‫אלגוריתמים‬ ‫תרגיל בית ‪5‬‬ ‫להגשה עד ‪ 18‬בינואר‬ ‫הנחיה כללית‪ :‬בכל שאלה בה אתם מציגים אלגוריתם‪ ,‬יש להוכיח נכונות ולנתח את זמן הריצה‪ .‬ניתן להסתמך על טענות‬ ‫שהוכחו בכיתה‪.‬‬ ‫‪ .1‬נתונה רשת זרימה )‪ G = (V, E‬מ‪ s-‬ל‪ t-‬עם קיבולים שלמים‪ .‬ידוע כי הקשת ‪ e∗ ∈ E‬הינה הקשת היחידה בעלת קיבול‬ ‫אי־זוגי‪ ,‬וכן כי ערך הזרימה המקסימלית אי־זוגי אף הוא‪ .‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬הקשת ∗‪ e‬רוויה בכל זרימה מקסימלית‪.‬‬ ‫‪ .2‬נתונה רשת זרימה )‪ G = (V, E‬מ‪ s-‬ל‪ t-‬עם קיבולים שלמים ונתונה זרימה מקסימלית בה ‪ f : E → Z‬שחושבה ע"י‬ ‫אלגוריתם ‪ .FordFulkerson‬תארו אלגוריתם יעיל לעדכון ‪ f‬במקרים הבאים‪:‬‬ ‫)א( מגדילים ב‪ 1-‬את הקיבול של קשת מסוימת ‪.e∗ ∈ E‬‬ ‫)ב( מקטינים ב‪ 1-‬את הקיבול של קשת מסוימת ‪.e∗ ∈ E‬‬ ‫‪ .3‬נתונה רשת זרימה )‪ G = (V, E‬מ‪ s-‬ל‪ t-‬ונתונה קשת ‪.e ∈ E‬‬ ‫)א( תארו אלגוריתם יעיל הבודק האם קיים חתך )‪ (s, t‬מקיבול מינימלי כך ש־‪ e‬חוצה אותו‪.‬‬ ‫)ב( תארו אלגוריתם יעיל הבודק האם ‪ e‬חוצה כל חתך )‪ (s, t‬מקיבול מינימלי‪.‬‬ ‫‪ S‬ל‪ k -‬חלקים זרים כאשר ‪1 .1 < k < n‬‬ ‫‪ .4‬נסמן }‪ S = {1, 2, . . . , n‬ותהיינה } ‪ {A1 , . . . , Ak } , {B1 , . . . , Bk‬שתי חלוקות של‬ ‫תארו אלגוריתם יעיל לחישוב תת־קבוצה ‪ T ⊂ S‬בת ‪ k‬איברים החותכת את כל ‪ 2k‬הקבוצות )אם קיימת כזו(; כלומר‪,‬‬ ‫לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬מתקיים ∅ =‪.Bi ∩ T 6= ∅ ,Ai ∩ T 6‬‬ ‫‪ .5‬נתונות ‪ m‬מכונות ו‪ n-‬משימות‪ .‬עבור כל משימה ‪ i‬נתונה רשימה }‪ Li ⊆ {1, . . . , m‬של מכונות המסוגלות לבצעה‪,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ונסמן את סך ארכי הרשימות ב‪ .N = ni=1 |Li |-‬עבור השמה של המשימות למכונות )קרי‪ :‬כל משימה משוייכת‬ ‫למכונה אחת בדיוק(‪ ,‬נגדיר את העומס ‪ Wj‬של מכונה ‪ j‬להיות מספר המשימות שעליה לבצע ונגדיר את העומס הכללי‬ ‫‪ .W = max {Wj }m‬תארו אלגוריתם יעיל למציאת השמה הממזערת את העומס הכללי‪.‬‬ ‫כ‪j=1 -‬‬ ‫‪ .6‬נתון גרף לא מכוון )‪ .G = (V, E‬תארו אלגוריתם יעיל המכוון את קשתות הגרף כך שלכל צומת דרגת יציאה לפחות ‪3‬‬ ‫)או מודיע שלא ניתן לעשות זאת(‪.‬‬ ‫‪ .7‬נתונים גרף קשיר ולא מכוון )‪ ,G = (V, E‬פונקצית משקל ‪ ,w : E → R‬קשת ‪ ,e ∈ E‬ומספר שלם ‪ .k > 0‬תארו‬ ‫אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיקבע האם ניתן להסיר מן הגרף לכל היותר ‪ k‬קשתות‪ ,‬כך שהקשת ‪ e‬תהיה שייכת לעץ‬ ‫פורש מינימלי של הגרף שיתקבל‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬מומלץ להשתמש באלגוריתם שראינו באחד מהתירגולים בנושא זרימה‪.‬‬ ‫‪ .8‬שי ואילן מחליטים לפרוש בשיא מחיי האקדמיה ולנסות להפיק סרט קולנוע‪ .‬בידם רשימה } ‪A = {a1 , a2 , ..., an‬‬ ‫של שחקנים אשר מוכנים להשתתף בסרט‪ .‬שחקן ‪ ai‬דורש שכר ‪ pi‬עבור השתתפותו בסרט‪ .‬בנוסף‪ ,‬ישנה קבוצה‬ ‫} ‪ B = {b1 , b2 , ..., bm‬של משקיעים המעוניינים להשקיע בסרט‪ .‬משקיע ‪ bj‬מוכן להשקיע בסרט מימון בשווי ‪ ,qj‬אבל‬ ‫רק בתנאי שכל השחקנים האהובים עליו ישתתפו בסרט‪ .‬נסמן ב‪ Aj ⊆ A-‬את קבוצת השחקנים האהובים על משקיע‬ ‫‪ .bj‬תארו אלגוריתם ליהוק יעיל שימצא בחירת שחקנים ומשקיעים המניבה רווח הפקה )קרי‪ :‬סך המימון שהתקבל פחות‬ ‫עלויות השכר לשחקנים שהועסקו( מירבי‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬הגדירו רשת זרימה והרהרו במשמעות קיבול החתך המינימלי‪.‬‬ ‫‪1‬במילים אחרות‪Bi = S ,‬‬ ‫‪Sk‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫‪Sk‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ולכל ‪.Ai ∩ Aj = Bi ∩ Bj = ∅ ,1 ≤ i < j ≤ k‬‬