‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫מבוא‬ ‫שמות לקבוצות מוכרות‪:‬‬ ‫‪ = ‬המספרים הטבעיים‪.‬‬ ‫‪ = ‬המספרים השלמים‪.‬‬ ‫‪ = ‬המספרים הרציונאליים‪.‬‬ ‫‪ = ‬המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫‪ = ‬המספרים המרוכבים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , A‬קבוצת מספרים ממשיים‪ ,‬אז‪ = A :‬המספרים האי‪-‬שליליים ב‪. A -‬‬ ‫‪ = A‬המספרים האי‪-‬חיוביים ב‪. A -‬‬ ‫הערה‪ , ,  :‬הם שדות‪.‬‬ ‫אינדוקציה‪:‬‬ ‫כדי להוכיח טענה עבור מספרים טבעיים יש‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬להוכיחה עבור ‪. n  1‬‬ ‫ב‪ .‬מתוך נכונות ל‪ , k -‬להוכיח ל‪. k  1 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬להוכיחה עבור ‪. n  1‬‬ ‫ב‪ .‬מתוך נכונות לכל ‪ , n  k‬להוכיח נכונות ל‪. n -‬‬ ‫אם א‪+‬ב מתקיימים‪ ,‬הטענה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫עיקרון הסדר הטוב‪ :‬בכל תת קבוצה לא ריקה של המספרים הטבעיים יש איבר קטן ביותר‪.‬‬ ‫תכונות של מספרים שלמים‪:‬‬ ‫משפט פירוק יחיד לשארית‪ :‬לכל שני מספרים ‪ b  a‬קיימים ‪ q, r‬יחידים כך ש‪a  bq  r :‬‬ ‫) ‪.( 0  r  a‬‬ ‫צירוף שלם‪ :‬יהיו ‪ . a, b  ‬המספר ‪  a   b‬נקרא צירוף שלם של ‪ a‬ו‪ b -‬כאשר המקדמים‬ ‫שלמים‪.‬‬ ‫‪c | a  q1 : a  cq1‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל ‪ b, a  N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪c | b  q2 : b  cq2‬‬ ‫‪ a   b   cq1   cq2  c( q1   q2 )  c |  a   b‬‬ ‫תוצאות מיידיות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל ‪ a  ‬מתקיים‪.1| a :‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל ‪ a  0‬מתקיים‪. a | 0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  1  a |1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a | b‬‬ ‫‪b | c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a | b‬‬ ‫‪a  b  ‬‬ ‫‪b | a‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ a | b‬וגם ‪ a | c‬אז‪ a |  b   c :‬עבור כל‬ ‫‪., ‬‬ ‫‪) a | c  ‬טרנזיטיביות(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫מספרים ראשוניים‪ :‬מספר ראשוני ‪ p‬הוא מספר גדול מ‪ ,1-‬המתחלק רק ב‪.  p, 1 -‬‬ ‫משפט פירוק של מספרים טבעיים‪ :‬יהא ‪ n‬טבעי גדול מ‪ .1-‬אז‪ n  p11 p2 2  pk  k :‬כאשר‬ ‫‪ p1 , p2 , , pk‬מספרים ראשוניים שונים‪ .‬אז הפירוק הוא חד‪-‬ערכי‪.‬‬ ‫קבוצת השארית מודולו ‪ :n‬הקבוצה }‪. Z n  {0,1, 2, , n  1‬‬ ‫טענה‪ :‬הקבוצה ‪ Z p‬הינה שדה אם"ם ‪ p‬ראשוני‪.‬‬ ‫המחלק המשותף המקסימאלי )‪ :(gcd‬יהיו ‪ . a, b  ‬אז הממג"ב )מחלק משותף גדול ביותר(‬ ‫שלהם יסומן‪  a, b   gcd  a, b   d :‬וגם מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.d  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ d | a‬וגם ‪. d | b‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ c  ‬וגם ‪ c | a, c | b‬אז‪. c | d :‬‬ ‫דגש‪ d :‬הוא תמיד מספר חיובי‪.‬‬ ‫ביטוי ע"י פירוק לראשוניים‪.  a, b   p1min{i1 , j1 } p2 min{i2 , j2 }  pk min{ik , jk } :‬‬ ‫הערה‪ a, b   :‬אם ‪  a, b   1‬אז ‪ a, b‬הם מספרים זרים‪.‬‬ ‫טענה‪ a, b :‬זרים אם"ם קיימים מספרים ‪ x, y‬כך שמתקיים‪. ax  by  1 :‬‬ ‫האלגוריתם של אוקלידס‪:‬‬ ‫יהיו ‪a, b  ‬‬ ‫‪ r1  a ‬‬ ‫‪ r2  r1 ‬‬ ‫ונניח בה"כ ש‪ . 0  a  b :‬אז‪ r3  r2  :‬‬ ‫‪b  aq1  r1‬‬ ‫‪a  r1q2  r2‬‬ ‫‪r1  r2 q3  r3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪rk  2  rk 1 qk  rk   0 ‬‬ ‫האלגוריתם מסתיים כאשר מקבלים שארית אפס‪.‬‬ ‫טענה‪ rk 1 :‬הוא המחלק המשותף המקסימאלי‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ d   a, b ‬אז קיימים ‪  ,   ‬כך ש‪. d   a   b :‬‬ ‫הכפולה המשותפת הקטנה ביותר )‪ :(lcm‬יהיו ‪ . a, b  ‬אז הכמק"ב שלהם יסומן‪ [a, b]  c :‬וגם‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.c  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. a | c, b | c‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם קיים ‪ e  ‬כך ש ‪ a | e, b | e‬אז‪. c | e :‬‬ ‫ביטוי ע"י פירוק לראשוניים‪.  a, b   p1max{i1 , j1 } p2 max{i2 , j2 }  pk max{ik , jk } :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫יחס שקילות‪:‬‬ ‫יחס שקילות בקבוצה ‪ A‬הוא "קשר" בין חלק מאברי הקבוצה‪ ,‬סימון‪ . R,  :‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫יחס רפלקסיבי‪ R :‬נקרא יחס רפלקסיבי אם"ם‪ a ) a  A : a R a :‬קשור לעצמו(‪.‬‬ ‫יחס סימטרי‪ R :‬נקרא יחס סימטרי אם"ם‪. a R b  b R a :‬‬ ‫יחס טרנזיטיבי‪ R :‬נקרא יחס טרנזיטיבי אם"ם‪. a R b  b R c  a R c :‬‬ ‫דוגמא‪ :‬תהי ‪ . A  Z‬נגדיר יחס על ‪, a  b  kn  n | a  b  a  b  mod n  : Z‬‬ ‫כלומר‪ :‬ההפרש בין ‪ a‬ל‪ b -‬מתחלק ל‪. n -‬‬ ‫קונגרואנציה‪ n , a, b   :‬טבעי‪ .‬נסמן את השארית של חלוקת ‪ a‬ב‪ n -‬כך‪. a  mod n  , a  n  :‬‬ ‫אומרים ש‪ a -‬קונגרואנטי ל‪ b -‬מודולו ‪ n‬ומסמנים‪. a  b  mod n   n | a  b :‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ a  b  mod n ‬ו‪ c  d  mod n  -‬אז‪:‬‬ ‫א‪. a  c  b  d  mod n  .‬‬ ‫ב‪. a  c  b  d  mod n  .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪. t   , at  b t  mod n ‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪.    ,  a   b  mod n ‬‬ ‫מחלקת שקילות‪:‬‬ ‫יהי ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ A‬ויהי ‪ . a  A‬נסמן‪ - [a]  {x  A | aRx} :‬מחלקת השקילות של‬ ‫‪) a‬וזוהי קבוצת כל האיברים שהם ביחס שקילות עם ‪.( a‬‬ ‫טענה‪) a  [a ] :‬כי יחס שקילות הוא רפלקסיבי(‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬יהי ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪. A‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ a, b  A‬מתקיים‪ [a]  [b] :‬או ‪. [a]  [b]  ‬‬ ‫‪} .2‬איחוד כל מחלקות השקילות הזרות{ = ‪. A‬‬ ‫הופכי מודולו ‪ :n‬יהי ‪ . a  ‬ל‪ a -‬יש הופכי מודולו ‪ n‬אם קיים ‪ a‬כך ש‪. a  a  1 mod n  -‬‬ ‫סימון‪. a  a 1 :‬‬ ‫דוגמא‪ :‬ההופכי של ‪ 7‬מודולו‪ 12-‬הוא‪. 7  a 1  1 mod 12   a 1  7 :‬‬ ‫משפט‪ :‬ל‪ a -‬יש הופכי מודולו ‪ n‬אם"ם‪)  a, n   1 :‬הם מספרים זרים(‪.‬‬ ‫מציאת המספר ההופכי‪ :‬נמצא את הצירוף השלם של ‪ a‬ו‪ n -‬שנותן‪ .1-‬המקדם של ‪ a‬בצירוף הוא‬ ‫‪. a 1‬‬ ‫מספר נגדי‪ :‬מספר נגדי של ‪ a‬הוא מספר ‪ b‬המקיים‪. a  b  0 :‬‬ ‫ב‪ Z n -‬הנגדי של ‪ a‬הוא‪ n  a :‬כי‪. a   n  a   n  0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫טענה‪ :‬ב‪ Z n -‬יש בדיוק ‪ n‬מחלקות שקילות שונות‪.‬‬ ‫‪a  c  a  c‬‬ ‫נגדיר ב‪ Z n -‬שתי פעולות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  c  a  c‬‬ ‫‪‬‬ ‫החיבור והכפל ב‪ Z n -‬נעשים מודולו ‪. n‬‬ ‫‪‬‬ ‫החיבור והכפל אינם תלויים בבחירת הנציגים‪.‬‬ ‫תכונות ב‪:Zn-‬‬ ‫‪‬‬ ‫קומוטטיביות בכפל ובחיבור‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אסוציאטיביות בכפל ובחיבור‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫איבר אדיש חיבורי ב‪. 0 - Z n -‬‬ ‫‪‬‬ ‫איבר אדיש כפלי ב‪. 1 - Z n -‬‬ ‫‪‬‬ ‫איבר נגדי‪ :‬הנגדי למחלקה ‪ i‬הוא ‪. n  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫איבר הופכי בכפל לא תמיד קיים לכל איבר‪ .‬קיים רק כאשר ‪ Z p‬ו‪ p -‬ראשוני‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬ב‪ Z n -‬יש הופכי לאיבר ‪ i‬אם"ם ‪.  i, n   1‬‬ ‫‪ x  a  mod n ‬‬ ‫טענה‪ :‬אם‬ ‫‪ x, n   1‬‬ ‫‪ ‬אזי גם ‪.  a, n   1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫חבורות‬ ‫הגדרת חבורה‪ :‬תהי ‪ G  ‬ותהי * פעולה בינארית המוגדרת על אברי ‪ G . G‬נקראת חבורה‬ ‫ביחס לפעולה * אם‪:‬‬ ‫‪ .1‬ב‪ G -‬יש סגירות לפעולה * ‪ a, b  G :‬אז‪. a * b  G :‬‬ ‫‪ .2‬הפעולה אסוציאטיבית‪ a, b, c  G :‬אז‪.  a * b  * c  a *  b * c  :‬‬ ‫‪ .3‬קיים ב‪ G -‬איבר "אדיש" לפעולה )איבר יחידה( המסומן ע"י ‪ e‬המקיים‪:‬‬ ‫‪. a  G : a * e  e * a  a‬‬ ‫‪ .4‬לכל ‪ a  G‬יש הופכי ‪ a 1  G‬כך ש‪. a 1 * a  a * a 1  e :‬‬ ‫הערה‪ :‬בד"כ ‪. a * b  b * a‬‬ ‫חבורה אבלית‪ :‬אם ‪ a * b  b * a‬לכל ‪ . a, b  G‬נקראת גם חבורה קומוטטיבית‪.‬‬ ‫דוגמאות חשובות לחבורות ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל שדה ‪  F ,   , (, , ) F‬היא חבורה אבלית‪. x 1   x , e  0 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}‪  F * ,  , F *  F \ {0‬היא חבורה אבלית‪, e  1 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. x 1 ‬‬ ‫הערה‪ :‬הסגירות לא נפגעה כי לא תיתכן מכפלת מספרים שונים מ‪ 0-‬שתהיה ‪.0‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל מרחב וקטורי ‪ V ,   , V‬היא חבורה אבלית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ,  ‬היא חבורה אבלית‪. x 1   x , e  0 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  , ‬איננה חבורה )אבל כן אבלית(‪ .‬אין הופכי לאף איבר פרט ל ‪. 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= nZ‬הכפולות של ‪ . {0,  n, 2n,...} = n‬חבורה אבלית לגבי ‪.+‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪  A,  , A  {x   || x | 1‬היא חבורת שורשי היחידה )מספרים מרוכבים על מעגל ברדיוס ‪1‬‬ ‫מהראשית(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ B  { f : F  F | f is a function‬ונגדיר‪:‬‬ ‫‪ g  x   f  x   g  x ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ . f  x  , g  x   B :‬אז‪  B,   :‬זו חבורה‪, e  f  x   0 .‬‬ ‫‪. f 1  x    f  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Z n‬היא חבורה ביחס לחיבור מחלקות )מודולו ‪. x 1  n  x , e  0 .( n‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ U n . U n  {a  Z n |  a, n   1‬היא חבורה אבלית ביחס לכפל מחלקות )מודולו ‪.( n‬‬ ‫קיום הופכי נובע מהמשפט‪   a, n   1 :‬ל‪ a -‬יש הופכי מודולו ‪. n‬‬ ‫‪‬‬ ‫חבורת ה‪ 4-‬של קליין‪. a  b  b  a , a 2  b 2  e . {e, a, b, a  b} :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - F m ,n‬אוסף המטריצות מסדר ‪ m  n‬מעל ‪ F m ,n . F‬חבורה אבלית ביחס לחיבור מטריצות‪.‬‬ ‫חבורות לא קומוטטיביות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - GL  n, F ‬אוסף המטריצות הממשיות ההפיכות מסדר ‪ . n  n‬זו חבורה ביחס לכפל מטריצות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - SL  n, F ‬כל המטריצות מסדר ‪ n  n‬עם דטרמיננטה שווה ל‪ .1-‬חבורה לגבי כפל מטריצות‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫תכונות בסיסיות בחבורה‪:‬‬ ‫תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * אז‪:‬‬ ‫‪ .1‬האדיש הוא יחיד‪.‬‬ ‫‪ .2‬לכל איבר יש הופכי יחיד‪.‬‬ ‫‪ .3‬חוקי צמצום‪) b  c  a * b  a * c :‬צמצום משמאל(‪.‬‬ ‫‪) a  b  a * c  b * c‬צמצום מימין(‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ a * b  b * c‬זה לא גורר ‪. a  c‬‬ ‫‪x  a1 * b‬‬ ‫‪ .4‬למשוואות‪:‬‬ ‫‪y  b * a 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a  ‬‬ ‫‪a * x  b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬יש פיתרון יחיד‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y * a  b ‬‬ ‫חבורה סופית‪ G :‬חבורה סופית אם מספר האיברים ב‪ G -‬הוא סופי‪ .‬הסדר של חבורה סופית הוא‬ ‫מספר האיברים בה‪.‬‬ ‫דוגמאות‪ , | Z n | n, | S n | n ! :‬פונקציית אויילר‪. | U n |   n  -‬‬ ‫חזקות‪a 2  a * a,  , a k  a k 1 * a :‬‬ ‫‪. a 0  e, a1  a,‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. a m * a n  a m n‬‬ ‫‪ a mn‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪. a‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪m 1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪   a ‬‬ ‫‪ b 1 * a 1‬‬ ‫‪. a 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a * b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪.(  a * b   a * b‬‬ ‫משפט‪ :‬בטבלת כפל של חבורה סופית‪ ,‬מופיעים כל איברי החבורה פעם אחת בדיוק‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬קבוצה ‪ G‬עם סגירות ואסוציאטיביות תהיה חבורה אם יתקיימו‪:‬‬ ‫‪ .1‬קיים ‪ e  G‬כך ש‪ .2 . a  G , ae  a :‬לכל ‪ , a  G‬קיים ‪ b  G‬כך ש‪. ab  e :‬‬ ‫תמורות‪:‬‬ ‫‪ - S A‬החבורה הסימטרית על ‪ . A‬אברי החבורה הן הפונקציות החח"ע ועל מ‪ A -‬על ‪ A‬והפעולה היא‬ ‫הרכבת פונקציות‪ .‬הערה‪ :‬אם }‪ A  {1, 2,3, , n‬אז מסמנים‪. S A  S n :‬‬ ‫‪ S n‬היא חבורה לא אבלית ביחס להרכבת פרמוטציות‪.     i      i   .‬‬ ‫טענות לגבי הרכבת פונקציות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אם ‪ f , g‬הן חח"ע ועל אז גם ‪ f  g‬היא חח"ע ועל‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אסוציאטיביות‪. f   g  h    f  g   h :‬‬ ‫‬‫‪-‬‬ ‫‪- I‬פונקצית הזהות‪,‬‬ ‫‪ x   I  f  x    f  x  ,  f  I  x   f  I  x    f  x ‬‬ ‫‪.I  f‬‬ ‫לכל ‪ f‬חח"ע ועל יש ‪ f 1‬ועל כך ש‪. f  f 1  f 1  f  I :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫תת‪-‬חבורה‪:‬‬ ‫תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * ‪ .‬תהי ‪ H  ‬תת‪-‬קבוצה של ‪ H . G‬נקראת תת‪-‬חבורה של ‪G‬‬ ‫אם ‪ H‬היא חבורה ביחס לפעולה * ‪ .‬סימון‪. H  G :‬‬ ‫טענה‪ :1-‬תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * ‪ H .‬היא תת‪-‬חבורה אם‪:‬‬ ‫‪H   .1‬‬ ‫‪ .2‬ב‪ H -‬יש סגירות לפעולה ‪. a * b  H  a, b  H‬‬ ‫‪ .3‬ב‪ H -‬יש סגירות להופכי ‪. a 1  H  a  H‬‬ ‫טענה‪ :2-‬תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * ‪ H  G .‬היא תת‪-‬חבורה אם‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪) e  H‬נובע מכך ש‪.( H   -‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ H‬סגורה ל" חילוק" ‪) a * b 1  H  a, b  H‬כולל בתוכו סגירות להופכי וקיום אדיש(‪.‬‬ ‫תת‪-‬חבורה טריוויאלית‪ G :‬ו‪. {e} -‬‬ ‫דוגמא‪ :‬ת"ח של ‪ . n  {nx : x  } :  ,  ‬ואלו הת"ח היחידות של ‪. ‬‬ ‫טענות חשובות‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫חיתוך של תת חבורות של ‪ G‬הוא גם תת‪-‬חבורה של ‪. G‬‬ ‫‪o‬‬ ‫אם ‪ H‬תת‪-‬חבורה של ‪ G‬ולוקחים איבר ‪ g  G‬אזי גם ‪ g 1 Hg‬תת חבורה של ‪. G‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ .‬אז לכל ‪ a  G‬קיים ‪ k  ‬כך ש‪. a 1  a k -‬‬ ‫הערה‪ :‬ולכן כדי שתת‪-‬קבוצה ‪ H  ‬תהיה ת"ח של ‪ , G‬מספיק לבדוק סגירות לפעולה ואין צורך‬ ‫לבדוק סגירות להופכי‪.‬‬ ‫חבורות ציקליות‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה יהי ‪ , a  G‬נגדיר‪ .  a  {a s : s  } :‬כאשר ‪ G‬סופית‪ ,‬ניתן להשמיט‬ ‫חזקות שליליות‪} :‬‬ ‫‪o a  1‬‬ ‫‪.  a  {e, a, a 2 , , a‬‬ ‫טענה‪  a  :‬היא ת"ח של ‪ , G‬והיא הת"ח המינימאלית המכילה את ‪ , a‬כלומר‪ :‬כל ת"ח המכילה‬ ‫את ‪ a‬מכילה גם את ‪.  a ‬‬ ‫‪  a ‬נקראת הת"ח הנוצרת ע"י ‪. a‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)   1  1  :  ,  ‬כל מספר ב‪  -‬ניתן ליצור ע"י חיבור של ‪ 1‬או של ‪.(-1‬‬ ‫‪ ‬היא חבורה ציקלית אינסופית הנוצרת מ‪ 1-‬או מ‪.-1‬‬ ‫‪ n‬היא ת"ח ציקלית אינסופית הנוצרת ע"י ‪. n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - H  {z  C * : z n  1} :  , ‬קבוצת שורשי היחידה מסדר ‪. n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪  i sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ - H    ,   cos ‬ת"ח ציקלית מסדר ‪.( { ,  2 ,  3 , ,  n } ) n‬‬ ‫}‪ U10 . U10  {1,3,7, 9‬היא חבורה ציקלית הנוצרת ע"י ‪ 3‬וגם נוצרת ע"י ‪.7‬‬ ‫‪ 7  71  7, 7 2  9, 7 3  3, 7 4  1‬‬ ‫‪ 3  31  3, 32  9, 33  7, 34  1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ציקלית‪ ,‬אז כל ת"ח של ‪ G‬היא גם ציקלית‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ציקלית מסדר‪ . n -‬אז לכל‪ m | n :‬יש ת"ח ציקלית מסדר ‪) m‬והיא יחידה(‪.‬‬ ‫יצירת ת"ח מסדר ‪    n, nn   nnm  m : m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ o a‬והיא נוצרת ע"י‪ :‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. a‬‬ ‫טענה‪ :‬חבורה ציקלית היא חבורה אבלית‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ G   g ‬חבורה ציקלית מסדר ‪ , n‬אזי ‪ g i‬יוצר את ‪ G‬אם"ם ‪.  i, n   1‬‬ ‫סדר של איבר‪ :‬בחבורה סופית לכל איבר ‪ a‬קיים ‪ m‬טבעי כך שמתקיים‪ . a m  e :‬ה‪m -‬‬ ‫המינימאלי עבורו מתקיים ‪ a m  e‬נקרא‪ :‬הסדר של ‪ a‬והסימון הוא‪. o  a  :‬‬ ‫דוגמא‪. o 1  1, o  3  4, o  7   4, o  9   2 , U10  {1,3,7, 9} :‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ o  a   1‬אם"ם‪. a  e :‬‬ ‫‪‬‬ ‫|‪) o  a   | a ‬הסדר של ‪ a‬הוא מספר החזקות השונות של ‪ a‬עד שמגיעים שוב ל‪.( e -‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם | ‪ o  a   | G‬אז ‪ G‬ציקלית ו‪ a -‬יוצר אותה‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ a m  e‬אז‪. o  a  | m :‬‬ ‫טענה‪ , | G | n :‬אם ‪ o  a   n‬אז‪   nn, k  :‬‬ ‫מסקנה‪ o  a   o  a  :‬אם"ם‪.  n, k   1 :‬‬ ‫‪. o ak ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫פונקציית אויילר‪ ,   n  | U n | :‬כלומר ‪   n ‬סופרת את מספר האיברים ב‪ zn -‬הזרים ל‪. n -‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ P‬ראשוני ‪.   n   P  1 ‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ P‬ראשוני ‪.  P   P  1 P 1  P  P 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.   ab     a     b    a, b   1 .3‬‬ ‫טענה‪ :‬מספר היוצרים של חבורה ציקלית מסדר ‪ n‬הוא‪.   n  :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫משפט לגרנז'‬ ‫לגרנז‪:‬‬ ‫משפט לגרנז'‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה סופית ותהי ‪ . H  G‬אזי‪) | H | | G | :‬מספר האיברים ב‪ H -‬מחלק‬ ‫את מספר האיברים ב‪.( G -‬‬ ‫הערה‪ :‬למעשה‪. | G || H | [G : H ] -‬‬ ‫טענה‪ :‬כל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית וכל איבר מהחבורה השונה מ‪ e -‬הוא יוצר שלה‪.‬‬ ‫מסקנה‪ G :‬חבורה סופית‪ , a  G ,‬אזי‪. o  a  | G | :‬‬ ‫קוסטים‪:‬‬ ‫הגדרה‪ G :‬חבורה ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה של ‪ . G‬לכל ‪ a  G‬נגדיר‪:‬‬ ‫קוסט ימני )מחלקה ימנית( של ‪ H‬ב‪. Ha  {ha : h  H } : G -‬‬ ‫קוסט שמאלי )מחלקה שמאלית( של ‪ H‬ב‪. aH  {ah : h  H } : G -‬‬ ‫הערה‪ :‬אם החבורה אבלית‪ ,‬קוסטים ימניים וקוסטים שמאליים הם זהים‪.‬‬ ‫דוגמא‪) H  2  5  2  {5m  2, m  } , a  2 , H  5 , G   ,   :‬זו לא ת"ח(‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬מספר הקוסטים הימניים של תת‪-‬חבורה ‪ H‬בחבורה ‪ G‬יסומן ב‪ [G : H ] :‬וייקרא‪:‬‬ ‫האינדקס של ‪ H‬ב‪.G-‬‬ ‫טענה‪. | H || Ha | :‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה של ‪ . G‬נגדיר יחס בין אברי ‪ G‬בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪ . a  b  ab 1  H‬יחס זה הוא יחס שקילות ומתקיים כי מחלקת השקילות של ‪ a‬היא ‪. Ha‬‬ ‫מסקנות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ha  H‬אם"ם ‪. a  H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ha  Hb‬אם"ם ‪. ab 1  H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ha  Hb  ‬אם"ם ‪. Ha  Hb‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ G‬שווה לאיחוד הקוסטים הימניים הזרים‪.‬‬ ‫משפט‪ G :‬חבורה סופית‪ a  G ,‬אז‪. a|G|  e :‬‬ ‫מסקנה‪ G :‬חבורה סופית‪ a  G ,‬ונניח ש‪ n   -‬כך ש‪ a n  e :‬אז‪. o  a  | n :‬‬ ‫המשפט הקטן של פרמה‪ :‬אם ‪ p‬ראשוני ו‪ a   -‬אזי‪. a p  a  mod p   p | a p  a :‬‬ ‫משפט אויילר‪ :‬יהא ‪ n‬מספר טבעי‪ , a   ,‬כך ש ‪ ,  a, n   1‬אזי ‪a  n   1 mod n ‬‬ ‫) ‪ -   n ‬פונקצית אויילר(‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫דוגמא‪ . U15  {1, 2, 4, 7,8,11,13,14} | U15 |  15   8 :‬נגדיר‪ H  {1, 4, 7,13} :‬אז‪:‬‬ ‫‪| U15 | 8‬‬ ‫‪ . o  7   4  H  7 ‬ולפי המשפט‪  2  [U15 : H ] :‬‬ ‫‪|H | 4‬‬ ‫כלומר‪ :‬יש רק ‪ 2‬קוסטים‬ ‫}‪ H  H 1  H 4  H 7  H 13  {1, 4,7,13‬‬ ‫שונים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ {2,8,11,14‬‬ ‫‪ H 2  H 8  H 11  H 14‬‬ ‫הצמדת איברים‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה‪ a, b . a, b  G ,‬נקראים צמודים אם קיים ‪ x  G‬בחבורה כך ש‪-‬‬ ‫‪) x 1ax  b‬זוהי מעין הכללה של דמיון מטריצות(‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬יחס הצמידות הוא יחס שקילות ולמחלקות השקילות קוראים‪ :‬מחלקות צמידות‪.‬‬ ‫משפט‪ G :‬חבורה סופית‪ , a  G ,‬אז מספר האיברים הצמודים ל‪ a -‬הוא מספר הקוסטים הימניים‬ ‫הזרים של ‪ a‬ב‪ , G -‬כלומר‪. [G : CG  a ] :‬‬ ‫תת‪-‬חבורה נורמאלית‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ N -‬תת‪-‬חבורה‪ .‬אם לכל ‪ g  G‬ולכל ‪ n  N‬מתקיים‪g 1ng  N :‬‬ ‫)סגירות להצמדה( אזי‪ N :‬נקראת תת‪-‬חבורה נורמאלית‪ .‬סימון‪. N  G :‬‬ ‫הערה‪ :‬לכל חבורה יש שתי תתי‪-‬חבורות נורמאליות טריוויאליות‪ G :‬כולה ו‪. {e} -‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬אז ‪ 3‬הטענות הבאות הן שקולות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.N G‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪. g  G , g 1 Ng  N‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪. g  G , Ng  gN‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ H  G‬ו‪ [G : H ]  2 -‬אז‪) H  G :‬ת"ח נורמאלית(‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה קומוטטיבית‪ ,‬אז כל תת חבורה שלה היא נורמאלית‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ G‬קומוטטיבית ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה כלשהי‪ h  H , g  G ,‬אז‪ g 1hg  hg 1 g  h :‬וזה‬ ‫שייך ל‪ H -‬כלומר‪ :‬כל צמוד של איברי ‪ H‬הוא ב‪ H -‬ולכן‪. H  G :‬‬ ‫הרכז‪ :‬הרכז של ‪ a  G‬מוגדר כ‪) CG  a   {x  G : xa  ax} -‬כל האיברים שמתחלפים עם ‪.( a‬‬ ‫זו תת‪-‬חבורה של ‪. G‬‬ ‫המרכז‪ :‬מוגדר כ‪ , z  G   {x  G : xg  gx, g  G} -‬הוא תת חבורה נורמאלית של ‪. G‬‬ ‫‪10‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫חבורת הפרמוטציות )התמורות(‬ ‫הגדרות בסיסיות‪:‬‬ ‫מעגל‪ :‬תמורה שמסומנת ‪    i1 , i2 , , ik   S n‬כאשר‪)   i    i 1 :‬באופן מעגלי( ואם‬ ‫} ‪ j {i1 , i2 , , ik‬אז‪.   j   j :‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬ ‫דוגמא‪ 1, 4, 2, 6   S 7 :‬אז הפרמוטציה היא‪ 4 6 3 2 5 1 7  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מעגלים זרים‪ :‬מעגלים שאין להם אף איבר משותף‪.‬‬ ‫טענות חשובות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל ‪   Sn‬אפשר לרשום כמכפלה של מעגלים זרים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מעגלים זרים הם מתחלפים )קומוטטיביים(‪  ,   S n ) .‬זרים אז ‪.(   ‬‬ ‫משפט‪ :‬הסדר של מעגל באורך ‪ , k‬הוא ‪) k‬חזקה קטנה יותר לא תביא לתמורת הזהות(‪.‬‬ ‫דוגמא‪ 3  1, 6, 2, 4   4  1 4  2  6   e :‬‬ ‫‪  1, 4, 6, 2   2  1, 2  4, 6 ‬‬ ‫משפט‪ :‬תהא ‪ ‬תמורה שהיא מכפלה של מעגלים זרים שאורכיהם ‪ , k1 , k2 , , k s‬אזי הסדר של ‪‬‬ ‫הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ‪) k1 , k2 , , k s‬ה‪.( lcm -‬‬ ‫הופכי של מעגל‪.    i1 , i2 , , ik 1 , ik  ,  1   ik , ik 1 , , i2 , i1  :‬‬ ‫הופכי של תמורה‪ :‬שהיא מכפלה של מעגלים זרים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ j1 ,, jk ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪    i1 ,  , ik  j1 , , jk    i1 , , ik ‬כי מעגלים זרים הם מתחלפים‪.‬‬ ‫תמורות זוגיות ואי‪-‬זוגיות‪:‬‬ ‫טרנספוזיציה‪ :‬מעגל באורך ‪.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל טרנספוזיציה ‪)   e , ‬בגלל שהסדר הוא‪ 2-‬והעלאה בסדר מביאה ל‪.( e -‬‬ ‫משפט‪ :‬כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של טרנספוזיציות‪:‬‬ ‫‪)  i1 , i2 ,  , ik    i1 , i2  i1 , i3    i1 , ik ‬מעגל באורך ‪ k‬ניתן לרשום כ‪ k-1 :‬טרנספוזיציות(‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬ניקח ‪   Sn‬תמורה‪ .‬אם נרשום את כל האופנים של הצגת ‪ ‬כמכפלת טרנספוזיציות‪ ,‬אז‬ ‫מספר הטרנספוזיציות יהיה או זוגי בכולן או אי‪-‬זוגי בכולן‪.‬‬ ‫תמורה זוגית‪ :‬תמורה שניתן לרשום אותה כמכפלה של מספר זוגי של טרנספוזיציות‪.‬‬ ‫תמורה אי‪-‬זוגית‪ :‬תמורה שניתן לרשום אותה כמכפלה של מספר אי‪-‬זוגי של טרנספוזיציות‪.‬‬ ‫הגדרה נוספת‪:‬תמורה ‪ ‬שמספר הזוגות ‪ i  j‬כך ש‪   i     j  :‬הוא מספר זוגי‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬מעגל הוא תמורה זוגית אם"ם אורכו אי‪-‬זוגי‪.‬‬ ‫טענות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫תמורה זוגית כפול תמורה זוגית הינה תמורה זוגית‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫תמורה אי‪-‬זוגית כפול תמורה אי‪-‬זוגית הינה תמורה זוגית‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫תמורה זוגית כפול תמורה אי‪-‬זוגית הינה תמורה אי‪-‬זוגית‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫‪ :An‬אוסף כל התמורות הזוגיות ב‪. S n -‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫טענה‪ An  Sn :‬ו‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) | An |‬חצי מהתמורות הן זוגיות(‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬זו ת"ח נורמאלית בגלל ש ‪. [S n : An ]  2‬‬ ‫הצמדה של מעגל‪ :‬הצמדת המעגל ‪  i1 , i2 ,  , ik ‬ע"י ‪   Sn‬תמורה כלשהי‪:‬‬ ‫‪.   i1 , i2 , , ik   1    i1  ,   i2  , ,   ik  ‬‬ ‫מכפלה של מעגלים‪:‬‬ ‫‪   i1  ,   i2  ,  ,   ik     j1  ,  j2  , ,  jk  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  i1 , i2 , , ik  j1 , j2 , , jk  ‬‬ ‫מסקנה‪ :1-‬הצמדה של תמורה שומרת על מבנה המעגלים שלה‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :2-‬תהי ‪ , N  Sn‬אם ‪ N‬מכילה טרנספוזיציה כלשהי אז ‪ N‬מכילה את כל הטרנספוזיציות‬ ‫)בגלל הסגירות להצמדה בת"ח נורמאלית( ולכן ‪. S n  N‬‬ ‫‪12‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫הומומורפיזם של חבורות‬ ‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ G1 , G2‬חבורות‪ e1 .‬הוא האיבר הניטראלי של ‪ e2 , G1‬הוא האיבר הניטראלי של ‪. G2‬‬ ‫פונקציה ‪  : G1  G2‬נקראת הומומורפיזם אם‪   ab     a    b  :‬לכל ‪. a, b  G1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪in G2‬‬ ‫‪in G1‬‬ ‫גרעין‪. Ker    G1 . Ker    {a  G1 :   a   e2 } :‬‬ ‫תמונה‪. Im    {  a  : a  G1} :‬‬ ‫‪. Im    G2‬‬ ‫הומומורפיזם טריוויאליים ‪:‬‬ ‫הומומורפיזם הזהות‪. I G  a   a , I G : G  G :‬‬ ‫הומומורפיזם הטריוויאלי‪)   a   e2 ,  : G1  G2 :‬שולח את כל האיברים ל‪.( e2 -‬‬ ‫איזומורפיזם‪ :‬הומומורפיזם שהוא חח"ע ועל‪.‬‬ ‫‪ G1‬ו‪ G2 -‬נקראות איזומורפיות אם קיים איזומורפיזם ביניהן‪ .‬סימון‪. G1  G2 :‬‬ ‫מונומורפיזם‪ :‬הומומורפיזם חח"ע‪.‬‬ ‫אפימורפיזם‪ :‬הומומורפיזם על‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪  : G1  G2‬הומומורפיזם‪ e1 , e2 .‬איברים ניטראלים בהתאמה‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.   e1   e2‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל ‪  a 1     a   , a  G1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ker  ‬היא תת‪-‬חבורה נורמאלית של ‪. G1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Im  ‬היא תת‪-‬חבורה של ‪. G2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬חח"ע אם"ם‪) Ker    {e1} :‬הגרעין מכיל רק את האיבר הניטראלי(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬על אם"ם ‪. Im    G2‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל ‪. x 1  ker    x  ker   , x  G1‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל ‪.  ker    x  { y  G |   y     x } , x  G1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪  : G1  G2‬הומומורפיזם על‪ ,‬אזי‪ :‬אם ‪ G1‬קומוטטיבית‪ ,‬אזי גם ‪ G2‬קומוטטיבית ואם‬ ‫‪ G1‬ציקלית אזי גם ‪ G2‬ציקלית‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל חבורה ציקלית אינסופית היא איזומורפית ל‪  -‬לגבי חיבור‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל חבורה ציקלית מסדר ‪ n‬היא איזומורפית ל‪. Z n -‬‬ ‫משפט קיילי‪ :‬תהא ‪ G‬חבורה סופית כך ש‪ , | G | n -‬אז ‪ G‬איזומורפית לתת‪-‬חבורה של ‪S n‬‬ ‫)כלומר קיים איזומורפיזם שמתאים כל איבר ב‪ G -‬לפונקציה חח"ע ועל(‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫חבורות מנה ומשפטי הומומורפיזם‬ ‫‪G‬‬ ‫חבורת מנה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ . N  G -‬נגדיר‪ {Ng : g  G} :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ N‬ב‪ . G -‬נגדיר פעולה בין קוסטים‪.  Na  Nb   Nab, a, b  G :‬‬ ‫כלומר‪ :‬אוסף הקוסטים של‬ ‫‪G‬‬ ‫‪N‬‬ ‫היא חבורה ביחס לפעולה הנ"ל‪ .‬איבר היחידה‪ , Ne  N :‬וההופכי של קוסט ‪ Na‬הוא‪. Na 1 :‬‬ ‫| ‪G |G‬‬ ‫‪‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה סופית אז‬ ‫|‪N |N‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה קומוטטיבית ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה ) ‪ H  G‬כי ‪ G‬קומוטטיבית(‪ ,‬אז‬ ‫‪H‬‬ ‫מוגדרת‬ ‫וגם היא קומוטטיבית‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫משפט‪ G :‬חבורה ו‪ . H  G -‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ב ‪ G‬לקוסט שלו(‪ .‬אז‪  :‬הומומורפיזם ו‪. H  ker   -‬‬ ‫‪  : G ‬כך‪)   g   Hg :‬הפונקציה שולחת איבר‬ ‫משפטי הומומורפיזמים‪:‬‬ ‫משפט האיזומורפיזם הראשון‪ :‬תהא ‪ : G1  G2‬‬ ‫הומומורפיזם‪ .‬אזי‪ Im   :‬‬ ‫‪ker  ‬‬ ‫‪G1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪n  Z n‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫*‪ ‬‬ ‫‪. ker    n, Im    Z n ,   a   a  mod n  ,  :   Z n : ‬‬ ‫‪. ker    N , Im      ,   z  | z | ,  : *  * : ‬‬ ‫*‬ ‫}‪N  {z : | z | 1‬‬ ‫‪SL  n,  ‬‬ ‫‪GL  n,  ‬‬ ‫‪,   A  | A | ,  : GL  n,    * :‬‬ ‫*‪. ker    SL  n,   , Im    ‬‬ ‫משפט האיזומורפיזם השני‪ G :‬חבורה‪ H , N  G ,‬תת‪-‬חבורה‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ HN‬היא תת‪-‬חבורה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪N  NH‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪N H H‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪HN‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪H N‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G K‬‬ ‫משפט האיזומורפיזם השלישי‪ G :‬חבורה‪ K  G , N  G ,‬כך ש‪ . K  N -‬אז‪.    :‬‬ ‫‪N N‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪14‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫שדות וחוגים‪-‬הגדרות‬ ‫חוג‪ :‬קבוצה ‪ (Ring) R‬עם שתי פעולות‪) ,  :‬חיבור וכפל(‪ .‬כל שמתקיימות הדרישות הבאות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ R‬חבורה קומוטטיבית לגבי ‪) +‬אלה להן למעשה ‪ 5‬מאקסיומות השדה(‪.‬‬ ‫איבר ניטראלי יסומן‪ ,0 :‬הופכי של ‪ a‬לגבי ‪ +‬יסומן‪.  a :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ R‬סגורה לגבי ‪ : ‬אם ‪ a, b  R‬אז גם ‪. ab  R‬‬ ‫‪  .3‬היא פעולה אסוציאטיבית‪ a, b, c  R .‬אז‪.  ab  c  a  bc  :‬‬ ‫‪ .4‬פילוג‪ a, b, c  R :‬אז‪:‬‬ ‫‪. a  b  c   ab  ac,‬‬ ‫‪ b  c  a  ba  ca‬‬ ‫הערה‪ :‬יש כאן ‪ 8‬מתוך ‪ 11‬האקסיומות של שדה‪.‬‬ ‫חוג עם יחידה‪ :‬חוג שיש בו איבר ניטראלי לגבי ‪ . ‬איבר זה יסומן‪ 1 :‬ו‪ 1  a  a 1  a :‬לכל ‪. a  R‬‬ ‫חוג קומוטטיבי‪ :‬חוג שבו ‪ ‬היא פעולה קומוטטיבית‪ ab  ba :‬לכל ‪. a, b  R‬‬ ‫מחלק אפס‪ :‬איבר ‪ 0  a  R‬בחוג ‪ R‬כך שקיים ‪ 0  b  R‬ומתקיים‪ ab  0 :‬או ‪. ba  0‬‬ ‫תחום שלמות‪ :‬חוג קומוטטיבי‪ ,‬עם יחידה ובלי מחלקי אפס‪.‬‬ ‫איבר הפיך‪ :‬בחוג עם יחידה ‪ R‬זה איבר ‪ a  R‬כך שקיים ‪ b  R‬המקיים‪. ab  ba  1 :‬‬ ‫חוג עם חילוק‪ :‬חוג עם יחידה שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך‪.‬‬ ‫שדה‪ :‬חוג קומוטטיבי עם חילוק )עם יחידה ובלי מחלקי אפס(‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ : ‬חוג קומוטטיבי עם יחידה לגבי ‪ . , ‬זהו תחום שלמות‪ .‬איברים הפיכים‪. 1,  1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ : 2‬חוג קומוטטיבי בלי יחידה לגבי ‪ . , ‬זה אינו תחום שלמות‪ .‬אין בו איברים הפיכים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ : , , ‬שדות‪ .‬תחומי שלמות לגבי ‪. , ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ :  n‬חוג קומוטטיבי עם יחידה ביחס לחיבור וכפל מודולו ‪ . n‬האיברים ההפיכים הם המספרים‬ ‫הזרים ל‪ . n -‬אם ‪ n‬לא ראשוני‪ ,‬אז זה לא תחום שלמות‪ n ) .‬ראשוני ‪  n ‬שדה(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫קבוצת כל המספרים הרציונאליים מהצורה‬ ‫‪b‬‬ ‫קומוטטיבי לגבי ‪ , ‬ויש בו יחידה‪.‬‬ ‫כאשר ‪ a, b‬הם שלמים זרים ו‪ b -‬אי‪-‬זוגי‪ :‬חוג‬ ‫כל הפונקציות הממשיות הרציפות על ]‪ [0,1‬עם הפעולות חיבור וכפל מטריצות‪ :‬חוג קומוטטיבי‬ ‫עם יחידה‪ .‬לא כל איבר הוא הפיך‪ ,‬יש בו מחלקי אפס ולכן זה אינו תחום שלמות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - M n  F ‬מטריצות ‪ n  n‬מעל השדה ‪ : F‬חוג עם יחידה= ‪ , I‬החוג אינו קומוטטיבי )כי כפל‬ ‫מטריצות הוא לא(‪ ,‬האיברים ההפיכים‪ -‬מטריצות עם דטרמיננטה ‪ , 0 ‬זה אינו תחום שלמות כי‬ ‫יש בו מחלקי אפס‪.‬‬ ‫משפט‪ R :‬הוא חוג‪ .‬אז מתקיימים הדברים הבאים‪:‬‬ ‫‪ 0 .1‬הוא יחיד‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ a  R‬אז‪  a :‬הוא יחיד‪.‬‬ ‫‪ 0a  a 0  0 .3‬לכל ‪. a  R‬‬ ‫‪15‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫‪ a  b     a  b    ab  .4‬לכל ‪. a, b  R‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.   a  b   ab‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪  1 a   a‬אם ‪ R‬הוא חוג עם יחידה‪.‬‬ ‫משפטים‪ -‬תחום שלמות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ D‬תחום שלמות ונתון ש‪ ab  ac :‬אז ניתן לצמצם ולקבל‪. b  c :‬‬ ‫‪‬‬ ‫בשדה אין מחלקי אפס‪ ,‬כלומר‪ ,‬כל שדה הוא תחום שלמות‪.‬‬ ‫משפט‪ R :‬הוא חוג‪ .‬נתון‪ x  x 2 :‬לכל ‪ . x  R‬אז ‪ R‬הוא חוג קומוטטיבי‪.‬‬ ‫משפטים‪ -‬מספר איברים בשדה ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫מספר האיברים בשדה סופי הוא חזקה של מספר ראשוני‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ p‬ראשוני ו‪ n -‬מספר טבעי‪ ,‬אז קיים שדה ובו ‪ p n‬איברים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ F‬שדה סופי אז‪ | F | p n :‬כאשר ‪ p‬הוא ראשוני ו‪ n -‬הוא טבעי ) ‪.( char  F   p‬‬ ‫מציין‪/‬אופיין של שדה‪:‬‬ ‫‪ 1‬נקרא‪ :‬המציין של‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מציין של שדה‪ F :‬הוא שדה‪ .‬המספר הקטן ביותר ‪ m‬כך ש‪1  0 -‬‬ ‫‪m‬‬ ‫השדה או הקרקטריסטיקה של השדה או האופיין של השדה‪ .‬סימון‪. char  F  :‬‬ ‫משפט‪ :‬מציין של שדה הוא או אפס‪ ,‬או מספר ראשוני‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל שדה סופי יש תת‪-‬שדה מסדר‪. char  F  :‬‬ ‫משפט‪ :‬אם שדה סופי ‪ F‬מכיל תת‪-‬שדה ‪ K‬אז הסדר של ‪ F‬הוא חזקה של הסדר של ‪. K‬‬ ‫הערה‪  p :‬הוא שדה עם מציין שווה ל‪. p -‬‬ ‫תת‪-‬חוג‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬חוג ו‪ S -‬תת‪-‬קבוצה לא ריקה של ‪ . R‬אם ‪ S‬היא בעצמה חוג ביחס לפעולות ב‪R -‬‬ ‫אז אומרים ש‪ S -‬היא תת‪-‬חוג‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪ R‬חוג ו‪ S -‬תת‪-‬קבוצה של ‪ R‬אז ‪ S‬היא תת‪-‬חוג אם"ם‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.S  ‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ a, b  S‬מתקיים‪. a  b  S :‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ a, b  S‬מתקיים‪. a  b  S :‬‬ ‫הערה‪ :‬לכל חוג יש שני תתי‪-‬חוגים טריוויאלים‪ :‬החוג עצמו ו‪. {0} -‬‬ ‫‪16‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫אידיאלים‪ ,‬הומומורפיזם של חוגים וחוגי מנה‬ ‫אידיאלים‪:‬‬ ‫אידיאל‪ R :‬חוג‪ I .‬זו קבוצה ב‪ R -‬שנקראת אידיאל ומקיימת‪:‬‬ ‫‪. I   .1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ a, b  I‬אז‪) a  b  I :‬סגירות ל ‪.(+‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ a  I‬אז‪)  a  I :‬סגירות לגבי נגדי בחיבור(‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ x  R , a  I‬אז‪) ax, xa  I :‬בליעה(‪.‬‬ ‫*ניתן לאחד את )‪ (2‬ו‪ (3)-‬לסגירות‬ ‫לחיסור‪a, b  I  a  b  I :‬‬ ‫אידיאל משמש לאותו תפקיד בו משמשת תת‪-‬חבורה נורמאלית בחבורות‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כל אידיאל הוא תת‪-‬חוג )סגירות לחיסור וכפל(‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫בכל חוג יש שני אידיאלים טריוויאלים‪ R :‬ו‪ {0} -‬והם נקראים‪ :‬אידיאלים לא אמיתיים‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ R‬הוא חוג עם יחידה ואם ‪ I‬הוא אידיאל ב‪ R -‬כך ש‪ 1  I -‬אז‪) I  R :‬נובע מבליעה‪:‬‬ ‫כפל ב‪ 1-‬מכניס כל איבר ל‪.( I -‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ F‬הוא שדה ו‪ I  {0} -‬הוא אידיאל ב‪ F -‬אז בהכרח‪) I  F :‬בשדה אין אידיאלים‬ ‫אמיתיים‪ ,‬אך ייתכן חוג שאינו שדה וגם בו אין אידיאלים אמיתיים(‪.‬‬ ‫משפט הפוך‪ :‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי עם יחידה שאין בו אידיאלים אמיתיים‪ .‬אז ‪ R‬הוא שדה‪.‬‬ ‫אידיאל ראשי‪ R :‬חוג קומוטטיבי‪ . a  R ,‬נסמן‪ .  a   {ax | x  R} :‬אז ‪  a ‬הוא אידיאל והוא‬ ‫נקרא‪ :‬האידיאל הראשי הנוצר ע"י ‪ .a‬דוגמא‪ :‬ב‪. 15   15 ,  -‬‬ ‫הומומורפיזם‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬פונקציה ‪ R1 , R2 ,  : R1  R2‬חוגים כך ש‪:‬‬ ‫‪  a  b    a    b ‬‬ ‫‪  ab     a     b ‬‬ ‫גרעין של הומומורפיזם‪ker    {x  R |   x   0} :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.  0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.    a     a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬חח"ע אם"ם }‪. ker    {0‬‬ ‫משפטים‪ -‬תכונות‪  : R1  R2 :‬הומומורפיזם‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪ ker   .1‬הוא תת‪-‬חבורה של ‪ R1‬לגבי ‪ .+‬והוא גם אידיאל ב‪. R1 -‬‬ ‫‪ x  R1 , a  ker   .2‬אז מתקיימת בליעה‪. xa, ax  ker   :‬‬ ‫‪ Im   .3‬הוא תת‪-‬חוג של ‪. R2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫חוג מנה‪:‬‬ ‫חוג מנה‪ :‬יהא ‪ I‬אידיאל בחוג ‪ . R‬יהא ‪ , b  R‬נגדיר קוסט של ‪ . I  b  {x  b | x  I } : b‬זוהי‬ ‫בדיוק הגדרת הקוסט בחבורות‪ ,‬מלבד זאת שהכפל נהפך ל‪.+‬‬ ‫ומתקיים‪ I  b  b  I :‬כי ‪ +‬פעולה קומוטטיבית‪ ,‬ובפרט ‪ I‬תת‪-‬חבורה נורמאלית ב‪ R -‬לגבי ‪.+‬‬ ‫‪R‬‬ ‫נגדיר‪ { I  b | b  R} :‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)אוסף כל הקוסטים של ‪ I‬ב‪.( R -‬‬ ‫‪R‬‬ ‫משפט‪ R :‬חוג‪ I ,‬אידיאל‪ .‬אז‬ ‫‪I‬‬ ‫הוא חוג ביחס לפעולות‪:‬‬ ‫‪ I  a    I  b  I   a  b ‬‬ ‫‪ I  a    I  b   I  ab‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫אם יש ב‪ R -‬יחידה אז‪ I  1 :‬הוא היחידה של‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫אם ‪ R‬קומוטטיבי אז גם‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫אם ‪ R‬הוא חוג עם חילוק‪ ,‬אז גם‬ ‫‪I‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הוא קומוטטיבי‪.‬‬ ‫הוא חוג עם חילוק‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪R‬‬ ‫אם ‪ R‬תחום שלמות‪,‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪R‬‬ ‫אם ‪ I‬אידיאל‪ ,‬אז ‪ I‬הוא גרעין של איזשהו הומומורפיזם‪,   a   I  a :‬‬ ‫‪I‬‬ ‫איננו בהכרח תחום שלמות ולהפך‪.‬‬ ‫‪. : R ‬‬ ‫משפטי איזומורפיזם של חוגים‪:‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫משפט ראשון‪  : R1  R2 :‬הומומורפיזם‪ .‬אז‪ Im   :‬‬ ‫‪ker  ‬‬ ‫‪IJ‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪‬‬ ‫משפט שני‪ I , J :‬הם אידיאלים בחוג ‪ R‬אז‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I J‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫משפט שלישי‪ R , J  I  R :‬חוג‪ I , J ,‬הם אידיאלים‪ .‬אז‪J  R :‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪J‬‬ ‫)כביכול מצמצמים ב‪.( J -‬‬ ‫‪‬‬ ‫משפט‪ :‬כל אידיאל ב‪  -‬הוא מהצורה ‪ n‬כאשר ‪ . n  ‬וגם מתקיים‪  n :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הגדרה‪  a   a  mod n  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  :    n‬אז מתקיים כי ‪ ‬הוא הומומורפיזם בין חוגים‪.‬‬ ‫הוא שדה אם"ם ‪ n‬הוא ראשוני‪.‬‬ ‫משפט‪ R :‬הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ .‬אם }‪ {0‬ו‪ R -‬הם האידיאלים היחידים‪ ,‬אז ‪ R‬הוא שדה‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫משפט‪ :‬יהיו שני חוגים ‪ R1 , R2‬איזומורפיים‪ . R1  R2 :‬אם ‪ R1‬הוא שדה אז גם ‪ R2‬הוא שדה‪.‬‬ ‫‪  1‬זה היחידה של ‪. R2‬‬ ‫אידיאל מקסימאלי‪ :‬יהי ‪ R‬חוג ו‪ I -‬אידיאל ב‪ I . R -‬נקרא אידיאל מקסימאלי אם ‪ I‬לא מוכל בשום‬ ‫אידיאל אחר פרט ל‪ I -‬ו‪. R -‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ 6 :  -‬הוא אידיאל לא מקסימאלי כי למשל‪. 6  3   :‬‬ ‫אבל ‪ 5‬הוא אידיאל מקסימאלי‪.‬‬ ‫טענה‪ n :‬הוא אידיאל מקסימאלי ב‪  -‬אם"ם ‪ n‬ראשוני‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪ = R[ x‬חוג הפולינומים מעל ‪ . R‬נגדיר‪ . M   p  x   R[ x] | p 1  0 :‬אז ‪ M‬הוא אידיאל‬ ‫מקסימאלי ב‪. R[ x ] -‬‬ ‫‪R‬‬ ‫משפט‪ :‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ .‬יהי ‪ I‬אידיאל ב‪ , R -‬אז‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫הוא שדה אם"ם ‪ I‬הוא‬ ‫אידיאל מקסימאלי‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫חוג הפולינומים‬ ‫הגדרה‪= F :‬שדה‪ = F [ x] ,‬אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ב‪. F -‬‬ ‫פולינום= ‪= x , a0 , a1 , , an  F , f  x   a0  a1 x    an x n‬משתנה ב‪. F -‬‬ ‫מעלת הפולינום‪ :‬אם ‪ an  0‬אז ‪ n‬נקרא המעלה של הפולינום ‪ . f  x ‬סימון‪. deg  f  x   :‬‬ ‫פולינום האפס‪ :‬פולינום שכל מקדמיו שווים לאפס‪ .‬מעלת פולינום האפס לא תוגדר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫טענה‪ :‬‬ ‫‪deg  f  x   g  x    max deg  f  x   , deg  g  x  ‬‬ ‫‪deg  f  x   g  x    deg  f  x    deg  g  x  ‬‬ ‫משפט‪ F [ x] :‬זה חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ ,‬בלי מחלקי אפס‪.‬‬ ‫משפט‪ . f  x  , g  x   0  F [ x] :‬אז קיימים שני פולינומים ] ‪ q  x  , r  x   F [ x‬כך ש‪:‬‬ ‫‪ f  x   g  x   q  x   r  x ‬וגם‪. 0  deg  r  x    deg  g  x   :‬‬ ‫אידיאלים ב‪:F[x]-‬‬ ‫משפט‪ :‬כל אידיאל בחוג ]‪ F [ x‬הוא אידיאל ראשי )כפולות של איזשהו פולינום(‪.‬‬ ‫חוג ראשי‪ :‬חוג שכל אידיאל בו הוא ראשי )למשל‪ :‬חוג הפולינומים(‪.‬‬ ‫]‪F [ x‬‬ ‫משפט‪ :‬יהא ]‪ , deg  f  x    n , f  x   F [ x‬אז כל איבר ב‪-‬‬ ‫‪ f  x ‬‬ ‫ניתן להצגה באופן יחיד‬ ‫בצורה‪ a0  a1 x    an 1 x n 1   f  x   :‬כאשר‪a0 , a1 , , an 1  F :‬‬ ‫הערה‪ :‬המשמעות היא שניתן לכתוב את הקוסט של הפולינום )עם האידיאל ‪ (  f  x  ‬ע"י פולינום‬ ‫ממעלה קטנה יותר באופן יחיד‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬נניח ש‪ F -‬שדה ובו ‪ q‬איברים‪ .‬יהא ]‪ f  x   F [ x‬ממעלה ‪ . n‬אז מספר האיברים ב‪-‬‬ ‫]‪F [ x‬‬ ‫‪ f  x ‬‬ ‫הוא‪. q n :‬‬ ‫אם ‪ F  Z p‬אז‪ p n :‬‬ ‫]‪Z p [ x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪[ x‬‬ ‫‪ x  x  2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ x 3  x  2  I  I ,‬כי ‪ x 3  x  2  I‬ולכן כאילו שווה לאפס‪.‬‬ ‫לא תמיד נמצא בביטוי את האידיאל במלואו‪ ,‬ולכן ניתן לכ תוב‪) x 3  I   x  2  I :‬מעין‬ ‫העברת אגפים(‪.‬‬ ‫נחשב מכפלה של קוסטים‪:‬‬ ‫‪ 2 x  2  I  x 2  3 x  I    x 2  2 x  2  x 2  3 x   I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ x  5x  8x  6 x  I‬‬ ‫נציב‪ x 3   x  2 :‬ונקבל‪.   x  2  x  5   x  2   8 x 2  6 x  I  7 x 2  x  10  I :‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪[ x‬‬ ‫‪ x  5x  6 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ,‬נחשב‪.  x  2  I  x  3  I    x  2  x  3  I  x 2  5 x  6  I  I :‬‬ ‫‪20‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬ ‫פריקות של פולינומים‪:‬‬ ‫פולינום אי‪-‬פריק‪ f  x   F [ x] :‬פולינום שמחלקיו היחידים הם‪ :‬אברי ‪) F‬סקלרים( וכפולותיהם‬ ‫באיבר מ‪) F -‬פולינום מאותה מעלה כמו של ‪.( f  x ‬‬ ‫הערה‪ :‬פולינום ממעלה ‪ 2‬או ‪ 3‬הוא פריק אם"ם יש לו שורש‪.‬‬ ‫]‪F [ x‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ f  x ‬‬ ‫הוא שדה אם"ם ‪ f  x ‬הוא פולינום אי‪-‬פריק‪.‬‬ ‫הערה‪ I   f  x   :‬הוא אידיאל מקסימאלי אם"ם ‪ a  x ‬אי‪-‬פריק ב‪. F [ x] -‬‬ ‫משפט‪ , a  F , f  x   F [ x] :‬אז‪:‬‬ ‫‪. f  x    x  a  q  x   f  a  .1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.  x  a | f  x  f a  0‬‬ ‫מסקנה‪ . deg  f  x    2 , f  x   F [ x] :‬אם יש ל‪ f  x  -‬שורש ב‪ F -‬אז ‪ f  x ‬הוא פריק )כי‬ ‫אם ‪ a‬הוא שורש אז‪.( f  x    x  a  q  x  :‬‬ ‫הערה‪ :‬המשפט ההפוך לא נכון‪ .‬לא לכל פולינום פריק יש שורש בשדה‪.‬‬ ‫משפט‪ deg  f  x   , f  x   F [ x] :‬שווה ‪ 2‬או ‪ .3‬אם ‪ f  x ‬פריק‪ ,‬אז יש לו שורש ב‪. F -‬‬ ‫מסקנה‪ f  x   F [ x] :‬ממעלה ‪ 2‬או ‪ ,3‬אז ‪ f  x ‬אי‪-‬פריק מעל ‪ F‬אם"ם אין ל‪ f  x  -‬שורש ב‪-‬‬ ‫‪.F‬‬ ‫משפטים על פריקות בשדות מסויימים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל פולינום ממעלה גדולה מ‪ 1-‬הוא פריק מעל ‪) ‬לפי המשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬לכל‬ ‫פולינום עם מקדמים ב‪ ,  -‬יש שורש ב‪.(  -‬‬ ‫‪‬‬ ‫השורשים המרוכבים מופיעים בזוגות‪ -‬שורש והצמוד שלו‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל פולינום ממעלה לפחות ‪ 3‬ב‪ [ x] -‬הוא פריק מעל ‪. ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל פולינום ממעלה אי‪-‬זוגית‪ ,‬יש לו שורש ממשי ב‪  -‬ולכן הוא פריק‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫יהא ‪ f  x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n‬פולינום עם מקדמים שלמים‪ .‬נניח ש‪-‬‬ ‫‪q‬‬ ‫הוא שבר‬ ‫מצומצם שהוא שורש של ‪ . f  x ‬אז‪ p | a0 :‬וגם‪. q | an :‬‬ ‫משפט אייזנשטיין‪ :‬נניח ש‪ f  x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n -‬כאשר‪a0 , a1 , a2 , , an :‬‬ ‫שלמים‪ .‬ונניח שקיים מספר ראשוני ‪ p‬כך ש‪ p | a0 , p | a1 , p | a2 ,  , p | an 1 :‬וגם‪:‬‬ ‫‪ . p | an , p 2 | a0‬אם כל אלה מתקיימים אז ‪ f  x ‬הוא אי פריק מעל ]‪. [ x‬‬ ‫‪21‬‬ ‫©ענת עציון‬