מציאת משיק ונורמל הסבר והקדמה אם לפונקציה ) f (xיש נגזרת בנקודה ) P( x0 ; y 0אזי לעקום יש משיק בנקודה זו .המשיק הוא קו ישר אשר ניתן לתיאור באמצעות או ) y y 0 m( x x0 כאשר y mx k mזו הנגזרת בנקודה ההשקה. y המשיק בנקודה הוא הקו המרוסק. ויוצר זוית עם ציר ה x )P(x0;y0 y0 x x0 אם נגזור את f ( x) yנקבל את ' f ' ( x) yובנקודת ההשקה שיפוע f ' ( x0 ) mאם נציב זאת המשיק זהה בדיוק לשיפוע הפונקציה ולכן ) . y y0 f ' ( x0 )( x x0 בישר המשיק נקבל את משוואת הישר את ערכי הנקודה יש לנו וכן את הנגזרת בנקודה ומהן נקבל את הישר. ) y y 0 m( x x0 דוגמא: נתונה הפונקציה y x 2 3x 4 מצא את המשיק בנקודות )P1 (0;4 ו ). P2 (3;4 פתרון: y x 2 3x 4 y' 2 x 3 נחשב את הנגזרת נציב את הנקודות בנקודה ) P1 (0;4נקבל m1 2 * 0 3 3 ובנקודה ) P2 (3;4נקבל m2 2 * 3 3 3 נצייר את הגרף y y=x2-3x+4 6 5 p2 4 p1 3 2 1 X 9 8 7 6 5 4 3 1 2 0 -1 -1 -2 הקוים המרוסקים הם המשיקים בנקודות -3 -4 נכתוב את משוואת המשיק ל )P1 (0;4 ) y y 0 m( x x 0 )y 4 3( x 0 y 3x 4 והמשיק לנקודה )P2 (3;4 )y 4 3( x 3 y 3x 5 הנורמל הוא הישר המאונך למשיק בנקודת ההשקה. y המשיק בנקודה הוא הקו המרוסק. ויוצר זוית עם ציר ה x N )P(x0;y0 y0 x x0 הנורמל מסומן ב . Nאנו יודעים את שיפוע המשיק mומכאן שיפוע 1 הנורמל יהיה m ומשוואת הנורמל העובר בנקודת ההשקה תהיה 1 ) ( x x0 m y y0 אם נציב בדוגמא שלנו נקבל את משוואת הנורמל 1 ( x 0) 3 בנקודה )p1(0;4 y4 1 y x4 3 או x 3 y 12 0 ובנקודה )P2(3;4 1 ( x 3) 3 1 y 4 x 1 3 x 3 y 15 0 y4 תרגיל .1נתונה הפונקציה בנקודה )P(2;4 מצא את המשיק ואת הנורמל y x 3 2x 2 4 . פתרון: נגזור את הפונקציה y' 3x 2 4 xנציב את ערכי הנקודה ונקבל y' 3 * 2 2 4 * 2 4 נמצא את משוואת המשיק בנקודה ) y y 0 m( x x 0 )y 4 4( x 2 4x y 4 0 ועכשיו משוואת הנורמל בנקודה 1 ) ( x x0 m y y0 1 )y 4 ( x 2 4 4 y x 18 0 .2באיזו נקודה של הפונקציה א .מקביל לישר ב. 12 x y 17 מאונך לישר x 3y 2 א .נגזור את הישר נגזור את הפונקציה y x 2 5המשיק 12 y' 0ומכאן y' 12 y' 2 xהשיפוע של הישר המקביל ושל הפונקציה בנקודת ההשקה זהים ולכן נציב את ה xשקבלנו במשוואת הפונקציה נקודת ההשקה היא ומשוואת המשיק בנקודת ההשקה 2 x 12 x6 y 6 2 5 41 )P(6;41 )y 41 12( x 6 y 12 x 31 0 1 )( x 6 12 12 y 492 x 6 12 y x 498 0 y 41 ומשוואת הנורמל תהיה ב .בכדי למצוא ישר מאונך לישר הנתון 1 3 נמצא את השיפוע (' )yשל הישר x 3 y 2 ושיפוע המאונך לו יהיה y' y' 3 השיפוע של הישר המשיק ושל הפונקציה בנקודת ההשקה זהים ולכן y' 2 x 3 נגזרת הפונקציה y' 2 xשווה לשיפוע הישר נציב את ה xשקבלנו במשוואת הפונקציה נקודת ההשקה היא ומשוואת המשיק בנקודת ההשקה x 1.5 y x 2 5 1.5 2 5 )P(1.5;7.25 )y 7.25 3( x 1.5 3x y 2.75 0
© Copyright 2024