‫השלמות בנושא חבורות‬ ‫‪ 1‬חבורות המנה ‪ Q=Z‬ו־ ‪R=Z‬‬ ‫‪ .1‬חבורת המנה ‪Q=Z‬‬ ‫תהי החבורה )‪ (Q; +‬ו־ ‪ G‬חבורת שורשי היחידה ב־ ‪ ,C‬כלומר ‪ G = fz 2 C : 9n 2 Z ; z n = 1g‬עם כפל‬ ‫‪2im‬‬ ‫‪ .'( m‬קל לוודא‬ ‫מרוכב )ואיבר יחידה שהוא ‪ .(1‬נגדיר את ההעתקה הבאה‪ ' : Q ! G :‬ע״י ‪n ) = e n‬‬ ‫ש־ ' היא אפימורפיזם )הומומורפיזם על(‪ .‬בנוסף הגרעין של ההומומורפיזם הוא אוסף המספרים השלמים‬ ‫‪ ,Ker(') = Z‬והתמונה של ההומומורפיזם היא ‪.G‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ ‪.Q=Ker(') = Q=Z‬‬ ‫לכן ע״י שימוש במשפט היסודי נקבל ‪= G = fz 2 C : 9n 2 Z ; z = 1g‬‬ ‫‪ .2‬חבורת המנה ‪R=Z‬‬ ‫דרך ראשונה‪ :‬נביט על מעגל היחידה ב־ ‪ ,C‬כלומר על החבורה ‪) S = fz 2 C : jz j = 1g‬הפעולה היא כפל‬ ‫שורש יחידה הוא מערך מוחלט ‪ 1‬אך הכיוון‬ ‫קומפלקסים ואיבר היחידה הוא ‪ .(1‬שימו לב ש־ ‪ G S‬כי כל‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ e‬הוא מערך מוחלט ‪ 1‬אך איננו שורש‬ ‫ההפוך איננו נכון בהכרח‪ ,‬למשל )‪= cos( 2) + i sin( 2‬‬ ‫יחידה‪) .‬וודאו מדוע(‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪2ir‬‬ ‫‪2ir‬‬ ‫‬ ‫‪ j'(r)j = e‬לכל‬ ‫‪ .'(r ) = e‬נשים לב ש־ ‪= 1‬‬ ‫נראה ש־ ‪ R=Z‬איזומורפית ל־ ‪ :S‬נגדיר ‪ ' : R ! S‬ע״י‬ ‫‪r2R‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪'(r) 2 S‬‬ ‫כדרוש‪.‬‬ ‫'‬ ‫הומומורפיזם כי לכל‬ ‫‪r; t 2 R‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫)‪'(r + t) = e2i(r+t) = e2ir e2it = '(r) '(t‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ ,S‬נגדיר ‪a‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫כמו כן ' הוא על‪ ,‬כי בהינתן ‪3 z = a + i b‬‬ ‫‪'() = e2i = ei = cos() + i sin() = a + i b = z‬‬ ‫בנוסף‪ ker(') = Z ,‬כי ‪. r 2 Z () cos(2r) = 1 and sin(2r) = 1 () e2ir = 1 () '(r) = 1‬‬ ‫ ‪ ,R=Z‬כלומר חבורת המנה ‪R=Z‬‬ ‫)וודאו שהמעברים ברורים לכם(‪ .‬לפיכך‪ ,‬נשתמש במשפט היסודי ונקבל ‪= S‬‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪ , = 21‬אז‬ ‫ומתקיים‬ ‫איזומורפית לחבורת המספרים הקומפלקסים בעלי ערך מוחלט=‪.1‬‬ ‫‪def‬‬ ‫דרך שניה‪ :‬נביט על הקטע ‪ [0; 1) R‬ונגדיר עליו את פעולת החיבור ~ הבאה‪ ,r ~ t = fr + tg :‬כאשר‬ ‫‪ +‬היא פעולת החיבור הרגילה של מספרים ממשיים ו־ ‪ fxg‬מסמן את החלק השברי של ‪) .x‬ראו הערה ‪.(1‬‬ ‫הראו ש־ )‪ [0; 1‬עם הפעולה ~ מהווה חבורה אבלית )איבר היחידה הוא ‪ ,0‬ההופכי של ‪ r 6= 0‬הוא )‪.( (1 r‬‬ ‫כעת נגדיר העתקה )‪ ' : R ! [0; 1‬ע״י ‪ .'(x) = fxg‬מההערה לעיל נקבל שאכן )‪ '(x) 2 [0; 1‬לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬מהתכונה של החלק השברי המצוטטת בהערה לעיל‪ ,‬נקבל ש־ ' הוא הומומורפיזם‪:‬‬ ‫)‪'(x + y) = fx + yg = ffxg + fygg = f'(x) + '(y)g = '(x) ~ '(y‬‬ ‫ברור ש־ ' הוא על ומההערה לעיל נובע ש־ ‪ .ker(') = Z‬לפיכך‪ ,‬מהמשפט היסודי נקבל ש־ ‪ R=Z‬איזומורפית‬ ‫לחבורה )‪ [0; 1‬עם הפעולה ~‪.‬‬ ‫תרגיל למחשבה‪ :‬נסו לחשב באופן ישיר את הקוסטים של ‪ Q=Z‬ו־ ‪ R=Z‬ובדקו מהו המבנה הכפלי של החבורות‬ ‫המתקבלות‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪= 1 2 = 1 b3c = 3‬‬ ‫‪f g=0‬‬ ‫‪0f g 1‬‬ ‫‪j k‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ . 21‬החלק השברי‬ ‫;‬ ‫;‬ ‫;‬ ‫‪1‬תזכורת‪ :‬יהי ‪ x‬ממשי‪ ,‬אזי ‪ x‬מסמן את החלק השלם התחתון של ‪ ,x‬למשל‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אמ״מ ‪ x‬שלם‪ .‬בנוסף‪ ,‬לכל ‪x; y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .‬כמו כן‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪ . x‬לכל ‪ x‬ממשי מתקיים‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫של ‪ x‬מסומן ע״י ‪ x‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪) x y‬הוכחת התכונה הינה טכנית ומסתמכת על חלוקה למקרים(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ממשיים מתקיימת התכונה הבאה‪:‬‬ ‫‪fg‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪f g= b c‬‬ ‫‪f + g = ff g + f gg‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫הומומורפיזם בחבורות צקליות‬ ‫‪2‬‬ ‫בחבורות צקליות קל יותר לאפיין את ההומומורפיזמים‪ ,‬נא השלימו את הפרטים בהוכחות‪.‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .1‬אם ‪G‬‬ ‫הוכחה‪ G :‬ו־ ‪ G‬צקליות ולכן קיימים ‪ g 2 G‬ו־ ‪ g 2 G‬כך ש־ ‪ G = hg i‬ו־ ‪ .G = hg i‬נגדיר את ההעתקה‬ ‫‪ ' : G ! G‬ע״י ‪ .'(g ) = g‬לכן לכל ‪ x = g i 2 G‬נקבל ‪ .'(x) = '(g i ) = ('(g )i ) = (g )i‬וודא שההעתקה‬ ‫ ‪ ,G‬ונשים לב שההוכחה נכונה גם כשהסדר אינסופי‪.‬‬ ‫‪ ' : G ! G‬היא הומומורפזים‪ ,‬חח״ע ועל‪ .‬כלומר ‪= G‬‬ ‫ו־‬ ‫‪0‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ ‪.G‬‬ ‫חבורות צקליות מאותו סדר אזי הן איזומורפיות ‪= G‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .2‬נתונה‬ ‫הוכחה‪ :‬יהיו‬ ‫‪G‬‬ ‫אבלית‪ .‬ההעתקה‬ ‫‪x; y 2 G‬‬ ‫‪'(x) = xr‬‬ ‫מהווה הומומורפיזם‬ ‫ונבדוק את דרישת ההומומורפיזם עבור '‪,‬‬ ‫‪':G!G‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪r2Z‬‬ ‫קבוע‪.‬‬ ‫)‪'(xy) = (xy)r = (xy)(xy) : : : (xy) = xr yr = '(x)'(y‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .3‬נתונה ‪ G‬צקלית‪ .‬כל הומומורפיזם ‪ ' : G ! G‬היא מהצורה ‪ '(x) = xr‬כאשר ‪r 2 Z‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לפי הנתון קיים ‪ g 2 G‬כך ש־ ‪ .G = hg i‬יהי הומומורפיזם ‪ ' : G ! G‬כלשהו ויהי ‪.x 2 G‬‬ ‫‪ '(g ) = y = g r‬כאשר ‪ r 2 Z‬קבוע ) הסבר למה!( וכן ‪ x = g i‬כאשר ‪) i 2 Z‬הסבר למה!(‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫קבוע‪.‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪'(x) = '(gi ) = ('(g))i = (gr )i = gir = (gi )r = xr‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .4‬נתונה‬ ‫‪ r 2 Z‬קבוע‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫צקלית‪ .‬העתקה‬ ‫‪':G!G‬‬ ‫היא הומומורפיזם אמ״ם‬ ‫'‬ ‫היא מהצורה‬ ‫‪'(x) = xr‬‬ ‫כאשר‬ ‫הוכחה‪ :‬נובע מיידית מטענות ‪ 2‬ו־ ‪.3‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .5‬נתונה ‪ G‬צקלית מסדר ‪ .n‬העתקה‬ ‫כאשר ‪ 0 r n 1‬שלם קבוע‪.‬‬ ‫‪':G!G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נובע מיידית מטענה ‪ 4‬ומהעובדה ש ־‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .6‬נתונה‬ ‫‪G‬‬ ‫‪xn = e‬‬ ‫צקלית מסדר ‪ .n‬קיימים בדיוק‬ ‫היא הומומורפיזם אמ״ם‬ ‫לכל‬ ‫‪x2G‬‬ ‫'‬ ‫היא מהצורה‬ ‫‪'(x) = xr‬‬ ‫)הסבר!(‪.‬‬ ‫הומומורפיזמים ‪.' : G ! G‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מסקנה מיידית מטענה ‪.5‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫טענה ‪ .7‬נתונה ‪ G‬צקלית מסדר ‪ .n‬העתקה ‪' : G ! G‬‬ ‫כאשר ‪ 1 r n 1‬שלם קבוע ו־ ‪.(r; n) = 1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לפי טענה ‪ 5‬הומומורפיזם היא מהצורה ‪ '(x) = x‬כאשר ‪ 0 r n 1‬שלם קבוע‪ .‬בנוסף לפי‬ ‫הנתון ‪ G = hg i‬לכן ‪ '(g ) = g r‬וכן ) ‪) o(g ) = o(g r‬הסבר למה!(‪ .‬כלומר ‪ g‬מסדר ‪ n‬אמ״ם ‪ g r‬מסדר ‪ .n‬מכיוון‬ ‫ש־ ‪n‬‬ ‫‪ o(g r ) = (r;n‬אזי ‪ g r‬מסדר ‪ n‬אמ״ם ‪.(r; n) = 1‬‬ ‫)‬ ‫היא איזומורפיזם אמ״ם‬ ‫טענה ‪ .8‬נתונה‬ ‫‪G‬‬ ‫)‪'(n‬‬ ‫צקלית מסדר ‪ .n‬קיימים בדיוק‬ ‫'‬ ‫היא מהצורה‬ ‫‪'(x) = xr‬‬ ‫איזומורפיזמים ‪.' : G ! G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מסקנה מיידית מטענה ‪.7‬‬ ‫דוגמה‪ :‬מצא את כל ההומומורפיזמים )‪.' : (Z; +) ! (Z; +‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ ' : (Z; +) ! (Z; +‬היא צקלית ולכן לפי טענה ‪4‬‬ ‫לכל ‪ x 2 G‬וכאשר ‪ r 2 Z‬קבוע )הסבר למה!(‪.‬‬ ‫)‪' : (Z; +) ! (Z; +‬‬ ‫היא הומומורפיזם אמ״ם‬ ‫למשל עבור ‪ r = 0‬נקבל ‪ '(x) = 0‬לכל ‪ x 2 Z‬כלומר זהו ההומומורפיזם הטרויאלי‪ .‬בנוסף‬ ‫ ‪.Z=Z‬‬ ‫‪ Im' = f0g‬לכן לפי משפט ההומורפיזם היסודי נקבל ‪= f0g‬‬ ‫למשל עבור ‪ r = 1‬נקבל ‪'(x) = x‬‬ ‫ ‪.Z=f0g‬‬ ‫ההומומורפיזם היסודי נקבל ‪= Z‬‬ ‫לכל‬ ‫‪2Z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪f0g‬‬ ‫=‬ ‫'‪Ker‬‬ ‫ו־‬ ‫‪Z‬‬ ‫=‬ ‫'‪.Im‬‬ ‫ובאופן כללי עבור ‪ 0 6= r 2 Z‬נקבל ‪ '(x) = rx‬לכל ‪ x 2 Z‬כלומר ‪ Ker' = f0g‬ו־‬ ‫ ‪ .Z=f0g‬מהם הקוסטים של ‪ Z=f0g‬במקרה זה?‬ ‫לפי משפט ההומומורפיזם היסודי נקבל ‪= r Z‬‬ ‫‪'(x) = rx‬‬ ‫‪Ker' = Z‬‬ ‫ו־‬ ‫לכן לפי משפט‬ ‫‪Im' = rZ‬‬ ‫)הסבר!(‪ .‬לכן‬ ‫אילו מההומומורפיזמים המתקבלים הם‪ :‬מונומורפיזם )הומומורפיזם חח״ע(? אפימורפיזם )הומומורפיזם על(?‬ ‫ואילו מהם איזומורפיזם?‬ ‫‪2‬‬ ‫מיון חבורות מסדר ‪n = 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫כדי לבצע מיון של חבורות מסדר ‪) n = 6‬או מסדר ״קטן״ למשל‬ ‫הומומורפיזם וטיעונים נוספים להלן‪ .‬נא השלימו את הפרטים‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬כל חבורה‬ ‫‪G‬‬ ‫מסדר‬ ‫פתרון‪ :‬נפריד למקרים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪G‬‬ ‫‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪6‬‬ ‫איזומורפית ל־‬ ‫אבלית או‬ ‫‪G‬‬ ‫אבלית‪ .‬הסדר של כל איבר ב־‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Z6‬‬ ‫‪G‬‬ ‫מסדר‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (10‬נשתמש בתכונות של‬ ‫או ל־ ‪.S3‬‬ ‫לא אבלית‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫הוא ‪ ,3 ,2 ,1‬או ‪.6‬‬ ‫בחבורה מסדר זוגי יש תמיד איבר מסדר ‪) .2‬הוכח את הטענה(‪.‬‬ ‫אם בחורה אבלית כל האיברים מסדר ‪ 2‬אזי יש תת חבורה מסדר ‪) 4‬הוכח(‪ ,‬אבל זו סתירה כי ‪,4 - 6‬‬ ‫ולכן יש איבר מסדר ‪.3‬‬ ‫אם בחבורה אבלית‬ ‫ב־ ‪G‬‬ ‫לכן ‪G‬‬ ‫‪o(b) = 2‬‬ ‫ו־ ‪ ,o(a) = 3‬אזי קיים איבר מסדר ‪) 6‬מיהו האיבר מסדר ‪(?6‬‬ ‫יש איבר מסדר ‪ ,6‬כלומר‬ ‫איזומורפית ל־ ‪.Z6‬‬ ‫‪G‬‬ ‫צקלית מסדר ‪.6‬‬ ‫לא אבלית‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫כמו במקרה הקודם יש איבר‬ ‫‪b2G‬‬ ‫כך ש־ ‪.o(b) = 2‬‬ ‫אם בחבורה ‪G‬‬ ‫=‪,ab 6‬‬ ‫קיימים ‪ a; b 2 G‬כך ש־ ‪ o(b) = 2‬ו־ ‪ .o(a) = 3‬וודא שמתקיים‪6= b :‬‬ ‫‪ ,a2 b 6= e; a; a2 ; b; ab‬וכן ‪) ab 6= ba‬למה?(‪.‬‬ ‫וודא שמתקיים‪ ,ba 6= e; a; a2 ; b; ab :‬ולכן מתקיים ‪.ba = a2 b‬‬ ‫כלומר איברי החבורה ניתנים ע״י ‪ ,G = fe; a; a2 ; b; ab; ba = a2 bg‬וזוהי התאמה חח״ע ועל בין ‪ G‬ו־‬ ‫‪ .D3 = S3‬מכיוון שנשמרים כל היחסים בין האיברים ב־ ‪ G‬וב־ ‪ S3‬אזי ההתאמה מהווה איזומורפיזם‪.‬‬ ‫לכן ‪ G‬איזומורפית ל־ ‪.S3‬‬ ‫כל האיברים מסדר ‪ 2‬אזי היא אבלית )הוכח את הטענה(‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫וזו סתירה כי ‪G‬‬ ‫‪e; a; a2 ; b ,a2 6= b ,a‬‬ ‫לא אבלית‪.‬‬