‫מבנים אלגבריים‬ ‫‪I‬‬ ‫‪80445‬‬ ‫אור דגמי‪ordigmi.org ,‬‬ ‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬ ‫סיכום ההרצאות של פרופסור אהוד דה־שליט‬ ‫‪ 2012.‬םידומיל תנשב םילשוריב תירבעה הטיסרבינואב ‪ I‬םיירבגלא םינבמ ירועישמ‬ ‫‪ 24‬ביולי ‪2012‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪ I‬מבוא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪II‬‬ ‫מבוא‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ספרות מומלצת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מנהלות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫השלמת חומר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫חבורות‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חבורות‬ ‫‪ 2.1‬פעולה בינארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 2.2‬הגדרת החבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫תת חבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪2.2.1‬‬ ‫חבורה נוצרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪2.2.2‬‬ ‫חבורת השעון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z12‬‬ ‫‪2.2.2.1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ 3.1‬מסלולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.2‬נקודות שבת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.3.1‬משפט לגרנז' ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.4‬חבורה לא קומוטטיבית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.5‬משפט המסלולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.6‬פעולה על ידי הצמדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הומומורפיזמים‬ ‫‪ 4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 4.2‬חבורת המנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 4.2.1‬תת־חבורות של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G/N = G‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪5‬‬ ‫תמורות‬ ‫‪ 5.1‬פרוק תמורות למחזורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 5.1.1‬כמה עובדות על מחזורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪6‬‬ ‫חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ 6.1‬הרעיון בחקר חבורות־‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p‬‬ ‫‪ 6.2‬משפטי סילו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪7‬‬ ‫סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬ ‫‪54‬‬ ‫חבורות פתירות ־‬ ‫‪ 8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Solvable‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪ 9‬חבורות אבליות‬ ‫‪ 9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 9.1.1‬בסיס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 9.2‬חבורות חופשיות לא אבליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪ III‬חוגים‬ ‫‪70‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪ 10‬חוגים‬ ‫‪ 10.0.0.1‬תוספות‬ ‫‪ 10.1‬הומומורפיזמים ‪. . . . . .‬‬ ‫‪ 10.2‬אידיאל ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.3‬משפטי הומומורפיזם ‪. . .‬‬ ‫‪ 11‬פריקות בתחומי שלמות‬ ‫‪ 11.1‬הקדמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 11.2‬חילוק עם שארית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪ 12‬חוג אוקלידי‬ ‫‪ 12.1‬אי־פריקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪ 13‬דוגמה לשימוש בכל מה שלמדנו‬ ‫‪ 13.0.0.2‬רעיון‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חלק‬ ‫‪I‬‬ ‫מבוא‬ ‫‪3‬‬ 1 ‫פרק‬ ‫מבוא‬ ‫ ספרות מומלצת‬1.1 • Herstein - Topis in Algebra (h. 2) (23) - ‫מומלץ‬ • Rotman - An introdution to the theory of groups (23) • Humphreys - A ourse in group theory (23) • Dummit + Foote - Abstrat Algebra (h. 1-6) (20) • Artin - Algebra h. 2,5,6 ‫מנהלות‬ 1.2 deshalitmath.huji.ail :‫ פשוט לפרופסור אודי )אהוד( דה־שליט במייל ולקבוע‬,‫ לא ינתנו‬,‫שעות קבלה‬ ‫השלמת חומר‬ 1.3 ‫• תבניות בילינאריות ־ פרק ט"ו בספר של עמיצור‬ 4 ‫חלק‬ ‫‪II‬‬ ‫חבורות‬ ‫‪5‬‬ ‫פרק ‪2‬‬ ‫חבורות‬ ‫‪31/10/2011‬‬ ‫את השיעור היום‬ ‫אלכס ‪ 2.1‬פעולה בינארית‬ ‫העביר‬ ‫לובוצקי‬ ‫הגדרה ‪ 2.1.1‬פעולה בינארית‪ :‬אם ‪ X‬קבוצה‪ ,‬פעולה בינארית )שתסומן‪ (◦, ·, ∗, +, . . . :‬זו פונקציה‪:‬‬ ‫‪X ·X → X‬‬ ‫‪(a, b) → a · b‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כאשר ‪ a, b ∈ X‬וגם ‪a · b ∈ X‬‬ ‫דוגמה ‪: 2.1.2‬‬ ‫‪ (R, +) .1‬־ מגדיר פעולה‪.‬‬ ‫‪ (R× , ·) .2‬־ ×‪ = R‬אוסף האיברים השונים מ‪.0‬‬ ‫‪ F .3‬שדה‪ (F, +) ,‬מגדיר פעולה‪.‬‬ ‫‪ (F× , ·) .4‬־ ×‪) = F‬שוב( אוסף האיברים השונים מ‪.0‬‬ ‫‪ F .5‬שדה‪det (A) 6= 0} ,‬‬ ‫| )‪ GLn (F) = {A ∈ Mn (F‬עם פעולת הרכבה‪.‬‬ ‫‪ f } X = {1, 2, . . . , n} .6‬חח"ע ועל |‪ Sym (x) = {f : x → x‬פעולת הרכבה‪.‬‬ ‫בדוגמאות שראינו‪ ,‬לקבוצה עם הפעולה הבינארית גם מתקיים‪:‬‬ ‫‪ .1‬אסוציאטיביות )דהיינו‪(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z :‬‬ ‫‪ .2‬קיים איבר יחידה ‪ e‬כך ש ‪ x ◦ e = e ◦ x = x‬לכל ‪x ∈ X‬‬ ‫‪ .3‬קיימת פונקציה ‪ ι : X → X‬כך ש ‪x ◦ i (x) = e‬‬ ‫‪ 2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫הגדרה ‪ 2.2.1‬חבורה‪ :‬חבורה היא קבוצה ‪ G‬עם פעולה בינארית ◦‪ ,‬כך ש‪:‬‬ ‫‪ .1‬הפעולה אסוציאטיבית‬ ‫‪ .2‬יש איבר יחידה ‪ e‬כך ש ‪e ◦ x = x ◦ e = x‬‬ ‫‪ .3‬יש פונקציה ‪ ι : G → G‬כך ש‪x ◦ ι (x) = e :‬‬ ‫‪∀x ∈ G,‬‬ ‫‪∀x ∈ G,‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.2‬אם מתקיים גם ‪ x ◦ y = y ◦ x‬אז החבורה תקרא חבורה קומוטטיבית‪/‬חילופית‪/‬אבלית‪.‬‬ ‫למה ‪2.2.3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫פרק ‪ .2‬חבורות‬ ‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫‪∀x ∈ G,‬‬ ‫‪ ι (x) .1‬הוא גם הופכי משמאל‪ .‬ז"א ‪ι (x) · x = e‬‬ ‫‪ .2‬כלל הצמצום‪ :‬אם ‪ xa = ya‬עבור ‪ x, y, a ∈ G‬אזי‪ x = y :‬וגם אם‬ ‫‪ ax = ay‬אזי ‪x = y‬‬ ‫‪ι (ι (x)) = x .3‬‬ ‫‪∀x ∈ g‬‬ ‫‪ι (x ◦ y) = ι (y) ◦ ι (x) .4‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ x ∈ g‬נסמן‪ y = ι (x) :‬ו‪z = ι (y) :‬‬ ‫))‪x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦z ⇒ x = z = ι (ι (x‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫)‪y ◦ ι (y) x ◦ ι (x‬‬ ‫} ‪| {z } | {z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫} ‪} | {z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ולכן קיבלנו את ‪ 3‬כנדרש‪ .‬כמו כן‪ ,‬בפרט זה מוכיח ש‪ ι‬חח"ע ועל‪.‬‬ ‫מאחר ש‪ ι‬חח"ע ועל‪ ,‬אזי כל איבר ‪ y ∈ G‬הוא מהצורה )‪ y = ι (x‬עבור איזשהו ‪ .x ∈ G‬אזי‪:‬‬ ‫‪ι (y) ◦ y = ι (ι (x)) ◦ ι (x) = x ◦ ι (x) = e‬‬ ‫ולכן‪ ,‬לכל ‪ y ∈ G‬קיבלנו‪ ι (y) ◦ y = e :‬וזה מוכיח את ‪ 1‬כנדרש‪.‬‬ ‫בהינתן ‪ a ◦ x = a ◦ y‬אזי נקבל‪:‬‬ ‫= )‪ι (a) ◦ (a ◦ x‬‬ ‫⇒ )‪ι (a) ◦ (a ◦ y‬‬ ‫= ‪(ι (a) ◦ a) ◦ x‬‬ ‫= ‪e◦x‬‬ ‫⇒ ‪(ι (a) ◦ a) ◦ y‬‬ ‫‪e◦y‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ולכן גם ‪ 2‬נכון כנדרש‪.‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.4‬נשים לב שנובע מ‪ 2‬שהגדרת ‪ ι‬היא יחידה‪ .‬זאת אומרת אם‪ e = x ◦ ι (x) = x ◦ ι′ (x) :‬אזי‬ ‫)‪ .ι (x) = ι′ (x‬כלומר ההופכי )מימן או משמאל( הוא יחיד!‬ ‫לכן כדי להוכיח את ‪ 4‬מספיק להוכיח ש‪:‬‬ ‫‪(x ◦ y) ◦ (ι (y) ◦ ι (x)) = e‬‬ ‫= ))‪(x ◦ y) ◦ (ι (y) ◦ ι (x)) = x ◦ (y ◦ (ι (y) ◦ ι (x))) = x ◦ ((y ◦ ι (y)) ◦ ι (x‬‬ ‫‪x (e ◦ ι (x)) = x ◦ (ι (x)) = e‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.5‬גם בחבורה כללית נסמן‪ .ι (x) = x−1 :‬לא נסמן ב‬ ‫קומטטיביות אנחנו לא נוכל לדעת האם מדובר ב ‪ x1 y‬או ‪.y x1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כיוון שאז נהוג לכתוב‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫וכיוון שאין‬ ‫דוגמה ‪ : 2.2.6‬כל המקרים שהבאנו קודם לפונקציות בינאריות )בדוגמה ‪ (2.1.2‬נתנו למעשה חבורות‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ .G = GLn (F) :‬המטריצה ההופכית ־ ‪ι (a) = A−1‬‬ ‫כמו כן‪ :‬כל מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬הוא חבורה‪.‬‬ ‫‪2.2.1‬‬ ‫תת חבורה‬ ‫הגדרה ‪ 2.2.7‬תת־חבורה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה‪ ,‬אזי ‪ H ⊆ G‬תת־קבוצה לא ריקה של ‪ ,G‬תקרא תת־חבורה)או חבורה‬ ‫חלקית ־ ח"ח( אם לכל ‪ x, y ∈ H‬מתקיים ‪ x ◦ y ∈ H‬וגם ‪.ι (x) ∈ H‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫‬ ‫‬ ‫פרק ‪ .2‬חבורות‬ ‫הערה ‪ 2.2.8‬נשים לב שתת־חבורה היא חבורה כי האקסיומות מתקיימות‪ ,‬מתוך כך שמתקיימות ב‪.G‬‬ ‫אסוציאטיביות ־ ברור‪.‬‬ ‫איבר יחידה קיים מאחר ו‪ H‬לא ריקה‪ .‬בהינתן ‪ x ∈ H‬אזי לפי הגדרה גם ‪ ι (x) ∈ H‬וגם ‪.e = x ◦ ι (x) ∈ H‬‬ ‫קיום הפונקציה ‪ ,ι‬היא אותה הפונקציה ‪ ι‬עבור ‪ G‬אשר סגורה ב‪.H‬‬ ‫‪P‬‬ ‫תרגיל‪ :‬בהינתן ‪ G‬חבורה ו‪ H ⊆ G :‬תת־חבורה אם"ם ‪ H‬לא ריקה ולכל ‪.x−1 y ∈ H x, y ∈ H‬‬ ‫דוגמה ‪: 2.2.9‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪G ≤ G .1‬‬ ‫‪ .2‬איבר היחידה‪{e} ≤ G .‬‬ ‫‪) Z ≤ Q ≤ R .3‬ביחס לפעולת החיבור(‬ ‫×‬ ‫×‪) R‬החבורה כפלית(‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪>0 ≤ R‬‬ ‫חבורה חלקית של )‪) GLn (F‬כיוון ש‪:‬‬ ‫‪ F .5‬שדה‪H = SLn (F) = {A ∈ Mn (F) | det (A) = 1F } :‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪det A−1 = det(A‬‬ ‫‪ det (AB) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1‬וגם‪= 11 = 1 :‬‬ ‫‪ G = SLn (R) .6‬ונגדיר }‪) H = SLn (Z) = {A ∈ Mn (Z) | det (A) = 1‬מטריצות עם קואורדינטות‬ ‫שלמות(‪.‬‬ ‫נשים לב כי‪A, B ∈ SLn (Z) :‬אזי‪ A · B ∈ SLn (Z) :‬כי מכפלת מטריצות שלמות היא שלמה וה‬ ‫‪det‬נכפלת‪ .‬צריך לבדוק שאם )‪ A ∈ SLn (Z‬אזי גם )‪ .A−1 ∈ SLn (Z‬נזכור כי ‪ A−1‬ניתנת להגדרה‬ ‫לבעזרת המינורים ולכן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪· · · Aˆi,j · · ·‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪A−1‬‬ ‫)‪det (A‬‬ ‫אבל ‪ det (A) = 1‬ולכן המטריצה שלמה‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪ α = (a1 , . . . , a‬ו ) ‪ .β = (b1 , . . . bn‬עם מכפלה פנימית ‪B : V × V → R‬‬ ‫‪ V = R‬מרחב וקטורי‪n ) ,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫המוגדרת באופן הבא ‪ .B (α, β) = ai bi‬אזי‪:‬‬ ‫})‪ = On (R) = {A ∈ GLn (R) | B (Aα, Aβ) = B (α, β‬החבורה האורתוגונלית‬ ‫הטענה‪ ,‬זו ח"ח של )‪.GLn (R‬‬ ‫צריך לבדוק‪ g, h ∈ On (R) :‬אז‪ g ◦ h ∈ On (R) :‬וגם )‪:g −1 ∈ On (R‬‬ ‫)‪B (α, β‬‬ ‫?‬ ‫)‪B ((gh) α, (gh) β‬‬ ‫=‬ ‫}‪B (g (hα) , g (hβ)) |{z‬‬ ‫)‪= B (hα, hβ) = B (α, β‬‬ ‫)‪g∈On (R‬‬ ‫צריך לבדוק שאם )‪ g ∈ On (R‬אזי גם )‪:α, β ∈ Rn .g −1 ∈ On (R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫= ‪= B g g −1 α , g g −1 β‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫)‪g∈On (R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪02/11/2011‬‬ ‫גם את השיעור‬ ‫היום העביר אלכס‬ ‫לובוצקי‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫)‪g ◦ g −1 α, g ◦ g −1 β = B (Iα, Iβ) = B (α, β‬‬ ‫‬ ‫‪B g −1 α, g −1 β‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫תרגיל‪ :‬אם ‪ H1 , H2 ≤ G‬אזי ‪.H1 ∩ H2 ≤ G‬‬ ‫‪8‬‬ ‫פרק ‪ .2‬חבורות‬ ‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫תזכורת ‪ 2.2.10‬תזכורת משיעור קודם‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.2.11‬חבורה‪ :‬חבורה זו קבוצה ‪ G‬עם פעולה בינארית ·‪ (x, y) 7→ x · y :‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪ .1‬אסוציאטיביות ‪∀x, y, z ∈ G x · (y · z) = (x · y) · z‬‬ ‫‪ .2‬קיים ‪ e ∈ G‬כך ש‪x · e = e · x = x :‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ x ∈ G‬קיים איברי ‪ x−1 ∈ G‬כך ש‪x · x−1 = e :‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.12‬אם ‪ a ∈ G‬וקיים ‪ x0 ∈ G‬כך ש‪ x0 a = x0 :‬אזי‪ a = e :‬ובפרט‪ xa = x :‬לכל ‪ .x ∈ G‬וזה על פי‬ ‫חוק הצמצום ‪x0 a = x0 e ⇒ a = e‬‬ ‫טענה ‪2.2.13‬‬ ‫אם ‪ G‬חבורה ו ‪ {Hα }α∈I‬אוסף של חבורות חלקיות של ‪ G‬אזי‪Hα :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪ H‬הוא חבורה חלקית‬ ‫‪α∈I‬‬ ‫נבחין כי ∅ =‪ H 6‬כיוון ש ‪ e ∈ Hα‬לכל ‪) .α‬כי כל חבורה חלקית מכילה את ‪ e‬־ בדוק!(‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית ‪T‬‬ ‫ולכן ‪Hα ∋ e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪α∈I‬‬ ‫‪T‬‬ ‫אם ‪ a, b ∈ H‬אזי ‪ a, b ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ו ‪ Hα‬חבורה חלקית לכן ‪ a · b ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ולכן‪Hα :‬‬ ‫= ‪a·b ∈ H‬‬ ‫‪α∈I‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬אם ‪ a ∈ H‬אזי ‪ a ∈ Hα‬לכל ‪ Hα .α‬חבורה חלקית לכל ‪ a−1 ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ולכן ‪.a−1 ∈ H‬‬ ‫‪2.2.2‬‬ ‫חבורה נוצרת‬ ‫הגדרה ‪ 2.2.14‬חבורה נוצרת‪ :‬אם ‪ G‬חבורה‪ ,‬ו ‪ Y ⊆ G‬תת קבוצה‪ .‬נסמן }‪{H| Y ⊆ H ≤ G‬‬ ‫חיתוך כל החבורות החלקיות של ‪ G‬המכילות את הקבוצה ‪.(Y‬‬ ‫וזה יקרא החבבורה הנוצרת ע"י ‪.Y‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪) hY i‬כלומר‬ ‫הערה ‪2.2.15‬‬ ‫‪ .1‬נשים לב כי האוסף לא ריק כי ‪ Y ⊆ G‬ולכן ‪ G‬בעצמו נכלל באוסף‪.‬‬ ‫‪ .2‬זו אכן חבורה חלקית‪ ,‬כי ראינו שחתוך של חבורות חלקיות מהווה חבורה חלקית‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ∅ = ‪ Y‬אזי }‪hY i = {e‬‬ ‫טענה ‪2.2.16‬‬ ‫‪ Y ⊆ G‬קבוצה חלקית‪ ,‬אזי ‪ hY i‬הוא אוסף כל האיברים ‪ g ∈ G‬הניתנים לכתיבה כ‪:‬‬ ‫‪g = y1ε1 · y2ε2 · . . . · ynεn‬‬ ‫}‪n ∈ N ∪ {0‬‬ ‫כאשר ‪ yi ∈ Y‬לכל ‪ i = 1, . . . , n‬וגם‪εi = ±1 :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ברור שכל "מילה" מהצורה ‪ y1ǫ1 · . . . · ynǫn‬מוכלת בכל חבורה חלקית המכילה את ‪ Y‬ולכן גם ב ‪ .hY i‬כדי‬ ‫להוכיח הכלה בכיוון השני‪ ,‬נוכיח שאוסף המילים הללו מהווה חבורה חלקית )ואז זו חבורה חלקית המכילה את‬ ‫‪ Y‬ולכן מכילה את ‪(hY i‬‬ ‫זו קבוצה לא ריקה )אם ∅ =‪ Y 6‬ברור‪ ,‬אם ∅ = ‪ Y‬אזי המילה באורך ‪ 0‬היא ‪ e‬ע"פ הגדרה(‪.‬‬ ‫מכפלת ‪ 2‬מילים כנ"ל זה שרשור של המילים‪ .‬ולכן‪ ,‬גם באוסף‪.‬‬ ‫ולבסוף‪ ,‬הופכי‪:‬‬ ‫‪= yn−εn · . . . · y1−ε1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫) ‪(y1ε1 · . . . · ynεn‬‬ ‫ולכן גם היא מילה מאותה צורה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪2.2.17‬‬ ‫‪ .1‬נאמר ש ‪ Y ⊆ G‬יוצרת את ‪ G‬אם ‪hY i = G‬‬ ‫‪ .2‬חבורה ‪ G‬נקראת ציקלית אם היא נוצרת ע"י איבר אחד‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫‪P‬‬ ‫פרק ‪ .2‬חבורות‬ ‫דוגמה ‪: 2.2.18‬‬ ‫‪ (Z, +) .1‬נוצרת ע"י }‪Y = {1‬‬ ‫‪ Zn = {0, 1 . . . , n − 1} .2‬עם חבור מודולו‪ n‬זו חבורה הנוצרת גם היא ע"י }‪{1‬‬ ‫‪ C2 = {±1} .3‬ביחס לכפל נוצרת ע"י }‪ .{−1‬נשים לב כי היא איזומורפית ל ‪) Z2‬נלמד משמעות בהמשך(‬ ‫לוח כפל של חבורה מסדר ‪ n‬זה רבוע קסם ‪:n × n‬‬ ‫·‬ ‫‪e a b c‬‬ ‫‪e e a b c‬‬ ‫‪a a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c c‬‬ ‫דהיינו בכל שורה ובכל עמודה מופיע כל אחד מהאיברים בדיוק פעם אחת‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.19‬לא כל ריבוע קסם מגדיר חבורה!‬ ‫דוגמה ‪ : 2.2.20‬נרצה לראות איך נראת חבורה מסדר ‪:2‬‬ ‫·‬ ‫‪e a‬‬ ‫‪e e a‬‬ ‫‪a a e‬‬ ‫נשים לב שאין לנו אפשרות אחרת למלא את הטבלה‪ ,‬לכן זה אומר שכל החבורה מסדר ‪ 2‬הן איזומורפיות‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 2.2.21‬עבור חבורה מסדר ‪:3‬‬ ‫·‬ ‫‪e a b‬‬ ‫‪e e a b‬‬ ‫‪a a b e‬‬ ‫‪b b e a‬‬ ‫גם כאן‪ ,‬לא הייתה לנו אפשרות לסדר את הטבלה אחרת‪ ,‬נשים לב שזו טבלת החיבור של ‪.Z3‬‬ ‫הערה ‪ 2.2.22‬לסדר ‪ 4‬כבר יהיו ‪ 2‬אפשרויות‪.‬‬ ‫‪07/11/2011‬‬ ‫מעתה נלמד עם‬ ‫אהוד דה־שליט‬ ‫הגדרה ‪ 2.2.23‬סדר‪ :‬אם ‪ G‬היא סופית‪ ,‬מספר אבריה נקרא סדר החבורה ומסומן |‪|G‬‬ ‫קצת חזרה על מה שנלמד עד כה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.2.24‬קומוטטיבית\אבלית‪ :‬אם ‪ G‬מקיימת בנוסף‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪∀x, y x ◦ y = y ◦ x‬‬ ‫אזי ‪ G‬נקראת קומוטטיבית או אבלית‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ 2.2.25‬החבורה הטריוויאלית‪ e ◦ e = e ,G = {e} :‬ולכן ‪.ι (e) = e‬‬ ‫הטריוויאלית‪.‬‬ ‫חבורה זו היא החבורה‬ ‫דוגמה ‪ GLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) , det (A) 6= 0} : 2.2.26‬עם פעולת כפל המטריצות‪.‬‬ ‫נשים לב כי קיים איבר יחידה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ··· 0‬‬ ‫‪ .. . .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪e = I = .‬‬ ‫‪. .. ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫וכמו כן קיים איבר הופכי‪:‬‬ ‫‪ι (A) = A−1‬‬ ‫)קיים כי ‪.(det (A) 6= A‬‬ ‫ולכן זוהי חבורה‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫פרק ‪ .2‬חבורות‬ ‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫עקרונית‪ ,‬ניתן לתאר חבורה ‪ G‬ע"י "לוח הכפל"‪ ,‬אבל זה לא נהוג‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬נכיר מספר חבורות ידועות‪:‬‬ ‫)‪GLn (R‬‬ ‫)‪SLn (R‬‬ ‫)‪SOn (R‬‬ ‫‪ General Linear Group‬מוגדרת באופן הבא‪GLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) , det (A) 6= 0} :‬‬ ‫‪ Speial Linear Group‬מוגדרת באופן הבא‪SLn (R) = {g ∈ GLn (R) , det (g) = 1} :‬‬ ‫‪ Speial Orthogonal Group‬מוגדרת בתור המטריצות האורתוגונליות מדטרמיננטה = ‪ ,1‬דהיינו‪:‬‬ ‫}‪SOn (R) = {g ∈ SLn (R) | g t g = I‬‬ ‫‪ H, K ≤ G‬תתי חבורות‪ ,‬אזי גם החיתוך ‪.H ∩ K ≤ G‬‬ ‫אזהרה‪ :‬איחוד של תתי חבורות בדרך כלל אינו תת חבורה!‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ G = Z : 2.2.27‬עם פעולת החיבור ‪.+‬‬ ‫‪ e = 0‬וכמו כן‪ι (n) = −n :‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪6Z ∩ 9Z = 18Z‬‬ ‫בהנתן קבוצה ‪ S ⊆ G‬קיימת תת חבורה מינימלית של ‪ G‬המכילה את כל ‪ .S‬תת החבורה הזאת מסומנת ‪hSi‬‬ ‫ונקראת תת החבורה הנוצרת על ידי ‪.S‬‬ ‫אם ‪ hSi = G‬אומרים ש ‪ S‬קבוצה יוצרים של ‪.G‬‬ ‫‪ G‬נקראת חבורה ציקלית )מעגלית( אם יש לה יוצר אחד ‪) G = h{g}i = hgi‬האיבר ‪ g‬אינו יחיד בדרך כלל(‪.‬‬ ‫למה ‪2.2.28‬‬ ‫בהינתן ‪ {Hα }α∈I‬אוסף של תת חבורות של חבורה ‪ H‬אזי גם ‪Hα‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪ H‬גם הוא תת חבורה‪.‬‬ ‫‪α∈I‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כבר הוכחנו את זה בשיעור הקודם‪.‬‬ ‫טענה ‪2.2.29‬‬ ‫בהנתן קבוצה ‪ S ⊆ G‬קיימת תת חבורה מינימלית יחידה של ‪ G‬המכילה את כל ‪.S‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בהנתן ‪ S ⊆ G‬נסתכל באוסף כל תת־החבורות ‪ Hα ≤ G‬המכילות את ‪.S‬‬ ‫זהו אוסף לא ריק )למשל ‪ ,(G‬וחתוכו אם כך תת־חבורה המכילה את ‪ ,S‬והחתוך הזה שייך בעצמו לאוסף‬ ‫ובהכרח הוא איבר מינימלי באוסף‪ .‬ולכן‪:‬‬ ‫\‬ ‫= ‪hSi‬‬ ‫‪Ha ⊆ Hα‬‬ ‫‪α∈I‬‬ ‫אפשר לתאר את ‪ = hSi‬תת־החברוה הנוצרת על ידי ‪ S‬גם על ידי בניה "מלמטה"‪:‬‬ ‫כלומר נסמן‪:‬‬ ‫}‪S˜ = S ∪ ι (S) ∪ {e‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫}‪ι (S) = {ι (x) | x ∈ S‬‬ ‫מילה על ‪ S‬הינה ביטוי מהצורה‪:‬‬ ‫‪x1 x2 x3 . . . xn ∈ G‬‬ ‫כאשר ˜‪.xi ∈ S‬‬ ‫טענה ‪2.2.30‬‬ ‫אברי ‪ G‬שהם מילים על ‪ S‬מהוים בדיוק את ‪hSi‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הוכחנו בשיעור הקודם‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫פרק ‪ .2‬חבורות‬ ‫‪ .2.2‬הגדרת החבורה‬ ‫‪ 2.2.2.1‬חבורת השעון ‪Z12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫איור ‪ :2.1‬חבורת השעון ־ ‪Z12‬‬ ‫}‪ G = {0, 1, . . . , 11‬עם פעולת החיבור על השעון ‪ +‬מודולו ‪ 12‬היא חבורת השעון‪.‬‬ ‫איבר היחידה בחבורה הוא‪ e = 0 :‬ו‪ι (x) = −x :‬‬ ‫‪ G‬ציקלית נוצרת ע"י ‪|G| = 12 .1‬‬ ‫תת חבורות‪:‬‬ ‫‪n o‬‬ ‫‪ 0‬־ טריויאלית )איבר בודד(‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, 11 = G .2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪0, 2 , 4, 6, 8, 10 .3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪0, 3 , 6, 9‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪0, 4 , 8‬‬ ‫‪0, 6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ 12‬איברים(‬ ‫)‪ 6‬איברים(‬ ‫)‪ 4‬איברים(‬ ‫)‪ 3‬איברים(‬ ‫)‪ 2‬איברים(‬ ‫הערה ‪ 2.2.31‬האיברים הממוסגרים הם האיברים היוצרים של כל תת חבורה‪.‬‬ ‫נבחין שקיימים ‪ 2‬איברים מסדר ‪ 2‬כלומר שמקיימים‪ x2 = e :‬והם ‪.0, 6‬‬ ‫שעונים עם כמות שעות שונה אם היינו בוחנים את ‪ Z11‬היינו שמים לב כי תתי החבורות היחידים שאפשריים‬ ‫הם‪{0, 1, . . . , 11} :‬ו }‪ .{0‬כמובן שיש קשר לכך ש ‪ 11‬ראשוני‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫פרק ‪3‬‬ ‫פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫תהיה ‪ G‬חבורה‪ X ,‬קבוצה‪ .‬פעולה של ‪ G‬על ‪ X‬הנה פונקציה‪ G × X → X :‬המסומנת‪:‬‬ ‫המקיימת‪ ∀x e · x = x :‬וגם מתקיים‪x :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪(g, x) 7→ g · x‬‬ ‫‪‬‬ ‫·‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫פעולת ‪ G‬על ‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪x = g |{z‬‬ ‫‪h‬‬ ‫·‬ ‫כפל חבורה‬ ‫·‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫פעולת ‪ G‬על ‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h‬‬ ‫·‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪g‬‬ ‫פעולת ‪ G‬על ‪X‬‬ ‫דוגמה ‪ X = Rn ,G = GLn (R) : 3.0.32‬אזי הפעולה‪ g · x = g (x) :‬היא בעצם כפל של וקטור במטריצה‪.‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪I·x=x‬‬ ‫וכמו כן‪,‬‬ ‫‪A (Bx) = (AB) x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪: 3.0.33‬‬ ‫‪ X‬קבוצה כלשהי‪ G = SX ,‬חבורת התמורות של ‪X = {1, . . . , n} .X‬‬ ‫הערה ‪ 3.0.34‬נהוג לסמן‪ Sn = SX :‬וקוראים לה החבורה הסימטרית על ‪ n‬איברים‪.‬‬ ‫אם ‪ α‬תמורה )פעולה חח"ע ועל מ‪ X‬על עצמו( )‪ α · x = α (x‬נשים לב כי ‪ e · x = x‬תמורת הזהות‪ .‬וכמו כן‪:‬‬ ‫)‪α (β (x)) = α (β · x) = (αβ) (x‬‬ ‫למה ‪3.0.35‬‬ ‫אם ‪ G × X → X‬פעולה של חבורה על קבוצה‪ ,‬אזי לכל ‪ g ∈ G‬הפונקציה‪πg : X → X ,πg (x) = g · x :‬‬ ‫הינה תמורה של ‪.X‬‬ ‫הוכחה‪ :‬חח"ע‪ :‬אם )‪ πg (x) = πg (y‬אזי‪ .g · x = g · y :‬נפעיל ‪ g −1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪x = e · x = g −1 g x = g −1 (gx) = g −1 (gy) = g −1 g y = ey = y‬‬ ‫על‪ πg (x) = y :‬נבחר ‪ x = g −1 y‬אז‪:‬‬ ‫‬ ‫‪πg (x) = g · g −1 y = gg −1 · y = e · y = y‬‬ ‫‪13‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.0.36‬כל חבורה פועלת על עצמה ע"י פעולת החבורה‪:‬‬ ‫‪X=G‬‬ ‫‪G×G→G‬‬ ‫‪P‬‬ ‫)האקסיומות הן של יחידה וחוק אסוציאטיבי(‬ ‫דוגמה ‪ 3.0.37‬חבורת המעגל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪− sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫= )‪G = SO2 (R‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫פועלת על ‪ R2‬ע"י סיבוב בזוית ‪.θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪~v‬‬ ‫‪~v‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫איור ‪ :3.1‬סיבוב וקטור בזוית ‪θ‬‬ ‫‪09/11/2011‬‬ ‫הערה ‪ 3.0.38‬אם ‪ G‬פועלת על ‪ X‬ו‪ ,H ≤ G :‬אזי כמובן גם ‪ H‬פועלת על ‪X‬‬ ‫‪14‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪: 3.0.39‬‬ ‫‪ .1‬החבורה )‪ G = GLn (R‬והקבוצה ‪ X = Rn‬והפעולה היא‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪a1,n‬‬ ‫‪..   ..  = . . . . . . . . .‬‬ ‫‪.  . ‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫···‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫···‬ ‫‪an,n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A · x =  ...‬‬ ‫‪an,1‬‬ ‫‪ G .2‬פועלת על עצמה ע"י כפל משמאל‪(G = X) :‬‬ ‫‪G‬‬ ‫}‪G × |{z‬‬ ‫}‪G → |{z‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X .3‬קבוצה כל שהיא‪=SX :‬חבורת התמורות על ‪X‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.0.40‬תמורה של קבוצה ‪ X‬היא פונקציה חח"ע ועל ‪.α : X → X‬‬ ‫‪ α ◦ π‬הרכבה‪.‬‬ ‫))‪(α ◦ β) (x) = α (β (x‬‬ ‫הערה ‪ 3.0.41‬צריך לבדוק שגם ‪ α ◦ β‬תמורה‪:‬‬ ‫) ‪α ◦ β (x2‬‬ ‫)) ‪α (β (x2‬‬ ‫) ‪β (x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫⇓‬ ‫=‬ ‫⇓‬ ‫=‬ ‫) ‪α ◦ β (x1‬‬ ‫)) ‪α (β (x1‬‬ ‫) ‪β (x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫וכמו כן‪:‬‬ ‫‪α ◦ β (x) = y‬‬ ‫אזי קיים ‪ z‬כך ש‪) α (z) = y :‬כי ‪α‬על(‪ .‬וכמו כן קיים ‪ x‬כך ש ‪ β (x) = z‬ולכן‪:‬‬ ‫‪α (β (x)) = α (z) = y‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬קיים הופכי לתמורות‪.α−1 (x) = y ⇐⇒ α (y) = x .‬‬ ‫הערה ‪ 3.0.42‬במידה ו }‪ X = {1, 2, . . . , n‬נסמן‪ Sx = Sn :‬ונקרא לה החבורה הסימטרית על ‪ n‬אברים‪.‬‬ ‫!‪|Sn | = n‬‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪α (1) α (2) . . . α (n‬‬ ‫=‪α‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.0.43‬במשולש‪ ,‬כמו שראינו בתרגול ‪ 2‬ניתן להשתמש בתמורה על הקודקודים ופעולות סימטריות‬ ‫שניתן לעשות עליו והיא שקולה ל ‪ .S3‬לדוגמה‪ ,‬הרכבה של שיקוף וסיבוב תתן לנו‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫◦‬ ‫=‬ ‫‪2 1 3‬‬ ‫‪2 3 1‬‬ ‫‪1 3 2‬‬ ‫לעומת זאת נשים לב כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 215 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫◦‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫כלומר‪ S3 :‬היא חבורה לא אבלית )קומוטטיבית(‬ ‫‬ ‫‪− sin θ‬‬ ‫‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .3.1‬מסלולים‬ ‫טענה ‪3.0.44‬‬ ‫לכל ‪ g ∈ G‬הפונקציה‪ πg : X → X :‬המוגדרת באופן הבא‪ πg = g · x :‬היא תמורה של ‪.X‬‬ ‫הערה ‪ 3.0.45‬אם ‪ H ≤ G‬ו‪ G‬פועלת על ‪ X‬אז גם ‪ H‬פועלת על ‪.H × X → X :X‬‬ ‫למשל‪ :‬אם ‪.H × G → G :H ≤ G‬‬ ‫משפט ‪3.0.46‬‬ ‫אם ‪ G‬פועלת על ‪ X‬ומגדירים יחס על ‪:X‬‬ ‫‪∃g ∈ G y = g · x ⇐⇒ x ∼ y‬‬ ‫אזי זהו יחס שקילות‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫רפלקסיביות‪:‬‬ ‫‪x=e·x⇒x∼x‬‬ ‫סימטריות‪:‬‬ ‫‪y ∼ x ⇒ y = g · x ⇒ g −1 y = g −1 gx = ex = x ⇒ x ∼ y‬‬ ‫טרנזטיביות‪:‬‬ ‫‪y ∼ x, z ∼ y ⇒ y = hx z = gy ⇒ z = g (hx) = (gh) x ⇒ z ∼ x‬‬ ‫‪14/11/2011‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫מסלולים‬ ‫מסקנה ‪3.1.1‬‬ ‫‪ X‬מתחלקת לאיחוד זר של מחלקות שקילות תחת פעולת ‪.G‬‬ ‫מחלקת השקילות של איבר ‪ x ∈ X‬נקראת המסלול )‪ (orbit‬של ‪ x‬תחת הפעולה ומסומנת‪ O (x) :‬או ‪Gx‬‬ ‫‪O (x) = {g · x| g ∈ G} = Gx‬‬ ‫האיבר ‪ x‬עצמו נקרא נציג של המסלול‪ .‬וחשוב לציין שאיננו יחיד ־ אם גם ‪ x′‬נציג אזי‪) x′ ∼ x :‬כלומר קיים‬ ‫‪ g ∈ G‬כך ש‪(x′ = gx :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪) G = 3Z : 3.1.2‬עם פעולת החיבור( פועלת על ידי הזזה על ‪X = Z‬‬ ‫ישנם ‪ 3‬מסלולים‪:‬‬ ‫‪0 + 3Z = 3Z‬‬ ‫‪1 + 3Z‬‬ ‫‪2 + 3Z‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ .3.1‬מסלולים‬ ‫‪P‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫דוגמה ‪ : 3.1.3‬דוגמאות נוספות למסלולים‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ Rn‬עבור‪ x =  .  :‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫)‪GLn (R‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫מסלולים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1,n‬‬ ‫‪.. ‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫···‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫···‬ ‫‪an,n‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1,1‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪g= .‬‬ ‫‪an,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪gx =  ... ‬‬ ‫‪an,1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ולכן עבור ‪ x =  . ‬נקבל שהמסלולים הם‪:‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫}‪Rn \ {0‬‬ ‫כיוון שכל וקטור שנבחר )השונה מאפס( ניתן‬ ‫להשלמה לבסיס‪ ,‬וכך נבנה את המטריצה ‪g‬‬ ‫שלנו‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫לחילופין עבור ‪ x =  ... ‬נקבל כי המסלול‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪− sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫)‪2 (R‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪SX‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫הוא }‪{0‬‬ ‫}‪ {0‬ומעגלים קונצנטריים סביב האפס‪.‬‬ ‫נשים לב כי זוהי תת־חבורה של )‪GLn (R‬‬ ‫אבל היא משנה לגמרי את האופי הגיאומטרי‬ ‫של המסלולים‪.‬‬ ‫‪ X‬מסלול יחיד‪.‬‬ ‫לכל ‪ x, y‬ישנו‪ g ∈ SX :‬כך ש ‪y = gx‬‬ ‫‪g (y) = x‬‬ ‫‪g (x) = y,‬‬ ‫וכמו כן ‪g (z) = z ⇐∀z 6= x, y‬‬ ‫זוהי טרנספוזיציה‪ .‬החלפה של שני איברים‬ ‫בלבד‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.1.4‬פעולה טרנזטיבית‪ :‬פעולת ‪ G‬על ‪ X‬נקראת טרנזטיבית אם ישנו רק מסלול אחד‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ G : 3.1.5‬על ‪ X = G‬על ידי כפל משמאל‬ ‫לכל ‪ x, y ∈ G‬יש ‪ g ∈ G‬כך ש‪:‬‬ ‫‪gx = y ⇒ g = yx−1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .3.2‬נקודות שבת‬ ‫‪P‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫דוגמה ‪ G = Z2 = {e, σ} : 3.1.6‬כאשר ‪.σ y  =  y  .X = R3‬‬ ‫‪   z  −z‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫= ‪ z‬או מקרים‬ ‫לכן המסלולים הם מסלולים של זוגות‪ ,‬כל הוקטורים מהמבנה ‪ y  ,  y ‬כאשר ‪6 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪−z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫של מסלולים של איבר אחד ‪. y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫נקודות שבת‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.1‬נקודת־שבת‪ x :‬נקראת נקודת־שבת )‪ (Fixed Point‬של פעולת ‪ G‬אם }‪ {x‬מסלול‪.‬‬ ‫‪g·x=x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪∀g‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.2.2‬נשים לב כי ב )‪ GLn (R‬אזי }‪ {0‬היא נקודת שבת‪.‬‬ ‫כמו כן גם )‪ {0} SO2 (R‬היא נקודת שבת‪.‬‬ ‫במקרה של ‪ SX‬אין לנו כלל נקודות שבת‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ואילו בדוגמה "}‪ G = Z2 = {e, σ‬כאשר ‪ "σ y  =  y  .X = R3‬נקודות השבת הן כל הנקודות‬ ‫‪z‬‬ ‫‪−z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫במבנה ‪. y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.3‬פעולה נאמנה‪ :‬אומרים שפעולת ‪ G‬על ‪ X‬היא נאמנה אם לכל ‪ e 6= g ∈ G‬ישנו ‪ x ∈ X‬כך ש‬ ‫‪.gx 6= x‬‬ ‫יהי ‪ x ∈ X‬נסמן‪:‬‬ ‫}‪Gx = {g ∈ G| gx = x‬‬ ‫זהו המייצב של ‪.x‬‬ ‫למה ‪3.2.4‬‬ ‫‪) Gx ≤ G‬תת־חבורה(‬ ‫הוכחה‪ e · x = x :‬ולכן ‪) e ∈ Gx‬לפעמים המייצב הוא רק ‪(e‬‬ ‫אם ‪ gx = x‬אזי ‪ x = g −1 gx = g −1 x‬ולכן גם ‪.g −1 ∈ Gx‬‬ ‫אם ‪ gx = x‬וגם ‪ hx = x‬אזי‪:‬‬ ‫‪(gh) x = g (hx) = g (x) = x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ולכן ‪ Gx‬תת חבורה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ G = Sn .X = {1, . . . , n} : 3.2.5‬מהו המייצב של ‪?n‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪... n‬‬ ‫=‪α‬‬ ‫‪= Sn−1‬‬ ‫‪α (1) α (2) α (3) . . . n‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪ .3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪P‬‬ ‫)‪ G = GLn (R‬ו‪ X = Rn :‬עבור ‪ x) Gx = G ⇐x = 0‬נקודת שבת(‬ ‫דוגמה ‪: 3.2.6‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מקרה נוסף‪ x =  .  :‬ומרחב המטריצות‪:‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∗ ‪∗ ...‬‬ ‫∗ ‪∗ ...‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.. . .‬‬ ‫‪. ..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∗ ‪...‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Gx = ‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫נשים לב כי המטריצה הקטנה )המסומנת( חייבת להיות הפיכה כדי שהמטריצה הגדולה תהא הפיכה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ G : 3.2.7‬פועלת על עצמה על ידי כפל משמאל‪:‬‬ ‫}‪Gx = {g| gx = x} = {e‬‬ ‫מכלל הצמצום )נצמצם ב ‪ x−1‬מימין(‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2.8‬פעולה חופשית ‪ G :‬פועלת חופשית )‪ (freely‬על ‪ X‬אם }‪ Gx = {e‬לכל ‪ x‬ב‪.X‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.2.9‬לדוגמה ‪ G‬פועלת על עצמה על ידי כפל משמאל‪.‬‬ ‫פעולות של תת חבורה על חבורה‬ ‫ראינו את המקרה בו ‪ G‬פעולת על עצמה ע"י כפל משמאל‪ .‬כעת נבחן את המקרה בו צמצמנו את ‪ G‬לתת־חבורה‬ ‫‪ .H‬כלומר ‪ H‬פועלת ‪H × G → G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h, g  7→ h g‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫המסלול של ‪ g‬הינו‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪{hg|h ∈ H} = Hg‬‬ ‫והוא נקרא המחלקה הימנית של ‪ H‬הנקבעת ע"י ‪.g‬‬ ‫דוגמה ‪: 3.3.1‬‬ ‫‪G = Z 3Z + i‬‬ ‫‪H = 3Z,‬‬ ‫‪ g‬הינו נציג של המחלקה ‪ Hg‬שני אברים ‪ g1 , g2‬מייצגים אותה מחלקה ימנית ולכן‪⇐⇒ :‬‬ ‫‪.Hg1 = Hg2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.3.2‬כלומר‪3Z + 1 = 3Z + 4 :‬‬ ‫את אוסף המחלקות הימניות מסמנים ‪ H\G‬מספרן נקרא האינדקס של ‪ H‬ב‪ H‬ומסומן‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫∞ ≤ ]‪[G : H‬‬ ‫דוגמה ‪: 3.3.3‬‬ ‫‪[Z : 3Z] = 3‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪hg1 = g2‬‬ ‫‪∃h‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה‬ ‫למה ‪3.3.4‬‬ ‫‪ G‬חבורה סופית‪ g ∈ G .H ≤ G ,‬אז‪.|H| = |Hg| :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נעתיק את ‪ H‬על ‪ H · g‬ע"י ‪ ϕ .ϕ (h) = h · g‬הנה על מהגדרת המחלקה‪ ϕ .‬הנה חח"ע בגלל כלל הצמצום‪:‬‬ ‫‪h1 g = h2 g ⇒ h1 = h2‬‬ ‫ולכן בהכרח |‪ |H| = |Hg‬כיוון שיש בניהם העתקה חח"ע ועל‪.‬‬ ‫‪3.3.1‬‬ ‫משפט לגרנז'‬ ‫משפט ‪ 3.3.5‬משפט לגרנז'‬ ‫אם ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬הסדר של כל תת חבורה ‪ H‬שלה מחלק את הסדר של ‪ G‬ומתקיים‪:‬‬ ‫]‪|G| = |H| · [G : H‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ]‪ r = [G : H‬ו־ ‪ g1 , . . . , gr‬נציגים של המחלקות הימניות השונות‪ ,‬יש לנו איחוד זר‪.‬‬ ‫‪G = Hg1 ∪ Hg2 ∪ . . . ∪ Hgr‬‬ ‫)חלוקה של המרחב ‪ G‬לאיחוד זר של מסלולים תחת פעולת ‪(H‬‬ ‫}‪|Hgi | |{z‬‬ ‫]‪= |H| r = |H| [G : H‬‬ ‫מהלמה‬ ‫‪r‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= |‪|G‬‬ ‫מסקנה ‪3.3.6‬‬ ‫תהיה ‪ G‬חבורה מסדר ראשוני ‪ p‬אזי אין ל ‪ G‬תת־חבורות שונות מ‪ G‬ומ}‪ {e‬ו‪ G‬ציקלית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ H ≤ G‬אזי‪ H) |H| |p :‬מחלק את ‪ (p‬אבל ‪ p‬ראשוני⇐ ‪ |H| = 1‬ואז }‪ H = {e‬או ‪ |H| = p‬אז‬ ‫‪.H=G‬‬ ‫נראה ש ‪ G‬ציקלית‪ .‬נקח ‪ g 6= e‬ב‪ G‬ונסתכל ב ‪H = hgi‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪H = gi| i ∈ Z‬‬ ‫אם ‪ |H| > 1‬אז ‪ H = G‬כלומר ‪ G‬נוצרת ע"י אבר אחד ולכן ציקלית‪.‬‬ ‫הערה ‪ 3.3.7‬מחלקות מהמבנה ‪ Hgi‬הן אינן תת חבורות פרט ל ‪ gi = e‬כיוון ש ‪ e‬אינו נמצא באף אחת מהן!‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.8‬סדר של איבר‪ :‬הסדר של איבר ‪ g ∈ G‬הוא ה‪ n‬המינימלי )הטבעי( כך ש ‪) g n = e‬אם אין ‪ n‬כזה‬ ‫אומרים שהסדר אינסופי(‪.‬‬ ‫מסמנים )‪.o (g‬‬ ‫טענה ‪3.3.9‬‬ ‫|‪o (g) = |hgi‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ 0 ≤ i < j < n‬אזי‪ e, g, g 2 , . . . , g n−1 :g i 6= g j :‬שונים זה מזה כי אחרת ‪ g i = g j‬אזי‪e = g j−i :‬‬ ‫)‪ (1 ≤ j − i < n‬וזוהי סתירה לבחירת ‪.n‬‬ ‫∞‪.‬‬ ‫‬ ‫אם ∞ = )‪ = |hgi| ⇐o (g‬‬ ‫מאידך‪ ,‬אם ‪ o (g) = n‬סופי ‪ e, g, . . . , g n−1‬הוא כבר סגור לפעולות החבורה‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪g i+j‬‬ ‫‪0≤i+j <n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫= ‪g ·g‬‬ ‫‪i+j−n‬‬ ‫‪g‬‬ ‫אחרת‬ ‫‪20‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .3.3‬פעולות של תת חבורה על חבורה‬ ‫וכמו כן‪:‬‬ ‫‪= g n−i‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪gi‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫לכן ‪ hgi = e, g, . . . , g n−1‬וסדרה ‪.n‬‬ ‫מסקנה ‪ 3.3.10‬למשפט לגרנז'‬ ‫לכל ‪ o (g) g ∈ G‬מחלק את |‪.|G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ממשפט לגרנז' |‪ o (g) = |hgi‬אבל הסדר של ‪ hgi‬לפי משפט לגרנז' מחלק את |‪.|G‬‬ ‫מסקנה ‪3.3.11‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ‪ |G| = n‬אזי ‪ g = e‬לכל ‪.g ∈ G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם הסדר של ‪ o (g) = m‬אזי ‪ n = k · m‬כאשר ‪ .k ∈ N‬ולכן‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪g n = (g m ) = ek = e‬‬ ‫משפט ‪ 3.3.12‬המשפט הקטן של פרמה‬ ‫אם ‪ a‬טבעי זר לראשוני ‪ p‬אזי‪:‬‬ ‫‪ap−1 ≡ 1 mod p‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪: 3.3.13‬‬ ‫‪35−1 = 34 = 81 ≡ 1 mod 5‬‬ ‫או לחילופין‪:‬‬ ‫‪47−1 = 46 ≡ 1 mod 7‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נקח‪ .G = Z∗p :‬נשים לב כי ‪) |G| = p − 1‬הורדנו את האפס(‪.‬‬ ‫‪ a ∈ G‬השארית של ‪ a‬מודולו ‪ .p‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ap−1 = 1‬‬ ‫‪16/11/2011‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.14‬באופן זהה למחלקות ימניות יש לנו גם מחלקות שמאליות‪ g ∈ G ,H ≤ G .‬אז המחלקה השמאלית‬ ‫של ‪ H‬שנקבעת ע"י ‪ g‬היא‪:‬‬ ‫}‪g · H = {g · h| h ∈ H‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.15‬נגדיר את הפעולה של ‪ H‬על ‪ G‬ע"י כפל מימין כך‪:‬‬ ‫‪h ∗ g = gh−1‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪∈G=x‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪∈H‬‬ ‫‪ .3.4‬חבורה לא קומוטטיבית‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫הערה ‪ 3.3.16‬נבדוק את אקסיומת הפעולה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪e ∗ g = ge−1 = ge = g‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪= (h1 h2 ) ∗ g‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1 −1‬‬ ‫‪h−1‬‬ ‫) ‪1 = gh2 h1 = g (h1 h2‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪h1 ∗ (h2 ∗ g) = gh2‬‬ ‫)נשים לב כי הסדר של האיברים כאשר איחדנו את ההופכי‪ ,‬באופן לא מפתיע‪ ,‬מתהפך‪(.‬‬ ‫נשים לב שמעכשיו‪ ,‬הכל זהה לחלוטין לכפל משמאל כיוון ש‪:‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‬ ‫‪O (g) = gh | h ∈ H = g · H‬‬ ‫ולכן מחלקות שמאליות הנן המסלולים של ‪ H‬בפעולתה על ‪ g‬על ידי כפל מימין‪.‬‬ ‫מסקנה ‪3.3.17‬‬ ‫‪ .1‬שתי מחלקות שמאליות מתלכדות או זרות‬ ‫‪g2 = g1 h ⇐⇒ g1−1 g2 ∈ H‬‬ ‫‪g1 H = g2 H ⇐⇒ ∃h‬‬ ‫‪) |H| = |gH| .2‬אם ‪ H‬סופית(‬ ‫הוכחה זהה למקרה של מחלקות שמאליות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.3.18‬אוסף המחלקות השמאליות יסומן ‪ G) G/H‬מודולו ‪(H‬‬ ‫מספרן = האינדקס )השמאלי(‬ ‫|‪[G : H]ℓ = |G/H‬‬ ‫משפט ‪ 3.3.19‬משפט לגרנז'‬ ‫אם ‪ G‬סופית אז‪:‬‬ ‫|‪|G| = [G : H]ℓ · |H‬‬ ‫הערה ‪ 3.3.20‬נשים לב כי זה גורר‪:‬‬ ‫]‪[G : H]ℓ = [G : H‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ולכן לא נשתמש בסימון‪[G : H]ℓ :‬‬ ‫תרגיל‪ [G : H]r = [G : H]ℓ :‬ולכן יסומן ]‪ [G : H‬גם אם ‪ G‬אינסופית‪.‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫חבורה לא קומוטטיבית‬ ‫ראינו כי חבורה מסדר ‪ 2‬היא קומוטטיבית כי היא מסדר ראשוני‪ ,‬כמו כן גם ‪ 3‬ו־ ‪ .5‬כמו כן ראינו גם את כל‬ ‫לוחות הכפל )שניים סה"כ( של ‪ 4‬וראינו שגם הם קומוטטיבים‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ .3.4‬חבורה לא קומוטטיבית‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫החבורה הראשונה שהיא לא קומוטטיבית היא מסדר ‪ 6‬החבורות‪:‬‬ ‫חבורת התמורות על }‪G = D3 = S3 = {1, 2, 3‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫=‪, τ‬‬ ‫=‪σ‬‬ ‫‪3 2 1‬‬ ‫‪2 3 1‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫סיבוב‬ ‫שיקוף‬ ‫אם נשווה למשולש מדובר בפעולות שיקוף וסיבוב כמו שראינו בתרגול‪.‬‬ ‫הסיבובים שלנו הם‪:‬‬ ‫‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e, σ, σ‬‬ ‫והשיקופים שלנו הם‪:‬‬ ‫‪στ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫{|}‪z‬‬ ‫‪τ σ2‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪σ2 T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫{|}‪z‬‬ ‫‪τ,‬‬ ‫‪τσ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1 3‬‬ ‫נתבונן ב ‪H = {e, τ } = hτ i‬‬ ‫המחלקות השמאליות של ‪ H‬על ‪ G‬הן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Hσ , Hσ‬‬ ‫}‪H , |{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫} ‪{e,τ } {σ,τ σ} {σ2 ,τ σ2‬‬ ‫)מצאנו ‪ 3‬מחלקות‪ ,‬לכן מצאנו את כולן לפי משפט לגרנז'(‬ ‫נמצא את המחלקות הימניות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪H‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪H , |{z‬‬ ‫‪σH ,‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫} ‪{e,τ } {σ,τ σ2 } {σ2 ,τ σ=σ2 τ‬‬ ‫הפירוקים שונים!‬ ‫כלומר‪ ,‬שוב יש לנו פירוק ל‪ 3‬מחלקות‪ ,‬אבל ‬ ‫ב‪G‬יש לנו חבורה נוספת‪ N = e, σ, σ 2 = hσi :‬חבורת הסבובים‪= 2 .‬‬ ‫נראה כי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪τ σ2 ‬‬ ‫}‪τ σ ,|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪στ‬‬ ‫נשים לב כי במקרה זה‪N τ = τ N :‬‬ ‫‪Nτ‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪σ2 τ‬‬ ‫‪τ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪N ,‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫} ‪{e,σ,σ2‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.4.1‬תת חבורה ‪ N ≤ G‬נקראת נורמלית אם לכל ‪.gN = N g :g ∈ G‬‬ ‫מסמנים ‪ N ) N ⊳ G‬נורמלית ‪(G‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.4.2‬בדוגמה שלנו } ‪ H = {e, τ‬אינה נורמלית ב ‪ .S3‬אבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪S3 ⊲ N = e, σ, σ 2‬‬ ‫‪21/11/2011‬‬ ‫‪23‬‬ ‫= ] ‪[G : N‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .3.5‬משפט המסלולים‬ ‫‪ 3.5‬משפט המסלולים‬ ‫תהי ‪ G‬חבורה‪ X ,‬קבוצה‪ G × X → X .‬פעולה של ‪ G‬על ‪.X‬‬ ‫יהי ‪ x ∈ X‬המסלול של ‪:x‬‬ ‫}‪O (x) = Gx = {gx|g ∈ G‬‬ ‫המייצב של ‪:x‬‬ ‫}‪G ≥ Gx = {g ∈ G| gx = x‬‬ ‫משפט ‪3.5.1‬‬ ‫קיימת התאמה חח"ע ועל ‪ ϕ‬בין ‪ G/Gx‬ו )‪O (x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתאים למחלקה ‪ gGx‬את האיבר ‪ϕ (gGx ) = g · x‬‬ ‫‪ .1‬העתקה ‪ ϕ‬מוגדרת היטב‪ .‬אם‪) gGx = g1 Gx :‬כלומר ‪ g1‬נציג אחר של אותה מחלקה שמאלית( אזי‪:‬‬ ‫‪ h ∈ Gx . g1 = gh‬ואז‪:‬‬ ‫‪g1 x = ghx = gx‬‬ ‫‪ ϕ .2‬על‪ ,‬כל איבר במסלול )‪ O (x‬הנו ‪ g · x‬עבור ‪.g ∈ G‬‬ ‫‪ ϕ .3‬חח"ע נניח ) ‪ϕ (gGx ) = ϕ (g1 Gx‬עבור‪ g, g1 ∈ G :‬אז‪:‬‬ ‫‪g · x = g1 · x‬‬ ‫‪x = g −1 gx = g −1 g1 x ⇐⇒ g −1 g1 ∈ Gx ⇐⇒ gGx = g1 Gx‬‬ ‫מסקנה ‪3.5.2‬‬ ‫אם ‪ X‬ו‪ G :‬סופית‪:‬‬ ‫|‪|O (x)| = [G : Gx ] | |G‬‬ ‫‪ 3.6‬פעולה על ידי הצמדה‬ ‫דרך נוספת שבה תת חבורה ‪ H‬פועלת על ‪ G‬היא פעולה על ידי הצמדה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.1‬הצמדה‪ :‬אם ‪ γ, g ∈ G‬ההצמדה של ‪ g‬על ידי ‪ γ‬היא‪:‬‬ ‫‪γ ∗ g = g γ = γgγ −1‬‬ ‫טענה ‪3.6.2‬‬ ‫‪ γ, g 7→ γ ∗ g = γgγ −1 .G × G → G‬הנה פעולה‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .3.6‬פעולה על ידי הצמדה‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪e ∗ g = ege−1 = g‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪γ1 ∗ (γ2 ∗ g) = γ1 γ2 gγ2−1 γ1−1 = (γ1 γ2 ) g (γ1 γ2 ) = (γ1 γ2 ) ∗ g‬‬ ‫ניתן לצמצמה ל ‪ H × G → G‬כאשר ‪.γ ∈ H‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.6.3‬מחלקת הצמידות‪ :‬המסלול של ‪ g‬תחת פעולת ההצמדה של כל ‪G‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪γgγ −1 | γ ∈ G‬‬ ‫נקרא מחלקת הצמידות )‪ (onjugay lass‬של ‪ .g‬ותסומן )‪.C (g‬‬ ‫משפט המסלולים גורר כי קיימת התאמה חח"ע ועל בין מחלקת הצמידות )‪ C (g‬עם המחלקות ‪ G/Gg‬כאשר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Gg = γ ∈ G| γgγ −1 = g‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪ γ‬מתחלף עם ‪γgγ −1 = g ⇐⇒ γg = gγ ⇐⇒ g‬‬ ‫‪P‬‬ ‫וכמו כן המייצב הנ"ל נקרא הרכז של ‪(entralizer of g) g‬‬ ‫דוגמה ‪ : 3.6.4‬אם ‪ g‬אבלית אזי כל מחלקות הצמידות הן בעלות איבר אחד כיוון ש‪:‬‬ ‫‪Gg = G‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪γgγ −1 = γγ −1 g = g ⇒ C (g) = {g} ,‬‬ ‫דוגמה ‪: 3.6.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e, σ, σ 2 , τ, στ, σ 2 τ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ | {z } | {z }‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫שיקופים‬ ‫סיבובים‬ ‫= ‪S3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪σ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪, τ‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫באופן ברור }‪ {e‬היא תמיד מחלקת צמידות כיוון שלכל ‪:γ‬‬ ‫‪γeγ −1 = γγ −1 = e‬‬ ‫נתבונן ב‪:‬‬ ‫}‪= τ |{z‬‬ ‫‪στ = τ τ σ 2 = σ 2‬‬ ‫‪τ σ2‬‬ ‫‪= σ‬‬ ‫‪= σ2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫}‪τ σ |{z‬‬ ‫‪τ −1‬‬ ‫‪=τ‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪σ σσ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪τ σ 2 σ σ −2 τ −1‬‬ ‫‪ .3.6‬פעולה על ידי הצמדה‬ ‫‪P‬‬ ‫פרק ‪ .3‬פעולות של חבורה על קבוצה‬ ‫דוגמה ‪ : 3.6.6‬מחלקות צמידות ב )‪ .G = GL2 (C‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .‬מחלקת הצמידות שלה היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P AP −1 | P ∈ G‬‬ ‫משפט ‪ 3.6.7‬ז'ורדן‬ ‫בכל מחלקת צמידות )‪ GL2 (C‬ישנה מטריצה מהצורה‬ ‫העצמיים של ‪(A‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪λ 1‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫)‪ λ, µ‬הם הערכים‬ ‫או מהצורה‪:‬‬ ‫‪0 λ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪µ = λ1‬‬ ‫‪λ = µ1‬‬ ‫(‬ ‫∨‬ ‫‪λ = λ1‬‬ ‫‪µ = µ1‬‬ ‫(‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪µ1‬‬ ‫‬ ‫‪λ1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪µ‬‬ ‫∼‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫⇒⇐‬ ‫ואילו‪:‬‬ ‫‪⇐⇒ λ = µ‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪λ 1‬‬ ‫‪0 λ‬‬ ‫∼‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פרק ‪4‬‬ ‫הומומורפיזמים‬ ‫הגדרה ‪ 4.0.8‬הומומורפיזם‪ :‬העתקה ‪ ϕ : G → G′‬בין שתי חבורות נקראת הומומורפיזם אם‪:‬‬ ‫) ‪ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2‬‬ ‫‪∀g1 , g2‬‬ ‫מסקנה ‪4.0.9‬‬ ‫‪ϕ (e) = e′‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫)‪ϕ (g) = ϕ (g · e) = ϕ (g) ϕ (e‬‬ ‫נצמצם משמאל ב )‪ ϕ (g‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫)‪e = ϕ (e‬‬ ‫מסקנה ‪4.0.10‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= ϕ (g‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ϕ g‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= ϕ (g‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪⇒ϕ g‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= ϕ (g) ϕ g‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪e = ϕ (e) = ϕ gg‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.0.11‬אם ‪ .H ≤ G‬נסמן ‪ i : H ֒→ G‬העתקת ההכלה )‪ .(i (h) = h‬זהו הומו‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ hgi = G : 4.0.12‬ציקלית‪ ,‬נגדיר‪:ϕ (n) = g n :ϕ : Z → G :‬‬ ‫‪ϕ (n + m) = ϕ (n) · ϕ (m) = g n · g m = g n+m‬‬ ‫דוגמה ‪ SO2 ) ϕ : R → SO2 : 4.0.13‬היא חבורת המעגל‪ ,‬כלומר‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫) ‪cos (θ1 + θ2 ) − sin (θ1 + θ2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪sin (θ1 + θ2 ) cos (θ1 + θ2‬‬ ‫‬ ‫‪− sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪− sin θ2‬‬ ‫‪cos θ2‬‬ ‫‬ ‫‪− sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫(‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫= )‪ϕ (θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‬ ‫‪cos θ2‬‬ ‫‪− sin θ1‬‬ ‫‪sin θ2‬‬ ‫‪cos θ1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪cos θ1‬‬ ‫‪sin θ1‬‬ ‫‬ ‫= ) ‪ϕ (θ1 + θ2 ) = ϕ (θ1 ) ϕ (θ2‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ϕ : S3 → {±1} : 4.0.14‬‬ ‫‪ g = e, σ, σ 2‬סיבוב‬ ‫‪ g = τ, στ, σ 2 τ‬שיקוף‬ ‫‪P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫= )‪ϕ (g‬‬ ‫)‪ϕ (gh) = ϕ (g) ϕ (h‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.0.15‬בהינתן ‪ F‬שדה‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‪ϕ : GLn (F) → Fx‬‬ ‫|‪ϕ (A) = det (A) = |A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪det (AB) = det A · det B‬‬ ‫דוגמה ‪ϕ : F → GL2 (F) : 4.0.16‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫)‪= ϕ (a) ϕ (b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪ϕ (a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪ϕ (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.0.17‬תהי ‪ G‬חבורה כל שהיא‪ ,‬ו ‪ γ ∈ G‬איבר קבוע‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪ϕγ (g) = γgγ −1‬‬ ‫‬ ‫) ‪γg2 γ −1 = ϕγ (g1 ) ϕγ (g2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫‪ϕγ (g1 g2 ) = γg1 g2 γ −1 = γg1 γ −1‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.0.18‬תהי ‪ G × X → X‬פעולה של ‪ G‬על ‪ .X‬הגדרנו‪ πg (x) = g (x) :‬וראינו כי ‪πg ∈ Sx‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫נשים לב כי ההעתקה ‪ G → Sx‬המוגדרת‪ ϕ (g) = πg :‬הנה הומומורפיזם‪.‬‬ ‫נרצה לראות כי‪:‬‬ ‫‪ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 ) ⇐⇒ πg1 g2 = πg1 πg2‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫)‪πg1 g2 (x) = g1 g2 x = g1 (g2 x) = πg1 (πg2 (x)) = πg1 · πg2 (x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ T : V1 → V2 : 4.0.19‬טרנספורמציה לינארית של מרחב וקטורי‪:‬‬ ‫)‪T (v1 + v2 ) = T (v) + T (u‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.0.20‬הומומורפיזם חח"ע נקרא מונומורפיזם‬ ‫הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם‬ ‫הומומורפיזם שהוא גם חח"ע וגם על נקרא איזומורפיזם‬ ‫‪28‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪) ϕγ : 4.0.21‬הצמדה ב‪ (γ‬גם חח"ע וגם על‪.‬‬ ‫הצמדה הנה איזומורפיזם של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ = γg2 γ −1‬‬ ‫‪γ −1‬‬ ‫‪ γg‬מצמצום‪.g1 = g2 :‬‬ ‫חח"ע‪ :‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫על‪:‬‬ ‫‪g = γ −1 hγ ⇒ γgγ −1 = h‬‬ ‫נשים לב כי אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬כל ‪ ϕγ‬היא הזהות‪.‬‬ ‫אבל אם נקח ‪ G = Z5‬הכפלה במספר זר ל‪ 5‬היא איזומורפיזם של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬ ‫‪ϕ (g) = 3g‬‬ ‫‪3 (g1 + g2 ) = 3g1 + 3g2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪ι‬‬ ‫תרגיל‪ :‬מתי‪ g 7→ g −1 :‬הנו איזומורפיזם של ‪ G‬על עצמה?‬ ‫תשובה‪ :‬אם"ם ‪ G‬אבלית‬ ‫) ‪ι (g1 g2 ) = (g1 g2 )−1 = g2−1 g1−1 = ι (g2 ) ι (g1‬‬ ‫!‬ ‫‪23/11/2011‬‬ ‫"‬ ‫הערה ‪ 4.0.22‬אם ‪ ϕ : G1 → G2‬איזומורפיזם‪ ,‬אזי הפונקציה ההפוכה ‪ ψ = ϕ−1 : G2 → G1‬גם היא איזו'‪.‬‬ ‫כי אם ‪ψ (g ′ ) = g, ψ (h′ ) = h‬‬ ‫(‬ ‫‪ϕ (g) = g ′‬‬ ‫‪⇒ ϕ (gh) = g ′ h′ ⇒ ψ (g ′ h′ ) = gh‬‬ ‫‪ϕ (h) = h′‬‬ ‫∼ ‪.G‬‬ ‫אם ‪ ϕ‬איזומורפיזם נסמן ‪˜ ′‬‬ ‫‪ .ϕ : G→G‬וגם נסמן נסמן ‪= G′‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫כמו כן גם‪ ψ : G′ → G :‬כאשר ‪ ψ = ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ G = Z2 × Z2 : 4.0.23‬ו‪ G′ = Z4 :‬אינן חבורות איזומורפיות‬ ‫‪ G‬יש איבר שסדרו ‪,4‬‬ ‫‪ .ϕ : G→G‬ב‪ G‬כל איבר מקיים‪.g = e :‬‬ ‫צ"ל‪ :‬לא קיים שום איזומורפיזם ‪˜ ′‬‬ ‫אבל ב ‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪′ 2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫שיסומן ‪ .g ′‬אם היה איזו' היה צריך להיות ‪ g ∈ G‬כך ש‪ ϕ (g) = g :‬ואז‪e = ϕ (e) = ϕ g = (g ) 6= e :‬‬ ‫סתירה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מסקנה ‪4.0.24‬‬ ‫‪P‬‬ ‫סדר של חבורה אינו תנאי מספיק לאיזומורפיזם‪.‬‬ ‫דוגמה ‪) S3 : 4.0.25‬לא אבלית( ו‪) Z6 :‬אבלית( לא איזומורפיות‪.‬‬ ‫נשים לב כי‪g1 g2 6= g2 g1 ,g1 , g2 ∈ S3 :‬‬ ‫‪ ϕ : S3 →Z‬איזו' אזי‪:‬‬ ‫אם היה ‪˜ 6‬‬ ‫) ‪ϕ (g1 · g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2 ) = ϕ (g2 ) · ϕ (g1 ) = ϕ (g2 · g1‬‬ ‫בסתירה לחח"ע ‪.ϕ‬‬ ‫לכל ‪ G, G′‬אפשר להגדיר את ההומו הטריויאלי‪.ϕ (g) → e′ ϕ : G → G′ :‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫הומומורפיזמים ותתי חבורות‬ ‫‪ ϕ : G → G′‬הומו'‪ H ≤ G ,‬תת חבורה של ‪.G‬‬ ‫}‪= ϕ (H) = {ϕ (h) |h ∈ H‬‬ ‫‪29‬‬ ‫תמונת ‪H‬‬ ‫‪image‬‬ ‫‪′‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות‬ ‫‬ ‫‪ϕ (h1 ) · ϕ (h2 ) = ϕ (h1 · h2 ) , ϕ (h)−1 = ϕ h−1 , ϕ (e) = e′‬‬ ‫כלומר קיבלנו כי אם‪ H1 ≤ H2 ≤ G :‬אז מתקיים‪.ϕ (H1 ) ≤ ϕ (H2 ) ≤ G′ :‬‬ ‫‪ G′ ≤ G′‬תת חבורה של ‪:G′‬‬ ‫} ‪= ϕ−1 (H ′ ) = {h ∈ G| ϕ (h) ∈ H ′‬‬ ‫המקור של ‪H ′‬‬ ‫‪pre-image‬‬ ‫גם זאת תת חובורה של ‪.G‬‬ ‫‪ϕ (h1 ) , ϕ (h2 ) ∈ H ′ ⇒ ϕ (h1 h2 ) = ϕ (h1 ) ϕ (h2 ) ∈ H ′‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= ϕ (h1 ) ∈ H ′‬‬ ‫‪ϕ h−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וגם כאן‪ H1′ ≤ H2′ :‬אז‪ϕ (H1′ ) ≤ ϕ (H2′ ) :‬‬ ‫בבירור התמונה הכי קטנה של } ‪ Im ϕ = {e′‬כאשר המקור הוא רק ‪ e‬לדוגמה‪ .‬כמו כן התמונה הכי גדולה‬ ‫היא‪) ϕ (G) :‬לא בהכרח שווה ל ‪(G′‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫המקור הכי גדול הוא ‪ G‬כולו‪ ,‬ואילו המקור הכי קטן הוא‪) ϕ ({e }) :‬לא בהכרח רק ‪(e‬‬ ‫לקבוצה‪:‬‬ ‫} ‪ϕ−1 (e′ ) = {h ∈ G| ϕ (h) = e′‬‬ ‫נקרא הגרעין של ‪ ϕ‬ומסומן‪.ker ϕ :‬‬ ‫משפט ‪) 4.1.1‬על הגרעין(‬ ‫יהי ‪ ϕ : G → G′‬הומו' של חבורות‪ .‬נסמן ‪ N = ker ϕ‬אזי‪:‬‬ ‫‪ N .1‬תת־חבורה נורמלית של ‪G‬‬ ‫‪ ϕ .2‬קבועה על מחלקות )ימניות = שמאליות( ‪ .gN = N g‬ומקבלת ערכים‬ ‫שונים על מחלקות שונות )) ‪(g1 N 6= g2 N ⇒ ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2‬‬ ‫‪ ϕ .3‬חח"ע ⇒⇐ }‪N = {e‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית ‪ N‬תת־חבורה נורמלית ⇒⇐ לכל ‪ g ∈ G‬החבורה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ghg −1 | h ∈ N = N‬‬ ‫= ‪gN g −1‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪ | {z‬‬ ‫‪‬‬ ‫הצמדה ב‪ g−‬של ‪N‬‬ ‫הצמדה ב‪ g−‬של ‪h‬‬ ‫הערה ‪ gN g −1 4.1.2‬הנה תמיד תת חבורה‪ .‬אם ‪ h1 , h2 ∋ N‬אז‪:‬‬ ‫‬ ‫‪= g h−1 g −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ghg −1‬‬ ‫‪gh1 g −1 · gh2 g −1 = g (h1 h2 ) g −1 ∈ gN g −1‬‬ ‫)) ‪(ϕg (h1 ) ϕg (h2 ) = ϕ (h1 h2‬‬ ‫) ‪ gN g − = ϕg (N‬להומו'‪ ϕg : G → G :‬של הצמדה ב‪.g‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ .4.1‬הומומורפיזמים ותתי חבורות‬ ‫‪gN = N g‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫מחלקות ־ לא ת"ח‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫⇒⇐ ‪) gN g −1 = N‬הכפלה מימין ב ‪(g −1‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫תת חבורות‬ ‫נניח ‪ h ∈ ker ϕ‬ו‪ g ∈ G :‬כלשהו‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ϕ ghg −1 = ϕ (g) ϕ (h) ϕ (g)−1 = ϕ (g) ϕ (g)−1 = e′ ⇒ ghg −1 ∈ N‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪e′‬‬ ‫ולכן ‪ N‬תת־חבורה נורמלית‪.‬‬ ‫כעת נשים לב כי אם נקח ‪ h ∈ N‬אזי‪:‬‬ ‫)‪ϕ (gh) = ϕ (g) ϕ (h) = ϕ (g‬‬ ‫ולכן ‪ ϕ‬קבועה על המחלקה ‪.gN‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬אם ) ‪ ϕ (g1 ) = ϕ (g2‬אזי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪′‬‬ ‫‪ϕ g1 g2−1 = e ⇒ g1 g2−1 ∈ N ⇒ N g1 = N g2‬‬ ‫ולכן ‪ ϕ‬מקבלת ערכים שונים על מחלקות שונות‪.‬‬ ‫נשאר להראות כי ‪ ϕ‬חח"ע אם"ם }‪.N = {e‬‬ ‫אם ‪ ϕ‬חח"ע ברור כי }‪ .N = {e‬אם }‪ N = {e‬לפי מה שראינו‪:‬‬ ‫) ‪g1 6= g2 ⇒ ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪:ϕ (R) → SO2 : 4.1.3‬‬ ‫‬ ‫‪− sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫= )‪ϕ (θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪ker ϕ = 2πZ = {2πn| n ∈ Z} ⊂ R‬‬ ‫דוגמה ‪: 4.1.4‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪ G × X → X‬פעולה‪ϕ (g) = πg .G → SX :‬‬ ‫}‪ker ϕ = {g| πg = e} = {g| gx = x ∀x‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪28/11/2011‬‬ ‫הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נאמנה ⇒⇐ ‪ ϕ‬חח"ע‪ .‬כלומר‪.G ֒→ SX :‬‬ ‫למה ‪4.1.5‬‬ ‫תהיה ‪ N‬תת־חברה של ‪ G‬אזי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪gN = N g :g ∈ G‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪) gN g −1 = N :g ∈ G‬תת החבורה המתקבלת מהצמדת ‪ N‬ע"י‬ ‫‪ g‬־ ‪(ϕg (h) = ghg −1‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ghg −1 ∈ N ,h ∈ N‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו כבר כי ‪.1 ⇐⇒ 2‬‬ ‫נתבונן בתנאי ‪.3‬‬ ‫‪.g‬‬ ‫לכל‬ ‫‪gN g −1 ⊂ N‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ h = g g hg g‬לפי תנאי ‪ g hg ∈ N 3‬ולכן‪:‬‬ ‫אבל אם ‪:h ∈ N‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.1.6‬משפט הגרעין‬ ‫‪ ϕ : G → G′‬הומומורפיזם אזי‪:‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪ h ∈ gN g −1‬וזה גורר‪N ⊆ gN g −1 :‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫‪ N = ker ϕ = {g| ϕ (g) = e′ } .1‬תת חבורה נורמלית של ‪.G‬‬ ‫‪g1 N = g2 N ⇐⇒ ϕ (g1 ) , ϕ (g2 ) .2‬‬ ‫‪ .3‬אם }‪ N = {e‬אזי ‪ ϕ‬חח"ע )מקרה פרטי של ‪(2‬‬ ‫‪ 4.2‬חבורת המנה‬ ‫נתונים חבורה ‪ G‬תת חבורה נורמלית ‪ .N ⊳ G‬כקבוצה‪ ,‬חבורת המנה = ‪ = G/N‬אוסף המחלקות של ‪.N‬‬ ‫הגדרת הכפל נעשית ע"י בחירת נציגים‪) .‬נסמן ‪ .g = gN‬למשל‪ :‬אם ‪−1 = 5 = 2 = ,N = 3Z ,G = Z‬‬ ‫‪.(2 + 3Z‬‬ ‫בהנתן שתי מחלקות ‪ ,gi , gj‬נגדיר את מכפלתן‪:‬‬ ‫‪gi · gj = gi gj‬‬ ‫צריך להראות שההגדרה לא תלויה בבחירת הנציגים‪ .‬כלומר אם ‪ .gi′ = gi hi ,hi ∈ N‬ברור כי‪gj′ = :‬‬ ‫‪ .gj , gi′ = gi‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪gi′ gj′ = gi hi gj hj = gi gj gj−1 hi gj hj‬‬ ‫אבל היות ו‪ N ⊳ G :‬ו‪ hi ∈ N :‬אזי‪ gj−1 hi gj ∈ N :‬ולכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‪= gi gj gj−1 hi gj hj ⇒ gi′ gj′ = gi gj‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫}‬ ‫טענה ‪4.2.1‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫|‬ ‫בהגדרה הנ"ל‪ G = G/N :‬מהווה חבורה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נראה אסוציאטיביות‪:‬‬ ‫) ‪(gi · gj ) gk = gi gj · gk = (gi gj ) gk = gi (gj gk ) = gi · gj gk = gi (gj · gk‬‬ ‫יחידה‪ ,‬נראה כי ‪:e = eG‬‬ ‫‪g · e = e · g = eg = eg = g‬‬ ‫קיום הופכי‪:‬‬ ‫‪g −1 · g = g −1 g = e = eG‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬ ‫הערה ‪ 4.2.2‬אם ∞ < ] ‪ [G : N‬אז מספר האיברים ב ‪ G/N‬הינו‬ ‫|‪|G‬‬ ‫|‪|B‬‬ ‫= ] ‪ [G : N‬אם ‪ G‬סופית‪.‬‬ ‫הערה ‪ 4.2.3‬נגדיר כפל שתי קבוצות ‪) A, B ⊂ G‬לאו דווקא חבורות(‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫}‪A · B = {a · b| a ∈ A, b ∈ B‬‬ ‫דוגמה ‪: 4.2.4‬‬ ‫‪15Z + 12Z = {15n + 12m| m, n ∈ Z} = 3Z‬‬ ‫‪32‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫הערה ‪ 4.2.5‬כפל תת חבורות ‪ H1 · H2‬אינו בהכרח תת חבורה‪.‬‬ ‫כפל קוסטים )= מחלקות( שמאליים של ‪ G ≥ N‬אינו בהכרח קוסט‪.h1 N · g2 N .‬‬ ‫למה ‪4.2.6‬‬ ‫אם ‪ N ⊳ G‬אז ‪(g1 N ) (g2 N ) = g1 g2 N‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כל איבר‪) g1 g2 h :‬כאשר ‪ (h ∈ N‬הוא )‪(g1 e) (g2 h‬‬ ‫‪(g1 h1 ) (g2 ) h2 = g1 g2 g2−1 h1 g2 h2 ∈ g1 g2 N‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ולכן ⊆‪.‬‬ ‫}‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫|‬ ‫דוגמה ‪: 4.2.7‬‬ ‫‪ H = nZ .G = Z .1‬אזי‪.G/H = Zn :‬‬ ‫‪1 mod 12 = 1 + 12Z = 13 + 12Z = 13 mod 12‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪1 = 13‬‬ ‫‪ G = R∗ .2‬עם הכפל‪.‬‬ ‫‪{x ∈ R∗ | x > 0} = H = R∗+ ⊳ G‬‬ ‫‪G/H = Z2‬‬ ‫‪ G = GLn (F) .3‬כאשר ‪ F‬שדה‪ N = SLn (F) .‬מטירצות ‪ n × n‬עם דטרמיננטה ‪ N ⊳ G .1‬כיוון ש ‪:‬‬ ‫‬ ‫‪det ghg −1 = det h‬‬ ‫‬ ‫)דמיון מטריצות לא משנה דטרמיננטה( ולכן אם ‪ det h = 1‬גם‪ det ghg −1 = 1 :‬ולכן ‪ ghg −1 ∈ N‬ולכן‬ ‫‪ N‬נורמלית‪.‬‬ ‫) ∗‪N = ker (det : G → F‬‬ ‫ולכן נורמלית בתור גרעין )הגרעין של הדטרמיננטה‪ ,‬כיוון שהדטרמיננטה מעבירה את ‪ G‬לאיבר היחידה‬ ‫לכפל של ‪ ,F‬והרי כל גרעין של הומומורפיזם הוא נורמלי(‬ ‫) ‪det (g1 g2 ) = det (g1 ) det (g2‬‬ ‫ולכן יש סגירות לפעולה‪.‬‬ ‫‪Fx ≈ GLn (F) /SLn (F) = G/N‬‬ ‫נתאים למחלקה )‪ g · SLn (F‬את ‪.det (g) ∈ Fx‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫הגדרה ‪ 4.2.8‬הומומורפיזם קנוני‪ :‬נגדיר ‪ p : G → G/N‬ההומומורפיזם הקנוני‪ ,p = projection) .‬הטלה(‬ ‫‪p (g) = g = gN‬‬ ‫בדיקה‪:‬‬ ‫) ‪p (g1 g2 ) = g1 g2 = g1 · g2 = p (g1 ) p (g2‬‬ ‫הוא על‪.ker p = N .‬‬ ‫‪g ∈ N ⇐⇒ g · N = N‬‬ ‫מסקנה ‪4.2.9‬‬ ‫כל חבורה נורמלית הנה גרעין‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.2.10‬משפט האיזומורפיזם הראשון‬ ‫יהי ‪ ϕ : G → G′‬הומומורפיזם ‪.G ⊲ N = ker ϕ‬‬ ‫אזי קיים הומומורפיזם אחד ויחיד‪ ϕ : G/N → G′ :‬כך ש ‪.ϕ ◦ p = ϕ‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫הערה ‪ 4.2.11‬אם ‪ G1 → G2 :‬וגם ‪ G2 → G3‬הומומורפיזם‪ .‬אזי גם ‪ ψ ◦ ϕ‬הומומורפיזם‪ .‬כיוון ש‪:‬‬ ‫))‪(ψ ◦ ϕ) (xy) = ψ (ϕ (xy)) = ψ (ϕ (x) ϕ (y)) = ψ (ϕ (x)) ψ (ϕ (y‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר‪ .ϕ (gN ) = ϕ (g) :‬לפי משפט הגרעין‪ ,‬זו הגדרה טובה‪ ,‬אינה תלויה בנציג‪.‬‬ ‫כמובן‪:‬‬ ‫)‪ϕ ◦ p (g) = ϕ (gN ) = ϕ (g‬‬ ‫ולכן‪ ϕ ◦ p = ϕ:‬ולכן הוא קיים‪ ,‬וביחידות‪ .‬ו‪ ϕ :‬נקבעת ע"י זה‪ ϕ .‬אכן הומו'‪:‬‬ ‫) ‪ϕ (g 1 · g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2‬‬ ‫משפט ‪ 4.2.12‬חיזוק המשפט‬ ‫‪ ϕ‬הנ"ל חח"ע‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ g1 6= g2‬אזי‪ g1 , g2 :‬במחלקות שונות של ‪ N‬וממשפט הגרעין‪:‬‬ ‫) ‪ϕ (g1 ) = ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2 ) = ϕ (g2‬‬ ‫מסקנה ‪4.2.13‬‬ ‫∼‬ ‫‪Im ϕ = G/ ker ϕ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ההומורפיזם המושרה ע"י ‪ ϕ‬מ‪ G/ ker ϕ = G/N :‬ל ‪ G′‬הוא חח"ע ותמונתו )‪.Im (ϕ) = Im (ϕ‬‬ ‫ולכן ‪ ϕ‬חח"ע ועל )=איזומורפיזם( מ ‪ G/ ker ϕ‬ל ‪.Im ϕ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪Im ϕ = ϕ (g) | g ∈ G = {ϕ (g) | g ∈ G} = Im (ϕ‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫‪4.2.1‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫תת־חבורות של ‪G/N = G‬‬ ‫אם ‪ N ≤ H ≤ G‬אזי ‪) H/N = H‬כמובן ‪ (N ⊳ H‬תת חבורה של ‪.G/N = G‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪h1 h2‬‬ ‫‪hi N ∈ G‬‬ ‫‪h1 · h2‬‬ ‫‪hi‬‬ ‫)כאשר ‪ (hi ∈ H‬כמו כן‪:‬‬ ‫‪= h−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫למה ‪4.2.14‬‬ ‫העתקות הבאות הן התאמה חח"ע ועל בין כל תת החבורות ‪ N ≤ H ≤ G‬וכל תת־החבורות ‪ :H ≤ G‬מ‪H‬‬ ‫מקבלים את‪ H‬ע"י התהליך שתואר‪.‬‬ ‫ולהפך‪.H = p−1 H :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו שלכל ‪ H‬כנ"ל‪ H ,‬תת חבורה של ‪) .G‬תת חבורה( ‪ p−1‬הינה תת חבורה )מקור של תת חבורה(‬ ‫וכמובן ≤ ‪ker ϕ = N‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ .p‬ולהפך‪ ,‬אם נתחיל מ‪N ≤ H ≤ G :‬‬ ‫צריך לבדוק‪ :‬אם נתחיל מ‪ G ≥ H :‬אז צריך להראות ‪H = H‬‬ ‫‬ ‫אז ‪.p−1 H = H‬‬ ‫נראה זאת‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪p−1 H = p p−1 H ⊆ H‬‬ ‫ואם ‪ p (h) = h ∈ H‬אבל‪:‬‬ ‫להפך‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ h ∈ p−1 H‬אזי‪.h = p (h) :‬‬ ‫))‪H ⊂ p−1 (p (H‬‬ ‫אם ))‪ g ∈ p−1 (p (H‬אזי‪ p (g) = p (h) :‬עבור ‪.h ∈ H‬‬ ‫אבל ‪ N ≤ H‬ולכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‪p gh−1 = e ⇒ gh−1 ∈ N‬‬ ‫‪g = gh−1 h ∈ H‬‬ ‫‪30/11/2011‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.2.15‬אם ‪ W ⊂ V‬שני מרחבים וקטוריים מעל שדה ‪ .F‬החבורה ‪ V /W‬מוגדרת‪:‬‬ ‫איבריה = } ‪~v = v + W = {v + w|w ∈ W‬‬ ‫זוהי ישריה )תת מרחב אפיני(‪.‬‬ ‫אוסף הישיריות הוא מרחב וקטורי שיקרא מרחב המנה‪.‬‬ ‫‪ p(H)=H‬‬ ‫תת־חבורות →‪−‬‬ ‫תת חבורות‬ ‫תמונה‬ ‫)‪(H‬‬ ‫‪N ≤ H ≤ G p−1‬‬ ‫‪ H‬של ‪G‬‬ ‫‪←−‬‬ ‫מקור‬ ‫‪ p : G → G/N‬היא ההעתקה הקנונית‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫למה ‪4.2.16‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪jH‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫‪ p p‬וגם ‪(p (H)) k H‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הוכח בשיעור קודם‪.‬‬ ‫למה ‪4.2.17‬‬ ‫‪) H ⊳ G ⇐⇒ H ⊳ G‬עבור ‪(N ≤ H ≤ G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ H ⊳ G‬אזי‪ghg −1 = ghg −1 ∈ H :‬‬ ‫ולהפך‪ ,‬אם ‪ H ⊳ G‬אזי‪:‬‬ ‫‪∀g ∈ G, h ∈ H‬‬ ‫}‪ghg −1 = ghg −1 ∈ H ⇒ ghg −1 · |{z‬‬ ‫‪n ∈ H ⇒ ghg −1 N = h1 N‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫‪∀g ∈ G, h ∈ H‬‬ ‫היות ו‪ ,N ≤ H :‬נכפיל ב ‪ n−1‬ונקבל‪ ghg −1 ∈ H :‬ולכן נורמלית כנדרש‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.2.18‬משפט האיזומורפיזם השלישי‬ ‫נניח ‪ N ≤ H ≤ G‬וגם ‪ N‬וגם ‪ H‬נורמליות ב ‪ .G‬אזי קיים איזומורפיזם קנוני‬ ‫∼ ) ‪(G/N ) / (H/N‬‬ ‫‪= G/H‬‬ ‫הערה ‪ 4.2.19‬לא באמת הוכחה אבל דרך נוחה לזכור את זה‪:‬‬ ‫‪G H‬‬ ‫‪/ = G/H‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר העתקה מ‪:‬‬ ‫‪G/N → G/H‬‬ ‫נסתכל בתמונה ובגרעין שלה ונפעיל את משפט האיזו' הראשון‪.‬‬ ‫ההעתקה‪:‬‬ ‫‪π (gN ) = gH‬‬ ‫‪ π‬מוגדרת היטב כי אם‪:‬‬ ‫‪g1 N = g2 N ⇒ g2−1 g1 ∈ N ⇒ g2−1 g1 ∈ H ⇒ g1 H = g2 H‬‬ ‫‪ π‬הנו הומו'‬ ‫‪Im (π) = G/H‬‬ ‫‪ker π = {gN |g ∈ H} = H/N‬‬ ‫ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬אם‬ ‫‪G/N‬‬ ‫‪ker π‬‬ ‫∼ )‪Im (π‬‬ ‫=‬ ‫‪G/N‬‬ ‫‪H/N‬‬ ‫מה קורה כאשר ‪ H‬לא מכילה את ‪ N‬בהכרח?‬ ‫למה ‪4.2.20‬‬ ‫אם ‪ H ≤ G‬ו‪ N ⊳ G‬אזי הקבוצה‪ H · N :‬היא תת חבורה‬ ‫‪36‬‬ ‫∼ ‪G/H‬‬ ‫=‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ n1 , n2 ∈ N ,h1 , h2 ∈ H‬נתבונן במכפלה‪:‬‬ ‫‪n h n ∈H ·N‬‬ ‫‪h1 n1 · h2 n2 = h1 h2 h−1‬‬ ‫‪| {z } | 2 {z1 }2 2‬‬ ‫‪∈H‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫וכנ"ל‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= h−1 |hnh‬‬ ‫‪{z } ∈ H · N‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪n−1 h−1 = (hn‬‬ ‫‪∈n‬‬ ‫משפט ‪ 4.2.21‬משפט האיזומורפיזם השני‬ ‫∼ ‪HN/N‬‬ ‫תהי ‪ N ⊳ G ,H ≤ G‬אזי‪ N :‬נורמלית ב ‪ H ∩ N ,HN‬נורמלית ב ‪ H‬ומתקיים‪= H/ (H ∩ N ) :‬‬ ‫מסקנה ‪4.2.22‬‬ ‫אם מדובר בחבורות סופיות‬ ‫| ‪|H|·|N‬‬ ‫| ‪|H∩N‬‬ ‫= | ‪|HN‬‬ ‫הערה ‪ 4.2.23‬איפה הוא היה לפני שבועיים כשהיינו צריכים את זה לתרגיל‪...‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ברור כי‪ N ⊳ HN :‬כי ‪ N‬נורמלית בכל תת חבורה של ‪ H ∩ N ⊳ H .G‬כי אם ‪h ∈ H n ∈ H ∩ N‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪∈ H‬‬ ‫‪∈ N ⇐N ⊳G‬‬ ‫‪hnh−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪hnh‬‬ ‫נבנה הומומורפיזם מ‪ H‬ל ‪ HN/N‬שיסומן ‪.π‬‬ ‫‪π (h) = hN = h‬‬ ‫‪ .1‬זהו הומו'‬ ‫‪ π .2‬הוא על‪ .‬כל מחלקה ב ‪ HN/N‬היא‪:‬‬ ‫)‪hnN = hN = π (h‬‬ ‫‬ ‫‪h∈H‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪H ∩ N = {h ∈ H|h ∈ N } = ker π‬‬ ‫ולכן‪ ,‬ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪:‬‬ ‫∼ ) ‪H/ (H ∩ N‬‬ ‫‪= HN/N‬‬ ‫אם ‪ N ⊳ G‬יש לנו "פרוק" של ‪ G‬לשתי תת חבורות‪N, G/N :‬‬ ‫| ‪|G| = |N | |G/N‬‬ ‫לכן ‪ G/N ,N‬נותנות מידע מסוים על ‪) G‬למשל‪ ,‬סדר‪ ,‬או אם אחת מהן לא אבלית‪ ,‬גם ‪ G‬לא אבלית(‬ ‫אבל בד"כ אי אפשר להרכיב מהן בחזרה את ‪G‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫‪P‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫דוגמה ‪: 4.2.24‬‬ ‫‪Z2 × Z2‬‬ ‫∼ })‪Z2 × {0} = {(0, 0) , (1, 0‬‬ ‫‪= Z2‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫=‬ ‫‪N‬‬ ‫∼ ‪G/N‬‬ ‫‪= Z2‬‬ ‫במקרה הזה באמת‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫∼‪G‬‬ ‫‪= N × G/N‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.2.25‬כעת נבחן את‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Z4 = 0, 1, 2, 3‬‬ ‫ ‬ ‫∼ ‪0, 2‬‬ ‫‪= Z2‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫=‬ ‫‪N‬‬ ‫∼ ‪G/N‬‬ ‫‪=Z‬‬ ‫אבל אנו כבר ראינו כי‪:‬‬ ‫∼‪G 6‬‬ ‫‪= N × G/N‬‬ ‫‪05/12/2011‬‬ ‫אוטומורפיזם של חבורה ‪ = G‬איזומורפיזם מ‪ G‬לעצמה‪.‬‬ ‫∼ ‪ ?G1‬כלומר האם יש הומומורפיזם ‪ ϕ : G1 → G2‬חח"ע ועל?‬ ‫‪= G2‬‬ ‫∼ ‪ G1‬יש הרבה איזו' ‪ ϕ‬כנ"ל‪.‬‬ ‫בדרך כלל‪ ,‬אם ‪= G2‬‬ ‫בהינתן ‪ 3‬חבורות‪:‬‬ ‫‪ψ‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫הומו'‬ ‫הומו'‬ ‫‪G1 −→ G2 −→ G3‬‬ ‫אז ‪ ψ ◦ ϕ‬הומו' של ‪ G1‬ל‪.G3 :‬‬ ‫אם ‪ ϕ, ψ‬איזומורפיזמים⇐‪ ψ ◦ ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬ ‫בפרט אם ‪ ϕ, ψ‬אוטומורפיזמים של ‪ G‬גם ‪ ψ ◦ ϕ‬אוטומורפיזם של ‪ G‬וכנ"ל‬ ‫‪ e (g) = g‬לכל ‪ ,g‬הנה בעליל אוטומורפיזם‪.‬‬ ‫ואם ‪ϕ, ψ, ρ‬שלושה אוטו' אז‪:‬‬ ‫‪ .ϕ−1‬כמו כן‪ ,‬העתקת הזהות‬ ‫)‪(ψ ◦ ϕ) ◦ ρ = ψ ◦ (ϕ ◦ ρ‬‬ ‫טענה ‪4.2.26‬‬ ‫נסמן ב‪ Aut (G) :‬את אוסף האוטו' של חבורה ‪ .G‬אזי ביחס לפעולת ההרכבה וההפכי )של פונקציה(‪Aut (G) ,‬‬ ‫הנה חבורה‪.‬‬ ‫הערה ‪ 4.2.27‬נשים לב כי קיימת הקבלה עבור העתקות לינאריות בין מרחבים וקטורים ועבור הומומורפיזמים בין‬ ‫חבורות‪.‬‬ ‫במקרה של ‪ V‬מרחב וקטורי ‪ T : V → W‬טרנספורמציה לינארית‪:‬‬ ‫‪ T : V →V‬אוטומורפיזם של המ"ו‪ V = Rn .‬אוטו נתון ע"י )‪AB = .A ∈ GLn (R‬‬ ‫˜‬ ‫‪ T : V →W‬איזו‪,‬‬ ‫˜‬ ‫‪.TA ◦ TB‬‬ ‫∼ )‪ GLn (R‬כחבורה‪.‬‬ ‫) ‪= Aut (V‬‬ ‫‪38‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ .G = Zn : 4.2.28‬מה הם ) ‪?Aut (Zn‬‬ ‫יהי ‪ ϕ : Zn → Zn‬אוטו‪ .‬נשים לב כי ‪ 0‬בהכרח עובר ל‪) 0‬איבר נייטרלי(‬ ‫‪ϕ (1) = a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k‬פעמים‬ ‫‪ k‬פעמים‬ ‫‪z‬‬ ‫|}‬ ‫{‬ ‫{ |} ‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= ϕ 1 + . . . + 1 = ϕ (1) + . . . + ϕ (1) = k · a‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ϕ (k‬‬ ‫ולהפך‪ ,‬לכל ‪ a‬ב ‪ ϕ (k) = k · a Zn‬הנו הומו של ‪ Zn‬לעצמו‪.‬‬ ‫‪ ϕ‬כזה הינו אוטו' ⇒⇐ ‪ a, b‬זרים זה לזה )אין מחלק משותף<‪(1‬‬ ‫אוסף השאריות מודולו ‪ n‬הזרות ל ‪ n‬מסומן ב‪:Z∗n :‬‬ ‫}‪{1, 2, 4, 5, 7, 8‬‬ ‫}‪{1, 5, 7, 11‬‬ ‫=‬ ‫‪Z∗9‬‬ ‫=‬ ‫‪Z∗12‬‬ ‫עבור ‪:ϕa (k) = k · a‬‬ ‫)‪ϕa · ϕb (k) = ϕa (kb) = kba = ϕab (k‬‬ ‫מסקנה ‪4.2.29‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ההעתקה ‪ a 7→ ϕa‬הנה איזומורפיזם בין‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Z∗n‬‬ ‫עם כפל כפעולה )‪ 1‬כיחידה( לבין החבורה ) ‪.Aut (Zn‬‬ ‫דוגמה ‪: 4.2.30‬‬ ‫∼ ‪Z2 × Z2‬‬ ‫‪= Z∗12‬‬ ‫דוגמה ‪ : 4.2.31‬בכל חברה ‪ G‬אם ‪ γ ∈ G‬סימנו‪:‬‬ ‫‪ϕγ (g) = g γ = γgγ −1‬‬ ‫ול ‪ ϕγ‬קראנו הצמדה ב‪ .γ‬ראינו ש )‪ .ϕγ ∈ Aut (G‬אם ‪ G‬אבלית אז ‪ϕγ = e‬‬ ‫‪$‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫הגדרה ‪ 4.2.32‬אוטומורפיזם מהצורה ‪ ϕγ‬נקרא אוטומורפיזם פנימי )‪ (inner automorphism‬של ‪.G‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫) ‪ ϕ (A) = (At‬הנה אוטומורפיזם שאיננו פנימי‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬ב )‪ GLn (R‬העתקה‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫) ‪.P AP −1 = (At‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לא קיים ‪ P‬כך שלכל ‪:A‬‬ ‫נשים לב כי ‪ P AP −1‬היא דומה ל‪ A‬כלומר בעלת אותם ערכים עצמיים‪ .‬נשים לב כי עבור‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪⇒ At‬‬ ‫‪= 2 1‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫ואין לזה את אותם ערכים עצמיים לכן לא ייתכן כי היא דומה‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬אוסף האוטו' הפנימיים שיסומן )‪ Inn (G‬הנו תת־חבורה נורמלית של )‪.Aut (G‬‬ ‫צריך רק להראות סגירות‪ :‬צריך לחשב את )‪ ϕγ ◦ γδ (g‬ולהראות כי קיים הופכי‪.‬‬ ‫בהינתן )‪ ϕγ ∈ Inn (G) ,ψ ∈ Aut (G‬צריך לחשב את ‪. ψ ◦ ϕγ ◦ ψ −1‬‬ ‫'‬ ‫&‬ ‫‬ ‫‬ ‫תזכורת ‪ 4.2.33‬אם ‪ g ∈ G‬אוסף האיברים מהצורה ‪) γgγ −1‬כלומר )‪ (ϕγ (g‬נקרא מחלקת הצמידות של ‪ .g‬נסמנו‬ ‫}‪) .g G = {g γ |γ ∈ G‬בעבר השתמשנו ב‪ C (g) :‬אבל אנו נרצה להשתמש בו לדברים אחרים(‬ ‫נשים לב כי‪ g = ege−1 :‬מתי ‪ .{g} = g G‬אם"ם‪:‬‬ ‫‪γg = gγ‬‬ ‫‪γgγ −1 = g ⇐⇒ ∀γ‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪∀γ‬‬ ‫פרק ‪ .4‬הומומורפיזמים‬ ‫‪ .4.2‬חבורת המנה‬ ‫הגדרה ‪ 4.2.34‬מרכז‪ :‬המרכז )‪ (enter‬של חבורה ‪:G‬‬ ‫}‪Z (G) = {g| gh = hg ∀h ∈ G‬‬ ‫למה ‪4.2.35‬‬ ‫)‪ Z (G‬הנו תת חבורה‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח )‪ g1 , g2 ∈ Z (G‬נבחר ‪: h ∈ G‬‬ ‫)‪(g1 g2 ) h = g1 (g2 h) = g1 hg2 = h (g1 g2 ) ⇒ g1 g2 ∈ Z (g‬‬ ‫וכמו כן‪:‬‬ ‫)‪g1 h = hg1 ⇒ hg1−1 = g1−1 h ⇒ g1−1 ∈ Z (G‬‬ ‫למה ‪4.2.36‬‬ ‫המרכז )‪ Z (G‬הינו‪:‬‬ ‫‪ .1‬אוסף ה ‪ g ∈ G‬שמסלולם תחת פעולת ההצמדה)מחלקת הצמידות שלהם(‬ ‫הוא בין איבר אחד )נקודות השבת של פעולת ההצמדה(‬ ‫‪ .2‬אוסף ה‪ γ ∈ G‬שעבורם ‪ϕγ = e‬‬ ‫}‪ (γ, g) 7→ γgγ −1 G × |{z‬פעולה על עצמה‬ ‫הערה ‪X → X 4.2.37‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ γgγ −1 = g ⇐⇒ g ∈ Z (G) .1‬לכל ‪ g ⇐⇒ γ ∈ G‬נקודת שבת לפעולת ההצמדה‬ ‫‪ γgγ −1 = g ⇐⇒ γ ∈ Z (G) .2‬לכל ‪ϕγ = e ⇐⇒ γ ∈ G‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪ϕγ g‬‬ ‫‪40‬‬ ‫פרק ‪5‬‬ ‫תמורות‬ ‫‪ Sn = Sn‬חבורת התמורות של }‪.{1, . . . , n‬‬ ‫!‪|Sn | = n‬‬ ‫משפט ‪ 5.0.38‬קיילי‬ ‫אם ‪ G‬חבורה סופית מסדר ‪ ,n‬אזי ‪ G‬איזומורפית לתת־חבורה של ‪.Sn‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסתכל על } ‪ G = {g1 = e, g2 , . . . , gn‬אזי‪ ,‬כל ‪ g ∈ G‬מגדיר תמורה ‪ ϕg ∈ Sn‬ע"י הכלל ‪ϕg (i) = j‬‬ ‫⇒⇐ ‪.g · gi = gj‬‬ ‫נרצה להראות כי‪ .ϕg′ g = ϕg′ ◦ ϕg :‬נניח ‪ g ′ gj = gk ,ggi = gj‬אז כמובן‪:‬‬ ‫‪(g ′ g) gi = g ′ (ggi ) = g ′ gj = gk‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫))‪ϕg′ g (i) = k = ϕg′ (j) = ϕg′ (ϕg (i‬‬ ‫וזה אומר שההעתקה מ‪ G‬ל ‪ Sn‬המתאימה ל ‪ g ∈ G‬את ‪ ϕg‬הנה הומו' של חבורות‪.‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫{|}‪z}|{ z‬‬ ‫נשים לב כי ‪) g = eG ⇐⇒ ϕg = eSn‬כי אם ‪ g 6= eh‬אז‪ g g1 6= g1 :‬ולכן ‪(ϕg (1) 6= 1‬‬ ‫ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪ ,‬אם נסמן ב‪ ϕ‬את ההומו‪ g 7→ ϕg :‬אזי‪:‬‬ ‫∼ ‪G = G/ ker ϕ‬‬ ‫‪= Im ϕ ⊆ Sn‬‬ ‫‪ 5.1‬פרוק תמורות למחזורים‬ ‫מחזור )‪ (yle‬הנו תמורה מהצורה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪. . . iℓ . . .‬‬ ‫‪. . . i1 . . .‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫‪. . . i1‬‬ ‫= ) ‪(i1 , i2 , . . . , iℓ‬‬ ‫‪. . . i2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪. . . ij+1‬‬ ‫דוגמה ‪: 5.1.1‬‬ ‫‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪(3, 4, 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪41‬‬ ‫פרק ‪ .5‬תמורות‬ ‫‪ .5.1‬פרוק תמורות למחזורים‬ ‫‪ 5.1.1‬כמה עובדות על מחזורים‬ ‫‪ .1‬אם ) ‪ σ = (i1 , i2 , . . . , iℓ‬אז‪σ −1 (iℓ , iℓ−1 , . . . , i2 , i1 ) :‬‬ ‫‪ σ .2‬כנ"ל הנו איבר מסדר ‪ ℓ‬ב ‪ σ j 6= e ,σ ℓ=e ) .Sn‬אם ‪(1 ≤ j ≤ ℓ − 1‬‬ ‫‪ σ, τ .3‬מחזורים יקראו זרים אם‪τ (j1 , . . . , jm ) ,σ = (i1 , . . . , iℓ ) :‬ושום ‪ iα‬אינו ‪.jβ‬‬ ‫אם ‪ σ, τ‬מחזורים זרים אזי‪) στ = τ σ :‬מתחלפים(‪.‬‬ ‫צריך להוכיח‪ στ (a) = τ σ (a) :‬לכל ‪) .α‬טריוויאלי מכך שכל מחזור נוגע רק באיברים הנמצאים בו‪(...‬‬ ‫טענה ‪5.1.2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של מחזורים זרים )לפי ‪ ,3‬הסדר של המחזורים לא חשוב כיוון שהם מתחלפים(‬ ‫דוגמה ‪: 5.1.3‬‬ ‫)‪= (1, 2, 4) (3, 5‬‬ ‫)‪= (1, 2, 4) (3) (5‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מתחילים "לקלף" מהתמורה מחזור מחזור לפי הסדר‬ ‫אם כך‪ ,‬כל תמורה ‪ Sn ∋ σ‬נותנת לנו מבנה מחזורים ‪ n = ℓ1 + ℓ2 + . . . + ℓr‬כאשר ‪ r‬הוא מספר המחזורים‪.‬‬ ‫‪ ℓi ≥ 1‬הוא אורך המחזור ה ‪i‬‬ ‫‪ℓ1 ≥ ℓ2 ≥ . . . ≥ ℓr‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.1.4‬חלוקה‪ (Partition) :‬של ‪ n‬עבור ‪:5‬‬ ‫‪1+1+1+1+1‬‬ ‫‪2+1+1+1‬‬ ‫= ‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪2+2+1‬‬ ‫‪3+1+1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3+2‬‬ ‫‪4+1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫)הוא לא באמת הגדיר‪ ,‬רק הראה דוגמה‪(...‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫תרגיל‪ :‬שתי התמורות ‪ σ, τ‬שייכות לאותה מחלקת צמידות ב ‪) Sn‬כלומר יש תמורה ‪⇐⇒ (σ = ρτ ρ−1 :ρ‬‬ ‫החלוקות של ‪ n‬המתקבלות מפרוק ‪ σ‬ו ‪ τ‬למחזורים זרים שוות‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 5.1.5‬ב ‪ S5‬יש ‪ 7‬מחלקות צמידות‬ ‫הגדרה ‪ 5.1.6‬טרנספוזיציה‪ :‬תמורה מהצורה )‪(i, j‬‬ ‫משפט ‪5.1.7‬‬ ‫החילופים )‪ (1, i‬כאשר ‪ 2 ≤ i ≤ n‬יוצרים את ‪Sn‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫)‪(1, 2, . . . , ℓ) = (1, 2) (2, 3) (3, 4) · . . . · (ℓ − 1, ℓ‬‬ ‫‪42‬‬ ‫פרק ‪ .5‬תמורות‬ ‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬ ‫הסדר חשוב )הטרנספוזיציות לא זרות(‬ ‫ובאותו אופן‪:‬‬ ‫) ‪(i1 , i2 , . . . , iℓ ) = (i1 , i2 ) (i2 , i3 ) · . . . · (iℓ−1 , iℓ‬‬ ‫ולכן כל מחזור הינו מכפלת טרנספוזיציות אבל לפי טענה קודמת כל איבר ב ‪ Sn‬הנו מכפלת מחזורים ולכן בוודאי‬ ‫מכפלת טרנספוזיציות‪.‬‬ ‫לבסוף נשאר להבחין כי‪:‬‬ ‫)‪(i, j) = (1i) (1j) (1i‬‬ ‫‪07/12/2011‬‬ ‫)מפעילים על זה את ‪ i‬ואת ‪ j‬ומקבלים את הנדרש באופן מיידי(‬ ‫‪5.2‬‬ ‫זוגיות )סימן( של תמורה‬ ‫תזכורת ‪ 5.2.1‬בהינתן ‪ Sn‬חבורת התמורות של }‪ .{1, . . . n‬כל תמורה הנה מכפלה של חילופים מהצורה )‪.(1 i‬‬ ‫המכפלה אינה יחידה‬ ‫)‪(i j) = (1 j) (1 j) (1 i‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.2.2‬היפוך סדר‪ :‬אם‬ ‫‪P‬‬ ‫שעבורו )‪.σ (j) < σ (i‬‬ ‫‬ ‫‪... n‬‬ ‫‪. . . in‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫= ‪ σ‬הנה תמורה ‪ .σ (j) = ij‬היפוך סדר ב‪ σ‬הנו זוג ‪i < j‬‬ ‫דוגמה ‪: 5.2.3‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4‬הפיוכי סדר‪ .‬מתאימים לצמתים בין הקווים המחברים את כל מספר למיקומו החדש )כלומר אם נעביר קו בין‬ ‫‪ 1‬בשורה הישנה לשורה חדשה‪ ,‬בין ‪ 2‬ל‪ 2‬וכו' אז מספר הצמתים זה מספר היפוכי הסדר(‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.2.4‬זוגיות‪/‬אי־זוגית‪ :‬תמורה נקראת זוגית אם מספר היפוכי הסדר בה זוגי‪ ,‬ונקראת אי־זוגית אם הוא‬ ‫אי־זוגי‪.‬‬ ‫בהינתן )‪ (1 2 . . . ℓ‬מחזור‪.‬‬ ‫‬ ‫הסימן של התמורה‬ ‫‪... ℓ − 1 ℓ‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪ℓ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪ℓ−1‬‬ ‫)‪ .(−1‬מחזור מאורך ‪ ℓ‬הנו תמורה זוגית אם ‪ ℓ‬אי־זוגי‪ .‬ואי־זוגית אם ‪ ℓ‬זוגי‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.2.5‬סימן‪ :‬הסימן של תמורה יהיה שלילי אם התמורה היא אי־זוגית וחיובי אחרת‪.‬‬ ‫‪43‬‬ ‫פרק ‪ .5‬תמורות‬ ‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬ ‫למה ‪5.2.6‬‬ ‫‪ .1‬הסימן )מספר היפוכי הסדר ב ‪ sgn (σ) = (−1) (σ‬ניתן לחישוב מפורש‬ ‫‪i−j‬‬ ‫)‪σ (i) − σ (j‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫= )‪sgn (σ‬‬ ‫‪1≤i<j≤n‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ σ‬הנה מכפלה של ‪ k‬חילופים )טרנסופזיציות(‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪sgn = (−1‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל זוג ‪ a < b‬בטווח ]‪ [1, n‬מופיע בערך מוחלט פעם אחת במונה ופעם אחת במכנה‪.‬‬ ‫‪| = 1‬אגף ימין|‪ .‬לגבי הסימן‪ :‬כל כופל נותן ‪ +‬אם אינו היפוך ו ־ אם היפוך‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכחה באינדוקציה על מספר הטרנספוזיציות בכתיב של ‪ σ‬כמכפלת טרנספוזיציות‪.‬‬ ‫בסיס האינדוקציה ־ טרנספוזיציה אחת הנה אי־זוגית‪.‬‬ ‫נותר להראות שאם )‪ σ ′ = σ · (i j‬אז‪.sgn σ ′ = − sgn σ :‬‬ ‫ב‪.‬ה‪.‬כ )‪.σ ′ = σ (1 2) .(i j) = (1 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|‬ ‫‪3‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|‬ ‫‪3‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪σ‬‬ ‫= ‪σ′‬‬ ‫)‪σ (1) σ (2) | σ (3) . . . σ (n‬‬ ‫)‪σ (2) σ (1) | σ (3) . . . σ (n‬‬ ‫האם ‪ a < b‬הנו הפוך או לא ב ‪ σ‬וב ‪ 3 ≤ a < b ≤ n ?σ ′‬־ התשובה אותה תשובה ב ‪ σ‬וב ‪.σ ′‬‬ ‫אם אחד מבין ‪ a, b‬הנו ‪ 1, 2‬והשני ≤ ‪ 3‬אזי ‪ 1 < b‬הנו הפוך סדר ב‪ 2 < b ⇐⇒ σ‬הנו הפוך סדר ב ‪.σ‬‬ ‫מספר היפוכי הסדר מבין הזוגות ‪ 1 < b‬ב‪ =σ‬מספר היפוכי הסדר מבין הזוגות ‪ 2 < b‬ב ‪ σ ′‬ולהפך‪.‬‬ ‫אם ‪ 1 < 2‬הנו היפוך ב‪ ⇐⇒ σ‬איננו היפוך ב ‪.σ ′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫מסקנה ‪5.2.7‬‬ ‫עבור ‪:n ≥ 2‬‬ ‫‪ .1‬ההעתקה }‪ sgn : Sn → {±1‬הנה הומו'‪.‬‬ ‫‪ An = ker (sgn) .2‬תת־חבורה נורמלית מאינדקס ‪ .2‬נקראת חבורת‬ ‫התמורות הזוגיות‪.‬‬ ‫מתאפיינת כתמורות שבכל פרוק שלהן למכפלת חילופים‪ ,‬יופיע מספר‬ ‫זוגי של חילופים‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬נכתוב את ‪ σ‬כמכפלת ‪ r‬חילופים‪ .‬ואת ‪ τ‬כמכפלת ‪ s‬חילופים‪ .‬אזי ‪ σ · τ‬הנה מכפלת ‪ r + s‬חילופים‪ .‬לפי‬ ‫הלמה הקודמת סעיף ‪:2‬‬ ‫‪sgn (σ · τ ) = (−1)r+s = (−1)r (−1)s = sgn σ · sgn τ‬‬ ‫‪ .2‬ממשפט האיזומורפיזם הראשון‪Sn ⊲ An = ker (sgn) :‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫ ‪ Sn Sn‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪ An ker (sgn) = |Im (sgn)| = 2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫פרק ‪ .5‬תמורות‬ ‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬ ‫הגדרה ‪ 5.2.8‬חבורה פשוטה‪ :‬חבורה ‪ G‬נקראת פשוטה אם אין לה איף תת חבורה נורמלית ‪ N ⊳ G‬פרט לה‬ ‫ול}‪.{e‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 5.2.9‬חבורה ציקלית מספר ‪ p‬ראשוני אין לה בכלל תתי חבורות‪ .‬ולכן היא פשוטה‪.‬‬ ‫משמעות כל הומומורפיזם ‪) ϕ : G → G′‬אם ‪ G‬פשוטה( הוא או ‪ ϕ = e′‬או ‪ ϕ‬חח"ע‪.‬‬ ‫משפט ‪5.2.10‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ n ≥ 5 ,An‬פשוטה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪: 5.2.11‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ |A5 | = 60‬וזו החבורה הפשוטה )הלא ציקלית( הקטנה ביותר‪.‬‬ ‫הערה ‪ Sn 5.2.12‬היא לא פשוטה‪ ,‬כי תמיד קיים ‪.An ⊳ Sn‬‬ ‫דוגמה ‪{e} ⊳ V4 ⊳ A4 ⊳ S4 : 5.2.13‬‬ ‫}‪|{z} |{z} |{z‬‬ ‫‪24‬‬ ‫!‪12= 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∼ })‪V4 = {e, (1 2) (3 4) , (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3‬‬ ‫‪= Z2 × Z2‬‬ ‫)חבורת ה‪ 4‬של קליין(‬ ‫‪12/12/2011‬‬ ‫הערה ‪ 5.2.14‬לא הספקנו להוכיח את המשפט בשיעור‪ ,‬נשלים שיעור הבא‪ .‬בהוכחת המשפט יהיו שני שלבים‪:‬‬ ‫שלב א'‪ :‬אם ‪ N ⊳ An 5 ≤ n‬ו ‪ N‬מכילה ‪ 3‬מחזור‪ σ = (i1 i2 i3 ) :‬אז ‪.N = An‬‬ ‫שלב ב'‪ :‬אם ‪) N ⊳ An‬כאשר ‪ (5 ≤ n‬ו ‪ {e} 6= N‬אזי ‪ N‬מכילה ‪ 3‬מחזור‪.‬‬ ‫הערה ‪ 5.2.15‬מעכשיו החומר צפוי להיות יותר עמוק‬ ‫משפט ‪5.2.16‬‬ ‫החבורה ‪ An‬עבור ‪ n ≥ 5‬פשוטה )אין לה תת חבורות נורמליות פרט ל ‪ An‬עצמה‪ ,‬ול‪({e} :‬‬ ‫הערה ‪ 5.2.17‬ראינו כי ‪ {1, (1 2) (3 4) , (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3)} = V4 ⊳ A4‬חבורת ה־‪ 4‬של קליין‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬שלב א'‪:‬‬ ‫למה ‪5.2.18‬‬ ‫אם ‪ N ⊳ An‬ו‪ N :‬מכילה ‪3‬־מחזור מהצורה ) ‪ (i1 i2 i3‬אזי כבר‪N = An :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בה"כ ‪ (1 2 3) ∈ N‬יהי ‪ .4 ≤ k‬נסתכל ב‪ 3) g = (k 3 2) :‬מחזור אחר‪ ,‬תמורה זוגית‪ ,‬ולכן ‪.(An ∋ g‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪g (1 2 3) g −1 = (k 3 2) (1 2 3) (2 3 k) ∈ N‬‬ ‫} ‪| {z } | {z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪∈An‬‬ ‫)‪(k 3 2) (1 2 3) (2 3 k) = (1 k 2‬‬ ‫ולכן גם ‪ (1 k 2) ∈ N‬וגם ‪ (1 k 2)2 = (1 2 k) ∈ N‬וכמו כן‪.(1 2 k)2 = (2 1 k) ∈ N :‬‬ ‫עכשיו נתבונן ב‪:‬‬ ‫‪(1 i j) = (2 1 i) (2 1 j) (1 2 i) ⇒ (1 i j) ∈ N‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫)‪(1 i) (i j) = (1 j i‬‬ ‫ולכן מכפלה של כל שתי טרנספוזיציות מהצורה )‪ (1 i‬הינה ב ‪.N‬‬ ‫נקח ‪ g ∈ An‬כלשהו‪ g ,‬ניתן לכתיבה כמכפלת טרנספוזיציות מהצורה )‪) (1 i‬הטרנספוזיצות הללו יוצרות את‬ ‫‪(Sn‬‬ ‫והיות ו‪ g :‬תמורה זוגית‪ ,‬היא מכפלה של מספר זוגי של )‪ (1 i‬כאלה‪ ,‬וזה אומר שהיא ב ‪.N‬‬ ‫שלב ב'‬ ‫‪45‬‬ ‫פרק ‪ .5‬תמורות‬ ‫‪ .5.2‬זוגיות )סימן( של תמורה‬ ‫למה ‪5.2.19‬‬ ‫= }‪ {e‬כך ש ‪ 5 ≤ n‬אז ‪ N‬מכילה ‪ 3‬מחזור‪.‬‬ ‫אם ‪6 N ⊳ An‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬נניח ש ‪ (1 2 . . . k) · a · b · . . . = g ∈ N‬כאשר ‪ 4 ≤ k‬ו‪ a, b, . . . :‬מחזורים זרים ל )‪ (1 2 . . . k‬נשים לב‬ ‫כי‪:‬‬ ‫‪An ∋ (1 2 3) g (3 2 1) ·g −1 ∈ N‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪∈N‬‬ ‫‪ a, b, . . .‬זרים ל )‪ (1 2 3‬ומופיעים בהיפוך ‪ a−1 , b−1‬בתמורה ‪ g −1‬ולכן מצטמצמים )מחזורים זרים מתחלפים(‬ ‫נשאר‪:‬‬ ‫‪(1 2 3) (1 2 3 . . . k) (3 2 1) (k . . . 3 2 1) = (1 2 4) ∈ N‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מצאנו ב ‪ 3 N‬מחזור‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם אין בפרוק של ‪ g‬שום ‪ k‬מחזור ל‪ 4 ≤ k‬אז בפרוק של ‪ g‬למחזורים מופיעים רק ‪ 3‬מחזורים ו‪ 2‬מחזורים‪.‬‬ ‫נניח שמופיעים לפחות ‪ 3 2‬מחזורים‪.‬‬ ‫‪g = (1 2 3) (4 5 6) · a · b · . . .‬‬ ‫‪(2 3 4) g (4 3 2) g −1 = (1 4 2 3 5) ∈ N‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪∈N‬מנורמליות‬ ‫ואז חזרנו ל)‪.(1‬‬ ‫‪ .3‬אם אנחנו לא ב)‪ (1‬ולא ב)‪ (2‬אז או ש ‪ g = (1 2 3) · a · b · . . .‬כאשר ‪ a, b, . . .‬טרנספוזיציות או‪g = :‬‬ ‫‪ (1 2) (3 4) . . .‬מכפלת טרנספוזיציות זרות‪.‬‬ ‫במקרה הראשון ‪ g 2‬הנו ‪ 3‬מחזור‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪g 2 = (1 2 3) a2 b2 . . . = (1 3 2‬‬ ‫הערה ‪ 5.2.20‬מותר כי איברי ‪ g‬מתחלפים‪ .‬לכן‪.(xy)2 = x2 y 2 :‬‬ ‫לסיום נשתמש בהנחה ש ‪) n ≥ 5‬אם ‪ N = V4 n = 4‬אז באמת כל אבר ‪ N ∋ g 6= e‬הנו מכפלת ‪ 2‬טרנספוזיציות(‪.‬‬ ‫נניח ‪ .g = (1 3) (2 4) . . .‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪(1 2 5) g (5 2 1) g −1 = (1 2 5 4 3) ∈ N‬‬ ‫וחזרנו ל)‪.(1‬‬ ‫ולכן ההוכחה של המשפט נגזרת באופן ישיר מ‪ 2‬הלמות הנ"ל‪.‬‬ ‫‪46‬‬ ‫פרק ‪6‬‬ ‫חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫תזכורת ‪ G × X → X 6.0.21‬פעולה של ‪G‬על ‪) X‬קבוצה(‬ ‫‪ .1‬אם ) ‪ O (x1 ) , . . . , O (xn‬המסלולים השונים אז‪:‬‬ ‫|) ‪|O (xi‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= |‪|X‬‬ ‫ואם ‪ =Gxi‬המייצב של ‪ {g| gxi = xi }=xi‬תת חבורה‪ .‬אז ממשפט המסלול‪:‬‬ ‫|) ‪|X| = |Gxi | · |O (xi‬‬ ‫מעכשיו ‪ p‬ראשוני קבוע‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.0.22‬חבורת־‪ :p‬חבורת־‪ p‬הנה חבורה ‪ G‬שהסדר של‪.|G| = pk :‬‬ ‫הערה ‪) 6.0.23‬אבחנה(‬ ‫אם חבורת־‪ p‬פועלת על קבוצה סופית ‪ X‬אז גודל כל מסלול הוא או ‪ 1‬או מספר שמתחלק ב‪) p‬למעשה חזקה‬ ‫של ‪.(p‬‬ ‫משפט ‪6.0.24‬‬ ‫אם ‪ G‬חבורת־‪) {e} 6= Z (G) ,p‬יש ב‪ G‬איבר שונה מ‪ e‬שמתחלף עם כל איברי ‪.(G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסתכל בפעולת ‪ G‬על עצמה ע"י הצמדה‪:‬‬ ‫‪G×G→G‬‬ ‫‪(γ, g) 7→ γgγ −1‬‬ ‫המסלולים הנם מחלקות הצמידות‪.‬‬ ‫‪C1 = {e} , C2 , . . . , Ch‬‬ ‫מחלקת צמידות ‪ Ci‬היא או יחידון } ‪ Ci = {gi‬או‪) |Ci | ≡ 0 mod p :‬לפי האבחנה הכללית(‬ ‫| ‪|Ci‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪|G| = pk‬‬ ‫ולכן מספר מחלקות הצמידות שהן יחידונים גם כן מתחלק ב‪.p‬‬ ‫אבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪O (g) = γgγ −1 |γ ∈ G = g G‬‬ ‫הוא יחידון אם"ם )‪.g ∈ Z (G‬‬ ‫‪∀γ ∈ G γgγ −1 = g ⇐⇒ γg = gγ‬‬ ‫‪47‬‬ ‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ .6.1‬הרעיון בחקר חבורות־‪p‬‬ ‫בגלל ש }‪ {e‬מסלול יחידון ולכן‪:‬‬ ‫|)‪p| |Z (G‬‬ ‫מסקנה ‪6.0.25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חבורה מסדר ‪ p‬הינה אבלית‬ ‫הוכחה‪ :‬עלינו להראות ש ‪ Z (G) = G‬אחרת מן המשפט הקודם ‪ .|Z (G)| = p‬נבחר ‪ g ∈ G‬שאיננו ב )‪.Z (G‬‬ ‫נסתכל בחבורה ‪.H = hZ (G) , gi‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪Z (G) $ H ⊆ G‬‬ ‫אבל‪ [G : Z] = p :‬וגם‪ [G : H] [H : Z] = [G : Z] = p :‬אבל ‪ [H : Z] = p‬ולכן‪.G = H⇐[G : H] = 1 :‬‬ ‫אבל ‪ H‬אבלית כי‪:z1 , z2 ∈ Z :‬‬ ‫‪z1 g m1 z2 g m2 = z1 z2 g m1 +m2 = z2 g m2 z1 g m1‬‬ ‫ולכן ‪ G‬אבלית‪ ,‬כלומר )‪.G = Z (G‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫הרעיון בחקר חבורות־‪p‬‬ ‫ראינו ש )‪.{e} 6= Z1 ,G ⊲ Z1 = Z (G‬‬ ‫ נסתכל על ‪ .G = G/Z1‬גם זו חבורת־‪ ,p‬ולכן גם המרכז שלה לא טריוויאלי‪ :‬יש ‪ Z1 ⊂ Z2 ⊂ G‬כך ש‪:‬‬ ‫‪.Z2/Z1 = Z G‬‬ ‫נשים לב כי‪.Z2/Z1 ⊳ G/Z1 = G ⇐⇒ Z2 ⊳ G :‬‬ ‫הערה ‪6.1.1‬‬ ‫‪Z2‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪g ∈ G/Z1‬‬ ‫∈‬ ‫∈‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪γgγ‬‬ ‫באינדוקציה ⇐ בכל חבורת־‪ p‬יש סדרה עולה של תת חבורות‪:‬‬ ‫‪{e} ⊂ {Z1 } ⊂ {Z2 } ⊂ . . . ⊂ Zr = G‬‬ ‫כאשר ‪ .Zi ⊳ G‬ו‪:‬‬ ‫‪ 6= Z (G/Zi ) = Zi+1/Zi‬טריוויאלי‬ ‫בפרט‪ Zi+1/Zi :‬אבלית‪.‬‬ ‫זו הסדרה המרכזית העולה של ‪.G‬‬ ‫‪ 6.2‬משפטי סילו‬ ‫‪ G‬חבורה סופית‪ p .‬ראשוני‪ .‬נניח כי‪) p| |G| :‬לדוגמה‪ |G| = 21 :‬ו‪ (p = 7‬כלומר‪:‬‬ ‫‪n = |G| = m · pe‬‬ ‫כאשר ‪.p|m‬‬ ‫משפט ‪ 6.2.1‬משפט‬ ‫‪Sylow‬‬ ‫הראשון‬ ‫‪48‬‬ ‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬ ‫יש ב‪ G‬תת־חבורה ‪ H ⊆ G‬מסדר ‪.pe‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.2.2‬תת חבורה ‪p‬־סילו‪ :‬תת חבורה מסדר ‪ pe‬של ‪ G‬נקראת תת חבורה ‪p‬־סילו של ‪.G‬‬ ‫‪ H‬כזאת ניתנת לאפיון‪:‬‬ ‫‪ H .1‬חבורת־‪.p‬‬ ‫‪ [G : H] .2‬זר ל־‪.p‬‬ ‫איך בונים את ‪?H‬‬ ‫הערה ‪ 6.2.3‬רקע על חבורותצמודות‪ :‬אם ‪ G‬חבורה כלשהיא‪ ,‬ו ‪ H ≤ G‬תת חבורה‪.‬‬ ‫ואם ‪ ghg −1 |h ∈ H = gHg −1 g ∈ G‬גם תת־חבורה‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪gh1 g −1 gh2 g −1 = g (h1 h2 ) g −1‬‬ ‫וכמו כן‪:‬‬ ‫‬ ‫‪= gh−1 g −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ghg −1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫הגדרה ‪ 6.2.4‬הנורמליזטור של ‪ H‬ב‪ :G‬האיברים ‪ NG (H) = g ∈ G| gHg −1 = H‬יקראו הנורמליזטור של‬ ‫‪ H‬ב‪ .G‬ברור כי‪ H ⊆ NG (H) :‬לכן היא מוגדרת היטב‪ .‬אם ‪ H ⊳ G‬אז‪NG (H) .NG (H) = G :‬הוא החבורה‬ ‫הגדולה ביותר ב‪ G‬שבתוכה ‪ H‬נורמלית‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪γ|γgγ‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ =CG (g) ,g ∈ G‬הרכז שלו =‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ =NG (H) .H ⊆ G‬הנורמליזטור של ‪. γ|γHγ = H =H‬‬ ‫תת חבורה‪:‬‬ ‫)‪γ1 , γ2 ∈ NG (H‬‬ ‫‪γ1 γ2 H (γ1 γ2 )−1 = γ1 γ2 Hγ2−1 γ1−1 = γ1 Hγ1−1 = H‬‬ ‫הערה ‪ 6.2.5‬אם ‪ =A‬אוסף כל תת החבורות של ‪ G‬נגדיר פעולה של ‪ G‬על ‪.A‬‬ ‫תת חבורה צמודה של ‪γ ∗ H = γHγ −1 =H‬‬ ‫המסלול של ‪=H‬כל תת החבורות הצמודות ל‪ .H‬המייצב של ‪NG (H) =H‬‬ ‫‪14/12/2011‬‬ ‫משפט ‪ 6.2.6‬משפט ‪Sylow‬‬ ‫הראשון‬ ‫לכל ‪ p‬ראשוני המחלק את |‪ |G‬יש ב‪ G‬תת חבורה ‪p‬־סילו‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ S‬משפחת כל תת הקבוצות מסדר ‪.pe‬‬ ‫ ‬ ‫)‪n (n − 1) · . . . · (n − pe + 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= |‪|S‬‬ ‫=‬ ‫‪pe (pe − 1) · . . . · 1‬‬ ‫‪pe‬‬ ‫)כאשר ‪(|G| = n‬‬ ‫למה ‪6.2.7‬‬ ‫|‪|S‬אינו מתחלק ב‪p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסתכל ב ‪ k = pf · k0 ,0 ≤ k < pe‬כאשר ‪ 0 ≤ f ≤ e‬ו‪p|k0 :‬‬ ‫הסדר של ‪ p‬ב ‪ pe − k‬הנו בדיוק ‪pf ) .f‬מחלק גם את ‪pe‬וגם את ‪,k‬‬ ‫כנ"ל הסדר של ‪ p‬ב ‪ n − k‬גם כן בדיוק ‪) f‬מאותה סיבה(‪.‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪f +1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ p‬מחלק את ‪ p‬אך לא את ‪(k‬‬ ‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬ ‫ולכן המופעים של ‪ p‬ב )‪ (n − k‬וב )‪ (pe − k‬בדיוק מצטמצמים ולכן אין חזקות ‪ p‬ב‪:‬‬ ‫|‪= |S‬‬ ‫‬ ‫‪n−k‬‬ ‫‪pe − k‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪pY‬‬ ‫ ‪−1‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫ניתן ל ‪ G‬לפעול על ‪ S‬ע"י ‪ .(g, S) 7→ g · S G × S → S‬נראה שקיימת ‪ S‬שהמייצב שלה ‪ GS‬הנו תת חבורה‬ ‫‪p‬־סילו‪.‬‬ ‫למה ‪6.2.8‬‬ ‫המייצב של כל ‪ S ∈ S‬הנו חבורת־‪p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ .H = {g| ∀s ∈ S, g · s ∈ S} ,H = GS‬בפרט אם ‪ =H · s ⊂ S ,s ∈ S‬המחלקה הימנית‪ .‬לכן‪S ,‬‬ ‫היא איחוד של מחלקות ימניות ולכן‪:‬‬ ‫|‪|H| | |S‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪pe‬‬ ‫היות ו|‪ |S‬זר ל‪ ,p‬חייב להיות מסלול )‪O (S‬מסדר זר ל־‪.p‬‬ ‫נשתמש בנוסחת המסלול‪:‬‬ ‫|)‪· |O (S‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫זר ל‪p‬‬ ‫= |‪pe · m = |G‬‬ ‫| ‪|GS‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫מלמה ב' ־ חזקת ‪p‬‬ ‫כלומר‪ .pe = |GS | :‬כלומר ‪ H = Gs‬חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 6.2.9‬משפט קושי‬ ‫אם |‪p| |G‬יש ב‪ G‬איבר מספר ‪p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ H ≤ G‬חבורת ‪p‬־סילו‪ .‬נבחר ‪ .e 6= g ∈ H‬הסדר שלו )‪o (g‬צריך לחלק את |‪|H‬ולכן הוא ‪pk /‬אזי‪:‬‬ ‫ ‪ k−1‬‬ ‫‪6= e‬‬ ‫‪gp‬‬ ‫ ‪ k−1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אבל ‪= g p = e‬‬ ‫‪. gp‬‬ ‫משפט ‪ 6.2.10‬משפט סילו השני‬ ‫תהיה ‪ G‬כנ"ל‪ .(p ∤ m) |G| = pe m :‬תהיה ‪ K ≤ G‬תת חבורה כל־שהיא‪ H ,‬תת חבורה ‪p‬־סילו‪ .‬אזי ישנו‬ ‫‪ a ∈ G‬כך ש‪ K ∩ aHa−1 :‬תת חבורה ‪p‬־סילו של ‪.K‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫הערה ‪ pe = aHa−1 = |H| 6.2.11‬ולכן גם ‪ aHa−1‬חבורת ‪p‬־סילו של ‪.G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסתכל בפעולה של ‪ K‬על ‪ X = G/H‬ע"י כפל משמאל )‪ X‬היא קבוצת הקוסטים‪ ,‬כלומר = ‪X‬‬ ‫}‪ .({g1 H, . . . , gm H‬נשים לב כי |‪ m = [G : H] = |X‬זר ל ‪.p‬‬ ‫יהיה ‪ x = aH‬כך ש‪:‬‬ ‫}‪Kx = {k ∈ K|kaH = aH‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪a−1 kaH = H ⇒ a−1 ka ∈ H‬‬ ‫‪k ∈ aHa−1 ∩ K‬‬ ‫‪Kx = aHa−1 ∩ K,‬‬ ‫‪50‬‬ ‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬ ‫מספר אברי ‪ Kx‬הנו חזקת־‪ p‬כל ‪ ≥ Kx‬חבורת־‪. aHa−1 ,p‬‬ ‫מאידך‪ m = |X| ,‬זר ל‪ p‬ולכן יש ‪ x = aH‬שהמסלול שלו )‪ O (x‬מגודל זר ל‪.p‬‬ ‫ממשפט המסלול‪:‬‬ ‫|)‪|K| = |Kx | |O (x‬‬ ‫} ‪|{z} | {z‬‬ ‫זר ל ‪ p‬חזקת ‪p‬‬ ‫כלומר ‪ Kx‬חבורת ‪ p‬מאינדקס זר ל‪ Kx ⇐p‬חבורת ‪p‬־סילו‪.‬‬ ‫מסקנה ‪6.2.12‬‬ ‫אם ‪ K‬בעצמה חבורת ‪ ,p‬אזי יש ‪ a‬כך ש‪K ⊂ aHa−1 :‬‬ ‫מסקנה ‪6.2.13‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫כל חבורות ‪p‬־סילו של ‪ G‬צמודות זו לזו‪) .‬במסקנה ‪(|K| = aHa−1 = pe ,1‬‬ ‫מסקנה ‪6.2.14‬‬ ‫‪19/12/2011‬‬ ‫אם ‪ H‬חברות ‪p‬־סילו של ‪ ,G‬אזי ‪ H‬יחידה ⇒⇐ ‪.H ⊳ G‬‬ ‫משפט ‪ 6.2.15‬משפט סילו השלישי‬ ‫במצב המתואר לעיל‪ ,‬מספר חבורות ‪p‬־סילו ב‪ G‬שיסומן ‪ rp‬מקיים‪ rp |m :‬וגם‪) rp ≡ 1 mod p :‬משאיר‬ ‫שארית ‪ 1‬בחלוקה ב ‪(p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהיו‪ {H1 = H, H2 , . . . , Hr } :‬כל חבורות ‪ p‬סילו של ‪ ,G‬כלומר ‪ .r = rp‬כל ‪ Hi‬הנה מהצורה ‪aHa−1‬‬ ‫)לפי המסקנה השניה למשפט סילו השני( ולהפך‪ ,‬כל חבורה מהצורה ‪ aHa−1‬היא חבורה ‪ p‬סילו‪ .‬לפיכך‪ ,‬נגדיר‬ ‫קבוצה ‪ X‬בתור כל תת־החבורות של ‪ .G‬אם ‪ γ ∈ G‬ו‪ γ ∗ L = γLγ −1 .L ∈ X‬גם כן תת חבורה ו‪:‬‬ ‫‪e∗L=L‬‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪γ1 ∗ (γ2 L) = γ1 γ2 Lγ2−1 γ1−1 = (γ1 γ2 ) L (γ1 γ2 ) = (γ1 γ2 ) ∗ L‬‬ ‫קבלנו פעולה של ‪ G‬על ‪ X‬ו‪:‬‬ ‫} ‪O (H) = {H1 , H2 , . . . , Hr‬‬ ‫מסלול שלם‪ .‬ממשפט המסלול אנו יודעים כי‪:‬‬ ‫|‪|G‬‬ ‫‪GH‬‬ ‫= |)‪r = |O (H‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫כאשר ‪ GH‬הוא המייצב‪ .‬אבל נשים לב כי‪ GH = γ ∈ G| γHγ −1 = H = NG (H) :‬כלומר הנורמליזטור של‬ ‫‪ H‬ב־ ‪ .G‬אבל אנו יודעים כי‪:‬‬ ‫‪≤ N (H) ≤ G‬‬ ‫‪|{z} G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫סגירות ‪H‬‬ ‫ולכן קיבלנו כי‪:‬‬ ‫‪ m‬‬ ‫{ |} ‪ z‬‬ ‫‬ ‫]‪[G : NG (H)] [G : H‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪r‬‬ ‫כלומר קילבנו כי‪ rp |m :‬כנדרש‪.‬‬ ‫נוכיח את החלק השני‪ ,‬נפרק את המסלול } ‪G) {H1 , . . . , Hr‬־מסלול( למסלולים זרים תחת פעולת ‪ H‬ע"י‬ ‫הצמדה‪.‬‬ ‫‪H‬־מסלול אחד יהיה כמובן }‪.{H‬‬ ‫‪51‬‬ ‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬ ‫טענה ‪6.2.16‬‬ ‫כל ‪H‬־מסלול אחר מכיל יותר מחבורה אחת‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ש } ‪ {Hi‬הנו מסלול בין אבר ‪ 1‬ונראה כי ‪ . i = 1‬נשים לב כי זה אומר‪:‬‬ ‫‪hHi h−1 = Hi‬‬ ‫‪∀h ∈ H‬‬ ‫כלומר‪) H ⊆ NG (Hi ) :‬כלומר ‪ H‬מנרמלת את ‪ (Hi‬מכך נקבל כי‪ {a · b| a ∈ H, b ∈ Hi } = H · Hi :‬הוא‬ ‫תת חבורה‪:‬‬ ‫‪(a · b) (a1 · b1 ) = aa1 a−1‬‬ ‫‪ba1 ·b1‬‬ ‫} ‪| 1 {z‬‬ ‫‪∈Hi‬‬ ‫ולכן היא סגורה לפעולה‪.‬‬ ‫מספר האיברים ב ‪) HHi‬היה בתרגיל( הנו‪:‬‬ ‫| ‪|H| · |Hi‬‬ ‫חזקת ‪= p‬‬ ‫| ‪|H ∩ Hi‬‬ ‫אבל ‪ HHi‬חבורת־‪ = H ⊂p‬חבורת ‪p‬־סילו⇐‪ HHi = H‬ובאותה צורה‪ HHi = Hi :‬ולכן‪ Hi = H :‬כלומר‪,‬‬ ‫‪.i = 1‬‬ ‫‪ H‬חבורת־‪ p‬ולכן בפעולתה ע"י הצמדה על הקבוצה } ‪{H1 , . . . , Hr‬מספר האברים בכל מסלול שאינו יחידון‬ ‫מתחלק ב ‪ .p‬אם כך‪) :‬כפולת ‪ r = 1 + (p‬כנדרש‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 6.2.17‬חבורות ‪ G‬מסדר ‪ |G| = p · q‬כאשר ‪ p 6= q‬ראשוניים‪ .‬בה"כ‪ .p < q :‬אנו יודעים שיש לנו‬ ‫חבורת ‪p‬־סילו ב ‪ .G‬נסמנה ‪ |P | = p .P‬ו‪ p‬ציקלית‪ .‬כאשר היוצר שלה הוא ‪. ap = e .hai‬‬ ‫דבר דומה ניתן לעשות עם ‪ =Q .q‬חבורת ‪q‬־סילו ‪ .|Q| = q‬עם יוצר ‪ .hbi‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫}‪P ∩ Q = {e‬‬ ‫כי הסדר של ‪ P ∩ Q‬מחד גיסא מחלק את ‪ p‬ומאידך מחלק את ‪ .q‬אבל שניהם ראשוניים לכן הוא בהכרח ‪. 1‬‬ ‫‪ =rq‬מספר צמודי ‪ Q‬המחלק את ‪ p‬וגם ‪) rq ≡ 1 mod q‬מסילו השלישי( ומכיוון ש ‪ p < q‬אזי ‪.rq = 1‬‬ ‫מסקנה ‪6.2.18‬‬ ‫‪) Q ⊳ G‬לכל ‪= Q , a ∈ G‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(aQa‬‬ ‫משפט ‪6.2.19‬‬ ‫נניח בתנאים הנ"ל ‪ q 6≡ 1 mod p‬אזי‪ G :‬ציקלית מסדר ‪pq‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בתנאי הזה‪ P ⊳ G ,‬כי ‪ rp = 1‬או ‪ rp ≡ 1 mod p .rp = q‬אבל ‪ q 6≡ 1 mod p‬ולכן‪.rp = 1 :‬‬ ‫‪∈Q‬‬ ‫|}‬ ‫{‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪aba‬‬ ‫‪b‬‬ ‫נסתכל על‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈Q‬‬ ‫כי ‪ Q‬נורמלית‬ ‫באותה זורה‪) ba−1 b−1 ∈ P :‬כי ‪ P‬נורמלית( ‪∈ P‬‬ ‫‪.ab = ba‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נסתכל על ‪ .a · b‬נניח ‪ (ab) = e‬מתחלפים‪.‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)הקומוטטור של ‪ a‬ו־‪.(b‬‬ ‫‪ a · ba−1 b−1‬אבל }‪ aba−1 b−1 = e ,P ∩ Q = {e‬ולכן‪:‬‬ ‫‪an · b n = e‬‬ ‫‪bn = e‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P ∋ an = b−n ∈ Q ⇒ an = e,‬‬ ‫מכאן‪ p|n ,‬ו‪ ,q|n‬כלומר ‪ ab‬הינו איבר מסדר ‪ pq‬ולכן ‪ G‬ציקלית ‪G = habi‬‬ ‫דוגמה ‪ : 6.2.20‬חבורה מסדר ‪ 15 = 3 · 5‬או חבורה מסדר ‪ 77 = 7 · 11‬הנה ציקלית‪.‬‬ ‫‪52‬‬ ‫פרק ‪ .6‬חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ .6.2‬משפטי סילו‬ ‫‪P‬‬ ‫כאשר ‪ p < q‬ראשוניים ‪ 1 ≡ 1 mod p‬אז יש חבורה מסדר ‪ pq‬שאינה אבלית‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ .2 · 3 = 6 = |S3 | : 6.2.21‬מסדר ‪...10‬‬ ‫נבנה מסדר ‪b7 = e .Q = hbi ,P = hai :p = 3, q = 7 .21‬‬ ‫‪.G = P · Q .Q ⊳ G‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪G = ai b j | 0 ≤ i < 3 0 ≤ j < 7‬‬ ‫‪.a3 = e,‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪ai bj ak bl = ai+k a−k bj ak bl‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪a−k bj ak = a−k bak‬‬ ‫די לדעת את ‪ ,a−k bak‬יתרה מזאת‪ ,‬די לדעת את‪ ,a−1 ba = bs :‬אבל מה הוא ה‪ s‬הנ"ל ? נשים לב כי‪:‬‬ ‫ובאינדוקציה נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪a−2 ba2 = a−1 a−1 ba a = a−1 bs a = a−1 ba = (bs ) = bs‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪a−k bak = bs‬‬ ‫אפשר לבדוק )תרגיל( שהאילוץ היחידי הינו כאשר ‪ k = p‬מקבלים ‪ap = e‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪b = a−p bap = bs‬‬ ‫כלומר‪ .sp ≡ 1 mod p :‬נקח ‪ s = 2‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪23 = 8 = 1 mod 7‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪a−1 ba = b2 ⇒ ba = ab2‬‬ ‫קל להראות שהתנאי ‪ q ≡ 1 mod p‬מבטיח שהחבורה ‪ = Z∗q‬חבורת השאריות הזרות ל‪) q‬שהיא מסדר ‪(q − 1‬‬ ‫מכילה איבר מסדר ‪ ,p‬כי )‪ .p| (q − 1‬כלומר יש ‪.sp ≡ 1 mod q‬‬ ‫‪53‬‬ ‫פרק ‪7‬‬ ‫סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט‬ ‫ז'ורדן־הולדר‬ ‫הגדרה ‪ 7.0.22‬סדרה נורמלית‪ :‬סדרה נורמלית ב ‪ G‬היא סדרת תת חבורות‪:‬‬ ‫‪{e} = Hr ⊳ . . . ⊳ H2 ⊳ H1 ⊳ G = H0‬‬ ‫כאשר ‪.Hi+1 ⊳ Hi‬‬ ‫הסדרה נקראת לא מגמגמת אם ‪Hi+1 ⊳ Hi‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.0.23‬סדרת הרכב או סדרת ז'ורדן־הולדר‪ :‬סדרה נורמלית נקראת סדרת הרכב )‪(Composition series‬‬ ‫או סדרת ז'ורדן־הולדר‪ .‬אם ‪ Hi/Hi+1‬חבורה פשוטה ־ אין לה תת חבורות נורמליות‪.‬‬ ‫על פי משפט ההתאמה תת חבורות נורמליות ‪ N ⊳ Hi/Hi+1‬מתאימות חח"ע עם‪ Hi+1 ⊳ N ⊳ Hi :‬ע"י‬ ‫‪′‬‬ ‫‪) N = N /Hi+1‬כאשר ) ‪ ,N ′ = p−1 (N‬כלומר היא המקור של ‪ N‬תחת ההעתקה הקנונית ‪(p : Hi → Hi/Hi+1‬‬ ‫סדרת הרכב‪ ,‬היא סדרה נורמלית שאי אפשר "לשפר" אותה ע"י דחיפת תת חבורות נורמליות נוספות בין ‪Hi‬‬ ‫ו ‪.Hi+1‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.0.24‬עידון‪ :‬סדרה נורמלית אחרת }‪ G = H˜0 ⊲ H˜1 ⊲ . . . ⊲ H˜s = {e‬תקרא עידון )‪(renement‬‬ ‫של ‪ G ⊲ Hi ⊲ Hi+1 ⊲ . . .‬אם כל ‪ Hi‬היא אישזהו ‪.H˜j‬‬ ‫‪P‬‬ ‫סדרת הרכב = סדרה נורמלית שאי אפשר לעדן אותה שלא ע"י גמגום‪.‬‬ ‫}‪0 |{z‬‬ ‫}‪⊳ {0, 6} |{z‬‬ ‫}‪⊳ {0, 3, 6, 9} |{z‬‬ ‫דוגמה ‪⊳ Z12 : 7.0.25‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪3‬‬ ‫וגם‪⊳ Z12 :‬‬ ‫}‪⊳ {0, 2, 4, 6, 8, 10} |{z‬‬ ‫}‪0 |{z‬‬ ‫}‪⊳ {0, 4, 8} |{z‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪3‬‬ ‫}‪0 |{z‬‬ ‫}‪⊳ {0, 6} |{z‬‬ ‫}‪⊳ {0, 2, 4, 6, 8, 10} |{z‬‬ ‫וגם‪⊳ Z12 :‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪3‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫אלו הן סדרות הרכב שונות אבל המנות העוקבות בשלשתן ‪Hi/Hi+1‬הן ‪.Z2 , Z2 , Z3‬‬ ‫‪21/12/2011‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (1 2) (3 4) ‬‬ ‫)‪(1 3) (2 4‬‬ ‫}‪0 |{z‬‬ ‫}‪⊳ {(1 2) (3 4)} |{z‬‬ ‫⊳‬ ‫}‪= V4 |{z‬‬ ‫}‪⊳ A4 |{z‬‬ ‫דוגמה ‪⊳ S4 : 7.0.26‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(1 4) (2 3‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫סדר ‪3‬‬ ‫סדר ‪2‬‬ ‫לחילופין האיבר האחרון יכל להיות גם )‪ (1 3) (2 4‬או )‪.(1 4) (2 3‬‬ ‫דוגמה ‪ : 7.0.27‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ .p‬הסדרה המרכזית העולה הנה סדרה נורמלית‪.‬‬ ‫‪{e} = Z0 ⊳ Z1 ⊳ Z2 ⊳ . . . ⊳ Zr = G‬‬ ‫}‪ .Zi/Zi−1 = |{z‬כל ‪.G ⊲ Zi‬‬ ‫‪ = Zi‬החבורה ב ‪ G‬כך ) ‪Z (G/Zi−1‬‬ ‫מרכז‬ ‫‪54‬‬ ‫פרק ‪ .7‬סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬ ‫בהנתן שתי סדרות נורמליות א' וב'‪:‬‬ ‫}‪H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e‬‬ ‫}‪H˜0 ⊲ H˜1 ⊲ H˜2 ⊲ . . . ⊲ H˜r = {e‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫נרצה להשתמש בב' כדי לעדן את א'‪ .‬נתבונן ב‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪G ⊲ . . . ⊲ Hi ≥ Hi ∩ H˜j Hi+1 ⊲ Hi+1 ⊲ . . .‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מכיוון ש ‪ Hi ∩ H˜j Hi+1 = Hi,j‬חלקית ל ‪) Hi‬ובאופן ברור נורמלית ל ‪(Hi+1‬‬ ‫הערה ‪ 7.0.28‬אם )‪ N ≤ NG (H‬אזי‪ N H :‬תת חבורה‪.‬‬ ‫נשתמש בכל ה‪ j‬נקבל‪:‬‬ ‫‪Hi = Hi,0 ⊲ Hi,1 ⊲ . . . ⊲ Hi,j ⊲ Hi,j+1 ⊲ . . . ⊲ Hi,s = Hi+1‬‬ ‫טענה ‪7.0.29‬‬ ‫‪Hi,j+1‬‬ ‫⊲‬ ‫‪Hi,j+1‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪(Hi ∩H˜j )Hi+1 (Hi ∩H˜ j+1 )Hi+1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬להוכחת הטענה צריך להראות ש‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪˜ j+1 Hi‬‬ ‫‪Hi ∩ H˜j Hi+1 ≤ NG Hi ∩ H‬‬ ‫היות והנורמליזטור הנו תת חבורה‪ ,‬די לבדוק ש ‪ Hi ∩ H˜j‬ו‪ Hi+1 :‬כל אחד בנפרד מוכלים בו‪.‬‬ ‫לגבי ‪ Hi+1‬־ ברור )הוא תת חבורה(‬ ‫יהי ‪ ,g ∈ Hi ∩ H˜j‬ויהי ‪˜ j+1‬‬ ‫‪ y ∈ Hi+1 .x ∈ Hi ∩ H‬נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪g (xy) g −1 = gxg −1 · gyg −1‬‬ ‫} ‪| {z } | {z‬‬ ‫‪∈Hi+1‬‬ ‫כי‪ Hi+1 ⊳ Hi :‬ו‪˜ j+1 ⊳ H˜j :‬‬ ‫‪.H‬‬ ‫ולכן הנדרש‪.‬‬ ‫‪˜ j+1‬‬ ‫‪∈Hi ∩H‬‬ ‫המטרה‪ :‬להראות שאם נשתמש באותו אופן בא' כדי לעדן את ב' נקבל‪:‬‬ ‫‪˜ j+1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪˜ j,i ⊲ H‬‬ ‫‪˜ j,i+1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H˜j‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪˜ j,i = H˜j ∩ Hi H‬‬ ‫כאשר‪˜ j+1 :‬‬ ‫‪ H‬נקבל עדונים "שקולים"‬ ‫למה ‪ 7.0.30‬הלמה של זסנהאוז‬ ‫במצב הנ"ל‬ ‫∼‬ ‫‪= H˜ j,i/H˜ j,i+1‬‬ ‫‪Hi,j/Hi,j+1‬‬ ‫‪˜j ⊲ B = H‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן‪ A∗ = Hi ⊲ A = Hi+1 :‬ו‪˜ j+1 :‬‬ ‫‪ .B ∗ = H‬נרצה להראות כי‪:‬‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫∼‬ ‫)‪= B(B ∩A )/B(B ∗ ∩A‬‬ ‫)‪A(A∗ ∩B ∗ )/A(A∗ ∩B‬‬ ‫הערה ‪ 7.0.31‬נשים לב כי ‪ A‬בצד השני‪ ,‬אבל זה חוקי כיוון שאם )‪ N ≤ NG (H‬אזי‪ N H = HN :‬מהגדרת‬ ‫הנורמליות‪.‬‬ ‫‪55‬‬ ‫פרק ‪ .7‬סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬ ‫נראה כי‪:‬‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫∼‬ ‫)‪= (A ∩B )/(A∩B ∗ )(A∗ ∩B‬‬ ‫)‪A(A∗ ∩B ∗ )/A(A∗ ∩B‬‬ ‫וזה יוכיח את הלמה כי הביטוי המתקבל מימין סימטרי ב ‪ A‬ו־ ‪ B‬ולכן שווה גם ל‪:‬‬ ‫)‪B(B ∗ ∩A∗ )/B(B ∗ ∩A‬‬ ‫נסמן )‪ N = A (A∗ ∩ B‬ו‪ .K = A∗ ∩ B ∗ :‬כלומר‪ A (A∗ ∩ B ∗ ) = N K :‬כיוון ש )‪ (A∗ ∩ B‬מוכל ב ‪.K‬‬ ‫אנו רוצים לבחון את‪ .N K/N :‬ממשפט ההומומורפיזם השני אנו יודעים כי‪:‬‬ ‫∼‬ ‫‪= K/K∩N‬‬ ‫נשאר להראות כי‪:‬‬ ‫)‪(A∗ ∩B ∗ )/(A∩B ∗ )(A∗ ∩B‬‬ ‫=‬ ‫‪N K/N‬‬ ‫נשים לב כי כי הכלה ⊃ בוודאי יש‪ .‬להפך‪ ,‬נניח‬ ‫‪K/K∩N‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫) ‪(A∗ ∩B ∗ )/(A∗ ∩B‬‬ ‫איבר ‪ a · h‬כך ש ‪ h ∈ A∗ ∩ B ,a ∈ A‬שייך גם ל ∗ ‪ .A∗ ∩ B‬אזי‪:‬‬ ‫∗‪a ∈ A ∩ B‬‬ ‫‪26/12/2011‬‬ ‫כי ∗ ‪ h ∈ B ⊂ B ∗ ,a · h ∈ B‬כנדרש‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.0.32‬סדרות שקולות‪ :‬שתי סדרות נורמליות‪:‬‬ ‫}‪G = H0 ⊲ H1 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e‬‬ ‫)סדרה מאורך ‪ (r‬ו‪:‬‬ ‫‪˜0 ⊲ H‬‬ ‫‪˜1 ⊲ . . . ⊲ H‬‬ ‫}‪˜ s = {e‬‬ ‫‪G=H‬‬ ‫תקראנה שקולות אם ‪ r = s‬וקיימת תמורה ‪ α‬של }‪ {0, . . . , r − 1‬כך ש‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫∼‬ ‫‪= H˜ α(i)/H˜ α(i)+1‬‬ ‫‪Hi/Hi+1‬‬ ‫דוגמה ‪ Z12 : 7.0.33‬־ חבורת השעון‪ .‬ניתן לדבר על הסדרה הנורמלית‪:‬‬ ‫}‪{e‬‬ ‫⊲‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪{e‬‬ ‫⊲‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫אבל ניתן גם‪:‬‬ ‫‪4Z12‬‬ ‫⊲‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪6Z12‬‬ ‫⊲‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪3Z12‬‬ ‫⊲‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬ ‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬ ‫חבורת המנה‪Z3 :‬‬ ‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬ ‫‪2Z12‬‬ ‫⊲‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪Z12‬‬ ‫חבורת המנה‪Z2 :‬‬ ‫‪Z12‬‬ ‫חבורת המנה‪Z3 :‬‬ ‫אנו רואים כי זו לא אותה סדרה נורמלית‪ ,‬אבל הסדרות הנורמליות הנ"ל שקולות‪.‬‬ ‫סדרה נורמלית נקראת סדרת הרכב אם אין לה עידון אמיתי ־ כלומר אם כל‪:‬‬ ‫משפט ‪ 7.0.34‬משפט העידון של שרייר‬ ‫לכל שתי סדרות נורמליות בחבורה ‪ G‬ישנם עידונים שקולים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהינה‪:‬‬ ‫}‪H0 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e‬‬ ‫‪˜0 ⊲ . . . ⊲ H‬‬ ‫}‪˜ s = {e‬‬ ‫‪H‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫שתי הסדרות הנורמליות הנתונות‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪˜ j Hi+1‬‬ ‫‪Hi,j = Hi ∩ H‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪Hi/Hi+1‬‬ ‫חבורה פשוטה‪.‬‬ ‫פרק ‪ .7‬סדרות נורמליות‪ ,‬סדרות הרכב‪ ,‬ומשפט ז'ורדן־הולדר‬ ‫‬ ‫‬ ‫ראינו כבר כי זו תת חבורה‪ ,‬מכיוון ש ‪˜ j‬‬ ‫‪ Hi ∩ H‬מנרמל את ‪ Hi+1‬מכיוון שכל איבר ב ‪ Hi‬מנרמל את ‪ Hi+1‬אז‬ ‫בהכרח גם כל איבר בחיתוך‪) .‬כלומר ‪ γ ∈ Hi‬אז‪(γHi+1 γ −1 = Hi+1 :‬‬ ‫כמו כן הוכחנו כי‪:‬‬ ‫‪Hi = Hi,0 ⊲ . . . ⊲ Hi,j ⊲ Hi,j+1 ⊲ . . . ⊲ Hi,s = Hi+1‬‬ ‫נסדר את ‪ Hi,j‬לקסיקוגרפית )קודם מסתכלים על האינדקס הראשון‪ ,‬אז לבא‪ ,‬וכן הלאה( קודם לפי ה‪ i‬ואח"כ לפי‬ ‫ה‪ .j‬ונקבל סדרה נורמלית אשר הביטוי הנ"ל הוא קטע ממנה‪ .‬ונשים לב כי ‪ .Hi+1 = Hi+1,0‬ונבנה את ההמשך‬ ‫באותו אופן כמו הנ"ל‪ .‬הסדרה אשר נקבל היא עידון של } ‪.{Hi‬‬ ‫להפך‪ ,‬נגדיר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪˜ j+1‬‬ ‫‪˜ j ∩ Hi H‬‬ ‫‪˜ j,i = H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫תת חבורה‪ .‬ושוב‪:‬‬ ‫‪˜j = H‬‬ ‫‪˜ j,0 ⊲ . . . ⊲ H‬‬ ‫‪˜ j,r = H‬‬ ‫‪˜ j+1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪n o‬‬ ‫שוב נסדר לקסיקוגרפית ונקבל סדרה נורמלית שהנה עידון של ‪˜ j‬‬ ‫‪. H‬‬ ‫נרצה להראות ששני העידונים הנ"ל שקולים‪ .‬שתי הסדרות הנורמליות הנ"ל מאורך ‪ .r · s‬ולפי הלמה של‬ ‫זסנהאוז‪:‬‬ ‫∼ ‪= (Hi ∩H˜ j )Hi+1/(Hi ∩H˜ j+1 )Hi+1‬‬ ‫‪= (H˜ j ∩Hi )H˜ j+1/(H˜ j ∩Hi+1 )H˜ j+1 = H˜ j+1/H˜ j,i+1‬‬ ‫‪Hi,j/Hi,j+1‬‬ ‫ולכן הסדרות הללו שקולות‬ ‫משפט ‪ 7.0.35‬משפט ז'ורדן הולדר‬ ‫‪ .1‬לחבורה סופית יש סדרת הרכב‬ ‫‪ .2‬לכל חבורה ־ כל שתי סדרות הרכב לא מגמגמות שלה שקולות‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬באינדוקציה על |‪ .|G‬נניח שהראנו את זה לכל הסדרים הקטנים יותר‪ ,‬נרצה להראות את זה עבור ‪|G| /‬אם‬ ‫‪ G‬פשוטה }‪ G ⊲ {e‬סדרת הרכב‪ .‬אחרת‪ ,‬יש ל ‪ G‬חבורה נורמלית‪:‬‬ ‫‪G⊲N ⊲e‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫כך ש |‪ |G| > |B‬וגם‪ .|G/N | < |G| :‬על סמך הנחת האינדוקציה‪ ,‬נמצא סדרות הרכב‪:‬‬ ‫}‪N = N0 ⊲ . . . ⊲ Nk = {e‬‬ ‫ו‪:‬‬ ‫}‪= G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gl = {e‬‬ ‫‬ ‫תהיה ‪ P : G → G/N‬ההטלה‪ ,‬נסמן‪ Gi = P −1 Gi :‬אזי ממשפט ההתאמה‪:‬‬ ‫‪G/N‬‬ ‫‪G0 = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gl = N‬‬ ‫נצרף את ‪ 2‬הסדרות הנורמליות הנ"ל ונקבל סדרה מאורך ‪ .k + l‬ואת סדרת הרכבה ב‪ G‬כי המנות העוקבות‬ ‫∼ ‪) Gi/Gi+1‬האיזומורפיזם ממשפט האיזומורפיזם השלישי( פשוטות‪.‬‬ ‫‪ Ni/Ni+1‬או ‪= Gi/Gi+1‬‬ ‫‪n o‬‬ ‫‪ .2‬נובע ממשפט העידון של שרייר ־ בהנתן ‪ 2‬סדרות הרכב לא מגמגמות } ‪ {Hi‬ו־ ‪˜ i‬‬ ‫‪ H‬בנינו להן עידוכנים‬ ‫שקולים‪ .‬אבל אי אפשר לעדן סדרת הרכב )הדרך היחידה‪ ,‬היא להתחיל לגמגם(‪ .‬לכן העידונים הללו‬ ‫מתקבלים מסדרות ההרכב ע"י חזרה על איברים )גמגום(‪ .‬לכן אם נמחק את האיברים החוזרים על עצמם‬ ‫הסדרות עדיין יהיו שקולות‪ ,‬אבל בכך חזרנו לסדרות המקוריות ‪ .‬ולכן הסדרות המקוריות שקולות כנדרש‪.‬‬ ‫‪57‬‬ ‫פרק ‪8‬‬ ‫חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬ ‫הגדרה ‪ 8.0.36‬חבורה פתירה‪ G :‬פתירה אם יש ל‪ G‬סדרה נורמלית עם גורמים )‪ = (fators‬מנות עוקבות‬ ‫אבליות‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Gi/Gi+1‬‬ ‫דוגמה ‪ An : 8.0.37‬עבור ‪ n ≥ 5‬לא פתירה‪ .‬כיוון שראינו כי ‪ An‬כנ"ל פשוטה‪ ,‬ולכן אין לה שום סדרה‬ ‫נורמלית פרט ל‪ .An ⊲ {e} :‬אבל ‪ An‬לא אבלית‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ : 8.0.38‬חבורת־‪ p) p‬ראשוני( הנה פתירה‪ .‬בנינו את הסדרה המרכזית העולה‬ ‫}‪G = Zr ⊲ . . . ⊲ Z1 ⊲ Z0 = {e‬‬ ‫‪ Zi‬הייתה אפילו נורמלית ב ‪ .(!)G‬אפשר להסתכל על ‪ G/Zi‬והמרכז שלה הוא‪:‬‬ ‫‪Z (G/Zi ) = Zi+1/Zi‬‬ ‫והוא לא מרכז טריוויאלי‪ .‬במקרה זה‬ ‫עצמם(‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Zi+1/Zi‬‬ ‫בוודאי אבלית )הם מתחלפים עם כל איברי ‪ G/Zi‬לכן בוודאי עם‬ ‫דוגמה ‪ : 8.0.39‬חבורת ‪) pq‬כאשר ‪ p < q‬ראשוניים(‪ .‬במקרה הזה‪ ,‬תהיה ‪ Q‬חבורת ‪q‬־סילו‪ .‬ראינו‬ ‫שמספר צמודי ‪) Q‬שסימנו אותו ב ‪ rq‬־ מספר תת חבורות ‪ q‬סילו( מצד אחד צריך להתקיים ‪ rq | p‬ומצד שני‪:‬‬ ‫‪) rq = 1 mod q‬משפט סילו ה‪ ( 3‬אבל ‪ p < q‬ולכן ‪ rq = 1‬כלומר‪ .Q ⊳ G :‬לכן יש לנו סדרה באורך ‪:2‬‬ ‫}‪G |{z‬‬ ‫}‪⊲ Q |{z‬‬ ‫}‪⊲ {e‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫המנות העוקבות ‪ G/Q, Q‬הן ציקליות מסדר ‪ p‬ו‪ q‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪ 8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬ ‫הגדרה ‪ 8.1.1‬קומוטטור‪ :‬תהיה ‪ G‬חבורה ויהיו ‪ . x, y ∈ G‬הקומוטטור שלהם הנו‪.[x, y] = x−1 y −1 xy :‬‬ ‫הערה ‪ 8.1.2‬אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬ניתן לשנות את הסדר ולקבל כי ‪.[x, y] = 1‬‬ ‫הערה ‪8.1.3‬‬ ‫‪xy = yx ⇐⇒ [x, y] = e .1‬‬ ‫כיוון ש‪ x−1 y −1 xy = e :‬אם"ם ‪ y −1 xy = x‬אם"ם ‪.xy = yx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ .γ [x, y] γ −1 = γxγ −1 , γyγ −1 .2‬אפילו יותר כללית‪ ,‬לכל אוטומורפיזם ‪ ϕ‬של ‪ G‬מתקיים‪ϕ ([x, y]) = :‬‬ ‫])‪.[ϕ (x) , ϕ (y‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪[x, y] = x−1 y −1 xy‬‬ ‫‪= y −1 x−1 yx = [y, x] .3‬‬ ‫‪ .4‬אם ‪ N ⊳ G‬ו ‪ y ∈ G ,x ∈ N‬אזי‪[x, y] ∈ N :‬‬ ‫כיוון ש‪ x−1 y −1 xy = [x, y] :‬מהנורמליות‪ .‬ולכן הקומוטטור ב ‪ N‬כנדרש‪.‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪∈N‬‬ ‫‪58‬‬ ‫פרק ‪ .8‬חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬ ‫‪ .8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬ ‫הערה ‪ 8.1.4‬במטריצות יש שתי הגדרות שונות לקומוטטורים‪ .‬את ההגדרה הנ"ל‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪A−1 B −1 AB = I ⇐⇒ AB = BA‬‬ ‫והגדרה שניה‪:‬‬ ‫‪AB − BA = 0 ⇐⇒ AB = BA‬‬ ‫גם זה נקרא קומוטטור לפעמים‪ .‬אבל לא בתחום הדיון שלנו כרגע‪ .‬בגדול זה נובע מכך שהמטריצות הן לא‬ ‫רק חבורה‪ ,‬אלא הן חוג‪ ,‬נגיע לזה בקרוב‪.‬‬ ‫אזהרה מכפלת קומוטטורים אינה בהכרח קומוטטור‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 8.1.5‬חבורת הקומוטטורים\חבורת הנגזרת‪ :‬חבורת הקומוטטורים או חבורת הנגזרת ‪ G′‬של ‪ G‬הנה‬ ‫החבורה הנוצרת ע"י כל ]‪ [x, y‬כאשר ‪ .x, y ∈ G‬כלומר‪:‬‬ ‫‪G′ = h[x, y] | x, y ∈ Gi‬‬ ‫למה ‪8.1.6‬‬ ‫‪ .1‬איברי ‪ G′‬הנם ] ‪[x1 , y1 ] · . . . · [xk , yk‬‬ ‫‪G′ ⊳ G .2‬‬ ‫‪ G/G′ .3‬אבלית‬ ‫הערה ‪ 8.1.7‬בהחלט ייתכן כי ‪ .G′ = G‬למשל מ‪ 2‬ו‪ 3‬נובע ש‪ A′n = An :‬ל‪ .5 ≤ n :‬מכיוון של ‪ An‬כנ"ל אין‬ ‫תתי חבורות נורמליות לא טריוויאליות‪ ,‬ומ‪ 3‬נובע כי היא חייבת להיות אבלית‪ ,‬לכן בהכרח ‪ A′n = An‬אחרת‬ ‫‪) An/{e} = An‬לא אבלית(‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬אברי ‪ G′‬מהגדרתם הם מכפלות של ]‪ [x, y‬ושל ]‪= [y, x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫]‪.[x, y‬‬ ‫‪ .2‬יהי ‪ γ ∈ G‬נתבונן ב‪:‬‬ ‫‬ ‫‪γxi γ −1 , γyi γ −1 ∈ G′‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‬ ‫= ‪γ [xi , yi ] γ −1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫!‬ ‫= ‪[xi , yi ] γ −1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ .3‬יהיו ‪ x, y ∈ G‬נתבונן ב‪ .x, y ∈ G/G′ :‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪[x, y] = x−1 y −1 xy = x−1 y −1 xy = e ⇒ xy = yx‬‬ ‫למה ‪8.1.8‬‬ ‫‪′‬‬ ‫אם ‪ N ⊳ G‬ו ‪ G/N‬אבלית אזי ‪G ≤ N‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן עבור ‪ x, y ∈ G‬את ‪ x, y ∈ G/N‬המחלקות שלהם אזי‪:‬‬ ‫‪e = [x, y] = [x, y] ⇒ [x, y] ∈ N‬‬ ‫‪28/12/2011‬‬ ‫אבל ‪ G′‬נוצרת על ידי ]‪ [x, y‬ולכן ‪.G′ ≤ N‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫פרק ‪ .8‬חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬ ‫‪ .8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬ ‫נגדיר באינדוקציה‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‬ ‫)‪G(n) = G(n−1‬‬ ‫כאשר‪ G(1) = G′ :‬כמובן‪.‬‬ ‫איברים של ‪ G′′‬הם מכפלות של קומוטטורים של מכפלות של קומוטטורים‪ .‬דוגמה לאיבר‪:‬‬ ‫‪x−1 y −1 xyu−1 v −1 uvy −1 x−1 yxv −1 u−1 vu‬‬ ‫‪ G‬היא אבלית )מהלמות הנ"ל(‪.‬‬ ‫ברור כי )‪ G(n) ⊳ G(n−1‬ו‪/G(n) :‬‬ ‫אם יש ‪ r‬כך ש }‪ ,G(r) = {e‬קבלנו סדרה נורמלית ב‪ G‬שהמנות העוקבות שלה אבליות ⇐ ‪ G‬פתירה!‬ ‫)‪(n−1‬‬ ‫הגדרה ‪ 8.1.9‬הסדרה הנגזרת של ‪ :G‬הסדרה‪:‬‬ ‫‪. . . ⊳ G(n) ⊳ . . . ⊳ G′′ ⊳ G′ ⊳ G‬‬ ‫נקראת הסדרה הנגזרת של ‪.G‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הערה ‪ 8.1.10‬בהחלט ייתכן ש ‪G = G′‬‬ ‫דוגמה ‪ An : 8.1.11‬עבור ‪ n ≥ 5‬אזי ‪ A′n‬תת־חבורה נורמלית= ‪ An‬או }‪) {e‬כיוון ש ‪ An‬פשוטה(‪ .‬אבל‬ ‫‪ An/A′n‬אבלית‪ ,‬ו ‪ An‬לא אבלית ⇐ ‪. A′n = An‬‬ ‫משפט ‪8.1.12‬‬ ‫‪ G‬פתירה אם"ם הסדרה הנגזרת מסתיימת ב}‪{e‬‬ ‫הוכחה‪ ⇒ :‬הראינו‪.‬‬ ‫⇐ נניח שיש סדרה נורמלית‪:‬‬ ‫}‪G = G0 ⊲ G1 ⊲ G2 ⊲ . . . ⊲ Gr = {e‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪Gi/Gi+1‬‬ ‫אבלית‪ .‬נוכיח באינדוקציה על ‪ i‬ש‪:‬‬ ‫‪G(i) ≤ Gi‬‬ ‫וזה כמובן יגיד ש }‪ .G(r) = {e‬עבור ‪ i = 0‬נתון‪:‬‬ ‫‪G(i) = G0 = G‬‬ ‫באינדוקציה‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‬ ‫‪= G(i−1) ≤ G′i−1‬‬ ‫)‪G(i‬‬ ‫מהנחת האינדוקציה והעבודה שאם ‪ .A′ ≤ B ′ ⇐A ≤ B‬אבל‬ ‫)‪G′i−1 ≤ G(i‬‬ ‫כי‬ ‫‪Gi−1/Gi‬‬ ‫אבלית‪ .‬ולכן‪ .G(i) ≤ Gi :‬כנדרש‪.‬‬ ‫טענה ‪8.1.13‬‬ ‫‪G(n) ⊳ G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה‪.‬‬ ‫בסיס‪ :‬אנו יודעים כי ‪.G′ ⊳ G‬‬ ‫צעד‪ :‬אם ‪ G(n−1) ⊳ G‬אזי לכל ‪ γ ∈ G‬ולכל )‪ x, y ∈ G(n−1‬ראינו כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪γ [x, y] γ −1 = γxγ −1 , γyγ −1‬‬ ‫אבל )‪ γxγ −1 , γyγ −1 ∈ G(n−1‬מהנחת האינדוקציה‪ .‬ולכן התוצאה ב )‪ G(n‬זה מראה ש ‪.G(n) ⊳ G‬‬ ‫‪60‬‬ ‫פרק ‪ .8‬חבורות פתירות ־ ‪Solvable‬‬ ‫‪ .8.1‬קומוטטורים והחבורה הנגזרת‬ ‫טענה ‪8.1.14‬‬ ‫תהיה ‪ N ⊳ G‬אזי ‪ G‬פתירה אם"ם גם ‪ N‬וגם ‪ G/N‬פתירות‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ N‬ו ‪ G/N‬פתירות אז יש סדרות נורמליות‪:‬‬ ‫}‪N0 ⊲ . . . ⊲ Ns = {e‬‬ ‫=‬ ‫}‪G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = {e‬‬ ‫‬ ‫)כאשר ‪ (G = G/N‬כאשר ‪ Ni/Ni+1‬ו‪Gi/Gi+1 :‬אבליות‪ .‬נגדיר‪Gi :‬‬ ‫הקננוית‪ .‬קיבלנו‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪G‬‬ ‫‪ Gi = p−1‬כאשר ‪ p : G → G‬ההטלה‬ ‫‪G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = N‬‬ ‫∼‬ ‫ממשפט האיזומורפיזם השלישי‪= Gi/Gi+1 :‬‬ ‫‪Gi/Gi+1‬‬ ‫ולכן היא אבלית‪ .‬ועכשיו‪:‬‬ ‫}‪G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = N ⊲ N1 ⊲ . . . ⊲ Ns = {e‬‬ ‫ולכן ‪ G‬פתירה‪.‬‬ ‫הכיוון ההפוך‪ ,‬נניח ‪ G‬פתירה ו‪.N ⊳ G :‬‬ ‫}‪G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gr = {e‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪Gi/Gi+1‬‬ ‫אבליות‪ .‬נבצע חיתוכים ונקבל‪:‬‬ ‫}‪N = N0 = N ∩ G0 ⊲ G1 = N ∩ G1 ⊲ . . . ⊲ {e‬‬ ‫ואז‪:‬‬ ‫‪≤ Gi/Gi+1‬‬ ‫‪Gi/Gi+1‬‬ ‫נסתכל בהומו'‬ ‫אבלית‪.‬‬ ‫לגבי ‪ G‬נשתמש ב‪:‬‬ ‫‪N ∩Gi/N ∩Gi+1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫→‪) N ∩ Gi −‬הקאנוני(‪ ,‬גרעינו‪ .N ∩ Gi+1 :‬ומכיוון שהיא תת חבורה‬ ‫‪≥N‬‬ ‫‪Gi N‬‬ ‫}‬ ‫‪| {z‬‬ ‫≥‪G‬‬ ‫חבורות כי ‪N‬נורמלית‬ ‫‪Gi N ⊲ Gi+1 N‬‬ ‫ממשפט האיזומורפיזם השני‪:‬‬ ‫∼ ‪= Gi N/Gi+1 N‬‬ ‫‪= Gi/Gi+1 N ∩Gi‬‬ ‫‪Gi/Gi+1‬‬ ‫ומהמשפט האיזומורפיזם השלישי נקבל‪:‬‬ ‫∼‬ ‫) ‪= (Gi/Gi+1 )/((Gi+1 N ∩Gi )/Gi+1‬‬ ‫אבל היא אבלית‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‪02/01/2012‬‬ ‫‪Gi N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪ Gi‬תת חבורה‪ ,‬וחבורת מנה של אבלית אבליות‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪N ∩Gi/N ∩Gi+1‬‬ ‫פרק ‪9‬‬ ‫חבורות אבליות‬ ‫נסמן עבור ‪ A‬חבורה אבלית‪ + ,‬עבור הפעולה‪ 0 ,‬עבור היחידה‪ n · g .‬במקום ‪ .g n‬אם ‪ B,A‬שתי חבורות אבליות‬ ‫נהוג לסמן את ‪ A × S‬גם ‪.A ⊕ B‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪. Q∗ ,R ,Q , Zn ,Z : 9.0.15‬‬ ‫הערה ‪ 9.0.16‬אם ‪ A‬אבלית ו‪ B ≤ A :‬אזי גם ‪ B‬אבלית ולכן‪ B ⊳ A :‬ואפשר לדבר על ‪.A/B‬‬ ‫הגדרה ‪ 9.0.17‬איבר פיתול‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬איבר ‪ g ∈ G‬נקרא איבר פיתול )‪ (torsion‬אם הוא איבר מסדר‬ ‫סופי‪.‬‬ ‫בחבורה כללית האיברים מסדר סופי אינם )בדרך כלל( תת־חבורה‪ .‬הסיבה לכך היא כמובן ש‪.hn = e , g m = e :‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫)‪ , (gh‬אבל כשהם לא מתחלפים זה לא קורה‪.‬‬ ‫אם ‪) gh = hg‬כלומר מתחלפים( אז‪= g mn hmn = e :‬‬ ‫אבל בחבורה אבלית כל שני איברים מתחלפים‪ ,‬ולכן אוסף הפיתוליים מהווה תת־חבורה‪.‬‬ ‫}‪Ator = {a ∈ A | ∃m ∈ N m · a = 0‬‬ ‫תת חבורה הפיתול של ‪.A‬‬ ‫למה ‪9.0.18‬‬ ‫‪ Ator‬הינה תת־חבורה של ‪ A‬וב ‪ A/Ator‬אין פיתול פרט ל ‪.0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ a ∈ A/Ator‬מסדר סופי‪) m · a = 0 ,‬כאשר ‪ .(m ∈ N‬אזי ‪ ,m · a ∈ Ator‬כלומר יש ‪ n‬טבעי כך ש‬ ‫‪ n · m · A = 0‬אבל אז‪.a = 0 ,a ∈ Ator :‬‬ ‫הגדרה ‪ 9.0.19‬נוצרת סופית‪ :‬חבורה ‪ G‬נקראת נוצרת סופית אם יש ‪ g1 , . . . , gr ∈ G‬כך ש‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪G = hg1 , . . . , gr i‬‬ ‫דוגמה ‪ G : 9.0.20‬סופית‪.‬‬ ‫‪.Z=G‬‬ ‫אם ‪ G1 , G2‬נוצרות סופית גם ‪G1 × G2‬‬ ‫‪ 9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫משפט ‪ 9.1.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫תהיה ‪ A‬חבורה אבלית נוצרת סופית אזי ‪ A‬מכפלה )או סכום ישר( של מספר סופי של חבורות ציקליות‪.‬‬ ‫∼‪A‬‬ ‫יתרה מזאת‪ ,‬ישנם ‪ r ≥ 0‬ומספרים טבעיים ‪ (0 ≤ k) m1 , . . . , mk‬כך ש ‪ mi | mi+1‬ו‪= Zr × Zm1 × :‬‬ ‫‪.. . . × Zmk‬‬ ‫האינווריאנטות ‪ r, k, m1 , . . . , mk‬נקבעות באופן חד־ערכי‪ r .‬נקרא הדרגה של ‪ A‬ומסומן )‪r = rank (A‬‬ ‫ואילו ‪ m1 , . . . , mk‬נקראים המחלקים האלמנטריים של ‪.A‬‬ ‫‪62‬‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫∼ ‪.Zm × Zn‬‬ ‫דוגמה ‪ : 9.1.2‬ראינו בתרגיל )ובשיעור מידי פעם( שאם ‪ gcd (m, n) = 1‬אזי‪= Zmn :‬‬ ‫יהיו ‪ a = 1 mod m‬ו‪.b = 1 mod n :‬‬ ‫‪ (a, b) ∈ Zm × Zn‬הינו איבר מסדר ‪ m · n‬ולכן יוצר‪.‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫‪d‬‬ ‫דוגמה ‪ Q : 9.1.3‬אינה נוצרת סופית‪ .‬אם ‪ .Q = hq1 , . . . , qr i‬אזי אם ‪ d‬מכנה משותף של ‪ q1 , . . . , qr‬אזי‪:‬‬ ‫= ‪ qi‬וכמובן כל איבר של ‪ hq1 , . . . , qr i‬יש לו מכנה ‪ .d‬סתירה‪.‬‬ ‫‪ 9.1.1‬בסיס‬ ‫‪P‬חבורה אבלית‪ .‬קבוצה‪ A = {ai }i∈I :‬ב‪ A‬נקראת בסיס אם לכל ‪ α ∈ A‬יש הצגה‬ ‫הגדרה ‪ 9.1.4‬בסיס‪ :‬תהי ‪A‬‬ ‫יחידה כסכום סופי‪mi αi :‬‬ ‫= ‪ ,mi ∈ Z) α‬פרט למספר סופי של אינדקסים‪ ,‬כולם ‪(0‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ≤ i ≤ r ei = ‬בסיס‬ ‫דוגמה ‪ : 9.1.5‬ב ‪1 ← (i) ,Z‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫דוגמה ‪ : 9.1.6‬ב‪ A‬סופית אין בסיס‪ .‬הצגה לא יחידה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ = Q∗+ : 9.1.7‬החבורה הכפלית של המספרים הרציונליים החיוביים‪.‬‬ ‫כמובן שהמספרים הראשוניים הם בסיס‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪α1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫)משפט הפריקות החד־ערכית(‬ ‫‪mk‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Qx+ ∋ α = αm‬‬ ‫‪1 · α2 · . . . · αk‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mk‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1 = αm‬‬ ‫נבחין כי זה לא נכון ב ∗‪ Q‬כי )‪,1 = (−1‬‬ ‫‪1 · . . . · αk‬‬ ‫‬ ‫תרגיל‪ :‬אם ל‪ A‬יש בסיס‪ A ,‬חסרת־פיתול‪.‬‬ ‫וגם שההפך לא נכון )דוגמה‪ :‬ל‪ Q‬אין בסיס‪ ,‬למרות שהיא חסרת פיתול(‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪α1,j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , Zr‬מתי ‪ αj =  ...  1 ≤ j ≤ s‬מהוים בסיס?‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪αr,j‬‬ ‫בוודאי ‪ α1 , . . . , αs‬בת"ל מעל ‪ Z‬ולכן גם מעל ‪.Q‬‬ ‫‪ ⇐⇒ 0 = m1 α1 + . . . + mαs‬כל ‪) mi = 0‬מיחידות הצגת ה‪(0‬‬ ‫במכנה המשותף ‪ .s ≤ r‬בדיוק באותו אופן ‪α1 , . . . , αs‬‬ ‫וזה נשאר נכון גם אם ‪ mi ∈ Q‬כי אפשר‬ ‫‪‬‬ ‫להכפיל ‪‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫יוצרים של ‪ Qr‬כמרחב וקטורי מעל ‪ Q‬כי אם ‪ ,α =  ...  ∈ Qr‬נכפיל במכנה משותף‪:‬‬ ‫‪qr‬‬ ‫‪m1 α1 + . . . + ms αs = d · α ∈ Zr‬‬ ‫‪63‬‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪α1 + . . . +‬‬ ‫‪αs = α‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫לכן ‪) r ≤ s‬קבוצה יוצרת(‪ ,‬כלומר ‪ s = r‬ו) ‪ (α1 , . . . , αr‬גם בסיס ל ‪.Qr‬‬ ‫אבן זה תנאי הכרחי אך לא מספיק‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ α1‬ו‪:‬‬ ‫‪ α2‬הם בסיס ל ‪ ,Q‬הם אכן בת"ל‪ .‬אבל בכל צירוף לינארי שלהם עם‬ ‫דוגמה ‪: 9.1.8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מקדמים מ‪ ,Z‬הקואורדינטה השניה שלהם זוגית ולכן ‪.Zα1 + Zα2 6= Z2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫משפט ‪9.1.9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪α1,j‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫‪ r‬וקטורים ‪ 1 ≤ j ≤ r ,αi =  . ‬מהוים בסיס ל ‪ Z‬אם ורק אם‪.det (αi,j ) = ±1 :‬‬ ‫‪αr,j‬‬ ‫‪r‬‬ ‫תזכורת ‪ 9.1.10‬בסיס ל ‪ Qr‬אם"ם הדטרמיננטה הנ"ל =‪06‬‬ ‫הוכחה‪αi,j ei :‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪ αj‬אם ‪ {αj }j=1‬בסיס ל ‪ Zr‬אז גם‪βj,k αj :‬‬ ‫‪αi,j βj,k ei‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪j,k‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫= ‪ ek‬לכל ‪.(βj,k ∈ Z) k‬‬ ‫= ‪(αi,j ) (βj,k ) = I ⇐ ek‬‬ ‫‪ det (αi,j ) = det (βj,k ) = 1‬אבל אלו מספרים שלמים ולכן יש רק שתי אפשרויות‪ 1·1 = 1 :‬או = )‪(−1) (−1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫להפך‪ :‬אם ‪ ,det (αi,j ) = ±1‬נסמן‪ .(βj,k ) = (αi,j )−1 :‬מטריצה הפוכה מתקבלת ע"י לקיחת המטריצה‬ ‫המצורפת )‪(adjoint‬‬ ‫הנ"ל גם כן עם מקדמים שלמים‪ ,‬והדטרמיננטה‬ ‫המצורפת‬ ‫המטריצה‬ ‫אבל‬ ‫‪.det‬‬ ‫‪((α‬‬ ‫))‬ ‫ב‬ ‫וחלוקה‬ ‫)) ‪adj ((αi,j‬‬ ‫‪i,j‬‬ ‫‪P‬‬ ‫על פי ההנחה היא ‪ ±1‬ולכן גם ‪ .βj,k ∈ Z‬מהנוסחה ‪αi,j βj,k ei‬‬ ‫= ‪ ek‬נובע עכשיו שכל ‪ek ∈ hα1 , . . . , αr i‬‬ ‫‪j,k‬‬ ‫ולכן כמובן‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Z = Zα1 + . . . + Zαr = hα1 , . . . , αr i‬‬ ‫דוגמה ‪ : 9.1.11‬אם נתבונן בדוגמה הקודמת‪ ,‬נבחין‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ולכן ‪ α1 , α2‬לא בסיס של ‪ Z2‬אבל‪:‬‬ ‫כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪α1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪α2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נקבל כי‪:‬‬ ‫כלומר‪ ,‬כן בסיס‪ .‬נבחין כי גם מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪1 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2 3 = −1‬‬ ‫‪−3α1 + 2α2‬‬ ‫‪2α1 − α2‬‬ ‫‪64‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ ‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫הגדרה ‪ 9.1.12‬חבורה אבלית חופשית‪ :‬חבורה אבלית שיש לה בסיס נקראת חבורה אבלית חופשית‪.‬‬ ‫ואם הבסיס הוא בן ‪ r‬איברים )ואז כמובן כל בסיס הוא בן ‪ r‬איברים( ‪ A‬נקראת אבלית חופשית מדרגה ‪.r‬‬ ‫‪rank A = r‬‬ ‫אזי אם ‪ α1 , . . . , αr‬בסיס של ‪ ,A‬ההעתקה ‪ ϕ : Zr → A‬המוגדרת באופן הבא‪mi αi :‬‬ ‫היא איזו'‪.‬‬ ‫‪ ϕ‬על ־ כי ‪ α1 , . . . , αr‬יוצרים של ‪A‬‬ ‫‪ ϕ‬חח"ע ־ בגלל יחידות ההצגה ) ‪ αi‬בת"ל(‬ ‫‪r‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫→‪(m1 , . . . , mr ) 7‬‬ ‫משפט ‪ 9.1.13‬המשפט על מחלקים אלמנטריים‬ ‫תהיה ‪ A‬חבורה אבלית חופשית מדרגה ‪ r‬ותהי ‪ B ≤ A‬אזי ניתן למצוא‪:‬‬ ‫• בסיס ‪ α1 , . . . , αr‬של ‪.A‬‬ ‫• מספר טבעי ‪0 ≤ k‬‬ ‫• מספרים טבעיים ‪ 1 ≤ m1 , . . . , mk‬כך ש ‪mi | mi+1‬‬ ‫כך ש ‪B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬‬ ‫הערה ‪ 9.1.14‬הבסיס לא יחיד‪ ,‬אבל האינוריאנטות ‪ k, m1 , . . . , mk‬יחידות‪) .‬תלויות רק ב ‪ A‬וב־‪ , B‬לא בבסיס(‬ ‫בקואורדינטות‪ ,‬אם נזהה את ‪ A‬עם ‪ Zr‬כמו קודם‪ ,‬דהיינו‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪ ..  ϕ X‬‬ ‫‪ni αi‬‬ ‫→‪ .  7‬‬ ‫∼‬ ‫=‬ ‫‪nr‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫})‪B = {(l1 m1 , l2 m2 , . . . , lk mk , 0, . . . , 0‬‬ ‫אזי‪.li ∈ Z :‬‬ ‫מסקנה ‪ 9.1.15‬ממשפט המבנה‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ A‬חבורה אבלית נוצרת סופית‪ .‬יהיה ‪ n‬מספר היוצרים המינימלי של ‪A‬‬ ‫יהיו ‪ γ1′ , . . . , γn′‬יוצרים של ‪.A‬‬ ‫נגדיר‪ ϕ : Zn ։ A :‬ע"י‪:‬‬ ‫‪mi γi′‬‬ ‫‪γi′‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪ϕ (ei‬‬ ‫= ) ‪ϕ (m1 , . . . , mn‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .Z‬אזי ישנו בסיס אחר‪ α1 , . . . , αn :‬של‬ ‫‪n‬‬ ‫יהיה ‪ B = ker ϕ‬וניישם את המשפט ל ‪≥ B‬‬ ‫‪ m1 , . . . , mk‬כך ש ‪.B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬‬ ‫נסמן ) ‪ ,γi = ϕ (αi‬אזי כמובן ) ‪A = hγ1 , . . . , γn i = ϕ (Zn‬‬ ‫מתי ‪ l1 γ1 +. . .+l2 γn = 0‬ב‪ ?A‬אם"ם ‪ l1 α1 +. . .+ln αn ∈ B = ker ϕ‬אם"ם ‪m1 | l1 , m2 | l2 , . . . , mk | lk‬‬ ‫וגם‪lk+1 = . . . = ln = 0 :‬‬ ‫∼ ‪ Z‬אם‬ ‫ולכן‪ l1 γ1 + . . . + ln γn = 0 ,‬אם"ם ‪ .m1 | l1 , . . . , mk | lk‬ולכן ‪= hγi i‬‬ ‫∼ ‪= hγi i ,1 ≤ i ≤ k Zmi‬‬ ‫‪ k < i ≤ n‬ויתר מזאת‪:‬‬ ‫‪ Z‬ומספרים‬ ‫∼‪A‬‬ ‫‪= hγ1 i × hγ2 i × . . . × hγn i‬‬ ‫‪04/01/2012‬‬ ‫)‪ k‬חבורות ציקליות סופיות‪ r = n − k .‬עותקים של ‪.(Z‬‬ ‫‬ ‫תרגיל‪ :‬חלוקה עם שארית‪:‬‬ ‫יהי ‪ ,m > 0‬ויהי ‪ ,n ∈ Z‬אזי יש ‪ q ∈ Z‬ו‪ 0 ≤ r < m :‬כך ש‪.n = qm + r :‬‬ ‫‬ ‫נחזור למשפט על מחלקים אלמנטריים‬ ‫‪65‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫משפט ‪ 9.1.16‬המשפט על מחלקים אלמנטריים‬ ‫תהיה ‪ A‬חבורה אבלית חופשית מדרגה ‪ n‬ותהי ‪ B ≤ A‬אזי ניתן למצוא‪:‬‬ ‫• בסיס ‪ α1 , . . . , αn‬של ‪.A‬‬ ‫• מספר טבעי ‪0 ≤ k ≤ n‬‬ ‫• מספרים טבעיים ‪ m1 , . . . , mk‬כך ש ‪mi | mi+1‬‬ ‫כך ש ‪) B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬כלומר בסיס ל‪(B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬ ‫∼ ‪ A‬ואם ‪ 0 = B‬אי מה להוכיח‪.‬‬ ‫‪ n = 1‬אז‪= Z :‬‬ ‫אם ‪ 0 6= B‬נבחר ‪ m > 0‬המינימלי ב‪ B‬ואז‪.B = m · Z :‬‬ ‫נניח שהוכחנו עבור ‪ ,n − 1‬נוכיח עבור ‪.n‬‬ ‫לכל בסיס אפשרי‪ A = {α′1 , . . . , α′n } :‬של ‪ A‬נסתכל בכל הוקטורים‪.B ∋ β = l1 α′1 + . . . + ln α′n :‬‬ ‫יהי )‪ m (A‬המספר החיובי המינימלי המופיע כמקדם ‪ li‬כל שהוא של ‪ β ∈ B‬כל־שהוא‪.‬‬ ‫יהי ‪ m = m1‬ה )‪ m (A‬המינימלי כש ‪ A‬עובר על כל בסיסי ‪.A‬‬ ‫יהי ‪ α′1 , . . . , α′n‬בסיס שעבורו ‪ m (A) = m‬ויהי ‪) B ∋ β1 = mα′1 + m2 α′2 + . . .‬בה"כ‪ m ,‬הנו מקדם ‪(α′1‬‬ ‫למה ‪9.1.17‬‬ ‫‪ m | m′i‬לכל ‪ 2 ≤ i ≤ n‬ואפשר לבחור בסיס‬ ‫‪α1 , α′2 , . . . , α′n‬‬ ‫כך ש ‪β = mα1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נחלק עם שארית את כל ה ‪) m′i = qi m + ri ,m′i‬כאשר ‪ (0 ≤ ri < m‬ונקח‪:‬‬ ‫‪α1 = α′1 + q2 α′2 + . . . + qn α′n‬‬ ‫ראשית ‪ α1 , . . . α′2 , . . . , α′n‬גם כן בסיס ל ‪) A‬מכיוון שמצד אחד ‪ α1 , α′2 , . . . , α′n‬הם צירופים לינארית של‬ ‫‪ ,α′1 , . . . , α′n‬וגם אנו יכולים לקבל את הבסיס הישן כצירופים לינארים של הבסיס החדש‪ ,‬וגם להפך‪ ,‬ולכן זה‬ ‫בסיס‪ .‬בעיקרון מטריצת המעבר היא ב )‪.(GLn (Z‬‬ ‫‪ .β1 = mα1 + r2 α′2 + . . . + rn α′n‬ממינימליות ‪ m‬נובע‪ .ri = 0 :‬ולכן‪ β1 = mα1 :‬כנדרש‬ ‫נגדיר ‪ A = hα′2 , . . . , α′n i = Zα′2 + . . . + Zα′n‬ונגדיר ‪B ′ = A′ ∩ B‬‬ ‫למה ‪9.1.18‬‬ ‫‪B = hβi i ⊕ B ′‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כל איבר של ‪ B‬ניתן להצגה יחידה כצרוף לינארי של ‪ β1‬עם איבר מ ‪ B ′‬ולהפך‪.‬‬ ‫ברור שאגך ימין מוכל ב‪ .B‬גם ברור ש‪ 0 = hβi ∩ B ′ i :‬כי‪ α1 , α′2 , . . . , α′n :‬בסיס של ‪,β1 = mα1 ,A‬‬ ‫‪ .B ′ ⊂ hα′2 , . . . , α′n i‬לא ברור שכל ‪ B‬מתקבל‪.‬‬ ‫יהי ‪ .β ∈ B‬נכתוב‪ . β = l1 α1 + l2 α′2 + . . . + ln α′n :‬נרצה לראות כי ‪ .m | l1‬נחלק עם שארית‪:‬‬ ‫‪ l1 = mqq + r‬כאשר ‪ .0 ≤ r < m‬נסתבונן ב‪:‬‬ ‫‪B ∋ β − qβ1 = rα1 + l2 α′2 + . . .‬‬ ‫ולכן ‪:r = 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪β = β1 + β − β1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫| } ‪|m{z‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪∈hβ1 i‬‬ ‫‪B∩A′ =B ′‬‬ ‫מהנחת האינדוקיה יש ל ‪ = A′‬חופשית מדרגה ‪ ,n − 1‬בסיס ‪ α2 , . . . , αn‬וישנו ‪ k‬וישנם ‪ m2 , . . . , mk‬כך ש‪:‬‬ ‫‪ B ′ = hm2 α2 , . . . , mk αk i‬ו‪. m2 | m3 | . . . | mk :‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪β1‬‬ ‫{ |} ‪z‬‬ ‫‪m1 α1 , m2 α2 , . . . , mk αk‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪=m‬‬ ‫*‬ ‫=‪B‬‬ ‫נשאר להוכיח ש ‪ ,m1 | m2‬זה יהיה ע"י שימוש נוסף בחלוקה עם שארית‪ m2 = qm + r .‬כאשר ‪.0 ≤ r < m‬‬ ‫נסתכל על ‪ .m1 (α1 + qα2 ) + rα2 = m1 α1 + m2 α2 ∈ B‬מצד שני‪ α1 + qα2 , α2 , . . . , αb :‬שוב בסיס ולכן‬ ‫‪.r = 0‬‬ ‫וזה מוכיח את המשפט‬ ‫‪66‬‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫‪09/01/2012‬‬ ‫‪A/B‬‬ ‫?=‬ ‫נסתכל בהומו'‪:‬‬ ‫‪ϕ : A → Zm1 × Zm2 × . . . × Zmk × Zn−k‬‬ ‫) ‪ϕ (a1 α1 + . . . + an αn ) = (a1 mod m1 , . . . , ak mod mk , ak+1 , . . . , an‬‬ ‫כאשר ‪ ϕ .ai ∈ Z‬הנו על‪.ker ϕ = B ,‬‬ ‫ממשפט ההומומורפיזם ה‪ I‬נקבל‪:‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫∼‬ ‫‪= Zm1 × . . . × Zmk × Z‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫אבלית חופשית‬ ‫חבורה סופית‬ ‫תהיה ‪ G‬חבורה אבלית נוצרת סופית כל שהיא‪.‬‬ ‫יהיה ‪ =n‬המספר המינימלי של יוצרים שלה‪.‬‬ ‫‪ γ1 , . . . , γn‬יוצרים של ‪ .G‬ונגדיר ‪A = Zn‬‬ ‫‪a i γi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪ϕ (a1 , . . . , an‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ ϕ‬על‪ ,‬וגרעינה ‪.B = ker ϕ ≤ A‬‬ ‫∼ ‪G = Im ϕ‬‬ ‫‪= A/ker ϕ = A/B‬‬ ‫מסקנה ‪9.1.19‬‬ ‫∼‬ ‫‪ G = Zm1 × . . . × Zmk × Zr‬כאשר ‪r = n − k‬‬ ‫ומכך קיבלנו את משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‪.‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪A/B‬‬ ‫‪ .9.1‬משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 9.1.20‬מהו המבנה של‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪?Z /Z‬‬ ‫‪4+Z14‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫הפעולות האלמנטריות בעמודות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4 14‬‬ ‫‪6 6‬‬ ‫• החלפת סדר עמודות‬ ‫• הוספת כפולה שלמה של עמודה אחרת לעמודה נתונה‬ ‫• הכפלת עמודה ב ‪±1‬‬ ‫פעולות אלמנטריות בעמודות לא תשנה את ‪ .B‬פעולות אמנטריות בשורות = שינוי בסיס מעל ‪ei 7→ ei + λej .Z‬‬ ‫ומשאירים את כל ‪ (i 6= i) ei′‬במקומם‪.‬‬ ‫‪*2  2 +‬‬ ‫‪B = 4 , 10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נוריד ‪ 5‬פעמים שורה ראשונה מהשורה השניה )אנו משנים בסיס למעשה(‬ ‫‪* 2  2+‬‬ ‫‪−6 , 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נחסיר מהעמודה הראשונה את השניה‪:‬‬ ‫‪*‬‬ ‫נכפול את השורה השניה ב‪:−1‬‬ ‫‪  +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−6 , 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪*0 2+‬‬ ‫‪6 , 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬נפחית את השורה השלישית מהשניה ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪* 0‬‬ ‫‪2 +‬‬ ‫‪6 , 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ולכן קיבלנו כי‪:‬‬ ‫∼‬ ‫‪= Z2 × Z6 × Z‬‬ ‫‪A/B‬‬ ‫מסקנה ‪9.1.21‬‬ ‫חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול הנה חופשית מדרגה סופית‬ ‫הוכחה‪ :‬החבורה איזומורפית ל‪:‬‬ ‫‪Zm1 × . . . × Zmk × Zr‬‬ ‫∼ ‪ Zr‬ולכן חופשית‪.‬‬ ‫מכיוון שהיא חסרת פיתול‪ .Zm1 × . . . × Zmk = 0 ,‬והיא =‬ ‫‪68‬‬ ‫פרק ‪ .9‬חבורות אבליות‬ ‫‪ .9.2‬חבורות חופשיות לא אבליות‬ ‫מסקנה ‪9.1.22‬‬ ‫תת חבורה של חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית הנה גם חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית והדרגה של‬ ‫התת חבורה ≥ דרגת החבורה־האם‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו שאם ‪ A ,B ≤ A‬חופשית אבלית מדרגה ‪ ,n‬יש בסיס ‪ α1 , . . . , αn‬כך ש ‪B = hm1 α1 , . . . , mk αk i‬‬ ‫ואז ‪ B‬אבלית חופשית מדרגה ‪ k‬עם בסיס‪:‬‬ ‫‪β1 = m1 α1 , . . . , βk = mk αk‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫חבורות חופשיות לא אבליות‬ ‫האם יכולות להיות קיימות חבורות חופשיות לא אבליות?‬ ‫במקום לסמן את הבסיס ב ‪ ei‬נסמן אותו ב ‪ . xi‬נכתוב‪:‬‬ ‫‪xni i = xεi i · . . . · xεi i‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫| ‪ |ni‬פעמים‬ ‫כאשר ‪.εi = ±1‬‬ ‫‪εi‬‬ ‫‪εi‬‬ ‫מילים‪.0 ≤ k .xεi1i xi22 · . . . · xikk :‬‬ ‫‪69‬‬ ‫חלק‬ ‫‪III‬‬ ‫חוגים‬ ‫‪70‬‬ ‫פרק ‪10‬‬ ‫חוגים‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.1‬חוג‪ :‬חוג ‪ R‬הנו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות‬ ‫‪+:R×R → R‬‬ ‫‪·:R×R → R‬‬ ‫ואיבר מיוחד ‪0‬‬ ‫המקימים את האקסימות הבאות‪:‬‬ ‫‪ (R, +, 0) .1‬חבורה אבלית )ביחס לחיבור(‬ ‫‪ .2‬הכל אסוציאטיבי ‪r · (s · t) = (r · s) · t‬‬ ‫‪ .3‬דיסטריבוטיביות‪:‬‬ ‫‪r · (s + t) = r · s + r · t‬‬ ‫וגם‪:‬‬ ‫‪(s + t) · r = s · r + t · r‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.2‬חוג קומוטטיבי‪ :‬הוא חוג המקיים גם‪r · s = s · r :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.3‬חוג עם יחידה‪ :‬הוא חוג המקיים‪ :‬קיים ‪ 0 6= 1 ∈ R‬עבורו ‪ 1 · r = r · 1 = r‬לכל ‪r‬‬ ‫דוגמה ‪ F : 10.0.4‬שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה‬ ‫דוגמה ‪ Z : 10.0.5‬גם הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ .‬וגם ‪ Zn = Z/nZ‬עם חיבור וכפל מודולו ‪.n‬‬ ‫‪71‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.0.6‬חוגי פולינומים‪ :‬יהי ‪ F‬שדה‪ x ,‬משתנה‪ .‬פולינוחם מעל ‪ F‬הינו ביטוי פורמלי‪:‬‬ ‫‪ai xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪ai ∈ F‬‬ ‫אם ‪ an 6= 0‬נאמר שדרגת ‪.deg (f ) = n = f‬‬ ‫נחבין כי )‪ deg (0‬לא מוגדר ו ) ‪) 0 = deg (a0‬אם ‪(a0 6= 0‬‬ ‫הערה ‪ 10.0.7‬לא להתייחס לזה כפונקציה! אלא כביטוי פורמלי‪ .‬לדוגמה מעל ‪ Z2‬הביטוי ‪ x2 6= x‬למרות‬ ‫שכפונקציות הן זהות‪.‬‬ ‫נסכום אותם באופן הבא‪:‬‬ ‫‪(ai + bi ) xi‬‬ ‫ונכפול באופן הבא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪bi xi‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X X‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪bi xi‬‬ ‫‪ai bj  xk‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i+j=k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ai x2 +‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ai xi‬‬ ‫מתקבל חוג קומוטטיבי עם יחידה שמסומן ]‪.F [X‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.0.8‬חוג פולינומים ב ‪ n‬משתנים‬ ‫‪ x1 , . . . , xn‬משתנים‪ .‬פולינום בהם הוא סכום פרומלי סופי‪:‬‬ ‫‪ai,i2 ,...,in xi11 xi22 · . . . · xinn‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪0≤i1 ,0≤i2 ,...‬‬ ‫‪ ai1 ,...,in ∈ F‬וכופלים ומחברים לפי הכללים הרגילים‪ ,‬הכל מתחלף‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪5 + 3x + 7y + x2 y + 20x7‬‬ ‫החוג הנ"ל יסומן‪:‬‬ ‫] ‪F [x1 , . . . , xn‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ Mn (R) : 10.0.9‬עם חיבור וכפל מטריצות ־‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ··· 0‬‬ ‫‪..  ,1  .. . .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. .. ‬‬ ‫‪. .‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ··· 1‬‬ ‫לא קומוטטיבי‪.‬‬ ‫‪72‬‬ ‫חוג עם יחידה‬ ‫‪‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 =  ... . . .‬‬ ‫··· ‪0‬‬ ‫‪X‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪: 10.0.10‬‬ ‫‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬נסמן ) ‪ R = End (V‬הט"ל מ ‪ V‬לעצמו‪.‬‬ ‫‪(T + S) (v) = T v + Sv‬‬ ‫חיבור‬ ‫))‪(T ◦ S) (v) = T (S (v‬‬ ‫הרכבה‬ ‫‪T ◦ S1 + T ◦ S2‬‬ ‫‪S1 ◦ T + S2 ◦ T‬‬ ‫= ) ‪T ◦ (S1 + St‬‬ ‫=‬ ‫‪(S1 + S2 ) ◦ T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫אם ‪.End (V ) = Mn (R) ,V = Rn‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.0.11‬תהיה ‪ Γ‬חבורה‪ .‬נגדיר את חוג החבורה ]‪ F [Γ‬מעל שדה ‪ F‬להיות כל הצרופים הלינארים‬ ‫הפורמליים )הסופיים(‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ag g‬‬ ‫‪g∈Γ‬‬ ‫כאשר ‪.ag ∈ F‬‬ ‫חיבור נעשה "בקואורדינטות"‪:‬‬ ‫‪(ag + bg ) g‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪bg g‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ag g +‬‬ ‫‪X‬‬ ‫והכפל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ XX‬‬ ‫‪X X‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪bg g‬‬ ‫= ‪ag bk gh‬‬ ‫‪ag bg−1 γ  γ‬‬ ‫‪g∈Γ‬‬ ‫‪γ∈Γ‬‬ ‫‪g∈Γ h∈Γ‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪ag g‬‬ ‫‪X‬‬ ‫כדי ש ‪ gh = γ‬נדרש‪h = g −1 γ :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪γ 3 = e ,Γ = e, γ, γ 2‬‬ ‫דוגמה ‪: 10.0.12‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪R [Γ] = a + bγ + cγ 2‬‬ ‫‬ ‫‪a′ + b ′ γ + c′ γ 2‬‬ ‫‬ ‫‪(aa′ + bc′ + cb′ ) + (ab′ + ba′ + cc′ ) γ + (. . .) γ 2 = a + bγ + cγ 2‬‬ ‫דוגמה ‪ f } = C [0, 1] : 10.0.13‬רציפה | ‪{f : [0, 1] → R‬‬ ‫)‪f (x) + g (x‬‬ ‫)‪f (x) · g (x‬‬ ‫= )‪(f + g) (x‬‬ ‫= )‪(f · g) (x‬‬ ‫)לא הרכבה! הרכבה לא תקיים דיסטרבטיביות תמיד‪ .‬בהעתקות לינאריות כן‪ ,‬אבל לא בהכרח(‬ ‫זהו חוג קומוטטיבי‪.‬‬ ‫‪11/01/2012‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.0.14‬אם ‪ F‬שדה ו‪ R ⊂ F :‬תת־קבוצה סגורה תחת ‪) ·, −, +‬לא בהכרח תחת חילוק( אזי ‪R‬‬ ‫חוג קומוטטיבי‪.‬‬ ‫‪.Z ⊂ Q‬‬ ‫אם ‪ R‬תת־חוג של שדה‪ ,0 6= x, y ∈ R ,‬גם ‪.xy 6= 0‬‬ ‫בחוג כללי הדבר לא תמיד נכון‪ .‬ייתכן ש ‪ x, y 6= 0‬אבל ‪.x · y = 0‬‬ ‫‪73‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪: 10.0.15‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪6= 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫אבל‪:‬‬ ‫‪AA = 0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.0.16‬נניח ‪ G = hgi‬חבורה ציקלית מסדר ‪ .n‬נתבונן ב ]‪) R [G‬חוג החבורה מעל ‪ ,R‬אבריו הם‬ ‫‪ a0 + a1 g + . . . + an−1 g n−1‬כאשר ‪(ai ∈ R‬‬ ‫ואז‪:‬‬ ‫‬ ‫‪(g − 1) 1 + g + . . . + g n−1 = g n − 1 = 0‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.17‬מחלק אפס‪ :‬איבר ‪ 0 6= x‬שקיים עבורו ‪ 0 6= y‬כך ש ‪ x · y = 0‬או ‪ y · x = 0‬נקרא מחלק אפס‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.18‬תחום־שלמות )‪Domain‬‬ ‫(‪ :‬הנו חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬בלי מחלקי אפס‪.‬‬ ‫משפט ‪10.0.19‬‬ ‫‪ R‬הנו תחום שלמות אם"ם ‪ R‬הנו תת חוג של שדה )עם ‪(1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו שכל תת־חוג של שדה הנו תח"ש )תחום שלמות(‪.‬‬ ‫הבנתח תח"ש ‪ R‬נבנה שדה ‪ . R ⊂ Q‬כמו שבונים מתוך ‪ Z‬את ‪.Q‬‬ ‫נסתכל בכל הזוגות‪ a, b ∈ R (a, b) :‬כך ש ‪.b 6= 0‬‬ ‫נגדיר יחס שקילות‪. a1 b2 = a2 b1 ⇐⇒ (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) :‬‬ ‫נוכיח שזה יחס שקילות‪ (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) :‬וגם‪ (a2 , b2 ) ∼ (a3 , b3 ) :‬נבחין כי‪:‬‬ ‫‪⇒ (a1 b3 ) b2 = a1 b2 b3 = a2 b1 b3 = a2 b3 b1 = a3 b2 b1 = (a3 b1 ) b2‬‬ ‫(‬ ‫‪a1 b 2 = a2 b 1‬‬ ‫‪a2 b 3 = a3 b 2‬‬ ‫‪⇒ (a1 b3 − a3 b1 ) b2 = 0‬‬ ‫אבל מכיוון ש‪ R‬תח"ש‪ ,‬והיות ו ‪ b2 6= 0‬אזי‪) .a1 b3 − a3 b1 = 0 ⇒ a1 b3 = a3 b1 :‬רפלקסיביות וסימטיות‬ ‫טריוויאלית מהקומוטטיביות(‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ב‪:‬‬ ‫‪(a,‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫נסמן את מחלקת‬ ‫‪b‬‬ ‫הערה ‪ 10.0.20‬לא בכל חוג יש שבר מצומצם! אין ייצוג אחד שעדיף על ייצוג אחר‪.‬‬ ‫חוג מצומצם זה תכונה מאוד מיוחדת שקשורה לפריקות של ‪ ,Z‬נדון על כך בהמשך‪.‬‬ ‫‪ Q‬יהיה אוסף המחלקות הנ"ל‪ ,‬נגדיר עליו חיבור וכפל‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ad ± bc‬‬ ‫= ‪±‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪bd‬‬ ‫וגם‪:‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫= ·‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪bd‬‬ ‫נשים לב כי ‪ bd 6= 0‬כי ‪ R‬חוג שלמות וגם ‪. b, d 6= 0‬‬ ‫אפשר להוכיח בקלות ש ‪ Q‬הנו שדה בקלות‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d f‬‬ ‫‪74‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫צריך להראות שההגדרות טובות‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a′‬‬ ‫‪= ′‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a′‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a′ d + b ′ c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪b′‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b′ d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ad + bc‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪bd‬‬ ‫נבחין כי‪:‬‬ ‫?‬ ‫‪b′ d (ad + bc) = (a′ d + b′ c) bd‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫?‬ ‫= ‪′‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪bcdb‬‬ ‫ ‪a′ b d2 +‬‬ ‫‪b′ bcd‬‬ ‫ ‪ab′ d2 +‬‬ ‫המסומנים בריבוע שווים! וכן הלאה‪.‬‬ ‫הערה ‪ Q 10.0.21‬הינו שדה השברים של ‪.R‬‬ ‫‪ Q‬הינו השדה "הקטן ביותר" )עד כדי איזומורפיזם( המכיל את ‪.R‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ R [x] = R : 10.0.22‬תחום שלמות‪: ab 6= 0 .f · g 6= 0⇐f, g 6= 0 ,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ai xi‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bi xi‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫כאשר ‪ an 6= 0‬וגם ‪ . bm 6= 0‬נחין כי‪:‬‬ ‫‪f · g = a0 b0 + . . . + am bn xm+n‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪6=0‬‬ ‫וגם קיבלנו כי‪:‬‬ ‫)‪deg (f · g) = deg (f ) + deg (g‬‬ ‫‪ =R [x] = Q‬שדה השברים של חוג הפוליונומים‪.‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪∈Q‬‬ ‫)‪ fg(x‬פונקציות רציונאליות‪ .‬לדוגמה‪:‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪1 + 2x3‬‬ ‫‪10.0.0.1‬‬ ‫תוספות‬ ‫‪ Q‬שדה כי אם ‪ ,a 6= 0 , ab 6= 0‬אז‪:‬‬ ‫וגם‪ R ⊂ Q :‬ע"י‪a 7→ a1 :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.23‬יחידה‪ :‬יהיה ‪ R‬חוג עם ‪ .1‬איבר ‪ a ∈ R‬נקרא הפיך )יחידה של ‪ .(R‬אם יש ‪ b ∈ R‬כך ש‬ ‫‪.a · b = b · a = 1‬‬ ‫נסמן ב ∗‪ R‬או ב‪ Rx :‬את אוסף האיברים ההפיכים‪ R∗ .‬היא חבורה ביחס לכפל )לא בהכרח קומוטטיבית‪,‬‬ ‫אם ‪ R‬לא קומוטטיבית(‪.‬‬ ‫נראה סגירות‪ :‬נבדוק‪ ,‬אם ∗‪ a, b ∈ R‬אז‪:‬‬ ‫‪aa1 = a1 a‬‬ ‫= ‪1‬‬ ‫‪bb1 = b1 b‬‬ ‫= ‪1‬‬ ‫נבחין כי‪:‬‬ ‫‪ab · b1 · a1 = a1a1 aa1 = 1‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪ .10.1‬הומומורפיזמים‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫וגם בכיוון השני‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪b1 a1 ab = 1‬‬ ‫דוגמה ‪: 10.0.24‬‬ ‫∗‪{1, −1} = Z‬‬ ‫∗‬ ‫)‪GLn (R) = Mn (R‬‬ ‫∗‬ ‫]‪R∗ = R [X‬‬ ‫∗‬ ‫]‪{f ∈ C [0, 1] | ∀x f (x) 6= 0} = C [0, 1‬‬ ‫‪16/01/2012‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.0.25‬תת־חוג‪ :‬תת חוג של חוג ‪ R‬הנו תת קבוצה ‪ S‬המכילה את ה־‪) 0‬וגם ‪ 1‬אם מדובר בתת־חוג עם‬ ‫‪ (1‬הסגורה ביחס לפעולות · ‪.+, −,‬‬ ‫‪ S‬עם אותן פעולות ואותו ‪) 0‬ו־ ‪ 1‬במידה וקיים( מהווה חוג‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪.Mn (Z) ⊂ Mn (R) .Z ⊂ R : 10.0.26‬‬ ‫למה ‪10.0.27‬‬ ‫בכל חוג ‪x · 0 = 0 · x = 0‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪x · 0 + x · 0 = x (0 + 0) = x · 0‬‬ ‫נפחית ‪ x · 0‬ונקבל‪.x · 0 = 0 :‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫הומומורפיזמים‬ ‫הגדרה ‪ 10.1.1‬הומומורפיזם ‪ :‬הומומורפיזם ‪ ϕ : R → S‬של חוגים הנו הומומורפיזם של חבורות החיבוריות‬ ‫שלהם‪ ,‬שבנוסף מקיים‪:‬‬ ‫)‪ϕ (x · y) = ϕ (x) · ϕ (y‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ואם מדובר בחוגים עם ‪ 1‬דורשים גם ‪. ϕ (1R ) = 1S‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.1.2‬אם ‪ R ⊂ S‬אזי השיכון ‪ i : R → S‬הנו הומומורפיזם‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.1.3‬יהיה ] ‪R = F [x1 , . . . , xn‬חוג הפולינומים ב‪ n‬משתנים‪ .‬ויהי ‪ S‬חוג קומוטטיבי כל שהו‬ ‫המכיל את ‪) F‬למשל ‪ F‬או ‪(R‬‬ ‫למה ‪10.1.4‬‬ ‫לכל ‪ s1 , . . . , sn‬איברים כלשהם של ‪ ,S‬ישנו הומומורפיזם אחד ויחיד ‪ ϕ : R → S‬כך ש‪:‬‬ ‫‪ ϕ (a) = a .1‬לכל ‪a ∈ F‬‬ ‫‪ϕ (xi ) = si .2‬‬ ‫כמו כן נבחין כי‪:‬‬ ‫‪s2 s1 = ϕ (x2 x1 ) = ϕ (x1 x2 ) = s1 s2‬‬ ‫הערה ‪ 10.1.5‬הומומורפיזם נקרא הומומורפיזם ההצבה )של ‪ si‬במקום ‪(Xi‬‬ ‫)הלמה נשארת נכונה גם אם ‪ S‬לאו דווקא קומוטטיבי אבל‪ si sj = sj si :‬ו ‪ si‬מתחלף עם כל ‪(F‬‬ ‫‪76‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪ .10.1‬הומומורפיזמים‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ] ‪ ,f ∈ F [x1 , . . . , xn‬נגדיר‪.ϕ (f ) = f (s1 , . . . , sn ) :‬‬ ‫צריך לבדוק‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫)‪ϕ (f ± g) = ϕ (f ) ± ϕ (g‬‬ ‫)תרגיל ־ קל(‬ ‫‪.2‬‬ ‫)‪ϕ (f · g) = ϕ (f ) · ϕ (g‬‬ ‫אם סעיף זה קל לבדוק בגלל הגסיטריבוטיביות ב ‪ S‬עבור מונומים‪ .‬נניח‪:‬‬ ‫‪= axi11 xi22 · · · xinn‬‬ ‫‪= bxj11 xj22 · · · xjnn‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫נבחין כי‪:‬‬ ‫‪f · g = abx1i1 +j1 · · · xinn +jn‬‬ ‫)‪ϕ (f ) ϕ (g) = asi11 si22 · · · sinn bsj11 · · · sjnn = abs1i1 +j1 · · · sinn +jn = ϕ (f · g‬‬ ‫כי ‪ S‬קומוטטיבי )או לפחות מתחלף באופן טוב מספיק(‬ ‫‪ .3‬יחידות‪:‬‬ ‫‪ϕ (xi ) = si‬‬ ‫‪ ϕ (a) = a‬מוכתבים מראש‪ ,‬השאר נקבע מכך ש ‪ ϕ‬הומומורפיזם‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ 10.1.6‬תת־דוגמה‪.f ∈ R [X, Y ] ,(x0 , y0 ) ∈ R2 :‬‬ ‫‪ϕ : R [X, Y ] → R‬‬ ‫) ‪ϕ (f ) = f (x0 , y0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪: 10.1.7‬‬ ‫] ‪s1 , s2 ∈ S = R [X, Y‬‬ ‫)) ‪ϕ (f ) = f (s1 (X, Y ) , s2 (X, Y‬‬ ‫לא ידוע מה הם התנאים על ‪ s1 , s2‬כדי ש‪ ϕ‬תהיה אוטומורפיזם )יש השערות בנידון‪ ,‬השערת היעקוביאן לדוגמה‪.‬‬ ‫‪77‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪ .10.1‬הומומורפיזמים‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.1.8‬חוג המטריצות )‪ .R = Mn (R‬תהי )‪) P ∈ GLn (R‬מטריצה הפיכה( נגדיר ‪ϕ : R → R‬‬ ‫באופן הבא‪ϕ (A) = P AP −1 :‬‬ ‫טענה‪ P :‬הנו אוטומורפיזם‪:‬‬ ‫‪P AP −1 ± P BP −1‬‬ ‫=‬ ‫‪I‬‬ ‫)‪P AP −1 P BP −1 = P ABP −1 = ϕ (AB‬‬ ‫‪ϕ (A ± B) = P (A ± B) P‬‬ ‫= )‪ϕ (I‬‬ ‫= )‪ϕ (A) ϕ (B‬‬ ‫מדוע ‪ ϕ‬חח"ע ועל? כי קיימת העתקה הפוכה! אם נסמן ‪ ψ (A) = P −1 AP‬אזי‪:‬‬ ‫‪ψ ◦ ϕ (A) = A‬‬ ‫וגם‪:‬‬ ‫‪ϕ ◦ ψ (A) = A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫דוגמה ‪ H −→ G : 10.1.9‬הומומורפיזם של חבורות אזי ניתן להרחיבו להומו‪ ϕ˜ : F [H] → F [G] :‬של‬ ‫חוגי החבורה מעל שדה ‪.F‬‬ ‫]‪ah ϕ (h) F [G‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪h∈H‬‬ ‫!‬ ‫‪ah h‬‬ ‫‪X‬‬ ‫˜‪ϕ‬‬ ‫‪h∈H‬‬ ‫היות וכל הומומורפיזם ‪ ϕ : R → S‬של חוגים הנו בפרט הומומורפיזם של החבורות החיבוריות שלהם אזי‪:‬‬ ‫• ‪{ϕ (r) | r ∈ R} = Im ϕ ≤ S‬‬ ‫• ‪{r | ϕ (r) = 0} = ker ϕ ≤ R‬‬ ‫תתי חבורות חיבוריות של ‪ R, S‬בהתאמה‪.‬‬ ‫באופן לא מפתיע‪ ,‬התמונה והגרעין הם תתי חוגים‪ ,‬אבל לגבי הגרעין יש לנו "הפתעה" נוספת‪.‬‬ ‫למה ‪10.1.10‬‬ ‫‪ Im ϕ ≤ S .1‬הנו תת חוג‬ ‫‪ ker ϕ ≤ R .2‬סגור תחת הכפל‪ .‬ויתרה מזאת אם ‪y ∈ R ,x ∈ ker ϕ‬‬ ‫כלשהו‪ .xy, yx ∈ ker ϕ ,‬לעומת זאת‪ ,‬אם ‪ R‬חוג עם ‪ 1‬בדרך כלל‪:‬‬ ‫∈ ‪ 1‬אלא אם כן ‪.ϕ ≡ 0‬‬ ‫‪/ ker‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ϕ (x) ϕ (y) = ϕ (xy) .1‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.1.11‬נשכן )‪: ϕ : M2 (R) → M3 (R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪ϕ (x) = 0 .2‬‬ ‫‪= ϕ (x) ϕ (y) = 0ϕ (y) = 0‬‬ ‫‪= ϕ (y) ϕ (x) = ϕ (y) 0 = 0‬‬ ‫‪78‬‬ ‫)‪ϕ (xy‬‬ ‫)‪ϕ (yx‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪ .10.2‬אידיאל‬ ‫אם ‪ 1 ∈ ker ϕ‬אז לכל ‪:‬‬ ‫‪ϕ (x) = ϕ (x · 1) = ϕ (x) ϕ (1) = 0‬‬ ‫‪10.2‬‬ ‫אידיאל‬ ‫הגדרה ‪ 10.2.1‬אידיאל‪ :‬אידיאל )דו־צדדי( בחוג ‪ R‬הינו קבוצה ‪ I‬שהיא‪:‬‬ ‫• תת חבורה חיבורית‪:‬‬ ‫‪x, y ∈ I ⇒ x ± y ∈ I‬‬ ‫• סגורה תחת כפל משני הצדדים בכל איבר מ‪R‬‬ ‫‪x ∈ I, y ∈ R ⇒ x · y, y · x ∈ I‬‬ ‫‪P‬‬ ‫האידיאל יסומן גם הוא על ידי ‪ I) I ⊳ R‬אידיאל ב ‪( R‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.2.2‬לגרעין של הומומורפיזמים‪.‬‬ ‫הדוגמה שראינו קודם‪.ϕ (f ) = f (1, 2) ,ϕ : R [X, Y ] → R :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ker ϕ = {f | f (1, 2) = 0} ⊳ R‬‬ ‫דוגמה ‪nZ ⊳ Z : 10.2.3‬‬ ‫למה ‪10.2.4‬‬ ‫בחוג קומוטטיבי‪ ,‬אם ‪ a ∈ R‬אזי ‪ aR‬אידיאל‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫) ‪ar1 ± ar2 = a (r1 ± r2‬‬ ‫)‪∀s ∈ R ar · s = sa · r = a (rs‬‬ ‫הגדרה ‪ 10.2.5‬אידיאל חד צדדי‪ :‬בחוג כל־שהוא‪ ,‬אידיאל משמאל ‪ L‬הנו תת חבורה חיבורית הסגורה לכפל‬ ‫משמאל באברי ‪:R‬‬ ‫‪yx ∈ L‬‬ ‫‪∀y ∈ R,‬‬ ‫‪∀x ∈ L‬‬ ‫ובאופן זהה ימני‪ M ⊆ R :‬תת חבור‬ ‫‪xy ∈ M‬‬ ‫‪∀y ∈ R‬‬ ‫‪∀x ∈ M‬‬ ‫בכל חוג אם ‪ aR a ∈ R‬הנו אידיאל ימני אזי )‪ Ra (ar) s = a (rs‬אידיאל שמאלי‪.‬‬ ‫‪79‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪ .10.2‬אידיאל‬ ‫הגדרה ‪ 10.2.6‬אם ‪ a1 , . . . , am‬אברים של ‪ ,R‬האידיאל הנוצר על ידי ‪ a1 , . . . , am‬הנו האידיאל הקטן ביותר‬ ‫המכיל אותם‪.‬‬ ‫צריך להוכיח שיש כזה‪:‬‬ ‫למה ‪10.2.7‬‬ ‫חיתוך של משפחה כלשהי של אידיאלים )דו צדדיים( הנו אידיאל‬ ‫‪T‬‬ ‫הוכחה‪ I = Iα :‬כל ‪ Iα‬אידיאל ⇐ כל ‪ Iα‬תת־חבורה חיבורית ⇐‪ I‬תת חבורה‪.‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ x ∈ Iα ⇐ x ∈ I, y ∈ R‬לכל ‪ xy ∈ Iα ⇐ α‬לכל ‪. xy ∈ I ⇐ α‬‬ ‫נסתכל בקבוצת כל האידיאלים המכילים את ‪) a1 , . . . , am‬למשל כל ‪ ,(R‬ונקח חיתוך של כולם‪ ,‬זהו כמובן האידיאל‬ ‫המינימלי המכיל את ‪.a1 , . . . , am‬‬ ‫לחילופין‪ ,‬ניתן לבנות אותו מלמטה‪:‬‬ ‫}‪Rai R = {rai s | r ∈ R, s ∈ R‬‬ ‫האידיאל הנוצר על ידי‪ = a1 , . . . , am :‬כל הסומים הסופיים של איברים מהצורה ‪ rai s‬עבור ‪,1 ≤ i ≤ m‬‬ ‫‪.r, s ∈ R‬‬ ‫אם ‪ R‬קומוטטיבי זהו האוסף‪:‬‬ ‫}‪I = {r1 a1 + r2 a2 + . . . + rm am | ri ∈ R‬‬ ‫נהוג לסמן‪:‬‬ ‫) ‪I = (a1 , a2 , . . . , am‬‬ ‫‪P‬‬ ‫)בחוג קומוטטיבי(‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 10.2.8‬ב‪:Z‬‬ ‫‪(n) = n · Z‬‬ ‫דוגמה ‪: 10.2.9‬‬ ‫?= )‪(9, 15‬‬ ‫‪9Z + 15Z = 3Z‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫)‪(9, 15) = (3‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪) I = {f | f (0, 0) = 0} = (X, Y ) = RX + RY ,R = R [X, Y ] : 10.2.10‬זהו אינו סכום ישר(‬ ‫משפט ‪10.2.11‬‬ ‫‪ I ⊳ R‬אם ורק אם ‪ I‬הנו גרעין של הומומורפיזם של חוגים‪.‬‬ ‫אם ‪ I ⊳ R‬על חבורת המנה חיבורת ‪ ,R/I‬ניתן להגדיר ע"י כפל הציגים‪:‬‬ ‫‪r·s= r·s‬‬ ‫ובהגדרה זו‪ R = R/I :‬הופך להיות חוג וההומומורפיזם הקנוני‪:‬‬ ‫‪p : R → R/I‬‬ ‫‪80‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪ .10.2‬אידיאל‬ ‫‪p (r) = r‬‬ ‫הופך להיות הומומורפיזם של חוגים שגרעינו בדיוק ‪I‬‬ ‫}‪ r = r + I = {r + t | t ∈ I‬מחלקה חיבורית של ‪ .r‬הוכחה‪ :‬ראינו שאם ‪ ϕ : R → S‬הומומורפיזם‪ker ϕ ,‬‬ ‫אידיאל‪.‬‬ ‫בכיוון השני‪ ,‬יהי ‪ I‬אידיאל‪ ,‬חבורת המנה ‪ R/I‬שאבריה הן המחלקות החיבוריות ‪ r = r + I‬בתוך ‪ R‬וחיבור‬ ‫נעשה על ידי חיבור נציגים ‪ r + s = r + s‬מוגדרת‪ ,‬והעתקה הקנונית היא‪:‬‬ ‫‪p : R → R/I‬‬ ‫הנו הומומורפיזם של חבורות חיבוריות שגרעינו‪:‬‬ ‫‪ker P = I‬‬ ‫נגדיר כפל ע"י ‪r · s = r · s‬‬ ‫זאת הגדרה טובה כי אם ‪ r ′ = r‬זה אומר‪ I .r − r′ ∈ I :‬סגור תחת כפל מימין באיבר ‪r · s − r′ · s =⇐s‬‬ ‫‪.(r − r′ ) s ∈ I‬‬ ‫‪r′ · s = r · s‬‬ ‫כנל אם בוחרים נציג אחר ל ‪.S‬‬ ‫החוק האסוציאטיבי והדיסטריבוטיבי מתקיים ב ‪ R‬בגלל שהם מתקיימים ב‪.R‬‬ ‫‬ ‫‪(r · s) t = r · s · t = (r · s) t = r (s · t) = r s · t‬‬ ‫‪18/01/2012‬‬ ‫לכן ‪ R‬חוג‪.‬‬ ‫)‪ p (r · s) = p (r) · p (s‬מההגדרה‪.‬‬ ‫‪ rs = r · s‬ולכן ‪ p‬הומומורפיזם של חוגים‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪.I = nZ ⊳ Z : 10.2.12‬‬ ‫ראינו ‪ ,Zn = Z/nZ‬נראה שזה חוג‪) 5 · 4 = 8, 3 · 4 = 0 .‬ב־ ‪ .(Z12‬ידוע שאם ‪ p‬ראשוני אז ‪ Zp = Z/pZ‬שדה‪,‬‬ ‫אבל בכל מצב אחר יש בחוג מחלקי אפס ולכן הוא בהכרח לא שדה‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫דוגמה ‪ ,R [x] : 10.2.13‬וניקח ‪ .I = x2 + 1 = R [x] · x2 + 1‬נשאל למה‬ ‫‬ ‫‪ ϕ : R[x]/(x2 +1) → C‬כך‪.ϕ f = f (i) :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מתקיים ‪ .f = f + x2 + 1‬נבדוק שזה לא תלוי בבחירת הנציגים ־ = ‪f = f1 =⇒ I ∋ x2 + 1 · h‬‬ ‫)‪.f − f1 =⇒ f (i) = f1 (i‬‬ ‫‪.(ϕ‬‬ ‫‪(f‬‬ ‫)‪g‬‬ ‫=‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪(f‬‬ ‫)‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫)‪(g‬‬ ‫וכן‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪(f‬‬ ‫‪±‬‬ ‫)‪g‬‬ ‫=‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪(f‬‬ ‫)‬ ‫‪±‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫))‪(g‬‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫‬ ‫כמו כל הצבה‪ ϕ ,‬‬ ‫‬ ‫‪ ϕ‬על כי ‪ ,ϕ a + bx = a + bi‬ונראה כי ‪ ϕ‬חח"ע‪ .‬אם ‪ ϕ f = 0 =⇒ f (i) = 0‬אזי ‪.f = x2 + 1 h‬‬ ‫קיימים ‪ q, r‬פולינומים כך ש־‪f = qg + r‬‬ ‫נלמד שבחוג ]‪ R [x‬יש חילוק עם שארית )כך שלכל ‪ f, g 6= 0‬פולינומים‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪.r = ax + b‬‬ ‫‪,f‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪r‬‬ ‫כך ש־)‪ deg (r) < deg (g‬־ חילוק פולינומים עם שארית‪ ,‬מוכר(‪ ,‬ולכן‬ ‫‬ ‫נציב ‪ x = i‬ונקבל ‪ ,0 = 0 + ai + b‬ומהיות המרוכבים שדה בהכרח ‪ ,a = b = 0‬כלומר ‪,ker ϕ = x2 + 1 .r = 0‬‬ ‫ולכן ‪ ϕ‬חח"ע‪ ,‬ולכן ‪ ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬ ‫‪R[x]/I‬‬ ‫איזומורפי כחוג‪ .‬נגדיר‬ ‫הערה ‪ 10.2.14‬אפשר להגדיר גם איזומורפיזם ע"י )‪ ,f 7→ f (−i‬ואלו שתי הדרכים היחידות‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ F : 10.2.15‬שדה‪ Γ ,‬חבורה‪ .‬נגדיר ‪ ϕ : F [Γ] → F‬ע"י ‪aγ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫=‬ ‫‪γ‬‬ ‫)‪ ,ϕ (x ± y) = ϕ (x) ± ϕ (y‬נבדוק כפל‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P P‬‬ ‫=‬ ‫)‪aγ bδ = aγ bδ = ϕ ( aγ γ) ϕ ( bδ δ‬‬ ‫‪γ δ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫}‪ .ker ϕ = I = { aγ γ | aγ = 0‬אידיאל זה נקרא אידיאל האוגמנטציה‪.‬‬ ‫‪PP‬‬ ‫‪81‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫‪aγ γ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .ϕ‬קל לראות כי‬ ‫‪γ∈Γ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪PP‬‬ ‫‪.ϕ ( aγ γ aδ δ) = ϕ‬‬ ‫‪aγ bδ γδ‬‬ ‫‪ .10.3‬משפטי הומומורפיזם‬ ‫‪10.3‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫משפטי הומומורפיזם‬ ‫משפט ‪ 10.3.1‬משפט ההומומורפיזם הראשון‬ ‫∼ ‪.Imϕ‬‬ ‫אם ‪ ϕ : R → S‬הומו' של חוגים‪ ,‬אזי ‪= R/ker ϕ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .S ′ = Imϕ‬ראינו שהוא תת־חוג של ‪ .S‬נגדיר )‪ ϕ (r) = ϕ (r‬כאשר ‪.r = r+ker ϕ ∈ R/ker ϕ = R‬‬ ‫ממשפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות ידוע כי זה מוגדר היטב כאיזומורפיזם של חבורות חיבוריות בין ‪R‬‬ ‫ו־ ‪.S ′‬‬ ‫אבל ) ‪ ,ϕ (r1 · r2 ) = ϕ (r1 r2 ) = ϕ (r1 r2 ) = ϕ (r1 ) ϕ (r2 ) = ϕ (r1 ) ϕ (r2‬ולכן ‪ ϕ‬איזומורפיזם של חוגים‪,‬‬ ‫וסיימנו‪.‬‬ ‫חח"ע בין חבורות חיבוריות ‪ I ≤ J ≤ R‬ותתי חבורות חיבוריות של‬ ‫יהי ‪ R‬חוג‪ .I ⊳ R ,‬ראינו כבר שיש התאמה ‬ ‫‪ ,J ≤ R/I‬וההתאמה נתונה על ידי )‪.J = p−1 J , J = p (J‬‬ ‫טענה ‪10.3.2‬‬ ‫בהתאמה הנ"ל‪ J ⊳ R ,‬אם ורק אם ‪.J ⊳ R‬‬ ‫‪23/01/2012‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ J‬אידיאל‪ ,x ∈ J, y ∈ R ,‬אז ‪ .xy = x · y ∈ J =⇒ xy ∈ J‬ולהיפך‪ ,‬להיפך‪.‬‬ ‫ניסוח אחר למשפט ההומומורפיזם הראשון‪:‬‬ ‫משפט ‪10.3.3‬‬ ‫∼ ‪ϕ : R/ker ϕ‬‬ ‫אם ‪ ϕ : R → S‬הומומורפיזם של חוגים‪ ,‬אזי הוא משרה איזומורפיזם ‪= Im ϕ‬‬ ‫הערה ‪ 10.3.4‬בתכלס זה אותו דבר‪.‬‬ ‫‪ Im ϕ‬הוא תת חוג של ‪ ker ϕ ,S‬הוא אידיאל ב‪.R‬‬ ‫)‪.ϕ (r) = ϕ (r‬‬ ‫משפט ‪ 10.3.5‬משפט ההתאמה‬ ‫יהיה ‪ .R ⊲ I‬נתבונן ב }אידיאלים ב ‪ {R/I‬אזי יש התאמה חח"ע )משני הכיוונים( ביניהם לבין‪} :‬אידיאלים ב‪R‬המכילים את ‪{I‬‬ ‫נזכור כי משפט ההומומורפיזם השני בתת חבורות אמר כי‪:‬‬ ‫∼‬ ‫‪= H/H∩N‬‬ ‫‪HN/N‬‬ ‫למה ‪10.3.6‬‬ ‫אם ‪ S‬תת־חוג של ‪ I ,R‬אידיאל ב ‪ R‬אזי‪ S + I = {x + y | x ∈ S, y ∈ I} :‬גם כן תת־חוג של ‪.R‬‬ ‫הערה ‪ 10.3.7‬במקרה של חבורות זה לא תמיד היה נכון‪:‬‬ ‫} ‪HN = {hn | h ∈ H, n ∈ N‬‬ ‫הייתה חבורה רק אם ‪ H‬או ‪ N‬הייתה נורמלית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ S + I :‬כמובן תת־חבורה חיבורית‪ .‬נשאר לבדוק סגירות תחת כפל‪ .‬יהיו ‪ x1 , x2 ∈ S‬ו ‪ y1 , y2 ∈ I‬נבחין‬ ‫כי‪:‬‬ ‫‪(x1 + y1 ) · (x2 + y2 ) = x1 · x2 + y1 · x2 + x1 y2 + y1 y2‬‬ ‫}‪| {z } | {z } |{z} |{z‬‬ ‫‪∈I‬‬ ‫}‬ ‫‪∈I‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪∈I‬‬ ‫‪∈S‬‬ ‫‪∈I‬‬ ‫|‬ ‫מכיוון ש ‪ I‬אידיאל‪ ,‬הוא סגור בכפל בכל איברי ‪.S‬‬ ‫משפט ‪ 10.3.8‬משפט ההומומורפיזם השני‬ ‫‪82‬‬ ‫פרק ‪ .10‬חוגים‬ ‫‪ .10.3‬משפטי הומומורפיזם‬ ‫אם ‪ S ⊆ R‬תת־חגו‪ I ⊳ R .‬אידיאל אז‪:‬‬ ‫∼‬ ‫‪= S/S∩I‬‬ ‫‪(S+I)/I‬‬ ‫)ו‪(S ∩ I ⊳ I :‬‬ ‫הוכחה‪ S ∩ I :‬תת־חבורה חיבורית של ‪ S‬ואם ‪ y ∈ S ,x ∈ S ∩ I‬אז‪ x · y ∈ S :‬מסגירות לכפל‪ .‬וגגם ‪x · y ∈ I‬‬ ‫כי ‪ x ∈ I‬ולכן ‪.x · y ∈ S ∩ I‬‬ ‫ממשפט ההומומורפיזם השני לחבורות יש איזומורפים של חבורות‪:‬‬ ‫∼ ‪α : S/S∩I‬‬ ‫‪= (S+I)/I‬‬ ‫‪α (s mod S ∩ I) = S mod I‬‬ ‫נותר להראות ש ‪ α‬מכבד כפל‪.‬‬ ‫) ‪α (s1 · s2 ) = α (s1 · s2 ) = s1 · s2 = s1 · s2 = α (s1 ) · α (s2‬‬ ‫משפט ‪ 10.3.9‬משפט האיזומורפיזם השלישי‬ ‫‪ I, J ⊳ R‬ו ‪ I ⊆ J‬אזי‪:‬‬ ‫∼‬ ‫) ‪= (R/I )/(J/I‬‬ ‫‪R/J‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו )בפרק על חבורות( שההעתקה‪:‬‬ ‫‪→ R/J‬‬ ‫‪R/I‬‬ ‫‪r mod I 7→ r mod J‬‬ ‫מוגדרת היטב‪ ,‬היא הומומורפיזם על וגרעינה‪.J/I :‬‬ ‫נשים לב שמבקרה שלנו )‪ R‬חוג‪ J ,I ,‬אידיאלים( זהו גם הומומורפיזם של חוגים )מכבד כפל( ולכןהמשפט‬ ‫מתקבל‪ ,‬ממשפט ההומומורפיזם הראשון לחוגים‪.‬‬ ‫‪83‬‬ ‫פרק ‪11‬‬ ‫פריקות בתחומי שלמות‬ ‫‪11.1‬‬ ‫הקדמה‬ ‫הדוגמה על ‪ Z‬כחוג‪.‬‬ ‫• יש בו מושגים של חילוק וחילוק עם שארית )האלגוריתם של אוקלידס(‬ ‫• כל אידיאל ב ‪ Z‬הוא ראשי‪ :‬כלומר נוצר ע"י איבר אחד‪.nZ = (n) :‬‬ ‫• ישנו מושג של איבר ראשוני )= אי־פריק( וכל ‪ n ∈ Z‬ניתן לכתיבה יחידה‪:‬‬ ‫‪n = ±p1 p2 · . . . · pk‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כאשר ‪ pi‬ראשוניים‪.‬‬ ‫דוגמה ‪: 11.1.1‬‬ ‫‪30 = 2 · 3 · 5‬‬ ‫‪−24 = −2 · 2 · 2 · 3‬‬ ‫המטרה שלנו היא לבדוק באיזו מידה הנושאים הללו "עובדים" בתחום שלמות כללי ‪.R‬‬ ‫מעכשיו ‪ =R‬תחום־שלמות‪ :‬חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬כך ש ‪ .x · y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0‬וזה שקלו לכך ש ‪ R‬הנו‬ ‫תת־חוג של שדה‪.‬‬ ‫אומרים ש ‪ (a, b ∈ R) b | a‬אם יש ‪ c ∈ R‬כך ש ‪a = b · c‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 11.1.2‬ב ‪ 3 | 15 :Z‬אבל ‪.3 ∤ 8‬‬ ‫ב] ‪ , X − Y | X 2 − Y 2 ,R [X, Y‬אבל‪.X − Y ∤ X 2 + Y 2 :‬‬ ‫לכל ‪ D‬שלם שאינו ריבוע נסמן‪:‬‬ ‫‪h√ i n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫√‬ ‫‪D = n + m D | n, m ∈ Z ⊆ C‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫אם ‪ n + m D = n′ + m′ D‬ואם ‪: m 6= m′‬‬ ‫√‬ ‫‪n − n′‬‬ ‫‪= D‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪m −m‬‬ ‫ואז‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n − n′‬‬ ‫‪m′ − m‬‬ ‫ריבוע ב‪ Q‬ולכן ריבוע ב‪.Z‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‬ ‫=‪D‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫פרק ‪ .11‬פריקות בתחומי שלמות‬ ‫‪ .11.1‬הקדמה‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪i‬לכן ‪ n + m D = n′ + m′ hD‬אם"ם ‪. n = n′ , m = m′‬‬ ‫√‬ ‫‪ R = Z D‬הנו חוג‪ :‬סיגרות תחת חיבור וחיסור ברורה‪.‬‬ ‫‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫√‬ ‫‪n + m D n′ + m′ D = (nn′ + mm′ D) + (nm′ + n′ m) D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ Z [i] = {n + mi} D = −1 : 11.1.3‬נקרא חוג השלמים של גאוס‪.‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪1 + 2i | 5‬‬ ‫כי‪:‬‬ ‫‪(1 + 2i) (1 − 2i) = 5‬‬ ‫וכמו כן גם‪:‬‬ ‫‪2+i|5‬‬ ‫למה ‪11.1.4‬‬ ‫בתחום שלמות ‪ a | b ,R‬אם"ם )‪) (b) ⊂ (a‬תזכורת‪( (a) = R · a :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ a | b‬אזי ‪ , b = a · t‬ולכן‪ b · r = a · t · r ∈ (a) :‬ולכן‪.(b) ⊂ (a) :‬‬ ‫כיוון שני‪ :‬אם )‪ (b) ⊂ (a‬בפרט )‪ b ∈ (a‬כלומר‪b = a · t :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הגדרה ‪ a, b ∈ R 11.1.5‬נקראים חברים )‪ (assoiate‬אם ‪ a | b‬וגם ‪ b | a‬מסמנים ‪.a ∼ b‬‬ ‫דוגמה ‪ : 11.1.6‬ב ‪.5 ∼ (−5) Z‬‬ ‫ב]‪) 1 + 2i ∼ i − 2 : Z [i‬כפלנו ב ‪ (i‬כיוון ש )‪ i − 2 = i (1 + 2i‬וגם‪.−i (i − 2) = 1 + 2i :‬‬ ‫למה ‪11.1.7‬‬ ‫‪ a ∼ b .1‬לא ‪ 0‬אם"ם ‪ a = bu‬כאשר ×‪. u ∈ R‬‬ ‫‪ ∼ .2‬הנו יחס שקילות‬ ‫הוכחה‪ 2 :‬נובע מיידית מכך ש ‪) (a) = (b) ⇐⇒ a ∼ b‬נובע מהלמה הקודמת(‬ ‫‪ :1‬נכתוב ‪) a = b · u‬אפשר כי ‪ (b | a‬וכן‪) b = a · v :‬אפשרי כי ‪ (a | b‬ולכן‪:‬‬ ‫‪a=b·u =a·v·u‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪a (1 − vu) = 0‬‬ ‫אבל ‪ ,a 6= 0‬אין מחלקי אפס⇐‪ ,1 = vu‬ולכן ‪.R× ∋ u‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הערה ‪ 11.1.8‬לא נגיד מצמצמים‪ ,‬כי בחוג אסור לצמצם‪ .‬מותר רק בגלל שזה תחום שלמות‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ : 11.1.9‬למה ‪ 7‬הוא אי פריק? נשים לב כי‪:‬‬ ‫‪7·1‬‬ ‫)‪(−7) (−1‬‬ ‫= ‪7‬‬ ‫= ‪7‬‬ ‫אנו רוצים להתייחס לזה כאותו פריוק כי ‪.(−7) ∼ 7‬‬ ‫‪3·5‬‬ ‫)‪(−3) (−5‬‬ ‫‪ ,15‬כן פריק!‬ ‫‪85‬‬ ‫= ‪15‬‬ ‫= ‪15‬‬ ‫פרק ‪ .11‬פריקות בתחומי שלמות‬ ‫‪ .11.2‬חילוק עם שארית‬ ‫∈ ‪ π‬וכאשר ‪ (x, y ∈ R) π = xy‬אזי‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 11.1.10‬איבר ‪ π‬בחוג ‪ R‬יקרא אי־פריק )‪ (irreduible‬אם ×‪/ R‬‬ ‫או ‪.y ∈ R× ,π ∼ x‬‬ ‫או ‪.x ∈ R× π ∼ y‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 11.1.11‬בחוג ]‪ R [X‬פולינום לינארי הנו אי פריק אם )‪ aX + b = f (x) g (x‬אזי או ‪,deg f = 1‬‬ ‫∗‪ g ∈ R‬או ‪ ,f ∈ R∗ ,deg g = 1‬אבל סקלים הם הפיכים‪.‬‬ ‫∈ ‪ π‬ומתוך ‪ π | x⇐π | x · y‬או ‪π | y‬‬ ‫הגדרה ‪ π 6= 0 11.1.12‬ב‪ R‬נקרא ראשוני אם ×‪/ R‬‬ ‫למה ‪11.1.13‬‬ ‫‪ π‬ראשוני⇐‪ π‬אי־פריק‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ π‬ראושני ואם ‪ π = x · y‬אזי מראשוניות ‪ π | x⇐π | x · y :π‬או ‪ π | y‬נניח ‪ ,π | x‬אז גם ‪ x | π‬ולכן‬ ‫‪ y ∈ R∗ ,π ∼ x‬לכן ‪ π‬אי פריק‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ √‬ ‫דוגמה ‪ R = Z −5 : 11.1.14‬ראינו כי זהו חוג‪.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫נתבונן ב ‪ .6‬נשים לב שהוא גם ‪ 2·3‬וגם ‪ 2 | 6 . 1 + −5 1 − −5‬אבל‪ 2 ∤ 1− −5 :‬וגם ‪.2 ∤ 1+ −5‬‬ ‫ √‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫כי אם למשל ‪ 2 | 1 + −5‬אזי‪ ,1 + −5 = 2 a + b −5 :‬אבל זו סתירה כי ‪ 2⇐.a, b ∈ Z‬איננו ראשוני‬ ‫ב‪.R‬‬ ‫הוא אי פריק‪ .‬נראה זאת‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אבל‬ ‫√‬ ‫אם ‪ R ∋ z = x + y −5‬אזי ‪ .zz = x2 + 5y 2 ∈ Z‬נניח‪ 2 = zw :‬כאשר ‪ .z, w ∈ R‬נכפיל בצמוד המרוכב‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫}‪4 = |{z‬‬ ‫}‪zz · |{z‬‬ ‫‪ww‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫שלמים ≤ ‪1‬‬ ‫נבחין כי את ‪ 4‬ניתן לפרק רק באופנים הבאים‪4 = 1 · 4 = 4 · 1 = 2 · 2 :‬‬ ‫אם ‪ ww = 4 ,zz = 1‬אז ×‪ z ∈ R‬ואז ‪ .2 ∼ w‬כנ"ל אם ‪ ww = 1‬אזי ‪.2 ∼ z‬‬ ‫נבחין כי‪ zz = x2 + 5y 2 6= 2‬ולכן האפשרות ‪ ww = 2 , zz = 2‬נופלת‪ .‬מכאן ‪ 2 ∼ z⇐2 = zw‬או ‪2 ∼ w‬‬ ‫⇐‪ 2‬אי־פריק‪.‬‬ ‫‪ 11.2‬חילוק עם שארית‬ ‫הגדרה ‪ 11.2.1‬חוג אוקלידי‪ :‬תחום שלמות ‪ R‬יקרא חוג אוקלידי אם מוגדרת בו פונקציה → }‪d : R\ {0‬‬ ‫}‪ {0, 1, 2, . . .‬המקיימת‪:‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪Z≥0‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪d (a) ≤ d (ab) a, b 6= 0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ a 6= 0‬ולכל ‪ b‬ישנם ‪ q, r‬כך ש ‪ b = q · a + r‬ו‪ r = 0‬או ‪ r 6= 0‬אבל )‪.d (r) < d (a‬‬ ‫דוגמה ‪ |a| ≤ |ab| ,d (a) = |a| ,R = Z : 11.2.2‬־ חילוק עם שארית ־ ידוע‪.‬‬ ‫)‪d (8‬‬ ‫)‪d (8‬‬ ‫)‪1 · 8 + 7 = 2 · 8 + (−1‬‬ ‫נבחין כי אין יחידות של ‪.q, r‬‬ ‫‪86‬‬ ‫< )‪d (7‬‬ ‫< )‪d (−1‬‬ ‫= ‪15‬‬ ‫פרק ‪ .11‬פריקות בתחומי שלמות‬ ‫‪ .11.2‬חילוק עם שארית‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ F) ,R = F [X] : 11.2.3‬שדה(‪ = 0, 1, 2, . . . ,‬דרגת הפולינום = ) ‪ .(f 6= 0) d (f ) = deg (f‬נבחין‬ ‫כי ‪ .d (f g) = d (f ) + d (g) ≥ d (f ) :‬וכמו כן‪ ,‬ידוע שאפשר לבצע חילוק עם שארית בפולינומים‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫‪x3 − 4x2 + 5x + 5‬‬ ‫‪x − 2x‬‬ ‫‪+ 3x2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− x − 2x − 3x‬‬ ‫‪−x +1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪− 4x4 − 3x3 + 3x2‬‬ ‫‪4x4 + 8x3 + 12x2‬‬ ‫‪5x3 + 15x2 − x‬‬ ‫‪− 5x3 − 10x2 − 15x‬‬ ‫‪5x2 − 16x + 1‬‬ ‫‪− 5x2 − 10x − 15‬‬ ‫‪− 26x − 14‬‬ ‫‬ ‫‪x + 2x + 3‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪x3 − 4x2 + 5x + 5‬‬ ‫‪−26x − 14‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ונבחין כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪d (r) = 1 < 2 = d x2 + 2x + 3‬‬ ‫‪25/01/2012‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪2‬‬ 12 ‫פרק‬ ‫חוג אוקלידי‬ ("‫ עם פונקציה )"נורמה אוקלידית‬R ‫תחום שלמות‬ d : R\ {0} → Z≥0 (i) d (a) ≤ d (ab) (ii) ∀a 6= 0 ∀b ∃q, r b = qa + r ∨ r = 0 ∨ d (r) < d (a) P .d (a) = |a| , Z = R : 12.0.4 ‫דוגמה‬ d (f ) = deg (f ) , R = F [X] 2 d (x + iy) = x2 + y 2 = |x + iy| ,‫ חוג השלמים של גאוס‬R = Z [i] z, w 6= 0 ‫| אם‬zw|2 = |z|2 |w|2 ≥ |z|2 , z, w ∈ Z [i] (i) z = x + iy x, y ∈ Z (ii) w = u + iv ‫ ־‬u, v ∈ Z α, β ∈ Q z (x + iy) (u − iv) = α + iβ = w u2 + v 2 .q = m + in .m, n ∈ Z ‫ עבור‬β − n ≤ | {z } 1 2 ν x + iy = (m + in) + (µ + iν) u + iv ‫ ו‬α − m ≤ | {z } 1 2 ‫נבחר‬ µ x + iy = (m + in) (u + iv) + (µ + iν) (u + iv) | {z } | {z } | {z } | {z } z q w r r = z − qw ∈ R 2 |r| = |w| 2 µ2 + ν 2 =⇒ µ2 + ν 2 ≤ 2 1 1 1 + = <1 4 4 2 2 |r| = d (r) < |w| = d (w) Ra1 + Ra2 + ‫ זה שווה ל‬,‫ קומוטטיבי‬R ‫ ומכיוון שמדובר ב‬a1 , ..., an ‫( = האידאל שנוצר ע"י‬a1 , ..., am ) :‫סימון‬ .‫ יקרא אידאל ראשי‬Ra = (a) ‫ בפרט‬,... + Ram 88 ‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬ ‫הגדרה ‪ R 12.0.5‬חוג ראשי אם כל אידאל של ‪ R‬הוא ראשי )מהצורה )‪((a‬‬ ‫דוגמא‪ Z :‬חוג ראשי‪.‬‬ ‫ב ] ‪ = I = (X, Y ) ,R [X, Y‬אידאל הפולינומים המתאפסים בראשית‪ .‬אינו נוצא ע"י איבר אחד )תרגיל ־‬ ‫מניחים ש ) ‪.(I = (f‬‬ ‫משפט ‪12.0.6‬‬ ‫כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי‬ ‫הוכחה‪ :‬תהיה ‪ d‬נורמה אוקלידית על ‪ .R‬יהיה ‪ .I E R‬אם ‪ I = 0‬אזי )‪ .I = (0‬אם ‪ I 6= 0‬נבחר ‪ a ∈ I‬כך ש‬ ‫)‪ d (a‬מינימלית )אפשרי כי ‪.(d (a) ∈ N‬‬ ‫טענה ‪12.0.7‬‬ ‫)‪.I = (a‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בודאי ‪ .Ra = (a) ⊆ I‬להפך‪ :‬אם ‪ b ∈ I‬נחלקו בשארית ב ‪.b = qa + r ,a‬‬ ‫‪ ,b ∈ (a) ⇐= r = 0‬סיימנו‬ ‫אם ‪ r = b − qa ∈ I , d (r) < d (a) ⇐=r 6= 0‬סתירה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪12.0.8‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫החוג ]‪ F [X‬ראשי‪ .‬כל אידאל שלו הינו מהצורה ) ‪f · g g ∈ F [X] = (f‬‬ ‫הוכחה‪⇐⇒ f1 ∼ f2 ⇐⇒ (f1 ) = (f2 ) :‬‬ ‫‪ f‬יחיד עד כדי כפל בסקלר =‪.0 6‬‬ ‫‪f1 = u · f2‬‬ ‫‬ ‫עבור ‪ f‬מסויים‪.‬‬ ‫×‬ ‫]‪∃u ∈ F × f1 = u · f2 ⇐⇒ ∃u ∈ F [X‬‬ ‫משפט ‪12.0.9‬‬ ‫בחוג ראשי ‪ π .R‬אי פריק ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‪.‬‬ ‫תזכורת ‪ π 12.0.10‬אי פריק‪π = xy =⇒ π ∼ x ∨ π ∼ y :‬‬ ‫‪ π‬ראשוני‪.π|xy =⇒ π|x ∨ π|y :‬‬ ‫תמיד‪ :‬ראשוני =⇐ אי פריק‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 12.0.11‬אידאל ‪ P‬בתחום שלמות נקרא אידאל ראשוני אם מתוך ‪.x ∈ P ∨ y ∈ P ⇐= x, y ∈ P‬‬ ‫למה ‪12.0.12‬‬ ‫‪ (π) .1‬ראשוני ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‪.‬‬ ‫‪ P .2‬ראשוני ⇒⇐ ‪ R/P‬תחום שלמות‪.‬‬ ‫הוכחה‪π|xy ⇐⇒ xy ∈ (π) :‬‬ ‫)‪π|x ⇐⇒ x ∈ (π‬‬ ‫)‪π|y ⇐⇒ y ∈ (π‬‬ ‫אז ‪ (1‬נובע מתרגום ההגדרות‪.‬‬ ‫‪ x · y = 0 ⇐⇒ xy ∈ P (2‬בחוג ‪.R = R/P‬‬ ‫‪x∈P‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪y∈P‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫‪y=0‬‬ ‫ואז ‪ (2‬נובע שוב מתרגום ההגדרות )‪ R‬חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬ולכן תח"ש‪ ⇐⇒ .‬אין מחלקי אפס(‬ ‫‪89‬‬ ‫‪ .12.1‬אי־פריקות‬ ‫‪12.1‬‬ ‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬ ‫אי־פריקות‬ ‫הגדרה ‪ 12.1.1‬אידאל ‪ I‬נקרא אידאל מקסימלי אם ‪ I E R‬ו ‪I & R‬‬ ‫ואם ‪ I ⊆ J E R‬אזי ‪ J = I‬או ‪.J = R‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪30/01/2012‬‬ ‫דוגמה ‪ : 12.1.2‬ב ‪ (3) ,Z‬ו )‪ (5‬הם אידאלים מקסימלים‪ 3Z ⊆ J ⊆ Z :‬אם ‪ 3 ∤ x , x ∈ J‬יש ‪m, n ∈ Z‬‬ ‫כך ש ‪ .3m + xn = 1 ∈ J‬ואז ‪.J = Z‬‬ ‫שדה ⊂ ‪ R‬עד סוף הסמסטר הוא תחום שלמות )חוג קומוטטיבי עם ‪ 1‬ללא מחלק ‪(0‬‬ ‫∈ ‪ 0 6= π‬איבר ראשוני אם"ם ‪∀x, y π | xy ⇒ π | x ∨ π | y‬‬ ‫∗‪/ R‬‬ ‫∈ ‪ 0 6= π‬אי פריק אם"ם ‪π = xy ⇒ π ∼ x ∨ π ∼ y‬‬ ‫∗‪/ R‬‬ ‫‪ R‬חוג ראשי‪ :‬כל אידיאל ‪ I ⊳ R‬נוצר ע"י איבר אחד‪I = (a) = Ra :‬‬ ‫משפט ‪12.1.3‬‬ ‫בחוג ראשי ‪ π R‬אי פריק אם"ם ‪ π‬ראשוני‬ ‫‪P‬‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫דוגמה ‪−5 1 − −5 , Z −5 : 12.1.4‬‬ ‫‪.6 = 2 · 3 = 1 +‬‬ ‫הערה ‪ 12.1.5‬מספיק להראות ‪ π‬אי פריק ⇐‪ π‬ראשוני‪.‬‬ ‫נזכר קודם במספר הגדרות ולמות‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 12.1.6‬אידיאל ‪ P‬נקרא ראשוני אם‪:‬‬ ‫‪y∈P‬‬ ‫∨‬ ‫‪x·y ∈P ⇒x ∈P‬‬ ‫‪∀x, y‬‬ ‫כמו כן ראינו את הלמה‪:‬‬ ‫למה ‪12.1.7‬‬ ‫‪ P .1‬ראשוני אם"ם ‪ R/P‬תחום שלמות‬ ‫‪ (π) .2‬ראשוני אם"ם ‪ π‬ראשוני‬ ‫הגדרה ‪ 12.1.8‬אידיאל ‪ M ⊳ R‬יקרא מקסימלי אם לכל אידיאל ‪ I = R ,M ⊆ I ⊆ R I‬או ‪.I = M‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫אידיאל ראשי ‪ (a) 6= R‬יקרא ראשי מקסימלי אם"ם לכל אידיאל ראשי ‪ (a) = (b) (a) ⊆ (b) ⊆ R‬או‬ ‫‪(b) = R‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ R = R [X, Y ] : 12.1.9‬האידיאל )‪ (x‬הינו ראשי מקסימלי )תרגיל( אך לא מקסימלי‪:‬‬ ‫‪(x) $ (X, Y ) $ R‬‬ ‫למה ‪12.1.10‬‬ ‫‪ M .1‬מקסימלי אם"ם ‪ R/M‬שדה‬ ‫‪ (π) .2‬ראשי מקסימלי אם"ם פ איבר אי פריק‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫‪ .1‬בכל תחום שלמות ‪ R‬ראינו כי ‪ a k0k‬הינו הפיך אם"ם ‪ a] (a) = R‬הפיך‬ ‫‪[(a) = (1) = R‬‬ ‫= ‪a−1 a =⇐0‬‬ ‫לכן‪ R ,‬שדה ⇒⇐ אין ב‪ R‬אידיאלים =‪ R] R ,(0)6‬שדה ⇐ אם ‪ I 6= 0‬אידיאל‪6 a ∈ I ,‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪a ∼ 1‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬ ‫‪ .12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע(‬ ‫‪ .I = R⇐1 ∈ I‬להפך‪ :‬אם כל אידיאל =‪ 06‬הנו ‪ ,R‬נבחר ‪ ,0 6= a‬אידיאל הראשי ‪ ⇐(a) = R‬יש ‪b ∈ R‬‬ ‫כך ש ‪[b · a = 1‬‬ ‫משפט ההתאמה אמר שאידיאלים ב ‪ R/M‬הם בהתאמה חח"ע עם אידיאלים ‪ M ⊆ I ⊆ R‬ולכן‪ M ,‬מקסימלי‬ ‫אם"ם ‪ R/M‬שדה‪.‬‬ ‫‪ .2‬נבחין כי )‪ (π‬ראשי מקסימלי ⇐ אם ‪ π = x · y‬כמובן ‪ .(π) ⊂ (y) ,(π) ⊂ (x)⇐y | π, x | π‬מההנחה‪:‬‬ ‫)‪ R = (x‬או )‪ (π‬אם )‪.x ∼ π ,(π) = (x‬‬ ‫)‪ R = (y‬או )‪ (π‬אם )‪.y ∼ π ,(π) = (y‬‬ ‫אם ‪ π = xy⇐y ∼ 1 ,x ∼ 1 ,y 6∼ π ,x 6∼ π‬גם כן יחידה‪ .‬סתירה‪.‬‬ ‫נניח ‪ π‬אי פריק ונניח ‪ π = xy .(π) ⊆ (x) ⊆ R‬ולכן ‪ .(x) = (π)⇐(y ∼ 1) π ∼ x‬או‪π ∼ y :‬‬ ‫)‪(x) = R⇐(x ∼ 1‬‬ ‫כעת נחזור להוכיח את המשפט‪ .‬כזכור מספיק להראות ‪ π‬אי פריק ⇐ ‪ π‬ראשוני‪ .‬הוכחה‪ :‬אם ‪ R‬ראשי )‪ (π‬ראשי‬ ‫מקסימלי ⇒⇐ )‪ (π‬מקסימלי‪ .‬ולכן מלמה ‪ π 2‬אי פריק ⇒⇐ )‪ R/(π‬שדה‪ .‬ולכן ‪ π‬אי פריק ⇒⇐ )מלמה‬ ‫השניה( )‪ R/(π‬שדה ⇐ )‪ R/(π‬תחום שלמות )נשים לב לא דו כיווני‪ ,‬גרירה חד צדדית( אבל זה ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‬ ‫)מלמה הראשונה( כנדרש‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 12.1.11‬החוג ]‪ F ,R = F [X‬שדה‪.‬‬ ‫למה ‪12.1.12‬‬ ‫יהיה ‪ f (x) ∈ R‬פולינום‪ α ∈ F ,‬אזי ‪ α‬שורש של ‪X − α | f (X) ⇐⇒ f‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מחילוק עם שארית‪:‬‬ ‫‪f (x) = q (x) (x − α) + r‬‬ ‫‪ r‬סקלר‪ .‬נציב ‪ X = α‬ונקבל ‪ f (α) = r‬ולכן ‪ r = 0‬אם"ם )‪.X − α | f (X‬‬ ‫פולינום מדרגה ‪ 1‬־ אי פריק ≡ ראשוני‪.‬‬ ‫‪ f .1 = deg f + deg g ,X − α = f · g‬או ‪ g‬לינארי והשני סקלר‪.‬‬ ‫פולינום מדרגה גבוהה יותר ־ תלוי ב‪ .F‬אם לכל פולינום לא סקלרי ב]‪ F [X‬יש שורש ב ‪) F‬למשל כש ‪(F = C‬‬ ‫אזי הפולינומים האי־פריקים יהיו רק הפולינומים הלינאריים‪.‬‬ ‫‪f (α) = 0 ⇒ f = (X − α) g‬‬ ‫‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λX − µ = λ X −‬‬ ‫ב]‪ C [X‬האיברים האי־פריקים הינם ‪ α ∈ C ,X − α‬ועד כדי חברות רק אלה‪:‬‬ ‫)מתבסס על המשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬נוכיח במבנים ‪(2‬‬ ‫ב]‪ x2 + 1 ,R [X‬פולינום אי פריק אם כי‪ x2 + 1 = f · g :‬אזי ‪ g, f‬היו ליניאריים‪ .‬ואז היה שורש ל ‪x2 + 1 = 0‬‬ ‫ב‪.R‬‬ ‫זה לא נכון שאם אין שורשים הפולינום לא פריק‪ .‬לדומגה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪x2 + 1 x2 + 2 = x4 + 3x2 + 2‬‬ ‫פריק ב ]‪ R [x‬למרות שאין לו שורשים‪.‬‬ ‫‪ 12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע(‬ ‫הגדרה ‪ 12.2.1‬תחום שלמות ‪ R‬יקרא חוג עם פח"ע אם לכל ‪ 0 6= a ∈ R‬יש הצגה ‪ a = π1 π2 . . . πn‬כאשר ‪ πi‬אי‬ ‫‪′‬‬ ‫‪ π1 π2 . . . πn = π1′ π2′ . . . πm‬אז ‪ n = m‬ואחרי שינוי סדר ‪πi = πi′‬‬ ‫פריקים )לאו דווקא שונים( ואם‬ ‫למה ‪12.2.2‬‬ ‫בחוג עם פח"ע‪ ,‬איבר ‪ π‬אי־פריק ⇒⇐ ‪ π‬ראשוני‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כאמור ראשוני ⇐ אי פריק תמיד‪.‬‬ ‫נניח ‪ π‬אי־פריק‪ x · y = πz .π | x · y ,‬נפרק את ‪ z, y, x‬למכפלות גורמים אי פריקים‪ .‬מיחידות הפח"ע אזי‬ ‫ינבע ש ‪ π‬חבר של גורם אי פריק של ‪ x‬או של ‪ π | X⇐ .y‬או ‪.π | y‬‬ ‫‪91‬‬ ‫פרק ‪ .12‬חוג אוקלידי‬ ‫‪ .12.2‬פריקוח חד־ערכית )פח"ע(‬ ‫משפט ‪12.2.3‬‬ ‫חוג ראשי הוא חוג עם פח"ע‬ ‫הגדרה ‪ 12.2.4‬חוג ‪ R‬נקרא חוג נטרי )על שם ‪ (Emmy Noether‬אם לכל סדרה עולה של אידיאלים ‪I1 ⊂ I2 ⊂ . . .‬‬ ‫יש ‪ n0‬כך ש ‪ In0 = In0 +1 = . . . = In = . . .‬לכל ‪n ≥ n0‬‬ ‫)תנאי השרשרת העולה לאידיאלים(‬ ‫‪P‬‬ ‫דוגמה ‪ : 12.2.5‬ב‪ (a1 ) ⊂ (a2 ) Z‬פרושו‪:‬‬ ‫‪. . . | a3 | a2 | a1‬‬ ‫טענה ‪12.2.6‬‬ ‫כל חוג ראשי הנו נטרי‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ I1 ⊂ I2 ⊂ . . .‬סדרה עולה‪In .‬‬ ‫‪ a ∈ In0‬ולכן נובע כי‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪ I‬אידיאל‪ .‬ניות ו‪ I‬ראשי אזי )‪ I = (a‬אבל יש ‪ n0‬כך ש‬ ‫‪In0 ⊆ I = (a) ⊆ In0‬‬ ‫ולכן הנדרש‪.‬‬ ‫הערה ‪ 12.2.7‬כל החוגים שפגשנו עד היום הם נטרים‪ .‬דוגמה לחוג לא נטרי היא חוג פולינומים עם אינסוף משתנים‬ ‫]‪R [X1 , X2 , X3 , . . .‬‬ ‫נחזור להוכיח את המשפט הוכחה‪ :‬קיום פריוק‪:‬‬ ‫נניח על דרך השלילה ש ‪ R‬ראשי אך ישנו איבר ‪ a ∈ R‬שאי־אפשר לכתוב אותו כמכפלת אברים אי־פריקים‪.‬‬ ‫נסתכל בכל האידיאלים )‪ (a‬הנוצרים ע"י אברים "רעים" כאלה‪ .‬במשפחת האידיאלים הזאת צריך להיות‬ ‫אידיאל גדול ביותר ביחס להכלה ־ אחרת נוכל לבנות שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים‬ ‫‪(a1 ) $ (a2 ) $ (a3 ) . . .‬‬ ‫בסתירה לנטריות‪.‬‬ ‫נסמן ‪ π‬איבר כזה ־ שאינו מכפלת אי פריקים‪ .‬וה )‪ (π‬אינו מוכל ממש בשום אידיאל )‪ (x‬כאשר גם ‪ x‬איבר‬ ‫שאינו מכפלת אי־פריקים‪.‬‬ ‫‪ π‬עצמו פריק‪.y 6∼ π ,x 6∼ π ,π = xy(,‬‬ ‫)‪(π) $ (x‬‬ ‫לכן ‪ y ,x‬אינם "רעים" ־ הם ניתנים לכתיבה כמכפלת אברים אי־פריקים‪.‬‬ ‫)‪(π) $ (y‬‬ ‫אבל גם ‪ π‬מכפלת אי־פריקים‪ .‬סתירה‪.‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪ π1 . . . πn = π1′ . . . πm‬כל ‪ πi‬ו ‪ πi′‬אי פריק‪ .‬לפי משפט קודם‬ ‫נרצה להראות את חד ערכיות הפירוק‪ .‬נניח‬ ‫הם גם ראשוניים )‪ R‬ראשי גורר אי פריק ≡ראשוני(‬ ‫‪ πi | πi′‬ואחרי שינוי סדר ניתן להניח ש ‪ π1′ ,π1′ = π1 · u ,π1 | π1′ :i = 1‬אי פריק ‪ u⇐1 6∼ π1‬יחידה‬ ‫‪ . π1 ∼ π1′‬בה"כ ‪ π1 = π1′‬ואז מחלקים )‪ R‬תחום שלמות( ומקבלים ‪.π2 . . . πn = π2′ . . . πn′‬‬ ‫וגומרים באינדוקציה‪.‬‬ ‫‪92‬‬ ‫פרק ‪13‬‬ ‫דוגמה לשימוש בכל מה שלמדנו‬ ‫‪P‬‬ ‫איזה טבעים ‪ n‬ניתנים להצגה כ ‪ n = a2 + b2‬כאשר ‪?a, b ∈ Z‬‬ ‫דוגמה ‪: 13.0.8‬‬ ‫‪13.0.0.2‬‬ ‫‪12 + 42‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪17‬‬ ‫=‪7 6‬‬ ‫רעיון‪:‬‬ ‫‪ n‬הנו סכום של שני ריבועים אם"ם ‪n = zz‬‬ ‫]‪) ∃z ∈ Z [i‬חוג השלמים של גאוס(‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪(a + bi) (a − bi) = a2 + b2‬‬ ‫אם "נכיר" את המבנה הכפלי של ]‪ Z [i‬־ כלומר את כל המספרים הראשוניים )= אי־פריקים( בו‪ ,‬סביר שנוכל‬ ‫לענות על השאלה הנ"ל‪.‬‬ ‫‪93‬‬