‫‪-142-‬‬ ‫ניצבות של ישרים וקטעים‬ ‫נתונה זווית ישרה ‪ , ]ABC‬שקודקודה בנקודה ‪ .B‬האריכו את השוק מתחת לנקודה ‪ .B‬לאחר מכן האריכו‬ ‫את השוק משמאל לנקודה ‪.B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הארכת‬ ‫השוק ‪BC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הארכת‬ ‫השוק ‪AB‬‬ ‫ישר ניצב )מאונך( לישר אחר‪ ,‬אם הוא יוצר אתו זוויות ישרות‪.‬‬ ‫• הישר ‪ a‬ניצב )מאונך( לישר ‪.b‬‬ ‫• הישר ‪ b‬ניצב )מאונך( לישר ‪.a‬‬ ‫צורת הרישום היא‪ a = b :‬או ‪. b = a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫מקובל לסמן ישרים על‪-‬ידי אותיות לועזיות קטנות ‪ a,b,c,k‬וכו'‪.‬‬ ‫‪ .4‬בסרטוט שלפניכם כמה ישרים‪.‬‬ ‫א‪ .‬קבעו אילו זוגות של ישרים ניצבים זה לזה‪.‬‬ ‫רשמו את תשובתכם בשפה מתמטית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בדקו את תשובתכם על‪-‬ידי מדידת הזוויות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ציינו בלי לנמק‪ ,‬אליו ישרים לא יחתכו זה את זה‪,‬‬ ‫גם אם נמשיכם עד אינסוף‪.‬‬ ‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪k c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪www.mathstar.co.il‬‬ ‫נוצרו כמתואר בסרטוט ארבע זוויות‪ ,‬שאחת מהן היא ‪. ]ABC‬‬ ‫ידוע כי ‪ ]ABC‬היא זווית ישרה‪ .‬אם תבדקו את שלוש הזוויות האחרות‬ ‫על‪-‬ידי משולש סרטוט‪ ,‬יתברר כי הן גם ישרות‪.‬‬ ‫כלומר‪ :‬שני הישרים שבסרטוט חותכים זה את זה בנקודה ‪,B‬‬ ‫ונוצרות ארבע זוויות ישרות‪. 1 , 2 , 3 , 4 :‬‬ ‫במקרה זה אומרים ששני הישרים ניצבים זה לזה‪.‬‬ ‫במקום המילה "ניצבים" משתמשים לפעמים במונח "מאונכים"‪,‬‬ ‫כלומר שני הישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫‪-143-‬‬ ‫כיצד נבנה אנך לישר מנקודה שעליו )כלומר אם נתון ישר ‪ k‬ועליו נקודה ‪?(A‬‬ ‫כיצד ניתן להעביר דרך נקודה זו ישר שניצב )מאונך( לישר הנתון?‬ ‫•‬ ‫בנייה בעזרת משולש סרטוט‬ ‫שלב א'‪ :‬מצמידים את המשולש לישר כמתואר בסרטוט‪.‬‬ ‫שלב ב'‪ :‬מסרטטים את הקרן החדשה‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שלב ב'‬ ‫שלב א'‬ ‫‪ .5‬נתון ישר ועליו נתונה נקודה‪.‬‬ ‫העתיקו את הסרטוטים למחברתכם‪ ,‬ובנו ישר המאונך לישר הנתון ועובר דרך הנקודה הנתונה‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ג‪a .‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫תשובות‪ :‬בדקו עם המורה‪.‬‬ ‫‪ .6‬נתון ישר ‪ k‬ועליו שתי נקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫א‪ .‬בנו ישרים המאונכים לישר ‪ k‬והעוברים דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫ב‪ .‬ציינו בלי לנמק‪ ,‬האם שני הישרים שבניתם ייפגשו בנקודה כלשהי?‬ ‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫כיצד נבנה אנך לישר מנקודה חיצונית )כלומר מנקודה שאינה על הישר(?‬ ‫נתון ישר ‪ k‬ונקודה ‪ ,A‬הנמצאת מחוץ לישר‪.‬‬ ‫כיצד ניתן לבנות ישר הניצב )מאונך( לישר הנתון דרך הנקודה ‪?A‬‬ ‫בנייה בעזרת משולש סרטוט‬ ‫שלב א'‪ :‬מצמידים את משולש הסרטוט לישר ומגלישים אותו לכיוון הנקודה ‪.A‬‬ ‫שלב ב'‪ :‬עוצרים את משולש הסרטוט כאשר הוא מגיע לנקודה ‪ A‬ומסרטטים קרן‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ג‬ ‫לישה‬ ‫נס‬ ‫קרןרטט‬ ‫שלב ב'‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬ ‫שלב א'‬ ‫‪www.mathstar.co.il‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪-144-‬‬ ‫‪ .7‬נתון ישר ונתונה נקודה מחוצה לו‪.‬‬ ‫העתיקו את הסרטוטים למחברתכם‪ ,‬ובנו אנך לישר הנתון דרך הנקודה הנתונה‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תשובות‪ :‬בדקו עם המורה‪.‬‬ ‫שני קטעים מאונכים זה לזה‪ ,‬אם הם מונחים‬ ‫על שני ישרים המאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫כלומר‪ :‬אם ‪ ,t k‬אזי ‪. AB = CD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪t‬‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫קטע ‪ -‬חלק של ישר המוגבל על‪-‬ידי שתי נקודות‪ .‬לשתי הנקודות‬ ‫‪B‬‬ ‫הללו קוראים "קצות הקטע"‪ ,‬ומקובל לסמן אותן באותיות לועזיות‬ ‫גדולות‪.A ,B ,C ,D ,... :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫אם קצות הקטע נקראים ‪ A‬ו‪ ,B-‬אזי מדובר בקטע ‪.AB‬‬ ‫הערה חשובה‪:‬‬ ‫כאשר מדובר בקטע ‪ ,AB‬חשוב לציין את המילה קטע‪ ,‬כלומר קטע ‪ ;AB‬מאחר שבאמצעות‬ ‫שתי האותיות הללו קוראים גם לישר ‪ -‬למשל‪ ,‬ישר ‪ - AB‬כאשר הכוונה לישר העובר דרך‬ ‫שתי הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫כדי למנוע אי‪-‬בהירות‪ ,‬יש לציין תמיד אם מדובר בקטע ‪ AB‬או בישר ‪.AB‬‬ ‫‪ .9‬לפניכם כמה מרובעים‪ .‬קבעו אילו קטעים בהם מאונכים זה לזה‪ ,‬ורשמו אותם בשפה מתמטית‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬ ‫‪E‬‬ ‫‪www.mathstar.co.il‬‬ ‫‪ .8‬נתון ישר ‪ m‬ונתונות שתי נקודות ‪ A‬ו‪ B-‬מחוצה לו‪.‬‬ ‫א‪ .‬בנו אנכים לישר ‪ m‬דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫ב‪ .‬ציינו בלי לנמק‪ ,‬האם שני הישרים שבניתם ייפגשו בנקודה כלשהי?‬ ‫תשובות‪ :‬בדקו עם המורה‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪-145‬‬‫‪ .10‬נתונים שני קטעים ‪ AB‬ו‪.BC-‬‬ ‫נתון‪.AB BC :‬‬ ‫א‪ .‬העתיקו במדויק את הקטעים ‪ AB‬ו‪ BC-‬לדף משובץ במחברתכם‬ ‫וסמנו את הנקודה ‪ D‬על הדף‪ ,‬כך ש‪ DA AB-‬ו‪.DC BC-‬‬ ‫ב‪ .‬כמה נקודות כאלה ניתן לסמן לדעתכם?‬ ‫ג‪ .‬מהו סוג הזווית ‪) ADC‬במידת הצורך היעזרו במשולש סרטוט(?‬ ‫ד‪ .‬מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ DA‬ו‪?DC-‬‬ ‫ה‪ .‬מה תוכלו לומר על המרובע ‪ ?ABCD‬הסבירו‪.‬‬ ‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬ ‫•‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נגדיר כעת אנך אמצעי לקטע‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫כיצד נבנה אנך אמצעי?‬ ‫למה הכוונה כשאומרים "שני קטעים השווים באורכם"?‬ ‫בנייה בעזרת קיפולי נייר‪.‬‬ ‫שלב א'‪ :‬על הנייר מסרטטים קטע כלשהו ‪.AB‬‬ ‫שלב ב'‪ :‬מקפלים את הנייר כך שהקצה ‪ A‬של הקטע יתלכד במדויק עם הקצה ‪ B‬של‬ ‫הקטע‪.‬‬ ‫שלב ג' ‪ :‬פותחים את הנייר ומסרטטים קו על קו הקיפול‪ ,‬הנקרא ישר ‪.m‬‬ ‫נקודת החיתוך של הישר ‪ m‬עם הקטע תסומן ב‪.C-‬‬ ‫שלב ד'‪ :‬התקבל ישר שניצב לקטע הנתון וחוצה אותו‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫קו‬ ‫הקיפ‬ ‫ול‬ ‫התל‬ ‫קצו כדות‬ ‫ות‬ ‫ה‬ ‫ק‬ ‫טע‬ ‫‪AC‬‬ ‫קו ה‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫קיפול‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שימו לב!‬ ‫התקבלו שני קטעים ‪ AC‬ו‪ CB-‬המתלכדים כאשר מקפלים את הדף‪.‬‬ ‫זו בדיוק הכוונה כאשר מדברים על שוויון של אורכי הקטעים ורושמים‪.AB = BC :‬‬ ‫הקטע ‪ AB‬נחצה‪ ,‬לכן לנקודה ‪ C‬קוראים נקודה אמצעית‪.‬‬ ‫זכרו!‬ ‫לחצות קטע פירושו לחתוך אותו לשני קטעים שווים באורכם‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬ ‫‪www.mathstar.co.il‬‬ ‫אנך אמצעי לקטע הוא ישר המאונך לקטע‬ ‫וחוצה אותו‪.‬‬ ‫)כלומר מחלק אותו לשני קטעים‬ ‫שווים באורכם(‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪-146‬‬‫‪ .11‬הישר ‪ a‬הוא אנך אמצעי לקטע ‪ PQ‬וחותך אותו בנקודה ‪.E‬‬ ‫‪K‬‬ ‫הנקודה ‪ K‬מונחת על הישר ‪.a‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ PE‬ו‪ ?EQ -‬הסבירו‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הזוויות ‪ KEQ‬ו‪ ?KEP -‬הסבירו‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬ ‫‪ .12‬נתונים שני קטעים ‪ AB‬ו‪ BC -‬כך ש‪.AB BC -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הישר ‪ m‬אנך אמצעי לקטע ‪ .AB‬הישר ‪ k‬אנך אמצעי לקטע ‪.CB‬‬ ‫התבוננו בסרטוט וענו על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מהו סוג הזווית ‪ ?DFB‬הסבירו‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מהו סוג הזווית ‪ ?FDE‬העזרו בתשובתכם במשולש סרטוט‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫מהו סוג המרובע ‪ ?BEDF‬הסבירו‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ AE‬ו‪ ? EB-‬הסבירו‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫מה תוכלו לומר על הקטעים ‪ CF‬ו‪ ?FB -‬הסבירו‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫תשובות‪ :‬בעמ' ‪193‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות ‪ -‬יצחק שלו & אתי עוזרי ‪ -‬מתמטיקה לכיתה ז' ‪ -‬אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪www.mathstar.co.il‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מהו סוג הזווית ‪ ?DEB‬הסבירו‪.‬‬ ‫‪P‬‬