מבנים אלגבריים 80445 Á

‫מבנים אלגבריים‬
‫‪I‬‬
‫‪80445‬‬
‫אור דגמי‪ordigmi.org ,‬‬
‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬
‫סיכום ההרצאות של פרופסור אהוד דה־שליט‬
‫‪ 2012.‬םידומיל תנשב םילשוריב תירבעה הטיסרבינואב ‪ I‬םיירבגלא םינבמ ירועישמ‬
‫‪ 24‬ביולי ‪2012‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪ I‬מבוא‬
‫‪1‬‬
‫‪II‬‬
‫מבוא‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪3‬‬
‫ספרות מומלצת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מנהלות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫השלמת חומר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חבורות‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫חבורות‬
‫‪ 2.1‬פעולה בינארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬הגדרת החבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תת חבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫חבורה נוצרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫חבורת השעון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z12‬‬
‫‪2.2.2.1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ 3.1‬מסלולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2‬נקודות שבת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3.1‬משפט לגרנז' ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4‬חבורה לא קומוטטיבית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.5‬משפט המסלולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.6‬פעולה על ידי הצמדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13‬‬
‫‪16‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪22‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪4‬‬
‫הומומורפיזמים‬
‫‪ 4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2‬חבורת המנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2.1‬תת־חבורות של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G/N = G‬‬
‫‪27‬‬
‫‪29‬‬
‫‪32‬‬
‫‪35‬‬
‫‪5‬‬
‫תמורות‬
‫‪ 5.1‬פרוק תמורות למחזורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.1.1‬כמה עובדות על מחזורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪41‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪43‬‬
‫‪6‬‬
‫חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ 6.1‬הרעיון בחקר חבורות־‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p‬‬
‫‪ 6.2‬משפטי סילו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪47‬‬
‫‪48‬‬
‫‪48‬‬
‫‪7‬‬
‫סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬
‫‪54‬‬
‫חבורות פתירות ־‬
‫‪ 8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪58‬‬
‫‪58‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Solvable‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪ 9‬חבורות אבליות‬
‫‪ 9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.1.1‬בסיס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.2‬חבורות חופשיות לא אבליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪62‬‬
‫‪62‬‬
‫‪63‬‬
‫‪69‬‬
‫‪ III‬חוגים‬
‫‪70‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪75‬‬
‫‪76‬‬
‫‪79‬‬
‫‪82‬‬
‫‪ 10‬חוגים‬
‫‪ 10.0.0.1‬תוספות‬
‫‪ 10.1‬הומומורפיזמים ‪. . . . . .‬‬
‫‪ 10.2‬אידיאל ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3‬משפטי הומומורפיזם ‪. . .‬‬
‫‪ 11‬פריקות בתחומי שלמות‬
‫‪ 11.1‬הקדמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 11.2‬חילוק עם שארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪84‬‬
‫‪84‬‬
‫‪86‬‬
‫‪ 12‬חוג אוקלידי‬
‫‪ 12.1‬אי־פריקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪88‬‬
‫‪90‬‬
‫‪91‬‬
‫‪ 13‬דוגמה לשימוש בכל מה שלמדנו‬
‫‪ 13.0.0.2‬רעיון‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :‬‬
‫‪93‬‬
‫‪93‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חלק‬
‫‪I‬‬
‫מבוא‬
‫‪3‬‬
1 ‫פרק‬
‫מבוא‬
‫ ספרות מומלצת‬1.1
• Herstein - Topis in Algebra (h. 2) (23) - ‫מומלץ‬
• Rotman - An introdution to the theory of groups (23)
• Humphreys - A ourse in group theory (23)
• Dummit + Foote - Abstrat Algebra (h. 1-6) (20)
• Artin - Algebra h. 2,5,6
‫מנהלות‬
1.2
deshalitmath.huji.ail :‫ פשוט לפרופסור אודי )אהוד( דה־שליט במייל ולקבוע‬,‫ לא ינתנו‬,‫שעות קבלה‬
‫השלמת חומר‬
1.3
‫• תבניות בילינאריות ־ פרק ט"ו בספר של עמיצור‬
4
‫חלק‬
‫‪II‬‬
‫חבורות‬
‫‪5‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫חבורות‬
‫‪31/10/2011‬‬
‫את השיעור היום‬
‫אלכס ‪ 2.1‬פעולה בינארית‬
‫העביר‬
‫לובוצקי‬
‫הגדרה ‪ 2.1.1‬פעולה בינארית‪ :‬אם ‪ X‬קבוצה‪ ,‬פעולה בינארית )שתסומן‪ (◦, ·, ∗, +, . . . :‬זו פונקציה‪:‬‬
‫‪X ·X → X‬‬
‫‪(a, b) → a · b‬‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ a, b ∈ X‬וגם ‪a · b ∈ X‬‬
‫דוגמה ‪: 2.1.2‬‬
‫‪ (R, +) .1‬־ מגדיר פעולה‪.‬‬
‫‪ (R× , ·) .2‬־ ×‪ = R‬אוסף האיברים השונים מ‪.0‬‬
‫‪ F .3‬שדה‪ (F, +) ,‬מגדיר פעולה‪.‬‬
‫‪ (F× , ·) .4‬־ ×‪) = F‬שוב( אוסף האיברים השונים מ‪.0‬‬
‫‪ F .5‬שדה‪det (A) 6= 0} ,‬‬
‫| )‪ GLn (F) = {A ∈ Mn (F‬עם פעולת הרכבה‪.‬‬
‫‪ f } X = {1, 2, . . . , n} .6‬חח"ע ועל |‪ Sym (x) = {f : x → x‬פעולת הרכבה‪.‬‬
‫בדוגמאות שראינו‪ ,‬לקבוצה עם הפעולה הבינארית גם מתקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬אסוציאטיביות )דהיינו‪(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z :‬‬
‫‪ .2‬קיים איבר יחידה ‪ e‬כך ש ‪ x ◦ e = e ◦ x = x‬לכל ‪x ∈ X‬‬
‫‪ .3‬קיימת פונקציה ‪ ι : X → X‬כך ש ‪x ◦ i (x) = e‬‬
‫‪ 2.2‬הגדרת החבורה‬
‫הגדרה ‪ 2.2.1‬חבורה‪ :‬חבורה היא קבוצה ‪ G‬עם פעולה בינארית ◦‪ ,‬כך ש‪:‬‬
‫‪ .1‬הפעולה אסוציאטיבית‬
‫‪ .2‬יש איבר יחידה ‪ e‬כך ש ‪e ◦ x = x ◦ e = x‬‬
‫‪ .3‬יש פונקציה ‪ ι : G → G‬כך ש‪x ◦ ι (x) = e :‬‬
‫‪∀x ∈ G,‬‬
‫‪∀x ∈ G,‬‬
‫הערה ‪ 2.2.2‬אם מתקיים גם ‪ x ◦ y = y ◦ x‬אז החבורה תקרא חבורה קומוטטיבית‪/‬חילופית‪/‬אבלית‪.‬‬
‫למה ‪2.2.3‬‬
‫‪6‬‬
‫פרק ‪ .2‬חבורות‬
‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬
‫‪∀x ∈ G,‬‬
‫‪ ι (x) .1‬הוא גם הופכי משמאל‪ .‬ז"א ‪ι (x) · x = e‬‬
‫‪ .2‬כלל הצמצום‪ :‬אם ‪ xa = ya‬עבור ‪ x, y, a ∈ G‬אזי‪ x = y :‬וגם אם‬
‫‪ ax = ay‬אזי ‪x = y‬‬
‫‪ι (ι (x)) = x .3‬‬
‫‪∀x ∈ g‬‬
‫‪ι (x ◦ y) = ι (y) ◦ ι (x) .4‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ x ∈ g‬נסמן‪ y = ι (x) :‬ו‪z = ι (y) :‬‬
‫))‪x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦z ⇒ x = z = ι (ι (x‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫)‪y ◦ ι (y) x ◦ ι (x‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫} ‪} | {z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪z‬‬
‫ולכן קיבלנו את ‪ 3‬כנדרש‪ .‬כמו כן‪ ,‬בפרט זה מוכיח ש‪ ι‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫מאחר ש‪ ι‬חח"ע ועל‪ ,‬אזי כל איבר ‪ y ∈ G‬הוא מהצורה )‪ y = ι (x‬עבור איזשהו ‪ .x ∈ G‬אזי‪:‬‬
‫‪ι (y) ◦ y = ι (ι (x)) ◦ ι (x) = x ◦ ι (x) = e‬‬
‫ולכן‪ ,‬לכל ‪ y ∈ G‬קיבלנו‪ ι (y) ◦ y = e :‬וזה מוכיח את ‪ 1‬כנדרש‪.‬‬
‫בהינתן ‪ a ◦ x = a ◦ y‬אזי נקבל‪:‬‬
‫= )‪ι (a) ◦ (a ◦ x‬‬
‫⇒ )‪ι (a) ◦ (a ◦ y‬‬
‫= ‪(ι (a) ◦ a) ◦ x‬‬
‫= ‪e◦x‬‬
‫⇒ ‪(ι (a) ◦ a) ◦ y‬‬
‫‪e◦y‬‬
‫= ‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫ולכן גם ‪ 2‬נכון כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.2.4‬נשים לב שנובע מ‪ 2‬שהגדרת ‪ ι‬היא יחידה‪ .‬זאת אומרת אם‪ e = x ◦ ι (x) = x ◦ ι′ (x) :‬אזי‬
‫)‪ .ι (x) = ι′ (x‬כלומר ההופכי )מימן או משמאל( הוא יחיד!‬
‫לכן כדי להוכיח את ‪ 4‬מספיק להוכיח ש‪:‬‬
‫‪(x ◦ y) ◦ (ι (y) ◦ ι (x)) = e‬‬
‫= ))‪(x ◦ y) ◦ (ι (y) ◦ ι (x)) = x ◦ (y ◦ (ι (y) ◦ ι (x))) = x ◦ ((y ◦ ι (y)) ◦ ι (x‬‬
‫‪x (e ◦ ι (x)) = x ◦ (ι (x)) = e‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.2.5‬גם בחבורה כללית נסמן‪ .ι (x) = x−1 :‬לא נסמן ב‬
‫קומטטיביות אנחנו לא נוכל לדעת האם מדובר ב ‪ x1 y‬או ‪.y x1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫כיוון שאז נהוג לכתוב‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫וכיוון שאין‬
‫דוגמה ‪ : 2.2.6‬כל המקרים שהבאנו קודם לפונקציות בינאריות )בדוגמה ‪ (2.1.2‬נתנו למעשה חבורות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ .G = GLn (F) :‬המטריצה ההופכית ־ ‪ι (a) = A−1‬‬
‫כמו כן‪ :‬כל מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬הוא חבורה‪.‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫תת חבורה‬
‫הגדרה ‪ 2.2.7‬תת־חבורה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה‪ ,‬אזי ‪ H ⊆ G‬תת־קבוצה לא ריקה של ‪ ,G‬תקרא תת־חבורה)או חבורה‬
‫חלקית ־ ח"ח( אם לכל ‪ x, y ∈ H‬מתקיים ‪ x ◦ y ∈ H‬וגם ‪.ι (x) ∈ H‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬
‫‬
‫‬
‫פרק ‪ .2‬חבורות‬
‫הערה ‪ 2.2.8‬נשים לב שתת־חבורה היא חבורה כי האקסיומות מתקיימות‪ ,‬מתוך כך שמתקיימות ב‪.G‬‬
‫אסוציאטיביות ־ ברור‪.‬‬
‫איבר יחידה קיים מאחר ו‪ H‬לא ריקה‪ .‬בהינתן ‪ x ∈ H‬אזי לפי הגדרה גם ‪ ι (x) ∈ H‬וגם ‪.e = x ◦ ι (x) ∈ H‬‬
‫קיום הפונקציה ‪ ,ι‬היא אותה הפונקציה ‪ ι‬עבור ‪ G‬אשר סגורה ב‪.H‬‬
‫‪P‬‬
‫תרגיל‪ :‬בהינתן ‪ G‬חבורה ו‪ H ⊆ G :‬תת־חבורה אם"ם ‪ H‬לא ריקה ולכל ‪.x−1 y ∈ H x, y ∈ H‬‬
‫דוגמה ‪: 2.2.9‬‬
‫‬
‫‬
‫‪G ≤ G .1‬‬
‫‪ .2‬איבר היחידה‪{e} ≤ G .‬‬
‫‪) Z ≤ Q ≤ R .3‬ביחס לפעולת החיבור(‬
‫×‬
‫×‪) R‬החבורה כפלית(‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪>0 ≤ R‬‬
‫חבורה חלקית של )‪) GLn (F‬כיוון ש‪:‬‬
‫‪ F .5‬שדה‪H = SLn (F) = {A ∈ Mn (F) | det (A) = 1F } :‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫)‪det A−1 = det(A‬‬
‫‪ det (AB) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1‬וגם‪= 11 = 1 :‬‬
‫‪ G = SLn (R) .6‬ונגדיר }‪) H = SLn (Z) = {A ∈ Mn (Z) | det (A) = 1‬מטריצות עם קואורדינטות‬
‫שלמות(‪.‬‬
‫נשים לב כי‪A, B ∈ SLn (Z) :‬אזי‪ A · B ∈ SLn (Z) :‬כי מכפלת מטריצות שלמות היא שלמה וה‬
‫‪det‬נכפלת‪ .‬צריך לבדוק שאם )‪ A ∈ SLn (Z‬אזי גם )‪ .A−1 ∈ SLn (Z‬נזכור כי ‪ A−1‬ניתנת להגדרה‬
‫לבעזרת המינורים ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪· · · Aˆi,j · · ·‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪A−1‬‬
‫)‪det (A‬‬
‫אבל ‪ det (A) = 1‬ולכן המטריצה שלמה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ α = (a1 , . . . , a‬ו ) ‪ .β = (b1 , . . . bn‬עם מכפלה פנימית ‪B : V × V → R‬‬
‫‪ V = R‬מרחב וקטורי‪n ) ,‬‬
‫‪P‬‬
‫המוגדרת באופן הבא ‪ .B (α, β) = ai bi‬אזי‪:‬‬
‫})‪ = On (R) = {A ∈ GLn (R) | B (Aα, Aβ) = B (α, β‬החבורה האורתוגונלית‬
‫הטענה‪ ,‬זו ח"ח של )‪.GLn (R‬‬
‫צריך לבדוק‪ g, h ∈ On (R) :‬אז‪ g ◦ h ∈ On (R) :‬וגם )‪:g −1 ∈ On (R‬‬
‫)‪B (α, β‬‬
‫?‬
‫)‪B ((gh) α, (gh) β‬‬
‫=‬
‫}‪B (g (hα) , g (hβ)) |{z‬‬
‫)‪= B (hα, hβ) = B (α, β‬‬
‫)‪g∈On (R‬‬
‫צריך לבדוק שאם )‪ g ∈ On (R‬אזי גם )‪:α, β ∈ Rn .g −1 ∈ On (R‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪= B g g −1 α , g g −1 β‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫)‪g∈On (R‬‬
‫‬
‫‬
‫‪02/11/2011‬‬
‫גם את השיעור‬
‫היום העביר אלכס‬
‫לובוצקי‬
‫ ‬
‫‬
‫)‪g ◦ g −1 α, g ◦ g −1 β = B (Iα, Iβ) = B (α, β‬‬
‫‬
‫‪B g −1 α, g −1 β‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‬
‫תרגיל‪ :‬אם ‪ H1 , H2 ≤ G‬אזי ‪.H1 ∩ H2 ≤ G‬‬
‫‪8‬‬
‫פרק ‪ .2‬חבורות‬
‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬
‫תזכורת ‪ 2.2.10‬תזכורת משיעור קודם‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.11‬חבורה‪ :‬חבורה זו קבוצה ‪ G‬עם פעולה בינארית ·‪ (x, y) 7→ x · y :‬המקיימת‪:‬‬
‫‪ .1‬אסוציאטיביות ‪∀x, y, z ∈ G x · (y · z) = (x · y) · z‬‬
‫‪ .2‬קיים ‪ e ∈ G‬כך ש‪x · e = e · x = x :‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ x ∈ G‬קיים איברי ‪ x−1 ∈ G‬כך ש‪x · x−1 = e :‬‬
‫הערה ‪ 2.2.12‬אם ‪ a ∈ G‬וקיים ‪ x0 ∈ G‬כך ש‪ x0 a = x0 :‬אזי‪ a = e :‬ובפרט‪ xa = x :‬לכל ‪ .x ∈ G‬וזה על פי‬
‫חוק הצמצום ‪x0 a = x0 e ⇒ a = e‬‬
‫טענה ‪2.2.13‬‬
‫אם ‪ G‬חבורה ו ‪ {Hα }α∈I‬אוסף של חבורות חלקיות של ‪ G‬אזי‪Hα :‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪ H‬הוא חבורה חלקית‬
‫‪α∈I‬‬
‫נבחין כי ∅ =‪ H 6‬כיוון ש ‪ e ∈ Hα‬לכל ‪) .α‬כי כל חבורה חלקית מכילה את ‪ e‬־ בדוק!(‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית ‪T‬‬
‫ולכן ‪Hα ∋ e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪T‬‬
‫אם ‪ a, b ∈ H‬אזי ‪ a, b ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ו ‪ Hα‬חבורה חלקית לכן ‪ a · b ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ולכן‪Hα :‬‬
‫= ‪a·b ∈ H‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם ‪ a ∈ H‬אזי ‪ a ∈ Hα‬לכל ‪ Hα .α‬חבורה חלקית לכל ‪ a−1 ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ולכן ‪.a−1 ∈ H‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫חבורה נוצרת‬
‫הגדרה ‪ 2.2.14‬חבורה נוצרת‪ :‬אם ‪ G‬חבורה‪ ,‬ו ‪ Y ⊆ G‬תת קבוצה‪ .‬נסמן }‪{H| Y ⊆ H ≤ G‬‬
‫חיתוך כל החבורות החלקיות של ‪ G‬המכילות את הקבוצה ‪.(Y‬‬
‫וזה יקרא החבבורה הנוצרת ע"י ‪.Y‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪) hY i‬כלומר‬
‫הערה ‪2.2.15‬‬
‫‪ .1‬נשים לב כי האוסף לא ריק כי ‪ Y ⊆ G‬ולכן ‪ G‬בעצמו נכלל באוסף‪.‬‬
‫‪ .2‬זו אכן חבורה חלקית‪ ,‬כי ראינו שחתוך של חבורות חלקיות מהווה חבורה חלקית‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ∅ = ‪ Y‬אזי }‪hY i = {e‬‬
‫טענה ‪2.2.16‬‬
‫‪ Y ⊆ G‬קבוצה חלקית‪ ,‬אזי ‪ hY i‬הוא אוסף כל האיברים ‪ g ∈ G‬הניתנים לכתיבה כ‪:‬‬
‫‪g = y1ε1 · y2ε2 · . . . · ynεn‬‬
‫}‪n ∈ N ∪ {0‬‬
‫כאשר ‪ yi ∈ Y‬לכל ‪ i = 1, . . . , n‬וגם‪εi = ±1 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור שכל "מילה" מהצורה ‪ y1ǫ1 · . . . · ynǫn‬מוכלת בכל חבורה חלקית המכילה את ‪ Y‬ולכן גם ב ‪ .hY i‬כדי‬
‫להוכיח הכלה בכיוון השני‪ ,‬נוכיח שאוסף המילים הללו מהווה חבורה חלקית )ואז זו חבורה חלקית המכילה את‬
‫‪ Y‬ולכן מכילה את ‪(hY i‬‬
‫זו קבוצה לא ריקה )אם ∅ =‪ Y 6‬ברור‪ ,‬אם ∅ = ‪ Y‬אזי המילה באורך ‪ 0‬היא ‪ e‬ע"פ הגדרה(‪.‬‬
‫מכפלת ‪ 2‬מילים כנ"ל זה שרשור של המילים‪ .‬ולכן‪ ,‬גם באוסף‪.‬‬
‫ולבסוף‪ ,‬הופכי‪:‬‬
‫‪= yn−εn · . . . · y1−ε1‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪(y1ε1 · . . . · ynεn‬‬
‫ולכן גם היא מילה מאותה צורה‪.‬‬
‫הגדרה ‪2.2.17‬‬
‫‪ .1‬נאמר ש ‪ Y ⊆ G‬יוצרת את ‪ G‬אם ‪hY i = G‬‬
‫‪ .2‬חבורה ‪ G‬נקראת ציקלית אם היא נוצרת ע"י איבר אחד‬
‫‪9‬‬
‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .2‬חבורות‬
‫דוגמה ‪: 2.2.18‬‬
‫‪ (Z, +) .1‬נוצרת ע"י }‪Y = {1‬‬
‫‪ Zn = {0, 1 . . . , n − 1} .2‬עם חבור מודולו‪ n‬זו חבורה הנוצרת גם היא ע"י }‪{1‬‬
‫‪ C2 = {±1} .3‬ביחס לכפל נוצרת ע"י }‪ .{−1‬נשים לב כי היא איזומורפית ל ‪) Z2‬נלמד משמעות בהמשך(‬
‫לוח כפל של חבורה מסדר ‪ n‬זה רבוע קסם ‪:n × n‬‬
‫·‬
‫‪e a b c‬‬
‫‪e e a b c‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c c‬‬
‫דהיינו בכל שורה ובכל עמודה מופיע כל אחד מהאיברים בדיוק פעם אחת‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫הערה ‪ 2.2.19‬לא כל ריבוע קסם מגדיר חבורה!‬
‫דוגמה ‪ : 2.2.20‬נרצה לראות איך נראת חבורה מסדר ‪:2‬‬
‫·‬
‫‪e a‬‬
‫‪e e a‬‬
‫‪a a e‬‬
‫נשים לב שאין לנו אפשרות אחרת למלא את הטבלה‪ ,‬לכן זה אומר שכל החבורה מסדר ‪ 2‬הן איזומורפיות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 2.2.21‬עבור חבורה מסדר ‪:3‬‬
‫·‬
‫‪e a b‬‬
‫‪e e a b‬‬
‫‪a a b e‬‬
‫‪b b e a‬‬
‫גם כאן‪ ,‬לא הייתה לנו אפשרות לסדר את הטבלה אחרת‪ ,‬נשים לב שזו טבלת החיבור של ‪.Z3‬‬
‫הערה ‪ 2.2.22‬לסדר ‪ 4‬כבר יהיו ‪ 2‬אפשרויות‪.‬‬
‫‪07/11/2011‬‬
‫מעתה נלמד עם‬
‫אהוד דה־שליט‬
‫הגדרה ‪ 2.2.23‬סדר‪ :‬אם ‪ G‬היא סופית‪ ,‬מספר אבריה נקרא סדר החבורה ומסומן |‪|G‬‬
‫קצת חזרה על מה שנלמד עד כה‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.24‬קומוטטיבית\אבלית‪ :‬אם ‪ G‬מקיימת בנוסף‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∀x, y x ◦ y = y ◦ x‬‬
‫אזי ‪ G‬נקראת קומוטטיבית או אבלית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 2.2.25‬החבורה הטריוויאלית‪ e ◦ e = e ,G = {e} :‬ולכן ‪.ι (e) = e‬‬
‫הטריוויאלית‪.‬‬
‫חבורה זו היא החבורה‬
‫דוגמה ‪ GLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) , det (A) 6= 0} : 2.2.26‬עם פעולת כפל המטריצות‪.‬‬
‫נשים לב כי קיים איבר יחידה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ··· 0‬‬
‫‪ .. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪e = I = .‬‬
‫‪. .. ‬‬
‫‪1‬‬
‫··· ‪0‬‬
‫וכמו כן קיים איבר הופכי‪:‬‬
‫‪ι (A) = A−1‬‬
‫)קיים כי ‪.(det (A) 6= A‬‬
‫ולכן זוהי חבורה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫פרק ‪ .2‬חבורות‬
‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬
‫עקרונית‪ ,‬ניתן לתאר חבורה ‪ G‬ע"י "לוח הכפל"‪ ,‬אבל זה לא נהוג‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נכיר מספר חבורות ידועות‪:‬‬
‫)‪GLn (R‬‬
‫)‪SLn (R‬‬
‫)‪SOn (R‬‬
‫‪ General Linear Group‬מוגדרת באופן הבא‪GLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) , det (A) 6= 0} :‬‬
‫‪ Speial Linear Group‬מוגדרת באופן הבא‪SLn (R) = {g ∈ GLn (R) , det (g) = 1} :‬‬
‫‪ Speial Orthogonal Group‬מוגדרת בתור המטריצות האורתוגונליות מדטרמיננטה = ‪ ,1‬דהיינו‪:‬‬
‫}‪SOn (R) = {g ∈ SLn (R) | g t g = I‬‬
‫‪ H, K ≤ G‬תתי חבורות‪ ,‬אזי גם החיתוך ‪.H ∩ K ≤ G‬‬
‫אזהרה‪ :‬איחוד של תתי חבורות בדרך כלל אינו תת חבורה!‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ G = Z : 2.2.27‬עם פעולת החיבור ‪.+‬‬
‫‪ e = 0‬וכמו כן‪ι (n) = −n :‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪6Z ∩ 9Z = 18Z‬‬
‫בהנתן קבוצה ‪ S ⊆ G‬קיימת תת חבורה מינימלית של ‪ G‬המכילה את כל ‪ .S‬תת החבורה הזאת מסומנת ‪hSi‬‬
‫ונקראת תת החבורה הנוצרת על ידי ‪.S‬‬
‫אם ‪ hSi = G‬אומרים ש ‪ S‬קבוצה יוצרים של ‪.G‬‬
‫‪ G‬נקראת חבורה ציקלית )מעגלית( אם יש לה יוצר אחד ‪) G = h{g}i = hgi‬האיבר ‪ g‬אינו יחיד בדרך כלל(‪.‬‬
‫למה ‪2.2.28‬‬
‫בהינתן ‪ {Hα }α∈I‬אוסף של תת חבורות של חבורה ‪ H‬אזי גם ‪Hα‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪ H‬גם הוא תת חבורה‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫הוכחה‪ :‬כבר הוכחנו את זה בשיעור הקודם‪.‬‬
‫טענה ‪2.2.29‬‬
‫בהנתן קבוצה ‪ S ⊆ G‬קיימת תת חבורה מינימלית יחידה של ‪ G‬המכילה את כל ‪.S‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהנתן ‪ S ⊆ G‬נסתכל באוסף כל תת־החבורות ‪ Hα ≤ G‬המכילות את ‪.S‬‬
‫זהו אוסף לא ריק )למשל ‪ ,(G‬וחתוכו אם כך תת־חבורה המכילה את ‪ ,S‬והחתוך הזה שייך בעצמו לאוסף‬
‫ובהכרח הוא איבר מינימלי באוסף‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫\‬
‫= ‪hSi‬‬
‫‪Ha ⊆ Hα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫אפשר לתאר את ‪ = hSi‬תת־החברוה הנוצרת על ידי ‪ S‬גם על ידי בניה "מלמטה"‪:‬‬
‫כלומר נסמן‪:‬‬
‫}‪S˜ = S ∪ ι (S) ∪ {e‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫}‪ι (S) = {ι (x) | x ∈ S‬‬
‫מילה על ‪ S‬הינה ביטוי מהצורה‪:‬‬
‫‪x1 x2 x3 . . . xn ∈ G‬‬
‫כאשר ˜‪.xi ∈ S‬‬
‫טענה ‪2.2.30‬‬
‫אברי ‪ G‬שהם מילים על ‪ S‬מהוים בדיוק את ‪hSi‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחנו בשיעור הקודם‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫פרק ‪ .2‬חבורות‬
‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬
‫‪ 2.2.2.1‬חבורת השעון ‪Z12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫איור ‪ :2.1‬חבורת השעון ־ ‪Z12‬‬
‫}‪ G = {0, 1, . . . , 11‬עם פעולת החיבור על השעון ‪ +‬מודולו ‪ 12‬היא חבורת השעון‪.‬‬
‫איבר היחידה בחבורה הוא‪ e = 0 :‬ו‪ι (x) = −x :‬‬
‫‪ G‬ציקלית נוצרת ע"י ‪|G| = 12 .1‬‬
‫תת חבורות‪:‬‬
‫‪n o‬‬
‫‪ 0‬־ טריויאלית )איבר בודד(‬
‫‪.1‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, 11 = G .2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0, 2 , 4, 6, 8, 10 .3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0, 3 , 6, 9‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0, 4 , 8‬‬
‫‪0, 6‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪ 12‬איברים(‬
‫)‪ 6‬איברים(‬
‫)‪ 4‬איברים(‬
‫)‪ 3‬איברים(‬
‫)‪ 2‬איברים(‬
‫הערה ‪ 2.2.31‬האיברים הממוסגרים הם האיברים היוצרים של כל תת חבורה‪.‬‬
‫נבחין שקיימים ‪ 2‬איברים מסדר ‪ 2‬כלומר שמקיימים‪ x2 = e :‬והם ‪.0, 6‬‬
‫שעונים עם כמות שעות שונה אם היינו בוחנים את ‪ Z11‬היינו שמים לב כי תתי החבורות היחידים שאפשריים‬
‫הם‪{0, 1, . . . , 11} :‬ו }‪ .{0‬כמובן שיש קשר לכך ש ‪ 11‬ראשוני‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫תהיה ‪ G‬חבורה‪ X ,‬קבוצה‪ .‬פעולה של ‪ G‬על ‪ X‬הנה פונקציה‪ G × X → X :‬המסומנת‪:‬‬
‫המקיימת‪ ∀x e · x = x :‬וגם מתקיים‪x :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪(g, x) 7→ g · x‬‬
‫‪‬‬
‫·‬
‫}‪|{z‬‬
‫פעולת ‪ G‬על ‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‪x = g |{z‬‬
‫‪h‬‬
‫·‬
‫כפל חבורה‬
‫·‬
‫}‪|{z‬‬
‫פעולת ‪ G‬על ‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫·‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪g‬‬
‫פעולת ‪ G‬על ‪X‬‬
‫דוגמה ‪ X = Rn ,G = GLn (R) : 3.0.32‬אזי הפעולה‪ g · x = g (x) :‬היא בעצם כפל של וקטור במטריצה‪.‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪I·x=x‬‬
‫וכמו כן‪,‬‬
‫‪A (Bx) = (AB) x‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 3.0.33‬‬
‫‪ X‬קבוצה כלשהי‪ G = SX ,‬חבורת התמורות של ‪X = {1, . . . , n} .X‬‬
‫הערה ‪ 3.0.34‬נהוג לסמן‪ Sn = SX :‬וקוראים לה החבורה הסימטרית על ‪ n‬איברים‪.‬‬
‫אם ‪ α‬תמורה )פעולה חח"ע ועל מ‪ X‬על עצמו( )‪ α · x = α (x‬נשים לב כי ‪ e · x = x‬תמורת הזהות‪ .‬וכמו כן‪:‬‬
‫)‪α (β (x)) = α (β · x) = (αβ) (x‬‬
‫למה ‪3.0.35‬‬
‫אם ‪ G × X → X‬פעולה של חבורה על קבוצה‪ ,‬אזי לכל ‪ g ∈ G‬הפונקציה‪πg : X → X ,πg (x) = g · x :‬‬
‫הינה תמורה של ‪.X‬‬
‫הוכחה‪ :‬חח"ע‪ :‬אם )‪ πg (x) = πg (y‬אזי‪ .g · x = g · y :‬נפעיל ‪ g −1‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x = e · x = g −1 g x = g −1 (gx) = g −1 (gy) = g −1 g y = ey = y‬‬
‫על‪ πg (x) = y :‬נבחר ‪ x = g −1 y‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‪πg (x) = g · g −1 y = gg −1 · y = e · y = y‬‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.0.36‬כל חבורה פועלת על עצמה ע"י פעולת החבורה‪:‬‬
‫‪X=G‬‬
‫‪G×G→G‬‬
‫‪P‬‬
‫)האקסיומות הן של יחידה וחוק אסוציאטיבי(‬
‫דוגמה ‪ 3.0.37‬חבורת המעגל‪:‬‬
‫‬
‫‪− sin θ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‬
‫‪cos θ‬‬
‫= )‪G = SO2 (R‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫פועלת על ‪ R2‬ע"י סיבוב בזוית ‪.θ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪~v‬‬
‫‪~v‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫איור ‪ :3.1‬סיבוב וקטור בזוית ‪θ‬‬
‫‪09/11/2011‬‬
‫הערה ‪ 3.0.38‬אם ‪ G‬פועלת על ‪ X‬ו‪ ,H ≤ G :‬אזי כמובן גם ‪ H‬פועלת על ‪X‬‬
‫‪14‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 3.0.39‬‬
‫‪ .1‬החבורה )‪ G = GLn (R‬והקבוצה ‪ X = Rn‬והפעולה היא‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪a1,n‬‬
‫‪..   ..  = . . . . . . . . .‬‬
‫‪.  . ‬‬
‫‪xn‬‬
‫···‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫···‬
‫‪an,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪A · x =  ...‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪ G .2‬פועלת על עצמה ע"י כפל משמאל‪(G = X) :‬‬
‫‪G‬‬
‫}‪G × |{z‬‬
‫}‪G → |{z‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ X .3‬קבוצה כל שהיא‪=SX :‬חבורת התמורות על ‪X‬‬
‫הגדרה ‪ 3.0.40‬תמורה של קבוצה ‪ X‬היא פונקציה חח"ע ועל ‪.α : X → X‬‬
‫‪ α ◦ π‬הרכבה‪.‬‬
‫))‪(α ◦ β) (x) = α (β (x‬‬
‫הערה ‪ 3.0.41‬צריך לבדוק שגם ‪ α ◦ β‬תמורה‪:‬‬
‫) ‪α ◦ β (x2‬‬
‫)) ‪α (β (x2‬‬
‫) ‪β (x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫⇓‬
‫=‬
‫⇓‬
‫=‬
‫) ‪α ◦ β (x1‬‬
‫)) ‪α (β (x1‬‬
‫) ‪β (x1‬‬
‫‪x1‬‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫‪α ◦ β (x) = y‬‬
‫אזי קיים ‪ z‬כך ש‪) α (z) = y :‬כי ‪α‬על(‪ .‬וכמו כן קיים ‪ x‬כך ש ‪ β (x) = z‬ולכן‪:‬‬
‫‪α (β (x)) = α (z) = y‬‬
‫כמו כן‪ ,‬קיים הופכי לתמורות‪.α−1 (x) = y ⇐⇒ α (y) = x .‬‬
‫הערה ‪ 3.0.42‬במידה ו }‪ X = {1, 2, . . . , n‬נסמן‪ Sx = Sn :‬ונקרא לה החבורה הסימטרית על ‪ n‬אברים‪.‬‬
‫!‪|Sn | = n‬‬
‫‬
‫‪P‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪α (1) α (2) . . . α (n‬‬
‫=‪α‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.0.43‬במשולש‪ ,‬כמו שראינו בתרגול ‪ 2‬ניתן להשתמש בתמורה על הקודקודים ופעולות סימטריות‬
‫שניתן לעשות עליו והיא שקולה ל ‪ .S3‬לדוגמה‪ ,‬הרכבה של שיקוף וסיבוב תתן לנו‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫◦‬
‫=‬
‫‪2 1 3‬‬
‫‪2 3 1‬‬
‫‪1 3 2‬‬
‫לעומת זאת נשים לב כי‪:‬‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪3‬‬
‫‪1 215 3‬‬
‫‪1‬‬
‫◦‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫‪3‬‬
‫כלומר‪ S3 :‬היא חבורה לא אבלית )קומוטטיבית(‬
‫‬
‫‪− sin θ‬‬
‫‬
‫‪cos θ‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .3.1‬מסלולים‬
‫טענה ‪3.0.44‬‬
‫לכל ‪ g ∈ G‬הפונקציה‪ πg : X → X :‬המוגדרת באופן הבא‪ πg = g · x :‬היא תמורה של ‪.X‬‬
‫הערה ‪ 3.0.45‬אם ‪ H ≤ G‬ו‪ G‬פועלת על ‪ X‬אז גם ‪ H‬פועלת על ‪.H × X → X :X‬‬
‫למשל‪ :‬אם ‪.H × G → G :H ≤ G‬‬
‫משפט ‪3.0.46‬‬
‫אם ‪ G‬פועלת על ‪ X‬ומגדירים יחס על ‪:X‬‬
‫‪∃g ∈ G y = g · x ⇐⇒ x ∼ y‬‬
‫אזי זהו יחס שקילות‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫רפלקסיביות‪:‬‬
‫‪x=e·x⇒x∼x‬‬
‫סימטריות‪:‬‬
‫‪y ∼ x ⇒ y = g · x ⇒ g −1 y = g −1 gx = ex = x ⇒ x ∼ y‬‬
‫טרנזטיביות‪:‬‬
‫‪y ∼ x, z ∼ y ⇒ y = hx z = gy ⇒ z = g (hx) = (gh) x ⇒ z ∼ x‬‬
‫‪14/11/2011‬‬
‫‪3.1‬‬
‫מסלולים‬
‫מסקנה ‪3.1.1‬‬
‫‪ X‬מתחלקת לאיחוד זר של מחלקות שקילות תחת פעולת ‪.G‬‬
‫מחלקת השקילות של איבר ‪ x ∈ X‬נקראת המסלול )‪ (orbit‬של ‪ x‬תחת הפעולה ומסומנת‪ O (x) :‬או ‪Gx‬‬
‫‪O (x) = {g · x| g ∈ G} = Gx‬‬
‫האיבר ‪ x‬עצמו נקרא נציג של המסלול‪ .‬וחשוב לציין שאיננו יחיד ־ אם גם ‪ x′‬נציג אזי‪) x′ ∼ x :‬כלומר קיים‬
‫‪ g ∈ G‬כך ש‪(x′ = gx :‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪) G = 3Z : 3.1.2‬עם פעולת החיבור( פועלת על ידי הזזה על ‪X = Z‬‬
‫ישנם ‪ 3‬מסלולים‪:‬‬
‫‪0 + 3Z = 3Z‬‬
‫‪1 + 3Z‬‬
‫‪2 + 3Z‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .3.1‬מסלולים‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫דוגמה ‪ : 3.1.3‬דוגמאות נוספות למסלולים‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ Rn‬עבור‪ x =  .  :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫)‪GLn (R‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫מסלולים‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,n‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫···‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫···‬
‫‪an,n‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪g= .‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪gx =  ... ‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫ולכן עבור ‪ x =  . ‬נקבל שהמסלולים הם‪:‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪0‬‬
‫}‪Rn \ {0‬‬
‫כיוון שכל וקטור שנבחר )השונה מאפס( ניתן‬
‫להשלמה לבסיס‪ ,‬וכך נבנה את המטריצה ‪g‬‬
‫שלנו‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫לחילופין עבור ‪ x =  ... ‬נקבל כי המסלול‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪− sin θ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‪SO‬‬
‫)‪2 (R‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪SX‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪X‬‬
‫הוא }‪{0‬‬
‫}‪ {0‬ומעגלים קונצנטריים סביב האפס‪.‬‬
‫נשים לב כי זוהי תת־חבורה של )‪GLn (R‬‬
‫אבל היא משנה לגמרי את האופי הגיאומטרי‬
‫של המסלולים‪.‬‬
‫‪ X‬מסלול יחיד‪.‬‬
‫לכל ‪ x, y‬ישנו‪ g ∈ SX :‬כך ש ‪y = gx‬‬
‫‪g (y) = x‬‬
‫‪g (x) = y,‬‬
‫וכמו כן ‪g (z) = z ⇐∀z 6= x, y‬‬
‫זוהי טרנספוזיציה‪ .‬החלפה של שני איברים‬
‫בלבד‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.4‬פעולה טרנזטיבית‪ :‬פעולת ‪ G‬על ‪ X‬נקראת טרנזטיבית אם ישנו רק מסלול אחד‪.‬‬
‫דוגמה ‪ G : 3.1.5‬על ‪ X = G‬על ידי כפל משמאל‬
‫לכל ‪ x, y ∈ G‬יש ‪ g ∈ G‬כך ש‪:‬‬
‫‪gx = y ⇒ g = yx−1‬‬
‫‪17‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .3.2‬נקודות שבת‬
‫‪P‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫דוגמה ‪ G = Z2 = {e, σ} : 3.1.6‬כאשר ‪.σ y  =  y  .X = R3‬‬
‫‪   z  −z‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x‬‬
‫= ‪ z‬או מקרים‬
‫לכן המסלולים הם מסלולים של זוגות‪ ,‬כל הוקטורים מהמבנה ‪ y  ,  y ‬כאשר ‪6 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪−z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ x ‬‬
‫של מסלולים של איבר אחד ‪. y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3.2‬‬
‫נקודות שבת‬
‫הגדרה ‪ 3.2.1‬נקודת־שבת‪ x :‬נקראת נקודת־שבת )‪ (Fixed Point‬של פעולת ‪ G‬אם }‪ {x‬מסלול‪.‬‬
‫‪g·x=x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪∀g‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.2.2‬נשים לב כי ב )‪ GLn (R‬אזי }‪ {0‬היא נקודת שבת‪.‬‬
‫כמו כן גם )‪ {0} SO2 (R‬היא נקודת שבת‪.‬‬
‫במקרה של ‪ SX‬אין לנו כלל נקודות שבת‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ואילו בדוגמה "}‪ G = Z2 = {e, σ‬כאשר ‪ "σ y  =  y  .X = R3‬נקודות השבת הן כל הנקודות‬
‫‪z‬‬
‫‪−z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ x ‬‬
‫במבנה ‪. y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2.3‬פעולה נאמנה‪ :‬אומרים שפעולת ‪ G‬על ‪ X‬היא נאמנה אם לכל ‪ e 6= g ∈ G‬ישנו ‪ x ∈ X‬כך ש‬
‫‪.gx 6= x‬‬
‫יהי ‪ x ∈ X‬נסמן‪:‬‬
‫}‪Gx = {g ∈ G| gx = x‬‬
‫זהו המייצב של ‪.x‬‬
‫למה ‪3.2.4‬‬
‫‪) Gx ≤ G‬תת־חבורה(‬
‫הוכחה‪ e · x = x :‬ולכן ‪) e ∈ Gx‬לפעמים המייצב הוא רק ‪(e‬‬
‫אם ‪ gx = x‬אזי ‪ x = g −1 gx = g −1 x‬ולכן גם ‪.g −1 ∈ Gx‬‬
‫אם ‪ gx = x‬וגם ‪ hx = x‬אזי‪:‬‬
‫‪(gh) x = g (hx) = g (x) = x‬‬
‫‪P‬‬
‫ולכן ‪ Gx‬תת חבורה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ G = Sn .X = {1, . . . , n} : 3.2.5‬מהו המייצב של ‪?n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪... n‬‬
‫=‪α‬‬
‫‪= Sn−1‬‬
‫‪α (1) α (2) α (3) . . . n‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪P‬‬
‫)‪ G = GLn (R‬ו‪ X = Rn :‬עבור ‪ x) Gx = G ⇐x = 0‬נקודת שבת(‬
‫דוגמה ‪: 3.2.6‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫מקרה נוסף‪ x =  .  :‬ומרחב המטריצות‪:‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∗ ‪∗ ...‬‬
‫∗ ‪∗ ...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.. . .‬‬
‫‪. ..‬‬
‫‪.‬‬
‫∗ ‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Gx = ‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫נשים לב כי המטריצה הקטנה )המסומנת( חייבת להיות הפיכה כדי שהמטריצה הגדולה תהא הפיכה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ G : 3.2.7‬פועלת על עצמה על ידי כפל משמאל‪:‬‬
‫}‪Gx = {g| gx = x} = {e‬‬
‫מכלל הצמצום )נצמצם ב ‪ x−1‬מימין(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2.8‬פעולה חופשית ‪ G :‬פועלת חופשית )‪ (freely‬על ‪ X‬אם }‪ Gx = {e‬לכל ‪ x‬ב‪.X‬‬
‫‪3.3‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.2.9‬לדוגמה ‪ G‬פועלת על עצמה על ידי כפל משמאל‪.‬‬
‫פעולות של תת חבורה על חבורה‬
‫ראינו את המקרה בו ‪ G‬פעולת על עצמה ע"י כפל משמאל‪ .‬כעת נבחן את המקרה בו צמצמנו את ‪ G‬לתת־חבורה‬
‫‪ .H‬כלומר ‪ H‬פועלת ‪H × G → G‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h, g  7→ h g‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪=x‬‬
‫‪=x‬‬
‫המסלול של ‪ g‬הינו‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪{hg|h ∈ H} = Hg‬‬
‫והוא נקרא המחלקה הימנית של ‪ H‬הנקבעת ע"י ‪.g‬‬
‫דוגמה ‪: 3.3.1‬‬
‫‪G = Z 3Z + i‬‬
‫‪H = 3Z,‬‬
‫‪ g‬הינו נציג של המחלקה ‪ Hg‬שני אברים ‪ g1 , g2‬מייצגים אותה מחלקה ימנית ולכן‪⇐⇒ :‬‬
‫‪.Hg1 = Hg2‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.3.2‬כלומר‪3Z + 1 = 3Z + 4 :‬‬
‫את אוסף המחלקות הימניות מסמנים ‪ H\G‬מספרן נקרא האינדקס של ‪ H‬ב‪ H‬ומסומן‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫∞ ≤ ]‪[G : H‬‬
‫דוגמה ‪: 3.3.3‬‬
‫‪[Z : 3Z] = 3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪hg1 = g2‬‬
‫‪∃h‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה‬
‫למה ‪3.3.4‬‬
‫‪ G‬חבורה סופית‪ g ∈ G .H ≤ G ,‬אז‪.|H| = |Hg| :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נעתיק את ‪ H‬על ‪ H · g‬ע"י ‪ ϕ .ϕ (h) = h · g‬הנה על מהגדרת המחלקה‪ ϕ .‬הנה חח"ע בגלל כלל הצמצום‪:‬‬
‫‪h1 g = h2 g ⇒ h1 = h2‬‬
‫ולכן בהכרח |‪ |H| = |Hg‬כיוון שיש בניהם העתקה חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪3.3.1‬‬
‫משפט לגרנז'‬
‫משפט ‪ 3.3.5‬משפט לגרנז'‬
‫אם ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬הסדר של כל תת חבורה ‪ H‬שלה מחלק את הסדר של ‪ G‬ומתקיים‪:‬‬
‫]‪|G| = |H| · [G : H‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ]‪ r = [G : H‬ו־ ‪ g1 , . . . , gr‬נציגים של המחלקות הימניות השונות‪ ,‬יש לנו איחוד זר‪.‬‬
‫‪G = Hg1 ∪ Hg2 ∪ . . . ∪ Hgr‬‬
‫)חלוקה של המרחב ‪ G‬לאיחוד זר של מסלולים תחת פעולת ‪(H‬‬
‫}‪|Hgi | |{z‬‬
‫]‪= |H| r = |H| [G : H‬‬
‫מהלמה‬
‫‪r‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= |‪|G‬‬
‫מסקנה ‪3.3.6‬‬
‫תהיה ‪ G‬חבורה מסדר ראשוני ‪ p‬אזי אין ל ‪ G‬תת־חבורות שונות מ‪ G‬ומ}‪ {e‬ו‪ G‬ציקלית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ H ≤ G‬אזי‪ H) |H| |p :‬מחלק את ‪ (p‬אבל ‪ p‬ראשוני⇐ ‪ |H| = 1‬ואז }‪ H = {e‬או ‪ |H| = p‬אז‬
‫‪.H=G‬‬
‫נראה ש ‪ G‬ציקלית‪ .‬נקח ‪ g 6= e‬ב‪ G‬ונסתכל ב ‪H = hgi‬‬
‫‬
‫‬
‫‪H = gi| i ∈ Z‬‬
‫אם ‪ |H| > 1‬אז ‪ H = G‬כלומר ‪ G‬נוצרת ע"י אבר אחד ולכן ציקלית‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.3.7‬מחלקות מהמבנה ‪ Hgi‬הן אינן תת חבורות פרט ל ‪ gi = e‬כיוון ש ‪ e‬אינו נמצא באף אחת מהן!‬
‫הגדרה ‪ 3.3.8‬סדר של איבר‪ :‬הסדר של איבר ‪ g ∈ G‬הוא ה‪ n‬המינימלי )הטבעי( כך ש ‪) g n = e‬אם אין ‪ n‬כזה‬
‫אומרים שהסדר אינסופי(‪.‬‬
‫מסמנים )‪.o (g‬‬
‫טענה ‪3.3.9‬‬
‫|‪o (g) = |hgi‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ 0 ≤ i < j < n‬אזי‪ e, g, g 2 , . . . , g n−1 :g i 6= g j :‬שונים זה מזה כי אחרת ‪ g i = g j‬אזי‪e = g j−i :‬‬
‫)‪ (1 ≤ j − i < n‬וזוהי סתירה לבחירת ‪.n‬‬
‫∞‪.‬‬
‫‬
‫אם ∞ = )‪ = |hgi| ⇐o (g‬‬
‫מאידך‪ ,‬אם ‪ o (g) = n‬סופי ‪ e, g, . . . , g n−1‬הוא כבר סגור לפעולות החבורה‪:‬‬
‫(‬
‫‪g i+j‬‬
‫‪0≤i+j <n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫= ‪g ·g‬‬
‫‪i+j−n‬‬
‫‪g‬‬
‫אחרת‬
‫‪20‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫‪= g n−i‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪gi‬‬
‫‬
‫‬
‫לכן ‪ hgi = e, g, . . . , g n−1‬וסדרה ‪.n‬‬
‫מסקנה ‪ 3.3.10‬למשפט לגרנז'‬
‫לכל ‪ o (g) g ∈ G‬מחלק את |‪.|G‬‬
‫הוכחה‪ :‬ממשפט לגרנז' |‪ o (g) = |hgi‬אבל הסדר של ‪ hgi‬לפי משפט לגרנז' מחלק את |‪.|G‬‬
‫מסקנה ‪3.3.11‬‬
‫‪n‬‬
‫אם ‪ |G| = n‬אזי ‪ g = e‬לכל ‪.g ∈ G‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם הסדר של ‪ o (g) = m‬אזי ‪ n = k · m‬כאשר ‪ .k ∈ N‬ולכן‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪g n = (g m ) = ek = e‬‬
‫משפט ‪ 3.3.12‬המשפט הקטן של פרמה‬
‫אם ‪ a‬טבעי זר לראשוני ‪ p‬אזי‪:‬‬
‫‪ap−1 ≡ 1 mod p‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 3.3.13‬‬
‫‪35−1 = 34 = 81 ≡ 1 mod 5‬‬
‫או לחילופין‪:‬‬
‫‪47−1 = 46 ≡ 1 mod 7‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקח‪ .G = Z∗p :‬נשים לב כי ‪) |G| = p − 1‬הורדנו את האפס(‪.‬‬
‫‪ a ∈ G‬השארית של ‪ a‬מודולו ‪ .p‬נקבל‪:‬‬
‫‪ap−1 = 1‬‬
‫‪16/11/2011‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.14‬באופן זהה למחלקות ימניות יש לנו גם מחלקות שמאליות‪ g ∈ G ,H ≤ G .‬אז המחלקה השמאלית‬
‫של ‪ H‬שנקבעת ע"י ‪ g‬היא‪:‬‬
‫}‪g · H = {g · h| h ∈ H‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.15‬נגדיר את הפעולה של ‪ H‬על ‪ G‬ע"י כפל מימין כך‪:‬‬
‫‪h ∗ g = gh−1‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∈G=x‬‬
‫‪21‬‬
‫‪∈H‬‬
‫‪ .3.4‬חבורה לא קומוטטיבית‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫הערה ‪ 3.3.16‬נבדוק את אקסיומת הפעולה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪e ∗ g = ge−1 = ge = g‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪= (h1 h2 ) ∗ g‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪h−1‬‬
‫) ‪1 = gh2 h1 = g (h1 h2‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪h1 ∗ (h2 ∗ g) = gh2‬‬
‫)נשים לב כי הסדר של האיברים כאשר איחדנו את ההופכי‪ ,‬באופן לא מפתיע‪ ,‬מתהפך‪(.‬‬
‫נשים לב שמעכשיו‪ ,‬הכל זהה לחלוטין לכפל משמאל כיוון ש‪:‬‬
‫‪ −1‬‬
‫‬
‫‪O (g) = gh | h ∈ H = g · H‬‬
‫ולכן מחלקות שמאליות הנן המסלולים של ‪ H‬בפעולתה על ‪ g‬על ידי כפל מימין‪.‬‬
‫מסקנה ‪3.3.17‬‬
‫‪ .1‬שתי מחלקות שמאליות מתלכדות או זרות‬
‫‪g2 = g1 h ⇐⇒ g1−1 g2 ∈ H‬‬
‫‪g1 H = g2 H ⇐⇒ ∃h‬‬
‫‪) |H| = |gH| .2‬אם ‪ H‬סופית(‬
‫הוכחה זהה למקרה של מחלקות שמאליות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.18‬אוסף המחלקות השמאליות יסומן ‪ G) G/H‬מודולו ‪(H‬‬
‫מספרן = האינדקס )השמאלי(‬
‫|‪[G : H]ℓ = |G/H‬‬
‫משפט ‪ 3.3.19‬משפט לגרנז'‬
‫אם ‪ G‬סופית אז‪:‬‬
‫|‪|G| = [G : H]ℓ · |H‬‬
‫הערה ‪ 3.3.20‬נשים לב כי זה גורר‪:‬‬
‫]‪[G : H]ℓ = [G : H‬‬
‫‬
‫‬
‫ולכן לא נשתמש בסימון‪[G : H]ℓ :‬‬
‫תרגיל‪ [G : H]r = [G : H]ℓ :‬ולכן יסומן ]‪ [G : H‬גם אם ‪ G‬אינסופית‪.‬‬
‫‪3.4‬‬
‫‬
‫‬
‫חבורה לא קומוטטיבית‬
‫ראינו כי חבורה מסדר ‪ 2‬היא קומוטטיבית כי היא מסדר ראשוני‪ ,‬כמו כן גם ‪ 3‬ו־ ‪ .5‬כמו כן ראינו גם את כל‬
‫לוחות הכפל )שניים סה"כ( של ‪ 4‬וראינו שגם הם קומוטטיבים‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ .3.4‬חבורה לא קומוטטיבית‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫החבורה הראשונה שהיא לא קומוטטיבית היא מסדר ‪ 6‬החבורות‪:‬‬
‫חבורת התמורות על }‪G = D3 = S3 = {1, 2, 3‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫=‪, τ‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪3 2 1‬‬
‫‪2 3 1‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫|‬
‫סיבוב‬
‫שיקוף‬
‫אם נשווה למשולש מדובר בפעולות שיקוף וסיבוב כמו שראינו בתרגול‪.‬‬
‫הסיבובים שלנו הם‪:‬‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e, σ, σ‬‬
‫והשיקופים שלנו הם‪:‬‬
‫‪στ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫{|}‪z‬‬
‫‪τ σ2‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪σ2 T‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪‬‬
‫{|}‪z‬‬
‫‪τ,‬‬
‫‪τσ‬‬
‫‪,‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫נתבונן ב ‪H = {e, τ } = hτ i‬‬
‫המחלקות השמאליות של ‪ H‬על ‪ G‬הן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Hσ , Hσ‬‬
‫}‪H , |{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫} ‪{e,τ } {σ,τ σ} {σ2 ,τ σ2‬‬
‫)מצאנו ‪ 3‬מחלקות‪ ,‬לכן מצאנו את כולן לפי משפט לגרנז'(‬
‫נמצא את המחלקות הימניות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪H‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪H , |{z‬‬
‫‪σH ,‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫} ‪{e,τ } {σ,τ σ2 } {σ2 ,τ σ=σ2 τ‬‬
‫הפירוקים שונים!‬
‫כלומר‪ ,‬שוב יש לנו פירוק ל‪ 3‬מחלקות‪ ,‬אבל ‬
‫ב‪G‬יש לנו חבורה נוספת‪ N = e, σ, σ 2 = hσi :‬חבורת הסבובים‪= 2 .‬‬
‫נראה כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪τ σ2 ‬‬
‫}‪τ σ ,|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪‬‬
‫‪στ‬‬
‫נשים לב כי במקרה זה‪N τ = τ N :‬‬
‫‪Nτ‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪σ2 τ‬‬
‫‪τ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪N ,‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫} ‪{e,σ,σ2‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4.1‬תת חבורה ‪ N ≤ G‬נקראת נורמלית אם לכל ‪.gN = N g :g ∈ G‬‬
‫מסמנים ‪ N ) N ⊳ G‬נורמלית ‪(G‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.4.2‬בדוגמה שלנו } ‪ H = {e, τ‬אינה נורמלית ב ‪ .S3‬אבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪S3 ⊲ N = e, σ, σ 2‬‬
‫‪21/11/2011‬‬
‫‪23‬‬
‫= ] ‪[G : N‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .3.5‬משפט המסלולים‬
‫‪ 3.5‬משפט המסלולים‬
‫תהי ‪ G‬חבורה‪ X ,‬קבוצה‪ G × X → X .‬פעולה של ‪ G‬על ‪.X‬‬
‫יהי ‪ x ∈ X‬המסלול של ‪:x‬‬
‫}‪O (x) = Gx = {gx|g ∈ G‬‬
‫המייצב של ‪:x‬‬
‫}‪G ≥ Gx = {g ∈ G| gx = x‬‬
‫משפט ‪3.5.1‬‬
‫קיימת התאמה חח"ע ועל ‪ ϕ‬בין ‪ G/Gx‬ו )‪O (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתאים למחלקה ‪ gGx‬את האיבר ‪ϕ (gGx ) = g · x‬‬
‫‪ .1‬העתקה ‪ ϕ‬מוגדרת היטב‪ .‬אם‪) gGx = g1 Gx :‬כלומר ‪ g1‬נציג אחר של אותה מחלקה שמאלית( אזי‪:‬‬
‫‪ h ∈ Gx . g1 = gh‬ואז‪:‬‬
‫‪g1 x = ghx = gx‬‬
‫‪ ϕ .2‬על‪ ,‬כל איבר במסלול )‪ O (x‬הנו ‪ g · x‬עבור ‪.g ∈ G‬‬
‫‪ ϕ .3‬חח"ע נניח ) ‪ϕ (gGx ) = ϕ (g1 Gx‬עבור‪ g, g1 ∈ G :‬אז‪:‬‬
‫‪g · x = g1 · x‬‬
‫‪x = g −1 gx = g −1 g1 x ⇐⇒ g −1 g1 ∈ Gx ⇐⇒ gGx = g1 Gx‬‬
‫מסקנה ‪3.5.2‬‬
‫אם ‪ X‬ו‪ G :‬סופית‪:‬‬
‫|‪|O (x)| = [G : Gx ] | |G‬‬
‫‪ 3.6‬פעולה על ידי הצמדה‬
‫דרך נוספת שבה תת חבורה ‪ H‬פועלת על ‪ G‬היא פעולה על ידי הצמדה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.6.1‬הצמדה‪ :‬אם ‪ γ, g ∈ G‬ההצמדה של ‪ g‬על ידי ‪ γ‬היא‪:‬‬
‫‪γ ∗ g = g γ = γgγ −1‬‬
‫טענה ‪3.6.2‬‬
‫‪ γ, g 7→ γ ∗ g = γgγ −1 .G × G → G‬הנה פעולה‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫‪ .3.6‬פעולה על ידי הצמדה‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪e ∗ g = ege−1 = g‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪γ1 ∗ (γ2 ∗ g) = γ1 γ2 gγ2−1 γ1−1 = (γ1 γ2 ) g (γ1 γ2 ) = (γ1 γ2 ) ∗ g‬‬
‫ניתן לצמצמה ל ‪ H × G → G‬כאשר ‪.γ ∈ H‬‬
‫הגדרה ‪ 3.6.3‬מחלקת הצמידות‪ :‬המסלול של ‪ g‬תחת פעולת ההצמדה של כל ‪G‬‬
‫‬
‫‬
‫‪γgγ −1 | γ ∈ G‬‬
‫נקרא מחלקת הצמידות )‪ (onjugay lass‬של ‪ .g‬ותסומן )‪.C (g‬‬
‫משפט המסלולים גורר כי קיימת התאמה חח"ע ועל בין מחלקת הצמידות )‪ C (g‬עם המחלקות ‪ G/Gg‬כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Gg = γ ∈ G| γgγ −1 = g‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ γ‬מתחלף עם ‪γgγ −1 = g ⇐⇒ γg = gγ ⇐⇒ g‬‬
‫‪P‬‬
‫וכמו כן המייצב הנ"ל נקרא הרכז של ‪(entralizer of g) g‬‬
‫דוגמה ‪ : 3.6.4‬אם ‪ g‬אבלית אזי כל מחלקות הצמידות הן בעלות איבר אחד כיוון ש‪:‬‬
‫‪Gg = G‬‬
‫‪P‬‬
‫‪γgγ −1 = γγ −1 g = g ⇒ C (g) = {g} ,‬‬
‫דוגמה ‪: 3.6.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e, σ, σ 2 , τ, στ, σ 2 τ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ | {z } | {z }‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫שיקופים‬
‫סיבובים‬
‫= ‪S3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪, τ‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪3‬‬
‫באופן ברור }‪ {e‬היא תמיד מחלקת צמידות כיוון שלכל ‪:γ‬‬
‫‪γeγ −1 = γγ −1 = e‬‬
‫נתבונן ב‪:‬‬
‫}‪= τ |{z‬‬
‫‪στ = τ τ σ 2 = σ 2‬‬
‫‪τ σ2‬‬
‫‪= σ‬‬
‫‪= σ2‬‬
‫‪25‬‬
‫}‪τ σ |{z‬‬
‫‪τ −1‬‬
‫‪=τ‬‬
‫‪−i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪σ σσ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪τ σ 2 σ σ −2 τ −1‬‬
‫‪ .3.6‬פעולה על ידי הצמדה‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬
‫דוגמה ‪ : 3.6.6‬מחלקות צמידות ב )‪ .G = GL2 (C‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .‬מחלקת הצמידות שלה היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P AP −1 | P ∈ G‬‬
‫משפט ‪ 3.6.7‬ז'ורדן‬
‫בכל מחלקת צמידות )‪ GL2 (C‬ישנה מטריצה מהצורה‬
‫העצמיים של ‪(A‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪µ‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪λ 1‬‬
‫‪λ‬‬
‫)‪ λ, µ‬הם הערכים‬
‫או מהצורה‪:‬‬
‫‪0 λ‬‬
‫‪0‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪µ = λ1‬‬
‫‪λ = µ1‬‬
‫(‬
‫∨‬
‫‪λ = λ1‬‬
‫‪µ = µ1‬‬
‫(‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪µ1‬‬
‫‬
‫‪λ1‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪µ‬‬
‫∼‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫⇒⇐‬
‫ואילו‪:‬‬
‫‪⇐⇒ λ = µ‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪26‬‬
‫‪λ 1‬‬
‫‪0 λ‬‬
‫∼‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪µ‬‬
‫‬
‫‪λ‬‬
‫‪0‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫הומומורפיזמים‬
‫הגדרה ‪ 4.0.8‬הומומורפיזם‪ :‬העתקה ‪ ϕ : G → G′‬בין שתי חבורות נקראת הומומורפיזם אם‪:‬‬
‫) ‪ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2‬‬
‫‪∀g1 , g2‬‬
‫מסקנה ‪4.0.9‬‬
‫‪ϕ (e) = e′‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪ϕ (g) = ϕ (g · e) = ϕ (g) ϕ (e‬‬
‫נצמצם משמאל ב )‪ ϕ (g‬ונקבל‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫)‪e = ϕ (e‬‬
‫מסקנה ‪4.0.10‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪= ϕ (g‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪ϕ g‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪= ϕ (g‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪⇒ϕ g‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪= ϕ (g) ϕ g‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪e = ϕ (e) = ϕ gg‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.0.11‬אם ‪ .H ≤ G‬נסמן ‪ i : H ֒→ G‬העתקת ההכלה )‪ .(i (h) = h‬זהו הומו‪.‬‬
‫דוגמה ‪ hgi = G : 4.0.12‬ציקלית‪ ,‬נגדיר‪:ϕ (n) = g n :ϕ : Z → G :‬‬
‫‪ϕ (n + m) = ϕ (n) · ϕ (m) = g n · g m = g n+m‬‬
‫דוגמה ‪ SO2 ) ϕ : R → SO2 : 4.0.13‬היא חבורת המעגל‪ ,‬כלומר‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫) ‪cos (θ1 + θ2 ) − sin (θ1 + θ2‬‬
‫=‬
‫) ‪sin (θ1 + θ2 ) cos (θ1 + θ2‬‬
‫‬
‫‪− sin θ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‪− sin θ2‬‬
‫‪cos θ2‬‬
‫‬
‫‪− sin θ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‬
‫‪cos θ‬‬
‫(‬
‫‪sin θ‬‬
‫‬
‫‪cos θ‬‬
‫= )‪ϕ (θ‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‬
‫‪cos θ2‬‬
‫‪− sin θ1‬‬
‫‪sin θ2‬‬
‫‪cos θ1‬‬
‫‪27‬‬
‫‪cos θ1‬‬
‫‪sin θ1‬‬
‫‬
‫= ) ‪ϕ (θ1 + θ2 ) = ϕ (θ1 ) ϕ (θ2‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ϕ : S3 → {±1} : 4.0.14‬‬
‫‪ g = e, σ, σ 2‬סיבוב‬
‫‪ g = τ, στ, σ 2 τ‬שיקוף‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫= )‪ϕ (g‬‬
‫)‪ϕ (gh) = ϕ (g) ϕ (h‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.0.15‬בהינתן ‪ F‬שדה‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ϕ : GLn (F) → Fx‬‬
‫|‪ϕ (A) = det (A) = |A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪det (AB) = det A · det B‬‬
‫דוגמה ‪ϕ : F → GL2 (F) : 4.0.16‬‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫)‪= ϕ (a) ϕ (b‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 a‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ϕ (a‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ϕ (a + b‬‬
‫‪0‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.0.17‬תהי ‪ G‬חבורה כל שהיא‪ ,‬ו ‪ γ ∈ G‬איבר קבוע‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ϕγ (g) = γgγ −1‬‬
‫‬
‫) ‪γg2 γ −1 = ϕγ (g1 ) ϕγ (g2‬‬
‫‪P‬‬
‫‬
‫‪ϕγ (g1 g2 ) = γg1 g2 γ −1 = γg1 γ −1‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.0.18‬תהי ‪ G × X → X‬פעולה של ‪ G‬על ‪ .X‬הגדרנו‪ πg (x) = g (x) :‬וראינו כי ‪πg ∈ Sx‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫נשים לב כי ההעתקה ‪ G → Sx‬המוגדרת‪ ϕ (g) = πg :‬הנה הומומורפיזם‪.‬‬
‫נרצה לראות כי‪:‬‬
‫‪ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 ) ⇐⇒ πg1 g2 = πg1 πg2‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫)‪πg1 g2 (x) = g1 g2 x = g1 (g2 x) = πg1 (πg2 (x)) = πg1 · πg2 (x‬‬
‫‪P‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫דוגמה ‪ T : V1 → V2 : 4.0.19‬טרנספורמציה לינארית של מרחב וקטורי‪:‬‬
‫)‪T (v1 + v2 ) = T (v) + T (u‬‬
‫הגדרה ‪ 4.0.20‬הומומורפיזם חח"ע נקרא מונומורפיזם‬
‫הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם‬
‫הומומורפיזם שהוא גם חח"ע וגם על נקרא איזומורפיזם‬
‫‪28‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪) ϕγ : 4.0.21‬הצמדה ב‪ (γ‬גם חח"ע וגם על‪.‬‬
‫הצמדה הנה איזומורפיזם של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬
‫‬
‫‪ = γg2 γ −1‬‬
‫‪γ −1‬‬
‫‪ γg‬מצמצום‪.g1 = g2 :‬‬
‫חח"ע‪ :‬‬
‫‪ 1‬‬
‫על‪:‬‬
‫‪g = γ −1 hγ ⇒ γgγ −1 = h‬‬
‫נשים לב כי אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬כל ‪ ϕγ‬היא הזהות‪.‬‬
‫אבל אם נקח ‪ G = Z5‬הכפלה במספר זר ל‪ 5‬היא איזומורפיזם של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬
‫‪ϕ (g) = 3g‬‬
‫‪3 (g1 + g2 ) = 3g1 + 3g2‬‬
‫‪#‬‬
‫‪ι‬‬
‫תרגיל‪ :‬מתי‪ g 7→ g −1 :‬הנו איזומורפיזם של ‪ G‬על עצמה?‬
‫תשובה‪ :‬אם"ם ‪ G‬אבלית‬
‫) ‪ι (g1 g2 ) = (g1 g2 )−1 = g2−1 g1−1 = ι (g2 ) ι (g1‬‬
‫!‬
‫‪23/11/2011‬‬
‫"‬
‫הערה ‪ 4.0.22‬אם ‪ ϕ : G1 → G2‬איזומורפיזם‪ ,‬אזי הפונקציה ההפוכה ‪ ψ = ϕ−1 : G2 → G1‬גם היא איזו'‪.‬‬
‫כי אם ‪ψ (g ′ ) = g, ψ (h′ ) = h‬‬
‫(‬
‫‪ϕ (g) = g ′‬‬
‫‪⇒ ϕ (gh) = g ′ h′ ⇒ ψ (g ′ h′ ) = gh‬‬
‫‪ϕ (h) = h′‬‬
‫∼ ‪.G‬‬
‫אם ‪ ϕ‬איזומורפיזם נסמן ‪˜ ′‬‬
‫‪ .ϕ : G→G‬וגם נסמן נסמן ‪= G′‬‬
‫‪−1‬‬
‫כמו כן גם‪ ψ : G′ → G :‬כאשר ‪ ψ = ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ G = Z2 × Z2 : 4.0.23‬ו‪ G′ = Z4 :‬אינן חבורות איזומורפיות‬
‫‪ G‬יש איבר שסדרו ‪,4‬‬
‫‪ .ϕ : G→G‬ב‪ G‬כל איבר מקיים‪.g = e :‬‬
‫צ"ל‪ :‬לא קיים שום איזומורפיזם ‪˜ ′‬‬
‫אבל ב ‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪′ 2‬‬
‫‪′‬‬
‫שיסומן ‪ .g ′‬אם היה איזו' היה צריך להיות ‪ g ∈ G‬כך ש‪ ϕ (g) = g :‬ואז‪e = ϕ (e) = ϕ g = (g ) 6= e :‬‬
‫סתירה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מסקנה ‪4.0.24‬‬
‫‪P‬‬
‫סדר של חבורה אינו תנאי מספיק לאיזומורפיזם‪.‬‬
‫דוגמה ‪) S3 : 4.0.25‬לא אבלית( ו‪) Z6 :‬אבלית( לא איזומורפיות‪.‬‬
‫נשים לב כי‪g1 g2 6= g2 g1 ,g1 , g2 ∈ S3 :‬‬
‫‪ ϕ : S3 →Z‬איזו' אזי‪:‬‬
‫אם היה ‪˜ 6‬‬
‫) ‪ϕ (g1 · g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2 ) = ϕ (g2 ) · ϕ (g1 ) = ϕ (g2 · g1‬‬
‫בסתירה לחח"ע ‪.ϕ‬‬
‫לכל ‪ G, G′‬אפשר להגדיר את ההומו הטריויאלי‪.ϕ (g) → e′ ϕ : G → G′ :‬‬
‫‪4.1‬‬
‫הומומורפיזמים ותתי חבורות‬
‫‪ ϕ : G → G′‬הומו'‪ H ≤ G ,‬תת חבורה של ‪.G‬‬
‫}‪= ϕ (H) = {ϕ (h) |h ∈ H‬‬
‫‪29‬‬
‫תמונת ‪H‬‬
‫‪image‬‬
‫‪′‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות‬
‫‬
‫‪ϕ (h1 ) · ϕ (h2 ) = ϕ (h1 · h2 ) , ϕ (h)−1 = ϕ h−1 , ϕ (e) = e′‬‬
‫כלומר קיבלנו כי אם‪ H1 ≤ H2 ≤ G :‬אז מתקיים‪.ϕ (H1 ) ≤ ϕ (H2 ) ≤ G′ :‬‬
‫‪ G′ ≤ G′‬תת חבורה של ‪:G′‬‬
‫} ‪= ϕ−1 (H ′ ) = {h ∈ G| ϕ (h) ∈ H ′‬‬
‫המקור של ‪H ′‬‬
‫‪pre-image‬‬
‫גם זאת תת חובורה של ‪.G‬‬
‫‪ϕ (h1 ) , ϕ (h2 ) ∈ H ′ ⇒ ϕ (h1 h2 ) = ϕ (h1 ) ϕ (h2 ) ∈ H ′‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪= ϕ (h1 ) ∈ H ′‬‬
‫‪ϕ h−1‬‬
‫‪1‬‬
‫וגם כאן‪ H1′ ≤ H2′ :‬אז‪ϕ (H1′ ) ≤ ϕ (H2′ ) :‬‬
‫בבירור התמונה הכי קטנה של } ‪ Im ϕ = {e′‬כאשר המקור הוא רק ‪ e‬לדוגמה‪ .‬כמו כן התמונה הכי גדולה‬
‫היא‪) ϕ (G) :‬לא בהכרח שווה ל ‪(G′‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪′‬‬
‫המקור הכי גדול הוא ‪ G‬כולו‪ ,‬ואילו המקור הכי קטן הוא‪) ϕ ({e }) :‬לא בהכרח רק ‪(e‬‬
‫לקבוצה‪:‬‬
‫} ‪ϕ−1 (e′ ) = {h ∈ G| ϕ (h) = e′‬‬
‫נקרא הגרעין של ‪ ϕ‬ומסומן‪.ker ϕ :‬‬
‫משפט ‪) 4.1.1‬על הגרעין(‬
‫יהי ‪ ϕ : G → G′‬הומו' של חבורות‪ .‬נסמן ‪ N = ker ϕ‬אזי‪:‬‬
‫‪ N .1‬תת־חבורה נורמלית של ‪G‬‬
‫‪ ϕ .2‬קבועה על מחלקות )ימניות = שמאליות( ‪ .gN = N g‬ומקבלת ערכים‬
‫שונים על מחלקות שונות )) ‪(g1 N 6= g2 N ⇒ ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2‬‬
‫‪ ϕ .3‬חח"ע ⇒⇐ }‪N = {e‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית ‪ N‬תת־חבורה נורמלית ⇒⇐ לכל ‪ g ∈ G‬החבורה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ghg −1 | h ∈ N = N‬‬
‫= ‪gN g −1‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪ | {z‬‬
‫‪‬‬
‫הצמדה ב‪ g−‬של ‪N‬‬
‫הצמדה ב‪ g−‬של ‪h‬‬
‫הערה ‪ gN g −1 4.1.2‬הנה תמיד תת חבורה‪ .‬אם ‪ h1 , h2 ∋ N‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‪= g h−1 g −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ghg −1‬‬
‫‪gh1 g −1 · gh2 g −1 = g (h1 h2 ) g −1 ∈ gN g −1‬‬
‫)) ‪(ϕg (h1 ) ϕg (h2 ) = ϕ (h1 h2‬‬
‫) ‪ gN g − = ϕg (N‬להומו'‪ ϕg : G → G :‬של הצמדה ב‪.g‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ .4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות‬
‫‪gN = N g‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫מחלקות ־ לא ת"ח‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫⇒⇐ ‪) gN g −1 = N‬הכפלה מימין ב ‪(g −1‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫תת חבורות‬
‫נניח ‪ h ∈ ker ϕ‬ו‪ g ∈ G :‬כלשהו‪.‬‬
‫‬
‫‪ϕ ghg −1 = ϕ (g) ϕ (h) ϕ (g)−1 = ϕ (g) ϕ (g)−1 = e′ ⇒ ghg −1 ∈ N‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪e′‬‬
‫ולכן ‪ N‬תת־חבורה נורמלית‪.‬‬
‫כעת נשים לב כי אם נקח ‪ h ∈ N‬אזי‪:‬‬
‫)‪ϕ (gh) = ϕ (g) ϕ (h) = ϕ (g‬‬
‫ולכן ‪ ϕ‬קבועה על המחלקה ‪.gN‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם ) ‪ ϕ (g1 ) = ϕ (g2‬אזי‪:‬‬
‫‬
‫‪′‬‬
‫‪ϕ g1 g2−1 = e ⇒ g1 g2−1 ∈ N ⇒ N g1 = N g2‬‬
‫ולכן ‪ ϕ‬מקבלת ערכים שונים על מחלקות שונות‪.‬‬
‫נשאר להראות כי ‪ ϕ‬חח"ע אם"ם }‪.N = {e‬‬
‫אם ‪ ϕ‬חח"ע ברור כי }‪ .N = {e‬אם }‪ N = {e‬לפי מה שראינו‪:‬‬
‫) ‪g1 6= g2 ⇒ ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪:ϕ (R) → SO2 : 4.1.3‬‬
‫‬
‫‪− sin θ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫‬
‫‪cos θ‬‬
‫= )‪ϕ (θ‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪ker ϕ = 2πZ = {2πn| n ∈ Z} ⊂ R‬‬
‫דוגמה ‪: 4.1.4‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪ G × X → X‬פעולה‪ϕ (g) = πg .G → SX :‬‬
‫}‪ker ϕ = {g| πg = e} = {g| gx = x ∀x‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪28/11/2011‬‬
‫הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נאמנה ⇒⇐ ‪ ϕ‬חח"ע‪ .‬כלומר‪.G ֒→ SX :‬‬
‫למה ‪4.1.5‬‬
‫תהיה ‪ N‬תת־חברה של ‪ G‬אזי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪gN = N g :g ∈ G‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪) gN g −1 = N :g ∈ G‬תת החבורה המתקבלת מהצמדת ‪ N‬ע"י‬
‫‪ g‬־ ‪(ϕg (h) = ghg −1‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ghg −1 ∈ N ,h ∈ N‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו כבר כי ‪.1 ⇐⇒ 2‬‬
‫נתבונן בתנאי ‪.3‬‬
‫‪.g‬‬
‫לכל‬
‫‪gN g −1 ⊂ N‬‬
‫‪ −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ h = g g hg g‬לפי תנאי ‪ g hg ∈ N 3‬ולכן‪:‬‬
‫אבל אם ‪:h ∈ N‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.1.6‬משפט הגרעין‬
‫‪ ϕ : G → G′‬הומומורפיזם אזי‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ h ∈ gN g −1‬וזה גורר‪N ⊆ gN g −1 :‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫‪ N = ker ϕ = {g| ϕ (g) = e′ } .1‬תת חבורה נורמלית של ‪.G‬‬
‫‪g1 N = g2 N ⇐⇒ ϕ (g1 ) , ϕ (g2 ) .2‬‬
‫‪ .3‬אם }‪ N = {e‬אזי ‪ ϕ‬חח"ע )מקרה פרטי של ‪(2‬‬
‫‪ 4.2‬חבורת המנה‬
‫נתונים חבורה ‪ G‬תת חבורה נורמלית ‪ .N ⊳ G‬כקבוצה‪ ,‬חבורת המנה = ‪ = G/N‬אוסף המחלקות של ‪.N‬‬
‫הגדרת הכפל נעשית ע"י בחירת נציגים‪) .‬נסמן ‪ .g = gN‬למשל‪ :‬אם ‪−1 = 5 = 2 = ,N = 3Z ,G = Z‬‬
‫‪.(2 + 3Z‬‬
‫בהנתן שתי מחלקות ‪ ,gi , gj‬נגדיר את מכפלתן‪:‬‬
‫‪gi · gj = gi gj‬‬
‫צריך להראות שההגדרה לא תלויה בבחירת הנציגים‪ .‬כלומר אם ‪ .gi′ = gi hi ,hi ∈ N‬ברור כי‪gj′ = :‬‬
‫‪ .gj , gi′ = gi‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪gi′ gj′ = gi hi gj hj = gi gj gj−1 hi gj hj‬‬
‫אבל היות ו‪ N ⊳ G :‬ו‪ hi ∈ N :‬אזי‪ gj−1 hi gj ∈ N :‬ולכן‪:‬‬
‫‬
‫‪= gi gj gj−1 hi gj hj ⇒ gi′ gj′ = gi gj‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫}‬
‫טענה ‪4.2.1‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫|‬
‫בהגדרה הנ"ל‪ G = G/N :‬מהווה חבורה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה אסוציאטיביות‪:‬‬
‫) ‪(gi · gj ) gk = gi gj · gk = (gi gj ) gk = gi (gj gk ) = gi · gj gk = gi (gj · gk‬‬
‫יחידה‪ ,‬נראה כי ‪:e = eG‬‬
‫‪g · e = e · g = eg = eg = g‬‬
‫קיום הופכי‪:‬‬
‫‪g −1 · g = g −1 g = e = eG‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.2.2‬אם ∞ < ] ‪ [G : N‬אז מספר האיברים ב ‪ G/N‬הינו‬
‫|‪|G‬‬
‫|‪|B‬‬
‫= ] ‪ [G : N‬אם ‪ G‬סופית‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.2.3‬נגדיר כפל שתי קבוצות ‪) A, B ⊂ G‬לאו דווקא חבורות(‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫}‪A · B = {a · b| a ∈ A, b ∈ B‬‬
‫דוגמה ‪: 4.2.4‬‬
‫‪15Z + 12Z = {15n + 12m| m, n ∈ Z} = 3Z‬‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫הערה ‪ 4.2.5‬כפל תת חבורות ‪ H1 · H2‬אינו בהכרח תת חבורה‪.‬‬
‫כפל קוסטים )= מחלקות( שמאליים של ‪ G ≥ N‬אינו בהכרח קוסט‪.h1 N · g2 N .‬‬
‫למה ‪4.2.6‬‬
‫אם ‪ N ⊳ G‬אז ‪(g1 N ) (g2 N ) = g1 g2 N‬‬
‫הוכחה‪ :‬כל איבר‪) g1 g2 h :‬כאשר ‪ (h ∈ N‬הוא )‪(g1 e) (g2 h‬‬
‫‪(g1 h1 ) (g2 ) h2 = g1 g2 g2−1 h1 g2 h2 ∈ g1 g2 N‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫‪P‬‬
‫ולכן ⊆‪.‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫|‬
‫דוגמה ‪: 4.2.7‬‬
‫‪ H = nZ .G = Z .1‬אזי‪.G/H = Zn :‬‬
‫‪1 mod 12 = 1 + 12Z = 13 + 12Z = 13 mod 12‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪1 = 13‬‬
‫‪ G = R∗ .2‬עם הכפל‪.‬‬
‫‪{x ∈ R∗ | x > 0} = H = R∗+ ⊳ G‬‬
‫‪G/H = Z2‬‬
‫‪ G = GLn (F) .3‬כאשר ‪ F‬שדה‪ N = SLn (F) .‬מטירצות ‪ n × n‬עם דטרמיננטה ‪ N ⊳ G .1‬כיוון ש ‪:‬‬
‫‬
‫‪det ghg −1 = det h‬‬
‫‬
‫)דמיון מטריצות לא משנה דטרמיננטה( ולכן אם ‪ det h = 1‬גם‪ det ghg −1 = 1 :‬ולכן ‪ ghg −1 ∈ N‬ולכן‬
‫‪ N‬נורמלית‪.‬‬
‫) ∗‪N = ker (det : G → F‬‬
‫ולכן נורמלית בתור גרעין )הגרעין של הדטרמיננטה‪ ,‬כיוון שהדטרמיננטה מעבירה את ‪ G‬לאיבר היחידה‬
‫לכפל של ‪ ,F‬והרי כל גרעין של הומומורפיזם הוא נורמלי(‬
‫) ‪det (g1 g2 ) = det (g1 ) det (g2‬‬
‫ולכן יש סגירות לפעולה‪.‬‬
‫‪Fx ≈ GLn (F) /SLn (F) = G/N‬‬
‫נתאים למחלקה )‪ g · SLn (F‬את ‪.det (g) ∈ Fx‬‬
‫‪33‬‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫הגדרה ‪ 4.2.8‬הומומורפיזם קנוני‪ :‬נגדיר ‪ p : G → G/N‬ההומומורפיזם הקנוני‪ ,p = projection) .‬הטלה(‬
‫‪p (g) = g = gN‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫) ‪p (g1 g2 ) = g1 g2 = g1 · g2 = p (g1 ) p (g2‬‬
‫הוא על‪.ker p = N .‬‬
‫‪g ∈ N ⇐⇒ g · N = N‬‬
‫מסקנה ‪4.2.9‬‬
‫כל חבורה נורמלית הנה גרעין‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.2.10‬משפט האיזומורפיזם הראשון‬
‫יהי ‪ ϕ : G → G′‬הומומורפיזם ‪.G ⊲ N = ker ϕ‬‬
‫אזי קיים הומומורפיזם אחד ויחיד‪ ϕ : G/N → G′ :‬כך ש ‪.ϕ ◦ p = ϕ‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪ψ‬‬
‫הערה ‪ 4.2.11‬אם ‪ G1 → G2 :‬וגם ‪ G2 → G3‬הומומורפיזם‪ .‬אזי גם ‪ ψ ◦ ϕ‬הומומורפיזם‪ .‬כיוון ש‪:‬‬
‫))‪(ψ ◦ ϕ) (xy) = ψ (ϕ (xy)) = ψ (ϕ (x) ϕ (y)) = ψ (ϕ (x)) ψ (ϕ (y‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר‪ .ϕ (gN ) = ϕ (g) :‬לפי משפט הגרעין‪ ,‬זו הגדרה טובה‪ ,‬אינה תלויה בנציג‪.‬‬
‫כמובן‪:‬‬
‫)‪ϕ ◦ p (g) = ϕ (gN ) = ϕ (g‬‬
‫ולכן‪ ϕ ◦ p = ϕ:‬ולכן הוא קיים‪ ,‬וביחידות‪ .‬ו‪ ϕ :‬נקבעת ע"י זה‪ ϕ .‬אכן הומו'‪:‬‬
‫) ‪ϕ (g 1 · g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2‬‬
‫משפט ‪ 4.2.12‬חיזוק המשפט‬
‫‪ ϕ‬הנ"ל חח"ע‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ g1 6= g2‬אזי‪ g1 , g2 :‬במחלקות שונות של ‪ N‬וממשפט הגרעין‪:‬‬
‫) ‪ϕ (g1 ) = ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2 ) = ϕ (g2‬‬
‫מסקנה ‪4.2.13‬‬
‫∼‬
‫‪Im ϕ = G/ ker ϕ‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההומורפיזם המושרה ע"י ‪ ϕ‬מ‪ G/ ker ϕ = G/N :‬ל ‪ G′‬הוא חח"ע ותמונתו )‪.Im (ϕ) = Im (ϕ‬‬
‫ולכן ‪ ϕ‬חח"ע ועל )=איזומורפיזם( מ ‪ G/ ker ϕ‬ל ‪.Im ϕ‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪Im ϕ = ϕ (g) | g ∈ G = {ϕ (g) | g ∈ G} = Im (ϕ‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫‪4.2.1‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫תת־חבורות של ‪G/N = G‬‬
‫אם ‪ N ≤ H ≤ G‬אזי ‪) H/N = H‬כמובן ‪ (N ⊳ H‬תת חבורה של ‪.G/N = G‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪h1 h2‬‬
‫‪hi N ∈ G‬‬
‫‪h1 · h2‬‬
‫‪hi‬‬
‫)כאשר ‪ (hi ∈ H‬כמו כן‪:‬‬
‫‪= h−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪h‬‬
‫למה ‪4.2.14‬‬
‫העתקות הבאות הן התאמה חח"ע ועל בין כל תת החבורות ‪ N ≤ H ≤ G‬וכל תת־החבורות ‪ :H ≤ G‬מ‪H‬‬
‫מקבלים את‪ H‬ע"י התהליך שתואר‪.‬‬
‫ולהפך‪.H = p−1 H :‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו שלכל ‪ H‬כנ"ל‪ H ,‬תת חבורה של ‪) .G‬תת חבורה( ‪ p−1‬הינה תת חבורה )מקור של תת חבורה(‬
‫וכמובן ≤ ‪ker ϕ = N‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪ .p‬ולהפך‪ ,‬אם נתחיל מ‪N ≤ H ≤ G :‬‬
‫צריך לבדוק‪ :‬אם נתחיל מ‪ G ≥ H :‬אז צריך להראות ‪H = H‬‬
‫‬
‫אז ‪.p−1 H = H‬‬
‫נראה זאת‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p−1 H = p p−1 H ⊆ H‬‬
‫ואם ‪ p (h) = h ∈ H‬אבל‪:‬‬
‫להפך‪:‬‬
‫‬
‫‪ h ∈ p−1 H‬אזי‪.h = p (h) :‬‬
‫))‪H ⊂ p−1 (p (H‬‬
‫אם ))‪ g ∈ p−1 (p (H‬אזי‪ p (g) = p (h) :‬עבור ‪.h ∈ H‬‬
‫אבל ‪ N ≤ H‬ולכן‪:‬‬
‫‬
‫‪p gh−1 = e ⇒ gh−1 ∈ N‬‬
‫‪g = gh−1 h ∈ H‬‬
‫‪30/11/2011‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.2.15‬אם ‪ W ⊂ V‬שני מרחבים וקטוריים מעל שדה ‪ .F‬החבורה ‪ V /W‬מוגדרת‪:‬‬
‫איבריה = } ‪~v = v + W = {v + w|w ∈ W‬‬
‫זוהי ישריה )תת מרחב אפיני(‪.‬‬
‫אוסף הישיריות הוא מרחב וקטורי שיקרא מרחב המנה‪.‬‬
‫‪ p(H)=H‬‬
‫תת־חבורות →‪−‬‬
‫תת חבורות‬
‫תמונה‬
‫)‪(H‬‬
‫‪N ≤ H ≤ G p−1‬‬
‫‪ H‬של ‪G‬‬
‫‪←−‬‬
‫מקור‬
‫‪ p : G → G/N‬היא ההעתקה הקנונית‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫למה ‪4.2.16‬‬
‫‪c‬‬
‫‪H‬‬
‫‪jH‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫‪ p p‬וגם ‪(p (H)) k H‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪p‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכח בשיעור קודם‪.‬‬
‫למה ‪4.2.17‬‬
‫‪) H ⊳ G ⇐⇒ H ⊳ G‬עבור ‪(N ≤ H ≤ G‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ H ⊳ G‬אזי‪ghg −1 = ghg −1 ∈ H :‬‬
‫ולהפך‪ ,‬אם ‪ H ⊳ G‬אזי‪:‬‬
‫‪∀g ∈ G, h ∈ H‬‬
‫}‪ghg −1 = ghg −1 ∈ H ⇒ ghg −1 · |{z‬‬
‫‪n ∈ H ⇒ ghg −1 N = h1 N‬‬
‫‪∈N‬‬
‫‪∀g ∈ G, h ∈ H‬‬
‫היות ו‪ ,N ≤ H :‬נכפיל ב ‪ n−1‬ונקבל‪ ghg −1 ∈ H :‬ולכן נורמלית כנדרש‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.2.18‬משפט האיזומורפיזם השלישי‬
‫נניח ‪ N ≤ H ≤ G‬וגם ‪ N‬וגם ‪ H‬נורמליות ב ‪ .G‬אזי קיים איזומורפיזם קנוני‬
‫∼ ) ‪(G/N ) / (H/N‬‬
‫‪= G/H‬‬
‫הערה ‪ 4.2.19‬לא באמת הוכחה אבל דרך נוחה לזכור את זה‪:‬‬
‫‪G H‬‬
‫‪/ = G/H‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר העתקה מ‪:‬‬
‫‪G/N → G/H‬‬
‫נסתכל בתמונה ובגרעין שלה ונפעיל את משפט האיזו' הראשון‪.‬‬
‫ההעתקה‪:‬‬
‫‪π (gN ) = gH‬‬
‫‪ π‬מוגדרת היטב כי אם‪:‬‬
‫‪g1 N = g2 N ⇒ g2−1 g1 ∈ N ⇒ g2−1 g1 ∈ H ⇒ g1 H = g2 H‬‬
‫‪ π‬הנו הומו'‬
‫‪Im (π) = G/H‬‬
‫‪ker π = {gN |g ∈ H} = H/N‬‬
‫ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬אם‬
‫‪G/N‬‬
‫‪ker π‬‬
‫∼ )‪Im (π‬‬
‫=‬
‫‪G/N‬‬
‫‪H/N‬‬
‫מה קורה כאשר ‪ H‬לא מכילה את ‪ N‬בהכרח?‬
‫למה ‪4.2.20‬‬
‫אם ‪ H ≤ G‬ו‪ N ⊳ G‬אזי הקבוצה‪ H · N :‬היא תת חבורה‬
‫‪36‬‬
‫∼ ‪G/H‬‬
‫=‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ n1 , n2 ∈ N ,h1 , h2 ∈ H‬נתבונן במכפלה‪:‬‬
‫‪n h n ∈H ·N‬‬
‫‪h1 n1 · h2 n2 = h1 h2 h−1‬‬
‫‪| {z } | 2 {z1 }2 2‬‬
‫‪∈H‬‬
‫‪∈N‬‬
‫וכנ"ל‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= h−1 |hnh‬‬
‫‪{z } ∈ H · N‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪n−1 h−1 = (hn‬‬
‫‪∈n‬‬
‫משפט ‪ 4.2.21‬משפט האיזומורפיזם השני‬
‫∼ ‪HN/N‬‬
‫תהי ‪ N ⊳ G ,H ≤ G‬אזי‪ N :‬נורמלית ב ‪ H ∩ N ,HN‬נורמלית ב ‪ H‬ומתקיים‪= H/ (H ∩ N ) :‬‬
‫מסקנה ‪4.2.22‬‬
‫אם מדובר בחבורות סופיות‬
‫| ‪|H|·|N‬‬
‫| ‪|H∩N‬‬
‫= | ‪|HN‬‬
‫הערה ‪ 4.2.23‬איפה הוא היה לפני שבועיים כשהיינו צריכים את זה לתרגיל‪...‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור כי‪ N ⊳ HN :‬כי ‪ N‬נורמלית בכל תת חבורה של ‪ H ∩ N ⊳ H .G‬כי אם ‪h ∈ H n ∈ H ∩ N‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪∈ H‬‬
‫‪∈ N ⇐N ⊳G‬‬
‫‪hnh−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪hnh‬‬
‫נבנה הומומורפיזם מ‪ H‬ל ‪ HN/N‬שיסומן ‪.π‬‬
‫‪π (h) = hN = h‬‬
‫‪ .1‬זהו הומו'‬
‫‪ π .2‬הוא על‪ .‬כל מחלקה ב ‪ HN/N‬היא‪:‬‬
‫)‪hnN = hN = π (h‬‬
‫‬
‫‪h∈H‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫‬
‫‪.3‬‬
‫‪H ∩ N = {h ∈ H|h ∈ N } = ker π‬‬
‫ולכן‪ ,‬ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪:‬‬
‫∼ ) ‪H/ (H ∩ N‬‬
‫‪= HN/N‬‬
‫אם ‪ N ⊳ G‬יש לנו "פרוק" של ‪ G‬לשתי תת חבורות‪N, G/N :‬‬
‫| ‪|G| = |N | |G/N‬‬
‫לכן ‪ G/N ,N‬נותנות מידע מסוים על ‪) G‬למשל‪ ,‬סדר‪ ,‬או אם אחת מהן לא אבלית‪ ,‬גם ‪ G‬לא אבלית(‬
‫אבל בד"כ אי אפשר להרכיב מהן בחזרה את ‪G‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫‪P‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫דוגמה ‪: 4.2.24‬‬
‫‪Z2 × Z2‬‬
‫∼ })‪Z2 × {0} = {(0, 0) , (1, 0‬‬
‫‪= Z2‬‬
‫= ‪G‬‬
‫=‬
‫‪N‬‬
‫∼ ‪G/N‬‬
‫‪= Z2‬‬
‫במקרה הזה באמת‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫∼‪G‬‬
‫‪= N × G/N‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.2.25‬כעת נבחן את‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Z4 = 0, 1, 2, 3‬‬
‫ ‬
‫∼ ‪0, 2‬‬
‫‪= Z2‬‬
‫= ‪G‬‬
‫=‬
‫‪N‬‬
‫∼ ‪G/N‬‬
‫‪=Z‬‬
‫אבל אנו כבר ראינו כי‪:‬‬
‫∼‪G 6‬‬
‫‪= N × G/N‬‬
‫‪05/12/2011‬‬
‫אוטומורפיזם של חבורה ‪ = G‬איזומורפיזם מ‪ G‬לעצמה‪.‬‬
‫∼ ‪ ?G1‬כלומר האם יש הומומורפיזם ‪ ϕ : G1 → G2‬חח"ע ועל?‬
‫‪= G2‬‬
‫∼ ‪ G1‬יש הרבה איזו' ‪ ϕ‬כנ"ל‪.‬‬
‫בדרך כלל‪ ,‬אם ‪= G2‬‬
‫בהינתן ‪ 3‬חבורות‪:‬‬
‫‪ψ‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫הומו'‬
‫הומו'‬
‫‪G1 −→ G2 −→ G3‬‬
‫אז ‪ ψ ◦ ϕ‬הומו' של ‪ G1‬ל‪.G3 :‬‬
‫אם ‪ ϕ, ψ‬איזומורפיזמים⇐‪ ψ ◦ ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫בפרט אם ‪ ϕ, ψ‬אוטומורפיזמים של ‪ G‬גם ‪ ψ ◦ ϕ‬אוטומורפיזם של ‪ G‬וכנ"ל‬
‫‪ e (g) = g‬לכל ‪ ,g‬הנה בעליל אוטומורפיזם‪.‬‬
‫ואם ‪ϕ, ψ, ρ‬שלושה אוטו' אז‪:‬‬
‫‪ .ϕ−1‬כמו כן‪ ,‬העתקת הזהות‬
‫)‪(ψ ◦ ϕ) ◦ ρ = ψ ◦ (ϕ ◦ ρ‬‬
‫טענה ‪4.2.26‬‬
‫נסמן ב‪ Aut (G) :‬את אוסף האוטו' של חבורה ‪ .G‬אזי ביחס לפעולת ההרכבה וההפכי )של פונקציה(‪Aut (G) ,‬‬
‫הנה חבורה‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.2.27‬נשים לב כי קיימת הקבלה עבור העתקות לינאריות בין מרחבים וקטורים ועבור הומומורפיזמים בין‬
‫חבורות‪.‬‬
‫במקרה של ‪ V‬מרחב וקטורי ‪ T : V → W‬טרנספורמציה לינארית‪:‬‬
‫‪ T : V →V‬אוטומורפיזם של המ"ו‪ V = Rn .‬אוטו נתון ע"י )‪AB = .A ∈ GLn (R‬‬
‫˜‬
‫‪ T : V →W‬איזו‪,‬‬
‫˜‬
‫‪.TA ◦ TB‬‬
‫∼ )‪ GLn (R‬כחבורה‪.‬‬
‫) ‪= Aut (V‬‬
‫‪38‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ .G = Zn : 4.2.28‬מה הם ) ‪?Aut (Zn‬‬
‫יהי ‪ ϕ : Zn → Zn‬אוטו‪ .‬נשים לב כי ‪ 0‬בהכרח עובר ל‪) 0‬איבר נייטרלי(‬
‫‪ϕ (1) = a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k‬פעמים‬
‫‪ k‬פעמים‬
‫‪z‬‬
‫|}‬
‫{‬
‫{ |} ‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= ϕ 1 + . . . + 1 = ϕ (1) + . . . + ϕ (1) = k · a‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ϕ (k‬‬
‫ולהפך‪ ,‬לכל ‪ a‬ב ‪ ϕ (k) = k · a Zn‬הנו הומו של ‪ Zn‬לעצמו‪.‬‬
‫‪ ϕ‬כזה הינו אוטו' ⇒⇐ ‪ a, b‬זרים זה לזה )אין מחלק משותף<‪(1‬‬
‫אוסף השאריות מודולו ‪ n‬הזרות ל ‪ n‬מסומן ב‪:Z∗n :‬‬
‫}‪{1, 2, 4, 5, 7, 8‬‬
‫}‪{1, 5, 7, 11‬‬
‫=‬
‫‪Z∗9‬‬
‫=‬
‫‪Z∗12‬‬
‫עבור ‪:ϕa (k) = k · a‬‬
‫)‪ϕa · ϕb (k) = ϕa (kb) = kba = ϕab (k‬‬
‫מסקנה ‪4.2.29‬‬
‫‪P‬‬
‫ההעתקה ‪ a 7→ ϕa‬הנה איזומורפיזם בין‬
‫‪P‬‬
‫‪Z∗n‬‬
‫עם כפל כפעולה )‪ 1‬כיחידה( לבין החבורה ) ‪.Aut (Zn‬‬
‫דוגמה ‪: 4.2.30‬‬
‫∼ ‪Z2 × Z2‬‬
‫‪= Z∗12‬‬
‫דוגמה ‪ : 4.2.31‬בכל חברה ‪ G‬אם ‪ γ ∈ G‬סימנו‪:‬‬
‫‪ϕγ (g) = g γ = γgγ −1‬‬
‫ול ‪ ϕγ‬קראנו הצמדה ב‪ .γ‬ראינו ש )‪ .ϕγ ∈ Aut (G‬אם ‪ G‬אבלית אז ‪ϕγ = e‬‬
‫‪$‬‬
‫‪%‬‬
‫‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 4.2.32‬אוטומורפיזם מהצורה ‪ ϕγ‬נקרא אוטומורפיזם פנימי )‪ (inner automorphism‬של ‪.G‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪ ϕ (A) = (At‬הנה אוטומורפיזם שאיננו פנימי‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬ב )‪ GLn (R‬העתקה‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪.P AP −1 = (At‬‬
‫כלומר‪ ,‬לא קיים ‪ P‬כך שלכל ‪:A‬‬
‫נשים לב כי ‪ P AP −1‬היא דומה ל‪ A‬כלומר בעלת אותם ערכים עצמיים‪ .‬נשים לב כי עבור‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 0‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪⇒ At‬‬
‫‪= 2 1‬‬
‫‪0 3‬‬
‫‪0 3‬‬
‫ואין לזה את אותם ערכים עצמיים לכן לא ייתכן כי היא דומה‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬אוסף האוטו' הפנימיים שיסומן )‪ Inn (G‬הנו תת־חבורה נורמלית של )‪.Aut (G‬‬
‫צריך רק להראות סגירות‪ :‬צריך לחשב את )‪ ϕγ ◦ γδ (g‬ולהראות כי קיים הופכי‪.‬‬
‫בהינתן )‪ ϕγ ∈ Inn (G) ,ψ ∈ Aut (G‬צריך לחשב את ‪. ψ ◦ ϕγ ◦ ψ −1‬‬
‫'‬
‫&‬
‫‬
‫‬
‫תזכורת ‪ 4.2.33‬אם ‪ g ∈ G‬אוסף האיברים מהצורה ‪) γgγ −1‬כלומר )‪ (ϕγ (g‬נקרא מחלקת הצמידות של ‪ .g‬נסמנו‬
‫}‪) .g G = {g γ |γ ∈ G‬בעבר השתמשנו ב‪ C (g) :‬אבל אנו נרצה להשתמש בו לדברים אחרים(‬
‫נשים לב כי‪ g = ege−1 :‬מתי ‪ .{g} = g G‬אם"ם‪:‬‬
‫‪γg = gγ‬‬
‫‪γgγ −1 = g ⇐⇒ ∀γ‬‬
‫‪39‬‬
‫‪∀γ‬‬
‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬
‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬
‫הגדרה ‪ 4.2.34‬מרכז‪ :‬המרכז )‪ (enter‬של חבורה ‪:G‬‬
‫}‪Z (G) = {g| gh = hg ∀h ∈ G‬‬
‫למה ‪4.2.35‬‬
‫)‪ Z (G‬הנו תת חבורה‬
‫הוכחה‪ :‬נניח )‪ g1 , g2 ∈ Z (G‬נבחר ‪: h ∈ G‬‬
‫)‪(g1 g2 ) h = g1 (g2 h) = g1 hg2 = h (g1 g2 ) ⇒ g1 g2 ∈ Z (g‬‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫)‪g1 h = hg1 ⇒ hg1−1 = g1−1 h ⇒ g1−1 ∈ Z (G‬‬
‫למה ‪4.2.36‬‬
‫המרכז )‪ Z (G‬הינו‪:‬‬
‫‪ .1‬אוסף ה ‪ g ∈ G‬שמסלולם תחת פעולת ההצמדה)מחלקת הצמידות שלהם(‬
‫הוא בין איבר אחד )נקודות השבת של פעולת ההצמדה(‬
‫‪ .2‬אוסף ה‪ γ ∈ G‬שעבורם ‪ϕγ = e‬‬
‫}‪ (γ, g) 7→ γgγ −1 G × |{z‬פעולה על עצמה‬
‫הערה ‪X → X 4.2.37‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ γgγ −1 = g ⇐⇒ g ∈ Z (G) .1‬לכל ‪ g ⇐⇒ γ ∈ G‬נקודת שבת לפעולת ההצמדה‬
‫‪ γgγ −1 = g ⇐⇒ γ ∈ Z (G) .2‬לכל ‪ϕγ = e ⇐⇒ γ ∈ G‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪ϕγ g‬‬
‫‪40‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫תמורות‬
‫‪ Sn = Sn‬חבורת התמורות של }‪.{1, . . . , n‬‬
‫!‪|Sn | = n‬‬
‫משפט ‪ 5.0.38‬קיילי‬
‫אם ‪ G‬חבורה סופית מסדר ‪ ,n‬אזי ‪ G‬איזומורפית לתת־חבורה של ‪.Sn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על } ‪ G = {g1 = e, g2 , . . . , gn‬אזי‪ ,‬כל ‪ g ∈ G‬מגדיר תמורה ‪ ϕg ∈ Sn‬ע"י הכלל ‪ϕg (i) = j‬‬
‫⇒⇐ ‪.g · gi = gj‬‬
‫נרצה להראות כי‪ .ϕg′ g = ϕg′ ◦ ϕg :‬נניח ‪ g ′ gj = gk ,ggi = gj‬אז כמובן‪:‬‬
‫‪(g ′ g) gi = g ′ (ggi ) = g ′ gj = gk‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫))‪ϕg′ g (i) = k = ϕg′ (j) = ϕg′ (ϕg (i‬‬
‫וזה אומר שההעתקה מ‪ G‬ל ‪ Sn‬המתאימה ל ‪ g ∈ G‬את ‪ ϕg‬הנה הומו' של חבורות‪.‬‬
‫‪=e‬‬
‫‪=e‬‬
‫{|}‪z}|{ z‬‬
‫נשים לב כי ‪) g = eG ⇐⇒ ϕg = eSn‬כי אם ‪ g 6= eh‬אז‪ g g1 6= g1 :‬ולכן ‪(ϕg (1) 6= 1‬‬
‫ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬אם נסמן ב‪ ϕ‬את ההומו‪ g 7→ ϕg :‬אזי‪:‬‬
‫∼ ‪G = G/ ker ϕ‬‬
‫‪= Im ϕ ⊆ Sn‬‬
‫‪ 5.1‬פרוק תמורות למחזורים‬
‫מחזור )‪ (yle‬הנו תמורה מהצורה‪:‬‬
‫‬
‫‪. . . iℓ . . .‬‬
‫‪. . . i1 . . .‬‬
‫‪P‬‬
‫‬
‫‪. . . i1‬‬
‫= ) ‪(i1 , i2 , . . . , iℓ‬‬
‫‪. . . i2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪. . . ij+1‬‬
‫דוגמה ‪: 5.1.1‬‬
‫‬
‫‪4 5‬‬
‫‪1 5‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= )‪(3, 4, 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪41‬‬
‫פרק ‪ .5‬תמורות‬
‫‪ .5.1‬פרוק תמורות למחזורים‬
‫‪ 5.1.1‬כמה עובדות על מחזורים‬
‫‪ .1‬אם ) ‪ σ = (i1 , i2 , . . . , iℓ‬אז‪σ −1 (iℓ , iℓ−1 , . . . , i2 , i1 ) :‬‬
‫‪ σ .2‬כנ"ל הנו איבר מסדר ‪ ℓ‬ב ‪ σ j 6= e ,σ ℓ=e ) .Sn‬אם ‪(1 ≤ j ≤ ℓ − 1‬‬
‫‪ σ, τ .3‬מחזורים יקראו זרים אם‪τ (j1 , . . . , jm ) ,σ = (i1 , . . . , iℓ ) :‬ושום ‪ iα‬אינו ‪.jβ‬‬
‫אם ‪ σ, τ‬מחזורים זרים אזי‪) στ = τ σ :‬מתחלפים(‪.‬‬
‫צריך להוכיח‪ στ (a) = τ σ (a) :‬לכל ‪) .α‬טריוויאלי מכך שכל מחזור נוגע רק באיברים הנמצאים בו‪(...‬‬
‫טענה ‪5.1.2‬‬
‫‪P‬‬
‫כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של מחזורים זרים )לפי ‪ ,3‬הסדר של המחזורים לא חשוב כיוון שהם מתחלפים(‬
‫דוגמה ‪: 5.1.3‬‬
‫)‪= (1, 2, 4) (3, 5‬‬
‫)‪= (1, 2, 4) (3) (5‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬מתחילים "לקלף" מהתמורה מחזור מחזור לפי הסדר‬
‫אם כך‪ ,‬כל תמורה ‪ Sn ∋ σ‬נותנת לנו מבנה מחזורים ‪ n = ℓ1 + ℓ2 + . . . + ℓr‬כאשר ‪ r‬הוא מספר המחזורים‪.‬‬
‫‪ ℓi ≥ 1‬הוא אורך המחזור ה ‪i‬‬
‫‪ℓ1 ≥ ℓ2 ≥ . . . ≥ ℓr‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1.4‬חלוקה‪ (Partition) :‬של ‪ n‬עבור ‪:5‬‬
‫‪1+1+1+1+1‬‬
‫‪2+1+1+1‬‬
‫= ‪5‬‬
‫=‬
‫‪2+2+1‬‬
‫‪3+1+1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪3+2‬‬
‫‪4+1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫)הוא לא באמת הגדיר‪ ,‬רק הראה דוגמה‪(...‬‬
‫‬
‫‬
‫תרגיל‪ :‬שתי התמורות ‪ σ, τ‬שייכות לאותה מחלקת צמידות ב ‪) Sn‬כלומר יש תמורה ‪⇐⇒ (σ = ρτ ρ−1 :ρ‬‬
‫החלוקות של ‪ n‬המתקבלות מפרוק ‪ σ‬ו ‪ τ‬למחזורים זרים שוות‪.‬‬
‫
‬
‫‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 5.1.5‬ב ‪ S5‬יש ‪ 7‬מחלקות צמידות‬
‫הגדרה ‪ 5.1.6‬טרנספוזיציה‪ :‬תמורה מהצורה )‪(i, j‬‬
‫משפט ‪5.1.7‬‬
‫החילופים )‪ (1, i‬כאשר ‪ 2 ≤ i ≤ n‬יוצרים את ‪Sn‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪(1, 2, . . . , ℓ) = (1, 2) (2, 3) (3, 4) · . . . · (ℓ − 1, ℓ‬‬
‫‪42‬‬
‫פרק ‪ .5‬תמורות‬
‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬
‫הסדר חשוב )הטרנספוזיציות לא זרות(‬
‫ובאותו אופן‪:‬‬
‫) ‪(i1 , i2 , . . . , iℓ ) = (i1 , i2 ) (i2 , i3 ) · . . . · (iℓ−1 , iℓ‬‬
‫ולכן כל מחזור הינו מכפלת טרנספוזיציות אבל לפי טענה קודמת כל איבר ב ‪ Sn‬הנו מכפלת מחזורים ולכן בוודאי‬
‫מכפלת טרנספוזיציות‪.‬‬
‫לבסוף נשאר להבחין כי‪:‬‬
‫)‪(i, j) = (1i) (1j) (1i‬‬
‫‪07/12/2011‬‬
‫)מפעילים על זה את ‪ i‬ואת ‪ j‬ומקבלים את הנדרש באופן מיידי(‬
‫‪5.2‬‬
‫זוגיות )סימן( של תמורה‬
‫תזכורת ‪ 5.2.1‬בהינתן ‪ Sn‬חבורת התמורות של }‪ .{1, . . . n‬כל תמורה הנה מכפלה של חילופים מהצורה )‪.(1 i‬‬
‫המכפלה אינה יחידה‬
‫)‪(i j) = (1 j) (1 j) (1 i‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.2‬היפוך סדר‪ :‬אם‬
‫‪P‬‬
‫שעבורו )‪.σ (j) < σ (i‬‬
‫‬
‫‪... n‬‬
‫‪. . . in‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪i1‬‬
‫= ‪ σ‬הנה תמורה ‪ .σ (j) = ij‬היפוך סדר ב‪ σ‬הנו זוג ‪i < j‬‬
‫דוגמה ‪: 5.2.3‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4‬הפיוכי סדר‪ .‬מתאימים לצמתים בין הקווים המחברים את כל מספר למיקומו החדש )כלומר אם נעביר קו בין‬
‫‪ 1‬בשורה הישנה לשורה חדשה‪ ,‬בין ‪ 2‬ל‪ 2‬וכו' אז מספר הצמתים זה מספר היפוכי הסדר(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.4‬זוגיות‪/‬אי־זוגית‪ :‬תמורה נקראת זוגית אם מספר היפוכי הסדר בה זוגי‪ ,‬ונקראת אי־זוגית אם הוא‬
‫אי־זוגי‪.‬‬
‫בהינתן )‪ (1 2 . . . ℓ‬מחזור‪.‬‬
‫‬
‫הסימן של התמורה‬
‫‪... ℓ − 1 ℓ‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪ℓ−1‬‬
‫)‪ .(−1‬מחזור מאורך ‪ ℓ‬הנו תמורה זוגית אם ‪ ℓ‬אי־זוגי‪ .‬ואי־זוגית אם ‪ ℓ‬זוגי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.5‬סימן‪ :‬הסימן של תמורה יהיה שלילי אם התמורה היא אי־זוגית וחיובי אחרת‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪ .5‬תמורות‬
‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬
‫למה ‪5.2.6‬‬
‫‪ .1‬הסימן )מספר היפוכי הסדר ב ‪ sgn (σ) = (−1) (σ‬ניתן לחישוב מפורש‬
‫‪i−j‬‬
‫)‪σ (i) − σ (j‬‬
‫‪Y‬‬
‫= )‪sgn (σ‬‬
‫‪1≤i<j≤n‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ σ‬הנה מכפלה של ‪ k‬חילופים )טרנסופזיציות(‬
‫‪k‬‬
‫)‪sgn = (−1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬כל זוג ‪ a < b‬בטווח ]‪ [1, n‬מופיע בערך מוחלט פעם אחת במונה ופעם אחת במכנה‪.‬‬
‫‪| = 1‬אגף ימין|‪ .‬לגבי הסימן‪ :‬כל כופל נותן ‪ +‬אם אינו היפוך ו ־ אם היפוך‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכחה באינדוקציה על מספר הטרנספוזיציות בכתיב של ‪ σ‬כמכפלת טרנספוזיציות‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה ־ טרנספוזיציה אחת הנה אי־זוגית‪.‬‬
‫נותר להראות שאם )‪ σ ′ = σ · (i j‬אז‪.sgn σ ′ = − sgn σ :‬‬
‫ב‪.‬ה‪.‬כ )‪.σ ′ = σ (1 2) .(i j) = (1 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫|‬
‫‪3‬‬
‫‪...‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫|‬
‫‪3‬‬
‫‪...‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪σ‬‬
‫= ‪σ′‬‬
‫)‪σ (1) σ (2) | σ (3) . . . σ (n‬‬
‫)‪σ (2) σ (1) | σ (3) . . . σ (n‬‬
‫האם ‪ a < b‬הנו הפוך או לא ב ‪ σ‬וב ‪ 3 ≤ a < b ≤ n ?σ ′‬־ התשובה אותה תשובה ב ‪ σ‬וב ‪.σ ′‬‬
‫אם אחד מבין ‪ a, b‬הנו ‪ 1, 2‬והשני ≤ ‪ 3‬אזי ‪ 1 < b‬הנו הפוך סדר ב‪ 2 < b ⇐⇒ σ‬הנו הפוך סדר ב ‪.σ‬‬
‫מספר היפוכי הסדר מבין הזוגות ‪ 1 < b‬ב‪ =σ‬מספר היפוכי הסדר מבין הזוגות ‪ 2 < b‬ב ‪ σ ′‬ולהפך‪.‬‬
‫אם ‪ 1 < 2‬הנו היפוך ב‪ ⇐⇒ σ‬איננו היפוך ב ‪.σ ′‬‬
‫‪′‬‬
‫מסקנה ‪5.2.7‬‬
‫עבור ‪:n ≥ 2‬‬
‫‪ .1‬ההעתקה }‪ sgn : Sn → {±1‬הנה הומו'‪.‬‬
‫‪ An = ker (sgn) .2‬תת־חבורה נורמלית מאינדקס ‪ .2‬נקראת חבורת‬
‫התמורות הזוגיות‪.‬‬
‫מתאפיינת כתמורות שבכל פרוק שלהן למכפלת חילופים‪ ,‬יופיע מספר‬
‫זוגי של חילופים‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נכתוב את ‪ σ‬כמכפלת ‪ r‬חילופים‪ .‬ואת ‪ τ‬כמכפלת ‪ s‬חילופים‪ .‬אזי ‪ σ · τ‬הנה מכפלת ‪ r + s‬חילופים‪ .‬לפי‬
‫הלמה הקודמת סעיף ‪:2‬‬
‫‪sgn (σ · τ ) = (−1)r+s = (−1)r (−1)s = sgn σ · sgn τ‬‬
‫‪ .2‬ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪Sn ⊲ An = ker (sgn) :‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ ‪ Sn Sn‬‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫‪ An ker (sgn) = |Im (sgn)| = 2‬‬
‫‪44‬‬
‫פרק ‪ .5‬תמורות‬
‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬
‫הגדרה ‪ 5.2.8‬חבורה פשוטה‪ :‬חבורה ‪ G‬נקראת פשוטה אם אין לה איף תת חבורה נורמלית ‪ N ⊳ G‬פרט לה‬
‫ול}‪.{e‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 5.2.9‬חבורה ציקלית מספר ‪ p‬ראשוני אין לה בכלל תתי חבורות‪ .‬ולכן היא פשוטה‪.‬‬
‫משמעות כל הומומורפיזם ‪) ϕ : G → G′‬אם ‪ G‬פשוטה( הוא או ‪ ϕ = e′‬או ‪ ϕ‬חח"ע‪.‬‬
‫משפט ‪5.2.10‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ n ≥ 5 ,An‬פשוטה‪.‬‬
‫דוגמה ‪: 5.2.11‬‬
‫!‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ |A5 | = 60‬וזו החבורה הפשוטה )הלא ציקלית( הקטנה ביותר‪.‬‬
‫הערה ‪ Sn 5.2.12‬היא לא פשוטה‪ ,‬כי תמיד קיים ‪.An ⊳ Sn‬‬
‫דוגמה ‪{e} ⊳ V4 ⊳ A4 ⊳ S4 : 5.2.13‬‬
‫}‪|{z} |{z} |{z‬‬
‫‪24‬‬
‫!‪12= 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫∼ })‪V4 = {e, (1 2) (3 4) , (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3‬‬
‫‪= Z2 × Z2‬‬
‫)חבורת ה‪ 4‬של קליין(‬
‫‪12/12/2011‬‬
‫הערה ‪ 5.2.14‬לא הספקנו להוכיח את המשפט בשיעור‪ ,‬נשלים שיעור הבא‪ .‬בהוכחת המשפט יהיו שני שלבים‪:‬‬
‫שלב א'‪ :‬אם ‪ N ⊳ An 5 ≤ n‬ו ‪ N‬מכילה ‪ 3‬מחזור‪ σ = (i1 i2 i3 ) :‬אז ‪.N = An‬‬
‫שלב ב'‪ :‬אם ‪) N ⊳ An‬כאשר ‪ (5 ≤ n‬ו ‪ {e} 6= N‬אזי ‪ N‬מכילה ‪ 3‬מחזור‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.15‬מעכשיו החומר צפוי להיות יותר עמוק‬
‫משפט ‪5.2.16‬‬
‫החבורה ‪ An‬עבור ‪ n ≥ 5‬פשוטה )אין לה תת חבורות נורמליות פרט ל ‪ An‬עצמה‪ ,‬ול‪({e} :‬‬
‫הערה ‪ 5.2.17‬ראינו כי ‪ {1, (1 2) (3 4) , (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3)} = V4 ⊳ A4‬חבורת ה־‪ 4‬של קליין‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬שלב א'‪:‬‬
‫למה ‪5.2.18‬‬
‫אם ‪ N ⊳ An‬ו‪ N :‬מכילה ‪3‬־מחזור מהצורה ) ‪ (i1 i2 i3‬אזי כבר‪N = An :‬‬
‫הוכחה‪ :‬בה"כ ‪ (1 2 3) ∈ N‬יהי ‪ .4 ≤ k‬נסתכל ב‪ 3) g = (k 3 2) :‬מחזור אחר‪ ,‬תמורה זוגית‪ ,‬ולכן ‪.(An ∋ g‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪g (1 2 3) g −1 = (k 3 2) (1 2 3) (2 3 k) ∈ N‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪∈An‬‬
‫)‪(k 3 2) (1 2 3) (2 3 k) = (1 k 2‬‬
‫ולכן גם ‪ (1 k 2) ∈ N‬וגם ‪ (1 k 2)2 = (1 2 k) ∈ N‬וכמו כן‪.(1 2 k)2 = (2 1 k) ∈ N :‬‬
‫עכשיו נתבונן ב‪:‬‬
‫‪(1 i j) = (2 1 i) (2 1 j) (1 2 i) ⇒ (1 i j) ∈ N‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫)‪(1 i) (i j) = (1 j i‬‬
‫ולכן מכפלה של כל שתי טרנספוזיציות מהצורה )‪ (1 i‬הינה ב ‪.N‬‬
‫נקח ‪ g ∈ An‬כלשהו‪ g ,‬ניתן לכתיבה כמכפלת טרנספוזיציות מהצורה )‪) (1 i‬הטרנספוזיצות הללו יוצרות את‬
‫‪(Sn‬‬
‫והיות ו‪ g :‬תמורה זוגית‪ ,‬היא מכפלה של מספר זוגי של )‪ (1 i‬כאלה‪ ,‬וזה אומר שהיא ב ‪.N‬‬
‫שלב ב'‬
‫‪45‬‬
‫פרק ‪ .5‬תמורות‬
‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬
‫למה ‪5.2.19‬‬
‫= }‪ {e‬כך ש ‪ 5 ≤ n‬אז ‪ N‬מכילה ‪ 3‬מחזור‪.‬‬
‫אם ‪6 N ⊳ An‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נניח ש ‪ (1 2 . . . k) · a · b · . . . = g ∈ N‬כאשר ‪ 4 ≤ k‬ו‪ a, b, . . . :‬מחזורים זרים ל )‪ (1 2 . . . k‬נשים לב‬
‫כי‪:‬‬
‫‪An ∋ (1 2 3) g (3 2 1) ·g −1 ∈ N‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪∈N‬‬
‫‪ a, b, . . .‬זרים ל )‪ (1 2 3‬ומופיעים בהיפוך ‪ a−1 , b−1‬בתמורה ‪ g −1‬ולכן מצטמצמים )מחזורים זרים מתחלפים(‬
‫נשאר‪:‬‬
‫‪(1 2 3) (1 2 3 . . . k) (3 2 1) (k . . . 3 2 1) = (1 2 4) ∈ N‬‬
‫כלומר‪ ,‬מצאנו ב ‪ 3 N‬מחזור‪.‬‬
‫‪ .2‬אם אין בפרוק של ‪ g‬שום ‪ k‬מחזור ל‪ 4 ≤ k‬אז בפרוק של ‪ g‬למחזורים מופיעים רק ‪ 3‬מחזורים ו‪ 2‬מחזורים‪.‬‬
‫נניח שמופיעים לפחות ‪ 3 2‬מחזורים‪.‬‬
‫‪g = (1 2 3) (4 5 6) · a · b · . . .‬‬
‫‪(2 3 4) g (4 3 2) g −1 = (1 4 2 3 5) ∈ N‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪∈N‬מנורמליות‬
‫ואז חזרנו ל)‪.(1‬‬
‫‪ .3‬אם אנחנו לא ב)‪ (1‬ולא ב)‪ (2‬אז או ש ‪ g = (1 2 3) · a · b · . . .‬כאשר ‪ a, b, . . .‬טרנספוזיציות או‪g = :‬‬
‫‪ (1 2) (3 4) . . .‬מכפלת טרנספוזיציות זרות‪.‬‬
‫במקרה הראשון ‪ g 2‬הנו ‪ 3‬מחזור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪g 2 = (1 2 3) a2 b2 . . . = (1 3 2‬‬
‫הערה ‪ 5.2.20‬מותר כי איברי ‪ g‬מתחלפים‪ .‬לכן‪.(xy)2 = x2 y 2 :‬‬
‫לסיום נשתמש בהנחה ש ‪) n ≥ 5‬אם ‪ N = V4 n = 4‬אז באמת כל אבר ‪ N ∋ g 6= e‬הנו מכפלת ‪ 2‬טרנספוזיציות(‪.‬‬
‫נניח ‪ .g = (1 3) (2 4) . . .‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪(1 2 5) g (5 2 1) g −1 = (1 2 5 4 3) ∈ N‬‬
‫וחזרנו ל)‪.(1‬‬
‫ולכן ההוכחה של המשפט נגזרת באופן ישיר מ‪ 2‬הלמות הנ"ל‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫תזכורת ‪ G × X → X 6.0.21‬פעולה של ‪G‬על ‪) X‬קבוצה(‬
‫‪ .1‬אם ) ‪ O (x1 ) , . . . , O (xn‬המסלולים השונים אז‪:‬‬
‫|) ‪|O (xi‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= |‪|X‬‬
‫ואם ‪ =Gxi‬המייצב של ‪ {g| gxi = xi }=xi‬תת חבורה‪ .‬אז ממשפט המסלול‪:‬‬
‫|) ‪|X| = |Gxi | · |O (xi‬‬
‫מעכשיו ‪ p‬ראשוני קבוע‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.0.22‬חבורת־‪ :p‬חבורת־‪ p‬הנה חבורה ‪ G‬שהסדר של‪.|G| = pk :‬‬
‫הערה ‪) 6.0.23‬אבחנה(‬
‫אם חבורת־‪ p‬פועלת על קבוצה סופית ‪ X‬אז גודל כל מסלול הוא או ‪ 1‬או מספר שמתחלק ב‪) p‬למעשה חזקה‬
‫של ‪.(p‬‬
‫משפט ‪6.0.24‬‬
‫אם ‪ G‬חבורת־‪) {e} 6= Z (G) ,p‬יש ב‪ G‬איבר שונה מ‪ e‬שמתחלף עם כל איברי ‪.(G‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל בפעולת ‪ G‬על עצמה ע"י הצמדה‪:‬‬
‫‪G×G→G‬‬
‫‪(γ, g) 7→ γgγ −1‬‬
‫המסלולים הנם מחלקות הצמידות‪.‬‬
‫‪C1 = {e} , C2 , . . . , Ch‬‬
‫מחלקת צמידות ‪ Ci‬היא או יחידון } ‪ Ci = {gi‬או‪) |Ci | ≡ 0 mod p :‬לפי האבחנה הכללית(‬
‫| ‪|Ci‬‬
‫‪h‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪|G| = pk‬‬
‫ולכן מספר מחלקות הצמידות שהן יחידונים גם כן מתחלק ב‪.p‬‬
‫אבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪O (g) = γgγ −1 |γ ∈ G = g G‬‬
‫הוא יחידון אם"ם )‪.g ∈ Z (G‬‬
‫‪∀γ ∈ G γgγ −1 = g ⇐⇒ γg = gγ‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ .6.1‬הרעיון בחקר חבורות־‪p‬‬
‫בגלל ש }‪ {e‬מסלול יחידון ולכן‪:‬‬
‫|)‪p| |Z (G‬‬
‫מסקנה ‪6.0.25‬‬
‫‪2‬‬
‫חבורה מסדר ‪ p‬הינה אבלית‬
‫הוכחה‪ :‬עלינו להראות ש ‪ Z (G) = G‬אחרת מן המשפט הקודם ‪ .|Z (G)| = p‬נבחר ‪ g ∈ G‬שאיננו ב )‪.Z (G‬‬
‫נסתכל בחבורה ‪.H = hZ (G) , gi‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪Z (G) $ H ⊆ G‬‬
‫אבל‪ [G : Z] = p :‬וגם‪ [G : H] [H : Z] = [G : Z] = p :‬אבל ‪ [H : Z] = p‬ולכן‪.G = H⇐[G : H] = 1 :‬‬
‫אבל ‪ H‬אבלית כי‪:z1 , z2 ∈ Z :‬‬
‫‪z1 g m1 z2 g m2 = z1 z2 g m1 +m2 = z2 g m2 z1 g m1‬‬
‫ולכן ‪ G‬אבלית‪ ,‬כלומר )‪.G = Z (G‬‬
‫‪6.1‬‬
‫הרעיון בחקר חבורות־‪p‬‬
‫ראינו ש )‪.{e} 6= Z1 ,G ⊲ Z1 = Z (G‬‬
‫ נסתכל על ‪ .G = G/Z1‬גם זו חבורת־‪ ,p‬ולכן גם המרכז שלה לא טריוויאלי‪ :‬יש ‪ Z1 ⊂ Z2 ⊂ G‬כך ש‪:‬‬
‫‪.Z2/Z1 = Z G‬‬
‫נשים לב כי‪.Z2/Z1 ⊳ G/Z1 = G ⇐⇒ Z2 ⊳ G :‬‬
‫הערה ‪6.1.1‬‬
‫‪Z2‬‬
‫‪G‬‬
‫‪g ∈ G/Z1‬‬
‫∈‬
‫∈‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪γgγ‬‬
‫באינדוקציה ⇐ בכל חבורת־‪ p‬יש סדרה עולה של תת חבורות‪:‬‬
‫‪{e} ⊂ {Z1 } ⊂ {Z2 } ⊂ . . . ⊂ Zr = G‬‬
‫כאשר ‪ .Zi ⊳ G‬ו‪:‬‬
‫‪ 6= Z (G/Zi ) = Zi+1/Zi‬טריוויאלי‬
‫בפרט‪ Zi+1/Zi :‬אבלית‪.‬‬
‫זו הסדרה המרכזית העולה של ‪.G‬‬
‫‪ 6.2‬משפטי סילו‬
‫‪ G‬חבורה סופית‪ p .‬ראשוני‪ .‬נניח כי‪) p| |G| :‬לדוגמה‪ |G| = 21 :‬ו‪ (p = 7‬כלומר‪:‬‬
‫‪n = |G| = m · pe‬‬
‫כאשר ‪.p|m‬‬
‫משפט ‪ 6.2.1‬משפט‬
‫‪Sylow‬‬
‫הראשון‬
‫‪48‬‬
‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬
‫יש ב‪ G‬תת־חבורה ‪ H ⊆ G‬מסדר ‪.pe‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.2‬תת חבורה ‪p‬־סילו‪ :‬תת חבורה מסדר ‪ pe‬של ‪ G‬נקראת תת חבורה ‪p‬־סילו של ‪.G‬‬
‫‪ H‬כזאת ניתנת לאפיון‪:‬‬
‫‪ H .1‬חבורת־‪.p‬‬
‫‪ [G : H] .2‬זר ל־‪.p‬‬
‫איך בונים את ‪?H‬‬
‫הערה ‪ 6.2.3‬רקע על חבורותצמודות‪ :‬אם ‪ G‬חבורה כלשהיא‪ ,‬ו ‪ H ≤ G‬תת חבורה‪.‬‬
‫ואם ‪ ghg −1 |h ∈ H = gHg −1 g ∈ G‬גם תת־חבורה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪gh1 g −1 gh2 g −1 = g (h1 h2 ) g −1‬‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫‬
‫‪= gh−1 g −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ghg −1‬‬
‫‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 6.2.4‬הנורמליזטור של ‪ H‬ב‪ :G‬האיברים ‪ NG (H) = g ∈ G| gHg −1 = H‬יקראו הנורמליזטור של‬
‫‪ H‬ב‪ .G‬ברור כי‪ H ⊆ NG (H) :‬לכן היא מוגדרת היטב‪ .‬אם ‪ H ⊳ G‬אז‪NG (H) .NG (H) = G :‬הוא החבורה‬
‫הגדולה ביותר ב‪ G‬שבתוכה ‪ H‬נורמלית‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γ|γgγ‬‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫‪ =CG (g) ,g ∈ G‬הרכז שלו =‬
‫‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪ =NG (H) .H ⊆ G‬הנורמליזטור של ‪. γ|γHγ = H =H‬‬
‫תת חבורה‪:‬‬
‫)‪γ1 , γ2 ∈ NG (H‬‬
‫‪γ1 γ2 H (γ1 γ2 )−1 = γ1 γ2 Hγ2−1 γ1−1 = γ1 Hγ1−1 = H‬‬
‫הערה ‪ 6.2.5‬אם ‪ =A‬אוסף כל תת החבורות של ‪ G‬נגדיר פעולה של ‪ G‬על ‪.A‬‬
‫תת חבורה צמודה של ‪γ ∗ H = γHγ −1 =H‬‬
‫המסלול של ‪=H‬כל תת החבורות הצמודות ל‪ .H‬המייצב של ‪NG (H) =H‬‬
‫‪14/12/2011‬‬
‫משפט ‪ 6.2.6‬משפט ‪Sylow‬‬
‫הראשון‬
‫לכל ‪ p‬ראשוני המחלק את |‪ |G‬יש ב‪ G‬תת חבורה ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ S‬משפחת כל תת הקבוצות מסדר ‪.pe‬‬
‫ ‬
‫)‪n (n − 1) · . . . · (n − pe + 1‬‬
‫‪n‬‬
‫= |‪|S‬‬
‫=‬
‫‪pe (pe − 1) · . . . · 1‬‬
‫‪pe‬‬
‫)כאשר ‪(|G| = n‬‬
‫למה ‪6.2.7‬‬
‫|‪|S‬אינו מתחלק ב‪p‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל ב ‪ k = pf · k0 ,0 ≤ k < pe‬כאשר ‪ 0 ≤ f ≤ e‬ו‪p|k0 :‬‬
‫הסדר של ‪ p‬ב ‪ pe − k‬הנו בדיוק ‪pf ) .f‬מחלק גם את ‪pe‬וגם את ‪,k‬‬
‫כנ"ל הסדר של ‪ p‬ב ‪ n − k‬גם כן בדיוק ‪) f‬מאותה סיבה(‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪f +1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ p‬מחלק את ‪ p‬אך לא את ‪(k‬‬
‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬
‫ולכן המופעים של ‪ p‬ב )‪ (n − k‬וב )‪ (pe − k‬בדיוק מצטמצמים ולכן אין חזקות ‪ p‬ב‪:‬‬
‫|‪= |S‬‬
‫‬
‫‪n−k‬‬
‫‪pe − k‬‬
‫‪e‬‬
‫‪pY‬‬
‫ ‪−1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ניתן ל ‪ G‬לפעול על ‪ S‬ע"י ‪ .(g, S) 7→ g · S G × S → S‬נראה שקיימת ‪ S‬שהמייצב שלה ‪ GS‬הנו תת חבורה‬
‫‪p‬־סילו‪.‬‬
‫למה ‪6.2.8‬‬
‫המייצב של כל ‪ S ∈ S‬הנו חבורת־‪p‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ .H = {g| ∀s ∈ S, g · s ∈ S} ,H = GS‬בפרט אם ‪ =H · s ⊂ S ,s ∈ S‬המחלקה הימנית‪ .‬לכן‪S ,‬‬
‫היא איחוד של מחלקות ימניות ולכן‪:‬‬
‫|‪|H| | |S‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪pe‬‬
‫היות ו|‪ |S‬זר ל‪ ,p‬חייב להיות מסלול )‪O (S‬מסדר זר ל־‪.p‬‬
‫נשתמש בנוסחת המסלול‪:‬‬
‫|)‪· |O (S‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫זר ל‪p‬‬
‫= |‪pe · m = |G‬‬
‫| ‪|GS‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫מלמה ב' ־ חזקת ‪p‬‬
‫כלומר‪ .pe = |GS | :‬כלומר ‪ H = Gs‬חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 6.2.9‬משפט קושי‬
‫אם |‪p| |G‬יש ב‪ G‬איבר מספר ‪p‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ H ≤ G‬חבורת ‪p‬־סילו‪ .‬נבחר ‪ .e 6= g ∈ H‬הסדר שלו )‪o (g‬צריך לחלק את |‪|H‬ולכן הוא ‪pk /‬אזי‪:‬‬
‫ ‪ k−1‬‬
‫‪6= e‬‬
‫‪gp‬‬
‫ ‪ k−1‬‬
‫‪k‬‬
‫אבל ‪= g p = e‬‬
‫‪. gp‬‬
‫משפט ‪ 6.2.10‬משפט סילו השני‬
‫תהיה ‪ G‬כנ"ל‪ .(p ∤ m) |G| = pe m :‬תהיה ‪ K ≤ G‬תת חבורה כל־שהיא‪ H ,‬תת חבורה ‪p‬־סילו‪ .‬אזי ישנו‬
‫‪ a ∈ G‬כך ש‪ K ∩ aHa−1 :‬תת חבורה ‪p‬־סילו של ‪.K‬‬
‫‬
‫‬
‫הערה ‪ pe = aHa−1 = |H| 6.2.11‬ולכן גם ‪ aHa−1‬חבורת ‪p‬־סילו של ‪.G‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל בפעולה של ‪ K‬על ‪ X = G/H‬ע"י כפל משמאל )‪ X‬היא קבוצת הקוסטים‪ ,‬כלומר = ‪X‬‬
‫}‪ .({g1 H, . . . , gm H‬נשים לב כי |‪ m = [G : H] = |X‬זר ל ‪.p‬‬
‫יהיה ‪ x = aH‬כך ש‪:‬‬
‫}‪Kx = {k ∈ K|kaH = aH‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪a−1 kaH = H ⇒ a−1 ka ∈ H‬‬
‫‪k ∈ aHa−1 ∩ K‬‬
‫‪Kx = aHa−1 ∩ K,‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬
‫מספר אברי ‪ Kx‬הנו חזקת־‪ p‬כל ‪ ≥ Kx‬חבורת־‪. aHa−1 ,p‬‬
‫מאידך‪ m = |X| ,‬זר ל‪ p‬ולכן יש ‪ x = aH‬שהמסלול שלו )‪ O (x‬מגודל זר ל‪.p‬‬
‫ממשפט המסלול‪:‬‬
‫|)‪|K| = |Kx | |O (x‬‬
‫} ‪|{z} | {z‬‬
‫זר ל ‪ p‬חזקת ‪p‬‬
‫כלומר ‪ Kx‬חבורת ‪ p‬מאינדקס זר ל‪ Kx ⇐p‬חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬
‫מסקנה ‪6.2.12‬‬
‫אם ‪ K‬בעצמה חבורת ‪ ,p‬אזי יש ‪ a‬כך ש‪K ⊂ aHa−1 :‬‬
‫מסקנה ‪6.2.13‬‬
‫‬
‫‬
‫כל חבורות ‪p‬־סילו של ‪ G‬צמודות זו לזו‪) .‬במסקנה ‪(|K| = aHa−1 = pe ,1‬‬
‫מסקנה ‪6.2.14‬‬
‫‪19/12/2011‬‬
‫אם ‪ H‬חברות ‪p‬־סילו של ‪ ,G‬אזי ‪ H‬יחידה ⇒⇐ ‪.H ⊳ G‬‬
‫משפט ‪ 6.2.15‬משפט סילו השלישי‬
‫במצב המתואר לעיל‪ ,‬מספר חבורות ‪p‬־סילו ב‪ G‬שיסומן ‪ rp‬מקיים‪ rp |m :‬וגם‪) rp ≡ 1 mod p :‬משאיר‬
‫שארית ‪ 1‬בחלוקה ב ‪(p‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו‪ {H1 = H, H2 , . . . , Hr } :‬כל חבורות ‪ p‬סילו של ‪ ,G‬כלומר ‪ .r = rp‬כל ‪ Hi‬הנה מהצורה ‪aHa−1‬‬
‫)לפי המסקנה השניה למשפט סילו השני( ולהפך‪ ,‬כל חבורה מהצורה ‪ aHa−1‬היא חבורה ‪ p‬סילו‪ .‬לפיכך‪ ,‬נגדיר‬
‫קבוצה ‪ X‬בתור כל תת־החבורות של ‪ .G‬אם ‪ γ ∈ G‬ו‪ γ ∗ L = γLγ −1 .L ∈ X‬גם כן תת חבורה ו‪:‬‬
‫‪e∗L=L‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪γ1 ∗ (γ2 L) = γ1 γ2 Lγ2−1 γ1−1 = (γ1 γ2 ) L (γ1 γ2 ) = (γ1 γ2 ) ∗ L‬‬
‫קבלנו פעולה של ‪ G‬על ‪ X‬ו‪:‬‬
‫} ‪O (H) = {H1 , H2 , . . . , Hr‬‬
‫מסלול שלם‪ .‬ממשפט המסלול אנו יודעים כי‪:‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪GH‬‬
‫= |)‪r = |O (H‬‬
‫‬
‫‬
‫כאשר ‪ GH‬הוא המייצב‪ .‬אבל נשים לב כי‪ GH = γ ∈ G| γHγ −1 = H = NG (H) :‬כלומר הנורמליזטור של‬
‫‪ H‬ב־ ‪ .G‬אבל אנו יודעים כי‪:‬‬
‫‪≤ N (H) ≤ G‬‬
‫‪|{z} G‬‬
‫‪H‬‬
‫סגירות ‪H‬‬
‫ולכן קיבלנו כי‪:‬‬
‫‪ m‬‬
‫{ |} ‪ z‬‬
‫‬
‫]‪[G : NG (H)] [G : H‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪r‬‬
‫כלומר קילבנו כי‪ rp |m :‬כנדרש‪.‬‬
‫נוכיח את החלק השני‪ ,‬נפרק את המסלול } ‪G) {H1 , . . . , Hr‬־מסלול( למסלולים זרים תחת פעולת ‪ H‬ע"י‬
‫הצמדה‪.‬‬
‫‪H‬־מסלול אחד יהיה כמובן }‪.{H‬‬
‫‪51‬‬
‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬
‫טענה ‪6.2.16‬‬
‫כל ‪H‬־מסלול אחר מכיל יותר מחבורה אחת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש } ‪ {Hi‬הנו מסלול בין אבר ‪ 1‬ונראה כי ‪ . i = 1‬נשים לב כי זה אומר‪:‬‬
‫‪hHi h−1 = Hi‬‬
‫‪∀h ∈ H‬‬
‫כלומר‪) H ⊆ NG (Hi ) :‬כלומר ‪ H‬מנרמלת את ‪ (Hi‬מכך נקבל כי‪ {a · b| a ∈ H, b ∈ Hi } = H · Hi :‬הוא‬
‫תת חבורה‪:‬‬
‫‪(a · b) (a1 · b1 ) = aa1 a−1‬‬
‫‪ba1 ·b1‬‬
‫} ‪| 1 {z‬‬
‫‪∈Hi‬‬
‫ולכן היא סגורה לפעולה‪.‬‬
‫מספר האיברים ב ‪) HHi‬היה בתרגיל( הנו‪:‬‬
‫| ‪|H| · |Hi‬‬
‫חזקת ‪= p‬‬
‫| ‪|H ∩ Hi‬‬
‫אבל ‪ HHi‬חבורת־‪ = H ⊂p‬חבורת ‪p‬־סילו⇐‪ HHi = H‬ובאותה צורה‪ HHi = Hi :‬ולכן‪ Hi = H :‬כלומר‪,‬‬
‫‪.i = 1‬‬
‫‪ H‬חבורת־‪ p‬ולכן בפעולתה ע"י הצמדה על הקבוצה } ‪{H1 , . . . , Hr‬מספר האברים בכל מסלול שאינו יחידון‬
‫מתחלק ב ‪ .p‬אם כך‪) :‬כפולת ‪ r = 1 + (p‬כנדרש‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 6.2.17‬חבורות ‪ G‬מסדר ‪ |G| = p · q‬כאשר ‪ p 6= q‬ראשוניים‪ .‬בה"כ‪ .p < q :‬אנו יודעים שיש לנו‬
‫חבורת ‪p‬־סילו ב ‪ .G‬נסמנה ‪ |P | = p .P‬ו‪ p‬ציקלית‪ .‬כאשר היוצר שלה הוא ‪. ap = e .hai‬‬
‫דבר דומה ניתן לעשות עם ‪ =Q .q‬חבורת ‪q‬־סילו ‪ .|Q| = q‬עם יוצר ‪ .hbi‬נשים לב כי‪:‬‬
‫}‪P ∩ Q = {e‬‬
‫כי הסדר של ‪ P ∩ Q‬מחד גיסא מחלק את ‪ p‬ומאידך מחלק את ‪ .q‬אבל שניהם ראשוניים לכן הוא בהכרח ‪. 1‬‬
‫‪ =rq‬מספר צמודי ‪ Q‬המחלק את ‪ p‬וגם ‪) rq ≡ 1 mod q‬מסילו השלישי( ומכיוון ש ‪ p < q‬אזי ‪.rq = 1‬‬
‫מסקנה ‪6.2.18‬‬
‫‪) Q ⊳ G‬לכל ‪= Q , a ∈ G‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪(aQa‬‬
‫משפט ‪6.2.19‬‬
‫נניח בתנאים הנ"ל ‪ q 6≡ 1 mod p‬אזי‪ G :‬ציקלית מסדר ‪pq‬‬
‫הוכחה‪ :‬בתנאי הזה‪ P ⊳ G ,‬כי ‪ rp = 1‬או ‪ rp ≡ 1 mod p .rp = q‬אבל ‪ q 6≡ 1 mod p‬ולכן‪.rp = 1 :‬‬
‫‪∈Q‬‬
‫|}‬
‫{‬
‫‪−1‬‬
‫‪aba‬‬
‫‪b‬‬
‫נסתכל על‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈Q‬‬
‫כי ‪ Q‬נורמלית‬
‫באותה זורה‪) ba−1 b−1 ∈ P :‬כי ‪ P‬נורמלית( ‪∈ P‬‬
‫‪.ab = ba‬‬
‫‪n‬‬
‫נסתכל על ‪ .a · b‬נניח ‪ (ab) = e‬מתחלפים‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪z‬‬
‫)הקומוטטור של ‪ a‬ו־‪.(b‬‬
‫‪ a · ba−1 b−1‬אבל }‪ aba−1 b−1 = e ,P ∩ Q = {e‬ולכן‪:‬‬
‫‪an · b n = e‬‬
‫‪bn = e‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P ∋ an = b−n ∈ Q ⇒ an = e,‬‬
‫מכאן‪ p|n ,‬ו‪ ,q|n‬כלומר ‪ ab‬הינו איבר מסדר ‪ pq‬ולכן ‪ G‬ציקלית ‪G = habi‬‬
‫דוגמה ‪ : 6.2.20‬חבורה מסדר ‪ 15 = 3 · 5‬או חבורה מסדר ‪ 77 = 7 · 11‬הנה ציקלית‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬
‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ p < q‬ראשוניים ‪ 1 ≡ 1 mod p‬אז יש חבורה מסדר ‪ pq‬שאינה אבלית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ .2 · 3 = 6 = |S3 | : 6.2.21‬מסדר ‪...10‬‬
‫נבנה מסדר ‪b7 = e .Q = hbi ,P = hai :p = 3, q = 7 .21‬‬
‫‪.G = P · Q .Q ⊳ G‬‬
‫‬
‫‬
‫‪G = ai b j | 0 ≤ i < 3 0 ≤ j < 7‬‬
‫‪.a3 = e,‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ai bj ak bl = ai+k a−k bj ak bl‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪j‬‬
‫‪a−k bj ak = a−k bak‬‬
‫די לדעת את ‪ ,a−k bak‬יתרה מזאת‪ ,‬די לדעת את‪ ,a−1 ba = bs :‬אבל מה הוא ה‪ s‬הנ"ל ? נשים לב כי‪:‬‬
‫ובאינדוקציה נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪a−2 ba2 = a−1 a−1 ba a = a−1 bs a = a−1 ba = (bs ) = bs‬‬
‫‪k‬‬
‫‪a−k bak = bs‬‬
‫אפשר לבדוק )תרגיל( שהאילוץ היחידי הינו כאשר ‪ k = p‬מקבלים ‪ap = e‬‬
‫‪p‬‬
‫‪b = a−p bap = bs‬‬
‫כלומר‪ .sp ≡ 1 mod p :‬נקח ‪ s = 2‬ונקבל‪:‬‬
‫‪23 = 8 = 1 mod 7‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪a−1 ba = b2 ⇒ ba = ab2‬‬
‫קל להראות שהתנאי ‪ q ≡ 1 mod p‬מבטיח שהחבורה ‪ = Z∗q‬חבורת השאריות הזרות ל‪) q‬שהיא מסדר ‪(q − 1‬‬
‫מכילה איבר מסדר ‪ ,p‬כי )‪ .p| (q − 1‬כלומר יש ‪.sp ≡ 1 mod q‬‬
‫‪53‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט‬
‫ז'ורדן־הולדר‬
‫הגדרה ‪ 7.0.22‬סדרה נורמלית‪ :‬סדרה נורמלית ב ‪ G‬היא סדרת תת חבורות‪:‬‬
‫‪{e} = Hr ⊳ . . . ⊳ H2 ⊳ H1 ⊳ G = H0‬‬
‫כאשר ‪.Hi+1 ⊳ Hi‬‬
‫הסדרה נקראת לא מגמגמת אם ‪Hi+1 ⊳ Hi‬‬
‫=‪6‬‬
‫הגדרה ‪ 7.0.23‬סדרת הרכב או סדרת ז'ורדן־הולדר‪ :‬סדרה נורמלית נקראת סדרת הרכב )‪(Composition series‬‬
‫או סדרת ז'ורדן־הולדר‪ .‬אם ‪ Hi/Hi+1‬חבורה פשוטה ־ אין לה תת חבורות נורמליות‪.‬‬
‫על פי משפט ההתאמה תת חבורות נורמליות ‪ N ⊳ Hi/Hi+1‬מתאימות חח"ע עם‪ Hi+1 ⊳ N ⊳ Hi :‬ע"י‬
‫‪′‬‬
‫‪) N = N /Hi+1‬כאשר ) ‪ ,N ′ = p−1 (N‬כלומר היא המקור של ‪ N‬תחת ההעתקה הקנונית ‪(p : Hi → Hi/Hi+1‬‬
‫סדרת הרכב‪ ,‬היא סדרה נורמלית שאי אפשר "לשפר" אותה ע"י דחיפת תת חבורות נורמליות נוספות בין ‪Hi‬‬
‫ו ‪.Hi+1‬‬
‫הגדרה ‪ 7.0.24‬עידון‪ :‬סדרה נורמלית אחרת }‪ G = H˜0 ⊲ H˜1 ⊲ . . . ⊲ H˜s = {e‬תקרא עידון )‪(renement‬‬
‫של ‪ G ⊲ Hi ⊲ Hi+1 ⊲ . . .‬אם כל ‪ Hi‬היא אישזהו ‪.H˜j‬‬
‫‪P‬‬
‫סדרת הרכב = סדרה נורמלית שאי אפשר לעדן אותה שלא ע"י גמגום‪.‬‬
‫}‪0 |{z‬‬
‫}‪⊳ {0, 6} |{z‬‬
‫}‪⊳ {0, 3, 6, 9} |{z‬‬
‫דוגמה ‪⊳ Z12 : 7.0.25‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪3‬‬
‫וגם‪⊳ Z12 :‬‬
‫}‪⊳ {0, 2, 4, 6, 8, 10} |{z‬‬
‫}‪0 |{z‬‬
‫}‪⊳ {0, 4, 8} |{z‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪3‬‬
‫}‪0 |{z‬‬
‫}‪⊳ {0, 6} |{z‬‬
‫}‪⊳ {0, 2, 4, 6, 8, 10} |{z‬‬
‫וגם‪⊳ Z12 :‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪3‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫אלו הן סדרות הרכב שונות אבל המנות העוקבות בשלשתן ‪Hi/Hi+1‬הן ‪.Z2 , Z2 , Z3‬‬
‫‪21/12/2011‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (1 2) (3 4) ‬‬
‫)‪(1 3) (2 4‬‬
‫}‪0 |{z‬‬
‫}‪⊳ {(1 2) (3 4)} |{z‬‬
‫⊳‬
‫}‪= V4 |{z‬‬
‫}‪⊳ A4 |{z‬‬
‫דוגמה ‪⊳ S4 : 7.0.26‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(1 4) (2 3‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫סדר ‪3‬‬
‫סדר ‪2‬‬
‫לחילופין האיבר האחרון יכל להיות גם )‪ (1 3) (2 4‬או )‪.(1 4) (2 3‬‬
‫דוגמה ‪ : 7.0.27‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ .p‬הסדרה המרכזית העולה הנה סדרה נורמלית‪.‬‬
‫‪{e} = Z0 ⊳ Z1 ⊳ Z2 ⊳ . . . ⊳ Zr = G‬‬
‫}‪ .Zi/Zi−1 = |{z‬כל ‪.G ⊲ Zi‬‬
‫‪ = Zi‬החבורה ב ‪ G‬כך ) ‪Z (G/Zi−1‬‬
‫מרכז‬
‫‪54‬‬
‫פרק ‪ .7‬סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬
‫בהנתן שתי סדרות נורמליות א' וב'‪:‬‬
‫}‪H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e‬‬
‫}‪H˜0 ⊲ H˜1 ⊲ H˜2 ⊲ . . . ⊲ H˜r = {e‬‬
‫= ‪G‬‬
‫= ‪G‬‬
‫נרצה להשתמש בב' כדי לעדן את א'‪ .‬נתבונן ב‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪G ⊲ . . . ⊲ Hi ≥ Hi ∩ H˜j Hi+1 ⊲ Hi+1 ⊲ . . .‬‬
‫‬
‫‬
‫מכיוון ש ‪ Hi ∩ H˜j Hi+1 = Hi,j‬חלקית ל ‪) Hi‬ובאופן ברור נורמלית ל ‪(Hi+1‬‬
‫הערה ‪ 7.0.28‬אם )‪ N ≤ NG (H‬אזי‪ N H :‬תת חבורה‪.‬‬
‫נשתמש בכל ה‪ j‬נקבל‪:‬‬
‫‪Hi = Hi,0 ⊲ Hi,1 ⊲ . . . ⊲ Hi,j ⊲ Hi,j+1 ⊲ . . . ⊲ Hi,s = Hi+1‬‬
‫טענה ‪7.0.29‬‬
‫‪Hi,j+1‬‬
‫⊲‬
‫‪Hi,j+1‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪(Hi ∩H˜j )Hi+1 (Hi ∩H˜ j+1 )Hi+1‬‬
‫הוכחה‪ :‬להוכחת הטענה צריך להראות ש‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪˜ j+1 Hi‬‬
‫‪Hi ∩ H˜j Hi+1 ≤ NG Hi ∩ H‬‬
‫היות והנורמליזטור הנו תת חבורה‪ ,‬די לבדוק ש ‪ Hi ∩ H˜j‬ו‪ Hi+1 :‬כל אחד בנפרד מוכלים בו‪.‬‬
‫לגבי ‪ Hi+1‬־ ברור )הוא תת חבורה(‬
‫יהי ‪ ,g ∈ Hi ∩ H˜j‬ויהי ‪˜ j+1‬‬
‫‪ y ∈ Hi+1 .x ∈ Hi ∩ H‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪g (xy) g −1 = gxg −1 · gyg −1‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪∈Hi+1‬‬
‫כי‪ Hi+1 ⊳ Hi :‬ו‪˜ j+1 ⊳ H˜j :‬‬
‫‪.H‬‬
‫ולכן הנדרש‪.‬‬
‫‪˜ j+1‬‬
‫‪∈Hi ∩H‬‬
‫המטרה‪ :‬להראות שאם נשתמש באותו אופן בא' כדי לעדן את ב' נקבל‪:‬‬
‫‪˜ j+1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪˜ j,i ⊲ H‬‬
‫‪˜ j,i+1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪H˜j‬‬
‫‬
‫‬
‫‪˜ j,i = H˜j ∩ Hi H‬‬
‫כאשר‪˜ j+1 :‬‬
‫‪ H‬נקבל עדונים "שקולים"‬
‫למה ‪ 7.0.30‬הלמה של זסנהאוז‬
‫במצב הנ"ל‬
‫∼‬
‫‪= H˜ j,i/H˜ j,i+1‬‬
‫‪Hi,j/Hi,j+1‬‬
‫‪˜j ⊲ B = H‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪ A∗ = Hi ⊲ A = Hi+1 :‬ו‪˜ j+1 :‬‬
‫‪ .B ∗ = H‬נרצה להראות כי‪:‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∼‬
‫)‪= B(B ∩A )/B(B ∗ ∩A‬‬
‫)‪A(A∗ ∩B ∗ )/A(A∗ ∩B‬‬
‫הערה ‪ 7.0.31‬נשים לב כי ‪ A‬בצד השני‪ ,‬אבל זה חוקי כיוון שאם )‪ N ≤ NG (H‬אזי‪ N H = HN :‬מהגדרת‬
‫הנורמליות‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫פרק ‪ .7‬סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬
‫נראה כי‪:‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∼‬
‫)‪= (A ∩B )/(A∩B ∗ )(A∗ ∩B‬‬
‫)‪A(A∗ ∩B ∗ )/A(A∗ ∩B‬‬
‫וזה יוכיח את הלמה כי הביטוי המתקבל מימין סימטרי ב ‪ A‬ו־ ‪ B‬ולכן שווה גם ל‪:‬‬
‫)‪B(B ∗ ∩A∗ )/B(B ∗ ∩A‬‬
‫נסמן )‪ N = A (A∗ ∩ B‬ו‪ .K = A∗ ∩ B ∗ :‬כלומר‪ A (A∗ ∩ B ∗ ) = N K :‬כיוון ש )‪ (A∗ ∩ B‬מוכל ב ‪.K‬‬
‫אנו רוצים לבחון את‪ .N K/N :‬ממשפט ההומומורפיזם השני אנו יודעים כי‪:‬‬
‫∼‬
‫‪= K/K∩N‬‬
‫נשאר להראות כי‪:‬‬
‫)‪(A∗ ∩B ∗ )/(A∩B ∗ )(A∗ ∩B‬‬
‫=‬
‫‪N K/N‬‬
‫נשים לב כי כי הכלה ⊃ בוודאי יש‪ .‬להפך‪ ,‬נניח‬
‫‪K/K∩N‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫) ‪(A∗ ∩B ∗ )/(A∗ ∩B‬‬
‫איבר ‪ a · h‬כך ש ‪ h ∈ A∗ ∩ B ,a ∈ A‬שייך גם ל ∗ ‪ .A∗ ∩ B‬אזי‪:‬‬
‫∗‪a ∈ A ∩ B‬‬
‫‪26/12/2011‬‬
‫כי ∗ ‪ h ∈ B ⊂ B ∗ ,a · h ∈ B‬כנדרש‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.0.32‬סדרות שקולות‪ :‬שתי סדרות נורמליות‪:‬‬
‫}‪G = H0 ⊲ H1 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e‬‬
‫)סדרה מאורך ‪ (r‬ו‪:‬‬
‫‪˜0 ⊲ H‬‬
‫‪˜1 ⊲ . . . ⊲ H‬‬
‫}‪˜ s = {e‬‬
‫‪G=H‬‬
‫תקראנה שקולות אם ‪ r = s‬וקיימת תמורה ‪ α‬של }‪ {0, . . . , r − 1‬כך ש‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫∼‬
‫‪= H˜ α(i)/H˜ α(i)+1‬‬
‫‪Hi/Hi+1‬‬
‫דוגמה ‪ Z12 : 7.0.33‬־ חבורת השעון‪ .‬ניתן לדבר על הסדרה הנורמלית‪:‬‬
‫}‪{e‬‬
‫⊲‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪{e‬‬
‫⊲‬
‫}‪|{z‬‬
‫אבל ניתן גם‪:‬‬
‫‪4Z12‬‬
‫⊲‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪6Z12‬‬
‫⊲‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪3Z12‬‬
‫⊲‬
‫}‪|{z‬‬
‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬
‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬
‫חבורת המנה‪Z3 :‬‬
‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬
‫‪2Z12‬‬
‫⊲‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪Z12‬‬
‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬
‫‪Z12‬‬
‫חבורת המנה‪Z3 :‬‬
‫אנו רואים כי זו לא אותה סדרה נורמלית‪ ,‬אבל הסדרות הנורמליות הנ"ל שקולות‪.‬‬
‫סדרה נורמלית נקראת סדרת הרכב אם אין לה עידון אמיתי ־ כלומר אם כל‪:‬‬
‫משפט ‪ 7.0.34‬משפט העידון של שרייר‬
‫לכל שתי סדרות נורמליות בחבורה ‪ G‬ישנם עידונים שקולים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהינה‪:‬‬
‫}‪H0 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e‬‬
‫‪˜0 ⊲ . . . ⊲ H‬‬
‫}‪˜ s = {e‬‬
‫‪H‬‬
‫= ‪G‬‬
‫= ‪G‬‬
‫שתי הסדרות הנורמליות הנתונות‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪˜ j Hi+1‬‬
‫‪Hi,j = Hi ∩ H‬‬
‫‪56‬‬
‫‪Hi/Hi+1‬‬
‫חבורה פשוטה‪.‬‬
‫פרק ‪ .7‬סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬
‫‬
‫‬
‫ראינו כבר כי זו תת חבורה‪ ,‬מכיוון ש ‪˜ j‬‬
‫‪ Hi ∩ H‬מנרמל את ‪ Hi+1‬מכיוון שכל איבר ב ‪ Hi‬מנרמל את ‪ Hi+1‬אז‬
‫בהכרח גם כל איבר בחיתוך‪) .‬כלומר ‪ γ ∈ Hi‬אז‪(γHi+1 γ −1 = Hi+1 :‬‬
‫כמו כן הוכחנו כי‪:‬‬
‫‪Hi = Hi,0 ⊲ . . . ⊲ Hi,j ⊲ Hi,j+1 ⊲ . . . ⊲ Hi,s = Hi+1‬‬
‫נסדר את ‪ Hi,j‬לקסיקוגרפית )קודם מסתכלים על האינדקס הראשון‪ ,‬אז לבא‪ ,‬וכן הלאה( קודם לפי ה‪ i‬ואח"כ לפי‬
‫ה‪ .j‬ונקבל סדרה נורמלית אשר הביטוי הנ"ל הוא קטע ממנה‪ .‬ונשים לב כי ‪ .Hi+1 = Hi+1,0‬ונבנה את ההמשך‬
‫באותו אופן כמו הנ"ל‪ .‬הסדרה אשר נקבל היא עידון של } ‪.{Hi‬‬
‫להפך‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪˜ j+1‬‬
‫‪˜ j ∩ Hi H‬‬
‫‪˜ j,i = H‬‬
‫‪H‬‬
‫תת חבורה‪ .‬ושוב‪:‬‬
‫‪˜j = H‬‬
‫‪˜ j,0 ⊲ . . . ⊲ H‬‬
‫‪˜ j,r = H‬‬
‫‪˜ j+1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪n o‬‬
‫שוב נסדר לקסיקוגרפית ונקבל סדרה נורמלית שהנה עידון של ‪˜ j‬‬
‫‪. H‬‬
‫נרצה להראות ששני העידונים הנ"ל שקולים‪ .‬שתי הסדרות הנורמליות הנ"ל מאורך ‪ .r · s‬ולפי הלמה של‬
‫זסנהאוז‪:‬‬
‫∼ ‪= (Hi ∩H˜ j )Hi+1/(Hi ∩H˜ j+1 )Hi+1‬‬
‫‪= (H˜ j ∩Hi )H˜ j+1/(H˜ j ∩Hi+1 )H˜ j+1 = H˜ j+1/H˜ j,i+1‬‬
‫‪Hi,j/Hi,j+1‬‬
‫ולכן הסדרות הללו שקולות‬
‫משפט ‪ 7.0.35‬משפט ז'ורדן הולדר‬
‫‪ .1‬לחבורה סופית יש סדרת הרכב‬
‫‪ .2‬לכל חבורה ־ כל שתי סדרות הרכב לא מגמגמות שלה שקולות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬באינדוקציה על |‪ .|G‬נניח שהראנו את זה לכל הסדרים הקטנים יותר‪ ,‬נרצה להראות את זה עבור ‪|G| /‬אם‬
‫‪ G‬פשוטה }‪ G ⊲ {e‬סדרת הרכב‪ .‬אחרת‪ ,‬יש ל ‪ G‬חבורה נורמלית‪:‬‬
‫‪G⊲N ⊲e‬‬
‫=‪6‬‬
‫=‪6‬‬
‫כך ש |‪ |G| > |B‬וגם‪ .|G/N | < |G| :‬על סמך הנחת האינדוקציה‪ ,‬נמצא סדרות הרכב‪:‬‬
‫}‪N = N0 ⊲ . . . ⊲ Nk = {e‬‬
‫ו‪:‬‬
‫}‪= G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gl = {e‬‬
‫‬
‫תהיה ‪ P : G → G/N‬ההטלה‪ ,‬נסמן‪ Gi = P −1 Gi :‬אזי ממשפט ההתאמה‪:‬‬
‫‪G/N‬‬
‫‪G0 = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gl = N‬‬
‫נצרף את ‪ 2‬הסדרות הנורמליות הנ"ל ונקבל סדרה מאורך ‪ .k + l‬ואת סדרת הרכבה ב‪ G‬כי המנות העוקבות‬
‫∼ ‪) Gi/Gi+1‬האיזומורפיזם ממשפט האיזומורפיזם השלישי( פשוטות‪.‬‬
‫‪ Ni/Ni+1‬או ‪= Gi/Gi+1‬‬
‫‪n o‬‬
‫‪ .2‬נובע ממשפט העידון של שרייר ־ בהנתן ‪ 2‬סדרות הרכב לא מגמגמות } ‪ {Hi‬ו־ ‪˜ i‬‬
‫‪ H‬בנינו להן עידוכנים‬
‫שקולים‪ .‬אבל אי אפשר לעדן סדרת הרכב )הדרך היחידה‪ ,‬היא להתחיל לגמגם(‪ .‬לכן העידונים הללו‬
‫מתקבלים מסדרות ההרכב ע"י חזרה על איברים )גמגום(‪ .‬לכן אם נמחק את האיברים החוזרים על עצמם‬
‫הסדרות עדיין יהיו שקולות‪ ,‬אבל בכך חזרנו לסדרות המקוריות ‪ .‬ולכן הסדרות המקוריות שקולות כנדרש‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬
‫הגדרה ‪ 8.0.36‬חבורה פתירה‪ G :‬פתירה אם יש ל‪ G‬סדרה נורמלית עם גורמים )‪ = (fators‬מנות עוקבות‬
‫אבליות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Gi/Gi+1‬‬
‫דוגמה ‪ An : 8.0.37‬עבור ‪ n ≥ 5‬לא פתירה‪ .‬כיוון שראינו כי ‪ An‬כנ"ל פשוטה‪ ,‬ולכן אין לה שום סדרה‬
‫נורמלית פרט ל‪ .An ⊲ {e} :‬אבל ‪ An‬לא אבלית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ : 8.0.38‬חבורת־‪ p) p‬ראשוני( הנה פתירה‪ .‬בנינו את הסדרה המרכזית העולה‬
‫}‪G = Zr ⊲ . . . ⊲ Z1 ⊲ Z0 = {e‬‬
‫‪ Zi‬הייתה אפילו נורמלית ב ‪ .(!)G‬אפשר להסתכל על ‪ G/Zi‬והמרכז שלה הוא‪:‬‬
‫‪Z (G/Zi ) = Zi+1/Zi‬‬
‫והוא לא מרכז טריוויאלי‪ .‬במקרה זה‬
‫עצמם(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Zi+1/Zi‬‬
‫בוודאי אבלית )הם מתחלפים עם כל איברי ‪ G/Zi‬לכן בוודאי עם‬
‫דוגמה ‪ : 8.0.39‬חבורת ‪) pq‬כאשר ‪ p < q‬ראשוניים(‪ .‬במקרה הזה‪ ,‬תהיה ‪ Q‬חבורת ‪q‬־סילו‪ .‬ראינו‬
‫שמספר צמודי ‪) Q‬שסימנו אותו ב ‪ rq‬־ מספר תת חבורות ‪ q‬סילו( מצד אחד צריך להתקיים ‪ rq | p‬ומצד שני‪:‬‬
‫‪) rq = 1 mod q‬משפט סילו ה‪ ( 3‬אבל ‪ p < q‬ולכן ‪ rq = 1‬כלומר‪ .Q ⊳ G :‬לכן יש לנו סדרה באורך ‪:2‬‬
‫}‪G |{z‬‬
‫}‪⊲ Q |{z‬‬
‫}‪⊲ {e‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫המנות העוקבות ‪ G/Q, Q‬הן ציקליות מסדר ‪ p‬ו‪ q‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ 8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬
‫הגדרה ‪ 8.1.1‬קומוטטור‪ :‬תהיה ‪ G‬חבורה ויהיו ‪ . x, y ∈ G‬הקומוטטור שלהם הנו‪.[x, y] = x−1 y −1 xy :‬‬
‫הערה ‪ 8.1.2‬אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬ניתן לשנות את הסדר ולקבל כי ‪.[x, y] = 1‬‬
‫הערה ‪8.1.3‬‬
‫‪xy = yx ⇐⇒ [x, y] = e .1‬‬
‫כיוון ש‪ x−1 y −1 xy = e :‬אם"ם ‪ y −1 xy = x‬אם"ם ‪.xy = yx‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .γ [x, y] γ −1 = γxγ −1 , γyγ −1 .2‬אפילו יותר כללית‪ ,‬לכל אוטומורפיזם ‪ ϕ‬של ‪ G‬מתקיים‪ϕ ([x, y]) = :‬‬
‫])‪.[ϕ (x) , ϕ (y‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪[x, y] = x−1 y −1 xy‬‬
‫‪= y −1 x−1 yx = [y, x] .3‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ N ⊳ G‬ו ‪ y ∈ G ,x ∈ N‬אזי‪[x, y] ∈ N :‬‬
‫כיוון ש‪ x−1 y −1 xy = [x, y] :‬מהנורמליות‪ .‬ולכן הקומוטטור ב ‪ N‬כנדרש‪.‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈N‬‬
‫‪58‬‬
‫פרק ‪ .8‬חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬
‫‪ .8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬
‫הערה ‪ 8.1.4‬במטריצות יש שתי הגדרות שונות לקומוטטורים‪ .‬את ההגדרה הנ"ל‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪A−1 B −1 AB = I ⇐⇒ AB = BA‬‬
‫והגדרה שניה‪:‬‬
‫‪AB − BA = 0 ⇐⇒ AB = BA‬‬
‫גם זה נקרא קומוטטור לפעמים‪ .‬אבל לא בתחום הדיון שלנו כרגע‪ .‬בגדול זה נובע מכך שהמטריצות הן לא‬
‫רק חבורה‪ ,‬אלא הן חוג‪ ,‬נגיע לזה בקרוב‪.‬‬
‫אזהרה מכפלת קומוטטורים אינה בהכרח קומוטטור‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.1.5‬חבורת הקומוטטורים\חבורת הנגזרת‪ :‬חבורת הקומוטטורים או חבורת הנגזרת ‪ G′‬של ‪ G‬הנה‬
‫החבורה הנוצרת ע"י כל ]‪ [x, y‬כאשר ‪ .x, y ∈ G‬כלומר‪:‬‬
‫‪G′ = h[x, y] | x, y ∈ Gi‬‬
‫למה ‪8.1.6‬‬
‫‪ .1‬איברי ‪ G′‬הנם ] ‪[x1 , y1 ] · . . . · [xk , yk‬‬
‫‪G′ ⊳ G .2‬‬
‫‪ G/G′ .3‬אבלית‬
‫הערה ‪ 8.1.7‬בהחלט ייתכן כי ‪ .G′ = G‬למשל מ‪ 2‬ו‪ 3‬נובע ש‪ A′n = An :‬ל‪ .5 ≤ n :‬מכיוון של ‪ An‬כנ"ל אין‬
‫תתי חבורות נורמליות לא טריוויאליות‪ ,‬ומ‪ 3‬נובע כי היא חייבת להיות אבלית‪ ,‬לכן בהכרח ‪ A′n = An‬אחרת‬
‫‪) An/{e} = An‬לא אבלית(‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬אברי ‪ G′‬מהגדרתם הם מכפלות של ]‪ [x, y‬ושל ]‪= [y, x‬‬
‫‪−1‬‬
‫]‪.[x, y‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ γ ∈ G‬נתבונן ב‪:‬‬
‫‬
‫‪γxi γ −1 , γyi γ −1 ∈ G′‬‬
‫‪k‬‬
‫‪Y‬‬
‫‬
‫= ‪γ [xi , yi ] γ −1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪Y‬‬
‫!‬
‫= ‪[xi , yi ] γ −1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ x, y ∈ G‬נתבונן ב‪ .x, y ∈ G/G′ :‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪[x, y] = x−1 y −1 xy = x−1 y −1 xy = e ⇒ xy = yx‬‬
‫למה ‪8.1.8‬‬
‫‪′‬‬
‫אם ‪ N ⊳ G‬ו ‪ G/N‬אבלית אזי ‪G ≤ N‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן עבור ‪ x, y ∈ G‬את ‪ x, y ∈ G/N‬המחלקות שלהם אזי‪:‬‬
‫‪e = [x, y] = [x, y] ⇒ [x, y] ∈ N‬‬
‫‪28/12/2011‬‬
‫אבל ‪ G′‬נוצרת על ידי ]‪ [x, y‬ולכן ‪.G′ ≤ N‬‬
‫‪59‬‬
‫‪k‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪γ‬‬
‫פרק ‪ .8‬חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬
‫‪ .8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬
‫נגדיר באינדוקציה‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫)‪G(n) = G(n−1‬‬
‫כאשר‪ G(1) = G′ :‬כמובן‪.‬‬
‫איברים של ‪ G′′‬הם מכפלות של קומוטטורים של מכפלות של קומוטטורים‪ .‬דוגמה לאיבר‪:‬‬
‫‪x−1 y −1 xyu−1 v −1 uvy −1 x−1 yxv −1 u−1 vu‬‬
‫‪ G‬היא אבלית )מהלמות הנ"ל(‪.‬‬
‫ברור כי )‪ G(n) ⊳ G(n−1‬ו‪/G(n) :‬‬
‫אם יש ‪ r‬כך ש }‪ ,G(r) = {e‬קבלנו סדרה נורמלית ב‪ G‬שהמנות העוקבות שלה אבליות ⇐ ‪ G‬פתירה!‬
‫)‪(n−1‬‬
‫הגדרה ‪ 8.1.9‬הסדרה הנגזרת של ‪ :G‬הסדרה‪:‬‬
‫‪. . . ⊳ G(n) ⊳ . . . ⊳ G′′ ⊳ G′ ⊳ G‬‬
‫נקראת הסדרה הנגזרת של ‪.G‬‬
‫‪P‬‬
‫הערה ‪ 8.1.10‬בהחלט ייתכן ש ‪G = G′‬‬
‫דוגמה ‪ An : 8.1.11‬עבור ‪ n ≥ 5‬אזי ‪ A′n‬תת־חבורה נורמלית= ‪ An‬או }‪) {e‬כיוון ש ‪ An‬פשוטה(‪ .‬אבל‬
‫‪ An/A′n‬אבלית‪ ,‬ו ‪ An‬לא אבלית ⇐ ‪. A′n = An‬‬
‫משפט ‪8.1.12‬‬
‫‪ G‬פתירה אם"ם הסדרה הנגזרת מסתיימת ב}‪{e‬‬
‫הוכחה‪ ⇒ :‬הראינו‪.‬‬
‫⇐ נניח שיש סדרה נורמלית‪:‬‬
‫}‪G = G0 ⊲ G1 ⊲ G2 ⊲ . . . ⊲ Gr = {e‬‬
‫כאשר‬
‫‪Gi/Gi+1‬‬
‫אבלית‪ .‬נוכיח באינדוקציה על ‪ i‬ש‪:‬‬
‫‪G(i) ≤ Gi‬‬
‫וזה כמובן יגיד ש }‪ .G(r) = {e‬עבור ‪ i = 0‬נתון‪:‬‬
‫‪G(i) = G0 = G‬‬
‫באינדוקציה‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫‪= G(i−1) ≤ G′i−1‬‬
‫)‪G(i‬‬
‫מהנחת האינדוקציה והעבודה שאם ‪ .A′ ≤ B ′ ⇐A ≤ B‬אבל‬
‫)‪G′i−1 ≤ G(i‬‬
‫כי‬
‫‪Gi−1/Gi‬‬
‫אבלית‪ .‬ולכן‪ .G(i) ≤ Gi :‬כנדרש‪.‬‬
‫טענה ‪8.1.13‬‬
‫‪G(n) ⊳ G‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה‪.‬‬
‫בסיס‪ :‬אנו יודעים כי ‪.G′ ⊳ G‬‬
‫צעד‪ :‬אם ‪ G(n−1) ⊳ G‬אזי לכל ‪ γ ∈ G‬ולכל )‪ x, y ∈ G(n−1‬ראינו כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪γ [x, y] γ −1 = γxγ −1 , γyγ −1‬‬
‫אבל )‪ γxγ −1 , γyγ −1 ∈ G(n−1‬מהנחת האינדוקציה‪ .‬ולכן התוצאה ב )‪ G(n‬זה מראה ש ‪.G(n) ⊳ G‬‬
‫‪60‬‬
‫פרק ‪ .8‬חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬
‫‪ .8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬
‫טענה ‪8.1.14‬‬
‫תהיה ‪ N ⊳ G‬אזי ‪ G‬פתירה אם"ם גם ‪ N‬וגם ‪ G/N‬פתירות‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ N‬ו ‪ G/N‬פתירות אז יש סדרות נורמליות‪:‬‬
‫}‪N0 ⊲ . . . ⊲ Ns = {e‬‬
‫=‬
‫}‪G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = {e‬‬
‫‬
‫)כאשר ‪ (G = G/N‬כאשר ‪ Ni/Ni+1‬ו‪Gi/Gi+1 :‬אבליות‪ .‬נגדיר‪Gi :‬‬
‫הקננוית‪ .‬קיבלנו‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫= ‪G‬‬
‫‪ Gi = p−1‬כאשר ‪ p : G → G‬ההטלה‬
‫‪G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = N‬‬
‫∼‬
‫ממשפט האיזומורפיזם השלישי‪= Gi/Gi+1 :‬‬
‫‪Gi/Gi+1‬‬
‫ולכן היא אבלית‪ .‬ועכשיו‪:‬‬
‫}‪G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = N ⊲ N1 ⊲ . . . ⊲ Ns = {e‬‬
‫ולכן ‪ G‬פתירה‪.‬‬
‫הכיוון ההפוך‪ ,‬נניח ‪ G‬פתירה ו‪.N ⊳ G :‬‬
‫}‪G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gr = {e‬‬
‫כאשר‬
‫‪Gi/Gi+1‬‬
‫אבליות‪ .‬נבצע חיתוכים ונקבל‪:‬‬
‫}‪N = N0 = N ∩ G0 ⊲ G1 = N ∩ G1 ⊲ . . . ⊲ {e‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪≤ Gi/Gi+1‬‬
‫‪Gi/Gi+1‬‬
‫נסתכל בהומו'‬
‫אבלית‪.‬‬
‫לגבי ‪ G‬נשתמש ב‪:‬‬
‫‪N ∩Gi/N ∩Gi+1‬‬
‫‪p‬‬
‫→‪) N ∩ Gi −‬הקאנוני(‪ ,‬גרעינו‪ .N ∩ Gi+1 :‬ומכיוון שהיא תת חבורה‬
‫‪≥N‬‬
‫‪Gi N‬‬
‫}‬
‫‪| {z‬‬
‫≥‪G‬‬
‫חבורות כי ‪N‬נורמלית‬
‫‪Gi N ⊲ Gi+1 N‬‬
‫ממשפט האיזומורפיזם השני‪:‬‬
‫∼ ‪= Gi N/Gi+1 N‬‬
‫‪= Gi/Gi+1 N ∩Gi‬‬
‫‪Gi/Gi+1‬‬
‫ומהמשפט האיזומורפיזם השלישי נקבל‪:‬‬
‫∼‬
‫) ‪= (Gi/Gi+1 )/((Gi+1 N ∩Gi )/Gi+1‬‬
‫אבל היא אבלית‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪02/01/2012‬‬
‫‪Gi N‬‬
‫‪N‬‬
‫= ‪ Gi‬תת חבורה‪ ,‬וחבורת מנה של אבלית אבליות‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪N ∩Gi/N ∩Gi+1‬‬
‫פרק ‪9‬‬
‫חבורות אבליות‬
‫נסמן עבור ‪ A‬חבורה אבלית‪ + ,‬עבור הפעולה‪ 0 ,‬עבור היחידה‪ n · g .‬במקום ‪ .g n‬אם ‪ B,A‬שתי חבורות אבליות‬
‫נהוג לסמן את ‪ A × S‬גם ‪.A ⊕ B‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪. Q∗ ,R ,Q , Zn ,Z : 9.0.15‬‬
‫הערה ‪ 9.0.16‬אם ‪ A‬אבלית ו‪ B ≤ A :‬אזי גם ‪ B‬אבלית ולכן‪ B ⊳ A :‬ואפשר לדבר על ‪.A/B‬‬
‫הגדרה ‪ 9.0.17‬איבר פיתול‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬איבר ‪ g ∈ G‬נקרא איבר פיתול )‪ (torsion‬אם הוא איבר מסדר‬
‫סופי‪.‬‬
‫בחבורה כללית האיברים מסדר סופי אינם )בדרך כלל( תת־חבורה‪ .‬הסיבה לכך היא כמובן ש‪.hn = e , g m = e :‬‬
‫‪mn‬‬
‫)‪ , (gh‬אבל כשהם לא מתחלפים זה לא קורה‪.‬‬
‫אם ‪) gh = hg‬כלומר מתחלפים( אז‪= g mn hmn = e :‬‬
‫אבל בחבורה אבלית כל שני איברים מתחלפים‪ ,‬ולכן אוסף הפיתוליים מהווה תת־חבורה‪.‬‬
‫}‪Ator = {a ∈ A | ∃m ∈ N m · a = 0‬‬
‫תת חבורה הפיתול של ‪.A‬‬
‫למה ‪9.0.18‬‬
‫‪ Ator‬הינה תת־חבורה של ‪ A‬וב ‪ A/Ator‬אין פיתול פרט ל ‪.0‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ a ∈ A/Ator‬מסדר סופי‪) m · a = 0 ,‬כאשר ‪ .(m ∈ N‬אזי ‪ ,m · a ∈ Ator‬כלומר יש ‪ n‬טבעי כך ש‬
‫‪ n · m · A = 0‬אבל אז‪.a = 0 ,a ∈ Ator :‬‬
‫הגדרה ‪ 9.0.19‬נוצרת סופית‪ :‬חבורה ‪ G‬נקראת נוצרת סופית אם יש ‪ g1 , . . . , gr ∈ G‬כך ש‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪G = hg1 , . . . , gr i‬‬
‫דוגמה ‪ G : 9.0.20‬סופית‪.‬‬
‫‪.Z=G‬‬
‫אם ‪ G1 , G2‬נוצרות סופית גם ‪G1 × G2‬‬
‫‪ 9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫משפט ‪ 9.1.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫תהיה ‪ A‬חבורה אבלית נוצרת סופית אזי ‪ A‬מכפלה )או סכום ישר( של מספר סופי של חבורות ציקליות‪.‬‬
‫∼‪A‬‬
‫יתרה מזאת‪ ,‬ישנם ‪ r ≥ 0‬ומספרים טבעיים ‪ (0 ≤ k) m1 , . . . , mk‬כך ש ‪ mi | mi+1‬ו‪= Zr × Zm1 × :‬‬
‫‪.. . . × Zmk‬‬
‫האינווריאנטות ‪ r, k, m1 , . . . , mk‬נקבעות באופן חד־ערכי‪ r .‬נקרא הדרגה של ‪ A‬ומסומן )‪r = rank (A‬‬
‫ואילו ‪ m1 , . . . , mk‬נקראים המחלקים האלמנטריים של ‪.A‬‬
‫‪62‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫∼ ‪.Zm × Zn‬‬
‫דוגמה ‪ : 9.1.2‬ראינו בתרגיל )ובשיעור מידי פעם( שאם ‪ gcd (m, n) = 1‬אזי‪= Zmn :‬‬
‫יהיו ‪ a = 1 mod m‬ו‪.b = 1 mod n :‬‬
‫‪ (a, b) ∈ Zm × Zn‬הינו איבר מסדר ‪ m · n‬ולכן יוצר‪.‬‬
‫‪ni‬‬
‫‪d‬‬
‫דוגמה ‪ Q : 9.1.3‬אינה נוצרת סופית‪ .‬אם ‪ .Q = hq1 , . . . , qr i‬אזי אם ‪ d‬מכנה משותף של ‪ q1 , . . . , qr‬אזי‪:‬‬
‫= ‪ qi‬וכמובן כל איבר של ‪ hq1 , . . . , qr i‬יש לו מכנה ‪ .d‬סתירה‪.‬‬
‫‪ 9.1.1‬בסיס‬
‫‪P‬חבורה אבלית‪ .‬קבוצה‪ A = {ai }i∈I :‬ב‪ A‬נקראת בסיס אם לכל ‪ α ∈ A‬יש הצגה‬
‫הגדרה ‪ 9.1.4‬בסיס‪ :‬תהי ‪A‬‬
‫יחידה כסכום סופי‪mi αi :‬‬
‫= ‪ ,mi ∈ Z) α‬פרט למספר סופי של אינדקסים‪ ,‬כולם ‪(0‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ≤ i ≤ r ei = ‬בסיס‬
‫דוגמה ‪ : 9.1.5‬ב ‪1 ← (i) ,Z‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪0‬‬
‫דוגמה ‪ : 9.1.6‬ב‪ A‬סופית אין בסיס‪ .‬הצגה לא יחידה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ = Q∗+ : 9.1.7‬החבורה הכפלית של המספרים הרציונליים החיוביים‪.‬‬
‫כמובן שהמספרים הראשוניים הם בסיס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪α1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪α2‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪7‬‬
‫=‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α4‬‬
‫)משפט הפריקות החד־ערכית(‬
‫‪mk‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Qx+ ∋ α = αm‬‬
‫‪1 · α2 · . . . · αk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mk‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1 = αm‬‬
‫נבחין כי זה לא נכון ב ∗‪ Q‬כי )‪,1 = (−1‬‬
‫‪1 · . . . · αk‬‬
‫‬
‫תרגיל‪ :‬אם ל‪ A‬יש בסיס‪ A ,‬חסרת־פיתול‪.‬‬
‫וגם שההפך לא נכון )דוגמה‪ :‬ל‪ Q‬אין בסיס‪ ,‬למרות שהיא חסרת פיתול(‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1,j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , Zr‬מתי ‪ αj =  ...  1 ≤ j ≤ s‬מהוים בסיס?‬
‫‬
‫
‬
‫‪αr,j‬‬
‫בוודאי ‪ α1 , . . . , αs‬בת"ל מעל ‪ Z‬ולכן גם מעל ‪.Q‬‬
‫‪ ⇐⇒ 0 = m1 α1 + . . . + mαs‬כל ‪) mi = 0‬מיחידות הצגת ה‪(0‬‬
‫במכנה המשותף ‪ .s ≤ r‬בדיוק באותו אופן ‪α1 , . . . , αs‬‬
‫וזה נשאר נכון גם אם ‪ mi ∈ Q‬כי אפשר‬
‫‪‬‬
‫להכפיל ‪‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪ ‬‬
‫יוצרים של ‪ Qr‬כמרחב וקטורי מעל ‪ Q‬כי אם ‪ ,α =  ...  ∈ Qr‬נכפיל במכנה משותף‪:‬‬
‫‪qr‬‬
‫‪m1 α1 + . . . + ms αs = d · α ∈ Zr‬‬
‫‪63‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪α1 + . . . +‬‬
‫‪αs = α‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫לכן ‪) r ≤ s‬קבוצה יוצרת(‪ ,‬כלומר ‪ s = r‬ו) ‪ (α1 , . . . , αr‬גם בסיס ל ‪.Qr‬‬
‫אבן זה תנאי הכרחי אך לא מספיק‪.‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ α1‬ו‪:‬‬
‫‪ α2‬הם בסיס ל ‪ ,Q‬הם אכן בת"ל‪ .‬אבל בכל צירוף לינארי שלהם עם‬
‫דוגמה ‪: 9.1.8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫מקדמים מ‪ ,Z‬הקואורדינטה השניה שלהם זוגית ולכן ‪.Zα1 + Zα2 6= Z2‬‬
‫‪P‬‬
‫משפט ‪9.1.9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1,j‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪ r‬וקטורים ‪ 1 ≤ j ≤ r ,αi =  . ‬מהוים בסיס ל ‪ Z‬אם ורק אם‪.det (αi,j ) = ±1 :‬‬
‫‪αr,j‬‬
‫‪r‬‬
‫תזכורת ‪ 9.1.10‬בסיס ל ‪ Qr‬אם"ם הדטרמיננטה הנ"ל =‪06‬‬
‫הוכחה‪αi,j ei :‬‬
‫‪r‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪ αj‬אם ‪ {αj }j=1‬בסיס ל ‪ Zr‬אז גם‪βj,k αj :‬‬
‫‪αi,j βj,k ei‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j,k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪P‬‬
‫‪j=1‬‬
‫= ‪ ek‬לכל ‪.(βj,k ∈ Z) k‬‬
‫= ‪(αi,j ) (βj,k ) = I ⇐ ek‬‬
‫‪ det (αi,j ) = det (βj,k ) = 1‬אבל אלו מספרים שלמים ולכן יש רק שתי אפשרויות‪ 1·1 = 1 :‬או = )‪(−1) (−1‬‬
‫‪.1‬‬
‫להפך‪ :‬אם ‪ ,det (αi,j ) = ±1‬נסמן‪ .(βj,k ) = (αi,j )−1 :‬מטריצה הפוכה מתקבלת ע"י לקיחת המטריצה‬
‫המצורפת )‪(adjoint‬‬
‫הנ"ל גם כן עם מקדמים שלמים‪ ,‬והדטרמיננטה‬
‫המצורפת‬
‫המטריצה‬
‫אבל‬
‫‪.det‬‬
‫‪((α‬‬
‫))‬
‫ב‬
‫וחלוקה‬
‫)) ‪adj ((αi,j‬‬
‫‪i,j‬‬
‫‪P‬‬
‫על פי ההנחה היא ‪ ±1‬ולכן גם ‪ .βj,k ∈ Z‬מהנוסחה ‪αi,j βj,k ei‬‬
‫= ‪ ek‬נובע עכשיו שכל ‪ek ∈ hα1 , . . . , αr i‬‬
‫‪j,k‬‬
‫ולכן כמובן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Z = Zα1 + . . . + Zαr = hα1 , . . . , αr i‬‬
‫דוגמה ‪ : 9.1.11‬אם נתבונן בדוגמה הקודמת‪ ,‬נבחין‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪4‬‬
‫ולכן ‪ α1 , α2‬לא בסיס של ‪ Z2‬אבל‪:‬‬
‫כי‪:‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫= ‪α1‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫= ‪α2‬‬
‫‪3‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫כלומר‪ ,‬כן בסיס‪ .‬נבחין כי גם מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪1 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2 3 = −1‬‬
‫‪−3α1 + 2α2‬‬
‫‪2α1 − α2‬‬
‫‪64‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫ ‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫הגדרה ‪ 9.1.12‬חבורה אבלית חופשית‪ :‬חבורה אבלית שיש לה בסיס נקראת חבורה אבלית חופשית‪.‬‬
‫ואם הבסיס הוא בן ‪ r‬איברים )ואז כמובן כל בסיס הוא בן ‪ r‬איברים( ‪ A‬נקראת אבלית חופשית מדרגה ‪.r‬‬
‫‪rank A = r‬‬
‫אזי אם ‪ α1 , . . . , αr‬בסיס של ‪ ,A‬ההעתקה ‪ ϕ : Zr → A‬המוגדרת באופן הבא‪mi αi :‬‬
‫היא איזו'‪.‬‬
‫‪ ϕ‬על ־ כי ‪ α1 , . . . , αr‬יוצרים של ‪A‬‬
‫‪ ϕ‬חח"ע ־ בגלל יחידות ההצגה ) ‪ αi‬בת"ל(‬
‫‪r‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫→‪(m1 , . . . , mr ) 7‬‬
‫משפט ‪ 9.1.13‬המשפט על מחלקים אלמנטריים‬
‫תהיה ‪ A‬חבורה אבלית חופשית מדרגה ‪ r‬ותהי ‪ B ≤ A‬אזי ניתן למצוא‪:‬‬
‫• בסיס ‪ α1 , . . . , αr‬של ‪.A‬‬
‫• מספר טבעי ‪0 ≤ k‬‬
‫• מספרים טבעיים ‪ 1 ≤ m1 , . . . , mk‬כך ש ‪mi | mi+1‬‬
‫כך ש ‪B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬‬
‫הערה ‪ 9.1.14‬הבסיס לא יחיד‪ ,‬אבל האינוריאנטות ‪ k, m1 , . . . , mk‬יחידות‪) .‬תלויות רק ב ‪ A‬וב־‪ , B‬לא בבסיס(‬
‫בקואורדינטות‪ ,‬אם נזהה את ‪ A‬עם ‪ Zr‬כמו קודם‪ ,‬דהיינו‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪ ..  ϕ X‬‬
‫‪ni αi‬‬
‫→‪ .  7‬‬
‫∼‬
‫=‬
‫‪nr‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫})‪B = {(l1 m1 , l2 m2 , . . . , lk mk , 0, . . . , 0‬‬
‫אזי‪.li ∈ Z :‬‬
‫מסקנה ‪ 9.1.15‬ממשפט המבנה‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ A‬חבורה אבלית נוצרת סופית‪ .‬יהיה ‪ n‬מספר היוצרים המינימלי של ‪A‬‬
‫יהיו ‪ γ1′ , . . . , γn′‬יוצרים של ‪.A‬‬
‫נגדיר‪ ϕ : Zn ։ A :‬ע"י‪:‬‬
‫‪mi γi′‬‬
‫‪γi′‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪ϕ (ei‬‬
‫= ) ‪ϕ (m1 , . . . , mn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .Z‬אזי ישנו בסיס אחר‪ α1 , . . . , αn :‬של‬
‫‪n‬‬
‫יהיה ‪ B = ker ϕ‬וניישם את המשפט ל ‪≥ B‬‬
‫‪ m1 , . . . , mk‬כך ש ‪.B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬‬
‫נסמן ) ‪ ,γi = ϕ (αi‬אזי כמובן ) ‪A = hγ1 , . . . , γn i = ϕ (Zn‬‬
‫מתי ‪ l1 γ1 +. . .+l2 γn = 0‬ב‪ ?A‬אם"ם ‪ l1 α1 +. . .+ln αn ∈ B = ker ϕ‬אם"ם ‪m1 | l1 , m2 | l2 , . . . , mk | lk‬‬
‫וגם‪lk+1 = . . . = ln = 0 :‬‬
‫∼ ‪ Z‬אם‬
‫ולכן‪ l1 γ1 + . . . + ln γn = 0 ,‬אם"ם ‪ .m1 | l1 , . . . , mk | lk‬ולכן ‪= hγi i‬‬
‫∼ ‪= hγi i ,1 ≤ i ≤ k Zmi‬‬
‫‪ k < i ≤ n‬ויתר מזאת‪:‬‬
‫‪ Z‬ומספרים‬
‫∼‪A‬‬
‫‪= hγ1 i × hγ2 i × . . . × hγn i‬‬
‫‪04/01/2012‬‬
‫)‪ k‬חבורות ציקליות סופיות‪ r = n − k .‬עותקים של ‪.(Z‬‬
‫‬
‫תרגיל‪ :‬חלוקה עם שארית‪:‬‬
‫יהי ‪ ,m > 0‬ויהי ‪ ,n ∈ Z‬אזי יש ‪ q ∈ Z‬ו‪ 0 ≤ r < m :‬כך ש‪.n = qm + r :‬‬
‫‬
‫נחזור למשפט על מחלקים אלמנטריים‬
‫‪65‬‬
‫‬
‫
‬
‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫משפט ‪ 9.1.16‬המשפט על מחלקים אלמנטריים‬
‫תהיה ‪ A‬חבורה אבלית חופשית מדרגה ‪ n‬ותהי ‪ B ≤ A‬אזי ניתן למצוא‪:‬‬
‫• בסיס ‪ α1 , . . . , αn‬של ‪.A‬‬
‫• מספר טבעי ‪0 ≤ k ≤ n‬‬
‫• מספרים טבעיים ‪ m1 , . . . , mk‬כך ש ‪mi | mi+1‬‬
‫כך ש ‪) B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬כלומר בסיס ל‪(B‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫∼ ‪ A‬ואם ‪ 0 = B‬אי מה להוכיח‪.‬‬
‫‪ n = 1‬אז‪= Z :‬‬
‫אם ‪ 0 6= B‬נבחר ‪ m > 0‬המינימלי ב‪ B‬ואז‪.B = m · Z :‬‬
‫נניח שהוכחנו עבור ‪ ,n − 1‬נוכיח עבור ‪.n‬‬
‫לכל בסיס אפשרי‪ A = {α′1 , . . . , α′n } :‬של ‪ A‬נסתכל בכל הוקטורים‪.B ∋ β = l1 α′1 + . . . + ln α′n :‬‬
‫יהי )‪ m (A‬המספר החיובי המינימלי המופיע כמקדם ‪ li‬כל שהוא של ‪ β ∈ B‬כל־שהוא‪.‬‬
‫יהי ‪ m = m1‬ה )‪ m (A‬המינימלי כש ‪ A‬עובר על כל בסיסי ‪.A‬‬
‫יהי ‪ α′1 , . . . , α′n‬בסיס שעבורו ‪ m (A) = m‬ויהי ‪) B ∋ β1 = mα′1 + m2 α′2 + . . .‬בה"כ‪ m ,‬הנו מקדם ‪(α′1‬‬
‫למה ‪9.1.17‬‬
‫‪ m | m′i‬לכל ‪ 2 ≤ i ≤ n‬ואפשר לבחור בסיס‬
‫‪α1 , α′2 , . . . , α′n‬‬
‫כך ש ‪β = mα1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחלק עם שארית את כל ה ‪) m′i = qi m + ri ,m′i‬כאשר ‪ (0 ≤ ri < m‬ונקח‪:‬‬
‫‪α1 = α′1 + q2 α′2 + . . . + qn α′n‬‬
‫ראשית ‪ α1 , . . . α′2 , . . . , α′n‬גם כן בסיס ל ‪) A‬מכיוון שמצד אחד ‪ α1 , α′2 , . . . , α′n‬הם צירופים לינארית של‬
‫‪ ,α′1 , . . . , α′n‬וגם אנו יכולים לקבל את הבסיס הישן כצירופים לינארים של הבסיס החדש‪ ,‬וגם להפך‪ ,‬ולכן זה‬
‫בסיס‪ .‬בעיקרון מטריצת המעבר היא ב )‪.(GLn (Z‬‬
‫‪ .β1 = mα1 + r2 α′2 + . . . + rn α′n‬ממינימליות ‪ m‬נובע‪ .ri = 0 :‬ולכן‪ β1 = mα1 :‬כנדרש‬
‫נגדיר ‪ A = hα′2 , . . . , α′n i = Zα′2 + . . . + Zα′n‬ונגדיר ‪B ′ = A′ ∩ B‬‬
‫למה ‪9.1.18‬‬
‫‪B = hβi i ⊕ B ′‬‬
‫הוכחה‪ :‬כל איבר של ‪ B‬ניתן להצגה יחידה כצרוף לינארי של ‪ β1‬עם איבר מ ‪ B ′‬ולהפך‪.‬‬
‫ברור שאגך ימין מוכל ב‪ .B‬גם ברור ש‪ 0 = hβi ∩ B ′ i :‬כי‪ α1 , α′2 , . . . , α′n :‬בסיס של ‪,β1 = mα1 ,A‬‬
‫‪ .B ′ ⊂ hα′2 , . . . , α′n i‬לא ברור שכל ‪ B‬מתקבל‪.‬‬
‫יהי ‪ .β ∈ B‬נכתוב‪ . β = l1 α1 + l2 α′2 + . . . + ln α′n :‬נרצה לראות כי ‪ .m | l1‬נחלק עם שארית‪:‬‬
‫‪ l1 = mqq + r‬כאשר ‪ .0 ≤ r < m‬נסתבונן ב‪:‬‬
‫‪B ∋ β − qβ1 = rα1 + l2 α′2 + . . .‬‬
‫ולכן ‪:r = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪l1‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪β = β1 + β − β1‬‬
‫‪m‬‬
‫| } ‪|m{z‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪∈hβ1 i‬‬
‫‪B∩A′ =B ′‬‬
‫מהנחת האינדוקיה יש ל ‪ = A′‬חופשית מדרגה ‪ ,n − 1‬בסיס ‪ α2 , . . . , αn‬וישנו ‪ k‬וישנם ‪ m2 , . . . , mk‬כך ש‪:‬‬
‫‪ B ′ = hm2 α2 , . . . , mk αk i‬ו‪. m2 | m3 | . . . | mk :‬‬
‫‪+‬‬
‫‪β1‬‬
‫{ |} ‪z‬‬
‫‪m1 α1 , m2 α2 , . . . , mk αk‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪=m‬‬
‫*‬
‫=‪B‬‬
‫נשאר להוכיח ש ‪ ,m1 | m2‬זה יהיה ע"י שימוש נוסף בחלוקה עם שארית‪ m2 = qm + r .‬כאשר ‪.0 ≤ r < m‬‬
‫נסתכל על ‪ .m1 (α1 + qα2 ) + rα2 = m1 α1 + m2 α2 ∈ B‬מצד שני‪ α1 + qα2 , α2 , . . . , αb :‬שוב בסיס ולכן‬
‫‪.r = 0‬‬
‫וזה מוכיח את המשפט‬
‫‪66‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫‪09/01/2012‬‬
‫‪A/B‬‬
‫?=‬
‫נסתכל בהומו'‪:‬‬
‫‪ϕ : A → Zm1 × Zm2 × . . . × Zmk × Zn−k‬‬
‫) ‪ϕ (a1 α1 + . . . + an αn ) = (a1 mod m1 , . . . , ak mod mk , ak+1 , . . . , an‬‬
‫כאשר ‪ ϕ .ai ∈ Z‬הנו על‪.ker ϕ = B ,‬‬
‫ממשפט ההומומורפיזם ה‪ I‬נקבל‪:‬‬
‫‪n−k‬‬
‫∼‬
‫‪= Zm1 × . . . × Zmk × Z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫אבלית חופשית‬
‫חבורה סופית‬
‫תהיה ‪ G‬חבורה אבלית נוצרת סופית כל שהיא‪.‬‬
‫יהיה ‪ =n‬המספר המינימלי של יוצרים שלה‪.‬‬
‫‪ γ1 , . . . , γn‬יוצרים של ‪ .G‬ונגדיר ‪A = Zn‬‬
‫‪a i γi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪ϕ (a1 , . . . , an‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ ϕ‬על‪ ,‬וגרעינה ‪.B = ker ϕ ≤ A‬‬
‫∼ ‪G = Im ϕ‬‬
‫‪= A/ker ϕ = A/B‬‬
‫מסקנה ‪9.1.19‬‬
‫∼‬
‫‪ G = Zm1 × . . . × Zmk × Zr‬כאשר ‪r = n − k‬‬
‫ומכך קיבלנו את משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫‪A/B‬‬
‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 9.1.20‬מהו המבנה של‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪?Z /Z‬‬
‫‪4+Z14‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫הפעולות האלמנטריות בעמודות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪4 14‬‬
‫‪6 6‬‬
‫• החלפת סדר עמודות‬
‫• הוספת כפולה שלמה של עמודה אחרת לעמודה נתונה‬
‫• הכפלת עמודה ב ‪±1‬‬
‫פעולות אלמנטריות בעמודות לא תשנה את ‪ .B‬פעולות אמנטריות בשורות = שינוי בסיס מעל ‪ei 7→ ei + λej .Z‬‬
‫ומשאירים את כל ‪ (i 6= i) ei′‬במקומם‪.‬‬
‫‪*2  2 +‬‬
‫‪B = 4 , 10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫נוריד ‪ 5‬פעמים שורה ראשונה מהשורה השניה )אנו משנים בסיס למעשה(‬
‫‪* 2  2+‬‬
‫‪−6 , 0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫נחסיר מהעמודה הראשונה את השניה‪:‬‬
‫‪*‬‬
‫נכפול את השורה השניה ב‪:−1‬‬
‫‪  +‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−6 , 0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪*0 2+‬‬
‫‪6 , 0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נפחית את השורה השלישית מהשניה ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪* 0‬‬
‫‪2 +‬‬
‫‪6 , 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ולכן קיבלנו כי‪:‬‬
‫∼‬
‫‪= Z2 × Z6 × Z‬‬
‫‪A/B‬‬
‫מסקנה ‪9.1.21‬‬
‫חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול הנה חופשית מדרגה סופית‬
‫הוכחה‪ :‬החבורה איזומורפית ל‪:‬‬
‫‪Zm1 × . . . × Zmk × Zr‬‬
‫∼ ‪ Zr‬ולכן חופשית‪.‬‬
‫מכיוון שהיא חסרת פיתול‪ .Zm1 × . . . × Zmk = 0 ,‬והיא =‬
‫‪68‬‬
‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬
‫‪ .9.2‬חבורות חופשיות לא אבליות‬
‫מסקנה ‪9.1.22‬‬
‫תת חבורה של חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית הנה גם חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית והדרגה של‬
‫התת חבורה ≥ דרגת החבורה־האם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו שאם ‪ A ,B ≤ A‬חופשית אבלית מדרגה ‪ ,n‬יש בסיס ‪ α1 , . . . , αn‬כך ש ‪B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬‬
‫ואז ‪ B‬אבלית חופשית מדרגה ‪ k‬עם בסיס‪:‬‬
‫‪β1 = m1 α1 , . . . , βk = mk αk‬‬
‫‪9.2‬‬
‫חבורות חופשיות לא אבליות‬
‫האם יכולות להיות קיימות חבורות חופשיות לא אבליות?‬
‫במקום לסמן את הבסיס ב ‪ ei‬נסמן אותו ב ‪ . xi‬נכתוב‪:‬‬
‫‪xni i = xεi i · . . . · xεi i‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫| ‪ |ni‬פעמים‬
‫כאשר ‪.εi = ±1‬‬
‫‪εi‬‬
‫‪εi‬‬
‫מילים‪.0 ≤ k .xεi1i xi22 · . . . · xikk :‬‬
‫‪69‬‬
‫חלק‬
‫‪III‬‬
‫חוגים‬
‫‪70‬‬
‫פרק ‪10‬‬
‫חוגים‬
‫הגדרה ‪ 10.0.1‬חוג‪ :‬חוג ‪ R‬הנו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות‬
‫‪+:R×R → R‬‬
‫‪·:R×R → R‬‬
‫ואיבר מיוחד ‪0‬‬
‫המקימים את האקסימות הבאות‪:‬‬
‫‪ (R, +, 0) .1‬חבורה אבלית )ביחס לחיבור(‬
‫‪ .2‬הכל אסוציאטיבי ‪r · (s · t) = (r · s) · t‬‬
‫‪ .3‬דיסטריבוטיביות‪:‬‬
‫‪r · (s + t) = r · s + r · t‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪(s + t) · r = s · r + t · r‬‬
‫הגדרה ‪ 10.0.2‬חוג קומוטטיבי‪ :‬הוא חוג המקיים גם‪r · s = s · r :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה ‪ 10.0.3‬חוג עם יחידה‪ :‬הוא חוג המקיים‪ :‬קיים ‪ 0 6= 1 ∈ R‬עבורו ‪ 1 · r = r · 1 = r‬לכל ‪r‬‬
‫דוגמה ‪ F : 10.0.4‬שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה‬
‫דוגמה ‪ Z : 10.0.5‬גם הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ .‬וגם ‪ Zn = Z/nZ‬עם חיבור וכפל מודולו ‪.n‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.0.6‬חוגי פולינומים‪ :‬יהי ‪ F‬שדה‪ x ,‬משתנה‪ .‬פולינוחם מעל ‪ F‬הינו ביטוי פורמלי‪:‬‬
‫‪ai xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪ai ∈ F‬‬
‫אם ‪ an 6= 0‬נאמר שדרגת ‪.deg (f ) = n = f‬‬
‫נחבין כי )‪ deg (0‬לא מוגדר ו ) ‪) 0 = deg (a0‬אם ‪(a0 6= 0‬‬
‫הערה ‪ 10.0.7‬לא להתייחס לזה כפונקציה! אלא כביטוי פורמלי‪ .‬לדוגמה מעל ‪ Z2‬הביטוי ‪ x2 6= x‬למרות‬
‫שכפונקציות הן זהות‪.‬‬
‫נסכום אותם באופן הבא‪:‬‬
‫‪(ai + bi ) xi‬‬
‫ונכפול באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪bi xi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ X X‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪bi xi‬‬
‫‪ai bj  xk‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i+j=k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ai x2 +‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai xi‬‬
‫מתקבל חוג קומוטטיבי עם יחידה שמסומן ]‪.F [X‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.0.8‬חוג פולינומים ב ‪ n‬משתנים‬
‫‪ x1 , . . . , xn‬משתנים‪ .‬פולינום בהם הוא סכום פרומלי סופי‪:‬‬
‫‪ai,i2 ,...,in xi11 xi22 · . . . · xinn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0≤i1 ,0≤i2 ,...‬‬
‫‪ ai1 ,...,in ∈ F‬וכופלים ומחברים לפי הכללים הרגילים‪ ,‬הכל מתחלף‪.‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫‪5 + 3x + 7y + x2 y + 20x7‬‬
‫החוג הנ"ל יסומן‪:‬‬
‫] ‪F [x1 , . . . , xn‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ Mn (R) : 10.0.9‬עם חיבור וכפל מטריצות ־‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 ··· 0‬‬
‫‪..  ,1  .. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. .. ‬‬
‫‪. .‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ··· 1‬‬
‫לא קומוטטיבי‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫חוג עם יחידה‬
‫‪‬‬
‫··· ‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 =  ... . . .‬‬
‫··· ‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 10.0.10‬‬
‫‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬נסמן ) ‪ R = End (V‬הט"ל מ ‪ V‬לעצמו‪.‬‬
‫‪(T + S) (v) = T v + Sv‬‬
‫חיבור‬
‫))‪(T ◦ S) (v) = T (S (v‬‬
‫הרכבה‬
‫‪T ◦ S1 + T ◦ S2‬‬
‫‪S1 ◦ T + S2 ◦ T‬‬
‫= ) ‪T ◦ (S1 + St‬‬
‫=‬
‫‪(S1 + S2 ) ◦ T‬‬
‫‪P‬‬
‫אם ‪.End (V ) = Mn (R) ,V = Rn‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.0.11‬תהיה ‪ Γ‬חבורה‪ .‬נגדיר את חוג החבורה ]‪ F [Γ‬מעל שדה ‪ F‬להיות כל הצרופים הלינארים‬
‫הפורמליים )הסופיים(‬
‫‪X‬‬
‫‪ag g‬‬
‫‪g∈Γ‬‬
‫כאשר ‪.ag ∈ F‬‬
‫חיבור נעשה "בקואורדינטות"‪:‬‬
‫‪(ag + bg ) g‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪bg g‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ag g +‬‬
‫‪X‬‬
‫והכפל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪ XX‬‬
‫‪X X‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪bg g‬‬
‫= ‪ag bk gh‬‬
‫‪ag bg−1 γ  γ‬‬
‫‪g∈Γ‬‬
‫‪γ∈Γ‬‬
‫‪g∈Γ h∈Γ‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪ag g‬‬
‫‪X‬‬
‫כדי ש ‪ gh = γ‬נדרש‪h = g −1 γ :‬‬
‫‪P‬‬
‫‬
‫‬
‫‪γ 3 = e ,Γ = e, γ, γ 2‬‬
‫דוגמה ‪: 10.0.12‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R [Γ] = a + bγ + cγ 2‬‬
‫‬
‫‪a′ + b ′ γ + c′ γ 2‬‬
‫‬
‫‪(aa′ + bc′ + cb′ ) + (ab′ + ba′ + cc′ ) γ + (. . .) γ 2 = a + bγ + cγ 2‬‬
‫דוגמה ‪ f } = C [0, 1] : 10.0.13‬רציפה | ‪{f : [0, 1] → R‬‬
‫)‪f (x) + g (x‬‬
‫)‪f (x) · g (x‬‬
‫= )‪(f + g) (x‬‬
‫= )‪(f · g) (x‬‬
‫)לא הרכבה! הרכבה לא תקיים דיסטרבטיביות תמיד‪ .‬בהעתקות לינאריות כן‪ ,‬אבל לא בהכרח(‬
‫זהו חוג קומוטטיבי‪.‬‬
‫‪11/01/2012‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.0.14‬אם ‪ F‬שדה ו‪ R ⊂ F :‬תת־קבוצה סגורה תחת ‪) ·, −, +‬לא בהכרח תחת חילוק( אזי ‪R‬‬
‫חוג קומוטטיבי‪.‬‬
‫‪.Z ⊂ Q‬‬
‫אם ‪ R‬תת־חוג של שדה‪ ,0 6= x, y ∈ R ,‬גם ‪.xy 6= 0‬‬
‫בחוג כללי הדבר לא תמיד נכון‪ .‬ייתכן ש ‪ x, y 6= 0‬אבל ‪.x · y = 0‬‬
‫‪73‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 10.0.15‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0 1‬‬
‫‪6= 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫=‪A‬‬
‫אבל‪:‬‬
‫‪AA = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.0.16‬נניח ‪ G = hgi‬חבורה ציקלית מסדר ‪ .n‬נתבונן ב ]‪) R [G‬חוג החבורה מעל ‪ ,R‬אבריו הם‬
‫‪ a0 + a1 g + . . . + an−1 g n−1‬כאשר ‪(ai ∈ R‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‬
‫‪(g − 1) 1 + g + . . . + g n−1 = g n − 1 = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 10.0.17‬מחלק אפס‪ :‬איבר ‪ 0 6= x‬שקיים עבורו ‪ 0 6= y‬כך ש ‪ x · y = 0‬או ‪ y · x = 0‬נקרא מחלק אפס‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.0.18‬תחום־שלמות )‪Domain‬‬
‫(‪ :‬הנו חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬בלי מחלקי אפס‪.‬‬
‫משפט ‪10.0.19‬‬
‫‪ R‬הנו תחום שלמות אם"ם ‪ R‬הנו תת חוג של שדה )עם ‪(1‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו שכל תת־חוג של שדה הנו תח"ש )תחום שלמות(‪.‬‬
‫הבנתח תח"ש ‪ R‬נבנה שדה ‪ . R ⊂ Q‬כמו שבונים מתוך ‪ Z‬את ‪.Q‬‬
‫נסתכל בכל הזוגות‪ a, b ∈ R (a, b) :‬כך ש ‪.b 6= 0‬‬
‫נגדיר יחס שקילות‪. a1 b2 = a2 b1 ⇐⇒ (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) :‬‬
‫נוכיח שזה יחס שקילות‪ (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) :‬וגם‪ (a2 , b2 ) ∼ (a3 , b3 ) :‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪⇒ (a1 b3 ) b2 = a1 b2 b3 = a2 b1 b3 = a2 b3 b1 = a3 b2 b1 = (a3 b1 ) b2‬‬
‫(‬
‫‪a1 b 2 = a2 b 1‬‬
‫‪a2 b 3 = a3 b 2‬‬
‫‪⇒ (a1 b3 − a3 b1 ) b2 = 0‬‬
‫אבל מכיוון ש‪ R‬תח"ש‪ ,‬והיות ו ‪ b2 6= 0‬אזי‪) .a1 b3 − a3 b1 = 0 ⇒ a1 b3 = a3 b1 :‬רפלקסיביות וסימטיות‬
‫טריוויאלית מהקומוטטיביות(‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪:‬‬
‫‪(a,‬‬
‫)‪b‬‬
‫של‬
‫השקילות‬
‫נסמן את מחלקת‬
‫‪b‬‬
‫הערה ‪ 10.0.20‬לא בכל חוג יש שבר מצומצם! אין ייצוג אחד שעדיף על ייצוג אחר‪.‬‬
‫חוג מצומצם זה תכונה מאוד מיוחדת שקשורה לפריקות של ‪ ,Z‬נדון על כך בהמשך‪.‬‬
‫‪ Q‬יהיה אוסף המחלקות הנ"ל‪ ,‬נגדיר עליו חיבור וכפל‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ad ± bc‬‬
‫= ‪±‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪bd‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪a c‬‬
‫= ·‬
‫‪b d‬‬
‫‪bd‬‬
‫נשים לב כי ‪ bd 6= 0‬כי ‪ R‬חוג שלמות וגם ‪. b, d 6= 0‬‬
‫אפשר להוכיח בקלות ש ‪ Q‬הנו שדה בקלות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d f‬‬
‫‪74‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫צריך להראות שההגדרות טובות‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a′‬‬
‫‪= ′‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a′‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a′ d + b ′ c‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪b′‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b′ d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ad + bc‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪bd‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫?‬
‫‪b′ d (ad + bc) = (a′ d + b′ c) bd‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫?‬
‫= ‪′‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪bcdb‬‬
‫ ‪a′ b d2 +‬‬
‫‪b′ bcd‬‬
‫ ‪ab′ d2 +‬‬
‫המסומנים בריבוע שווים! וכן הלאה‪.‬‬
‫הערה ‪ Q 10.0.21‬הינו שדה השברים של ‪.R‬‬
‫‪ Q‬הינו השדה "הקטן ביותר" )עד כדי איזומורפיזם( המכיל את ‪.R‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ R [x] = R : 10.0.22‬תחום שלמות‪: ab 6= 0 .f · g 6= 0⇐f, g 6= 0 ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai xi‬‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪bi xi‬‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫‪i=0‬‬
‫כאשר ‪ an 6= 0‬וגם ‪ . bm 6= 0‬נחין כי‪:‬‬
‫‪f · g = a0 b0 + . . . + am bn xm+n‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪6=0‬‬
‫וגם קיבלנו כי‪:‬‬
‫)‪deg (f · g) = deg (f ) + deg (g‬‬
‫‪ =R [x] = Q‬שדה השברים של חוג הפוליונומים‪.‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪∈Q‬‬
‫)‪ fg(x‬פונקציות רציונאליות‪ .‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪1 + 2x3‬‬
‫‪10.0.0.1‬‬
‫תוספות‬
‫‪ Q‬שדה כי אם ‪ ,a 6= 0 , ab 6= 0‬אז‪:‬‬
‫וגם‪ R ⊂ Q :‬ע"י‪a 7→ a1 :‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪a −1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.0.23‬יחידה‪ :‬יהיה ‪ R‬חוג עם ‪ .1‬איבר ‪ a ∈ R‬נקרא הפיך )יחידה של ‪ .(R‬אם יש ‪ b ∈ R‬כך ש‬
‫‪.a · b = b · a = 1‬‬
‫נסמן ב ∗‪ R‬או ב‪ Rx :‬את אוסף האיברים ההפיכים‪ R∗ .‬היא חבורה ביחס לכפל )לא בהכרח קומוטטיבית‪,‬‬
‫אם ‪ R‬לא קומוטטיבית(‪.‬‬
‫נראה סגירות‪ :‬נבדוק‪ ,‬אם ∗‪ a, b ∈ R‬אז‪:‬‬
‫‪aa1 = a1 a‬‬
‫= ‪1‬‬
‫‪bb1 = b1 b‬‬
‫= ‪1‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪ab · b1 · a1 = a1a1 aa1 = 1‬‬
‫‪75‬‬
‫‪ .10.1‬הומומורפיזמים‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫וגם בכיוון השני‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪b1 a1 ab = 1‬‬
‫דוגמה ‪: 10.0.24‬‬
‫∗‪{1, −1} = Z‬‬
‫∗‬
‫)‪GLn (R) = Mn (R‬‬
‫∗‬
‫]‪R∗ = R [X‬‬
‫∗‬
‫]‪{f ∈ C [0, 1] | ∀x f (x) 6= 0} = C [0, 1‬‬
‫‪16/01/2012‬‬
‫הגדרה ‪ 10.0.25‬תת־חוג‪ :‬תת חוג של חוג ‪ R‬הנו תת קבוצה ‪ S‬המכילה את ה־‪) 0‬וגם ‪ 1‬אם מדובר בתת־חוג עם‬
‫‪ (1‬הסגורה ביחס לפעולות · ‪.+, −,‬‬
‫‪ S‬עם אותן פעולות ואותו ‪) 0‬ו־ ‪ 1‬במידה וקיים( מהווה חוג‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪.Mn (Z) ⊂ Mn (R) .Z ⊂ R : 10.0.26‬‬
‫למה ‪10.0.27‬‬
‫בכל חוג ‪x · 0 = 0 · x = 0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪x · 0 + x · 0 = x (0 + 0) = x · 0‬‬
‫נפחית ‪ x · 0‬ונקבל‪.x · 0 = 0 :‬‬
‫‪10.1‬‬
‫הומומורפיזמים‬
‫הגדרה ‪ 10.1.1‬הומומורפיזם ‪ :‬הומומורפיזם ‪ ϕ : R → S‬של חוגים הנו הומומורפיזם של חבורות החיבוריות‬
‫שלהם‪ ,‬שבנוסף מקיים‪:‬‬
‫)‪ϕ (x · y) = ϕ (x) · ϕ (y‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫ואם מדובר בחוגים עם ‪ 1‬דורשים גם ‪. ϕ (1R ) = 1S‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.1.2‬אם ‪ R ⊂ S‬אזי השיכון ‪ i : R → S‬הנו הומומורפיזם‪.‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.1.3‬יהיה ] ‪R = F [x1 , . . . , xn‬חוג הפולינומים ב‪ n‬משתנים‪ .‬ויהי ‪ S‬חוג קומוטטיבי כל שהו‬
‫המכיל את ‪) F‬למשל ‪ F‬או ‪(R‬‬
‫למה ‪10.1.4‬‬
‫לכל ‪ s1 , . . . , sn‬איברים כלשהם של ‪ ,S‬ישנו הומומורפיזם אחד ויחיד ‪ ϕ : R → S‬כך ש‪:‬‬
‫‪ ϕ (a) = a .1‬לכל ‪a ∈ F‬‬
‫‪ϕ (xi ) = si .2‬‬
‫כמו כן נבחין כי‪:‬‬
‫‪s2 s1 = ϕ (x2 x1 ) = ϕ (x1 x2 ) = s1 s2‬‬
‫הערה ‪ 10.1.5‬הומומורפיזם נקרא הומומורפיזם ההצבה )של ‪ si‬במקום ‪(Xi‬‬
‫)הלמה נשארת נכונה גם אם ‪ S‬לאו דווקא קומוטטיבי אבל‪ si sj = sj si :‬ו ‪ si‬מתחלף עם כל ‪(F‬‬
‫‪76‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪ .10.1‬הומומורפיזמים‬
‫הוכחה‪ :‬אם ] ‪ ,f ∈ F [x1 , . . . , xn‬נגדיר‪.ϕ (f ) = f (s1 , . . . , sn ) :‬‬
‫צריך לבדוק‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫)‪ϕ (f ± g) = ϕ (f ) ± ϕ (g‬‬
‫)תרגיל ־ קל(‬
‫‪.2‬‬
‫)‪ϕ (f · g) = ϕ (f ) · ϕ (g‬‬
‫אם סעיף זה קל לבדוק בגלל הגסיטריבוטיביות ב ‪ S‬עבור מונומים‪ .‬נניח‪:‬‬
‫‪= axi11 xi22 · · · xinn‬‬
‫‪= bxj11 xj22 · · · xjnn‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪f · g = abx1i1 +j1 · · · xinn +jn‬‬
‫)‪ϕ (f ) ϕ (g) = asi11 si22 · · · sinn bsj11 · · · sjnn = abs1i1 +j1 · · · sinn +jn = ϕ (f · g‬‬
‫כי ‪ S‬קומוטטיבי )או לפחות מתחלף באופן טוב מספיק(‬
‫‪ .3‬יחידות‪:‬‬
‫‪ϕ (xi ) = si‬‬
‫‪ ϕ (a) = a‬מוכתבים מראש‪ ,‬השאר נקבע מכך ש ‪ ϕ‬הומומורפיזם‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ 10.1.6‬תת־דוגמה‪.f ∈ R [X, Y ] ,(x0 , y0 ) ∈ R2 :‬‬
‫‪ϕ : R [X, Y ] → R‬‬
‫) ‪ϕ (f ) = f (x0 , y0‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪: 10.1.7‬‬
‫] ‪s1 , s2 ∈ S = R [X, Y‬‬
‫)) ‪ϕ (f ) = f (s1 (X, Y ) , s2 (X, Y‬‬
‫לא ידוע מה הם התנאים על ‪ s1 , s2‬כדי ש‪ ϕ‬תהיה אוטומורפיזם )יש השערות בנידון‪ ,‬השערת היעקוביאן לדוגמה‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪ .10.1‬הומומורפיזמים‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.1.8‬חוג המטריצות )‪ .R = Mn (R‬תהי )‪) P ∈ GLn (R‬מטריצה הפיכה( נגדיר ‪ϕ : R → R‬‬
‫באופן הבא‪ϕ (A) = P AP −1 :‬‬
‫טענה‪ P :‬הנו אוטומורפיזם‪:‬‬
‫‪P AP −1 ± P BP −1‬‬
‫=‬
‫‪I‬‬
‫)‪P AP −1 P BP −1 = P ABP −1 = ϕ (AB‬‬
‫‪ϕ (A ± B) = P (A ± B) P‬‬
‫= )‪ϕ (I‬‬
‫= )‪ϕ (A) ϕ (B‬‬
‫מדוע ‪ ϕ‬חח"ע ועל? כי קיימת העתקה הפוכה! אם נסמן ‪ ψ (A) = P −1 AP‬אזי‪:‬‬
‫‪ψ ◦ ϕ (A) = A‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪ϕ ◦ ψ (A) = A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫דוגמה ‪ H −→ G : 10.1.9‬הומומורפיזם של חבורות אזי ניתן להרחיבו להומו‪ ϕ˜ : F [H] → F [G] :‬של‬
‫חוגי החבורה מעל שדה ‪.F‬‬
‫]‪ah ϕ (h) F [G‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪h∈H‬‬
‫!‬
‫‪ah h‬‬
‫‪X‬‬
‫˜‪ϕ‬‬
‫‪h∈H‬‬
‫היות וכל הומומורפיזם ‪ ϕ : R → S‬של חוגים הנו בפרט הומומורפיזם של החבורות החיבוריות שלהם אזי‪:‬‬
‫• ‪{ϕ (r) | r ∈ R} = Im ϕ ≤ S‬‬
‫• ‪{r | ϕ (r) = 0} = ker ϕ ≤ R‬‬
‫תתי חבורות חיבוריות של ‪ R, S‬בהתאמה‪.‬‬
‫באופן לא מפתיע‪ ,‬התמונה והגרעין הם תתי חוגים‪ ,‬אבל לגבי הגרעין יש לנו "הפתעה" נוספת‪.‬‬
‫למה ‪10.1.10‬‬
‫‪ Im ϕ ≤ S .1‬הנו תת חוג‬
‫‪ ker ϕ ≤ R .2‬סגור תחת הכפל‪ .‬ויתרה מזאת אם ‪y ∈ R ,x ∈ ker ϕ‬‬
‫כלשהו‪ .xy, yx ∈ ker ϕ ,‬לעומת זאת‪ ,‬אם ‪ R‬חוג עם ‪ 1‬בדרך כלל‪:‬‬
‫∈ ‪ 1‬אלא אם כן ‪.ϕ ≡ 0‬‬
‫‪/ ker‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ϕ (x) ϕ (y) = ϕ (xy) .1‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.1.11‬נשכן )‪: ϕ : M2 (R) → M3 (R‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪= c‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪ϕ (x) = 0 .2‬‬
‫‪= ϕ (x) ϕ (y) = 0ϕ (y) = 0‬‬
‫‪= ϕ (y) ϕ (x) = ϕ (y) 0 = 0‬‬
‫‪78‬‬
‫)‪ϕ (xy‬‬
‫)‪ϕ (yx‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪ .10.2‬אידיאל‬
‫אם ‪ 1 ∈ ker ϕ‬אז לכל ‪:‬‬
‫‪ϕ (x) = ϕ (x · 1) = ϕ (x) ϕ (1) = 0‬‬
‫‪10.2‬‬
‫אידיאל‬
‫הגדרה ‪ 10.2.1‬אידיאל‪ :‬אידיאל )דו־צדדי( בחוג ‪ R‬הינו קבוצה ‪ I‬שהיא‪:‬‬
‫• תת חבורה חיבורית‪:‬‬
‫‪x, y ∈ I ⇒ x ± y ∈ I‬‬
‫• סגורה תחת כפל משני הצדדים בכל איבר מ‪R‬‬
‫‪x ∈ I, y ∈ R ⇒ x · y, y · x ∈ I‬‬
‫‪P‬‬
‫האידיאל יסומן גם הוא על ידי ‪ I) I ⊳ R‬אידיאל ב ‪( R‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.2.2‬לגרעין של הומומורפיזמים‪.‬‬
‫הדוגמה שראינו קודם‪.ϕ (f ) = f (1, 2) ,ϕ : R [X, Y ] → R :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ker ϕ = {f | f (1, 2) = 0} ⊳ R‬‬
‫דוגמה ‪nZ ⊳ Z : 10.2.3‬‬
‫למה ‪10.2.4‬‬
‫בחוג קומוטטיבי‪ ,‬אם ‪ a ∈ R‬אזי ‪ aR‬אידיאל‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫) ‪ar1 ± ar2 = a (r1 ± r2‬‬
‫)‪∀s ∈ R ar · s = sa · r = a (rs‬‬
‫הגדרה ‪ 10.2.5‬אידיאל חד צדדי‪ :‬בחוג כל־שהוא‪ ,‬אידיאל משמאל ‪ L‬הנו תת חבורה חיבורית הסגורה לכפל‬
‫משמאל באברי ‪:R‬‬
‫‪yx ∈ L‬‬
‫‪∀y ∈ R,‬‬
‫‪∀x ∈ L‬‬
‫ובאופן זהה ימני‪ M ⊆ R :‬תת חבור‬
‫‪xy ∈ M‬‬
‫‪∀y ∈ R‬‬
‫‪∀x ∈ M‬‬
‫בכל חוג אם ‪ aR a ∈ R‬הנו אידיאל ימני אזי )‪ Ra (ar) s = a (rs‬אידיאל שמאלי‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪ .10.2‬אידיאל‬
‫הגדרה ‪ 10.2.6‬אם ‪ a1 , . . . , am‬אברים של ‪ ,R‬האידיאל הנוצר על ידי ‪ a1 , . . . , am‬הנו האידיאל הקטן ביותר‬
‫המכיל אותם‪.‬‬
‫צריך להוכיח שיש כזה‪:‬‬
‫למה ‪10.2.7‬‬
‫חיתוך של משפחה כלשהי של אידיאלים )דו צדדיים( הנו אידיאל‬
‫‪T‬‬
‫הוכחה‪ I = Iα :‬כל ‪ Iα‬אידיאל ⇐ כל ‪ Iα‬תת־חבורה חיבורית ⇐‪ I‬תת חבורה‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ x ∈ Iα ⇐ x ∈ I, y ∈ R‬לכל ‪ xy ∈ Iα ⇐ α‬לכל ‪. xy ∈ I ⇐ α‬‬
‫נסתכל בקבוצת כל האידיאלים המכילים את ‪) a1 , . . . , am‬למשל כל ‪ ,(R‬ונקח חיתוך של כולם‪ ,‬זהו כמובן האידיאל‬
‫המינימלי המכיל את ‪.a1 , . . . , am‬‬
‫לחילופין‪ ,‬ניתן לבנות אותו מלמטה‪:‬‬
‫}‪Rai R = {rai s | r ∈ R, s ∈ R‬‬
‫האידיאל הנוצר על ידי‪ = a1 , . . . , am :‬כל הסומים הסופיים של איברים מהצורה ‪ rai s‬עבור ‪,1 ≤ i ≤ m‬‬
‫‪.r, s ∈ R‬‬
‫אם ‪ R‬קומוטטיבי זהו האוסף‪:‬‬
‫}‪I = {r1 a1 + r2 a2 + . . . + rm am | ri ∈ R‬‬
‫נהוג לסמן‪:‬‬
‫) ‪I = (a1 , a2 , . . . , am‬‬
‫‪P‬‬
‫)בחוג קומוטטיבי(‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 10.2.8‬ב‪:Z‬‬
‫‪(n) = n · Z‬‬
‫דוגמה ‪: 10.2.9‬‬
‫?= )‪(9, 15‬‬
‫‪9Z + 15Z = 3Z‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫)‪(9, 15) = (3‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪) I = {f | f (0, 0) = 0} = (X, Y ) = RX + RY ,R = R [X, Y ] : 10.2.10‬זהו אינו סכום ישר(‬
‫משפט ‪10.2.11‬‬
‫‪ I ⊳ R‬אם ורק אם ‪ I‬הנו גרעין של הומומורפיזם של חוגים‪.‬‬
‫אם ‪ I ⊳ R‬על חבורת המנה חיבורת ‪ ,R/I‬ניתן להגדיר ע"י כפל הציגים‪:‬‬
‫‪r·s= r·s‬‬
‫ובהגדרה זו‪ R = R/I :‬הופך להיות חוג וההומומורפיזם הקנוני‪:‬‬
‫‪p : R → R/I‬‬
‫‪80‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪ .10.2‬אידיאל‬
‫‪p (r) = r‬‬
‫הופך להיות הומומורפיזם של חוגים שגרעינו בדיוק ‪I‬‬
‫}‪ r = r + I = {r + t | t ∈ I‬מחלקה חיבורית של ‪ .r‬הוכחה‪ :‬ראינו שאם ‪ ϕ : R → S‬הומומורפיזם‪ker ϕ ,‬‬
‫אידיאל‪.‬‬
‫בכיוון השני‪ ,‬יהי ‪ I‬אידיאל‪ ,‬חבורת המנה ‪ R/I‬שאבריה הן המחלקות החיבוריות ‪ r = r + I‬בתוך ‪ R‬וחיבור‬
‫נעשה על ידי חיבור נציגים ‪ r + s = r + s‬מוגדרת‪ ,‬והעתקה הקנונית היא‪:‬‬
‫‪p : R → R/I‬‬
‫הנו הומומורפיזם של חבורות חיבוריות שגרעינו‪:‬‬
‫‪ker P = I‬‬
‫נגדיר כפל ע"י ‪r · s = r · s‬‬
‫זאת הגדרה טובה כי אם ‪ r ′ = r‬זה אומר‪ I .r − r′ ∈ I :‬סגור תחת כפל מימין באיבר ‪r · s − r′ · s =⇐s‬‬
‫‪.(r − r′ ) s ∈ I‬‬
‫‪r′ · s = r · s‬‬
‫כנל אם בוחרים נציג אחר ל ‪.S‬‬
‫החוק האסוציאטיבי והדיסטריבוטיבי מתקיים ב ‪ R‬בגלל שהם מתקיימים ב‪.R‬‬
‫‬
‫‪(r · s) t = r · s · t = (r · s) t = r (s · t) = r s · t‬‬
‫‪18/01/2012‬‬
‫לכן ‪ R‬חוג‪.‬‬
‫)‪ p (r · s) = p (r) · p (s‬מההגדרה‪.‬‬
‫‪ rs = r · s‬ולכן ‪ p‬הומומורפיזם של חוגים‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪.I = nZ ⊳ Z : 10.2.12‬‬
‫ראינו ‪ ,Zn = Z/nZ‬נראה שזה חוג‪) 5 · 4 = 8, 3 · 4 = 0 .‬ב־ ‪ .(Z12‬ידוע שאם ‪ p‬ראשוני אז ‪ Zp = Z/pZ‬שדה‪,‬‬
‫אבל בכל מצב אחר יש בחוג מחלקי אפס ולכן הוא בהכרח לא שדה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫דוגמה ‪ ,R [x] : 10.2.13‬וניקח ‪ .I = x2 + 1 = R [x] · x2 + 1‬נשאל למה‬
‫‬
‫‪ ϕ : R[x]/(x2 +1) → C‬כך‪.ϕ f = f (i) :‬‬
‫‬
‫‬
‫מתקיים ‪ .f = f + x2 + 1‬נבדוק שזה לא תלוי בבחירת הנציגים ־ = ‪f = f1 =⇒ I ∋ x2 + 1 · h‬‬
‫)‪.f − f1 =⇒ f (i) = f1 (i‬‬
‫‪.(ϕ‬‬
‫‪(f‬‬
‫)‪g‬‬
‫=‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪(f‬‬
‫)‬
‫‪ϕ‬‬
‫)‪(g‬‬
‫וכן‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪(f‬‬
‫‪±‬‬
‫)‪g‬‬
‫=‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪(f‬‬
‫)‬
‫‪±‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫))‪(g‬‬
‫הומומורפיזם‬
‫‬
‫כמו כל הצבה‪ ϕ ,‬‬
‫‬
‫‪ ϕ‬על כי ‪ ,ϕ a + bx = a + bi‬ונראה כי ‪ ϕ‬חח"ע‪ .‬אם ‪ ϕ f = 0 =⇒ f (i) = 0‬אזי ‪.f = x2 + 1 h‬‬
‫קיימים ‪ q, r‬פולינומים כך ש־‪f = qg + r‬‬
‫נלמד שבחוג ]‪ R [x‬יש חילוק עם שארית )כך שלכל ‪ f, g 6= 0‬פולינומים‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪.r = ax + b‬‬
‫‪,f‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪+‬‬
‫‪r‬‬
‫כך ש־)‪ deg (r) < deg (g‬־ חילוק פולינומים עם שארית‪ ,‬מוכר(‪ ,‬ולכן‬
‫‬
‫נציב ‪ x = i‬ונקבל ‪ ,0 = 0 + ai + b‬ומהיות המרוכבים שדה בהכרח ‪ ,a = b = 0‬כלומר ‪,ker ϕ = x2 + 1 .r = 0‬‬
‫ולכן ‪ ϕ‬חח"ע‪ ,‬ולכן ‪ ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪R[x]/I‬‬
‫איזומורפי כחוג‪ .‬נגדיר‬
‫הערה ‪ 10.2.14‬אפשר להגדיר גם איזומורפיזם ע"י )‪ ,f 7→ f (−i‬ואלו שתי הדרכים היחידות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ F : 10.2.15‬שדה‪ Γ ,‬חבורה‪ .‬נגדיר ‪ ϕ : F [Γ] → F‬ע"י ‪aγ‬‬
‫‪P‬‬
‫=‬
‫‪γ‬‬
‫)‪ ,ϕ (x ± y) = ϕ (x) ± ϕ (y‬נבדוק כפל‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P P‬‬
‫=‬
‫)‪aγ bδ = aγ bδ = ϕ ( aγ γ) ϕ ( bδ δ‬‬
‫‪γ δ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫}‪ .ker ϕ = I = { aγ γ | aγ = 0‬אידיאל זה נקרא אידיאל האוגמנטציה‪.‬‬
‫‪PP‬‬
‫‪81‬‬
‫!‬
‫!‬
‫‪aγ γ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .ϕ‬קל לראות כי‬
‫‪γ∈Γ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪PP‬‬
‫‪.ϕ ( aγ γ aδ δ) = ϕ‬‬
‫‪aγ bδ γδ‬‬
‫‪ .10.3‬משפטי הומומורפיזם‬
‫‪10.3‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫משפטי הומומורפיזם‬
‫משפט ‪ 10.3.1‬משפט ההומומורפיזם הראשון‬
‫∼ ‪.Imϕ‬‬
‫אם ‪ ϕ : R → S‬הומו' של חוגים‪ ,‬אזי ‪= R/ker ϕ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .S ′ = Imϕ‬ראינו שהוא תת־חוג של ‪ .S‬נגדיר )‪ ϕ (r) = ϕ (r‬כאשר ‪.r = r+ker ϕ ∈ R/ker ϕ = R‬‬
‫ממשפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות ידוע כי זה מוגדר היטב כאיזומורפיזם של חבורות חיבוריות בין ‪R‬‬
‫ו־ ‪.S ′‬‬
‫אבל ) ‪ ,ϕ (r1 · r2 ) = ϕ (r1 r2 ) = ϕ (r1 r2 ) = ϕ (r1 ) ϕ (r2 ) = ϕ (r1 ) ϕ (r2‬ולכן ‪ ϕ‬איזומורפיזם של חוגים‪,‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫חח"ע בין חבורות חיבוריות ‪ I ≤ J ≤ R‬ותתי חבורות חיבוריות של‬
‫יהי ‪ R‬חוג‪ .I ⊳ R ,‬ראינו כבר שיש התאמה ‬
‫‪ ,J ≤ R/I‬וההתאמה נתונה על ידי )‪.J = p−1 J , J = p (J‬‬
‫טענה ‪10.3.2‬‬
‫בהתאמה הנ"ל‪ J ⊳ R ,‬אם ורק אם ‪.J ⊳ R‬‬
‫‪23/01/2012‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ J‬אידיאל‪ ,x ∈ J, y ∈ R ,‬אז ‪ .xy = x · y ∈ J =⇒ xy ∈ J‬ולהיפך‪ ,‬להיפך‪.‬‬
‫ניסוח אחר למשפט ההומומורפיזם הראשון‪:‬‬
‫משפט ‪10.3.3‬‬
‫∼ ‪ϕ : R/ker ϕ‬‬
‫אם ‪ ϕ : R → S‬הומומורפיזם של חוגים‪ ,‬אזי הוא משרה איזומורפיזם ‪= Im ϕ‬‬
‫הערה ‪ 10.3.4‬בתכלס זה אותו דבר‪.‬‬
‫‪ Im ϕ‬הוא תת חוג של ‪ ker ϕ ,S‬הוא אידיאל ב‪.R‬‬
‫)‪.ϕ (r) = ϕ (r‬‬
‫משפט ‪ 10.3.5‬משפט ההתאמה‬
‫יהיה ‪ .R ⊲ I‬נתבונן ב }אידיאלים ב ‪ {R/I‬אזי יש התאמה חח"ע )משני הכיוונים( ביניהם לבין‪} :‬אידיאלים ב‪R‬המכילים את ‪{I‬‬
‫נזכור כי משפט ההומומורפיזם השני בתת חבורות אמר כי‪:‬‬
‫∼‬
‫‪= H/H∩N‬‬
‫‪HN/N‬‬
‫למה ‪10.3.6‬‬
‫אם ‪ S‬תת־חוג של ‪ I ,R‬אידיאל ב ‪ R‬אזי‪ S + I = {x + y | x ∈ S, y ∈ I} :‬גם כן תת־חוג של ‪.R‬‬
‫הערה ‪ 10.3.7‬במקרה של חבורות זה לא תמיד היה נכון‪:‬‬
‫} ‪HN = {hn | h ∈ H, n ∈ N‬‬
‫הייתה חבורה רק אם ‪ H‬או ‪ N‬הייתה נורמלית‪.‬‬
‫הוכחה‪ S + I :‬כמובן תת־חבורה חיבורית‪ .‬נשאר לבדוק סגירות תחת כפל‪ .‬יהיו ‪ x1 , x2 ∈ S‬ו ‪ y1 , y2 ∈ I‬נבחין‬
‫כי‪:‬‬
‫‪(x1 + y1 ) · (x2 + y2 ) = x1 · x2 + y1 · x2 + x1 y2 + y1 y2‬‬
‫}‪| {z } | {z } |{z} |{z‬‬
‫‪∈I‬‬
‫}‬
‫‪∈I‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪∈I‬‬
‫‪∈S‬‬
‫‪∈I‬‬
‫|‬
‫מכיוון ש ‪ I‬אידיאל‪ ,‬הוא סגור בכפל בכל איברי ‪.S‬‬
‫משפט ‪ 10.3.8‬משפט ההומומורפיזם השני‬
‫‪82‬‬
‫פרק ‪ .10‬חוגים‬
‫‪ .10.3‬משפטי הומומורפיזם‬
‫אם ‪ S ⊆ R‬תת־חגו‪ I ⊳ R .‬אידיאל אז‪:‬‬
‫∼‬
‫‪= S/S∩I‬‬
‫‪(S+I)/I‬‬
‫)ו‪(S ∩ I ⊳ I :‬‬
‫הוכחה‪ S ∩ I :‬תת־חבורה חיבורית של ‪ S‬ואם ‪ y ∈ S ,x ∈ S ∩ I‬אז‪ x · y ∈ S :‬מסגירות לכפל‪ .‬וגגם ‪x · y ∈ I‬‬
‫כי ‪ x ∈ I‬ולכן ‪.x · y ∈ S ∩ I‬‬
‫ממשפט ההומומורפיזם השני לחבורות יש איזומורפים של חבורות‪:‬‬
‫∼ ‪α : S/S∩I‬‬
‫‪= (S+I)/I‬‬
‫‪α (s mod S ∩ I) = S mod I‬‬
‫נותר להראות ש ‪ α‬מכבד כפל‪.‬‬
‫) ‪α (s1 · s2 ) = α (s1 · s2 ) = s1 · s2 = s1 · s2 = α (s1 ) · α (s2‬‬
‫משפט ‪ 10.3.9‬משפט האיזומורפיזם השלישי‬
‫‪ I, J ⊳ R‬ו ‪ I ⊆ J‬אזי‪:‬‬
‫∼‬
‫) ‪= (R/I )/(J/I‬‬
‫‪R/J‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו )בפרק על חבורות( שההעתקה‪:‬‬
‫‪→ R/J‬‬
‫‪R/I‬‬
‫‪r mod I 7→ r mod J‬‬
‫מוגדרת היטב‪ ,‬היא הומומורפיזם על וגרעינה‪.J/I :‬‬
‫נשים לב שמבקרה שלנו )‪ R‬חוג‪ J ,I ,‬אידיאלים( זהו גם הומומורפיזם של חוגים )מכבד כפל( ולכןהמשפט‬
‫מתקבל‪ ,‬ממשפט ההומומורפיזם הראשון לחוגים‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫פרק ‪11‬‬
‫פריקות בתחומי שלמות‬
‫‪11.1‬‬
‫הקדמה‬
‫הדוגמה על ‪ Z‬כחוג‪.‬‬
‫• יש בו מושגים של חילוק וחילוק עם שארית )האלגוריתם של אוקלידס(‬
‫• כל אידיאל ב ‪ Z‬הוא ראשי‪ :‬כלומר נוצר ע"י איבר אחד‪.nZ = (n) :‬‬
‫• ישנו מושג של איבר ראשוני )= אי־פריק( וכל ‪ n ∈ Z‬ניתן לכתיבה יחידה‪:‬‬
‫‪n = ±p1 p2 · . . . · pk‬‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ pi‬ראשוניים‪.‬‬
‫דוגמה ‪: 11.1.1‬‬
‫‪30 = 2 · 3 · 5‬‬
‫‪−24 = −2 · 2 · 2 · 3‬‬
‫המטרה שלנו היא לבדוק באיזו מידה הנושאים הללו "עובדים" בתחום שלמות כללי ‪.R‬‬
‫מעכשיו ‪ =R‬תחום־שלמות‪ :‬חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬כך ש ‪ .x · y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0‬וזה שקלו לכך ש ‪ R‬הנו‬
‫תת־חוג של שדה‪.‬‬
‫אומרים ש ‪ (a, b ∈ R) b | a‬אם יש ‪ c ∈ R‬כך ש ‪a = b · c‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 11.1.2‬ב ‪ 3 | 15 :Z‬אבל ‪.3 ∤ 8‬‬
‫ב] ‪ , X − Y | X 2 − Y 2 ,R [X, Y‬אבל‪.X − Y ∤ X 2 + Y 2 :‬‬
‫לכל ‪ D‬שלם שאינו ריבוע נסמן‪:‬‬
‫‪h√ i n‬‬
‫‪o‬‬
‫√‬
‫‪D = n + m D | n, m ∈ Z ⊆ C‬‬
‫√‬
‫√‬
‫אם ‪ n + m D = n′ + m′ D‬ואם ‪: m 6= m′‬‬
‫√‬
‫‪n − n′‬‬
‫‪= D‬‬
‫‪′‬‬
‫‪m −m‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n − n′‬‬
‫‪m′ − m‬‬
‫ריבוע ב‪ Q‬ולכן ריבוע ב‪.Z‬‬
‫‪84‬‬
‫‬
‫=‪D‬‬
‫‪Z‬‬
‫פרק ‪ .11‬פריקות בתחומי שלמות‬
‫‪ .11.1‬הקדמה‬
‫√‬
‫√‬
‫‪i‬לכן ‪ n + m D = n′ + m′ hD‬אם"ם ‪. n = n′ , m = m′‬‬
‫√‬
‫‪ R = Z D‬הנו חוג‪ :‬סיגרות תחת חיבור וחיסור ברורה‪.‬‬
‫‬
‫ √‬
‫ √‬
‫√‬
‫‪n + m D n′ + m′ D = (nn′ + mm′ D) + (nm′ + n′ m) D‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ Z [i] = {n + mi} D = −1 : 11.1.3‬נקרא חוג השלמים של גאוס‪.‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪1 + 2i | 5‬‬
‫כי‪:‬‬
‫‪(1 + 2i) (1 − 2i) = 5‬‬
‫וכמו כן גם‪:‬‬
‫‪2+i|5‬‬
‫למה ‪11.1.4‬‬
‫בתחום שלמות ‪ a | b ,R‬אם"ם )‪) (b) ⊂ (a‬תזכורת‪( (a) = R · a :‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ a | b‬אזי ‪ , b = a · t‬ולכן‪ b · r = a · t · r ∈ (a) :‬ולכן‪.(b) ⊂ (a) :‬‬
‫כיוון שני‪ :‬אם )‪ (b) ⊂ (a‬בפרט )‪ b ∈ (a‬כלומר‪b = a · t :‬‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה ‪ a, b ∈ R 11.1.5‬נקראים חברים )‪ (assoiate‬אם ‪ a | b‬וגם ‪ b | a‬מסמנים ‪.a ∼ b‬‬
‫דוגמה ‪ : 11.1.6‬ב ‪.5 ∼ (−5) Z‬‬
‫ב]‪) 1 + 2i ∼ i − 2 : Z [i‬כפלנו ב ‪ (i‬כיוון ש )‪ i − 2 = i (1 + 2i‬וגם‪.−i (i − 2) = 1 + 2i :‬‬
‫למה ‪11.1.7‬‬
‫‪ a ∼ b .1‬לא ‪ 0‬אם"ם ‪ a = bu‬כאשר ×‪. u ∈ R‬‬
‫‪ ∼ .2‬הנו יחס שקילות‬
‫הוכחה‪ 2 :‬נובע מיידית מכך ש ‪) (a) = (b) ⇐⇒ a ∼ b‬נובע מהלמה הקודמת(‬
‫‪ :1‬נכתוב ‪) a = b · u‬אפשר כי ‪ (b | a‬וכן‪) b = a · v :‬אפשרי כי ‪ (a | b‬ולכן‪:‬‬
‫‪a=b·u =a·v·u‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪a (1 − vu) = 0‬‬
‫אבל ‪ ,a 6= 0‬אין מחלקי אפס⇐‪ ,1 = vu‬ולכן ‪.R× ∋ u‬‬
‫‪P‬‬
‫הערה ‪ 11.1.8‬לא נגיד מצמצמים‪ ,‬כי בחוג אסור לצמצם‪ .‬מותר רק בגלל שזה תחום שלמות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ : 11.1.9‬למה ‪ 7‬הוא אי פריק? נשים לב כי‪:‬‬
‫‪7·1‬‬
‫)‪(−7) (−1‬‬
‫= ‪7‬‬
‫= ‪7‬‬
‫אנו רוצים להתייחס לזה כאותו פריוק כי ‪.(−7) ∼ 7‬‬
‫‪3·5‬‬
‫)‪(−3) (−5‬‬
‫‪ ,15‬כן פריק!‬
‫‪85‬‬
‫= ‪15‬‬
‫= ‪15‬‬
‫פרק ‪ .11‬פריקות בתחומי שלמות‬
‫‪ .11.2‬חילוק עם שארית‬
‫∈ ‪ π‬וכאשר ‪ (x, y ∈ R) π = xy‬אזי‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 11.1.10‬איבר ‪ π‬בחוג ‪ R‬יקרא אי־פריק )‪ (irreduible‬אם ×‪/ R‬‬
‫או ‪.y ∈ R× ,π ∼ x‬‬
‫או ‪.x ∈ R× π ∼ y‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 11.1.11‬בחוג ]‪ R [X‬פולינום לינארי הנו אי פריק אם )‪ aX + b = f (x) g (x‬אזי או ‪,deg f = 1‬‬
‫∗‪ g ∈ R‬או ‪ ,f ∈ R∗ ,deg g = 1‬אבל סקלים הם הפיכים‪.‬‬
‫∈ ‪ π‬ומתוך ‪ π | x⇐π | x · y‬או ‪π | y‬‬
‫הגדרה ‪ π 6= 0 11.1.12‬ב‪ R‬נקרא ראשוני אם ×‪/ R‬‬
‫למה ‪11.1.13‬‬
‫‪ π‬ראשוני⇐‪ π‬אי־פריק‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ π‬ראושני ואם ‪ π = x · y‬אזי מראשוניות ‪ π | x⇐π | x · y :π‬או ‪ π | y‬נניח ‪ ,π | x‬אז גם ‪ x | π‬ולכן‬
‫‪ y ∈ R∗ ,π ∼ x‬לכן ‪ π‬אי פריק‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫ √‬
‫דוגמה ‪ R = Z −5 : 11.1.14‬ראינו כי זהו חוג‪.‬‬
‫√‬
‫√‬
‫ √‬
‫ √‬
‫נתבונן ב ‪ .6‬נשים לב שהוא גם ‪ 2·3‬וגם ‪ 2 | 6 . 1 + −5 1 − −5‬אבל‪ 2 ∤ 1− −5 :‬וגם ‪.2 ∤ 1+ −5‬‬
‫ √‬
‫√‬
‫√‬
‫כי אם למשל ‪ 2 | 1 + −5‬אזי‪ ,1 + −5 = 2 a + b −5 :‬אבל זו סתירה כי ‪ 2⇐.a, b ∈ Z‬איננו ראשוני‬
‫ב‪.R‬‬
‫הוא אי פריק‪ .‬נראה זאת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אבל‬
‫√‬
‫אם ‪ R ∋ z = x + y −5‬אזי ‪ .zz = x2 + 5y 2 ∈ Z‬נניח‪ 2 = zw :‬כאשר ‪ .z, w ∈ R‬נכפיל בצמוד המרוכב‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫}‪4 = |{z‬‬
‫}‪zz · |{z‬‬
‫‪ww‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫שלמים ≤ ‪1‬‬
‫נבחין כי את ‪ 4‬ניתן לפרק רק באופנים הבאים‪4 = 1 · 4 = 4 · 1 = 2 · 2 :‬‬
‫אם ‪ ww = 4 ,zz = 1‬אז ×‪ z ∈ R‬ואז ‪ .2 ∼ w‬כנ"ל אם ‪ ww = 1‬אזי ‪.2 ∼ z‬‬
‫נבחין כי‪ zz = x2 + 5y 2 6= 2‬ולכן האפשרות ‪ ww = 2 , zz = 2‬נופלת‪ .‬מכאן ‪ 2 ∼ z⇐2 = zw‬או ‪2 ∼ w‬‬
‫⇐‪ 2‬אי־פריק‪.‬‬
‫‪ 11.2‬חילוק עם שארית‬
‫הגדרה ‪ 11.2.1‬חוג אוקלידי‪ :‬תחום שלמות ‪ R‬יקרא חוג אוקלידי אם מוגדרת בו פונקציה → }‪d : R\ {0‬‬
‫}‪ {0, 1, 2, . . .‬המקיימת‪:‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪Z≥0‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪d (a) ≤ d (ab) a, b 6= 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ a 6= 0‬ולכל ‪ b‬ישנם ‪ q, r‬כך ש ‪ b = q · a + r‬ו‪ r = 0‬או ‪ r 6= 0‬אבל )‪.d (r) < d (a‬‬
‫דוגמה ‪ |a| ≤ |ab| ,d (a) = |a| ,R = Z : 11.2.2‬־ חילוק עם שארית ־ ידוע‪.‬‬
‫)‪d (8‬‬
‫)‪d (8‬‬
‫)‪1 · 8 + 7 = 2 · 8 + (−1‬‬
‫נבחין כי אין יחידות של ‪.q, r‬‬
‫‪86‬‬
‫< )‪d (7‬‬
‫< )‪d (−1‬‬
‫= ‪15‬‬
‫פרק ‪ .11‬פריקות בתחומי שלמות‬
‫‪ .11.2‬חילוק עם שארית‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ F) ,R = F [X] : 11.2.3‬שדה(‪ = 0, 1, 2, . . . ,‬דרגת הפולינום = ) ‪ .(f 6= 0) d (f ) = deg (f‬נבחין‬
‫כי ‪ .d (f g) = d (f ) + d (g) ≥ d (f ) :‬וכמו כן‪ ,‬ידוע שאפשר לבצע חילוק עם שארית בפולינומים‪.‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫‪x3 − 4x2 + 5x + 5‬‬
‫‪x − 2x‬‬
‫‪+ 3x2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− x − 2x − 3x‬‬
‫‪−x +1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪− 4x4 − 3x3 + 3x2‬‬
‫‪4x4 + 8x3 + 12x2‬‬
‫‪5x3 + 15x2 − x‬‬
‫‪− 5x3 − 10x2 − 15x‬‬
‫‪5x2 − 16x + 1‬‬
‫‪− 5x2 − 10x − 15‬‬
‫‪− 26x − 14‬‬
‫‬
‫‪x + 2x + 3‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪x3 − 4x2 + 5x + 5‬‬
‫‪−26x − 14‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫ונבחין כי‪:‬‬
‫‬
‫‪d (r) = 1 < 2 = d x2 + 2x + 3‬‬
‫‪25/01/2012‬‬
‫‪87‬‬
‫‪2‬‬
12 ‫פרק‬
‫חוג אוקלידי‬
("‫ עם פונקציה )"נורמה אוקלידית‬R ‫תחום שלמות‬
d : R\ {0} → Z≥0
(i) d (a) ≤ d (ab)
(ii) ∀a 6= 0 ∀b ∃q, r b = qa + r ∨ r = 0 ∨ d (r) < d (a)
P
.d (a) = |a| , Z = R : 12.0.4 ‫דוגמה‬
d (f ) = deg (f ) , R = F [X]
2
d (x + iy) = x2 + y 2 = |x + iy| ,‫ חוג השלמים של גאוס‬R = Z [i]
z, w 6= 0 ‫| אם‬zw|2 = |z|2 |w|2 ≥ |z|2 , z, w ∈ Z [i] (i)
z = x + iy x, y ∈ Z (ii)
w = u + iv ‫ ־‬u, v ∈ Z
α, β ∈ Q
z
(x + iy) (u − iv)
= α + iβ =
w
u2 + v 2
.q = m + in .m, n ∈ Z ‫ עבור‬β − n ≤
| {z }
1
2
ν
x + iy
= (m + in) + (µ + iν)
u + iv
‫ ו‬α − m ≤
| {z }
1
2
‫נבחר‬
µ
x + iy = (m + in) (u + iv) + (µ + iν) (u + iv)
| {z } | {z } | {z } |
{z
}
z
q
w
r
r = z − qw ∈ R
2
|r| = |w|
2
µ2 + ν 2 =⇒
µ2 + ν 2 ≤
2
1 1
1
+ = <1
4 4
2
2
|r| = d (r) < |w| = d (w)
Ra1 + Ra2 + ‫ זה שווה ל‬,‫ קומוטטיבי‬R ‫ ומכיוון שמדובר ב‬a1 , ..., an ‫( = האידאל שנוצר ע"י‬a1 , ..., am ) :‫סימון‬
.‫ יקרא אידאל ראשי‬Ra = (a) ‫ בפרט‬,... + Ram
88
‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬
‫הגדרה ‪ R 12.0.5‬חוג ראשי אם כל אידאל של ‪ R‬הוא ראשי )מהצורה )‪((a‬‬
‫דוגמא‪ Z :‬חוג ראשי‪.‬‬
‫ב ] ‪ = I = (X, Y ) ,R [X, Y‬אידאל הפולינומים המתאפסים בראשית‪ .‬אינו נוצא ע"י איבר אחד )תרגיל ־‬
‫מניחים ש ) ‪.(I = (f‬‬
‫משפט ‪12.0.6‬‬
‫כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי‬
‫הוכחה‪ :‬תהיה ‪ d‬נורמה אוקלידית על ‪ .R‬יהיה ‪ .I E R‬אם ‪ I = 0‬אזי )‪ .I = (0‬אם ‪ I 6= 0‬נבחר ‪ a ∈ I‬כך ש‬
‫)‪ d (a‬מינימלית )אפשרי כי ‪.(d (a) ∈ N‬‬
‫טענה ‪12.0.7‬‬
‫)‪.I = (a‬‬
‫הוכחה‪ :‬בודאי ‪ .Ra = (a) ⊆ I‬להפך‪ :‬אם ‪ b ∈ I‬נחלקו בשארית ב ‪.b = qa + r ,a‬‬
‫‪ ,b ∈ (a) ⇐= r = 0‬סיימנו‬
‫אם ‪ r = b − qa ∈ I , d (r) < d (a) ⇐=r 6= 0‬סתירה‪.‬‬
‫מסקנה ‪12.0.8‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫החוג ]‪ F [X‬ראשי‪ .‬כל אידאל שלו הינו מהצורה ) ‪f · g g ∈ F [X] = (f‬‬
‫הוכחה‪⇐⇒ f1 ∼ f2 ⇐⇒ (f1 ) = (f2 ) :‬‬
‫‪ f‬יחיד עד כדי כפל בסקלר =‪.0 6‬‬
‫‪f1 = u · f2‬‬
‫‬
‫עבור ‪ f‬מסויים‪.‬‬
‫×‬
‫]‪∃u ∈ F × f1 = u · f2 ⇐⇒ ∃u ∈ F [X‬‬
‫משפט ‪12.0.9‬‬
‫בחוג ראשי ‪ π .R‬אי פריק ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‪.‬‬
‫תזכורת ‪ π 12.0.10‬אי פריק‪π = xy =⇒ π ∼ x ∨ π ∼ y :‬‬
‫‪ π‬ראשוני‪.π|xy =⇒ π|x ∨ π|y :‬‬
‫תמיד‪ :‬ראשוני =⇐ אי פריק‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 12.0.11‬אידאל ‪ P‬בתחום שלמות נקרא אידאל ראשוני אם מתוך ‪.x ∈ P ∨ y ∈ P ⇐= x, y ∈ P‬‬
‫למה ‪12.0.12‬‬
‫‪ (π) .1‬ראשוני ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‪.‬‬
‫‪ P .2‬ראשוני ⇒⇐ ‪ R/P‬תחום שלמות‪.‬‬
‫הוכחה‪π|xy ⇐⇒ xy ∈ (π) :‬‬
‫)‪π|x ⇐⇒ x ∈ (π‬‬
‫)‪π|y ⇐⇒ y ∈ (π‬‬
‫אז ‪ (1‬נובע מתרגום ההגדרות‪.‬‬
‫‪ x · y = 0 ⇐⇒ xy ∈ P (2‬בחוג ‪.R = R/P‬‬
‫‪x∈P‬‬
‫⇒⇐‬
‫‪x=0‬‬
‫‪y∈P‬‬
‫⇒⇐‬
‫‪y=0‬‬
‫ואז ‪ (2‬נובע שוב מתרגום ההגדרות )‪ R‬חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬ולכן תח"ש‪ ⇐⇒ .‬אין מחלקי אפס(‬
‫‪89‬‬
‫‪ .12.1‬אי־פריקות‬
‫‪12.1‬‬
‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬
‫אי־פריקות‬
‫הגדרה ‪ 12.1.1‬אידאל ‪ I‬נקרא אידאל מקסימלי אם ‪ I E R‬ו ‪I & R‬‬
‫ואם ‪ I ⊆ J E R‬אזי ‪ J = I‬או ‪.J = R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪30/01/2012‬‬
‫דוגמה ‪ : 12.1.2‬ב ‪ (3) ,Z‬ו )‪ (5‬הם אידאלים מקסימלים‪ 3Z ⊆ J ⊆ Z :‬אם ‪ 3 ∤ x , x ∈ J‬יש ‪m, n ∈ Z‬‬
‫כך ש ‪ .3m + xn = 1 ∈ J‬ואז ‪.J = Z‬‬
‫שדה ⊂ ‪ R‬עד סוף הסמסטר הוא תחום שלמות )חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬ללא מחלק ‪(0‬‬
‫∈ ‪ 0 6= π‬איבר ראשוני אם"ם ‪∀x, y π | xy ⇒ π | x ∨ π | y‬‬
‫∗‪/ R‬‬
‫∈ ‪ 0 6= π‬אי פריק אם"ם ‪π = xy ⇒ π ∼ x ∨ π ∼ y‬‬
‫∗‪/ R‬‬
‫‪ R‬חוג ראשי‪ :‬כל אידיאל ‪ I ⊳ R‬נוצר ע"י איבר אחד‪I = (a) = Ra :‬‬
‫משפט ‪12.1.3‬‬
‫בחוג ראשי ‪ π R‬אי פריק אם"ם ‪ π‬ראשוני‬
‫‪P‬‬
‫ √‬
‫ √‬
‫ √‬
‫דוגמה ‪−5 1 − −5 , Z −5 : 12.1.4‬‬
‫‪.6 = 2 · 3 = 1 +‬‬
‫הערה ‪ 12.1.5‬מספיק להראות ‪ π‬אי פריק ⇐‪ π‬ראשוני‪.‬‬
‫נזכר קודם במספר הגדרות ולמות‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 12.1.6‬אידיאל ‪ P‬נקרא ראשוני אם‪:‬‬
‫‪y∈P‬‬
‫∨‬
‫‪x·y ∈P ⇒x ∈P‬‬
‫‪∀x, y‬‬
‫כמו כן ראינו את הלמה‪:‬‬
‫למה ‪12.1.7‬‬
‫‪ P .1‬ראשוני אם"ם ‪ R/P‬תחום שלמות‬
‫‪ (π) .2‬ראשוני אם"ם ‪ π‬ראשוני‬
‫הגדרה ‪ 12.1.8‬אידיאל ‪ M ⊳ R‬יקרא מקסימלי אם לכל אידיאל ‪ I = R ,M ⊆ I ⊆ R I‬או ‪.I = M‬‬
‫=‪6‬‬
‫אידיאל ראשי ‪ (a) 6= R‬יקרא ראשי מקסימלי אם"ם לכל אידיאל ראשי ‪ (a) = (b) (a) ⊆ (b) ⊆ R‬או‬
‫‪(b) = R‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ R = R [X, Y ] : 12.1.9‬האידיאל )‪ (x‬הינו ראשי מקסימלי )תרגיל( אך לא מקסימלי‪:‬‬
‫‪(x) $ (X, Y ) $ R‬‬
‫למה ‪12.1.10‬‬
‫‪ M .1‬מקסימלי אם"ם ‪ R/M‬שדה‬
‫‪ (π) .2‬ראשי מקסימלי אם"ם פ איבר אי פריק‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫⇒⇐‬
‫‪ .1‬בכל תחום שלמות ‪ R‬ראינו כי ‪ a k0k‬הינו הפיך אם"ם ‪ a] (a) = R‬הפיך‬
‫‪[(a) = (1) = R‬‬
‫= ‪a−1 a =⇐0‬‬
‫לכן‪ R ,‬שדה ⇒⇐ אין ב‪ R‬אידיאלים =‪ R] R ,(0)6‬שדה ⇐ אם ‪ I 6= 0‬אידיאל‪6 a ∈ I ,‬‬
‫‪90‬‬
‫‪a ∼ 1‬‬
‫⇒⇐‬
‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬
‫‪ .12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע(‬
‫‪ .I = R⇐1 ∈ I‬להפך‪ :‬אם כל אידיאל =‪ 06‬הנו ‪ ,R‬נבחר ‪ ,0 6= a‬אידיאל הראשי ‪ ⇐(a) = R‬יש ‪b ∈ R‬‬
‫כך ש ‪[b · a = 1‬‬
‫משפט ההתאמה אמר שאידיאלים ב ‪ R/M‬הם בהתאמה חח"ע עם אידיאלים ‪ M ⊆ I ⊆ R‬ולכן‪ M ,‬מקסימלי‬
‫אם"ם ‪ R/M‬שדה‪.‬‬
‫‪ .2‬נבחין כי )‪ (π‬ראשי מקסימלי ⇐ אם ‪ π = x · y‬כמובן ‪ .(π) ⊂ (y) ,(π) ⊂ (x)⇐y | π, x | π‬מההנחה‪:‬‬
‫)‪ R = (x‬או )‪ (π‬אם )‪.x ∼ π ,(π) = (x‬‬
‫)‪ R = (y‬או )‪ (π‬אם )‪.y ∼ π ,(π) = (y‬‬
‫אם ‪ π = xy⇐y ∼ 1 ,x ∼ 1 ,y 6∼ π ,x 6∼ π‬גם כן יחידה‪ .‬סתירה‪.‬‬
‫נניח ‪ π‬אי פריק ונניח ‪ π = xy .(π) ⊆ (x) ⊆ R‬ולכן ‪ .(x) = (π)⇐(y ∼ 1) π ∼ x‬או‪π ∼ y :‬‬
‫)‪(x) = R⇐(x ∼ 1‬‬
‫כעת נחזור להוכיח את המשפט‪ .‬כזכור מספיק להראות ‪ π‬אי פריק ⇐ ‪ π‬ראשוני‪ .‬הוכחה‪ :‬אם ‪ R‬ראשי )‪ (π‬ראשי‬
‫מקסימלי ⇒⇐ )‪ (π‬מקסימלי‪ .‬ולכן מלמה ‪ π 2‬אי פריק ⇒⇐ )‪ R/(π‬שדה‪ .‬ולכן ‪ π‬אי פריק ⇒⇐ )מלמה‬
‫השניה( )‪ R/(π‬שדה ⇐ )‪ R/(π‬תחום שלמות )נשים לב לא דו כיווני‪ ,‬גרירה חד צדדית( אבל זה ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‬
‫)מלמה הראשונה( כנדרש‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 12.1.11‬החוג ]‪ F ,R = F [X‬שדה‪.‬‬
‫למה ‪12.1.12‬‬
‫יהיה ‪ f (x) ∈ R‬פולינום‪ α ∈ F ,‬אזי ‪ α‬שורש של ‪X − α | f (X) ⇐⇒ f‬‬
‫הוכחה‪ :‬מחילוק עם שארית‪:‬‬
‫‪f (x) = q (x) (x − α) + r‬‬
‫‪ r‬סקלר‪ .‬נציב ‪ X = α‬ונקבל ‪ f (α) = r‬ולכן ‪ r = 0‬אם"ם )‪.X − α | f (X‬‬
‫פולינום מדרגה ‪ 1‬־ אי פריק ≡ ראשוני‪.‬‬
‫‪ f .1 = deg f + deg g ,X − α = f · g‬או ‪ g‬לינארי והשני סקלר‪.‬‬
‫פולינום מדרגה גבוהה יותר ־ תלוי ב‪ .F‬אם לכל פולינום לא סקלרי ב]‪ F [X‬יש שורש ב ‪) F‬למשל כש ‪(F = C‬‬
‫אזי הפולינומים האי־פריקים יהיו רק הפולינומים הלינאריים‪.‬‬
‫‪f (α) = 0 ⇒ f = (X − α) g‬‬
‫‬
‫‪µ‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪λX − µ = λ X −‬‬
‫ב]‪ C [X‬האיברים האי־פריקים הינם ‪ α ∈ C ,X − α‬ועד כדי חברות רק אלה‪:‬‬
‫)מתבסס על המשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬נוכיח במבנים ‪(2‬‬
‫ב]‪ x2 + 1 ,R [X‬פולינום אי פריק אם כי‪ x2 + 1 = f · g :‬אזי ‪ g, f‬היו ליניאריים‪ .‬ואז היה שורש ל ‪x2 + 1 = 0‬‬
‫ב‪.R‬‬
‫זה לא נכון שאם אין שורשים הפולינום לא פריק‪ .‬לדומגה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x2 + 1 x2 + 2 = x4 + 3x2 + 2‬‬
‫פריק ב ]‪ R [x‬למרות שאין לו שורשים‪.‬‬
‫‪ 12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע(‬
‫הגדרה ‪ 12.2.1‬תחום שלמות ‪ R‬יקרא חוג עם פח"ע אם לכל ‪ 0 6= a ∈ R‬יש הצגה ‪ a = π1 π2 . . . πn‬כאשר ‪ πi‬אי‬
‫‪′‬‬
‫‪ π1 π2 . . . πn = π1′ π2′ . . . πm‬אז ‪ n = m‬ואחרי שינוי סדר ‪πi = πi′‬‬
‫פריקים )לאו דווקא שונים( ואם‬
‫למה ‪12.2.2‬‬
‫בחוג עם פח"ע‪ ,‬איבר ‪ π‬אי־פריק ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כאמור ראשוני ⇐ אי פריק תמיד‪.‬‬
‫נניח ‪ π‬אי־פריק‪ x · y = πz .π | x · y ,‬נפרק את ‪ z, y, x‬למכפלות גורמים אי פריקים‪ .‬מיחידות הפח"ע אזי‬
‫ינבע ש ‪ π‬חבר של גורם אי פריק של ‪ x‬או של ‪ π | X⇐ .y‬או ‪.π | y‬‬
‫‪91‬‬
‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬
‫‪ .12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע(‬
‫משפט ‪12.2.3‬‬
‫חוג ראשי הוא חוג עם פח"ע‬
‫הגדרה ‪ 12.2.4‬חוג ‪ R‬נקרא חוג נטרי )על שם ‪ (Emmy Noether‬אם לכל סדרה עולה של אידיאלים ‪I1 ⊂ I2 ⊂ . . .‬‬
‫יש ‪ n0‬כך ש ‪ In0 = In0 +1 = . . . = In = . . .‬לכל ‪n ≥ n0‬‬
‫)תנאי השרשרת העולה לאידיאלים(‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה ‪ : 12.2.5‬ב‪ (a1 ) ⊂ (a2 ) Z‬פרושו‪:‬‬
‫‪. . . | a3 | a2 | a1‬‬
‫טענה ‪12.2.6‬‬
‫כל חוג ראשי הנו נטרי‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ I1 ⊂ I2 ⊂ . . .‬סדרה עולה‪In .‬‬
‫‪ a ∈ In0‬ולכן נובע כי‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ I‬אידיאל‪ .‬ניות ו‪ I‬ראשי אזי )‪ I = (a‬אבל יש ‪ n0‬כך ש‬
‫‪In0 ⊆ I = (a) ⊆ In0‬‬
‫ולכן הנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 12.2.7‬כל החוגים שפגשנו עד היום הם נטרים‪ .‬דוגמה לחוג לא נטרי היא חוג פולינומים עם אינסוף משתנים‬
‫]‪R [X1 , X2 , X3 , . . .‬‬
‫נחזור להוכיח את המשפט הוכחה‪ :‬קיום פריוק‪:‬‬
‫נניח על דרך השלילה ש ‪ R‬ראשי אך ישנו איבר ‪ a ∈ R‬שאי־אפשר לכתוב אותו כמכפלת אברים אי־פריקים‪.‬‬
‫נסתכל בכל האידיאלים )‪ (a‬הנוצרים ע"י אברים "רעים" כאלה‪ .‬במשפחת האידיאלים הזאת צריך להיות‬
‫אידיאל גדול ביותר ביחס להכלה ־ אחרת נוכל לבנות שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים‬
‫‪(a1 ) $ (a2 ) $ (a3 ) . . .‬‬
‫בסתירה לנטריות‪.‬‬
‫נסמן ‪ π‬איבר כזה ־ שאינו מכפלת אי פריקים‪ .‬וה )‪ (π‬אינו מוכל ממש בשום אידיאל )‪ (x‬כאשר גם ‪ x‬איבר‬
‫שאינו מכפלת אי־פריקים‪.‬‬
‫‪ π‬עצמו פריק‪.y 6∼ π ,x 6∼ π ,π = xy(,‬‬
‫)‪(π) $ (x‬‬
‫לכן ‪ y ,x‬אינם "רעים" ־ הם ניתנים לכתיבה כמכפלת אברים אי־פריקים‪.‬‬
‫)‪(π) $ (y‬‬
‫אבל גם ‪ π‬מכפלת אי־פריקים‪ .‬סתירה‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ π1 . . . πn = π1′ . . . πm‬כל ‪ πi‬ו ‪ πi′‬אי פריק‪ .‬לפי משפט קודם‬
‫נרצה להראות את חד ערכיות הפירוק‪ .‬נניח‬
‫הם גם ראשוניים )‪ R‬ראשי גורר אי פריק ≡ראשוני(‬
‫‪ πi | πi′‬ואחרי שינוי סדר ניתן להניח ש ‪ π1′ ,π1′ = π1 · u ,π1 | π1′ :i = 1‬אי פריק ‪ u⇐1 6∼ π1‬יחידה‬
‫‪ . π1 ∼ π1′‬בה"כ ‪ π1 = π1′‬ואז מחלקים )‪ R‬תחום שלמות( ומקבלים ‪.π2 . . . πn = π2′ . . . πn′‬‬
‫וגומרים באינדוקציה‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫פרק ‪13‬‬
‫דוגמה לשימוש בכל מה שלמדנו‬
‫‪P‬‬
‫איזה טבעים ‪ n‬ניתנים להצגה כ ‪ n = a2 + b2‬כאשר ‪?a, b ∈ Z‬‬
‫דוגמה ‪: 13.0.8‬‬
‫‪13.0.0.2‬‬
‫‪12 + 42‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪17‬‬
‫=‪7 6‬‬
‫רעיון‪:‬‬
‫‪ n‬הנו סכום של שני ריבועים אם"ם ‪n = zz‬‬
‫]‪) ∃z ∈ Z [i‬חוג השלמים של גאוס(‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪(a + bi) (a − bi) = a2 + b2‬‬
‫אם "נכיר" את המבנה הכפלי של ]‪ Z [i‬־ כלומר את כל המספרים הראשוניים )= אי־פריקים( בו‪ ,‬סביר שנוכל‬
‫לענות על השאלה הנ"ל‪.‬‬
‫‪93‬‬