון )⇒( הוא לפי לגראנז’‪ ,‬שכן הסדר של האיבר מסדר ‪ 2‬מחלק את סדר‬
‫החבורה‪.‬‬
‫את הכיוון )⇐( עשיתם בתרגיל בית‪.‬‬
‫כמסקנה מהתרגיל האחרון קיבלנו שבחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים‬
‫מסדר ‪.2‬‬
‫מסקנה ‪ .10.6‬נזכר בטענה ש‪ o(a)|m-‬אם ורק אם ‪ .am = e‬כעת אפשר להסיק שלכל‬
‫איבר ‪ a‬בחבורה סופית ‪ G‬מתקיים ‪.a|G| = e‬‬
‫משפט ‪) 10.7‬משפט אוילר ‪ .(2‬לכל ‪ a ∈ Un‬מתקיים )‪.aφ(n) ≡ 1 (mod n‬‬
‫‪26‬‬
‫דוגמה ‪ .10.8‬יהי ‪ p‬מספר ראשוני‪ ,‬ויהי ‪ .a ∈ Up‬מתקיים ‪ φ(p) = p − 1‬ולכן ‪ap−1 ≡ 1‬‬
‫)‪ .(mod p‬זהו למעשה משפט פרמה הקטן‪.‬‬
‫)העשרה אם יש זמן‪ :‬פונקציית קרמייקל )‪ λ(n) (Carmichael‬מוגדרת להיות‬
‫המספר הטבעי ‪ m‬הקטן ביותר כך ש‪ am ≡ 1 (mod n)-‬לכל ‪ a‬שזר ל‪ .n-‬ממשפט‬
‫לגראנז’ נקבל )‪ .λ(n)|φ(n‬נסו למצוא דרך לחשב את )‪ ,λ(n‬ומתי )‪(.λ(n) ̸= φ(n‬‬
‫תרגיל ‪ .10.9‬מצאו את שתי הספרות האחרונות של ‪.882114039 + 2015‬‬
‫פתרון‪ .‬אנו נדרשים למצוא את הביטוי מודולו ‪ ,100‬כלומר מספיק לחשב את‬
‫)‪(mod 100‬‬
‫‪882114039 + 2015 ≡ 114039 + 15‬‬
‫אנו יודעים כי ‪ ,φ(100) = 40‬ולפי משפט אוילר נקבל‬
‫)‪(mod 100‬‬
‫‪114039 ≡ 11100·40 1139 ≡ 11−1‬‬
‫ואנו יודעים כי יש הופכי כפלי ל‪ 11-‬מודולו ‪ 100‬מפני שהם זרים‪ .‬אנו מחפשים פתרון‬
‫למשוואה )‪ 11x ≡ 1 (mod 100‬שקיים אם ורק אם קיים ‪ k ∈ Z‬כך ש‪.100k+11x = 1-‬‬
‫אפשר למצוא פתרון למשוואה בעזרת אלגוריתם אוקלידס המורחב‪ .‬נביע את )‪(100, 11‬‬
‫כצירוף לינארי שלהם‪:‬‬
‫‪(11, 1) = 1‬‬
‫‪100=9·11+1‬‬
‫=‬
‫)‪(100, 11‬‬
‫כלומר ‪ ,1 = 1 · 100 − 9 · 11‬ולכן )‪ .k = −9 ≡ 91 (mod 100‬קיבלנו‬
‫)‪882114039 + 2015 ≡ 11−1 + 15 ≡ 6 (mod 100‬‬
‫ולכן שתי הספרות האחרונות הן ‪.06‬‬
‫שאלה ‪ .10.10‬ראינו מסקנה ממשפט לגרנז‪ :‬עבור חבורה סופית ‪ G‬ואיבר ‪g ∈ G‬‬
‫מתקיים |‪ .o(g)| |G‬האם הכיוון ההפוך נכון?‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ |G| = n‬ו‪ k|n-‬אז האם יש איבר ‪ a ∈ G‬מסדר ‪ ?k‬לא!‬
‫דוגמא נגדית היא ‪ ,G = Z4 × Z4‬אמנם ‪ |G| = 16‬ו‪ 8|16-‬אבל אין איבר מסדר ‪!8‬‬
‫הערה ‪ .10.11‬נעיר שבחבורה ציקלית סופית ⟩‪ G = ⟨a‬זה כן מתקיים בעזרת נוסחת‬
‫‪n‬‬
‫הקסם שראינו‬
‫= ) ‪) o(at‬כאשר ‪ n‬זה סדר החבורה(‪.‬‬
‫)‪(n, t‬‬
‫‪27‬‬
‫‪11‬‬
‫חבורות מוצגות סופית‬
‫בהרצאה ראיתם דרך לכתיבה של חבורות שנקראת ”יצוג על ידי יוצרים ויחסים”‪ .‬בהנתן‬
‫יצוג‬
‫⟩‪G = ⟨X | R‬‬
‫נאמר ש‪ G-‬נוצרת על ידי הקבוצה ‪ X‬של היוצרים עם קבוצת היחסים ‪ .R‬כלומר כל‬
‫איבר בחבורה ‪ G‬ניתן לכתיבה )לאו דווקא יחידה( כמילה סופית ביוצרים והופכיהם‪,‬‬
‫ושכל אחד מן היחסים הוא מילה ששווה לאיבר היחידה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .11.1‬יצוג של חבורה ציקלית מסדר ‪ n‬הוא‬
‫∼ ‪Zn‬‬
‫⟩ ‪= ⟨x | xn‬‬
‫כל איבר הוא חזקה של היוצר ‪ ,x‬ושכאשר רואים את תת־המילה ‪ xn‬אפשר להחליף‬
‫אותה ביחידה‪ .‬לנוחות‪ ,‬בדרך כלל קבוצת היחסים תכתב עם שיוויונות‪ ,‬למשל ‪.xn = e‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬החבורה הציקלית האינסופית ניתנת ליצוג‬
‫∼‪Z‬‬
‫⟩∅ | ‪= ⟨x‬‬
‫ובדרך כלל משמיטים את קבוצת היחסים אם היא ריקה‪.‬‬
‫ודאו שאתם מבינים את ההבדל בין החבורות הלא איזומורפיות‬
‫∼‪Z×Z‬‬
‫∼ ‪F2‬‬
‫‪= ⟨x, y | xy = yx⟩ ,‬‬
‫⟩∅ | ‪= ⟨x, y‬‬
‫הגדרה ‪ .11.2‬ראינו שחבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית נקראת חבורה נוצרת סופית‪.‬‬
‫אם לחבורה יש יצוג שבו גם קבוצת היוצרים סופית וגם קבוצת היחסים סופית‪ ,‬נאמר‬
‫שהחבורה מוצגת סופית )‪.(finitely presented‬‬
‫דוגמה ‪ .11.3‬כל חבורה ציקלית היא מוצגת סופית‪ ,‬וראינו מה הם היצוגים המתאימים‪.‬‬
‫כל חבורה סופית היא מוצגת סופית )זה לא טריוויאלי(‪ .‬נסו למצוא חבורה נוצרת סופית‬
‫שאינה מוצגת סופית )זה לא כל כך קל(‪.‬‬
‫‪ 11.1‬החבורה הדיהדרלית‬
‫הגדרה ‪ .11.4‬עבור מספר טבעי ‪ ,n‬הקבוצה ‪ Dn‬של סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע‬
‫משוכלל בין ‪ n‬צלעות על עצמו‪ ,‬היא החבורה הדיהדרלית מדרגה ‪ ,n‬יחד עם הפעולת של‬
‫הרכבת פונקציות‪.‬‬
‫מיוונית‪ ,‬פירוש השם ”די‪-‬הדרה” הוא שתי פאות‪ ,‬ומשה ירדן הציע במילונו את השם‬
‫חבורת הפאתיים ל‪.Dn -‬‬
‫‪2π‬‬
‫אם ‪ σ‬הוא סיבוב ב‪ n -‬ו‪ τ -‬הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו‪ ,‬אז יצוג סופי‬
‫מקובל של ‪ Dn‬הוא‬
‫‪ n‬‬
‫⟩‬
‫⟨‬
‫‪Dn = σ, τ σ = τ 2 = id, στ = τ σ −1‬‬
‫‪28‬‬
‫הערה ‪) 11.5‬אם יש זמן(‪ .‬פונקציה ‪ α : R2 → R2‬שהיא חח”ע ועל ושומרת מרחק‬
‫)כלומר ))‪ (d(x, y) = d(α(x), α(y‬נקראת איזומטריה‪ .‬אוסף האיזומטריות עם הפעולה‬
‫של הרכבת פונקציות הוא חבורה‪ .‬תהי ‪ L ⊆ R2‬קבוצה כך שעבור איזומטריה ‪α‬‬
‫מתקיים ‪ .α(L) = L‬במקרה זה ‪ α‬נקראת סימטריה של ‪ .L‬אוסף הסימטריות של‬
‫‪ L‬הוא תת־חבורה של האיזומטריות‪ .‬החבורה ‪ Dn‬היא בדיוק אוסף הסימטריות של‬
‫מצולע משוכלל בן ‪ n‬צלעות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .11.6‬החבורה ‪ D3‬נוצרת על ידי סיבוב ‪ σ‬של ◦‪ 120‬ועל ידי שיקוף ‪ ,τ‬כך‬
‫שמתקיימים היחסים הבאים בין היוצרים‪ .τ στ = σ −1 ,σ 3 = τ 2 = id :‬כלומר‬
‫} ‪) D3 = {id, σ, σ 2 , τ, τ σ, τ σ 2‬להדגים עם משולש מה עושה כל איבר‪ ,‬וכנ”ל עבור ‪.(D5‬‬
‫מה לגבי האיבר ‪ ?στ ∈ D3‬הוא מופיע ברשימת האיברים תחת שם אחר‪ ,‬שכן‬
‫‪τ στ = σ −1‬‬
‫‪στ = τ −1 σ −1 = τ σ 2‬‬
‫לכן ‪ .στ = τ σ 2‬כך גם הראנו כי ‪ D3‬אינה אבלית‪.‬‬
‫סיכום ‪ .11.7‬איברי ‪ Dn‬הם‬
‫{‬
‫}‬
‫‪id, σ, σ 2 , . . . , σ n−1 , τ, τ σ, τ σ 2 , . . . , τ σ n−1‬‬
‫בפרט נקבל כי ‪ |Dn | = 2n‬ושעבור ‪ n > 2‬החבורה אינה אבלית כי ‪) .τ σ ̸= στ‬למי‬
‫∼ ‪ ,D3‬אבל עבור ‪ n > 3‬החבורות‬
‫שכבר מכיר איזומורפיזמים ודאו שאתם מבינים כי ‪= S3‬‬
‫‪ Dn‬ו‪ Sn -‬אינן איזומורפיות‪(.‬‬
‫‪12‬‬
‫תת־חבורות נורמליות‬
‫הגדרה ‪ .12.1‬תת־חבורה ‪ H ≤ G‬נקראת תת־חבורה נורמלית אם לכל ‪ g ∈ G‬מתקיים‬
‫‪ .gH = Hg‬במקרה זה נסמן ‪.H ◁ G‬‬
‫משפט ‪ .12.2‬תהי תת־חבורה ‪ .H ≤ G‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪.H ◁ G .1‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ g ∈ G‬מתקיים ‪.g −1 Hg = H‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ g ∈ G‬מתקיים ‪.g −1 Hg ⊆ H‬‬
‫‪ H .4‬היא גרעין של הומומורפיזם )שהתחום שלו הוא ‪.(G‬‬
‫‪29‬‬
‫הוכחה חלקית‪ .‬קל לראות כי סעיף ‪ 1‬שקול לסעיף ‪ .2‬ברור כי סעיף ‪ 2‬גורר את סעיף ‪,3‬‬
‫ובכיוון השני נשים לב כי אם ‪ g −1 Hg ⊆ H‬וגם ‪ gHg −1 ⊆ H‬נקבל כי‬
‫‪H = gg −1 Hgg −1 ⊆ g −1 Hg ⊆ H‬‬
‫קל להוכיח שסעיף ‪ 4‬גורר את האחרים‪ ,‬ובכיוון השני יש צורך בהגדרת חבורות מנה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .12.3‬אם ‪ G‬חבורה אבלית‪ ,‬אז כל תת־החבורות שלה הן נורמליות‪ .‬הרי אם‬
‫‪ ,h ∈ H ≤ G‬אז ‪ .g −1 hg = h ∈ H‬ההפך לא נכון‪ .‬ברמת האיברים נורמליות לא‬
‫שקולה לכך ש‪ !gh = hg-‬זה אומר ש‪) gh = h′ g -‬חילופיות עם ”מס מעבר”(‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .12.4‬מתקיים ) ‪ .SLn (F ) ◁ GLn (F‬אפשר לראות זאת לפי הצמדה‪ .‬יהי‬
‫) ‪ ,A ∈ SLn (F‬אז לכל ) ‪ g ∈ GLn (F‬מתקיים‬
‫‪det(g −1 Ag) = det(g −1 ) det(A) det(g) = det(g)−1 · 1 · det(g) = 1‬‬
‫ולכן ) ‪ .g −1 Ag ∈ SLn (F‬דרך אחרת להוכחה היא לשים לב כי ) ‪ SLn (F‬היא הגרעין‬
‫של ההומומורפיזם ∗ ‪.det : GLn (F ) → F‬‬
‫דוגמה ‪ H = ⟨(1 2)⟩ ≤ S3 .12.5‬אינה תת־חבורה נורמלית‪ ,‬כי כבר ראינו ≠ ‪(1 3) H‬‬
‫)‪.H (1 3‬‬
‫דוגמה ‪ .12.6‬עבור ‪ ,n ≥ 3‬תת־החבורה ‪ ⟨τ ⟩ ≤ Dn‬אינה נורמלית כי ‪.σ ⟨τ ⟩ ̸= ⟨τ ⟩ σ‬‬
‫טענה ‪ .12.7‬תהי ‪ H ≤ G‬תת־חבורה מאינדקס ‪ .2‬אזי ‪.H ◁ G‬‬
‫הוכחה‪ .‬אנו יודעים כי יש רק שתי מחלקות שמאליות של ‪ H‬בתוך ‪ ,G‬ורק שתי מחלקות‬
‫∈ ‪ ,a‬אז המחלקה השמאלית האחרת‬
‫ימניות‪ .‬אחת מן המחלקות היא ‪ .H‬אם איבר ‪/ H‬‬
‫היא ‪ ,aH‬והמחלקה הימנית האחרת היא ‪ .Ha‬מכיוון ש‪ G-‬היא איחוד של המחלקות‬
‫נקבל‬
‫‪H ∪ aH = G = H ∪ Ha‬‬
‫ומפני שהאיחוד בכל אגף הוא זר נקבל ‪.aH = Ha‬‬
‫מסקנה ‪ .12.8‬מתקיים ‪ ⟨σ⟩ ◁ Dn‬כי לפי משפט לגראנז’ ‪= 2‬‬
‫דומה‪ An ◁ Sn ,‬כי‬
‫!‪n‬‬
‫= ] ‪[Sn : An‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪n!/2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪n‬‬
‫= ]⟩‪ .[Dn : ⟨σ‬באופן‬
‫הערה ‪ .12.9‬אם ‪ K ≤ H ≤ G‬וגם ‪ ,K ◁ G‬אז בוודאי ‪ .K ◁ H‬ההפך לא נכון‪ .‬אם‬
‫‪ K ◁ H‬וגם ‪ ,H ◁ G‬אז לא בהכרח ‪ !K ◁ G‬למשל ‪ ⟨τ ⟩ ◁ ⟨τ, σ 2 ⟩ ◁ D4‬לפי הטענה‬
‫הקודמת‪ ,‬אבל ראינו כי ⟩ ‪ ⟨τ‬לא נורמלית ב‪.D4 -‬‬
‫תרגיל ‪) 12.10‬לבית(‪ .‬לכל חבורה מסדר ‪ 8‬יש תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית )מצאו‬
‫תת־חבורה מאינדקס ‪.(2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ 13‬הומומורפיזמים‬
‫הגדרה ‪ .13.1‬תהינה )∗ ‪ (H, •) ,(G,‬חבורות‪ .‬העתקה ‪ f : G → H‬תקרא הומומורפיזם‬
‫של חבורות אם מתקיים‬
‫)‪f (x ∗ y) = f (x) • f (y‬‬
‫‪∀x, y ∈ G,‬‬
‫נכין מילון קצר לסוגים שונים של הומומורפיזמים‪:‬‬
‫‪ .1‬הומומורפיזם שהוא חח”ע נקרא מונומורפיזם או שיכון‪ .‬נאמר כי ‪ G‬משוכנת ב‪H-‬‬
‫אם קיים שיכון ‪.f : G ,→ H‬‬
‫‪ .2‬הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם‪ .‬נאמר כי ‪ H‬היא תמונה אפימורפית‬
‫של ‪ G‬אם קיים אפימורפיזם ‪.f : G ↠ H‬‬
‫‪ .3‬הומומורפיזם שהוא חח”ע ועל נקרא איזומורפיזם‪ .‬נאמר כי ‪ G‬ו‪ H-‬איזומורפיות‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫אם קיים איזומורפיזם ‪ .f : G → H‬נסמן זאת ‪= H‬‬
‫‪ .4‬איזומורפיזם ‪ f : G → G‬נקרא אוטומורפיזם של ‪.G‬‬
‫‪ .5‬בכיתה נקצר את השמות של הומומורפיזם‪ ,‬מונומורפיזם‪ ,‬אפימורפיזם‪ ,‬איזומורפיזם‬
‫ואוטומורפיזם להומ’‪ ,‬מונו’‪ ,‬אפי’‪ ,‬איזו’ ואוטו’‪ ,‬בהתאמה‪.‬‬
‫הערה ‪ .13.2‬העתקה ‪ f : G → H‬היא איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה ‪g :‬‬
‫‪ H → G‬כך ש‪ f ◦ g = idH -‬וגם ‪.g ◦ f = idG‬‬
‫אפשר להוכיח )נסו!( שההעתקה ‪ g‬הזו היא הומומורפיזם בעצמה‪ .‬כלומר כדי‬
‫להוכיח שהומומורפיזם ‪ f‬הוא איזומורפיזם מספיק למצוא העתקה הפוכה ‪.g = f −1‬‬
‫אפשר גם לראות שאיזומורפיזם הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .13.3‬הנה רשימה של כמה העתקות בין חבורות‪ .‬קבעו האם הן הומומורפיזמים‪,‬‬
‫ואם כן מהו סוגן‪:‬‬
‫‪ φ : R → R∗ .1‬המוגדרת לפי ‪ x 7→ ex‬היא מונומורפיזם‪ .‬מה היה קורה אם היינו‬
‫מחליפים למרוכבים?‬
‫‪ .2‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬אז ∗ ‪ det : GLn (F ) → F‬היא אפימורפיזם‪ .‬הרי‬
‫)‪det(AB) = det(A) det(B‬‬
‫וכדי להוכיח שההעתקה על אפשר להסתכל על מטריצה אלכסונית עם ערכים‬
‫)‪ (x, 1, . . . , 1‬באלכסון‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ φ : R → R∗ .3‬המוגדרת לפי ‪ x 7→ x‬אינה הומומורפיזם כלל‪.‬‬
‫‪ φ : Z2 → Ω2 .4‬המוגדרת לפי ‪ 1 7→ −1 ,0 7→ 1‬היא איזומורפיזם‪ .‬הראתם‬
‫בתרגיל בית שכל החבורות מסדר ‪ 2‬הן למעשה איזומורפיות‪.‬‬
‫העובדה שהעתקה ‪ f : G → H‬היא הומומורפיזם גוררת אחריה כמה תכונות מאוד‬
‫נוחות‪:‬‬
‫‪.f (eG ) = eH .1‬‬
‫‪ f (g n ) = f (g)n .2‬לכל ‪.n ∈ Z‬‬
‫‪ ,f (g −1 ) = f (g)−1 .3‬כמקרה פרטי של הסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .4‬הגרעין של ‪ ,f‬כלומר } ‪ ,ker f = {g ∈ G : f (g) = eH‬הוא תת־חבורה נורמלית‬
‫של ‪.G‬‬
‫‪ .5‬התמונה של ‪ ,f‬כלומר }‪ ,im f = {f (g) : g ∈ G‬היא תת־חבורה של ‪.H‬‬
‫∼ ‪ ,G‬אז |‪.|G| = |H‬‬
‫‪ .6‬אם ‪= H‬‬
‫תרגיל ‪ .13.4‬יהי ‪ f : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬הוכיחו כי לכל ‪ g ∈ G‬מסדר סופי מתקיים‬
‫)‪.o(f (g))|o(g‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ .n = o(g‬לפי הגדרה ‪ .g n = eG‬נפעיל את ‪ f‬על המשוואה ונקבל‬
‫) ‪f (g n ) = f (g)n = eH = f (eG‬‬
‫ולכן ‪.o(f (g))|n‬‬
‫תרגיל ‪ .13.5‬האם כל שתי חבורות מסדר ‪ 4‬הן איזומורפיות?‬
‫פתרון‪ .‬לא! נבחר ‪ G = Z2 × Z2‬ואת ‪ .H = Z4‬נשים לב כי ב‪ H-‬יש איבר מסדר‬
‫‪ .4‬אילו היה איזומורפיזם ‪ ,f : G → H‬אז הסדר של האיבר מסדר ‪ 4‬היה מחלק את‬
‫הסדר של המקור שלו‪ .‬בחבורה ‪ G‬כל האיברים מסדר ‪ 1‬או ‪ ,2‬לכן הדבר לא יתכן‪,‬‬
‫ולכן החבורות לא איזומורפיות‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬איזומורפיזם שומר על סדר האיברים‪ ,‬ולכן בחבורות איזומורפיות‬
‫הרשימות של סדרי האיברים בחבורות‪ ,‬הן שוות‪.‬‬
‫טענה ‪) 13.6‬לבית(‪ .‬יהי ‪ f : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬הוכיחו שאם ‪ G‬אבלית‪ ,‬אז ‪im f‬‬
‫∼ ‪ ,G‬אז ‪ G‬אבלית אם ורק אם ‪ H‬אבלית‪.‬‬
‫אבלית‪ .‬הסיקו שאם ‪= H‬‬
‫תרגיל ‪ .13.7‬יהי ‪ f : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬הוכיחו שאם ‪ G‬ציקלית‪ ,‬אז ‪ im f‬ציקלית‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ⟩‪ .G = ⟨a‬נטען כי ⟩)‪ .im f = ⟨f (a‬יהי ‪ x ∈ im f‬איבר כלשהו‪ .‬לכן יש‬
‫איבר ‪ g ∈ G‬כך ש‪) f (g) = x-‬כי ‪ im f‬היא תמונה אפימורפית של ‪ .(G‬מפני ש‪G-‬‬
‫ציקלית קיים ‪ k ∈ Z‬כך ש‪ .g = ak -‬לכן‬
‫‪x = f (g) = f (ak ) = f (a)k‬‬
‫וקיבלנו כי ⟩)‪ ,x ∈ ⟨f (a‬כלומר כל איבר בתמונה הוא חזקה של )‪ .f (a‬הסיקו שכל‬
‫החבורות הציקליות מסדר מסוים הן איזומורפיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .13.8‬האם קיים איזומורפיזם ‪?f : S3 → Z6‬‬
‫פתרון‪ .‬לא‪ ,‬כי ‪ S3‬לא אבלית ואילו ‪ Z6‬כן‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .13.9‬האם קיים איזומורפיזם )‪?f : (Q+ , ·) → (Q, +‬‬
‫פתרון‪ .‬לא‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ f‬הוא אכן איזומורפיזם‪ .‬לכן )‪ .f (a2 ) = f (a) + f (a‬נסמן‬
‫)‪ ,c = f (3‬ונשים לב כי ‪ .c = 2c + 2c‬מפני ש‪ f -‬היא על‪ ,‬אז יש מקור ל‪ 2c -‬ונסמן אותו‬
‫‪.f (x) = 2c‬‬
‫קיבלנו אפוא את המשוואה‬
‫)‪f (x2 ) = f (x) + f (x) = c = f (3‬‬
‫√‬
‫∈‪. 3‬‬
‫ומפני ש‪ f -‬היא חח”ע‪ ,‬קיבלנו ‪ .x2 = 3‬אך זו סתירה כי ‪/ Q‬‬
‫תרגיל ‪ .13.10‬האם קיים אפימורפיזם ‪ f : H → Z3 × Z3‬כאשר ∗‪?H = ⟨5⟩ ≤ R‬‬
‫פתרון‪ .‬לא‪ .‬נניח בשלילה שקיים ‪ f‬כזה‪ .‬מפני ש‪ H-‬היא ציקלית‪ ,‬אז גם ‪ im f‬היא‬
‫ציקלית‪ .‬אבל ‪ f‬היא על‪ ,‬ולכן נקבל כי ‪ .im f = Z3 × Z3‬אך זו סתירה כי החבורה‬
‫‪ Z3 × Z3‬אינה ציקלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .13.11‬האם קיים מונומורפיזם ‪?f : GL2 (Q) → Q10‬‬
‫פתרון‪ .‬לא‪ .‬נניח בשלילה שקיים ‪ f‬כזה‪ .‬נתבונן בצמצום ‪ ,f : GL2 (Q) → im f‬שהוא‬
‫איזומורפיזם )להדגיש כי זהו אפימורפיזם ומפני ש‪ f -‬חח”ע‪ ,‬אז ‪ f‬היא איזומורפיזם(‪.‬‬
‫ידוע לנו כי ‪ ,im f ≤ Q10‬ולכן ‪ im f‬אבלית‪ .‬כלומר גם )‪ GL2 (Q‬אבלית‪ ,‬שזו סתירה‪.‬‬
‫מסקנה‪ .‬יתכנו ארבע הפרכות ברצף‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .13.12‬מתי ההעתקה ‪ i : G → G‬המוגדרת לפי ‪ i(g) = g −1‬היא אוטומורפיזם?‬
‫פתרון‪ .‬ברור שההעתקה הזו מחבורה לעצמה היא חח”ע ועל‪ .‬כעת נשאר לבדוק שהיא‬
‫שומרת על הפעולה )כלומר הומומורפיזם(‪ .‬יהיו ‪ g, h ∈ G‬ונשים לב כי‬
‫)‪i(gh) = (gh)−1 = h−1 g −1 = i(h)i(g) = i(hg‬‬
‫וזה יתקיים אם ורק אם ‪ .gh = hg‬כלומר ‪ i‬היא אוטומורפיזם אם ורק אם ‪ G‬אבלית‪.‬‬
‫כהערת אגב‪ ,‬השם של ההעתקה נבחר כדי לסמן ‪.inversion‬‬
‫‪33‬‬
‫‪14‬‬
‫חבורות מנה‬
‫הגדרה ‪ .14.1‬נוכל להגדיר על ‪ G/H‬מבנה של חבורה ע”י ‪ (Ha) (Hb) = Hab‬אם ורק‬
‫אם ‪ H‬היא תת־חבורה נורמלית‪ .‬במקרה זה‪ ,‬זוהי חבורת המנה‪.‬‬
‫איבר היחידה הוא המחלקה ‪ H‬כי ‪.(Ha)H = H(Ha) = Ha‬‬
‫∼ }‪Z/nZ = {nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ‬‬
‫דוגמה ‪.14.2‬‬
‫‪ .1‬כבר )כמעט( השתכנענו ש‪=-‬‬
‫‪.Zn‬‬
‫∼ ‪.G/G‬‬
‫∼ }‪= {e} , G/{e‬‬
‫‪= G .2‬‬
‫∼‬
‫‪ ⟨σ⟩ ◁ Dn .3‬ראינו שזה מאינדקס ‪ 2‬ולכן ‪= Z2‬‬
‫⟩‪.⟨σ⟩ τ ⟨σ⟩ τ = ⟨σ⟩ τ τ = ⟨σ‬‬
‫⟩‪Dn/⟨σ‬‬
‫= } ‪ .{⟨σ⟩ , ⟨σ⟩ τ‬אמנם‪:‬‬
‫‪ H = R × {0} ◁ R2 .4‬נתאר את המנה‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫∼ }}‪= (a, b) + H (a, b) ∈ R2 = {(0, b) + H | b ∈ R} = {R × {b‬‬
‫‪=R‬‬
‫‪R2/H‬‬
‫אלו אוסף ישרים המקבילים לציר ה‪.X-‬‬
‫‪ H = ⟨(1, 1)⟩ ◁ Z4 × Z4 .5‬נתאר את המנה‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫∼ }‪Z4 ×Z4/H = (a, b) + H (a, b) ∈ Z2 = {(a′ , 0) + H | a′ = 0, 1, 2, 3‬‬
‫‪= Z4‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגיל ‪ .14.3‬אם ‪ G‬אבלית ו‪ H ≤ G‬אזי ‪ G/H‬חבורה אבלית‪ .‬מה לגבי הכיוון ההפוך?‬
‫פתרון‪ .‬קודם כל נעיר שמכיוון ש‪ G‬אבלית ‪ H‬בהכרח נורמלית ולכן המנה היא באמת‬
‫חבורה‪.‬‬
‫צריך להוכיח ‪ ,HaHb = HbHa‬ובאמת ‪ HaHb = Hab = Hba = HbHa‬כי ‪G‬‬
‫אבלית‪.‬‬
‫הכיוון ההפוך לא נכון‪ .‬עבור ‪ ⟨σ⟩ ◁ Dn‬ראינו שהמנה ‪ Z2‬היא אבלית‪ ,‬וגם‬
‫תת־החבורה הנורמלית ⟩‪ ⟨σ‬אבלית‪ ,‬אבל ‪ Dn‬לא אבלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .14.4‬אם ‪ G‬ציקלית ו‪ H ≤ G-‬אז ‪ G/H‬ציקלית‪ .‬מה לגבי הכיוון ההפוך?‬
‫תרגיל ‪ .14.5‬תהי ‪ G‬חבורה )לאו דווקא סופית(‪ ,‬ותהי ‪ H ◁ G‬כך ש‪.[G : H] = n < ∞-‬‬
‫הוכיחו כי לכל ‪ a ∈ G‬מתקיים כי ‪.an ∈ H‬‬
‫פתרון‪ .‬נזכיר כי אחת מן המסקנות מלגראנז’ היא שבחבורה סופית ‪ G‬מתקיים לכל‬
‫‪ g ∈ G‬כי ‪.g |G| = e‬‬
‫יהי ‪ ,a ∈ G‬אזי ‪ .aH ∈ G/H‬ידוע לנו כי ‪ .|G/H| = n‬ולכן‬
‫‪an H = (aH)n = eG/H = H‬‬
‫כלומר קיבלנו ‪.an ∈ H‬‬
‫‪34‬‬
‫תרגיל ‪ .14.6‬תהי ‪ G‬חבורה סופית ו‪ N ◁ G-‬המקיימת ‪.gcd (|N | , [G : N ]) = 1‬‬
‫הוכיחו כי ‪ N‬מכילה כל איבר של ‪ G‬מסדר המחלק את | ‪ .|N‬כלומר =⇐ ‪x ∈ N‬‬
‫‪.x|N | = e‬‬
‫פתרון‪ .‬יהי ‪ x ∈ G‬כך ש‪.x|N | = e-‬‬
‫מכיוון ו‪ gcd (|N | , [G : N ]) = 1-‬ניתן לרשום ] ‪ 1 = s|N | + r [G : N‬ואז‬
‫‪x = x1 = xs|N |+r[G : N ] = xr[G : N ] ∈ N‬‬
‫לפי התרגיל הקודם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .14.7‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ויהי ‪ T‬אוסף האיברים מסדר סופי ב‪ .G-‬בתרגיל בית‬
‫הראתם שאם ‪ G‬אבלית‪ ,‬אז ‪ .T ≤ G‬הוכיחו‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪) T ≤ G‬למשל אם ‪ G‬אבלית(‪ ,‬אז ‪.T ◁ G‬‬
‫‪ .2‬בנוסף‪ ,‬בחבורת המנה ‪ G/T‬איבר היחידה הוא היחיד מסדר סופי‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬נתחיל עם הסעיף הראשון‪ .‬יהי ‪ ,a ∈ T‬ונניח ‪ .o(a) = n‬לכל ‪ g ∈ G‬מתקיים כי‬
‫‪( −1 )n‬‬
‫‪g ag = g −1 agg −1 ag . . . g −1 ag = g −1 an g = e‬‬
‫ולכן ‪ .g −1 T g ⊆ T‬כלומר ‪.T ◁ G‬‬
‫עבור הסעיף השני‪ ,‬נניח בשלילה כי קיים איבר ‪ eG/T ̸= xT ∈ G/T‬מסדר סופי‬
‫∈ ‪ .x‬מתקיים ‪ ,(xT )n = T‬ונקבל‬
‫‪ .o(xT ) = n‬איבר היחידה הוא ‪ ,eG/T = T‬ולכן ‪/ T‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪n m‬‬
‫כי ‪ .xn ∈ T‬אם ‪ xn‬מסדר סופי‪ ,‬אז קיים ‪ m‬כך ש‪ .(x ) = e-‬לכן ‪ ,x = e‬וקיבלנו‬
‫כי ‪ x ∈ T‬שזו סתירה‪.‬‬
‫חבורה סופית‪ ,‬אז ‪ ,T = G‬וכבר ראינו ‪ ,G ◁ G‬ואז‬
‫דוגמאות ל‪ :T ≤ G-‬אם ‪G‬‬
‫∪‬
‫∼ ‪ .G/T‬אם ∗‪ ,G = C‬אז ‪ .T = Ω∞ = n Ωn‬כלומר כל מספר מרוכב לא אפסי‬
‫}‪= {e‬‬
‫עם ערך מוחלט השונה מ‪ 1-‬הוא מסדר אינסופי‪.‬‬
‫‪ 15‬משפטי האיזומורפיזם של נתר‬
‫משפט ‪) 15.1‬משפט האיזומורפיזם הראשון(‪ .‬יהי הומומורפיזם ‪ .f : G → H‬אז‬
‫∼‬
‫‪= im f‬‬
‫)‪(Kerf )g 7→ f (g‬‬
‫‪G/ker f‬‬
‫∼ ‪.G/ker φ‬‬
‫בפרט‪ ,‬יהי אפימורפיזם ‪ .φ : G → H‬אז ‪= H‬‬
‫‪35‬‬
‫דוגמה ‪ .15.2‬ראינו ש‪ det : GLn (R) → R∗ -‬הוא אפימורפיזם‪.‬‬
‫∼ )‪.GLn (R)/SLn (R‬‬
‫הגרעין הוא בדיוק )‪ SLn (R‬ולכן ∗‪= R‬‬
‫תרגיל ‪ .15.3‬תהי ‪ ,G = R × R‬ותהי }‪ .H = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x‬הוכיחו כי‬
‫∼ ‪.G/H‬‬
‫‪=R‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית‪ ,‬נשים לב למשמעות הגיאומטרית‪ H :‬היא ישר עם שיפוע ‪ 3‬במישור‪.‬‬
‫נגדיר ‪ f : R × R → R‬לפי )‪ .f (x, y) = 3x( − y‬ודאו שזהו הומומורפיזם‪.‬‬
‫‪ f‬אפימורפיזם‪ ,‬כי ‪ .f x3 , 0 = x‬כמו כן‪,‬‬
‫‪ker f = {(x, y) ∈ R × R | f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ R × R | 3x − y = 0} = H‬‬
‫לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬נקבל את הדרוש‪.‬‬
‫∼ ‪.R/Z‬‬
‫תרגיל ‪ .15.4‬נסמן }‪ .T = {z ∈ C | |z| = 1‬זו חבורה כפלית‪ .‬הוכיחו כי ‪= T‬‬
‫הוכחה‪ .‬נגדיר ‪ f : R → T‬לפי ‪ .f (x) = e2πix‬זהו הומומורפיזם‪ ,‬כי‬
‫)‪f (x + y) = e2πi(x+y) = e2πix+2πiy = e2πix · e2πiy = f (x) f (y‬‬
‫‪ f‬היא גם אפימורפיזם‪ ,‬כי כל ‪ z ∈ T‬ניתן לכתוב כ‪ e2πix -‬עבור ‪ x ∈ R‬כלשהו‪ .‬נחשב‬
‫את הגרעין‪:‬‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫‪ker f = x ∈ R e2πix = 1 = Z‬‬
‫לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬נקבל‬
‫∼‬
‫‪=T‬‬
‫‪R/Z‬‬
‫תרגיל ‪ .15.5‬יהי הומומורפיזם ‪ .f : Z14 → D10‬מה יכול להיות ‪?ker f‬‬
‫פתרון‪ .‬נסמן ‪ .K = ker f‬מכיוון ש‪ ,K ◁ Z14 -‬אז ‪ .|K| | |Z14 | = 14‬לכן ∈ |‪|K‬‬
‫}‪ .{1, 2, 7, 14‬נבדוק עבור כל מקרה‪.‬‬
‫∼‬
‫‪Z‬‬
‫‪14‬‬
‫אם ‪ ,|K| = 1‬אז ‪ f‬הוא חח”ע וממשפט האיזומורפיזם הראשון נקבל ‪. /K = im f‬‬
‫∼ ‪ .Z14‬ידוע לנו כי ‪ im f ≤ D10‬ולכן ‪ .|im f | | |D10 | = 20‬אבל ‪ 14‬אינו‬
‫לכן ‪= im f‬‬
‫מחלק את ‪ ,20‬ולכן ‪.|K| ̸= 1‬‬
‫אם ‪ ,|K| = 2‬אז בדומה לחישוב הקודם נקבל‬
‫| ‪|Z14‬‬
‫‪=7‬‬
‫|‪|K‬‬
‫= | ‪|im f | = |Z14/K‬‬
‫ושוב מפני ש‪ 7-‬אינו מחלק את ‪ 20‬נסיק כי ‪.|K| ̸= 2‬‬
‫‪36‬‬
‫אם ‪ ,|K| = 7‬נראה כי קיים הומומורפיזם כזה‪ .‬ניקח תת־חבורה } ‪H = {id, τ‬‬
‫)כל תת־חבורה מסדר ‪ 2‬תתאים( של ‪ ,D10‬ונבנה אפימורפיזם ‪.Z14 → H ≤ D10‬‬
‫המספרים האי זוגיים ישלחו ל‪ ,τ -‬והזוגיים לאיבר היחידה‪ .‬כמו כן‪ ,‬כיוון שהגרעין הוא‬
‫∼ ‪.K‬‬
‫מסדר ראשוני‪ ,‬אז ‪= Z7‬‬
‫אם ‪ ,|K| = 14‬אז נקבל ‪ .K = Z14‬תוצאה זאת מתקבלת עבור ההומומורפיזם‬
‫הטריוויאלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .15.6‬תהיינה ‪ G1‬ו‪ G2 -‬חבורות סופיות כך ש‪ .(|G1 | , |G2 |) = 1-‬מצאו את כל‬
‫ההומומורפיזמים ‪.f : G1 → G2‬‬
‫פתרון‪ .‬נניח כי ‪ f : G1 → G2‬הומומורפיזם‪ .‬לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪,‬‬
‫| ‪|G1‬‬
‫∼‬
‫| ‪= |G1/ker f | = |im f | ⇒ |im f | | |G1‬‬
‫⇒ ‪= im f‬‬
‫| ‪|ker f‬‬
‫‪G1/ker f‬‬
‫כמו כן‪ ,im f ≤ G2 ,‬ולכן‪ ,‬לפי משפט לגראנז’‪ .|im f | | |G2 | ,‬אבל ‪,(|G1 | , |G2 |) = 1‬‬
‫ולכן ‪ - |im f | = 1‬כלומר ‪ f‬היא ההומומורפיזם הטריוויאלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ .15.7‬מצאו את כל התמונות האפימורפיות של ‪) D4‬עד כדי איזומורפיזם(‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬כל תמונה אפימורפית של ‪ D4‬איזומורפית‬
‫למנה ‪ ,D4/H‬עבור איזשהו ‪ .H ◁ D4‬לכן מספיק לדעת מיהן כל תת־החבורות הנורמליות‬
‫של ‪.D4‬‬
‫קודם כל‪ ,‬יש לנו את תת־החבורות הטריוויאליות ‪ ;{id} , D4 ◁ D4‬לכן‪ ,‬קיבלנו את‬
‫∼ ‪.D4/D4‬‬
‫∼ }‪ D4/{id‬ו‪= {id}-‬‬
‫התמונות האפימורפיות ‪= D4‬‬
‫כעת‪ ,‬אנו יודעים כי ‪ .Z (D4 ) = ⟨σ 2 ⟩ ◁ D4‬ננסה להבין מיהי ⟩ ‪ .D4/⟨σ2‬רעיון‬
‫לניחוש‪ :‬אנחנו יודעים‪ ,‬לפי לגראנז’‪ ,‬כי זו חבורה מסדר ‪ .4‬כמו כן‪ ,‬אפשר לבדוק שכל‬
‫איבר ⟩ ‪ x ∈ D4/⟨σ2‬מקיים ‪ .x2 = e‬לכן ננחש שזו ‪) Z2 × Z2‬ובהמשך נדע להגיד זאת‬
‫בלי למצוא איזומורפיזם ממש(‪ .‬נגדיר ‪ f : D4 → Z2 × Z2‬לפי )‪ .f (τ i σ j ) = (i, j‬קל‬
‫לבדוק שזהו אפימורפיזם עם גרעין ⟩ ‪ ,⟨σ 2‬ולכן‪ ,‬לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪,‬‬
‫∼‬
‫‪= Z2 × Z2‬‬
‫⟩ ‪D4/⟨σ 2‬‬
‫נשים לב כי ‪ ,⟨σ⟩ ◁ D4‬כי זו תת־חבורה מאינדקס ‪ .2‬אנחנו גם יודעים שכל‬
‫החבורות מסדר ‪ 2‬איזומורפיות זו לזו‪ ,‬ולכן‬
‫∼‬
‫‪= Z2‬‬
‫⟩‪D4/⟨σ‬‬
‫גם ‪ ⟨σ 2 , τ ⟩ , ⟨σ 2 , τ σ⟩ ◁ D4‬מאותו נימוק‪ ,‬וכן‬
‫∼‬
‫∼ ⟩‪= D4/⟨σ2 ,τ σ‬‬
‫‪= Z2‬‬
‫‪37‬‬
‫⟩ ‪D4/⟨σ 2 ,τ‬‬
‫צריך לבדוק האם יש עוד תת־חבורות נורמליות‪ .‬נזכור שבתרגיל הבית מצאתם‬
‫את כל תת־החבורות של ‪ .D4‬לפי הרשימה שהכנתם‪ ,‬קל לראות שכתבנו את כל‬
‫תת־החבורות מסדר ‪ ,4‬ואת ⟩ ‪ .⟨σ 2‬תת־החבורות היחידות שעוד לא הזכרנו הן מהצורה‬
‫} ‪ .⟨τ σ i ⟩ = {id, τ σ i‬כדי שהיא תהיה נורמלית‪ ,‬צריך להתקיים‬
‫) (‬
‫‪H ∋ τ τ σ i τ −1 = σ i τ = τ σ 4−i‬‬
‫לכן בהכרח ‪ .i = 2‬אבל אז‬
‫(‬
‫)‬
‫∈ ‪σ τ σ 2 σ −1 = (στ ) σ = τ σ −1 σ = τ‬‬
‫‪/H‬‬
‫ולכן ‪ .H ̸◁ D4‬מכאן שכתבנו את כל תת־החבורות הנורמליות של ‪ ,D4‬ולכן כל‬
‫התמונות האפימורפיות של ‪ D4‬הן ‪.{id} , Z2 , Z2 × Z2 , D4‬‬
‫המטרה של שאר משפטי האיזומורפיזם הם לתאר את תת־החבורות של המנה ‪,G/N‬‬
‫אחרי זה נשאל על תת־החבורות הנורמליות ואז על המנות‪ .‬נראה שכל הזמן יש קשר‬
‫לתת־חבורות‪ ,‬תת־חבורות נורמליות ומנות של ‪.G‬‬
‫משפט ‪) 15.8‬משפט האיזומורפיזם השני(‪ .‬תהי ‪ G‬חבורה‪ H ≤ G ,‬ו‪ ,N ◁ G-‬אזי‬
‫∼‬
‫‪= H/N ∩H‬‬
‫‪N H/N‬‬
‫ובמובלע‪.N ◁ N H,N ∩ H ◁ H :‬‬
‫דוגמה ‪ .15.9‬ניקח ‪ H = 15Z ≤ Z‬ו‪ .N = 6Z-‬אזי‬
‫‪”N H” = N + H = (6, 15)Z = 3Z‬‬
‫‪N ∩ H = [6, 15]Z = 30Z‬‬
‫ולכן‬
‫∼‬
‫‪= 15Z/30Z‬‬
‫‪3Z/6Z‬‬
‫משפט ‪ .15.10‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ K ◁ G-‬תת־חבורה נורמלית‪.‬‬
‫‪ .1‬כל תת־החבורות )הנורמליות( של ‪ G/K‬הן מהצורה ‪ H/K‬עבור תת־חבורה‬
‫)נורמלית( ‪ H ≤ G‬המכילה את ‪.K‬‬
‫‪) .2‬משפט האיזומורפיזם השלישי( תהי ‪ K ≤ H‬תת־חבורה נורמלית של ‪ G‬אזי‬
‫∼ ‪.G/K/H/K‬‬
‫‪= G/H‬‬
‫בפרט ]‪) [G : K] = [G : N ][N : K‬כפליות האינדקס(‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫דוגמה ‪ 4Z ≤ 2Z .15.11‬אז‬
‫∼‬
‫‪= Z/2Z‬‬
‫‪Z/4Z/2Z/4Z‬‬
‫תרגיל ‪ .15.12‬תהי ‪ N ◁ G‬מאינדקס ראשוני ‪ ,p‬ותהי ‪ .K ≤ G‬הוכיחו כי או ‪K ⊆ N‬‬
‫או ש‪ G = N K-‬ו‪.[K : K ∩ N ] = p -‬‬
‫פתרון‪ .‬נתבונן ב‪ .N ≤ N K ≤ G-‬מכפליות האינדקס נקבל ‪[N K : N ] | [G : N ] = p‬‬
‫ולכן ‪.[N K : N ] = 1, p‬‬
‫אם ‪ [N K : N ] = p‬אז אין ברירה ו‪ [G : KN ] = 1-‬מה שאומר ‪ .G = N K‬בנוסף‬
‫ממשפט האיזו’ השני ‪.[K : K ∩ N ] = [N K : N ] = p‬‬
‫אם ‪ [N K : N ] = 1‬אז לפי משפט האיזו’ השני ‪ [K : K ∩ N ] = 1‬מה שאומר‬
‫ש‪.K ⊆ N -‬‬
‫‪39‬‬