1. No category

2. 정적분의 활용
§1. 넓 이
[요점 정리]
ꊱ 곡선과 좌표축 사이의 넓이
‧ 곡선과 x 축 사이의 넓이 : 함수 y = f( x) 가 구간 [a , b]에서 연속일 때, 곡선
y = f( x) 와 x축 및 두 직선 x = a , x = b 로 둘러싸인 도형의
b
넓이 S 는
S=⌠
⌡ | f( x) | dx
a
‧ 곡선과 y 축 사이의 넓이 : 구간 [c , d]에서 연속인 곡선 x = f( y) 와 y축 및 두 직선
y =c , y = d 로 둘러싸인 도형의 넓이 S 는
d
S=⌠
⌡ | f( y) |dy
c
ꊲ 두곡선 사이의 넓이
‧ 두 곡선 사이의 넓이 : o 두 곡선 y = f( x) 와 y = g( x) 및 두 직선 x = a , x = b ( a < b)
로 둘러싸인 도형의 넓이 S 는
b
S=⌠
⌡ | f( x) - g( x) |dx
a
o 두 곡선
x = f( y) , x = g( y) 및 두 직선 y = c ,
y = d 로 둘러싸인 도형의 넓이 S 는
d
S=⌠
⌡ | f( y) - g( y) |dy
c
[참 고]
‧ 이차함수 y =ax 2 + bx + c 의 그래프가 x 축과 α , β ( 단, α <β ) 에서 만날 때,
곡선과 x 축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S 는 S =
|
a(β - α) 3
6
|
‧ 이차함수 y =ax 2 + bx + c 와 y=a 'x 2 + b 'x+c ' 의 그래프의 교점의 x 좌표가
α , β 일 때, 이 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 S 는
- 1 -
유시정 고교 수학교실
S=
|
( a - a ' )( β -α) 3
6
|
[필수 문제]
1. 곡선 y = x(1 - x 2 ) 과 x 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
(풀이)
1
2
2. 곡선 y =x 2 +9 와 y 축 및 직선 y = 5 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
(풀이)
152
3
3. 곡선 x =y 3 - y 2 - 2y 와 y 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
(풀이)
37
12
[수능 예상 기본문제]
1. 곡선 y =x 3 - x 과 곡선 y = x 2 -1 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
2. 곡선 y =|x( x - 2)| 과 직선 y = x + 4 으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
3. 오른쪽 그림에서 B 부분의
넓이를 구하여라.
4. 이차함수 y = - x 2+ ( k + 2)x - 2k 의 그래프와 x 축 , y 축 으로 둘러싸인 부분의 넓이를
S 1 , 이 이차함수의 그래프와 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S 2 라 할 때, S 1 = S 2 가
성립한다고 한다. 이 때, k 의 값은? ( 단 , 0 < k < 2 )
5. 함수 f( x) =x 2 - 6x + a 의 그래프와
x, y 축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이
A, B에 대하여 A : B = 1 : 2 가 성립
할 때, 상수 a의 값은?
- 2 -
유시정 고교 수학교실
(98. 9. 3학년 모의)
6.
아래
그림에서
o
BC = 1 , AC = DC , ∠BCD = 90 이다. AC // PQ 인 PQ
에
대하여
BP = x 일 때, f( x) = PQ 라고 하자.
1
⌠
다음 중 ⌡0 f( x) dx 의 값과 넓이가 같은 도형은?
① △ABC ② △BAD
③ △BCD
④ △BCE
⑤ □ABCD
(97. 8. 3학년 모의)
§2. 부 피
[요점 정리]
ꊱ 입체의 부피
‧ 입체의 부피 : 구간 [a , b]의 임의의 점 x 에서 x 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓
b
이가 S( x) 인 입체의 부피 V 는
V=⌠
⌡ S(x)dx
a
ꊲ 회전체의 부피
‧ 회전체의 부피 :
o y = f( x) 와 x 축 및 두 직선 x = a , x = b ( a < b)
로 둘러싸인 도형을 x 축의 둘레로 회전시킬 때
- 3 -
유시정 고교 수학교실
생기는 회전체의 부피 V 는
b
b
2
2
⌠
V =π ⌠
⌡ y dx = π ⌡ {f( x) } dx
a
a
o
곡선
x = g( y) 와 y 축 및 두 직선 y = c , y = d ( c < d)
로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘레로 회전시킬
때 생기
는
회전체의 부피 V 는
d
d
2
2
⌠
V =π ⌠
⌡ x dy = π ⌡ {g( y) } dy
c
c
o 구간 [a , b]에서 0≤g( x)≤f( x) 인 두
곡선 y = f( x) , y = g( x) 로
둘러싸인 도형을
x 축의 둘레로 회전하여
생기는 회전체의 부피 V 는
b
2
2
V =π ⌠
⌡ [ {f( x) } - {g( x) } ]dx
a
[필수 문제]
1. 어떤 그릇에 물을 넣은 깊이가 x 일 때, 수면의 모양은 한 변의 길이가
2
1+x 인 정사
각형이라고 한다. 깊이가 5일 때, 그릇에 담긴 물의 부피는?
(풀이)
140
3
2. 반지름 3인 원의 한 지름 AB에
수직인 현을 한 변으로 하는 정삼각형이
AB 와 수직인 상태로 점 A에서 점 B까지
움직일 때 생기는 입체의 부피를 구하여라.
(풀이) 답 : 36 3
3. 곡선 y=-x2+4x 과 직선 y=x 로 둘러싸인 도형을 x 축의 둘레로 회전시킬 때 생기
- 4 -
유시정 고교 수학교실
는 회전체의 부피를 구하여라.
(풀이) 답 :
108
π
5
4. 곡선 x=y2 과 직선 x+y=6 로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘레로 회전하여 생기는 회전
체의 부피를 구하여라.
(풀이)
500
3
5. 오른쪽 그림과 같이 중심각의 크기가
o
120 이고 반지름의 길이가 2인 부채꼴
OAB를 선분 OA의 둘레로 회전하여
생기는 회전체의 부피는?
(풀이) 8π
[수능 예상 기본문제]
1. 곡선 y= x+4 와 x 축 및 y 축으로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘레로 회전시킬 때 생기
는 회전체의 부피를 구하여라.
2. 어떤 그릇에 물을 넣을 때, 물의 깊이 x 와 그 때의 수면의 넓이 S( x) 사이에는 관계식
3
S(x)=x +4x 가 성립한다.
x=3 일 때 물의 부피를 구하여라.
3. 오른쪽 그림과 같이, 반지름의
길이가 10인 반구형의 그릇에 물을
가득히 채운 후 그릇을 30 o 만큼 기
울였다. 이 때, 흘러나온 물의 양을 구
하여라.
4. 곡선 y=2-x 2 (0≤x≤1 ) 위의 동점 P에서
x 축에 내린 수선의 발을 H 라 하고 이 평면에
대하여 같은 쪽에 PH 를 지름으로 하는 반원을
만든다. 이 반원이 만드는 입체의 부피를 구하여라.
5. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 제 1사분면에서 두 곡선
y=3-
1 2
x , x 2 +y 2 =9 와 x 축으로 둘러싸인 부분을 y 축
2
1
둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 V라 할 때, π V 의 값
을 구하여라.
- 5 -
유시정 고교 수학교실
6. 두 곡선 y= 3x , y= 4-x 2 과 x 축으로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘레로 회전시킬 때
생기는 입체의 부피는?
7. 반지름의 길이가 4 cm인 반구형의 그릇에 깊이 1 cm만큼의 물이 들어 있다. 여기에 몇
cm 3 의 물을 더 넣으면 그릇에 들어 있는 물의 깊이가 3 cm가 되는가?
§3. 속도와 거리
[요점 정리]
‧ 속도와 위치 : 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t 에서의 속도가 v( t) , 점 P 의 시각
t=t 0 에서의 위치가 x 0 일 때, 점 P 의 시각 t=t 1에서의 위치 x 1 은
t1
x 1 =x 0 + ⌠
⌡ v(t)dt
t0
‧ 위치변화와 경과거리 : 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t 에서의 속도가 v( t) 이고,
시각 t=a 에서 t=b 까지 움직일 때,
b
⌠
o 점 P 의 위치변화는 ⌡a v(t)dt
b
⌠
o 점 P 의 경과거리(실제로 움직인 거리)는 ⌡a | v( t) |dt
[필수 문제]
1. 지면 10 m의 높이에서 처음 속도 40 m/초로 위로 던진 물체의 t 초 후의 속도 v( t) 가
v(t)=40-10t(m/초)로 나타내어질 때, 던진 후 3초 후의 높이를 구하여라.
(풀이) 85 m
2. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t 에서의 속도 v( t) 가
2
v(t)=2t -6t+4 일 때, 다음을 구하여라.
(1) 점 P 의 t=2 에서의 위치
(2) 점
P가 t=1 에서 t=4 까지 실제로 움직인 거리
(풀이) (1)
(2)
4
3
29
3
3. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 t 초 후의 속도가 v(t)=4t-t 2 일 때,
다음 물음에 답하여라.
(1) 점 P가 다시 원점으로 돌아오는 것은 몇 초 후인가?
(2) 점 P의 8초 후의 위치를 구하여라.
- 6 -
유시정 고교 수학교실
(3) 점 P의 8초 후의 경과거리를 구하여라.
(풀이) (1) 6초 후
128
(2) - 3
(3) 64
4. 원점을 출발하여 수직선 위를 7초 동안
움직이는 점 P의 t 초 후의 속도 v( t) 가
오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하
여라.
(1) 점 P는 출발하고 나서 몇 초 후에 다시
출발점으로 돌아오는가?
(2) 점 P는 움직이는 동안 운동방향을 몇 번
바꾸었는가?
(3) 점 P가 처음으로 운동방향을 바꿀 때까지
움직인 경과거리를 구하여라.
(4) 점 P가 출발점으로부터 가장 멀리 있을 때
까지 움직인 경과거리를 구하여라.
(풀이) (1) 4 초 후 (2)
2번
(3) 2
(4)
8
5. 단면의 넓이가 S 인 파이프에서 흐르는 물의 시각 t 에서의 빠르기는 v=20-t 일 때,
t=0인 순간에서 물이 정지할 때까지 흘러 나온 물의 양은?
(풀이) 200S
[수능 예상 기본문제]
1. 직선 궤도를 매초 40 m 의 속도로 달리는 열차가 있다. 이 열차가 브레이크를 건 후, t
초 후의 속도 v( t) 가 v(t)=40-2t (m/초) 인 관계가 있다고 할 때, 브레이크를 건 후 정
지할 때까지 걸린 시간과 진행한 거리를 각각 구하여라.
2. 고속열차가 출발하여 3 km를 달리는 동안 시각 t 분에서의 속도는
3 2 1
t + t (km/m) 이고 그 이후의 속도는 일정하다. 출발후 5분 동안 이 열차가
4
2
달린 거리는?
v(t) =
3. 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B가 있다. 원점에서 출발한 점 A의 t 초 후의 속도는
4t+7 이고, x=-3 에서 출발한 점 B 의 t 초 후의 속도는 3t 2 -8t+16 이다. 두 점 A, B가
t=0 일 때 출발하여 처음 5초동안 만나는 횟수를 구하여라.
4. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t ( 단 , 0≤t≤3)
- 7 -
유시정 고교 수학교실
에서의 속도 v( t) 가 오른쪽 그림과 같을 때, 점 P
의
전체 이동 거리는?
5. 시속 72 km로 달리는 자동차가 브레이크를 밟았더니 50 m를 더 간 후 정지했다.
브레이크를 밟은 후 일정한 비율로 감속한다면, 브레이크를 밟은 후 정지할 때까지
걸린 시간은?
6. 곡선 y =x 2 -1 과 직선 y =x + 1 로 둘러싸인 도형을 각각 x축 , y 축 둘레로 회전시
Vy
라 할 때,
킨 부피를 V x , V y
V x 의 값은?
7. 어떤 물체가 낙하하기 시작하여 t 초 후의 속도는 v( t) =- 9.8 t ( m/초 ) 로 나타내어진
다.
490 m의 높이에서 떨어지기 시작한 물체가 지면에 도착한 시간은?
[수능 예상 발전문제]
1. 오른쪽 그림과 같은 그릇에 물
을 넣을 때, 물의 깊이가 x 이면
수면의 넓이는 S(x) =2πx 2 이고
수면의 상승 속도는 v=2t(3-t)
라고 한다. 이 그릇에 담을 수 있는
물의 최대량을 구하여라. (단, 그릇의
깊이 h 는 9 보다 크다.)
2. 다음 극한값을 구하여라.
1 ⌠1 +3h 3
(x -x 2 +3)dx
(1) lim
h→0 h ⌡
1
6
lim
(2) n→∞
n
2
2
2
{(1+ n3 ) +(1+ n6 ) +…+(1+ 3nn ) }
3. 포물선 y=x2 +x 와 직선 y=x+1 로 둘러싸인 도형을 x 축의 둘레로 회전시킬 때,
생기는 회전체의 부피를 구하여라.
4. 반지름의 길이가 2 cm 인 두 개의 구
A, B 가 있다. 두 구의 중심 거리가 2 cm 일
- 8 -
유시정 고교 수학교실
때,
두 구 A, B 의 공통 부분의 부피를 구하여라.
5. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 5 cm인 원 위의 한 점 A에서 동점 P, Q가 동시에
출발하여 서로 반대 방향으로 원 위를 움직이고 있다.
점 A를 출발하여 t 초 후의 두 점 P, Q 의 속력이 각각 4t + 2 (cm/초 ), 2t + 3
(cm/초) 일 때,출발한 후 10초 동안 두 점이 만나는 횟수는?
(96. 9. 3학년
모의)
[수능 예상 심화문제]
x
⌠
1.모든 실수에서 연 속인 함수 f 에 관한 등식 ⌡a f ( t ) dt = ( x + 1 ) ∣ x - a ∣ 가 모든
실수 x 에 대하여 성립할 때,상수 a 의 값을 구하여라.( 파일 1 - 2p )
⌠
2.양의 정수 n 에 대하여 f ( n ) = ⌡0
2n
∣ x - n ∣ dx
일때
합 S = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + ………… + f ( 15 ) 를 계산하여라.( 파일 1 - 2p )
3.아래 그림과 같은 함수
f ( x ) 에 대하여
x
⌠ f ( t ) dt
⌡0
(x≥0)
의 극값을 구하여라.( 파일 1 - 2p )
- 9 -
유시정 고교 수학교실
⌠
4. 부정적분 ⌡ cosec x dx 을 계산하라.
5. 함수
( 교재 1-131p )
f ( x) 는 임의의 양수 x , y 에 대하여 f ( xy) = f ( x) + f ( y)
를 만족시키고
f '(1) = 2 이라고 할 때, 다음 물음에 답하라.
(1) f '(x) 를 구하라.
⌠
6. 정적분 ⌡0
2π
1
(2) f ( x) 를 구하라.
| 2 cos 2 x - sin x - 1 | dx 을 계산하라.
⌠
7. 정적분 ⌡0 ( 1 + x )
1 - x 2 dx 를 구하라.
( 교재 1-131p )
( 교재 1-132p )
( 교재 1-134p )
π
8. x = 2 - t 로 치환하여 다음 정적분을 구하라.
- 10 -
유시정 고교 수학교실
⌠
⌡0
⌠
9. 정적분 ⌡0
π
2
π
2
4
sin x
dx
sin x + cos 4 x
( 교재 1-134p )
4
cos x
dx 를 구하라.
sin x + cos x
( 교재 1-135p )
10. 다음 극한값을 구하라.
(1)
(2)
lim
n→∞
lim
n→∞
n
1
kπ
2 ∑ k sin
n
k
=
1
n
( n +1 1
1
1
1
+
+ …… +
n+2
n+3
3n
+
)
( 교재 1-135p )
11. 다음 극한값을 구하라.
(1)
lim
n→∞
( 2 )
n
1
2 ∑ ke
n k=1
lim
n→∞
{
+
+
k
n
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ………
3n + 1
3n + 2
3n + 4
3n + 5
3n + 7
1
3n + ( 3n - 4 )
1
1
+
3n + ( 3n - 2 )
3n + ( 3n - 1 )
1
1
+ …… +
n+2
n+n
)
}-
lim
n→∞
1
3
+
( 교재 1-135p )
1
에 대하여 함수 f ( x) 를 f ( x) = ⌠
⌡- 1
12. 양의 실수 x
때,
( n +1 1
y = f ( x) 의 그래프의 개형을 그려라.
1
dt
2
1 - 2xt + x
로 정의 할
( 포항공대 실험 평가 , 교재 1-135p )
x
⌠
13. x > 0 에서 f ( x) = x + ⌡1 t ( 2x - 3t) ln t dt 일 때 , f ( x) 를 구하라 .
( 교재 1- 136 p )
14. 곡선 y = sin x ( 0 ≤ x ≤ π ) 와 x 축으로 둘러싸인 부분의 영역을 A 라 하고 곡선
y = sin ( x - α ) ( 0 ≤ α ≤ π ) 와 x 축으로 둘러싸인 영역을 B 라 하자 . 이 때 , 영역
A∩B 의 넓이가 영역 B 의 넓이의
1 이 되도록
α 의 값을 정하라. ( 교재 1-137p )
2
- 11 -
유시정 고교 수학교실
15. 좌표평면에서 두 부등식
2
2
x + ( y - 1) ≤ 1 과 y ≤ x 가 나타내는 영역을 직선
y = x 를 축으로 회전시켰을 때,생기는 회전체의 부피를 구하라. ( 교재 1-138p )
16. 원 x 2 + y 2 + 4x - 6y + 12 = 0 을 x 축으로 회전시킨 도형을 A ,
선
3x - 4y +
또 이 원을 직
8 = 0 을 축으로 회전시킨 도형을 B 라 할 때, A , B 의 부피를
각각 구하라.
( 서울대,교재 1-138p )
17. 곡선
( x + y - 1) 2 + ( - x + y -
때, 생기는 회전체의 부피를 구하라.
2 ) 2 = 1 을 직선 y = x 를 축으로 회전시켰을
( 교재 1-138p )
x
⌠ 1
18. ln x 를 ln x = ⌡1 t dt ( x > 0) 로 정의할 때, 다음을 증명하라.
( 1) ln xy = ln x + ln y
(2) ln x p = p ln x
( 교재 1-139p )
19. 다음 물음에 답하라.
x
(1) x ≠ ( 2n + 1) π ( n 은 정수 ) 이고 , tan 2 = t 라 할 때,
2
sin x =
⌠
(2) ⌡0
π
2
2t
1-t
, cos x =
1 + t2
1 + t2
임을 보여라.
1
dx 의 값을 구하라.
1 + sin x + cos x
( 교재 1-139p )
20. 다음 물음에 답하라.
(1) 연속함수 f ( x) 는 주기가 T 인 주기함수이다. 임의의 실수 a 에 대하여
a+T
⌠
⌡a
T
f ( x) dx = ⌠
⌡0 f ( x) dx
⌠
(2) I = ⌡0
가 성립함을 보여라.
5π
| 3 sin x + 2 cos x | dx
의 값을 구하라. ( 교재 1-139p )
21. 다음 물음에 답하라.
π
π
⌠ x f ( sin x) dx = π ⌠ f ( sin x) dx
I
=
(1)
⌡0
2 ⌡0
임을 보여라.
π
2
⌠
(2) ⌡0 x sin x dx 의 값을 구하라.
( 교재 1-139p )
- 12 -
유시정 고교 수학교실
22. x > 0 에서 정의된 함수 f ( x) 는 다음 두 조건을 만족시킨다.
(i) f ( x) 는 x > 0 에서 2 회 미분가능하고 f ( 1) = 0 , f '(1) = 2 이다.
(ii) 모든 양수 x , y 에 대하여 항상 f ( xy) = y f ( x) + x f ( y) 이다.
다음 물음에 답하라.
f ( x)
+ 2 임을 증명하라.
(1) x > 0 에서 f '(x) =
x
(2) f ''(x) , f '(x) , f ( x) 를 각각 구하라.
⌠
23. I n = ⌡0
π
4
n
tan x dx ( n = 1 , 2 , 3 , …… )
( 교재 1-140p )
라고 할 때,다음 물음에 답하라.
(1) I 1 , I 2 의 값을 각각 구하라.
(2) I n + I n + 2 를 n 으로 나타내라.
(3) I 6 의 값을 구하라.
( 교재 1-140p )
1 ⌠
24. 구간 0 < t < 1 에서 F ( t) = t ⌡0
이 때,
lim F ( t) 의 값을 구하라.
t→0
1
25. a n = n 2
이 때,
π
t
2
n
| cos 2 x | dx 라 하자 .
( 교재 1-140p )
(n + 1) ( n + 2) ( n + 3) …… ( n + 2 n) 이라 하자 .
lim a n 의 값을 구하라.
n →∞
( 교재 1-140p )
26. 다음 물음에 답하라.
(1) n 은 자연수이고 x ≥ 0 일 때 , 부등식
2n - 1
1+
2n
1
k k
k k
( - 1) x ≤
≤ 1 + ∑ ( - 1) x
∑
1+x
k=1
k=1
2n - 1
(2) S n = k∑
=0
( - 1)
k+1
k
이라 할 때 ,
이 성립함을 보여라.
lim S n 의 값을 구하라.
n→∞
( 교재 1-141p )
27. a > 0 일 때, 다음 물음에 답하라.
- 13 -
유시정 고교 수학교실
(1) 두 곡선 y = ax 2 과 y = ln x
가 만나도록 상수 a 의 값의 범위를 정하라.
(2) 두 곡선 y = ax 2 과 y = ln x
가 한 점에서 접할 때,두 곡선과 x 축으로 둘러싸
인 부분의 넓이를 구하라.
( 교재 1-141p )
28. 다음 연립부등식의 영역으로 나타나는 부분의 넓이 S 를 구하라.
{
2x 2 - 2xy + y 2 ≤ 1 ………………… ①
y≥
1
…………………………… ②
2
29. O 가 원점인 좌표평면에서 y 축 위에 점 P 가 있다. OP 를 대각선으로 하는 한 변
의 길이가 1인 마름모를 OAPB 라 하고 ∠PAB = θ 라고 할 때, 이 마름모를 x 축을
축으로
회전시킨 회전체의 부피 V 를 θ 로 나타내라.
( 교재 1-142p )
30. 반지름이 a 인 원 C 가 중심이
원점인 단위원의 둘레를 그림과
같이 한 바퀴 돌고 있다. 원 C
위의 점 P 가 움직인 길이를
L ( a) 라 할 때,다음 물음에
답하라.
(1) 처음에 C 의 중심 Q 가 Q 0 ( 1 + a , 0 )
에 있고 점 P 가 P 0 ( 1 + 2a , 0 ) 에 있다.
C 가 움직일 때, 점 P 의 좌표를 a 와
θ ( = ∠Q 0 OQ ) 로 나타내라.
1
(2).(1)에서 a = n ( n 은 자연수 ) 라 할 때 ,
L
( n1 ) 의 값을 구하라.
( 교재 1-142p )
- 14 -
유시정 고교 수학교실
31. 임의의 양수 x 에 대하여
n
|
F( x) = lim ∑ cos
n → ∞ i=1
고
2i + 1
2i - 1
x - cos
x
2n
2n
F ( 2 π) 의 값을 구하라.
| 이라고 하자. 이 때,
F '(x) 를 구하
( 교재 1- 161p )
32. 다음 물음에 답하라.
(1) tan θ = cot θ - 2 cot 2 θ
임을 증명하라.
∞
일 때, 무한급수 ∑ 1n tan
(2) x ≠ 0
n=1 2
x
⌠
33. 함수 f( x) 가 f( x) = ⌡1
( 2x ) 의 합을 구하라.
n
( 교재 1- 163p )
1
3
1 + t dt 일 때, ⌠
⌡o x f( x) dx
의 값을 구하라.
( 교재 1- 163p )
34. 다음 물음에 답하라.
1
2
2
⌠
(1) S( a) = ⌡0 | x - a | dx ( a 는 양수 ) 를 구하라.
(2) 양수 a 를 변화시킬 때, S( a) 가 최소가 되도록 하는 a 의 값과 S( a) 를 구하라.
( 교재 1- 167p )
35. 다음 물음에 답하라.
(1) 양의 상수 a 에 대하여
족하는 함수 f ( x) 를 구하라.
36. 좌표평면에서 두 부등식
f ( x) +
6 ⌠a
f ( t) dt = x 2 - ( a + 1 ) x + 3
2
a ⌡0
을 만
( 교재 1- 169p )
x 2 + ( y - 1) 2 ≤ 1 과 y ≤ x 가 나타내는 영역을 직선
y = x 를 축으로 하여 회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피를 구하라.
(94 서울대,교재 6-109p)
37. 좌표평면에서
{ x x≥+0 , y y=≥ 02 을 동시에 만족하는 점 (x,y) 로 이루어지는 도형
C
는 직선 y = - x 를 준선으로하고 초점이 (1,1) 인 퍼물선의 일부분이다.직선 y = x 를
회전축으로 하여, 곡선 C 와 직선 y = - x + 2
입체의 부피를 구하라.
로 둘러싸인 부분을 회전해서 생기는
(80 서울대,교재
6-109p)
- 15 -
유시정 고교 수학교실
x2
y2
+
= 1,
2
38. 타원 a
b2
a > b > 0 이 주어져 있다.
(1) 이 타원의 넓이가 πab 임을 적분법으로 증명하라.
(2) 이 타원에 내접하고 한 변이 x 축에 평행한 삼각형 중에서 넓이가 최대인 삼각형을
미분법으로 결정하여 그 넓이를 구하라.
(73 서울대,교재 6-110p)
39. 삼차함수 f( x) 가 x = 2 에서 극소값 0 , x = - 2 에서 극대값 32 를 갖는다.
(1) f( x) 를 구하라.
(2) 곡선 C : y = f( x) 위의 점 A( 1 , f( 1) ) 에서의 접선 l 이
다시 곡선 C 와 만나는
점을 B라 하자. 점 P 가 곡선 C 위를 A 에서 B 까지 움직일 때,P 와 l 사이의 최대거리를
구하라.
(3) C 와 l 로 둘러싸인 부분을 직선 y = - 7 x + 16
의 넓이의
으로 나눌 때,생기는 두 부분
비를 구하라.
(94 연세대 모의,교재
6-111p)
40. 부정적분
x3 - x - 2
I = ⌠
⌡ x 3 - x 2 + x - 1 dx
를 구하라.
(80 연세대,교재
6-112p)
41. 구간 0 ≤ x ≤ a 에서 정의된 함수 f(x) 가 이 구간에서 양의 이계도함수를 갖는다고
하자. 곡선 y = f( x) 위에 놓인 점 P ( k , f( k)) 에서 이 곡선에 접하는 접선을 l 이라 할
때,이 곡선과 세 직선 l , x = 0 및 x = a
에 의하여 둘어싸인 도형의 개형을 도시하고
이 도형의 넓이를 최소가 되게하는 k 의 값을 구하라.
(78 연세대,교재
6-112p)
⌠
42. (1) f 가 연속일 때, ⌡0
(2)
곡선
y= x
n
π
2
f( sin x) dx = ⌠
⌡0
( n > 0)
이
y
축
π
2
f( cos x) dx 를 증명하라.
둘레로
회전할
때
생기는
회전면은
직선
y=0,y=1,x=0,x=1로 둘러싸인 부분이 y 축의 둘레를 회전할 때 생기는 회전체(원기둥)을 두
부분으로 나눈다. 이 때 나누어지는 두 부분의 부피의 비를 구하라.
(76 연세대,교재 6-113p)
43. 구간 - π ≤ x ≤ 0 에서 정의된 함수 f( x) = x cos x
lim
π
x→
2
에 대하여
f( x)
x-
π
2
를 계산하라.
(75 연세대,교재 6-113p)
- 16 -
유시정 고교 수학교실
0 ≤ t ≤ 2π 인 실수 t 에 대하여 일차변환 f 가 점 ( 1 , 1) 을 ( t + sin t , 1 + cos t)
44.
로 이동시키고,점 (0,2) 를 ( 2 sin t , 2 cos t) 로 이동시킨다. 이 때,점 (1,-1)이 일차변환 f
에 의하여
옮겨진 점이 시간 t 를 따라 움직인 거리를 구하라.
(94 고려대,교재
6-113p)
e
45. x > 0 에서 정의된 연속함수 f( x) 가 f( x) = x
f( x) =
1
x 임을 보이라.
-⌠
⌡ f( t) dt
1
와 같은 관계를 만족시킨다.
(94 고려대,교재 6-114p)
46. 평면에서 직선 y=1 위에 놓인 임의의 점 P 가 있다.원점 O 와 점 P 를 잇는 직선과
수직이고 점 P 를 지나는 직선들을 생각해 보자.
(1) 위와 같은 직선들이 만드는 영역의 경계를 구하라.
(2) 위의 영역에 속하지 않으며 y ≥ 0 인 점 Q( x , y) 로 된 부분을 y 축을 중심으로
회전시켜 얻은 입체의 부피를 구하라.
(94 고려대,교재 6-114p)
47. 아래 그림과 같이 y 축에 중심을 둔 반지름이 1 인 원의 중심에서 x 축과의 각이 θ
가 되도록 직선을 그린 후에,직선위에 중심을 두고 x 축과의 단위원에 외접하도록 작은 원
을 그리고,다시 직선위에 중심을 두고 x 축과 두 번째 생긴 원에 외접하도록 작은 원을 그
린다.
n
(1) 이와 같은 방법으로 얻은 k 번째 원의 넓이를 S k
lim ∑ S k 를 구하
라고 할 때, n→∞
k=1
라.
π
(2) 위의 그림에서 θ = 6 일 때 색칠된 부분을 y 축 주위로 회전시킬 때 생기는 입체
의 체적을 구하라. 여기서 직선은
S 1 과 S 2 의 공통접선이다.
(94 고려대 모의,교재 6-115p)
- 17 -
유시정 고교 수학교실
48. 어린이 공원에 반지름이 2km인 놀이용 순환열차 괘도와 10 개의 역이 똑같은 간격으
로
있다.열차가
A
역을
출발하여
와 같이
P( t) = ( 2 cos (3t 2 + 2) , 2 sin (3t 2 + 2) )
발하여
2
시간
경과하였다면
A3
t
시간후의
위치는
주어진다. 그러면 열차가 A 1 역을 출
역을
몇
번
통과하였겠는가?
(94 고려대 모의,교재 6-115p)
49. 곡선 y = sin x ( 0 ≤ x ≤ π ) 와 x 축으로 둘러싸인 부분의 영역을 A 라 하고
와 x 축으로 둘러싸인 영역을 B 라 하자.이 때,영역
y = sin ( x - α) ( 0 ≤ x ≤ π )
A∩B 의 넓이가 영역 A 의 넓이의
1
2 이 되도록 α 의 값을 정하라.
(94 서강대 모의,교재 6-116p)
50. 연립부등식
{
x2
y2
+
≤1
12
6
x2
y2
+
≤ 1 이 나타내는 영역을 x 축 둘레로 회전시켜서 생기는 입
6
12
체의 부피를 구하라.
(80 서강대,교재 6-116p)
51. 어떤 입체의 밑면이 직선 y = 0 , x = e 와 곡선 y = ln x
로 둘러싸인 xy 평면의
부분이고, x 축에 수직인 평면으로 이 입체를 잘랐을 때의 단면은 한 변을 밑면에 두는 정
삼각형이다.
이 입체의 부피를 구하라.
(78 서강대,교재 6-117p)
52. 점 (1,1)을 지나는 일사분면의 곡선
y = f( x) 가 있다.이 곡선위의 임의의 점
P( t , f( t) ) 와 원점 O 를 지나는 직선의 기울기의 제곱과 점 p 에서 그은 접선의 기울기
의 합이 0 이 되는 함수 f( x) 를 구하라.
lim
53. n→∞
( 2n 1+ 1
+
(94 카톨릭대,교재 6-119p)
1
1
1
+
+ …… +
2n + 2
2n + 3
3n
) 의 값을 구하라.
(79 카톨릭대,교재 6-120p)
54. n 은 양의 정수이고
정적분을 이용하여
lim
n→∞
f( n) =
f( n)
n
n
(n + 1) ( n + 2) …… ( n + n)
을 구하면 그 값은
(
)
e
이다.
로 한다. 이 때,
(77 카톨릭대,교재
6-121p)
- 18 -
유시정 고교 수학교실
⌠
55. ⌡o
1
3
dt
+ ⌠
2
⌡0
1-t
2 2
3
dt
2
1 - t 의 값은?
(94 과기대,교재 6-121p)
56.반경 10 cm 인 원통형 물통에 반경 5 cm 인 구가 2 cm/sec 의 속도 (물통에 대한 상
대속도)로 물에 잠기고 있다.구의 절반이 물에 잠기는 순간 수면의 상승속도는? (단, 구가
완전히 물속에 잠겨도 물은 넘치지 않는다.)
(94 과기대,교재
6-122p)
3
x
x
'
⌠
57.다항함수 f( x) 가 방정식 x f( x) + ⌡1 ( t - x) f (t) dt = 3
2
+
x
2
때, f( x) 를 구하라.
만족할
+
3x
5
2
6
를
(93 과기대,교재
6-122p)
58. 다음 정적분의 값은?
⌠
⌡0
ln 2
59. f( x) 는
1
dx
ex + 1
x
100
( 1 - x)
100 !
(93 과기대,교재 6-122p)
100
을 100 번 미분한 함수이다.
1
⌠
(1) ⌡0 f( t) dt = 0 임을 보여라.
1
⌠ 100
(2) 0 < ⌡0 x f( x) dx <
1
4
( )
100
임을 보이라.
(92 과기대,교재 6-123P)
-x
위의 점 P 1 ( a 1 , e - a )
60. 임의의 양의 실수 a = a 1 에 대하여 곡선 y = e
1
을 잡는
다. P 1 에서의 접선 L 1 과 x 축 이 만나는 점의 x 좌표를 a 2 라고 하자.
P2(a2 , e
- a2
) 에서의 접선 L 2 와 x 축이 만나는 점의 x 좌표를 a 3 라 하자.이와같이
-x
무한히 반복하여 얻어지는 접선 L 1 , L 2 , … 와 곡선 y = e
로 만들어지는 아래 그림
의 밑줄친 부분들의 넓이의 합을 S( a) 이라고 할 때 , S( a) 가 최소가 되는 a 의 값을 구
하라.
(94 포항공대,교재 6-124p)
61. 회전체 모양의 물그릇이 있다.높이 h cm 에서의 안면은 반지름이 R cm 인 원이다.물
그릇에
2 cm/sec 의 속도로 물이 채워지고 있다.물이 들어가기 시작한 t 초후 수면의 상
- 19 -
유시정 고교 수학교실
승속도가
1
cm / sec 일 때,R 을 h 의 식으로 나타내라.단 통의 두께는 무시한다.
t+1
(94 포항공대,교재 6-124p)
1
가 f( x) = ⌠
⌡- 1
62. 양의 실수 x 에 대하여 함수 f( x)
1
dt
1 - 2 xt + x 2
로 정의 될
때,
y = f( x) 의 그래프의 개형을 그려라.
(94 포항공대 실험,교재 6-124p)
2
x
x2
⌠ sin 5 π t dt
lim
을 구하라.
63. 극한 x→2 x - 2 ⌡4
4
( )
(94 포항공대 실험,교재 6-125p)
64. 높이가 h 이고 반지름이 r 인 직원통의 컵에 물이 가득차 있다.컵을 기울여 바닥의 반
이 보일 때까지 마셨을 때 남은 물의 양을 구하라.
(94 포항공대 실험,교재
6-125p)
65.
π
≤ a ≤ π 일 때 , y = sin ax , y = cos ax , x 축과 x = 1
2
로 둘러싸인 부분 (
단, x ≤ 1 을 만족하는 부분 ) 의 넓이가 최대가 되는 a 의 값을
α sin α + cos α 의 값을 구하라.
α 라고 할 때,
( 94 포항공대 실험,교재 6-125p)
66. 오른쪽 그림은 이차함수 y = f( x) 의 그래프이다.
x+1
⌠
함수 g( x) 를 g( x) = ⌡x
f( t) dt 라 할 때 , g( x)
의 최소값은?
(94 수능 2차,교재8-197p,문)
67.함수 f(x)는 실수 전체에서 미분가능하고 f(x+a) = f(x) + f(a) + ax , f ' (1) = 2 일
때,
- 20 -
유시정 고교 수학교실
f(2) 의 값은?
(교재 8-191p,문)
π
⌠
68.연속함수 f(x)가 f(x) + f(-x) = cosx를 만족할 때, ⌡- π f( x) dx
의 값은?
(교재 8-192p)
1
⌠
69.연속함수 f(x)가 f(x) + f(-x) = 4x 2 + 1 을 만족할 때, ⌡-1 f( x) dx 의 값은?
(교재 13-106p,문)
70.
lim
n→∞
π
n2
( cos nπ
+ 2 cos
2π
3π
nπ
+ 3 cos
+ ……n cos
n
n
n
)
의 값은?(교재 8-193p,
문)
1
2
⌠
71. 다항함수 f(x)가 임의의 실수 x에 대하여 f( x) = 3x + ⌡0 ( 2x - 1) f( t) dt 를 만족할
1
때,
⌠ f( x) dx
의 값은?
⌡0
lim n ⌠
72. n→∞
⌡0
(교재 8-194p,문)
2
n
| t - a | dt 의 값은?
(교재 8-195p,문)
a
2
⌠
73. 함수 f(x)가 f( x) - x + 2ax = 3 ⌡o
(2 +
df( t)
dt 를 만족시키고 f(0) = 0 일 때,
dt
)
양수 a 의 값은?
(교재 8-196p,문)
β
74.방정식
x - 2x - 1 = 0 의 두 근이 α , β 일 때,정적분
2
의 값 은?
(단, α < β
)
2
I = 3⌠
⌡α ( x - 2x - 1) dx
(교재 8-196p,문)
1
1
π
⌠
75. 정적분 ⌡0 1 + t 2 dt = 4 이다. x ≥ 0 에서 정의된 함수
x
1
f(x) 는 f( x) = ⌠
⌡o 1 + t 2
1
이고 g( x) 는 g( x) = f( x) + f x
( )
( x > 0) 으로 정의할 때,다음 <보 기> 중 옳은 것을
모두 고르면?
-<보 기>-
- 21 -
유시정 고교 수학교실
(가) g(x)는 상수함수이며 g(2) =
π
2 이다.
(나) g(x)는 상수함수이며 g(2) = π 이다.
(다) g(x)는 일차함수이며 g(1) =
π
2 이다.
1
⌠ x f( x) dx = π
(라) ⌡0
4
1
π
1
⌠
(마) ⌡0 x f( x) dx = 4 - 2
76. 실수 t는 0 ≤ t ≤ 4
(교재 8-197p)
범위의 수이고 x에 관한 방정식 x 2 - 4 + t = 0 의 실수 해 중
4
⌠
작은 것을 f 1 (t) , 큰 것을 f 2 (t) 라 한다. 다음 중 ⌡0 {f 2 (t) - f 1 (t) } dt 를 나타내고 있
는 것은? (단,그림의 곡선은 모두 포물선이다. )
(교재 8-198p)
77. 포물선 y = 4x - x 2 과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 y=mx ( m>0 )에 의하
여 이등분될 때,m의 값은?
78.곡선 y = sin x
(교재 13-115p,문 )
( 0 ≤ x ≤ π2 )
와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 y = a cos x
(a>0) 에 의하여 이등분될 때,a의 값은?
(교재 8-201p)
79. 함수 f( x) = x 3 + x - 1 의 역함수를 g(x) 라 하자.
함수 y=f(x)가 두 직선 x=1 , x=2와 x축으로 도형의 넓이를 S 1 , 함수 y=g(x)가 두 직
선 x=1 , x=9와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S 2 라고 할 때, S 1 + S 2 의 값은?
(교재 8-202p,문)
80. 오른쪽 그림과 같은 정사각형 ABCD의 내부의 영역을 x축
둘레로 회전시켰을 때,생기는 입체의 부피는?
(교재 8-203p,문)
81.오른쪽 그림과 같은 부채꼴에서 빗금 친 부분을
현 AB 둘레로 회전시킨 입체의 부피는?
(교재 8-203p,문)
- 22 -
유시정 고교 수학교실
82.곡선 y = sin x + cos x ( 0 ≤ x ≤ 2π ) 를 x축 둘레로 회전하여 얻은 입체의 부피는?
(교재 8-205p)
83. 오른쪽 그림과 같이 미분가능한 두 함수 y=f(x)
,y=g(x)의 교점의 x좌표가 α , β , γ ( α < β < γ ) 이고
두 곡선으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때,
x
⌠
방정식 ⌡α {f( t) - g( t) } dt = 0 의 근에 대한 설명
중 옳은 것은?
① 서로다른 네 실근을 갖는다.
② 서로 다른 세 실근을 갖는다.
③ 서로 다른 두 실근을 갖는다.
④ 단 하나의 실근을 갖는다.
⑤ 실근을 갖지 않는다.
(교재 8-206p,문)
84. 함수 y=f(x)가 직선 y=r (r은 상수 )에 대하여 대칭이고 a<x<b에서 f(x) > r > g(x)
>0을 만족한다고 한다.두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a , x=b 로 둘러싸인 도형의
넓이를 S 라고 할 때,이 도형을 x축 둘레로 회전시켰을 때,생기는 회전체의 부피는?
(교재 8-206p,문)
85.다음은 함수 f( x) 가 a≤ x ≤ b 에서 f( x) ≥ 0 이고 단조증가함수일 때,곡선 y = f( x) 가
a≤ x ≤ b 에서 x 축으로 둘러싸인 부분을 y 축둘레로 회전시킨 입체의 부피가
b
2π ⌠
⌡a x f( x) dx 가 됨을 보이고 있는 과정이다.
오른쪽 그림에서와 같이
f( b)
2
2
2
V = πb f(b) - πa f(a) - π ⌠
⌡f( a) x dy
f( b)
b
2
⌠
⌠
그런데 ⌡f( a) x dy = ⌡a (
b
b
2
) dx = [ x f(x) ] a - ⌠
⌡a 2xf( x)dx
b
2
2
= b f(b) - a f(a) - 2 ⌠
⌡a xf( x)dx
b
∴ V = 2π ⌠
⌡a xf( x)dx
위의 증명과정에서 (
) 안에 들어갈 알맞은 식은?
- 23 -
(교재 8-207p)
유시정 고교 수학교실
86.반지름의 길이가 3m인 반구 모양의 용기에,수면의 상승속도를
1m/분으로 유지하면서 물을 넣으려고 한다.물을 넣기 시작한지
2분이 되었을 때,물의 부피는?
(교재 8-207p,문)
87. 자연수 n에 대하여 함수 f(x)를
n-1
f( x) = ⌠
dx 라고 할 때,
⌡x( x + n)
f(0) = 0 이면 f(1) 의 값은?
(교재
12-172p)
88. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)의 도함수 f ' (x) 는 f ' (x) = | x 2 - 2x | 를
만족시키고
f( 1) = 1 일 때 , f( 3) f( - 3) 의 값을 구하여라.
(교재
12-172p)
89. 곡선 y = f( x) 가 점
(0 , -
1
2 ln 2
) 를 지나고 곡선 위의 임의의 점에서 접선의 기울
x
기가
8 +1
2x + 1
일 때, 이 곡선의 방정식은?
(교재
12-172p)
x+2
⌠
90. 부정적분 ⌡ ( x - 1)( x - 3) dx 의 값은?
(교재
12-174p)
91. 다음 부정적분에 대한 등식 중 옳지 않은 것은?
1
2
⌠
① ⌡ sin xdx = 1ove2x - 4 sin 2x + C
1
1
2
⌠
② ⌡ cos xdx = 2 x + 4 sin 2x + C
2
⌠
③ ⌡ tan xdx = tan x - x + C
⌠
④ ⌡ tan xdx = ln | cos x| + C
- 24 -
유시정 고교 수학교실
1
⌠
⑤ ⌡ sin x cos xdx = - 4 cos 2x + C
92. 수열
에 대하여
(교재 12-174 p)
n x
{I n } 에서 I n = ⌠
⌡ x e dx 일 때, 다음 <보 기>의 두 조건을 만족시키는 M, N
N
M 의 값을 구하여라.
-<보 기>100 x
Ⅰ. I 100 + M⋅I 99 = x e
100
99
x
Ⅱ. I 100 - N⋅I 98 = ( x - 100x )e
(교재 12-174p)
c
a
b
c
⌠ xdx + ⌠ 1 dx = ⌠ 1 dx + c ⌠ xdx
일
때
0
<
a
<
b
,
c
를 성립시키는 c 에 대
93.
⌡a
⌡c x
⌡c x
⌡b
lim c 의 값은?
a→b
하여
(교재 12-177p)
1
1
1
94. 1 + 2 + 3 + … 1997 = S 라고 할 때 , 정적분
1
⌠ (1997 + 1996x + 1995x 2 + … + x 1996 )dx
⌡0
의
값을
S로
나타내면?
(교재
12-178p)
1
⌠
95. f( a) = ⌡0 |x - a |dx 라고 할 때, a 에 대한 함수 f(a)의 그래프로 가장 적당한 것은?
(교재 12-178p)
96.
다음 <보 기> 중
lim [ ln {( n + 2)( n + 4 )…( n + 2n) }
n→∞
1
n
- ln n ] 과 같은 값을 나타
내는 것의 개수는?
(교재 12-179p)
-<보 기>1
⌠
Ⅰ. ⌡0 ln ( 1 + 2x)dx
97.
무한급수
lim
n→∞
1 ⌠2
ln ( 1 + x) dx
2 ⌡0
Ⅱ.
2
2
1+ 1n
n
{
|
| + |1 -
Ⅲ.
4
n
1 ⌠3
lnxdx
2 ⌡1
|+…+|1-
2
⌠
Ⅳ. ⌡0 ln(1+2x)dx
2n - 2
n
|}의
값을 구하여
라.
(교재 12-180p)
- 25 -
유시정 고교 수학교실
98.
반지름의 길이가 1인 원주 위를 n등분하여 각각의 분점을 P k ( k = 1 , 2 , 3 , … , n )
1
lim ( P 1P 2 + P 1P 3 + … + P 1P n ) 위 값은?
라 할 때, n→∞
n
(교재 12-180p)
99. 곡선 y = 1 - x 2 이 x축과 만나는 점 중에서 (-1, 0)을 P라 하고 1 ≤ k ≤ n 을 만족
시키는
( 0, nk ) 와 점 P를 지나는 직선을
자연수 n, k에 대하여 점
l k 라고 한다.
직선 l k 가 곡선 y = 1 - x 2 과 만나는 점 중에서 P가 아닌 또 다른 점의 x좌표를 a k 라
고
할 때,
lim
n→∞
1 n
a k 와 같은 것은?
n k∑
=1
(교재
12-180p)
100. 오른쪽 그림은 이차함수 y = f( x) 의 그래프이
x+1
⌠
다. 함수 g(x)를 g( x) = ⌡x
f( t) dt 라고 할 때,
g(x) 의 최소값은?
(교재 12-181p)
⌠
101. 등식 f( x) = sin x - ⌡0
2
f
π
2
f( x) cos x dx 를 만족시키는 함수 f(x)에 대하여
( π6 ) 의 값은?
(교재 12-182p)
102. 상수 c에 대하여 정적분
1
1
1
1
1
1
⌠
⌠
⌠
⌠
c- ⌠
⌡0 f( x) dx = [ cx] 0 - ⌡0 f( x) dx = ⌡0 cdx - ⌡0 f( x) dx = ⌡0 {c - f( x) } dx
가
성립한다.
0≤x≤1
1
인
⌠ f( t)dt ≥ x
를 만족시킬 때,
⌡x
임의의
실수
대하여
연속함수
f(x)가
부등식
1
⌠ xf( x)dx
의 최소값을 구하여라.
⌡0
x
103. 모든 실수 x에 대하여
x에
⌠ (x - t)f( t)dt = e
⌡1
abf( - 1) 의 값은?
- ax
(교재 12-182p)
+ bx 가 성립할 때,
(교재 12-183p)
- 26 -
유시정 고교 수학교실
104. 삼차함수 f(x)에 대하여
f( 0) = 0 , f( 1) = 1 , f( 2) = 2 이고 ,
x
d ⌠x
⌠ d f( x)dx
f(x)dx
⌡-2 dx
dx ⌡-2
때,
의 값은?
g( x)
105. f(x)의 역함수가 g(x)이고
x
d ⌠x
⌠ d f( x)dx
f(x)dx
=
를 만족시킬
⌡- 1 dx
dx ⌡-1
⌠
⌡1
(교재 12-183p)
f( t)dt = 12x 5 + 15x 4 + 20x 3 일 때,
g(x)의 최소값을 구하여라.
(교재 12-184p)
106. 함수 f( x) = 2x 3 - 3x 2 + 6x 의 역함수를 g(x)라고 할 때,
2
f( 2)
⌠ f(x)dx + ⌠ g(x)dx
의 값을 구하여라.
⌡1
⌡f( 1)
(교재 12-186p)
1
107. 오른쪽 그림과 같이 곡선 y = 1 + x 2 과
x축, y축 및 직선 x = a 로 둘러싸인 부분의 넓이
를
a
S(a) 라고 할 때, lim
a→0 S( a) 의 값은? (단, a>0 )
(
)
교
재
12-187p
108. 함수 f( x) = x 3 - 3x 2 + 3x 의 역함수를 g(x)라고 할 때, 곡선 y = f(x)
와 y = g(x) 로
둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
(교재
12-188p)
109. 곡선 y = ( x + m) 2 과 y = 1, x = 0, y = 0으로 둘러싸인 부분을 y축의 둘레로 회
전시켜
생긴 회전체의 부피의 최소값은?
( 교재
(단, 0 ≤ m ≤ 1 )
12-189p)
110.
θ
π
{ xy == tan
cos θ ( 4
2
≤θ≤
π
4
)
로 주어진 곡선 y = f( x) 와 x = ± , y = 0 으로
둘러싸인 도형을 x축의 둘레로 회전시켜 생기는 입체의 부피를 구하면?
(교재
12-191p)
111. 오른쪽 그림과 같이 수평으로 놓인
반구 모양의 그릇에 기름을 가득 채웠
- 27 -
유시정 고교 수학교실
다. 어느날 기름이 새고 있는 것이 발견
되어 확인해 보니 그림과 같이 A의 위치
에 작은 구멍이 하나 있었다. 기름은 적어
도 전체의 몇 분의 몇이 남아 있겠는가? (단, 구멍의 크기는 무시한다.)
(교재 12-191p)
112. 고속열차가 출발하여 3km를 달리는 동안은 시각 t분에서의 속도는
v( t) =
3 2
1
t +
t ( km/분 ) 이고, 그 이후로는 속력이 일정하다고 한다.출발 후 5분 동
4
2
안 이 열차가 달린 거리는?
(교재 12-192p)
π
113. 수직선 위의 원점을 출발하여 움직이는 점 P의 t초 후의 속도 v 가 v = cos 4 t 라
고 한다.
점 P가 움직인 위치의 변화가 실제 움직인 거리의
(단, 0<t<4)
1
3 일 때의 시각 t를 구하면?
(교재
12-193p)
2
114. 곡선 y = 3
x 3 ( 0 ≤ x ≤1 ) 의 길이를 구하면?
(교재
12-193p)
115. 곡선 y = - ln x ( 0 ≤ y ≤ 5) 를 y축의 둘레로
회전시켜 생기는 모양의 그릇에 수면의 상승속도가
항상 1이 되도록 물을 채워 나가고 있다.수면의 높이
가 2일 때의 물의 부피의 증가율을 구하면?
(교재 12-193p)
116. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)의 도함수를
f ' (x) 라고 하면 f ' (x) = |x 2 - 2x|
이다. f(1) = 2 일 때, f(3) 의 값은?
(교재 12-194p)
- 28 -
유시정 고교 수학교실
117. 함수 f(x) = e x 에서 구간 [0, 4]을 4등분한 각 점의 함수값으로 만들어진 다음 <보
기>의 네 식의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?
-<보 기>4
x
A= ⌠
⌡0 e dx
B=
1
{f( 0) + 2f( 1) + 2f( 2) + 2f( 3) + f( 4) }
2
C = f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4)
D = f( 0) + f( 1) + f( 2) + f( 3)
(교재 12-194p)
1
1
1
1
+
+
+…+
118. lim
n+1
n+2
n+3
2n
n
>∞
(
) 의 값을 정적분의 정의를 이용하여 구하여
라.
(교재 12-195p)
k
2
⌠
119. 이차함수 f( x) = ax + bx + c 에 대하여 ⌡- k f(x)dx 와 같은 것은?
(
교
재
12-195p)
120. 곡선 y = sin x 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 y = a cos x ( a > 0) 에 의
하여 이등분 될 때, a 의 값은?
( 단, 0 ≤ x ≤ π2 )
121. 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이면
(교재 12-195p)
b
1
⌠ f(x)dx = f( c)
를 만족시키는 c가
⌡
b-a a
a, b 사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 적분의 평균값의 정리라 하고 f(c)를 [a, b]의 평
균이라고 한다. 이것을 이용하여 f(x) = x 2 에 대한 다음 <보 기>의 설명 중 옳은 것을 모
두 고르면?
-<보 기>Ⅰ. 구간 [0, 3]에서 평균값의 정리를 만족시키는 c는 2개 있다.
Ⅱ. 구간 [0, 3]에서 평균은 3이다.
Ⅲ. 구간 [a, b]에서 곡선 y = x 2 과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 b - a 와 c 2 을
두 변의 길이로 하는 직사각형의 넓이와 같다.
(교재 12-196p)
- 29 -
유시정 고교 수학교실
122. 오른쪽 그림과 같은 일대일 대응인 함수 y = f( x) 와
그 역함수 y = g( x) 에 대하여 f( - x) = - f( x) 인 관계
a
f( a)
⌠
⌠
가 성립할 때, ⌡-a |f(x)|dx + ⌡-f( a) |g( x)|dx 의 값과
같은 것은?
(교재 12-196p)
123 구간 [a, b]에서 오른쪽 그림과 같이 함수 f(x),
g(x)의 그래프는 직선 y = α 에 대하여 대칭이고
f( x) ≥ g( x) ≥ 0 이다. 곡선 y = f( x) , y = g( x) 와
두 직선 x = a, x = b 로 둘러싸인 부분의 넓이를 S라고
할 때, 이 부분을 x축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의
부피는?
(교재 12-196p)
124. 밤중에 종점을 향하여 달리던 버스가 전방 72m 지점에 있는 물체를 확인하고 즉시
브레이크를 밟아 가까스로 충돌을 면할 수 있었다. 브레이크를 밟았을 때의 마을버스의 가
속도가 -4 m / ( 초 ) 2 이었다면 브레이크를 밟기 전의 속도는 대략 얼마인가?
(교재 12-197p)
125. 원점을 출발하여 수직선 위를 7초 동안 움직이
는
점 P의 t초 후의 속도 v( t) 가 오른쪽 그림과 같을
때,
다음 <보 기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?
-<보 기>Ⅰ. 점 P는 출발하고 나서 1초 동안 멈춘적이 있었
다.
Ⅱ. 점 P는 움직이는 동안 방향을 4번 바꿨다.
Ⅲ. 점 P는 출발하고 나서 4초 후 출발점에 있었다.
(교재 12-197p)
126. x축에 평행인 직선이 곡선
f( x) = x 3 + ax 2 + bx + c 와 오른쪽 그림과
같이 만날 때, 이 직선과 곡선으로 둘러싸인
부분의 넓이는?
- 30 -
유시정 고교 수학교실
(교재 16-78p)
127. 다항함수 f(x)가 다음 두 조건을 만족할
때
,
a
⌠ f ' (x) ( 1 - x 3 ) dx
의 값을 구하시오.
⌡-a
<조 건> Ⅰ. f( a) = 1
Ⅱ. 임의의 실수 x에 대하여 f( x) + f( - x) = 0
(교재 16-81p)
128. 포물선 y = x 2 의 0 ≤ x ≤ 2 인 부분을 y 축 둘레로
회전시켜 얻은 오른쪽 그림과 같은 그릇에 물이 가득 채
워질 때까지 매초 2π 씩 물을 넣는다고 한다. 물을 넣기
시작하여 t (0<t<4) 초 후의 물의 깊이를 h 라 할 때,
dh
dt
2
의 값을 구하시오.
(교재 16-81p)
129. 사차함수 f( x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e ( a > 0) 가
f(-2) = -4, f(-1) = -2,
2
⌠
f(2) = 4를 만족할 때, I = ⌡- 2 f( x) dx 에 대한 설명으로 옳은 것은?
f(1) = 2,
3a
① a< Ⅰ< 2
④
5a
< Ⅰ < 3a
2
②
3a
< Ⅰ < 2a
2
⑤ 3a < Ⅰ <
③ 2a < Ⅰ <
5a
2
7a
2
(교재 16-83p)
n
bk
lim ∑ f a +
130. 무한급수 n→∞
n
k=1
(
) nc
( 단 , a , b , c 는 상수 ) 를 정적분으로 나타낼 때,
다음 중 옳은 것을 모두 고르면?
-<보 기>1
⌠
Ⅰ. c ⌡o f(a+bx)dx
Ⅱ.
c ⌠b
f(a+x)dx
b ⌡0
a+b
⌠
Ⅲ. c ⌡a
f(x)dx
(교재 16-83p)
- 31 -
유시정 고교 수학교실
131. 포물선 C : y = x 2 을 점 (1, 2) 에 대하여 대칭이동시킨 포물선을 C ' 이라 할 때, C
와
C ' 으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
132. 밑면의 반지름이 1이고 높이가
(교재 16-85p)
3 인 원기둥
모양의 나무 도막을 수면이 잔잔한 물통에 담그
었더니 오른쪽 그림과 같이 밑면은 완전히 잠기고
윗면은 반이 잠기었다. 이 때, 수면 위에 있는 부분
의 부피는?
(교재 16-85p)
133. 원점을 출발하여 x축 위를 움직이는 물체의
속도 v 와 시각 t 사이의 관계가 오른쪽 그림과
같다. 이 물체가 t = 0에서 t =3 까지 움직인 거리
가 5일 때, t = 6 일 때의 위치 x를 구하시오.
(교재 16-86p)
134. 오른쪽 그림과 같은 길이가 240 m 인 코스를 두 자동차
A, B가 S 지점을 출발하여 서로 반대 방향으로 움직인다.
자동차 A, B의 t초 후의 속력이 각각 4 m/초, 2 t m/초
일 때 두 자동차가 출발 후 두 번째로 만나게 되는 것은
출발 후 몇 초 후인가를 구하시오.
(교재 16-86p)
1
n
⌠
135. 수열 {a n } 이 a 1 = 1 , ⌡0 ( a n - 1x - a n )x dx = 0 ( 단 , n ≥ 2 ) 을 만족할 때,
무한급수
a1
a2
a3
+
+
+…
2
3
4
의 값은?
(교재 16-87p)
136. 곡선 f( x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d 위의 점 (0, f(0))에서의 접선과 점 (1, f(1))
에서의
접선이 일치할 때, 이 곡선과 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
(교재
16-88p)
- 32 -
유시정 고교 수학교실
1
⌠
137. x ≥ 0 일 때 , 다음 중 f( x) = ⌡0 | t - x | dx 의 그래프의 개형은?
1
(교재 16-89p)
1
2
⌠
⌠
138. 다항함수 f( x) 가 ⌡0 xf( x)dx = 1 을 만족할 때 , g( a) = ⌡0 {f( x) - ax } dx 를 최
소로
하는 a 의 값을 구하시오.
(교재
16-91p)
139. 연속함수 f( x) 가 모든 실수 x 에 대하여 f( x) > 0 , f ' (x) > 0 를 만족한다.
n
1
k
A= ∑
f
n
k=1 n
( ),
n-1
1
k
B= ∑
f
n
k=0 n
( ),
1
C= ⌠
⌡0 f( x)dx 라 할 때,
A, B, C 의 대소관계는?
(교재
16-93p)
140. 함수 f(x)와 g(x)의 그래프가 오른쪽 그림과
x
⌠
같다. h( x) = ⌡1 {f( t) - g( t) }dt 라 할 때, 함수
h(x) 의 그래프로서 가장 적당한 것은?
(교재 16-93p)
141. 그림과 같이 길이가 4 인 선분 AB를 지름으로 하는
반원의 호를 n 등분하여 각 분점을 P 1 , P 2 , … , P n - 1
이라 하고 △AP kB ( k = 1, 2, … , n - 1) 의 넓이를
1 n-1
S k 라 할 때, lim
∑ S k 의 값은?
n→∞ n k = 1
(교재 16-95p)
142. 연속함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f( 3 + x) = f( 3 - x) 를 만족시킨다.
2
4
5
⌠ f(x)dx = 3 , ⌠ f(x)dx = 2 일 때, 정적분 ⌠ f(x)dx
의 값을 구하시오.
⌡1
⌡3
⌡2
4
(교재 16-96p)
143. 함수 y = f(x) 의 그래프가 점 (a, b)에 대칭이기 위한 필요충분조건은 모든 실수 x
에 대하여 f(a-x) + f(a+x) = 2b 가 성립하는 것이다. 이 성질을 이용하여 다음 두 조건을
- 33 -
유시정 고교 수학교실
2
⌠
모두 만족하는 연속함수 f(x) 에 대하여 ⌡0 f(x)dx 의 값을 구하면?
<조 건> Ⅰ. 모든 실수 x에 대하여 f(1-x) + f(1+x) = 1
Ⅱ. f(0) = 1
(교재 16-105p)
144. 지름의 길이가 6 cm 인 두 원기둥의 대칭축이
서로 수직으로 만나고 있다. 두 원기둥의 공통 부
분의 부피는 (
) 2 cm 3 이다. (
) 에 알맞은
수를 구하시오.
(교재 16-111p)
x
⌠
145. 연속함수 f(x) 가 모든 실수 t 에 대하여 f(-t) = f(t)를 만족한다. F( x) = ⌡0 f(t)dt
라 할 때, 아래의 표는 함수 F(x) 의 함수값을 구한 것이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
x
F(x)
0.0
0
0.1
0.6
0.2
1.1
0.3
1.5
0.4
1.7
0.5
1.8
0.6
1.7
0.7
1.6
0.8
1.4
0.9
1.2
1
1.5
0.5
⌠
① ⌡- 0.2 f(t)dt = 2.9
② F( p) + F( - p) = 0
( 0 < p < 1) 이다.
③ t = 0.5 일 때, f( t) 는 최대값을 갖는다.
④ 구간 [0, 1]에서 f(t) < 0 인 구간이 존재한다.
⑤ 구간 [-1, 1]에서 방정식 f(t) = 0 은 적어도 4 개의 실근을 갖는다.
(교재 16-113p)
146. 반지름이 r인 반구를 오른쪽 그림과 같이 높이가 같은 5개의 원기
둥 모양의 상자로 덮으려고 한다. 상자들의 부피의 합의 최소값은?
(교재 14-138p)
- 34 -
유시정 고교 수학교실
147. f( x) =x 3 + 2x 2 + 3x + 4 이고 g( x) 는 3차의 다항식이다.
f( x) + g( x) 의 도함수가 f( x) - g( x) 의 원시함수 중 하나와 같다면, g( x) 의 상수항은?
(교재 14-139p)
⌠
148. 부정적분 ⌡
1+ x
dx 를 구하면?
x
(교재 14-140p)
149. 다항함수 f(x)의 정적분을 계산할 때, 곡선 y = f( x) 의
그래프의 대칭성을 이용하면 편리하다. 특히
a
(가) f(x)가 기함수 ( f( - x) =- f( x)) 일 때
⌠ f(x)dx = 0
⌡- a
a
a
⌠
⌠
(나) f(x)가 우함수 ( f( - x) = f( x)) 일 때, ⌡- a f(x)dx = 2 ⌡0 f(x)dx
다음 각 물음에 답하라.
(1) 다항함수 f(x) 와 이 함수의 도함수 f ' (x) 는 임의의
실수 a에 대하여
a
⌠
ii) ⌡- a f(x)dx = 2a 를
i) f (-a) - f (a) = 0
'
'
만족할 때, f(0)을 구하라.
(2) 연속함수 f(x)가
2
5
3
⌠
⌠
f( 3 + x) = f( 3 - x) , ⌠
⌡1 f(x)dx = a , ⌡2 f(x)dx = b 일 때, ⌡2 f(x)dx 의 값은?
(교재 14-143p)
1
1
⌠
⌠
150. 함수 f(x)가 ⌡0 f(x)dx = 1 , ⌡0 xf( x)dx = 2 를 만족할 때,
1
⌠ (x-k) 2 f(x)dx
의 값이 최소가 되는 실수 k의 값을 구하라.
⌡0
(교재 14-144p)
1
151.
1
3
⌠
⌠
f( x) = x 3 (x 2 + 1) + x 3 cosx - x sin x 에 대하여 ⌠
⌡- 3 f(x)dx - ⌡2 f(x)dx + ⌡2 f(x)dx
값은?
- 35 -
유시정 고교 수학교실
의
(
교
재
14-145p)
1
⌠
152. 연속함수 f(x)가 f( x) + f( - x) = g( x) 를 만족할 때, ⌡-1 f(x)dx 의 값과 같은 것은?
1
⌠
② ⌡0 f(x)dx
① 0
1
⌠
③ 2 ⌡0 f(x)dx
1
⌠
④ ⌡0 g(x)dx
1
⌠
⑤ 2 ⌡0 g(x)dx
(교재 14-145p)
153. 모든 실수 x에 대하여 미분가능한 함수 f(x)가
1
f( 0) = 0 , ⌠
⌡0 f(x)dx = 1 을 만족할 때, 다음 <보 기>에서 옳은 것은?
-<보 기>(가) f ' (0) ≥0
(나) 0과 1사이의 적당한 실수 a에 대하여 f ' (a) ≥2 이다.
(다) 0과 1사이의 모든 실수 a에 대하여 f ' (a) ≥ - 1 이다.
(교재 14-146p)
an+1
⌠
154. a 1 =-1 , a 2 = 2 , ⌡a
( n
155.
n+2
x 2dx 를 만족하는 수열 {a } 의 일반항은?
n
= 1, 2, 3, … )
(교재 14-147p)
2
3
20
1
⌠ |x| 1 +x + x + x +…… + x
dx 의 값은?
⌡-1
2
3
20
(
)
(교재
14-147p)
x
2
⌠ 3
156. F( x) = ⌡1 (x + x - 2)dx 일 때, 다음 각 물음에 답하라.
(1) 다음 중 옳은 것은?
x
3
2
⌠
② F( - x) = ⌡- 1 ( - x + x -2)dx
x
⌠
④ F( - x) = ⌡1
3
2
⌠
① F( - x) = ⌡1 ( - x + x - 2)dx
3
2
⌠
③ F( - x) = ⌡1 ( - x - x + 2)dx
-x
-x
- 36 -
( x 3 + x 2 - 2)dx
유시정 고교 수학교실
x
3
2
⌠
⑤ F( -x) = ⌡- 1( -x -x +2)dx
1
2
F( x ) 의 값을 구하라.
(2) lim
x→1 x - 1
x
⌠
(3) F( x) = ⌡a (x-t)g(t) dt 를 만족하는 g( x) 는 ?
(4) 오른쪽 그림은 이차함수 y = f( x) 의 그래프이다. 함수
x+1
⌠
g(x)를 g( x) = ⌡x
f(t)dt 라 할 때, g( x) 의 최소값은?
(교재 14-148p)
lim n ⌠
157. f( x) = x + 3x - 2 에 대하여 n→∞
⌡0
4
2
158. n은 양의 정수이고 f( n) =
2
n
f(t)dt 의 값은?
(교재 14-149p)
(n+1)(n+2)……( n + n) 일 때,
n
f(n)
lim
정적분을 이용하여 n→∞
의 값을 구하면?
n
(교재 14-150p)
159. 다음은 함수 f(x)에 대하여
2π
2π
⌠ f(asinx+bcosx)dx = ⌠ f( a 2 + b 2 sinx)dx
가 성립함을 증명한 것이다.
⌡0
⌡0
2π
2π
2
2
⌠
⌠
(특히, ⌡0 (asinx + bcosx)dx = ⌡0 ( a + b sinx)dx 이다. )
-< 증 명>asinx + bcosx =
a 2 + b 2 sin ( x +α) ( 0 ≤α < 2π 인 상수 ) 라 하면
F( x) = f( a sin x + b cos x) = f( a 2 + b 2 sin ( x + α)) 는 주기가 ( 가 ) 인 주기함수이므로
2π
2π
⌠ F(x)dx = ⌠ ( 나 ) dx
⌡0
⌡0
2π
2π
2
2
⌠
∴ ⌠
⌡0 f(a sin x + b cos x)dx = ⌡0 f( a + b sinx)dx
- 37 -
(교재 14-152p)
유시정 고교 수학교실
f( x) = [ x 2 ] 이라 할 때, 자연수 n에 대하여
160.
lim
n→∞
1 ⌠n
f(x)dx 의 값을 분수로 나타내라.
0
n3 ⌡
(교재 14-152p)
161. 오른쪽 그림과 같이 미분가능한 함수
y = f( x) 와 y = g( x) 의 교점의 x좌표가
α , β , γ ( α <β < γ) 이고 두 곡선으로 둘러싸인
부분의 넓이를
라 할 때, 곡선
S 1 , S 2 ( S 1 > S 2)
x
y=⌠
⌡ {g( t) - f( t) }dt
a
의 그래프는?
(교재 14-155p)
162. 포물선 y = x 2 -1
을 좌표평면 위의 두 변환
f : ( x , y ) → ( x + 2 , y - 3)
g : ( x , y) → ( - x , - y)
의 합성변환 g∘f 에 의하여 이동한 곡선을 P라 할 때, P와 포물선 y = x 2 -1 로 둘러싸
인 부분의 넓이는?
(교재 14-157p)
163. 폐구간 [0, n]에서 아래로 볼록인 연속함수 f(x) 에 대하여
f
( 12 ) + f ( 32 ) + …… +f( 2n2-1 ) 의 최대값을 구하는 과정이 다음과 같다.
(
) 에 알맞은 것을 순서대로 적으면? (단, [0, n]에서 f( x)≥0 이다. )
[ 구간 [ k - 1 , k] 의 중점 x =
2k - 1
에서
2
y=f(x)에 접선을 그으면 이 접선은 곡선 y = f( x)
의 아래에 있으므로 오른쪽 그림에서
k
⌠
(어두운 사다리꼴의 넓이) ≤ ⌡k -1 f(t)dt
k
∴ (
)≤ ⌠
⌡
k -1
f(t)dt
1
3
따라서 f 2 + f 2 + …… +f
( ) ( )
( 2n2-1 ) ≤(
)
]
(교재 14-157p)
- 38 -
유시정 고교 수학교실
164. 함수 f(x) = e ax ( a > 0) 의 역함수를
y=g(x)라 할 때, 두 함수의 그래프는
한 점에서 접한다.
이 때, 곡선 y=f(x), y=g(x) 및 x축, y 축
으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
(교재 14-157p)
165. 곡선 y = sin x ( 0≤ x≤π) 와 세 직선 x = 0 , x = π , y = k 로 둘러싸인 도형을 직선
y = k 의 둘레로 회전시켜 생기는 입체의 부피가 최소가 되도록 k의 값을 정하면
(
)
π
이다. (
)안에 알맞은 수는?
(단, 0<k<1)
(
교
재
14-161p)
b
-b
⌠
⌠
임의의 양수 a, b 에 대하여 ⌡a f( x)dx + ⌡- a f( x) dx = 0 을 만족하는 것은 다음
166.
보기의
함수 중에서 모두 몇 개인가?
-< 보 기>Ⅰ.
f( x) =
x
2
x +2
Ⅱ.
f( x) = x 2 | sin x - 1 |
Ⅲ.
Ⅳ.
f(x) = e x + e - x
f( x) = | x | cos x
(교재 19-23p)
[수 능 기 출 문 제]
1. 원점을 출발하여 수직선 위를 7초 동안 움직이는 점
P
의 t 초 후의 속도 v( t) 가 오른쪽 그림과 같을 때,
<보 기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?
-<보 기>ㄱ. 점 P는 출발하고 나서 1초 동안 멈춘 적이 있었
다.
ㄴ. 점 P는 움직이는 동안 방향을 4번 바꿨다.
ㄷ. 점 P는 출발하고 나서 4초후 출발점에 있었다.
(95 수능,교재 8-204p,문)
1
2
⌠
2. 정적분 ⌡- 1 x( 1 - x) dx 의 값은?
(96 수능,교재 9-33p,문)
- 39 -
유시정 고교 수학교실
3. 반지름의 길이가 r인 공이 잔잔한
물 위에 떠 있다.오른쪽 그림과 같이
공의 수면 아래 부분의 깊이가
r
3
일
때,다음 중에서 수면 위에 있는 부분의
부피를 나타내는 수학적 표현은?
2r
①
π⌠
⌡ ( r - y ) dy
②
π⌠
⌡
③
π⌠
⌡
④
π⌠
⌡ (r -
⑤
π⌠
⌡ (r -
2
2
r
3
r
2
2
r
3
2
( r - y ) dy
r
2
2
r
3
( r - y ) dy
2r
2
2
2
2
2
2
r - y ) dy
r
3
r
r - y ) dy
r
3
(96 수능,교재 9-44p)
1
⌠
4. 정적분 ⌡0 x(1-x) dx
의 값은?
(97 수능 교재 20-4)
5. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 제 1 사분면
1 2
2
2
에서 두 곡선 y =3 - 2 x , x + y = 9 와 x 축
으로 둘러싸인 부분을 y축 둘레로 회전시킨 회
전체의 부피를 V 라 할 때,
1
V 의 값을 구하시오.
π
(97 수능, 교재 20-20)
6. 곡선 y = x( 1 - x) 와 x 축으로 둘러싸인 도형을 x축의 둘레로 회전시킬 때 만들어지는
회전체의 부피는?
(99 수능)
1
⌠ 2
7. 다음은 정적분 ⌡0 ( x +1) dx 의 근사값의 오차의 한계를 구하는 과정의 일부이다.
- 40 -
유시정 고교 수학교실
그림 (가), (나) 와 같이 폐구간 [0, 1]을 n 등분하여 얻은 n 개의 직사각형들의 넓이의 합
을 각각 A, B 라 하자.
A - B ≤ 0.15 가 되는 n 의 최소값은?
(00 수능 인문)
1
2
⌠
8. 정적분 ⌡0 ( x + 1) ( x -x+ 1) dx
의 값을 소수점 아래 둘째자리까지 구하시오.
(00 수능 인문)
y = x 와 x 축 및 직선 x = 4 로 둘러싸인 도형을
회전시켜 얻은 회전체의 부피는? [3점]
9. 곡선
①
②
8π
③
7π
10. 그림과 같이 삼차함수
6π
④
5π
⑤
x 축을 중심으로
(03 수능 인문)
4π
y = f( x) 가
극대값
f( 1) = 1 과 극소값
가지며,
f( 0) =- 3 이다.
f( 3) =- 3 을
3
이 때,
⌠ |f '(x)|dx
의 값은? [3점]
⌡0
(03 수능 인문)
①
6
②
7
④
9
⑤
10
③
8
- 41 -
유시정 고교 수학교실
- 42 -
유시정 고교 수학교실