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Cours de mathématiques
Terminale S
2014-2015
Antoine C ROUZET
Lycée la Folie Saint James
Neuilly-Sur-Seine
Terminale S
Mathématiques - TS
ii
Introduction
1
Terminale S
Mathématiques - TS
Vous retrouverez, dans l’ensemble de ce papier, l’intégralité de mon cours de Terminale S tel que je l’enseigne à
mes élèves.
Il ne s’agit que d’une base, souvent complété lors des cours (au feeling) et ne peut donc être considéré comme
complet à 100%. C’est cependant une bonne base de révision pour les élèves qui vont passer le baccalauréat, ou
ceux qui souhaitent réviser le cours de Terminale avant leur 1ère année post-bac.
Dans tous les cas, l’ensemble n’est pas exempt - loin s’en faut - d’erreurs (de la coquille à l’erreur grossière due à
un manque de (re)lecture). Il sera mis à jour régulièrement pour corriger ces erreurs, mais aussi pour l’enrichir.
Dernière mise à jour : 25 mars 2015
3
Terminale S
Mathématiques - TS
4
Premier Semestre
5
Chapitre 1
Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est un raisonnement important des mathématiques. Pour le comprendre, nous allons
partir d’un exemple :
Exemple 1.
On considère la proposition P(n) dépendant d’un entier n : “ 2n > n + 1 ”
Vérifions que cette propriété est vraie pour n = 0, 1, 2, 3, 4 :
Pour n = 0 :
20 = 1 > 0 + 1 = 1
Pour n = 1 :
21 = 2 > 1 + 1 = 2
Pour n = 2 :
22 = 4 > 2 + 1 = 3
Pour n = 3 :
23 = 8 > 3 + 1 = 4
Pour n = 4 : 24 = 16 > 4 + 1 = 5
On peut continuer les vérifications pour tous les entiers que l’on souhaite, mais on ne pourra jamais affirmer
que la proposition est vraie pour tout n. Pour démontrer cette proposition, on va faire appel au raisonnement par
récurrence.
Axiome 1.
Soit P(n) une proposition dépendant d’un entier, et n 0 un entier fixé.
• Si P(n 0 ) est vrai (initialisation),
• et si pour tout entier n > n 0 , P(n) ) P(n + 1) (hérédité),
alors P(n) est vraie pour tout entier n > n 0 .
Preuve. Ceci est un axiome des mathématiques : c’est une propriété de base, qui ne se démontre pas, mais qui semble
“logique”.
L’idée est simple : si on peut poser la première brique d’un mur, et si à chaque fois qu’on a posé une brique, on peut en
poser une autre par dessus, on peut effectivement construire un mur complet (infini, certes).
Exemple 2.
Démontrons maintenant la propriété P(n) : “ 2n > n + 1 ” pour n > 0 par récurrence :
• initialisation : pour n = 0, on a bien 20 = 1 > 0 + 1 = 1.
• hérédité : supposons que la propriété P(n) soit vraie pour un certain n fixé. On a donc 2n > n + 1 : c’est
l’hypothèse de récurrence
7
Mathématiques
CHAPITRE
- TS
1. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Terminale S
On veut alors démontrer P(n + 1), c’est à dire 2n+1 > (n + 1) + 1
2n > n + 1
,
,
,
,
On a donc bien 2
2 £ 2n
2n+1
n+1
2
° (n + 1 + 1)
2n+1 ° (n + 2)
n+1
>
>
>
>
2(n + 1)
2n + 2
2n + 2 ° (n + 1 + 1)
n>0
car 2 est un nombre positif
car n est un entier positif ou nul
> (n + 1) + 1 : la proposition P(n + 1) est donc vérifiée.
On a bien démontrer l’initialisation et l’hérédité : on a donc démontré par récurrence que la propriété P(n) est vraie
pour tout entier n :
8 n, 2n > n + 1
Exercice 1.
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
• 8 n > 1, 1 + · · · + n =
n(n + 1)
2
• 8 n > 4, 2n > n 2
• 8 n > 1, 13 + 23 + · · · + n 3 = (1 + 2 + · · · + n)2 =
⌫
n 2 (n + 1)2
4
Même si des traces de principe de récurrence ont été trouvées dans les travaux
de Pascal (XVIIe siècle), ce sont Richard Dedekind en 1888 et indépendamment
Giuseppe Peano en 1889 qui énoncent le principe de récurrence tel qu’on le connait.

Le raisonnement par récurrence est également utile pour démontrer des résultats de divisibilité.
Exemple 3.
Soit P(n) la proposition “ 10n ° (°1)n est un multiple de 11 ”
• initialisation : pour n = 0, 100 ° (°1)0 = 0 = 0 £ 11.
• hérédité : supposons P(n) vraie pour un certain n. On peut donc écrire 10n ° (°1)n = 11 £ p où p est un
nombre entier. On a alors
10n
10 £ 10n
10n+1
10n+1 ° (°1)n+1
10
n+1
° (°1)
n+1
10n+1 ° (°1)n+1
10n+1 ° (°1)n+1
=
11 £ p + (°1)n
=
110 + 10.(°1)n
10 £ 11 £ p + 10 £ (°1)n
=
110p + 10.(°1)n ° (°1)n+1
=
11 £ 10p + (°1)n [10 ° (°1)]
=
11 £ 10p + (°1)n £ 11
£
§
11 £ 10p + (°1)n
=
=
Donc 10n+1 ° (°1)n+1 est bien un multiple de 11 : P(n + 1) est vraie.
On a donc bien démontré P(n) pour tout n.
8
Chapitre 2
Suites
I. Généralités
1) Définition et notations
Définition 1.
Notation 1.
Une suite numérique réelle est une fonction de N (ou d’une partie de N) dans R.
Soit u une suite.
u:N
n
!
7!
R
un
La suite u peut aussi se noter (u n )n2N ou (u n )
2) Deux types de définition de suites
On peut définir une suite de deux manières différentes.
a) Définition explicite
La suite peut être définie explicitement :
• v est la suite définie par v n =
3n
n
pour n 2 N§ .
• u est la suite définie par u n est la n è décimale de º, pour n 2 N§ .
• w est la suite définie par
8
< w n = 3n + 2 si n est pair
: w n = 1 + 4 si n est impair
n
b) Définition par récurrence
Elle peut également être définie par récurrence :
• u est la suite définie par u 0 = °1 et, pour n > 0, u n+1 = 2 £ u n ° 1.
9
Mathématiques - TS
Terminale S
•
8
<
u0 =
: 8 n, u n+1 =
CHAPITRE 2. SUITES
2
1
un
3) Représentation graphique d’une suite
Définition par récurrence, u 0 = 1
Définition u n = f (n)
II. Suites arithmétiques et géométriques
1) Suites arithmétiques
Définition 2.
Une suite arithmétique est une suite (u n ) définie par une formule de récurrence de la forme
Ω
u 0 est donné
8 n, u n+1 = u n + a où a 2 R
Le réel a est appelé raison de la suite (u n ), et u 0 est le premier terme.
Exemple 4.
La suite u définie par u 0 = 1 et pour tout entier n, u n+1 = u n + 2 est une suite arithmétique de raison
2 et de premier terme u 0 = 1.
Théorème 1.
Soit u une suite arithmétique, de premier terme u 0 et de raison a. Alors, pour tout entier n,
u n = u 0 + na
Preuve. Soit Pn la proposition “u n = u 0 + na” définie pour tout entier n.
• Initialisation : pour n = 0 on a bien u 0 = u 0 + 0 £ a : P0 est donc vraie.
10
Mathématiques
II.. -SUITES
TS
ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES
Terminale S
• Hérédité : supposons que la propriété Pn est vraie pour un certain entier n. Alors, on a
u n+1 |{z}
= u n + a |{z}
= (u 0 + na) + a = u 0 + (n + 1)a
déf de u
Pn+1 est donc vraie.
HR
• La proposition Pn , d’après le principe de récurrence, est donc vraie pour tout n.
On peut également démontrer ce théorème par téléscopage.
Remarque 1.
Si u est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison a, on a également
8 n > p, u n = u p + (n ° p)a
Exemple 5.
u n = 2 ° 3n.
Théorème 2.
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 2 et de raison °3. Alors, pour tout entier n,
Soit u une suite arithmétique, de raison a. Soient n et p deux entiers tels que p 6 n. Alors,
u p + u p+1 + · · · + u n = (n ° p + 1)
u p + un
2
Preuve. Soit S = u p + u p+1 + · · · + u n . D’une part
S = u p + (u p + a) + (u p + 2a) + · · · + (u p + (n ° p)a)
et d’autre part
S = u n + (u n ° a) + (u n ° 2a) + · · · + (u n ° (n ° p)a)
En sommant les deux égalités,
2S = (u p + u n ) + (u p + u n ) + · · · + (u p + u n )
Avec n ° p + 1 termes. On a donc 2S = (n ° p + 1)(u p + u n ), ce qui donne le résultat.
On aurait pu également le démontrer par récurrence sur n.
Exemple 6 (Classique).
En s’intéressant à la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1, on a
1+2+···+n = n
n + 1 n(n + 1)
=
2
2
2) Suites géométriques
Définition 3.
Une suite géométrique est une suite (u n ) définie par une formule de récurrence de la forme
Ω
u 0 est donné
8 n, u n+1 = q £ u n où q 2 R
Le réel q est appelé raison de la suite (u n ), et u 0 est le premier terme.
11
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 2. SUITES
Exemple 7.
La suite u définie par u 0 = 1 et pour tout entier n, u n+1 = 2u n est une suite géométrique de raison 2
et de premier terme u 0 = 1.
Théorème 3.
Soit u une suite géométrique, de premier terme u 0 et de raison q. Alors, pour tout entier n,
un = u0 £ q n
Preuve. Soit Pn la proposition “u n = u 0 £ q n ” définie pour tout entier n.
• Initialisation : pour n = 0 on a bien u 0 = u 0 q 0 : P0 est donc vraie.
• Hérédité : supposons que la propriété Pn est vraie pour un certain entier n. Alors, on a
u n+1 |{z}
= q £ u n |{z}
= q £ (u 0 £ q n ) = u 0 £ q n+1
dèf de u
Pn+1 est donc vraie.
HR
• La proposition Pn , d’après le principe de récurrence, est donc vraie pour tout n.
Remarque 2.
Si u est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q, on a également
8 n > p, u n = u p £ q n°p
Exemple 8.
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 2 et de raison °3. Alors, pour tout entier n,
u n = 2 £ (°3)n .
Théorème 4.
Soit u une suite géométrique, de raison q. Soient n et p deux entiers tels que p 6 n. Alors,
u p + u p+1 + · · · + u n = u p
1 ° q n°p+1 u p ° qu n
=
1°q
1°q
Preuve. Soit p un entier fixé. Soit Pn la proposition “u p + · · · + u n =
• Initialisation :
u p °qu p
1°q
u p °qu n
1°q ” définie pour tout entier n
> p.
1°q
= u p 1°q = u p : Pp est donc vraie.
• Hérédité : supposons la propriété Pn vraie pour un certain entier n > p. Alors
u p + · · · + u n + u n+1 |{z}
=
HR
u p ° qu n
1°q
+ u n+1 =
u p ° qu n + u n+1 ° qu n+1
1°q
dèf de u
Pn+1 est donc vraie.
• D’après le principe de récurrence, la proposition Pn est donc vraie pour tout n > p.
12
=
|{z}
u p ° qu n+1
1°q
MathématiquesIII..
- TSMONOTONIE, MAJORATION, MINORATION
Terminale S
Exemple 9 (Classique).
En s’intéressant à la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison q, on a
1 + q + ··· + qn =
1 ° q q n 1 ° q n+1
=
1°q
1°q
III. Monotonie, majoration, minoration
1) Suites monotones
Définition 4.
Soit (u n ) une suite.
On dit que (u n ) est une suite croissante si u n 6 u n+1 pour tout n.
On dit que (u n ) est une suite décroissante si u n > u n+1 pour tout n.
Une suite monotone est une suite soit croissante, soit décroissante.
Remarque 3.
• On a aussi des suites strictement croissantes ou strictement décroissantes.
• Une suite peut n’être monotone qu’à partir d’un certain rang n 0 , c’est à dire u n 6 u n+1 pour tout n > n 0 (par
exemple).
2) Méthodes de recherche des variations d’une suite
a) Pour les suites u n = f (n)
Théorème 5.
Si f est croissante sur R+ , alors la suite (u n ) est croissante.
Si f est décroissante sur R+ , alors la suite (u n ) est décroissante.
Preuve. Si f est croissante sur R+ :
n < n + 1 =) u n = f (n) 6 f (n + 1) = u n+1
Exemple 10.
• Soit u la suite définie par u n = n 2 pour tout n. La fonction x 7! x 2 étant strictement croissante sur R+ , la suite
(u n ) est strictement croissante.
• La suite u définie par u n =
décroissante sur R+§ .
1
n
pour n > 1 est strictement décroissante, car la fonction inverse est strictement
• Exemple plus complexe : la suite (n 2 ° 4n + 2), qui nécessite l’étude de la fonction f : x 7! x 2 ° 4x + 2.
b) Autres méthodes
Théorème 6 (Etude de la différence de deux termes consécutifs).
Soit une suite u donnée. On peut étudier le signe de la différence u n+1 ° u n .
Si u n+1 ° u n > 0 pour tout n, alors la suite u est croissante.
Si u n+1 ° u n 6 0 pour tout n, alors la suite u est décroissante.
13
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 2. SUITES
Théorème 7 (Etude du quotient de deux termes consécutifs).
Soit une suite u à termes strictement positifs, on peut utiliser :
u
Si un+1
> 1 (resp. > 1) alors la suite u est croissante (resp. strictement croissante).
n
u
Si un+1
6 1 (resp. < 1) alors la suite u est décroissante (resp. strictement décroissante).
n
Exemple 11.
• u 0 = 1 et u n+1 = u n + n 21+1 pour tout n. Alors, pour tout n, on a u n+1 ° u n =
strictement décroissante.
• La suite u définie par u n =
a
5n
2n+1
1
n 2 +1
> 0 : la suite (u n ) est donc
est strictement croissante. En effet, elle est à termes strictement positifs, et on
u n+1
=
un
5n+1
2n+2
5n
2n+1
=
5n+1 2n+1 5
.
= >1
2n+2 5n
2
Conséquence 1.
• Si a > 1, la suite (a n ) est strictement croissante.
• Si a = 1, la suite (a n ) est constante.
• Si 0 < a < 1, la suite (a n ) est décroissante.
3) Suites majorées, minorées, bornées
Définition 5.
• Une suite (u n ) est dite minorée s’il existe m 2 R tel que m 6 u n pour tout n. m s’appelle un minorant.
• Une suite (u n ) est dite majorée s’il existe M 2 R tel que M > u n pour tout n. M s’appelle un majorant.
• Une suite bornée est une suite à la fois majorée et minorée : il existe deux réels m et M tels que pour tout n :
m 6 un 6 M
Exemple 12.
La suite u définie par u n =
1
n+1
est bornée :
8 n, 0 6 u n 6 1
14
Chapitre 3
Limites de suites
I. Généralités
1) Limite finie
Définition 6.
Soit (u n ) une suite et l un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes
de la suite à partir d’un certain rang, on dit que la suite (u n ) a pour limite l , et on note
lim u n = l
n!+1
Exemple 13.
1
n+1
La suite u définie pour tout n par u n =
lim
n!+1
Propriété 1.
converge vers 0 :
1
=0
n +1
Si une suite (u n ) a une limite finie, celle-ci est unique.
Preuve. On suppose que (u n ) converge vers l et l 0 et que l 6= l 0 . Donc la distance entre l et l 0 est non nulle. On la note d , et
on s’intéresse aux deux intervalles ]l ° d4 ; l + d4 [ et ]l 0 ° d4 ; l 0 + d4 [. Par définition de la convergence, tous les termes de la suite
sont dans ces deux intervalles à partir d’un certain rang. Or :
les deux intervalles sont disjoints, ce qui est absurde.
2) Limite infinie
Définition 7.
Soit (u n ) une suite.
• Si tout intervalle de la forme ]a; +1[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, on dit que
15
Mathématiques - TS
Terminale S
la suite (u n ) a pour limite +1, et on note
CHAPITRE 3. LIMITES DE SUITES
lim u n = +1
n!+1
• Si tout intervalle de la forme ] ° 1, a[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, on dit que
la suite (u n ) a pour limite °1, et on note
lim u n = °1
n!+1
Exemple 14.
La suite u définie pour tout n par u n = n a pour limite +1, et la suite v définie pour tout n par
v n = °n 2 a pour limite °1 :
lim n = +1 et lim °n 2 = °1
n!+1
n!+1
Algorithme 1.
Si une suite croissante (u n ) a pour limite +1, on peut utiliser l’algorithme suivant pour déterminer
le plus petit entier n vérifiant u n > A (où A est un réel positif quelconque) :
Algorithme 1 : SEUIL
Entrées : Saisir A (nombre positif)
Initialisation :
n√0
U √ u0
Tant que U 6 A
n √ n +1
U √ un
FinTantque
Sorties : Afficher n
3) Suite convergente
Définition 8.
On dit qu’une suite est convergente si elle possède une limite finie.
4) Suite sans limite
Remarque 4.
Certaines suites ne possède aucune limite, que ce soit finie ou infinie.
Exemple 15.
La suite (°1)n prend la valeur 1 aux termes pairs, et °1 aux termes impairs. Elle ne peut donc ni
converger, ni diverger : elle ne possède donc pas de limite.
II. Théorèmes sur les limites
1) Théorème de comparaison
Théorème 8.
Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergentes, de limites respectives l et l 0 . Si, pour tout n > n 0 , on a
u n 6 v n , alors l 6 l 0 .
Preuve. Supposons au contraire que l > l 0 . En notant d la distance (non nulle) entre l et l 0 , cela signifie qu’à partir d’un
certain rang, les termes de la suites (u n ) se trouve dans l’intervalle ]l ° d4 ; l + d4 [. Or, v n > u n , donc, à partir d’un certain
16
Mathématiques - TS
Terminale S
II.. THÉORÈMES SUR LES LIMITES
rang v n > l ° d4 . Donc l’intervalle ]l 0 ° d4 ; l 0 + d4 [ ne contient aucun élément de la suite (v n ) à partir d’un certain rang :
absurde.
2) Théorème des gendarmes
Théorème 9.
(Théorème des gendarmes) Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites. On suppose que, pour tout n > n 0 ,
u n 6 v n 6 w n et que lim u n = lim w n = l . Alors,
n!+1
n!+1
lim v n = l
n!+1
Preuve. Soit I un intervalle ouvert contenant l .
Par définition de la limite, il existe un rang n 1 tel que pour n > n 1 , u n soit dans I. De même, il existe un rang n 2 tel que,
pour n > n 2 , w n soit dans I.
Mais alors, pour tout n plus grand que n 1 et n 2 , u n 2 I et w n 2 I. Or, u n 6 v n 6 w n , et puisque I est un intervalle, on en
déduit que pour tout n plus grand que n 1 et n 2 , v n 2 I.
Ceci étant vrai pour tout intervalle ouvert I contenant l , on en déduit bien que lim v n = l .
n!+1
Exemple 16.
Or, lim °
n!+1
Pour tout n 6= 0, on a
°
2
cos n + sin n
2
6
6
n
n
n
2
2
= lim ° = 0. Par le théorème des gendarmes,
n n!+1 n
lim
n!+1
cos n + sin n
=0
n
Théorème 10.
Soient (u n ) et (v n ) deux suites, et l un réel. On suppose que pour tout n > n 0 ,
|u n ° l | 6 v n et que lim v n = 0. Alors
n!+1
lim u n = l
n!+1
Preuve. Application du théorème des gendarmes.
Théorème 11.
Soient (u n ) et (v n ) deux suites.
• Si pour tout n > n 0 , u n > v n et si lim v n = +1 alors lim u n = +1
n!+1
n!+1
• Si pour tout n > n 0 , u n 6 v n et si lim v n = °1 alors lim u n = °1
n!+1
n!+1
Preuve. Démontrons le premier point. Soit A un réel strictement positif quelconque. Puisque lim v n = +1, il existe un
n!+1
rang n 0 tel que, pour tout n > n 0 , on a v n 2 [a; +1[. Or, puisque pour tout n, u n > v n , on a également u n 2 [a; +1[ pour
n > n0 .
Par définition de la limite infinie, cela signifie donc que lim u n = +1
n!+1
3) Convergence des suites monotones
17
Mathématiques - TS
Terminale S
Théorème 12.
CHAPITRE 3. LIMITES DE SUITES
Toute suite croissante majorée converge. Toute suite décroissante minorée converge.
Preuve. Admise.
Théorème 13.
limite °1.
Toute suite croissante non majorée a pour limite +1. Toute suite décroissante non minorée a pour
Preuve. Soit (u n ) une suite croissante non majorée. La suite étant non majorée, quel que soit le réel a, on peut trouver un
terme u N de la suite strictement supérieur à a. On a donc u N > a.
Or, la suite u étant croissante, on a, pour tout n > N, u n > u N > a. Tous les termes de la suite u sont donc dans l’intervalle
]a; +1[ a partir d’un certain rang. Ceci étant vrai pour tout a, par définition, on en déduit
lim u n = +1
n!+1
Exemple 17.
La suite (u n ) définie par u n = n 2 est croissante, non majorée : sa limite est +1.
La suite v définie pour tout n > 0 par v n = 1 ° n1 est croissante, majorée (par 1) : elle converge donc.
Théorème 14.
Soit (u n ) une suite croissante de limite l . Alors, pour tout entier n, on a u n 6 l
Preuve. Supposons qu’il existe un entier n 0 tel que u n0 > l . Notons r = u n0 ° l > 0. Par croissance de la suite u, on a donc,
pour tout n > n 0 , u n > u n0 . Mais alors, l’intervalle ]l ° r ; l + r [ ne contient aucun terme de la suite à partir de n 0 . Cela
contredit le fait que la suite u converge vers l : ABSURDE.
III. Opération sur les limites
Limite de u n + v n :
lim v n \ lim u n
l0
+1
°1
l
l +l0
+1
°1
+1
+1
+1
IND
°1
°1
IND
°1
Limite de u n £ v n :
lim v n \ lim u n
l 0 6= 0
+1
°1
Limite de
un
vn
l 6= 0
l .l 0
signe(l ).1
-signe(l ).1
si la limite de (v n ) n’est pas nulle :
18
+1
signe(l 0 ).1
+1
°1
°1
-signe(l 0 ).1
°1
+1
Mathématiques IV..
- TSSUITES ADJACENTES (HORS PROGRAMME)
Terminale S
lim v n \ lim u n
l 0 6= 0
+1
°1
Limite de
un
vn
l
+1
signe(l 0 ).1
IND
IND
l
l0
0
0
°1
-signe(l 0 ).1
IND
IND
si la limite de (v n ) est nulle :
lim v n \ lim u n
0+
0°
Théorème 15.
0
IND
IND
l 6= 0
signe(l ).1
-signe(l ).1
+1
+1
°1
°1
°1
+1
Soit q un nombre réel. On s’intéresse à la suite (q n ).
• Si q > 1, lim q n = +1.
n!+1
• Si °1 < q < 1, lim q n = 0.
n!+1
• Si q = 1, lim 1n = 1.
n!+1
• Si q 6 °1, la suite (q n ) ne possède pas de limite.
Preuve. Tout part de l’inégalité de Bernoulli, qui se démontre à l’aide d’une récurrence : pour tout x > 0, et pour tout
entier n, on a
(1 + x)n > 1 + nx
• Si q > 1, on peut écrire q = 1 + x avec x = q ° 1 > 0. D’après l’inégalité de Bernoulli
q n > 1 + nx = 1 + n(q ° 1)
Or, puisque q ° 1 > 0, on a
lim 1 + n(q ° 1) = +1
n!+1
Par théorème d’encadrement,
lim q n = +1
n!+1
• Si q = 1, la suite (q n ) est la suite constante égale à 1. Elle converge donc vers 1.
• Si °1 < q < 1, posons Q =
1
|q|
> 1. Alors, d’après ce qui précède
lim Qn = +1
n!+1
Or, on a
µ
1
0 6 |q| =
Q
n
Par théorème d’encadrement, puisque lim Qn = +1 on a
∂n
=
1
Qn
n!+1
lim |q|n = 0 et donc lim q n = 0
n!+1
n!+1
• Si q = °1, la suite (°1)n vaut 1 pour les termes pairs, et °1 pour les termes impairs. Elle ne peut donc converger.
• Si q < °1, on a lim |q|n = +1. Donc la suite (|q|n ) prend des valeurs aussi grandes que l’on veut. Or, la suite (q n )
n!+1
prend des valeurs positives pour les termes pairs, et négatives pour les termes impairs. Elle ne peut donc pas avoir
de limite.
IV. Suites adjacentes (Hors Programme)
19
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 3. LIMITES DE SUITES
Définition 9.
On dit que deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes si (u n ) est croissante, (v n ) est décroissante et si
lim v n ° u n = 0.
n!+1
Exemple 18.
Théorème 16.
Les suites u et v définies pour tout n > 1 par u n = ° n1 et v n =
1
n
sont adjacentes.
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes, et elles ont la même limite.
Preuve. On montre que la définition des suites adjacentes entraîne que, pour tout n, u 0 6 u n 6 v n 6 v 0 : en effet, la suite
(v n ° u n ) est décroissante par construction, et de limite 0 : cela implique que tous les termes de la suite (v n ° u n ) sont
positifs.
La suite (u n ) est donc croissante majorée : elle converge, vers une limite que l’on note l . De même, la suite (v n ) est
décroissante minorée : elle converge, vers l 0 . Or, par définition, lim v n ° u n = 0. Par opération sur les limites, cela
n!+1
implique l ° l 0 = 0, soit l = l 0 .
20
Chapitre 4
Probabilités, probabilités conditionnelles
I. Probabilités - Rappels
1) Evénements
Définition 10.
univers.
Soit ≠ l’ensemble des issues (résultats possibles) d’une expérience aléatoire. ≠ est aussi appelé
• On appelle événement toute partie de ≠. Un événement composé d’une seule issue est appelé événement
élémentaire.
• ; est appelé événement impossible.
• ≠ est appelé événement certain.
Définition 11.
• L’événement A [ B est l’événement “A ou B”.
• L’événement A \ B est l’événement “A et B”.
• Deux événements A et B sont incompatibles si A \ B = ; (ils ne peuvent se réaliser en même temps).
• On appelle événement contraire d’un événement A, noté A, l’ensemble de toutes les issues de ≠ qui ne sont
pas dans A.
2) Loi de probabilité
Définition 12.
On considère l’univers ≠ = {x 1 ; · · · ; x n }. On définit une loi de probabilité p sur ≠ en associant à
chaque issue x i un nombre réel p(x i ) = p i tel que
• pour tout i 2 {1; · · · ; n}, 0 6 p i 6 1.
• p1 + · · · + pn = 1
On dit que p i est la probabilité de l’issue x i
Définition 13.
Soit p une loi de probabilité sur un univers ≠. Pour tout événement A, on appelle probabilité de
A la somme des probabilités des issues composant A : si A = {u 1 ; · · · ; u k } alors on a p(A) = p(u 1 ) + · · · + p(u k ).
On convient de plus que p(;) = 0.
21
CHAPITRE
Mathématiques
4. PROBABILITÉS,
- TS
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Terminale S
3) Loi équiprobable
Propriété 2.
Dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables, ou que la
loi de probabilité est uniforme.
Si ≠ = {x 1 ; · · · ; x n }, alors la probabilité de chaque issue est
p=
1
1
=
c ar d (≠) n
Dans ce cas, la probabilité d’un événement A est donnée par
p(A) =
c ar d (A) nombre de cas favorables
=
c ar d (≠)
nombre de cas possibles
4) Propriétés des probabilités
Propriété 3.
• Pour tout événement A, on a p(A) 2 [0; 1].
• Si A et B sont deux événements incompatibles, on a p(A [ B) = p(A) + p(B).
• Si A et B sont deux événements quelconques, on a p(A [ B) = p(A) + p(B) ° p(A \ B).
• Si A Ω B alors p(A) 6 p(B).
• Si A1 , · · · , Ak sont des événements deux à deux disjoints, on a
p(A1 [ · · · Ak ) = p(A1 ) + · · · + p(Ak ).
• Pour tout événement A, on a p(A) = 1 ° p(A).
II. Variables aléatoires - Rappels
1) Définitions
Définition 14.
Soit ≠ un ensemble fini muni d’une loi de probabilité p. On appelle variable aléatoire sur ≠ toute
application X définie sur ≠ et à valeur dans R.
Si on note X(≠) = {x 1 ; · · · ; x n }, on appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X, l’application qui à tout élément
x i fait correspondre la probabilité de l’événement “X prend la valeur x i ”, que l’on note p(X = x i ).
Remarque 5.
• L’événement (X = x i ) est composé des issues pour lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur x i .
• Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X, c’est donner l’ensemble des probabilités p(X =
x 1 ), · · · , p(X = x n ) (sous la forme d’un tableau par exemple).
Exemple 19.
On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si on tombe sur 1 ou 6, et on perd 1 euro sinon. En notant
X le gain, alors les valeurs possibles de X sont 1 et °1. On a donc
(X = 1) = {1; 6} et (X = °1) = {2; 3; 4; 5}
et donc p(X = 1) =
2
6
=
1
3
et p(X = °1) =
4
6
= 23 .
2) Paramètres d’une variable aléatoire
22
Mathématiques - TS
Terminale S
III.. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Définition 15.
Soit ≠ un ensemble fini, muni d’une loi de probabilité p, et X une variable aléatoire. On note
X(≠) = {x 1 ; · · · ; x n }.
• On appelle espérance mathématique de X le nombre réel
E(x) = x 1 £ p(X = x 1 ) + · · · + x n £ p(X = x n ) =
n
X
i =1
x i £ p(X = x i )
• On appelle variance de Xle nombre réel positif
V(x) = (x 1 ° E(x))2 £ p(X = x 1 ) + · · · + (x n ° E(x))2 £ p(X = x n ) =
• On appelle écart-type de X le nombre réel positif æ(X) =
Proposition 1.
p
V(x).
n
X
i =1
(x i ° E(x))2 £ p(X = x i )
Soient a et b deux réels, et X une variable aléatoire. Alors
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a 2 V(X)
III. Probabilités conditionnelles
1) Exemple
Dans un sac, on possède 10 jetons : 6 jetons rouges, numérotés 1, 1, 1, 2, 2, 4 et quatre jetons verts, numérotés 2, 2, 4, 4. On
tire au hasard un jeton du sac.
On note R l’événement “obtenir un jeton rouge”, V l’événement “obtenir un jeton vert”, 1 l’événement “obtenir un jeton 1”,
...
Cet expérience peut être représentée par un arbre pondéré :
De cet arbre, on peut lire ainsi que p(R) =
6
10 ,
p(V) =
4
10 .
23
Terminale S
CHAPITRE
Mathématiques
4. PROBABILITÉS,
- TS
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
La branche °R ° 2 indique que l’on a obtenu un jeton rouge et numéroté 2.
Propriété 4.
• Loi des noeuds : La somme des probabilité inscrites sur les branches issues d’un même noeud est égal à 1.
• La probabilité de l’événement représenté par un chemin est égal au produit des probabilités inscrites sur les
branches de ce chemin.
Ainsi, la probabilité de R \ 2 est égale à
p(R \ 2) =
6
1
£ = p(R) £ p R (2)
10 3
2) Probabilité conditionnelle
Définition 16.
Soit ≠ un univers muni d’une loi de probabilité p. Soit A un événement de probabilité non nul.
Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant que A est réalisé
p A (B) =
p(A \ B)
p(A)
p A (B) est aussi noté p(B|A).
Propriété 5.
Soit ≠ un ensemble muni d’une loi de probabilité p, et soit A un événement de probabilité non nulle.
L’application qui à un événement B associe p A (B) est une loi de probabilité sur ≠.
IV. Probabilités totales
1) Réunion d’événements incompatibles
Définition 17.
Soit ≠ un ensemble, et soient E1 , · · · , En des parties de ≠. On dit que E1 , · · · , En est une partition
de ≠ si les parties E1 , · · · , En sont deux à deux disjoints, et si leur réunion est égale à ≠.
2) Formules des probabilités totales
Théorème 17.
Soit E1 , · · · , En une partition de ≠, telle que les événements E1 , · · · , En ne soient pas de probabilité
nulle. Alors, pour tout événement A, on a
p(A) = p(A \ E1 ) + · · · + p(A \ En )
c’est à dire
p(A) = p E1 (A) £ p(E1 ) + · · · + p En (A) £ p(En )
Propriété 6.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un événement E est la somme des probabilités des chemins
qui aboutissent à E.
24
Mathématiques - TS
V.. INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
Terminale S
Exemple 20.
Dans l’exemple de début, la probabilité de l’événement 2 vaut
1 6
1 4
4
p(2) = p R (2) £ p(R) + p V (2) £ p(V) = . + .
=
3 10 2 10 10
V. Indépendance de deux évènements
Définition 18.
Soit ≠ un ensemble muni d’une loi de probabilité p. On dit que deux événéments A et B sont
indépendants lorsque p(A \ B) = p(A) £ P(B).
Exemple 21.
Dans l’exemple du début, les événements V et R sont indépendants.
Propriété 7.
suivantes :
Si A et B sont des événements de probabilité non nulle, il y a équivalence entre les propositions
• A et B sont indépendants.
• p A (B) = p(B)
• p B (A) = p(A)
Théorème 18.
Soient deux évènements indépendants A et B. Alors A et B sont aussi indépendants.
Preuve. Puisque A et B sont indépendants, on a p(A \ B) = p(A)p(B). Or, puisque (A \ B) et A \ B forment une partition de
B, on a d’après la formule des probabilités totales :
p(B) = p(A \ B) + p(A \ B) = p(A)p(B) + p(A \ B)
On a donc p(A \ B) = p(B) ° p(A)p(B) = (1 ° p(A))p(B) = p(A)p(B).
25
Terminale S
CHAPITRE
Mathématiques
4. PROBABILITÉS,
- TS
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
26
Chapitre 5
Limites de fonctions
I. Limites à l’infini
1) Limites nulles
Définition 19.
Si, pour tout " > 0 (aussi petit qu’on veut), la fonction f est comprise entre °" et +" (soit | f (x)| 6 ")
lorsque x est suffisamment grand (c’est-à-dire pour tout x > M), on dit que f a pour limite 0 quand x tend vers +1.
On note
lim f (x) = 0 ou lim f = 0
x!+1
Remarque 6.
Exemple 22.
+1
On définit de même lim f (x) = 0
x!°1
lim
x!+1
1
=0
x
2) Limites finies : l 2 R
Définition 20.
Soit l 2 R. On dit qu’une fonction f a pour limite l quand x tend vers +1 (ou °1) si f (x) ° l tend
vers 0 quand x tend vers +1 (ou °1).
Exemple 23.
Définition 21.
lim 2 +
x!+1
1
=2
x
(Asymptote horizontale) Soit f une fonction telle que lim f (x) = l (où l 2 R). Alors, la droite
x!+1
d’équation y = l est appelée asymptote horizontale à la courbe de f en +1 (même chose en °1).
Remarque 7.
f (x) ° l .
Pour étudier la position de la courbe de f par rapport à l’asymptote y = l , on étudie le signe de
• Si f (x) ° l > 0, la courbe est au dessus de son asymptote.
• Si f (x) ° l 6 0, la courbe est au dessus de son asymptote.
27
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 5. LIMITES DE FONCTIONS
3) Limites infinies
Définition 22.
Si, pour tout nombre A (aussi grand qu’on veut), la fonction f est supérieure ou égale à A dès que
x est suffisamment grand, on dit que f a pour limite +1 quand x tend vers +1. On note
lim f (x) = +1
x!+1
Remarque 8.
ou
lim f = +1
+1
On définit de même lim f (x) = +1, lim f (x) = °1 et lim f (x) = °1
x!°1
x!+1
x!°1
II. Limites en a 2 R
Ici, on s’intéresse au comportement d’une fonction f quand x tend vers a 2 R. Les mêmes idées (et notations) s’appliquent
donc.
Remarque 9.
On peut considérer deux types de limite quand x tend vers a :
• lim° f (x) =
x!a,x<a
• lim f (x) =
x!a,x>a
x!a
x!a +
lim
f (x) : x tend vers a en restant toujours inférieur à a.
lim
f (x) : x tend vers a en restant toujours supérieur à a.
Si lim f (x) = lim° f (x) = l , on note alors lim f (x) = l .
x!a +
x!a
x!a
Exemple 24.
lim
x!0+
1
= +1
x
lim
x!0+
lim
x!0+
lim
x!0°
1
= °1
x
1
= +1
x2
1
= +1
x3
lim°
x!0
1
= °1
x3
1
lim p = +1
+
x!0
x
Définition 23.
(Asymptote verticale)
Si
lim ° f (x) = +1 ( ou °1), on dit que la droite d’équation y = a est une asymptote verticale à la courbe de
f.
x!a + (ou a )
III. Opération sur les limites
On suppose connues les limites de deux fonctions f et g .
1) Limite de f + g
lim g / lim f
l0
+1
°1
l
l +l0
+1
°1
28
+1
+1
+1
IND
°1
°1
IND
°1
Mathématiques - TS
Terminale S
Exemple 25.
III.. OPÉRATION SUR LES LIMITES
p
lim (x + x) = +1
x!+1
2) Limite de f £ g
lim g / lim f
l 0 6= 0
+1
°1
Remarque 10.
indéterminé.
l 6= 0
l .l 0
signe(l ).1
-signe(l ).1
+1
signe(l 0 ).1
+1
°1
°1
-signe(l 0 ).1
°1
+1
Si l = 0 (et/ou l 0 = 0), seul le résultat lim( f g ) = l .l 0 = 0 est déterminé. Tout le reste ("0 £ 1") est
Exemple 26.
p
lim (x x) = +1
x!+1
lim 3x £
x!0
3) Limite de
1
= 0£1 = 0
x2 + 1
f
g
lim g / lim f
l 0 6= 0
+1
°1
l
+1
signe(l 0 ).1
IND
IND
l
l0
0
0
°1
-signe(l 0 ).1
IND
IND
Si lim g = 0, il faut tout d’abord préciser si lim g = 0+ (g tend vers 0 en restant positif) ou si lim g = 0° , et on applique :
lim g / lim f
0+
0°
0
IND
IND
Exercice 2.
l 6= 0
signe(l ).1
-signe(l ).1
1 + x1
p =0
x!+1
x
lim
lim
x!0+
x2 + 1
= +1
x
4) Quelques indéterminations classiques
Il existe des méthodes générales pour lever l’indétermination pour :
— les polynômes (méthode du terme de plus haut degré).
— les fonctions rationnelles (méthode du terme de plus haut degré).
— certaines fonctions contenant des radicaux (quantité conjuguée).
29
+1
+1
°1
°1
°1
+1
Mathématiques - TS
Terminale S
Exemple 27.
CHAPITRE 5. LIMITES DE FONCTIONS
2x 3 ° 3x 2 ° x + 1
2x 3
= lim
=2
3
x!+1
x!+1 x 3
x °1
lim
2x 3 ° 3x 2 ° x + 1
2x 3
= lim
= lim 2x = +1
2
x!+1
x!+1 x 2
x!+1
x °1
lim
5) Limite d’une fonction composée
Théorème 19.
Soient f , g , h trois fonctions telles que f (x) = g (h(x)) sur un intervalle I. Soient a, b, c des éléments
de R [ {+1; °1}.
Si lim h(x) = b et lim g (x) = c, alors
x!a
x!b
lim f (x) = c
x!x
Preuve. Admis.
Remarque 11.
Dans le théorème précédent, pour tout x, f (x) = g (h(x)). On note f = g ± h et on dit que f est la
composée de h suivi de g .
Exemple 28.
lim
x!+1
p
1
x 2 ° x + 1 = +1. Plus compliqué, lim p
= +1.
3x ° 1
x! 13
IV. Théorèmes de comparaison
1) Théorème d’encadrement
Théorème 20.
Soient f , g , h trois fonctions définies sur ]a; +1[ (où a est un réel quelconque). Si, pour tout x de I,
on a f (x) 6 g (x) 6 h(x) et si f et h ont la même limite l en +1, alors
lim g (x) = l
x!+1
Preuve. Admis. Idée de démonstration dans le chapitre sur les suites.
Exemple 29.
Soit g la fonction définie sur ]0; +1[ par g (x) =
1
1
Puisque lim
= lim ° = 0, on en déduit donc
x!+1 x
x!+1 x
lim
x!+1
Théorème 21.
sin x
x . On a, pour tout
x de ]0; +1[, ° x1 6 g (x) 6 x1 .
sin x
=0
x
Soient f et g deux fonctions définie sur I =]a; +1[, et soit l un réel. Si, pour tout x de I, on a
30
Mathématiques - TS
Terminale S
| f (x) ° l | 6 g (x), et si lim g (x) = 0 alors
x!+1
IV.. THÉORÈMES DE COMPARAISON
lim f (x) = l
x!+1
Preuve. Se démontre grâce au théorème précédent.
2) Comparaison à l’infini
Théorème 22.
Soient f et g deux fonctions définies sur I =]a; +1[. Si pour tout x de I :
• f (x) > g (x) et si lim g (x) = +1 alors lim f (x) = +1.
x!+1
x!+1
• f (x) 6 g (x) et si lim g (x) = °1 alors lim f (x) = °1.
x!+1
x!+1
Preuve. Soit M un réel. Par définition, à partir d’un certain réel b, on a g (x) > M. Or f (x) > g (x), donc f (x) > M pour tout
x > b : par définition, lim f (x) = +1.
x!+1
Exemple 30.
lim x + cos x = +1
x!+1
Définition 24.
(Asymptote oblique) Soit C f la courbe représentative d’une fonction f dans un repère donné. Soit
(d ) une droite d’équation y = ax + b (a 6= 0). On dit que la droite (d ) est une asympote oblique à C f au voisinage de
+1 si
lim [ f (x) ° (ax + b)] = 0
x!+1
31
Terminale S
Mathématiques - TS
32
CHAPITRE 5. LIMITES DE FONCTIONS
Chapitre 6
Continuité
I. Généralités
1) Continuité en un point, sur un intervalle
Définition 25.
Soit f une fonction, et I un intervalle inclus dans l’ensemble de définition de f .
• On dit que la fonction f est continue en un point a de I si f admet une limite en a, qui est alors égale à f (a) :
lim f (x) = f (a)
x!a
• On dit que f est continue sur l’intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Remarque 12.
Il résulte des théorèmes sur les limites que la somme, le produit, et la composée de deux fonctions
continues est continue.
Exemple 31.
La fonction carré est une fonction continue sur R.
Exemple 32.
La fonction partie entière n’est pas continue en 0, 1, 2, . . . :
33
Mathématiques - TS
Terminale S
⌫
CHAPITRE 6. CONTINUITÉ
Karl Weierstrass donna vers 1850 la première définition de la continuité d’une
fonction. C’est également lui qui donna les définitions rigoureuses des limites et de
la dérivée.

2) Dérivabilité et continuité
Théorème 23.
• Si f est dérivable en a élément de I, alors f est continue en a.
• Si f est dérivable sur I , alors f est continue sur I.
Preuve. Supposons f dérivable en a. Alors la fonction g , définie par
g (x) =
f (x) ° f (a)
x °a
a pour limite f 0 (a) en a.
Mais alors, pour tout x 6= a, on a f (x) = f (a) + g (x)(x ° a). Puisque lim g (x) = f 0 (a) et lim x ° a = 0, par théorème,
x!a
x!a
lim f (x) = f (a)
x!a
3) Continuité des fonctions usuelles
Proposition 2.
• Les fonctions polynômes sont continues sur R.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition.
• Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
• La fonction valeur absolue est continue sur R.
• La fonction racine carré est continue sur [0; +1[.
Preuve. Les fonctions polynômes et rationnelles étant dérivables sur leur domaine de définition, le résultat est une
conséquence du théorème précédent.
Nous verrons que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables, donc continues,
psur R.
La fonction racine carrée est dérivable, donc continue sur ]0; +1[. De plus, lim x = 0, donc la fonction racine carrée est
x!0
continue en 0 : elle est donc bien continue sur [0; +1[.
34
Mathématiques
II.. FONCTIONS
- TSCONTINUES ET RÉSOLUTION D’ÉQUATION
Terminale S
4) Tableau de variation et convention
Remarque 13.
Dans un tableau de variation, on convient que les flèches obliques indiquent que la fonction est
continue et strictement monotone.
II. Fonctions continues et résolution d’équation
1) Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 24.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. Alors, pour tout réel k pris entre f (a) et f (b), il
existe au moins un réel c de l’intervalle [a; b], tel que f (c) = k.
Preuve. Théorème admis.
◆
✓
Bernard Bolzano donna en 1817 la première démonstration analytique de ce théorème. Weierstrass en donna une autre plus tard, vers 1850.
2) Fonction continue strictement monotone sur [a; b]
⇣
⌘
Théorème 25 (Théorème de la bijection).
Soit f une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle
I = [a; b]. Alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k possède une unique solution dans
[a; b].
Preuve. Soit k un réel compris entre f (a) et (b). f étant une fonction continue, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel c tel que f (c) = k. Supposons la fonction strictement croissante (le cas décroissant se
montre de la même manière). Alors :
• Pour tout x > c, on a f (x) > f (c) = k donc il n’y a aucun réel x > c vérifiant f (x) = k.
35
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 6. CONTINUITÉ
• Pour tout x < c, on a f (x) < f (c) = k donc il n’y a aucun réel x < c vérifiant f (x) = k.
Donc le réel c est le seul.
Exemple 33.
On suppose que la fonction f est continue, et ses variations sont décrites dans le tableau suivant :
x
0
f (x) °3 %
5
4
Montrons que l’équation f (x) = 0 possède une unique solution sur [0; 5].
• f est continue et strictement croissante sur [0; 5].
• On a f (0) = °3, f (5) = 4, donc f ([0; 5]) = [°3; 4].
• 0 2 [°3; 4]
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l’équation f (x) = 0
possède une unique solution sur l’intervalle [0; 5].
3) Extension à un intervalle non borné
Le théorème précédent peut être étendu dans le cas d’un intervalle I quelconque.
Théorème 26.
Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I. Alors l’image de I par f est
encore un intervalle, J. De plus, pour tout réel y de J, l’équation f (x) = y possède une unique solution dans I.
Exemple
34.
∏
∏Si f est une fonction continue et strictement croissante sur ]a; b], alors pour tout réel k de l’intervalle
lim f (x); f (b) , l’équation f (x) = k possède une unique solution dans ]a; b].
x!a +
p
Exercice 3.
Prouver que l’équation (E) : x x = 1 ° x admet une unique solution sur R+§ .
p
p
On se ramène à une écriture f (x) = k : x + x x = 1. Soit f la fonction définie sur R+§ par f (x) = x + x x. f est
dérivable sur R+§ et sa dérivée vaut
3p
f 0 (x) = 1 +
x >0
2
∏
∑
La fonction f est donc strictement croissante, et continue sur ]0; +1[. L’image de ]0; +1[ est donc lim f (x); lim f (x) =]0; +1[
qui contient 1.
L’équation f (x) = 1 possède donc une unique solution sur ]0; +1[.
x!0
x!+1
4) Méthode d’encadrement d’une solution par dichotomie
Dans le cas d’une fonction continue, et strictement monotone sur un intervalle [a; b], avec f (a) et f (b) de signe contraire,
on peut déterminer une valeur approchée de la solution de l’équation f (x) = 0 par dichotomie : on découpe au fur et à
mesure l’intervalle en 2 pour pouvoir cibler la solution.
36
Mathématiques
II.. FONCTIONS
- TSCONTINUES ET RÉSOLUTION D’ÉQUATION
Terminale S
Image disponible sur Wikipédia
Algorithme 2.
Dans cet algorithme, e représente la précision de la valeur approchée.
Algorithme 2 : DICHOTOMIE
Entrées : Saisir a, b et e
Tant que b ° a > e
m √ a+b
2
si f (a) £ f (m) 6 0 alors
b√m
sinon
a √m
fin
FinTantque
Sorties : Afficher a et b
◆
✓
Le mot dichotomie vient du grec dikha (en deux), et tomein (couper), c’est à dire
“couper en deux”.
37
⇣
⌘
Terminale S
Mathématiques - TS
38
CHAPITRE 6. CONTINUITÉ
Chapitre 7
Généralités dans l’espace
I. Positions relatives de droites et de plans
1) Parallèlisme
Définition 26.
• Deux droites de l’espace parallèles sont deux droites, contenues dans un même plan, n’ayant aucun point en
commun, ou étant confondues.
• Deux plans parallèles sont deux plans n’ayant aucun point en commun, ou étant confondus.
• Une droite est parallèle à un plan si elle n’a pas de point commun avec le plan, ou si elle est située dans le plan.
2) Propriétés
Proposition 3.
Si une droite (d 1 ) est parallèle à une droite (d 2 ) d’un plan P , alors (d 1 ) est parallèle au plan P .
Proposition 4 (Règle d’incidence).
Si deux plans P et Q sont strictement parallèles, tout plan S qui coupe le
plan P coupe également le plan Q , et les droites d’intersection sont parallèles.
39
Mathématiques - TS
CHAPITRE 7. GÉNÉRALITÉS DANS L’ESPACE
Terminale S
Proposition 5 (Théorème du toit).
Si une droite D est parallèle à deux plans sécants P et Q , alors la droite D est
parallèle à la droite ¢ d’intersection de P et Q .
Proposition 6.
Si un plan P contient deux droites D et D 0 sécantes et toutes deux parallèles à un plan Q , alors les
plans P et Q sont parallèles.
II. Orthogonalité dans l’espace
1) Orthogonalité de deux droites
Définition 27.
Deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sont dites orthogonales s’il existe une droite (d 10 ) parallèle à (d 1 ), une
0
droite (d 2 ) parallèle à (d 2 ), telles que les droites (d 10 ) et (d 20 ) sont dans un même plan, et sont perpendiculaires dans
ce plan.
Propriété 8.
Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
40
Mathématiques - TS
Terminale S
III.. VECTEURS DANS L’ESPACE
2) Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Définition 28.
plan P .
Une droite D est perpendiculaire au plan P si elle est orthogonale à deux droites sécantes du
Théorème 27.
Soit D une droite perpendiculaire à un plan P . Alors D est orthogonale à toute droite du plan P .
Proposition 7.
• Soit A un point et P un plan. Alors il existe une unique droite (d ) passant par A et perpendiculaire à P .
• Soit A un point et (d ) une droite. Alors il existe une unique plan P passant par A et perpendiculaire à (d ).
• Soient (d ) et (d 0 ) deux droites parallèles. Alors tout plan perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
• Soient (d ) et (d 0 ) deux droites perpendiculaires à un même plan P . Alors (d ) et (d 0 ) sont parallèles.
• Soient P et P 0 deux plans parallèles. Alors toute droite perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l’autre.
3) Plan médiateur d’un segment
Définition 29.
Soient A et B deux points de l’espace. On appelle plan médiateur du segment [AB] le plan, passant
par le milieu I de [AB], et perpendiculaire à la droite (AB).
Propriété 9.
Le plan médiateur de [AB] est l’ensemble des points M équidistant de A et de B : MA = MB.
III. Vecteurs dans l’espace
1) Notion de vecteur de l’espace
Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent s’étendre à l’espace.
Définition 30.
On définit un vecteur dans l’espace de la même manière que dans le plan. Un vecteur est donné
par une direction (une droite de l’espace), un sens et une longueur.
2) Propriétés de bases
~ 0 et BB
~ 0 sont égaux si et seulement si ABB0 A0 est un parallélogramme, éventuellement
• Deux vecteurs de l’espace AA
aplati.
41
Mathématiques - TS
CHAPITRE 7. GÉNÉRALITÉS DANS L’ESPACE
Terminale S
~ + BC
~ = AC.
~
• (Relation de Chasles) Quels que soient les points A, B, C de l’espace, on a AB
~ est le vecteur BA.
~
• Tout vecteur ~
u a un opposé noté °~
u tel que ~
u + (°~
u ) =~0. L’opposé du vecteur AB
• Pour k 2 R, on définit le vecteur k~
u comme étant un vecteur de même direction que ~
u , de même sens si k > 0, de
sens contraire si k < 0, et de longueur égale à |k|.||~
u ||.
3) Colinéarité
~ ~
~ et
Définition 31.
Deux vecteurs ~
u et ~
v sont colinéaires s’ils existent trois points O, A, B tels que ~
u = OA,
v = OB
tels que O, A, B soient alignés.
Théorème 28.
que ~
u = k~
v.
(Propriété fondamentale) Deux vecteurs ~
u et ~
v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel
~ et AC
~ sont colinéaires.
Conséquence 2.
Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB
~ et CD
~ sont colinéaires.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB
4) Caractérisation vectorielle d’un plan
Propriété 10.
Soient ~
u et ~
v deux vecteurs non colinéaires, et A un point de l’espace. Alors l’ensemble des points M
~ = x~
de l’espace, tels que AM
u + y~
v , avec x et y deux réels, est un plan, passant par A.
Remarque 14.
Ainsi, si A, B et C ne sont pas alignés, le plan (ABC) est l’ensemble des points M de l’espace tels
~ = x AB
~ + y AC,
~ avec x et y deux réels.
que AM
5) Vecteurs coplanaires
Définition 32.
Quatre points A, B, C, D sont coplanaires lorsqu’ils appartiennent à un même plan P de l’espace.
~ sont coplanaires s’il existe quatre points O, A, B, C tels que
Définition 33.
Trois vecteurs de l’espace ~
u ,~
v, w
~ v = OB,
~ w
~ et tels que O, A, B, C soient quatre points coplanaires.
~
~ = OC
u = OA,~
~ avec ~
~ non colinéaires.
Théorème 29.
(Propriété fondamentale) On considère trois vecteurs ~
u ,~
v, w
v et w
~ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que
Les vecteurs ~
u ,~
v, w
~
~
u = x~
v + yw
~.
Le vecteur ~
u est une combinaison linéaire des vecteurs ~
v et w
Exemple 35.
0
1 0
1
0
1
0
3
3
~ @ 7 A sont coplanaires :
Montrons que les vecteurs ~
u @ 4 A, ~
v @ °1 A et w
°2
2
°2
• On constate déjà que ~
u et ~
v sont non colinéaires.
42
Mathématiques - TS
Terminale S
IV.. REPÉRAGE DANS L’ESPACE
~ , c’est à dire
• On cherche alors a et b tels que a~
u + b~
v =w
8
<
3b
4a ° b
:
°2a + 2b
=
=
=
3
7
°2
En résolvant avec les deux premières lignes, on obtient b = 1, a = 2 et on vérifie bien que °2a + 2b = °2 £ 2 +
2 £ 1 = °2.
Propriété 11.
• Une droite D est parallèle à un plan P si et seulement si un vecteur directeur de D est coplanaire avec deux
vecteurs non colinéaires du plan P .
• Deux plans P et P 0 sont parallèles si et seulement si deux vecteurs non colinéaires du plan P sont respectivement égaux à deux vecteurs du plan P 0 .
IV. Repérage dans l’espace
1) Décomposition d’un vecteur dans une base
Propriété 12.
Soient ~
i,~
j et ~
k trois vecteurs non coplanaires. Alors, pour tout vecteur ~
u de l’espace, il existe un
unique triplet (x; y; z) de réels tels que
~
u = x~
i + y~
j + z~
k
Preuve. En T.D.
2) Repère de l’espace
Définition 34.
Un repère de l’espace est un quadruplet (O;~
i;~
j ;~
k) dans lequel O est un point appelé origine du
repère, et ~
i,~
j ,~
k trois vecteurs non coplanaires.
Propriété 13.
~ =~
~ =~
~ =~
Soit (O;~
i;~
j ;~
k) un repère de l’espace. Soient I, J, K trois points de l’espace tels que OI
i , OJ
j , OK
k
• Si (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux, on dit que le repère est orthogonal. Si de plus, OI = OJ =
OK, le repère est dit orthonormé.
• Les réels x, y, z tels que ~
u = x~
i + y~
k + z~
k sont les coordonnées du vecteur ~
u.
• Soit M un point de l’espace. Les coordonnées du point M dans le repère (O;~
i;~
j ;~
k) sont les coordonnées du vecteur
~ ; x est appelé l’abscisse, y l’ordonnée et z la côte.
OM
43
Mathématiques - TS
CHAPITRE 7. GÉNÉRALITÉS DANS L’ESPACE
Terminale S
3) Calcul avec les coordonnées
On se donne un repère orthonormé de l’espace (O;~
i;~
j ;~
k).
0
1
0 0 1
x
x
Théorème 30.
Soient ~
u @ y A et ~
v @ y 0 A deux vecteurs. Alors :
z
z0
0
1
0
1
kx
x + x0
• pour tout réel k, k~
u @ k y A et ~
u +~
v = @ y + y 0 A.
kz
z + z0
p
• la norme du vecteur ~
u est donné par ||~
u || = x 2 + y 2 + z 2 .
0
1
0
1
xA
xB
Théorème 31.
Soient A @ y A A et B @ y B A deux points de l’espace.
zA
zB
0
1
xB ° x A
~ a pour coordonnées AB
~ @ yB ° y A A
• Le vecteur AB
zB ° z A
0 x A +xB 1
• Le milieu de [AB] a pour coordonnées I @
• La distance AB est donnée par AB =
p
2
y A +y B
2
z A +z B
2
A.
(x B ° x A )2 + (y B ° y A )2 + (z B ° z A )2 .
44
Terminale S
Mathématiques V..
- TSSYSTÈMES D’ÉQUATIONS PARAMÉTRIQUES
V. Systèmes d’équations paramétriques
Dans la suite, on se donne un repère (O;~
i;~
j ;~
k) de l’espace.
1) Représentation paramétrique d’une droite
0
1
a
Proposition 8.
Soit D la droite passant par le point A(x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur ~
u@ b A
c
Un point M(x; y; z) appartient à la droite D si, et seulement si, il existe un réel t tel que
8
< x
y
:
z
xA + t a
yA + t b
zA + t c
=
=
=
~ est colinéaire avec ~
~ est colinéaire avec ~
Preuve. M appartient à la droite D si et seulement si AM
u . Or, AM
u si et seulement
~ = t~
s’il existe un réel t tel que AM
u.
Remarque 15.
Le système ci-dessus est appelé système d’équations paramétriques de la droite D , dans lequel
t est appelé le paramètre du point M.
Réciproquement, si a, b, c ne sont pas tous nuls, ce système définit une droite.
Exemple 36.
paramétriques
Exercice 4.
La droite (d ), passant par A(2; 3; °1) et de vecteur directeur ~
u (1; 0; 1) a pour système d’équation
8
< x
y
:
z
=
=
=
2+t
3
t 2R
°1 + t
Soient C(2; 3; 0) et D(°1; 1; 5). Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).
2) Représentation paramétrique d’un plan
0
1
0 0 1
a
a
Proposition 9.
Soit P le plan passant par le point A(x A ; y A ; z A ) et dirigé par les vecteurs ~
u @ b A et ~
v @ b0 A .
c
c0
0
Un point M(x; y; z) appartient au plan P si, et seulement si, il existe deux réels t et t tel que
8
< x
y
:
z
=
=
=
xA + t a + t 0 a0
yA + t b + t 0b0
zA + t c + t 0c 0
~ = t~
Preuve. M appartient au plan P si et seulement si il existe t et t 0 deux réels tels que AM
u + t 0~
v . Ce qui donne le
résultat.
Remarque 16.
Le système ci-dessus est appelé système d’équations paramétriques du plan P , dans lequel
(t ; t 0 ) est appelé couple de paramètres du point M.
45
Terminale S
Mathématiques - TS
CHAPITRE 7. GÉNÉRALITÉS DANS L’ESPACE
Réciproquement, si (a, b, c) n’est pas proportionnel à (a 0 , b 0 , c 0 ), ce système définit un plan.
46
Chapitre 8
Dérivation
I. Nombre dérivé - Tangente
1) Nombre dérivé
Définition 35.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 un point de I. Si
lim
h!0
f (x 0 + h) ° f (x 0 )
h
existe et appartient à R, on dit que la fonction f est dérivable en x 0 .
On appelle nombre dérivé en x 0 , et on note f 0 (x 0 ), le nombre
f 0 (x 0 ) = lim
h!0
f (x 0 + h) ° f (x 0 )
f (x) ° f (x 0 )
= lim
x!x 0
h
x ° x0
2) Tangente
Définition 36.
Soit f une fonction dérivable en x 0 . Alors la courbe représentative de f a pour tangente en
M0 (x 0 ; f (x 0 )) la droite T, de coefficient directeur f 0 (x 0 ), et d’équation
T : y = f 0 (x 0 )(x ° x 0 ) + f (x 0 )
Remarque 17.
Si f 0 (x 0 ) = 0, T est une tangente horizontale
3) Approximation affine
47
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 8. DÉRIVATION
Remarque 18.
Si f est dérivable en x, on peut écrire f (x + h) = f (x) + f 0 (x) £ h + h"(h), où " est une fonction de
limite 0 en 0. On dit que f (x) + f 0 (x) £ h est une approximation affine de f (x + h).
Remarque 19.
Si on pose ¢x = (x + h) ° x et ¢y = f (x + y) ° f (x), on obtient ¢y = f 0 (x)¢x + "(¢x)¢x, et l’approximation affine ¢y º f 0 (x)¢x. Cela mène à l’écriture symbolique d y = f 0 (x)d x, appelée écriture différentielle.
dy
La notation suivant est ainsi souvent utilisée en physique : f 0 (x) = d x .
II. Fonction dérivée - Opération
1) Fonction dérivée
Définition 37.
On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de cet
intervalle. L’application qui à tout x de I, associe le nombre dérivé f 0 (x) est appelé fonction dérivée de f . On la note
f 0.
Remarque 20.
Si f 0 est elle-même dérivable sur I, la dérivée de f 0 est notée f 00 ou f (2) . On peut ainsi définir la
dérivée d’ordre n, notée f (n) .
2) Opérations
Propriété 14.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
• u + v est dérivable sur I et on a (u + v)0 = u 0 + v 0 .
• uv est dérivable sur I et on a (uv)0 = u 0 v + uv 0 .
• si u ne s’annule pas sur I, alors
1
u
• si v ne s’annule pas sur I, alors
u
v
µ ∂0
1
u0
=° 2
u
u
≥ u ¥0 u 0 v ° v 0 u
est dérivable sur I, et on a
=
v
v2
est dérivable sur I, et on a
3) Fonctions usuelles
f (x) =
k
x
ax + b
x2
x3
1
px
x
n
x (n 2 Z, n 6= 0)
sin x
cos x
f 0 (x) =
0
1
a
2x
3x 2
° x12
1
p
2 x
n°1
nx
cos x
° sin x
Intervalle
R
R
R
R
R
] ° 1; 0[ ou ]0; +1[
]0; +1[
R si n > 0, ] ° 1; 0[ ou ]0; +1[ sinon
R
R
4) Fonction composée
48
Mathématiques
III.. APPLICATION
- TS
AUX VARIATIONS DE FONCTIONS
Terminale S
Théorème 32.
• Si g (x) = f (ax + b) et si f est dérivable sur R, alors g est dérivable sur R et on a
g 0 (x) = a £ f 0 (ax + b).
• Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction
et on a
p
u0
( u)0 = p
2 u
p
u est dérivable sur I,
• Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction u n (n > 0) est dérivable sur I, et on a
(u n )0 = nu 0 u n°1
• Soit u une fonction dérivable ne s’annulant jamais sur un intervalle I. Alors la fonction u n (n 6 °1) est dérivable
sur I, et on a
(u n )0 = nu 0 u n°1
On remarque une forme générale des dérivées précédentes. Cela peut se généraliser aux “fonctions composées” :
Propriété 15.
(Admise) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et v une fonction dérivable sur un
intervalle J. On suppose que pour tout x 2 I, u(x) 2 J.
Alors v ± u = x 7! v(u(x)) est dérivable sur I, et on a
8 x 2 I, (v ± u)0 (x) = u 0 (x) £ v 0 (u(x))
Exemple 37.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
p
et v(x) = x. On a alors
p
x 2 + 1. On peut écrire f (x) = v ± u(x) avec u(x) = x 2 + 1
1
x
f 0 (x) = u 0 (x) £ v 0 (u(x)) = 2x £ p
=p
2
2 x +1
x2 + 1
III. Application aux variations de fonctions
1) Sens de variations
Théorème 33.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I inclus dans son domaine de définition.
0
• Si f > 0 sur I, sauf en un nombre fini de points où f 0 s’annule, alors f est strictement croissante sur I.
• Si f 0 < 0 sur I, sauf en un nombre fini de points où f 0 s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.
• Si f 0 = 0 sur I, alors f est constante sur I.
2) Extremum local
Définition 38.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et c un point de I. On dit que f (c) est un maximum
local de f en c s’il existe un intervalle ouvert J, contenant c, et tel que, pour tout x de I et dans J, on a f (x) 6 f (c).
Exemple 38.
Dans la figure ci-dessous, il y a un minimum local atteint en x = 43 .
49
Terminale S
Mathématiques - TS
CHAPITRE 8. DÉRIVATION
Remarque 21.
minimum local.
On définit de même un minimum local. Un extremum local est soit un maximum local, soit un
Théorème 34.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et c un point de I.
• Si f (c) est un extremum local, alors f 0 (c) = 0.
• Si f 0 s’annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local.
50
Chapitre 9
Trigonométrie
I. Rappel de première
1) Généralités
On a le tableau suivant
Théorème 35.
2
x
0
º
6
º
4
º
3
º
2
cos x
1
p
3
2
p
2
2
1
2
0
sin x
0
1
2
p
2
2
p
3
2
1
Pour tout réel x, on a les propriétés suivantes :
2
1. cos x + sin x = 1
2. cos(x + 2º) = cos(x)
3. cos(°x) = cos(x)
4. cos(x + º) = ° cos(x)
et sin(x + 2º) = sin(x)
et sin(°x) = ° sin(x)
et sin(x + º) = ° sin(x)
2) Equation cos x = cos Æ
Proposition 10.
Soit Æ un angle donné. Alors cos x = cos Æ si et seulement si
x = Æ + 2kº ou x = °Æ + 2k 0 º (k, k 0 2 Z)
Exemple 39.
Les solutions de l’équation cos(x) =
1
2
sont
3) Equation sin x = sin Æ
51
©º
3
™
+ 2kº, k 2 Z }[{ °º
3 + 2kº, k 2 Z
Terminale S
Proposition 11.
Mathématiques - TS
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Soit Æ un angle donné. Alors sin x = sin Æ si et seulement si
x = Æ + 2kº ou x = º ° Æ + 2k 0 º (k, k 0 2 Z)
Exemple 40.
Les solutions de l’équation sin(x) =
1
2
sont
52
©º
6
™
+ 2kº, k 2 Z }[{ 5º
6 + 2kº, k 2 Z
Mathématiques
II..- TS
ETUDE DES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Terminale S
II. Etude des fonctions cosinus et sinus
1) Fonctions dérivées de cos et sin
Théorème 36.
cos et sin sont dérivables sur R, et on a, pour tout réel x :
cos0 (x) = ° sin(x) et
sin0 (x) = cos(x)
2) Dérivabilité en 0
On admet les résultats suivants :
Théorème 37.
On a
sin(h)
= 1 et
h!0
h
lim
Théorème 38.
cos(h) ° 1
=0
h!0
h
lim
Les fonction cos et sin sont dérivables en 0, et on a
cos0 (0) = 0 et
sin0 (0) = 1
3) Fonction sinus
La fonction sin est :
• périodique de période 2º : pour tout x, sin(x + 2º) = sin(x).
• impaire : pour tout x, sin(°x) = ° sin(x).
• de dérivée égale à cos.
On a alors le tableau de variation suivant sur [°º; º] :
x
° º2
°º
cos x
sin x 0
°
0
º
2
+
& °1 %
et la courbe représentative suivante :
53
0
1
º
°
&0
Terminale S
Mathématiques - TS
4) Fonction cosinus
La fonction cos est :
• périodique de période 2º : pour tout x, cos(x + 2º) = cos(x).
• paire : pour tout x, cos(°x) = cos(x).
• de dérivée égale à ° sin.
On a alors le tableau de variation suivant sur [°º; º] :
x
0
°º
° sin x 0
+
0
1
º
°
0
cos x °1 % & °1
et la courbe représentative suivante :
54
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Mathématiques - TS III.. ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE
Terminale S
III. Etude de la fonction tangente
1) Définition
Définition 39.
La fonction tangente, noté tan, est définie pour tout réel x tel que x 6=
tan(x) =
sin x
cos x
2) Propriétés
La fonction tan est :
• périodique de période º : pour tout x 6=
• impaire : pour tout x 6=
• de dérivée égale à
º
2
º
2
+ kº, tan(x + º) = tan(x).
+ kº, tan(°x) = ° tan(x).
tan0 (x) = 1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
On a alors le tableau de variation suivant sur ] ° º2 ; º2 [ :
x
1/ cos2 x
tan x
° º2
º
2
+
°1 %
+1
et la courbe représentative suivante :
Les droites x =
º
2
+ kº sont asymptotes verticales à la courbe représentative de tan.
55
º
2
+ kº avec k 2 Z par
Terminale S
Mathématiques - TS
56
CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE
Chapitre 10
Fonction exponentielle
I. La fonction exponentielle
1) Existence et unicité de la fonction exponentielle
Théorème 39.
f (0) = 1.
Notation 2.
Il existe une unique fonction f , dérivable sur R, telle que pour tout x 2 R, on a f 0 (x) = f (x) et
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp : x 7! exp(x).
2) Premier résultat
Théorème 40.
Pour tout réel x, exp(x) > 0.
Preuve. Introduisons la fonction g définie sur R par g (x) = exp(x) £ exp(°x). exp étant dérivable sur R, g l’est aussi et on a
g 0 (x) = exp0 (x) £ exp(°x) + exp(x) £ (°1) exp0 (°x) = exp(x) £ exp(°x) ° exp(x) £ exp(°x) = 0
R étant un intervalle, et la fonction g étant continue, on en déduit que g est constante. Or pour x = 0, on a g (0) = 1, donc
8 x 2 R, g (x) = 1 : ceci nous donne déjà
8 x 2 R, exp(x) 6= 0
Supposons qu’il existe un réel x 0 tel que exp(x 0 ) < 0. Alors, puisque exp(0) = 1, et que la fonction exp est continue, d’après
le théorème des valeurs intermédiaires, toute valeur comprise dans [exp(x 0 ); 1] est atteinte. Or cet intervalle contient 0, qui
n’est pas atteint : absurde.
3) Démonstration de l’unicité de la fonction exp
Preuve. Soient f et g deux fonctions vérifiant les hypothèses de la fonction exponentielle : f 0 = f , g 0 = g , et f (0) = g (0) = 1.
Notons h la fonction définie sur R par h(x) = g (x) £ f (°x). h est dérivable sur R et on a
h 0 (x) = g 0 (x) f (°x) ° g (x) f 0 (°x) = g (x) f (°x) ° g (x) f (°x) = 0
R étant un intervalle, et la fonction h étant continue, h est donc constante, égale à h(0) = 1. On a donc, pour tout x
g (x) f (°x) = 1 = f (x) f (°x)
la dernière égalité ayant été démontrée dans la preuve précédente. En divisant par f (°x) qui est non nul d’après le résultat
précédent, on a donc 8 x 2 R, f (x) = g (x).
57
Mathématiques - TS
CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE
Terminale S
4) Premier bilan
Proposition 12.
x 2 R,
La fonction exponentielle, notée exp est définie et dérivable sur R. exp(0) = 1 et on a, pour tout
exp(x) > 0 et (exp)0 (x) = exp(x)
II. Propriétés de la fonction exp
1) Relation fonctionnelle
Théorème 41.
Pour tous réels a et b, on a
exp(a + b) = exp(a) £ exp(b)
Preuve. Soit a un réel fixé. Introduisons la fonction h définie sur R par
h(x) =
exp(a + x)
exp(a)
h est dérivable sur R et on a, pour tout réel x :
h 0 (x) =
exp0 (x + a) exp(x + a)
=
= h(x)
exp(a)
exp(a)
Or h(0) = 1, donc par unicité de la fonction exponentielle, on en déduit que pour tout réel x on a h(x) = exp(x), c’est à dire
exp(a + x)
= exp(x)
exp(a)
soit
exp(a + x) = exp(a) exp(x)
2) Conséquences de la relation fonctionnelle
Théorème 42.
Pour tous réels a et b, on a
exp(°a) =
1
exp(a)
et exp(a ° b) =
exp(a)
exp(b)
Preuve. D’après la relation fonctionnelle, on a exp(a ° a) = exp(a) exp(°a). Or
exp(a ° a) = exp(0) = 1 donc exp(a) exp(°a) = 1. Il suffit de diviser par exp(a) > 0.
exp(a)
Enfin, exp(a ° b) = exp(a + (°b)) = exp(a) exp(°b) = exp(b) .
Théorème 43.
Pour tout entier relatif n, on a
exp(nx) = [exp(x)]n
Preuve. Soit (Pn ), n > 0, la proposition “exp(nx) = [exp(x)]n ” et démontrons-là par récurrence.
• Pour n = 0, exp(0 £ x) = exp(0) = 1 et [exp(x)]0 = 1.
58
MathématiquesIII..
- TSETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
Terminale S
• Supposons le résultat vrai pour un n fixé. On a alors exp(nx) = [exp(x)]n . Mais alors
exp((n + 1)x) = exp(nx + x) = exp(nx) exp(x)
D’après l’hypothèse de récurrence
exp((n + 1)x) = [exp(x)]n exp(x) = [exp(x)]n+1
La proposition est donc vraie pour tout n > 0. Pour n < 0, il suffit d’utiliser
exp(°nx) =
1
1
=
= [exp(x)]°n
exp(nx) [exp(x)]n
3) Notation e x
Le résultat précédent, appliqué en x = 1 nous donne, pour tout n 2 Z,
exp(n) = [exp(1)]n = e n
en notant e = exp(1). Par extension :
Notation 3.
On note exp(x) = e x et on lit “exponentielle de x” ou “e exposant x”.
Avec cette notation, les résultats précédents s’énoncent :
Proposition 13.
e0 = 1
e1 = e
Pour tous réels a et b :
e a+b = e a £ e b
Pour tout entier relatif n :
⌫
e °a =
e °1 =
1
ea
1
e
e a°b =
ea
eb
(e x )n = e nx
Le mot “exponentiel” a été introduit pour la première fois par Jean Bernoulli en
1694, dans une correspondance avec Leibniz. La notation e est due à Leonhard
Euler, utilisée pour la première fois en 1728.
III. Etude de la fonction exponentielle
1) Variations de la fonction exp
Théorème 44.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
Preuve. En effet, sa dérivée est elle-même, qui est strictement positive sur R
59

Mathématiques - TS
CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE
Terminale S
Conséquence 3.
Pour tous réels a et b :
a
• a < b , e < eb .
• a = b , ea = eb .
• En particulier, pour x > 0, e x > 1.
Preuve. Découle de la stricte croissance de la fonction exponentielle.
2) Limite à l’infini et courbe représentative
Théorème 45.
On a
lim e x = +1 et
lim e x = 0
x!+1
x!°1
Preuve. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e x ° x. f est dérivable sur R et pour tout réel x, on a f 0 (x) = e x ° 1. Or,
f 0 (x) > 0 , e x ° 1 > 0 , e x > 1 , x > 0. On a donc le tableau suivant :
x
0
°1
f 0 (x)
f (x)
+1
0
°
+
&1%
et on en déduit que, pour tout réel x, e x ° x > 0. On a alors e x > x. Puisque
lim x = +1
x!+1
par théorème de comparaison des limites, on en déduit
lim e x = +1
x!+1
Pour la limite en °1, on utilise e x =
1
e °x , donc
lim e x = lim
x!°1
x!°1
1
e °x
En posant X = °x, on a lim X = +1 et donc
x!°1
1
lim e x = lim
x!°1
X!+1
eX
=0
3) Tableau de variation et courbe représentative
Proposition 14.
On a le tableau de variation suivant :
x
exp0 (x)
exp(x)
0
°1
+
1
+
0 %
1%
60
+1
+
e%
+1
Mathématiques - TS
Terminale S
IV.. AUTRES RÉSULTATS
Et la courbe représentative suivante :
IV. Autres résultats
1) Limite importante
Théorème 46.
On a
ex ° 1
=1
x!0
x
lim
Preuve. La fonction exp est dérivable en 0, de nombre dérivée exp0 (0) = exp(0) = 1. Or par définition du nombre dérivé,
ex ° 1
ex ° e0
= lim
= exp0 (0) = 1
x!0
x!0 x ° 0
x
lim
Remarque 22.
On a alors l’approximation locale exp(x) º 1 + x pour x proche de 0, l’erreur commise étant
2
inférieure à x2 quand 0 < x < 1.
2) Croissance comparée de e x et de x
Théorème 47.
On a
ex
= +1 et
x!+1 x
lim
lim xe x = 0
x!°1
2
Preuve. En étudiant la fonction g : x 7! e x ° x2 , on constate que, pour tout x > 0, on a e x >
Par théorème de comparaison des limites, on en déduit bien
ex
= +1
x!+1 x
lim
Enfin, en posant X = °x,
lim xe x = lim °Xe °X = 0
x!°1
X!+1
61
x2
2 , soit pour tout
x > 0,
ex
x
> x2 .
Mathématiques - TS
CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE
Terminale S
3) Dérivée de exp ±u
Théorème 48.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par
f (x) = e u(x) est dérivable sur I et on a, pour tout x de I :
f 0 (x) = u 0 (x)e u(x)
Preuve. Admise.
2
2
Exemple 41.
Soit g la fonction x 7! e °x . Cette fonction est positive, dérivable sur R, de dérivée g 0 (x) = °2xe °x .
Ainsi, g est croissante sur ] ° 1; 0], et croissante sur [0; +1[. Son maximum est atteint en 0, et vaut g (0) = 1. On a
ainsi la courbe représentative suivante, dite “courbe en cloche”.
62
Chapitre 11
Nombres complexes
I. Les nombres complexes
1) Ecriture algébrique et ensemble C
Définition 40.
L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble des nombres de la forme a + i b avec a et b
deux nombres réels, et i 2 = °1.
L’écriture z = a + i b d’un complexe, avec a et b réels, est appelée forme algébrique de z.
Remarque 23.
Le point M, de coordonnées (a; b) représente le nombre complexe z = a + i b. On appelle z l’affixe du point M, et on
dit que M est l’image de z.
Définition 41.
Soit z = a + i b, a, b 2 R un nombre complexe.
• a s’appelle la partie réelle de z, et on note a = <(z).
• b s’appelle la partie imaginaire de z, et on note b = Im(z).
Exemple 42.
Remarque 24.
Si z = 3 ° i , alors <(z) = 3 et Im(z) = °1.
R est inclus dans C et on a z 2 R , Im(z) = 0.
63
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 11. NOMBRES COMPLEXES
Définition 42.
On dit qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si <(z) = 0. Autrement dit,
z = bi avec z 2 R. On a alors z 2 = °b 2 .
Remarque 25.
L’axe des abscisses représente R, et l’axe des ordonnées représente les imaginaires purs.
Définition 43.
Soit z = a + i b l’écriture algébrique d’un
p nombre complexe, et M l’image de z. La distance OM est
appelé module de z, et est notée |z| = OM. Ainsi, |z| = a 2 + b 2 et on a
|z| = 0 , z = 0
Exemple 43.
⌫
Le module de 3 ° i vaut |3 ° i | =
p
p
9 + 1 = 10.
p
Bombelli, en réponse à Cardan et Tartaglia, proposa d’introduire, en 1572, “ °1”
pour résoudre certains problèmes. En 1777, Euler introduit la notation i , nombre
vérifiant i 2 = °1. Gauss généralisa son emploi.

2) Calculs dans C
a) Egalité dans C
Théorème 49.
Deux nombres complexes sont égaux s’ils représentent le même point, donc s’ils ont la même partie
réelle et la même partie imaginaire :
a + i b = a 0 + i b 0 , a = a 0 et b = b 0
En particulier,
a + i b = 0 , a = 0 et b = 0
b) Addition dans C
Soient z = a + i b et z 0 = a 0 + i b 0 l’écriture algébrique de deux nombres complexes. Alors
z + z 0 = (a + a 0 ) + i (b + b 0 )
On a ainsi
<(z + z 0 ) = <(z) + <(z 0 ) et Im(z + z 0 ) = Im(z) + Im(z 0 )
L’addition des nombres complexes possède les mêmes propriétés que l’addition des réels :
• Commutativité : z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .
• Associativité : z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 .
• Elément neutre : z + 0 = 0 + z = z.
c) Produit dans C
Soient z = a + i b et z 0 = a 0 + i b 0 l’écriture algébrique de deux nombres complexes. On a alors, en utilisant i 2 = °1 :
zz 0 = (a + i b) £ (a 0 + i b 0 ) = aa 0 + i ab 0 + i ba 0 + i 2 bb 0 = (aa 0 ° bb 0 ) + i (ab 0 + ba 0 )
La multiplication des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la multiplication des réels.
64
Mathématiques - TSII.. CONJUGUÉ D’UN NOMBRE COMPLEXE
Terminale S
Théorème 50.
On dispose de quatre identités remarquables :
z 02 ° z 2 = (z ° z 0 )(z + z 0 )
(z + z 0 )2 = z 2 + 2zz 0 + z 02
z 02 + z 2 = (z ° i z 0 )(z + i z 0 )
(z ° z 0 )2 = z 2 ° 2zz 0 + z 02
II. Conjugué d’un nombre complexe
1) Définition
Définition 44.
Soit z = a + i b avec a, b 2 R un nombre complexe. On appelle nombre conjugué de z le nombre
complexe a ° i b, que l’on note z.
Exemple 44.
Remarque 26.
des abscisses.
Si z = 3 ° i , alors z = 3 + i . Si z = 2i alors z = °2i .
Le point M0 d’affixe z = a ° i b est le symétrique du point M d’affixe z = a + i b par rapport à l’axe
Puisque OM = OM0 , on a |z| = |z|.
2) Propriétés
Propriété 16.
• z = z0 , z = z0.
• Le conjugué de z est z (c’est à dire, z = z).
• Si z = a + i b, avec a et b réels, alors on a z + z = 2a et z ° z = 2i b, c’est à dire
z + z = 2<(z)
65
z ° z = 2i Im(z)
Mathématiques - TS
Terminale S
Théorème 51.
CHAPITRE 11. NOMBRES COMPLEXES
On a alors
• z 2R,z =z
• z est imaginaire pur , z = °z
3) Relation fondamentale
Théorème 52.
Soit z 2 C. On a alors zz = |z|2 , et donc, si z 6= 0 :
1
z
=
z |z|2
Preuve. Soit a + i b l’écriture algébrique de z. Alors z = a ° i b, et on a, d’après l’identité remarquable :
(a + i b)(a ° i b) = a 2 + b 2 = |z|2
Exemple 45.
En pratique, on multiplie numérateur et dénominateur par le nombre conjugué : si z = 3 ° i alors
1
3+i
3+i
3
1
=
=
=
+i
3 ° i (3 ° i )(3 + i )
10
10
10
4) Opérations sur les conjugués
Théorème 53.
On a, pour tous nombres complexes z et z 0 :
• z + z0 = z + z0
• zz 0 = z £ z 0
≥z¥ z
• Si z 0 6= 0, 0 =
z
z0
Preuve. Se démontre aisément en passant par les écritures algébriques.
III. Forme trigonométrique
Dans tout ce paragraphe, on se place dans un plan muni d’un repère orthonormal (O; ~
u ;~
v ).
1) Coordonnées polaires d’un point
Rappel 1.
Soit M un point différent de l’origine O, de coordonnées cartésiennes (x; y). On peut repérer M par ses
coordonnées polaires Ω et µ :
66
Mathématiques - TS
Terminale S
~
On a Ω = OM et µ = (~
u ; OM).
De plus, on a
Ω=
q
III.. FORME TRIGONOMÉTRIQUE
x2 + y 2
x = Ω cos µ
y = Ω sin µ
2) Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Définition 45.
plan complexe.
Soit z un nombre complexe non nul, z = a + i b avec a et b réels. On note M son image dans le
~
• Un argument de z, noté arg z, est n’importe quelle mesure exprimée en radian de l’angle (~
u ; OM).
• L’écriture z = Ω(cos µ + i sin µ) est appelée forme trigonométrique de z, avec Ω = |z|, et arg z = µ[2º].
Conséquence 4.
arg z = ° arg z et arg(°z) = arg z + º.
3) Forme exponentielle
Si on introduit la fonction f : µ 7! cos µ + i sin µ, on constate que f (µ + µ0 ) = f (µ). f (µ0 ), ce qui nous incite à noter :
Notation 4.
La forme trigonométrique Ω(cos µ+i sin µ) se notera plus simplement Ωe i µ : on appelle cette notation
la forme exponentielle du nombre complexe.
Théorème 54.
Si z = Ωe i µ avec Ω > 0, alors |z| = Ω et µ = arg z[2º].
4) Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique
Soit z un nombre complexe. On note a + i b sa forme algébrique, et Ω(cos µ + i sin µ) = Ωe i µ sa forme trigonométrique.
• Si on connait la forme trigonométrique, alors a = Ω cos µ et b = Ω sin µ.
p
• Si on connait la forme algébrique, alors Ω = |z| = a 2 + b 2 et µ est défini par cos µ =
Exemple 46.
Soit z = 1 ° i .
p
p
• Son module vaut |z| = 1 + 1 = 2.
67
a
r
et sin µ = br .
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 11. NOMBRES COMPLEXES
p
8
1
2
>
>
> cos µ = p =
<
2
2
• De plus
p , et donc µ = ° º4 [2º].
>
°1
2
>
>
: sin µ = p = °
2
2
p °
° ¢
° °º ¢¢ p °i º
On a donc z = 2 cos °º
= 2e 4 .
4 + i sin 4
5) Egalité entre deux nombres complexes
Remarque 27.
0
Si z = Ωe i µ et z 0 = Ω0 e i µ alors
z = z 0 , Ω = Ω0 et µ = µ0 [2º]
IV. Propriétés des modules et arguments
1) Module et argument d’un produit
Théorème 55.
Pour tous nombres complexes z et z 0 non nuls :
|zz 0 | = |z|.|z 0 |
arg(zz 0 ) = arg z + arg z 0 [2º]
Preuve. Notons z = Ω(cos µ + i sin µ) et z 0 = Ω0 (cos µ0 + i sin µ0 ). Alors
zz 0 = Ω(cos µ + i sin µ) £ Ω0 (cos µ0 + i sin µ0 )
£
§
= ΩΩ0 (cos µ cos µ0 ° sin µ sin µ0 ) + i (sin µ cos µ0 + sin µ0 cos µ
= ΩΩ0 (cos(µ + µ0 ) + i sin(µ + µ0 )) d’après les formules de trigonométrie
Comme ΩΩ0 > 0, on conclut d’après un résultat précédent.
Exemple 47.
º
Si z = 2e i 5 et z 0 =
p i °º
3e 4 , alors
p
|zz 0 | = 2 3 et
arg(zz 0 ) =
º
°º
º
+(
)=°
5
4
20
p
º
Et donc zz 0 = 2 3e ° 20 .
Conséquence 5.
Remarque 28.
Par récurrence, on a alors |z n | = |z|n et arg(z n ) = n arg z[2º].
On a alors (cos µ + i sin µ)n = cos(nµ) + i sin(nµ) (il s’agit de la formule de Moivre)
2) Module et argument d’un quotient
Théorème 56.
Pour tous nombres complexes non nuls z et z 0 , on a
Ø z Ø |z|
Ø Ø
Ø 0Ø= 0
z
|z |
Preuve. En remarquant que
z
z0
et
arg
≥z¥
z0
= arg z ° arg z 0 [2º]
Ø Ø
° ¢
£ z 0 = z, d’après ce qui précède Ø zz0 Ø .|z 0 | = |z| et arg zz0 + arg z 0 = arg z[2º].
68
Mathématiques
V.. EQUATION
- TS
DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS
Terminale S
Si z = 4e i
Exemple 48.
et donc
z
z0
= 43 e i
5º
6
2º
3
º
et z 0 = 3e °i 6 , alors
ØzØ 4
Ø Ø
Ø 0Ø=
z
3
.
et
arg
≥z¥
z0
=
2º °º 5º
°
=
3
6
6
3) Avec la forme exponentielle
Théorème 57.
• r e i µ £ r 0e
•
r ei µ
0
r 0ei µ
=
i µ0
Les résultats précédents donnent donc, avec r > 0 et r 0 > 0 :
0
= r r 0 e i (µ+µ ) .
r i (µ°µ0 )
e
.
r0
• r e i µ = r e °i µ .
Remarque 29.
On a également les formules d’Euler :
cos µ =
e i µ + e °i µ
2
et
sin µ =
e i µ ° e °i µ
2i
V. Equation du second degré à coefficients réels
On cherche à résoudre dans C les équation du type az 2 + bz + c = 0, d’inconnue z, avec a, b, c trois réels.
Théorème 58.
discriminant.
Soient a, b, c trois réels. On s’intéresse à l’équation az 2 + bz + c = 0, et on note ¢ = b 2 ° 4ac son
• Si ¢ > 0, l’équation possède deux solutions dans C, qui sont réelles :
p
°b ° ¢
z1 =
2a
p
°b + ¢
et z 2 =
2a
• Si ¢ = 0, l’équation possède une unique solution dans C, qui est réelle :
z=
°b
2a
• Si ¢ < 0, l’équation possède deux solutions dans C, qui sont des nombres complexes conjugués :
z1 =
p
°b ° i °¢
2a
et z 2 =
p
°b + i °¢
2a
Dans tous les cas, le trinôme az 2 + bz + c, a 6= 0 se factorise toujours :
az 2 + bz + c = a(z ° z 1 )(z ° z 2 )
les nombres z 1 et z 2 étant réels distincts (cas ¢ > 0), réels confondus (cas ¢ = 0) ou complexes conjugués (cas ¢ < 0).
69
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 11. NOMBRES COMPLEXES
p
Exemple 49.
Résolvons dans C l’équation
z 2 ° 8 3z + 64 = 0.
p 2
On calcule le discriminant : ¢ = (°8 3) °4£1£64 = °64. L’équation possède deux solutions complexes conjuguées
:
p
p
p
p
p
p
8 3 ° i 64
8 3 + i 64
z1 =
= 4 3 ° 4i et z 2 =
= 4 3 + 4i
2
2
Théorème 59.
Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur à 1. Si a 2 C est une racine, alors il
existe un polynôme Q, à coefficients complexes, tel que
P(X) = (X ° a)Q(X)
Exercice 5.
Soit P le polynôme définie par P(X) = X 3 +(°1°i )X 2 +(°6+i )X +6i . Montrer que P(i ) = 0. En déduire
l’existence de trois coefficients complexes a, b et c tels que
P(X) = (X ° i )(aX 2 + bX + c)
VI. Plan complexe : nombres complexes en géométrie
1) Affixe d’un point et d’un vecteur
On suppose que le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~
u ;~
v ).
° ¢
Définition 46.
Soit M(a; b) un point du plan, et ~
v ba un vecteur. Au point M et au vecteur ~
v , on peut associer le
nombre complexe z = a + i b. On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur ~
v , et on dit que
• M est l’image de z.
• ~
v est l’image vectorielle de z.
Quand on repère un point ou un vecteur par son affixe, on dit qu’on se place dans le plan complexe.
Remarque 30.
Si z = a + i b est l’affixe du vecteur ~
v , on a ||~
v || =
p
a2 + b2.
2) Vecteur, et milieu
Soient M et M0 deux points du plan, d’affixes respectives z M et z M0 .
~ 0 a pour affixe z ~ 0 = z M0 ° z M .
• le vecteur MM
MM
Théorème 60.
• l’affixe du point I, milieu de [MM0 ] est donné par
zI =
z M + z M0
2
Preuve. Notons z M = a + i b et z M0 = a 0 + i b 0 . Ainsi, le point M a pour coordonnées (a; b) et M0 a pour coordonnées (a 0 ; b 0 ).
° 0 ¢
~ 0 a pour coordonnées a 0 °a , donc MM
~ 0 a pour affixe (a 0 ° a) + i (b 0 ° b) = a 0 + i b 0 ° (a + i b) = z M0 ° z M .
• MM
b °b
≥
¥
0 b+b 0
• I a pour coordonnées a+a
, donc I a pour affixe
2 ; 2
zI =
a + a0
b + b 0 (a + i b) + (a 0 + i b 0 ) z M + z M0
+i
=
=
2
2
2
2
70
VI..
Mathématiques
PLAN COMPLEXE
- TS : NOMBRES COMPLEXES EN GÉOMÉTRIE
Terminale S
3) Somme de vecteur
Théorème 61.
affixe kz.
Si ~
u a pour affixe z et ~
v a pour affixe z 0 , alors ~
u +~
v a pour affixe z + z 0 , et si k est un réel, k~
u a pour
4) Propriétés vecteurs / affixes
~0 deux vecteurs d’affixes respectives z et z 0 dans le plan complexe rapporté au repère
Théorème 62.
Soient ~
v et v
0
iµ
0
(O;~
u ;~
v ). On écrit z = Ωe et z = Ω0 e i µ . Alors :
• (~
i ;~
v ) = µ = arg z[2º].
~0 ) = µ0 ° µ = arg z 0 ° arg z[2º].
• (~
v; v
~ Alors M a pour affixe z, et par définition arg z = µ = (~
~
Preuve. Soit M le point du plan tel que ~
v = OM.
i ; OM)[2º].
Puis par la
0
0
0
~
~
~
~
~
~
~
relation de Chasles sur les angles, on a (~
v ; v ) = (~
v ; i ) + (i ; v ) = (i ; v ) ° (i ;~
v ).
Théorème 63.
Soient A, B, C, D quatre points distincts du plan complexe d’affixes respectives z A , z B , z C , z D .
~
• Le vecteur AB a pour affixe z B ° z A et on a
~ = arg(z B ° z A )[2º]
AB = |z B ° z A | et (~
i ; AB)
• On a
Ø
Ø
CD ØØ z D ° z C ØØ
=
AB Ø z B ° z A Ø
~ CD)
~ = arg(z D ° z C ) ° arg(z B ° z A ) = arg
et (AB;
~ et CD
~ sont orthogonaux si et seulement si
• AB
µ
∂
zD ° zC
º
zD ° zC
arg
= [º] ,
est imaginaire pur
zB ° z A
2
zB ° z A
• A, B et C sont alignés si et seulement si
µ
∂
zD ° zC
zD ° zC
arg
= 0[º] ,
2R
zB ° z A
zB ° z A
Preuve. Les démonstrations sont laissées en exercice.
71
µ
zD ° zC
zB ° z A
∂
Terminale S
Mathématiques - TS
72
CHAPITRE 11. NOMBRES COMPLEXES
Chapitre 12
Fonction logarithme népérien
I. Logarithme népérien
1) Retour sur la fonction exponentielle
Dans le cours sur la fonction exponentielle, nous avons vu que la fonction exp est strictement croissante et continue sur R.
De plus, exp (R) =]0; +1[.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, quelque soit le réel x 2]0; +1[, il existe un unique réel y 2 R tel que e y = x.
2) Définition
Définition 47.
On notera ce réel y = ln x : ainsi e ln x = x, et ln x est le nombre dont l’exponentielle est x.
La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0; +1[ qui, à tout réel x > 0, associe le réel y noté ln x
dont l’exponentielle est x.
◆
✓
John Neper inventa les logarithmes vers 1613. Le logarithme le plus utilisé (dit “base
e”) porte ainsi son nom.
3) Premières propriétés
⇣
⌘
Propriété 17.
• Pour tout réel x > 0, e ln x = x.
• Pour tout réel x, ln(e x ) = x.
• ln 1 = 0 et ln e = 1.
Preuve. Le premier point découle de la définition de ln x. Pour le second point, ln e x est l’unique réel dont l’exponentielle
est e x , c’est donc x. Le troisième point est une conséquence du deuxième.
Théorème 64.
Pour tout réel x > 0, et pour tout réel y,
y = ln x , x = e y
Preuve. Découle des points 1 et 2 précédents.
73
Mathématiques
CHAPITRE
- TS 12. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Terminale S
II. Logarithme d’un produit
1) Propriété fondamentale
Théorème 65.
Pour tous réels a et b strictement positifs, on a
ln(ab) = ln a + ln b
Preuve. Rappelons que x = y si et seulement si e x = e y . Or e ln(ab) = ab et
e ln a+ln b = e ln a £ e ln b = a £ b = ab
2) Conséquences
Conséquence 6.
Pour tous réels a et b strictement positifs, on a
µ ∂
≥a¥
1
ln
= ln a ° ln b et ln
= ° ln b
b
b
Preuve. D’après la propriété fondamentale
ln a = ln
Conséquence 7.
≥a
¥
a
£ b = ln + ln b
b
b
Pour tous réels a 1 > 0, · · · a n > 0, on a
ln (a 1 £ · · · £ a n ) = ln a 1 + · · · + ln a n
Preuve. Par récurrence sur n.
Conséquence 8.
Pour tout réel a > 0, pour tout entier relatif p, on a
ln a p = p ln a
Preuve. On obtient le résultat pour p > 0 en utilisant le résultat précédent avec a 1 = · · · = a n = a, puis le résultat pour p < 0
1
en utilisant le résultat ln a p = ln a °p
Conséquence 9.
Preuve. En effet,
p
Pour tout réel a > 0,
p
1
ln a = ln a
2
p
p
p
p
a £ a = a, donc ln a = ln a + ln a = 2 ln a.
74
Mathématiques - TS
Terminale S
III.. ETUDE DE LA FONCTION LN
III. Etude de la fonction ln
1) Variation de la fonction ln
Théorème 66.
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +1[.
Preuve. En effet, soient u et v deux réels strictement positifs tels que u < v. Alors, puisque u = e ln u , on a aussi e ln u < e ln v .
Or, on a vu que ceci est équivalent à ln u < ln v : la fonction ln est bien strictement croissante.
Conséquence 10.
On a alors pour tous réels strictement positifs a et b :
ln a = ln b , a = b
Pour tout réel x > 0 :
ln x > 0 , x > 1
ln a < ln b , a < b
ln x < 0 , 0 < x < 1
Exemple 50.
Résoudre 2n > 100.
En appliquant le logarithme, qui est une fonction strictement croissante, on a ln(2n ) > ln(100) , n ln(2) > ln(100) ,
n > ln(100)
ln(2) car ln(2) > 0. On obtient donc n > 6, 64 soit n > 7.
Exercice 6.
Résoudre ln(2x + 1) > 1.
2) Dérivée de la fonction ln
Théorème 67.
La fonction ln est continue et dérivable sur ]0; 1[, et pour tout x > 0, on a
ln0 (x) =
1
x
Preuve. On admet que la fonction ln est continue sur ]0; +1[.
a
Soit a un réel de l’intervalle ]0; +1[. Introduisons la fonction T : x 7! ln x°ln
et montrons que sa limite est a1 quand x tend
x°a
vers a. Pour cela, on se ramène à l’exponentielle : soient y et b deux réels tels que y = ln x et b = ln a (donc x = e y et a = e b ).
T s’écrit alors
y °b
T(x) = y
e ° eb
Or, quand x tend vers a, puisque le ln est continue, y = ln x tend vers ln a = b. Et lorsque y tend vers b,
0
b
exp (b) = e (c’est la limite du taux d’accroissement).
Donc quand x tend vers a, T(x) tend vers e1b = a1 .
3) Limites et courbe représentative
Théorème 68.
On a
lim ln x = +1 et
x!+1
Preuve.
75
lim ln x = °1
x!0+
e y °e b
y°b
tend vers
Mathématiques
CHAPITRE
- TS 12. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Terminale S
• Soit M > 0. ln étant strictement croissante, on a donc
x > e M , ln x > ln e M = M
Donc ln(x) > M pour x assez grand : par définition, lim ln x = +1
x!+1
• Posons X =
1
x . On a alors ln x
= ° ln X. Or,
lim X = +1 et
x!0+
lim (° ln X) = °1
X!+1
Par théorème sur la limite d’une fonction composée, on a bien lim ln x = °1
x!0+
Bilan :
La fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +1[. D’après les résultats précédents, on a le tableau de variations suivant :
x
0
1
ln0 (x)
ln(x)
1
+
°1 %
e
+
0%
1
e
+1
+
1%
+1
et la courbe représentative de la fonction ln :
IV. Autres résultats
1) Limites importantes
Théorème 69.
On a
lim
x!+1
ln x
= 0 et
x
Preuve.
76
lim x ln x = 0
x!0+
Mathématiques - TS
Terminale S
• Posons ln x = X, soit x = e X . Dans ce cas,
lim X = +1 et
ln x
x
X
lim
x!+1
=
eX
X!+1
IV.. AUTRES RÉSULTATS
X
. Or ;
eX
= 0 (vu dans le cours sur la fonction exponentielle)
ln x
=0
x
• se démontre de la même manière, en posant X = ln x et en utilisant lim Xe X = 0
Par théorème sur la limite d’une fonction composée, on a bien lim
x!+1
X!°1
Conséquence 11.
Pour tout n > 1, on a
lim
x!+1
Théorème 70.
On a
ln x
=0
xn
ln x
= 1 et
x!1 x ° 1
lim
ln(1 + x)
=1
x!0
x
lim
Preuve.
• La fonction ln est dérivable sur ]0; +1[, donc en 1, et on a
lim
x!1
• En posant X = 1 + x, on a alors
ln(x+1)
x
=
ln X
X°1
ln x ° ln 1 1
= =1
x °1
1
et alors
lim X = 1 et
x!0
lim
X!1
ln X
=1
X°1
Par théorème sur la limite d’une fonction composée, on a bien lim
x!0
Remarque 31.
ln(1 + x)
=1
x
On a alors l’approximation affine ln(1 + x) º x quand x est proche de 0.
2) Dérivée d’une fonction ln ±u
Théorème 71.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction x 7! ln[u(x)]
est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction
u 0 (x)
x 7!
u(x)
Preuve. Admis.
3) Logarithme décimal
Définition 48.
On peut définir également le logarithme décimal : pour tout x 2]0; +1[,
log(x) =
77
ln(x)
ln(10)
Terminale S
Mathématiques
CHAPITRE
- TS 12. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Remarque 32.
Cette fonction est très utile en Physique-Chimie, pour définir le pH par exemple. Par définition,
ph = ° log([H3 O+ ]), où [H3 O+ ] désigne la concentration en H3 O+ . Elle est également utilisée pour la puissance d’un
son, la magnitude d’un tremblement de terre (dans l’échelle de Richter).
Remarque 33.
log(10p ) = p.
Le logarithme décimale vérifie la même relation fonctionnelle : log(ab) = log(a) + log(b). De plus,
Remarque 34 (Loi de Benford).
Lorsqu’on tire au hasard un nombre dans une série
de
°
¢ nombres quelconques, la
probabilité que le premier chiffre (non nul) soit le chiffre d est environ égale à log 1 + d1 .
78
Chapitre 13
Primitives
I. Primitives
1) Définition
Définition 49.
Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I, avec F dérivable. Si F0 = f , on dit que F est
une primitive de f sur l’intervalle I.
Exemple 51.
• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x. Alors f admet comme primitive sur R la fonction F : x 7! x 2 , mais
également les fonctions G : x 7! x 2 + 1, H : x 7! x 2 + l , l 2 R.
• La fonction t 7! sin t admet comme primitive sur R la fonction t 7! ° cos t .
2) Différentes primitives d’une fonction
Théorème 72.
Les seuls primitives de la fonction nulle sur un intervalle I sont les fonctions constantes.
Preuve. En effet, si F0 = 0 sur l’intervalle I, nous avons vu dans le chapitre sur la dérivation, que cela implique que F est
constante. Réciproquement, les fonctions constantes ont une dérivée nulle.
Conséquence 12.
Soit F une primitive d’une fonction f sur l’intervalle I. Alors toutes les primitives de f sur I
s’écrivent F + ∏, avec ∏ constante réelle.
Preuve. En effet, en notant F et G deux primitives de f sur I, on a (F°G)0 = F0 °G0 = f ° f = 0. D’après le résultat précédent,
F ° G est une fonction constante sur l’intervalle I, c’est à dire F = G + ∏ avec ∏ constante réelle.
3) Fonction continue et prmitive
Théorème 73.
Une fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Preuve. Ce théorème sera démontré ultérieurement.
79
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 13. PRIMITIVES
4) Fonction primitive et condition initiale
Théorème 74.
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit x 0 un réel de l’intervalle I, et
y 0 un réel donné. Alors il existe une, et une seule, primitive F de f sur I telle que F(x 0 ) = y 0 .
En particulier, f admet une unique primitive s’annulant en un x 0 donné.
Preuve. Soit F une primitive de f . Alors, la fonction G définie par G = F ° F(x 0 ) + y 0 est également une primitive de f , et
G(x 0 ) = y 0 .
Si G et H sont deux primitives de f telles que G(x 0 ) = H(x 0 ) = y 0 , alors, puisqu’on peut écrire G = H + l , on a G(x 0 ) =
H(x 0 ) + l = G(x 0 ) + l , donc l = 0 et G = H.
Exemple 52.
La fonction F définie sur R par F(x) = sin(x) ° 1 est une primitive de f : x 7! cos x vérifiant F
II. Recherche de primitives
Pour rechercher des primitives, on utilise les formules connues pour la dérivation, et les dérivées connues.
1) Fonctions usuelles
Fonction f
x 7! a (constante)
x 7! x n (n > 1)
x 7!
1
(n > 1)
xn
1
x 7! p
x
x 7!
1
x
x 7! e x
x 7! sin x
x 7! cos x
x 7! 1 + tan2 x =
1
cos2 x
Primitive F
x 7! ax
x 7!
x n+1
n +1
Intervalle I
R
R
1
x 7! ° (n°1)x
n°1
] ° 1; 0[ ou]0; +1[
p
x 7! 2 x
]0; +1[
ln x
]0; +1[
x 7! e x
x 7! ° cos x
x 7! sin x
R
R
R
x 7! tan x
§ º
£
° 2 + kº; º2 + kº , k 2 Z
2) Utilisation des formules de dérivation
On pourra utiliser :
80
°º¢
2
= 0.
Terminale S
Mathématiques - TS
II.. RECHERCHE DE PRIMITIVES
Théorème 75.
Si F et G sont des primitives sur un intervalle I de f et g , alors F + G est une primitive de f + g sur I.
De même, l F est une primitive de l f sur I.
On peut également utiliser les formules suivantes :
Rappel 2.
µ
∂
u0
1 0
=
°
u2
u
µ
∂0
1
u0un =
u n+1
n +1
p
u0
p = (2 u)0
u
2u 0 u = (u 2 )0
u0
= (ln u)0
u
u 0 e u = (e u )0
Exemple 53.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = sin x cos x. On pose u(x) = sin x. Alors f (x) = u 0 (x)u(x) et
admet donc comme primitive F : x 7! 12 e 2 (x) = 12 sin2 (x).
81
Terminale S
Mathématiques - TS
82
CHAPITRE 13. PRIMITIVES
Chapitre 14
Intégration
I. Notion d’intégrale sur un intervalle
1) Définition pour une fonction constante
Définition 50.
Soit c un réel, et soit f une fonction, définie sur [a; b], vérifiant, pour tout x 2]a; b[, f (x) = c (la
valeur de f en a et b n’est pas importante).
On appelle intégrale de f sur l’intervalle [a; b] le réel I( f ) définie par
I( f ) = (b ° a)c
Remarque 35 (Interprétation géométrique).
Le réel I( f ) représente l’aire algébrique, mesurée en unité d’aire, de
la partie du plan limitée par la droite y = c, l’axe (Ox), et les droites d’équations x = a et x = b :
L’unité d’aire est l’aire du rectangle défini par les vecteurs ~
i et ~
j.
Notation 5.
Cette intégrale est également notée
• a et b représentent les bornes de l’intégrale.
Rb
a
f (t )d t .
• la variable t est appelée variable muette. On peut également écrire
2) Définition pour une fonction en escalier
83
Rb
a
f (t )d t =
Rb
a
f (x)d x =
Rb
a
f (v)d v.
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 14. INTÉGRATION
Définition 51.
La fonction f est dite en escalier sur [a : b] si elle est constante par morceaux sur [a : b] : il existe
des réels x 0 = a, x 1 , · · · , x n = b, et des réels c 1 , · · · , c n tels que
8 x 2]x i , x i +1 [, f (x) = c i +1
Remarque 36.
Les réels x 0 , · · · , x n représentent ce qu’on appelle une subdivision de [a; b], c’est à dire une
partition de [a : b]
Définition 52.
On appelle intégrale de f sur l’intervalle [a; b] le réel I( f ) =
Zb
a
Rb
a
f (t )d t définie par
f (t )d t = (x 1 ° x 0 )c 1 + (x 2 ° x 1 )c 2 + · · · + (x n ° x n+1 )c n
Remarque 37 (Interprétation géométrique).
rectangles, ces aires étant comptées :
L’intégrale de f sur [a : b] est la somme algébrique des aires des
• positivement s’ils sont au-dessus de l’axe (0x).
• négativement s’ils sont en dessous.
◆
✓
R
La notation est due à Gottfried Leibniz. Il s’agit d’un S allongé, illustrant le fait
qu’une aire peut se calculer comme somme d’autres aires.
84
⇣
⌘
MathématiquesI..- TS
NOTION D’INTÉGRALE SUR UN INTERVALLE
Terminale S
3) Définition pour une fonction continue
Théorème 76.
telles que :
Soit f une fonction continue sur [a : b]. Il existe deux suites de fonctions en escalier (g n ) et (h n )
• Pour tout n de N et pour tout t de [a; b], on a
g n (t ) 6 f (t ) 6 h n (t )
• Les suites I(g n ) =
Rb
a
g n (t )d t et I(h n ) =
Rb
a
h n (t )d t sont convergentes vers la même limite l .
Remarque 38 (Unicité de la limite).
S’ils existent deux suites de fonctions en escalier (s n ) et (t n ), qui encadrent f ,
et telles que les suites I(s n ) et I(t n ) convergent vers la même limite l 0 , alors l 0 = l .
Définition 53.
La remarque précédente permet de définir l’intégrale de f sur [a : b] par
Zb
a
Exemple 54.
f (t )d t = l = lim
Zb
n!+1 a
g n (t )d t = lim
Zb
n!+1 a
h n (t )d t
Cas d’une fonction continue, positive et décroissante sur [0 : 1]. Partition de
1
2n .
Remarque 39.
L’intégrale d’une fonction continue sur [a : b], f , est donc l’aire algébrique, mesurée en unité
d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe de f , l’axe (Ox), et les droites d’équations x = a et x = b.
4) Encadrement de l’intégrale d’une fonction positive
On peut utiliser ce que l’on appelle la méthode des rectangles pour déterminer une valeur approchée de l’intégrale. Pour
cela, on découpe le segment [a; b] en n intervalles [x k ; x k+1 ] d’amplitude b°a
n , et on encadre l’aire sur [x k ; x k+1 ] par deux
rectangles, un plus petit et un plus grand.
85
Mathématiques - TS
Terminale S
Algorithme 3.
CHAPITRE 14. INTÉGRATION
Si f est croissante, on peut utiliser l’algorithme suivant :
Algorithme 3 : METHODE DES RECTANGLES
Entrées : Saisir a, b, n (nombres positifs)
Initialisation :
h √ b°a
n
x√a
u√0
v √0
pour k allant de 0 à n ° 1 faire
u √ u + h £ f (x)
x √ x +h
v √ v + h £ f (x)
fin
Sorties : Afficher u, v
II. Premières propriétés
1) Cas où a et b sont quelconques
Définition 54.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soient a et b deux réels de I.
Rb
Ra
• Si a > b, on pose par définition a f (t )d t = ° b f (t )d t .
Ra
• Lorsque a = b, on pose a f (t )d t = 0
2) Relation de Chasles
Théorème 77.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a, b, c trois réels quelconques de I. Alors
Zb
a
f (t )d t +
Zc
b
f (t )d t =
86
Zc
a
f (t )d t
Mathématiques - TS
Terminale S
II.. PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
Exemple 55 (Calcul
R5de l’intégrale d’une fonction affine par morceaux).
Déterminer I( f ) = °1 f (t )d t .
Soit f la fonction donnée ci-dessous.
D’après la relation de Chasles :
Z5
°1
f (t )d t =
Z0
°1
f (t )d t +
Z2
0
f (t )d t +
Z3
2
f (t )d t +
Z5
3
f (t )d t = 2 + 3 ° 1 ° 2 = 2
Conséquence 13.
• Si f est paire sur [°a; a], alors
Za
°a
• Si f est impaire sur [°a; a], alors
f (t )d t = 2
Za
°a
Za
0
f (t )d t
f (t )d t = 0
3) Linéarité
87
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 14. INTÉGRATION
Théorème 78.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, soit ∏ un réel quelconque, et soient a, b
deux réels quelconques de l’intervalle I. Alors
Zb
a
Zb
a
∏ f (t )d t = ∏
( f + g )(t )d t =
Zb
a
Zb
a
f (t )d t
f (t )d t +
Zb
a
g (t )d t
4) Aire d’un domaine entre deux courbes
Définition 55.
Soient f et g deux fonctions continues sur [a : b], et C f , Cg leurs courbes représentatives. On
suppose que C f est au-dessus de la courbe Cg sur [a; b]. Alors, l’aire, en unité d’aire, du domaine D limitée par les
deux courbes, et les droites d’équations x = a et x = b est
A (D ) =
Zb
a
( f ° g )(x)d x
Exemple 56.
Soient C f et Cg les courbes représentatives, dans un repère orthonormal (O;~
i;~
j ) ; des fonctions f et
2x+3
°x
g définie sur [0; 5] par f (x) = x+1 et g (x) = x+1 . Alors, l’aire du domaine D délimité par ces deux courbes sur [0; 5]
vaut
Z5
Z5
Z5
3(x + 1)
( f ° g )(x)d x =
dx =
3d x = 3 £ 5 = 15
x +1
0
0
0
III. Propriétés d’encadrement et valeur moyenne
1) Encadrement
Théorème 79.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, et soient a, b deux réels quelconques de I.
• Si a 6 b et si, pour tout réel t de [a; b], f (t ) > 0, alors
Zb
a
f (t )d t > 0
• Si a 6 b et si, pout tout réel t de [a; b] f (t ) 6 g (t ) alors
Zb
a
f (t )d t 6
Zb
a
g (t )d t
Preuve.
• Si a 6 b et si, pour tout réel t de[a; b], f (t ) > 0, alors l’aire algébrique délimitée par la courbe de f , l’axe (Ox), et les
Rb
droites d’équations x = a et x = b sera nécessairement positive. Donc a f (t )d t > 0.
Rb
• Si f (t ) 6 g (t ) pour tout t de [a; b], alors g (t ) ° f (t ) > 0 pour tout t de [a; b]. D’après ce qui précède, a (g (t ) °
f (t ))d t > 0, ce qui démontre le résultat.
88
Mathématiques
III.. PROPRIÉTÉS
- TS D’ENCADREMENT ET VALEUR MOYENNE
Terminale S
Théorème 80 (Inégalité de la moyenne).
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient m et M deux réels,
et a, b deux réels de l’intervalle I tels que a 6 b.
Si m 6 f 6 M sur [a; b] alors
Zb
m(b ° a) 6
f (t )d t 6 M(b ° a)
a
Et si a 6= b :
m6
Zb
1
b°a
a
f (t )d t 6 M
Preuve. Pour tout t dans [a; b], on a m 6 f (t ) 6 M. D’après le théorème précédent, puisque a 6 b, on a alors
Zb
a
md t 6
Zb
f (t )d t 6
a
Zb
a
Md t
Rb
Rb
Or a md t = m(b ° a) et a Md t = M(b ° a) (car les fonction t 7! M et t 7! m sont constantes sur [a; b]), ce qui donne le
résultat.
Exercice 7.
pose
On admet que la fonction f : x 7!
1
est décroissante sur [0; +1[. Pour tout entier naturel n, on
e x + e °x
Zn+1
In =
f (x)d x
n
Prouver que pour tout entier naturel n, f (n + 1) 6 In 6 f (n), puis en déduire que la suite (In ) est convergente.
2) Valeur moyenne d’une fonction
Définition 56.
réel
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soient a, b deux réels distincts de I. Le nombre
est appelé valeur moyenne de f entre a et b.
Théorème 81.
Zb
1
b°a
a
f (t )d t
Dans les conditions précédentes, il existe un réel c situé entre a et b, tel que
1
b°a
Zb
a
f (t )d t = f (c)
Preuve. Soit f une fonction continue sur le segment [a; b]. Puisqu’elle est continue, l’image du segment [a; b] est un
segment [m; M]. Mais alors, pour tout x de [a; b] :
m 6 f (x) 6 M ,
Zb
a
md t 6
Soit
m6
1
b°a
Zb
a
Zb
a
f (t )d t 6
Zb
a
Md t
f (t )d t 6 M
Rb
1
Le réel b°a
a f (t )d t est donc compris entre m et M. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, cette valeur est
atteinte en un réel c 2 [a; b].
89
Mathématiques - TS
Terminale S
CHAPITRE 14. INTÉGRATION
IV. Primitives et calcul d’intégrales
1) Primitive d’une fonction continue
Théorème 82.
par
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a un réel de I. Alors, la fonction F, définie sur I
F(x) =
est l’unique primitive de f sur I telle que F(a) = 0.
Zx
f (t )d t
a
Preuve. Montrons que F est bien une primitive de f . D’après un théorème d’unicité vu dans le chapitre sur les primitives,
puisque F(a) = 0, F sera l’unique primitive de f nulle en a.
0)
Soit T : h 7! F(x0 +h)°F(x
pour h 6= 0. Alors
h
T(h) =
Rx0 +h
a
f (t )d t °
h
Rx 0
a
f (t )d t
D’après un théorème précédent, il existe c 2 [x 0 ; x 0 + h] tel que
Rx0 +h
x0
=
Rx0 +h
x0
f (t )d t
h
f (t )d t = (x 0 + h ° x 0 ) f (c) = h f (c). Donc
T(h) = f (c)
Or, lorsque h tend vers 0, c tend vers x 0 . Donc
lim T(h) = f (x 0 ) : F0 (x 0 ) = f (x 0 )
h!0
2) Intégrale et primitive
Théorème 83.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive quelconque de f sur I. Soient a
et b deux réels de I. Alors
Z
b
f (t )d t = F(b) ° F(a)
a
Remarque 40.
Notation : On écrit souvent la différence F(b) ° F(a) sous la forme [F(t )]ba . Ainsi,
Zb
a
f (t )d t = [F(t )]ba
Rx
Preuve. La fonction G : x 7! a f (t )d t est, d’après le théorème précédent, la primitive de f sur I telle que G(a) = 0. Soit F
une primitive quelconque de f surRI, alors il existe une constante k telle que, pour tout réel x de I, G(x) = F(x) + k. Puisque
x
G(a) = 0, k = °F(a) et alors G(x) = a f (t )d t = F(x) ° F(a). En prenant x = b, on obtient le résultat voulu.
Exemple 57.
Puisqu’une primitive de t 7! e t est t 7! e t , on a
Z1
0
e t d t = [e t ]10 = e ° 1
3) Intégration par partie (Hors Programme)
90
Mathématiques - TSIV.. PRIMITIVES ET CALCUL D’INTÉGRALES
Terminale S
Théorème 84.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telles que leurs dérivées u 0 et v 0 sont
continues sur I. Alors, pour tous réels a et b de I :
Zb
a
u(t )v 0 (t )d t = [u(t )v(t )]ba °
Zb
a
u 0 (t )v(t )d t
Preuve. La fonction uv est dérivable sur I et on a (uv)0 = u 0 v + uv 0 . Donc uv 0 = uv ° u 0 v, et toutes ces fonctions sont
continues sur I. On en déduit donc :
Zb
Zb
(uv 0 )(t )d t =
[(uv)0 (t ) ° (u 0 v)(t )]d t
a
a
Par linéarité de l’intégrale, et puisque uv est une primitive de (uv)0 , on a
Zb
a
Exemple 58.
Exercice 8.
Calcul de
R1
0
u(t )v 0 (t )d t = [u(t )v(t )]ba °
Zb
a
u 0 (t )v(t )d t
tet d t.
Déterminer une primitive sur ]0; +1[ de f : x 7! ln(x).
91
Terminale S
Mathématiques - TS
92
CHAPITRE 14. INTÉGRATION
Chapitre 15
Lois de probabilité continues
I. Rappels : loi binomiale
1) Loi de Bernoulli
Définition 57.
Soit p un nombre réel tel que p 2 [0; 1]. Soit X une variable aléatoire. On dit que X suit une loi de
Bernoulli de paramètre p, si
• X prend pour seules valeurs 1 (le “succès”), et 0 (l’“échec”).
• P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 ° p.
Propriété 18.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors
E(X) = p
Algorithme 4.
et
V(X) = p(1 ° p)
Exemple de simulation d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p :
Algorithme 4 : SIMULATION BERNOULLI
Entrées : Saisir p, nombre réel entre 0 et 1.
Début
h √ r and (0, 1)
(rand(0 ;1) : nombre aléatoire entre 0 inclus et 1 exclu)
si h<p alors
Afficher “Succès”
fin
Afficher “Echec”
Fin
2) Coefficients binomiaux
° ¢
Définition 58.
Soient n et k deux entiers naturels, tels que k 6 n. On note nk (et on dit “k parmi n”) le nombre
de manières d’obtenir k succès (et donc n ° k échecs) parmi n répétitions indépendantes de la même expérience de
Bernoulli.
93
Mathématiques
CHAPITRE
- TS
15. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
Terminale S
Exemple 59.
Propriété 19.
En faisant un arbre, on obtient
°4¢
4
= 1,
°4¢
= 4 ...
3
Pour tous n et k tels que k 6 n, on a
√ !
n
n!
=
k
k!(n ° k)!
√ ! √
!
n
n
=
k
n °k
√ ! √
! √
!
n
n
n +1
+
=
k
k +1
k +1
3) Loi binomiale
Définition 59.
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p 2 [0; 1]. On repète n fois (n > 1) cette
expérience de manière indépendante et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de succès. On dit alors
que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on note X ª B (n; p).
Propriété 20.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors, la probabilité
d’obtenir k succès (0 6 k 6 n) est donnée par
√ !
n k
P(X = k) =
p (1 ° p)n°k
k
Propriété 21.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors
E(X) = np
et
V(X) = np(1 ° p)
II. Densité et loi de probabilité continue
1) Notion de densité
Notation 6.
Soit I un intervalle de R et f une fonction continue sur I.
• Si I = [a; b] (avec a < b deux réels), on note
Z
I
• Si I = [a; +1[, on note
Zb
a
f (t )d t
Z
f (t )d t = lim
Zx
f (t )d t
Z
f (t )d t = lim
Zb
f (t )d t
I
• Si I =] ° 1; b], on note
f (t )d t =
I
x!+1 a
x!°1 x
94
Mathématiques
II.. -DENSITÉ
TS
ET LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE
Terminale S
Définition 60.
sur I, telle que
Soit I un intervalle. On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f , continue et positive
Z
I
f (t )d t = 1
Exemple 60.
Si I = [a; b] (a < b), alors la fonction f , constante égale à
effet, f est continue et positive sur [a; b], et on a
Z
I
f (t )d t =
Zb
a
1
b°a
sur I est une densité de probabilité. En
1
1
1
dt =
[t ]ba =
(b ° a) = 1
b°a
b°a
b°a
2) Loi de probabilité continue
La loi binomiale, ou toutes les lois de probabilités vues jusqu’à présent, ne prennent que des valeurs finies (le nombre de
fois où on tombe sur pile quand on lance une pièce 10 fois, par exemple).
Dans de nombreux domaines, on étudie des variables aléatoires pouvant prendre (en théorie) toute valeurs d’un intervalle
I de R.
Exemple 61.
On note X la variable aléatoire qui donne la production quotidienne, en tonne, d’une entreprise.
Cette variable X peut prendre, en théorie, toutes les valeurs possibles de [0; +1[.
Pour pouvoir étudier ces variables aléatoires, on va utiliser la notion de variable continue.
Définition 61.
Soit I un intervalle. On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans I, suit une loi de probabilité
de densité f sur I, si pour tout intervalle J inclus dans I, on a
Z
P(X 2 J) = f (t )d t
J
Une telle variable aléatoire est dite continue.
Remarque 41.
La probabilité P(X 2 [a; b]) est également notée P(a 6 X 6 b). Il s’agit de l’aire du domaine entre
C f , l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = a et x = b.
3) Propriétés
Proposition 15.
Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi de probabilité de densité f sur I.
• P(X 2 I) = 1.
• Quel que soit le réel a dans I,
P(X = a) =
Za
a
f (t )d t = 0
• Pour tous réels a < b de I, on a
P(X 2 [a; b]) = P(X 2 [a; b[) = P(X 2]a; b]) = P(X 2]a; b[)
P(X > a) = P(X > a) = 1 ° P(X < a) = 1 ° P(X 6 a)
95
Mathématiques
CHAPITRE
- TS
15. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
Terminale S
• La notion de probabilités conditionnelles existe :
P(X2J) (X 2 K) =
P((X 2 J) \ (X 2 K))
P(X 2 J)
4) Espérance mathématique d’une loi continue
Définition 62.
Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi de probabilité de densité f sur I. Alors,
l’espérance mathématique de X est le réel définie par
Z
E(X) = t f (t )d t
I
5) Loi uniforme sur [a; b]
Premier exemple de variable aléatoire continue : la loi uniforme sur [a; b].
Définition 63.
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. La loi uniforme sur [a; b] est la loi ayant pour
densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par
f (t ) =
Propriété 22.
Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a; b].
• Pour tout réel x appartenant à [a; b],
• On a E(X) =
Preuve.
1
b°a
P(a 6 X 6 x) =
a +b
.
2
x °a
b°a
Zx
Zx
1
1
x °a
• P(a 6 X 6 x) =
dt =
dt =
.
b
°
a
b
°
a
b
°a
a
a
∑ 2 ∏b
Zb
Zb
1
1
1
t
b2 ° a2
b+a
• E(X) =
t
dt =
tdt =
=
=
b°a
b°a a
b ° a 2 a 2(b ° a)
2
a
III. Loi exponentielle
La loi exponentielle est une loi de probabilité à densité qui à une propriété intéressante : elle est considérée comme “sans
mémoire”.
1) Définition et premières propriétés
Définition 64.
Soit ∏ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire continue T suit une loi exponentielle de paramètre ∏ si sa densité de probabilité est la fonction
f , définie sur [0; +1[, par
f (x) = ∏e °∏x
96
Mathématiques - TS
Terminale S
Remarque 42.
III.. LOI EXPONENTIELLE
La fonction f est bien une densité. En effet,
Z
[0;+1[
f (t )d t = lim
Zx
x!+1 0
∏e
°∏t
d t = lim
x!+1
"
°e °∏t
∏
∏
#x
0
= lim °e °∏x + 1 = 0
x!+1
Propriété 23.
Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ∏. Alors, pour tous réels a et
b vérifiant 0 6 a 6 b, on a
P(a 6 T 6 b) = e °∏a ° e °∏b
En particulier,
P(T 6 b) = 1 ° e °∏b et P(T > a) = e °∏a
Preuve. En constatant que t 7! °e °∏t est une primitive de f sur [0; +1[, on a
P(a 6 T 6 b) =
Zb
a
h
ib
f (t )d t = °e °∏t = °e °∏b + e °∏a
a
En particulier, si a = 0, P(T 6 b) = 1 ° e °∏b .
Enfin, P(T > a) = 1 ° P(T 6 a) = e °∏a .
2) Durée de vie sans vieillissement
Proposition 16.
Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ∏. Alors, pour tous réels
positifs h et t , on a
PT>t (T > t + h) = P(T > h)
Preuve. On note A l’évènement T > t , et B l’évènement T > t + h. On a B Ω A donc A \ B = B. Donc
PA (B) =
P(A \ B) P(B) P(T > t + h) e °∏(t +h)
=
=
=
= e °∏h = P(T > h)
P(A)
P(A)
P(T > t )
e °∏t
3) Espérance
Proposition 17.
Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ∏. Alors
E(T) =
Preuve. Il faut donc calculer
E(T) = lim
Zx
x!+1 0
1
∏
t £ ∏e °∏t d t
°
¢
Soit g la fonction définie sur [0; +1[ par g (x) = °x ° ∏1 e °∏x . On constate que
µ
∂
1
g 0 (x) = °e °∏x + °x °
(°∏e °∏x ) = °e °∏x + ∏xe °∏x + e °∏x = ∏xe °∏x
∏
97
Mathématiques
CHAPITRE
- TS
15. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
Terminale S
Donc g est une primitive sur [0; +1[ de t 7! t £ ∏e °∏t . On a donc
µ
∂
Zx
£
§x
1 °∏x 1
t £ ∏e °∏t = g (t ) 0 = °x °
e
+
∏
∏
0
Or, d’après les théorèmes généraux,
µ
∂
1 °∏x
°x °
e
=0
x!+1
∏
lim
On en déduit donc
E(T) = lim
Zx
x!+1 0
t £ ∏e °∏t d t =
1
∏
IV. Loi normale centrée réduite
1) Théorème de Moivre-Laplace
On se fixe un réel p 2]0; 1[. Pour tout n > 1, soit Z n une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre p et n,
que l’on “renormalise”.
On a représenté ci-dessous Z 20 et Z 500 pour p = 0, 29.
Z 20
Z 500
On constate que les suites de variables aléatoires Z n s’approche d’une loi de probabilité dont la densité semble être une
courbe “en cloche”.
Théorème 85 (Moivre-Laplace).
Soit p 2]0; 1[. On suppose que, pour tout entier naturel n non nul, la variable
aléatoire X n suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Pour tout n > 1, on pose
X n ° np
Zn = p
np(1 ° p)
Alors, pour tous réels a et b tels que a < b, on a
lim P(a 6 Z n 6 b) =
n!+1
98
Zb
a
x2
1
p e° 2 d x
2º
Mathématiques - TS
Terminale S
IV.. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
Remarque 43.
• On dit que la suite de variables aléatoires (Z n ) converge en loi vers la loi dont la densité est donnée par le
théorème de Moivre-Laplace.
• Le théorème de Moivre-Laplace est une cas particulier d’un théorème essentiel de la théorie de la probabilité
: le théorème central limite.
⌫
Le théorème de Moivre-Laplace a été d’abord démontré par Abraham de Moivre
pour p = 0, 5 en 1733. Le cas général a été démontré par Pierre Simon de Laplace
en 1812.

2) Loi normale centrée réduite
Définition 65.
La loi normale centrée réduite, notée N (0, 1), est la loi continue ayant pour densité de probabilité
la fonction f , définie sur R par
x2
1
f (t ) = p e ° 2
2º
Propriété 24.
• La fonction f a un maximum atteint en 0.
• La courbe C f de la densité de probabilité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La fonction f est bien une densité : elle est positive sur R, et on a
Z
f (t )d t = 1
R
3) Espérance et variance de N (0, 1)
Théorème 86.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1).
• L’espérance de X vaut E(X) = 0.
• La variance de X vaut V(X) = 1.
Preuve. On cherche à calculer
E(X) = lim
Z0
y!°1 y
Remarquons que g (t ) = ° p1 e
2º
2
° t2
t2
1
t £ p e ° 2 d t + lim
x!+1
2º
est une primitive de t 7! t £ p1 e
2º
Zx
2
° t2
0
. On a donc
∑
∏0
y2
t2
t2
1
1
1
t £ p e° 2 d t = ° p e° 2
= ° p e° 2
y
2º
2º
2º
y
∑
∏
Zx
x
t2
t2
x2
1
1
1
t £ p e° 2 d t = ° p e° 2
= p e° 2
0
2º
2º
2º
0
Z0
Or
t2
1
t £ p e° 2 d t
2º
lim e °
y!°1
y2
2
= lim e °
x!+1
On en déduit donc E(X) = 0.
99
x2
2
=0
Mathématiques
CHAPITRE
- TS
15. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
Terminale S
Remarque 44.
La notation N (0, 1) rappelle ainsi l’espérance (0), et la variance (1).
4) Valeurs remarquables
Proposition 18.
positif u Æ tel que
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1). Pour tout Æ 2]0; 1[, il existe un unique réel
P(°u Æ 6 X 6 u Æ ) = 1 ° Æ
Preuve. Notons G la fonction, définie sur [0; +1[, par
G(x) = P(°x 6 X 6 x) =
Zx
°x
f (t )d t
t2
1
où f (t ) = p e ° 2 .
2º
• D’après un théorème vu dans le chapitre Intégration, la fonction G est continue sur [0; +1[.
• De plus, G est strictement croissante. En effet, soit 0 6 x < y. Alors
G(y) ° G(x) =
Zy
°y
f (t )d t °
Zx
°x
f (t )d t =
Z°x
°y
f (t )d t +
Zy
x
f (t )d t
Or, la fonction f est strictement positive, °y < °x et x < y. Donc les deux intégrales sont strictement positives, et
G(y) ° G(x) > 0 (on aurait aussi pu dériver G).
R0
• Enfin, G(0) = 0 f (t )d t = 0 et lim G(x) = 1 puisque f est une densité. Or 0 < 1 ° Æ < 1.
x!+1
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif u Æ tel que
G(u Æ ) = 1 ° Æ.
Remarque 45 (Valeurs remarquables).
On dispose des valeurs approchées suivantes :
u 0,05 º 1, 96 et u 0,01 º 2, 58
Ainsi, P(°1, 96 6 X 6 1, 96) º 0, 95 et P(°2, 58 6 X 6 2, 58) º 0, 99
V. Lois normales
1) Loi normale N (µ, æ2 )
Définition 66.
Soit µ un nombre réel et æ un réel strictement positif.
La variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, æ2 ) si, et seulement si, la variable aléatoire Y =
centrée réduite.
Remarque 46.
X°µ
æ
suit la loi normale
Si X suit la loi N (µ, æ2 ), alors elle admet pour fonction de densité la fonction
°
¢
1 x°µ 2
1
p(x) = p e ° 2 æ
æ 2º
Il s’agit d’une courbe “en cloche”, symétrique par rapport à la droite d’équation x = µ, et d’autant plus resserrée
autour de cette droite que æ est petit.
100
Mathématiques - TS
Terminale S
V.. LOIS NORMALES
2) Espérance, variance des lois normales
Proposition 19.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N (µ, æ2 ). Alors
E(X) = µ, V(X) = æ2 et son écart-type æ(X) =
Preuve. On sait que Y =
X°µ
æ
p
V(X) = æ
suit une loi N (0, 1). Donc E(Y) = 0 et V(Y) = 1. Or X = æY + µ. Donc
E(X) = E(æY + µ) = æE(Y) + µ = 0 + µ = µ
V(X) = V(æY + µ) = æ2 V(Y) = æ2
3) Intervalles de fluctuation d’une loi N (µ, æ2 )
Proposition 20.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N (µ, æ2 ). Alors, on a :
P(µ ° æ 6 X 6 µ + æ) º 0, 683
P(µ ° 2æ 6 X 6 µ + 2æ) º 0, 954
P(µ ° 3æ 6 X 6 µ + 3æ) º 0, 997
Preuve. En effet,
P(µ ° æ 6 X 6 µ + æ) = P(°æ 6 X ° µ 6 æ) = P(°1 6
Or Y =
X°µ
æ
suit une loi N (0, 1). D’après les tables, on trouve
P(°1 6 Y 6 1) º 0, 683
101
X°µ
6 1)
æ
Terminale S
Mathématiques
CHAPITRE
- TS
15. LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES
102
Chapitre 16
Produit scalaire dans l’espace
I. Produit scalaire dans le plan
1) Définition
Définition 67.
quantité
Soient ~
u et ~
v deux vecteurs du plan non nuls du plan. On appelle produit scalaire de ~
u et ~
v la
~
u .~
v = ||~
u || £ ||~
v || £ cos(~
u ;~
v)
Si ~
u ou ~
v est nul, on pose ~
u .~
v = 0.
2) Propriétés
Propriété 25.
~0 et ~
Pour tous vecteurs ~
u, u
v , et tout réel k :
• ~
u .~
v =~
v .~
u
• (k~
u ).~
v =~
u .(k~
v ) = k(~
u .~
v ).
0
0
~
~
• (~
u + u ).~
v =~
u .~
v + u .~
v.
• ~
u .~
u = ||~
u ||2 .
• ~
u et ~
v sont orthogonaux si, et seulement si, ~
u .~
v = 0.
• (~
u +~
v )2 = ~
u 2 + 2~
u .~
v +~
v 2 = ||~
u ||2 + 2~
u .~
v + ||~
v ||2
• (~
u °~
v )2 = ~
u 2 ° 2~
u .~
v +~
v 2 = ||~
u ||2 ° 2~
u .~
v + ||~
v ||2
3) Définitions équivalents
~ =~
~ =~
Proposition 21.
Soient ~
u et ~
v deux vecteurs du plan, et soient O, A et B trois points, tels que OA
u , et OB
v.
~
• Si ~
u 6= 0, on appelle H le projeté orthogonal de B sur (OA).
103
Mathématiques
CHAPITRE
- TS 16. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Terminale S
Alors ~
u .~
v = OA £ OH.
~
• Si ~
u = 0, alors ~
u .~
v = 0.
Proposition 22.
Soient ~
u et ~
v deux vecteurs du plan. Alors
~
u .~
v=
Proposition 23.
(x 0 ; y 0 ). Alors
Exercice 9.
¢
1°
||~
u +~
v ||2 ° ||~
u ||2 ° ||~
v ||2
2
Soient (O;~
i;~
j ) un repère orthonormal du plan. Soient ~
u de coordonnées (x; y), et ~
v de coordonnées
~
u .~
v = xx 0 + y y 0
~ BD
~ et IB.
~ IC.
~
Soit ABCD un rectangle avec AB = 5, AD = 7. On note I le milieu de [AD]. Calculer AC.
p
Exercice 10.
Soit ABCD un rectangle tel que AB = AD 2. Soit I le milieu de [AB]. Démontrer que les droites (BD)
et (CI) sont perpendiculaires.
Exercice 11.
Dans un repère orthonormé, on note A(1; °1), B(°1; 2) et C(°3; 0). Soit H le projeté orthogonal de A
~ puis calculer la longueur BH.
sur (BC). Calculer un arrondi au degré de l’angle ABC,
II. Application du produit scalaire dans le plan
1) Equation d’une droite connaissant un vecteur normal
Définition 68.
(d ).
On dit qu’un vecteur non nul ~
n est normal à la droite (d ) si sa direction est orthogonale à celle de
Conséquence 14.
Soit A un point de la droite (d ), et ~
n un vecteur normal à (d ). La droite (d ) est l’ensemble des
~ n=0
points M tels que AM.~
104
Mathématiques - TS
Terminale S
III.. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Propriété 26.
• Soit (d ) une droite de vecteur normal ~
n (a; b). Alors la droite (d ) a une équation de la forme ax + b y + c = 0.
• Réciproquement, un ensemble d’équation ax + b y + c = 0 est une droite, de vecteur normal ~
n (a; b).
Exemple 62.
Soit (d ) la droite, passant par le point A(1; °4) et de vecteur normal ~
n (2; °1). Alors, (d ) a pour
équation 2x ° y ° 6 = 0.
Exercice 12.
Soient (d ) d’équation 3x ° 5y + 2 = 0 et (d 0 ) d’équation 10x + 6y = 0. Démontrer que les deux droites
0
(d ) et (d ) sont orthogonales.
Exercice 13.
Dans un repère orthonormé, soit A(°3; 0), B(3; °1) et C(1; 5) trois points. Déterminer l’équation de
la droite (d ), perpendiculaire à (AB) et passant par A, puis de (d 0 ), perpendiculaire à (AB) passant par C.
2) Distance d’un point à une droite
Théorème 87.
Soit (d ) une droite d’équation ax + b y + c = 0, et soit A(x A ; y A ) un point. La distance du point A à la
droite (d ) est donnée par
|ax A + b y A + c|
d (A, d ) =
p
a2 + b2
Exemple 63.
Soit I(3; °1) et (d ) la droite d’équation °x + y + 1 = 0. La distance I à (d ) est
d (I, d ) =
| ° 3 + (°1) + 1|
3
=p
p
1+1
2
3) Cercle
Théorème 88.
~ MB
~ =0
Un cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M vérifiant MA.
Exercice 14.
Soient A et B deux points, et I le milieu de [AB]. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant :
~ MB
~ =0
1. MA.
~ + MB).
~ MA
~ =0
2. (MA
Exercice 15.
Soient A(0; 1), B(1; °1) et C(1; 2) trois points. Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant :
(on donnera dans chaque cas une équation)
~ AB
~ =0
1. MA.
~ + 2MB
~ + MC).(2
~
~ + MC)
~ =0
2. (3MA
MB
~
~
~
~
~
3. (MA + 2MB ° 3MC).(MA + 2MB) = 0
III. Produit scalaire dans l’espace
1) Définition
105
Mathématiques
CHAPITRE
- TS 16. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Terminale S
Définition 69.
nombre réel
Soient ~
u et ~
v deux vecteurs de l’espace. On appelle produit scalaire de ~
u et ~
v , et on note ~
u .~
v le
~
u .~
v=
¢
1°
||~
u +~
v ||2 ° ||~
u ||2 ° ||~
v ||2
2
Remarque 47.
Par définition, le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace correspond au produit scalaire
de ces deux vecteurs dans tout plan qui les contient. On pourra donc utiliser pour le produit scalaire dans l’espace
toutes les propriétés vues pour le produit scalaire dans le plan, ainsi que toutes les définitions équivalents (projeté
orthogonal, avec le cosinus,...)
2) Propriétés
Propriété 27.
~0 et ~
Pour tous vecteurs ~
u, u
v , et tout réel k :
• ~
u .~
v =~
v .~
u
• (k~
u ).~
v =~
u .(k~
v ) = k(~
u .~
v ).
~0 ).~
~0 .~
• (~
u +u
v =~
u .~
v +u
v.
• ~
u .~
u = ||~
u ||2 .
Propriété 28.
• Deux vecteurs ~
u et ~
v sont orthogonaux si, et seulement si, ~
u .~
v = 0.
• Deux droites de l’espaces sont orthogonales si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Exercice 16.
Soit ABCD un tétraèdre régulier de côté a, I, J, K les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AD].
~ AC,
~ AI.
~ BC
~ et DI.
~ AB
~
1. Calculer AB.
2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
3) Avec les coordonnées
Propriété 29.
Soit (O;~
i;~
j ;~
k) un repère orthonormal de l’espace. Soient ~
u et ~
v deux vecteurs de coordonnées
0 0 0
respectives (x; y; z) et (x ; y ; z ). Alors
~
u .~
v = xx 0 + y y 0 + zz 0 et ||~
u || =
Exercice 17.
q
x2 + y 2 + z2
Soient A(1; 2; 3), B(2; 2; 5) et C(°1; 5; 4) trois points de l’espace. Montrer que ABC est rectangle en A.
IV. Application du produit scalaire dans l’espace
1) Equation cartésienne d’un plan
Définition 70.
On dit qu’un vecteur non nul ~
n est normal à un plan P si la direction de ~
n est orthogonale à la
direction de toute droite contenue dans le plan P.
106
Mathématiques
IV.. APPLICATION
- TS DU PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Terminale S
Conséquence 15.
Soit P un plan, A un point de P, et ~
n un vecteur normal de P. Alors le plan P est l’ensemble des
~ n=0
points M de l’espace tels que AM.~
Propriété 30.
Dans un repère orthonormé :
• Un plan de vecteur normal ~
n (a; b; c) a une équation de la forme ax + b y + c z + d = 0.
• Réciproquement, si a, b, c et d sont quatre réels avec a, b, c qui ne sont pas tous nuls, l’ensemble des points
M(x; y; z) tels que ax + b y + c z + d = 0 est un plan, de vecteur normal ~
n (a; b; c).
Théorème 89.
Une droite (d ) est perpendiculaire à un plan (P) si et seulement si elle est perpendiculaire à 2 droites
sécantes de ce plan.
Preuve. Si (d ) est perpendiculaire à (P), alors elle est clairement perpendiculaire à toute droite du plan.
Réciproquement, supposons que (d ) soit perpendiculaire à 2 droites sécantes ¢ et ¢0 du plan (P). On note ~
v un vecteur
~0 des vecteurs directeurs des droites ¢ et ¢0 , et A leur point d’intersection. On a donc
directeur de la droite (d ), ~
u et u
~0 .~
~0 ) définit un repère du plan (P) puisque ~
~0 ne sont pas colinéaires. Mais alors, toute droite
~
u .~
v =u
v = 0. Alors (A;~
u; u
u et u
0
~
~
~
de (P) a un vecteur directeur qui va s’écrire d = a~
u + b u et donc d .~
v = 0 : (d ) sera perpendiculaire à cette droite.
2) Distance d’un point à un plan
Définition 71.
Soit M un point de l’espace, et P un plan. Il existe une unique droite perpendiculaire à P et passant
par M. Cette droite coupe le plan P en un unique point H. Ce point est appelé le projeté orthogonal du point M sur
le plan P. On appelle distance du point M au plan P la distance MH.
Théorème 90.
Soit P un plan d’équation ax + b y + c z + d = 0 dans un repère orthonormé, et A(x A ; y A ; z A ) un point.
Alors la distance du point A au plan P est donnée par
d (A, P) =
|ax A + b y A + c z A |
p
a2 + b2 + c 2
107
Terminale S
Mathématiques
CHAPITRE
- TS 16. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
108
Chapitre 17
Estimation et fluctuation d’échantillonnage
I. Echantillonnage
1) Intervalle de fluctuation à l’aide de la loi binomiale
Rappel de Première : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence F = nX est
∑
∏
a b
;
n n
où
• a est le plus petit entier tel que P(X 6 a) > 0, 025
• b le plus petit entier tel que P(X 6 b) > 0, 975
2) Propriété de la fréquence de succès
Soit p un réel fixé de ]0; 1[. Soit X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre n et p.
Définition 72.
La variable aléatoire Fn , définie par Fn =
de Bernoulli de paramètre n et p.
Théorème 91.
Xn
n , représente la fréquence de succès pour un schéma
Pour tout Æ 2]0; 1[, on a
"
#
p
p
∂
p(1 ° p)
p(1 ° p)
Xn
lim P
2 In = 1 ° Æ avec In = p ° u Æ
; p + uÆ
p
p
n!+1
n
n
n
µ
où le réel u Æ est défini par P(°u Æ 6 Y 6 u Æ ) = 1 ° Æ, Y suivant une loi N (0, 1).
Preuve. Remarquons que
Xn
2 In
n
,
,
,
p
p
p(1 ° p) X n
p(1 ° p)
p ° uÆ
6
6 p + uÆ
p
p
n
n
n
p
p
np ° u Æ np(1 ° p) 6 X n 6 np + u Æ np(1 ° p)
°u Æ 6 Z n 6 u Æ
109
CHAPITRE
Mathématiques
17. ESTIMATION
- TS ET FLUCTUATION D’ÉCHANTILLONNAGE
Terminale S
µ
∂
X n ° np
Xn
avec Z n = p
Ainsi, P
2 In = P(°u Æ 6 Z n 6 u Æ .
n
np(1 ° p)
Zu Æ
x2
1
p e ° 2 quand n tend vers +1. Or,
°u Æ
2º
où Y suit une loi normale centrée réduite, et par définition P(°u Æ 6 Y 6 u Æ ) = 1 ° Æ. On en déduit donc
µ
∂
Xn
lim P
2 In = lim P(°u Æ 6 Z n 6 u Æ ) = P(°u Æ 6 Y 6 u Æ ) = 1 ° Æ
n!+1
n!+1
n
D’après le théorème de Moivre-Laplace, P(°u Æ 6 Z n 6 u Æ ) tend vers
Zu Æ
°u Æ
x2
1
p e ° 2 = P(°u Æ 6 Y
2º
3) Intervalle de fluctuation asympotitque
"
#
p
p(1 ° p)
p(1 ° p)
Définition 73.
L’intervalle p ° u Æ
; p + uÆ
est un intervalle de fluctuation asymptotique
p
p
n
n
au seuil de confiance 1Æ de la variable aléatoire fréquence Fn qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence
obtenue.
p
Remarque 48.
Cet intervalle contient Fn avec une probabilité d’autant plus proche de 1 ° Æ que n est grand. On
considère que ceci est valable dès que
n > 30, np > 5, n(1 ° p) > 5
Proposition 24.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance 95% de la fréquence Fn d’un
caractère dans un échantillon de taille n est
"
#
p
p
p(1 ° p)
p(1 ° p)
p ° 1, 96
; p + 1, 96
p
p
n
n
où p désigne la proportion de ce caractère dans la population.
Preuve. En effet, pour Æ = 0, 05, nous avons vu que u 0,05 º 1, 96.
Exemple 64.
La proportion de droitiers dans la population est de 85%. Déterminons un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil 95% de la fréquence des droitiers dans un échantillon de taille 400.
Dans ce cas, n = 400, p = 0, 85 et 1 ° p = 0, 15. Donc np = 340, n(1 ° p) = 60. Les conditions d’approximation sont
réunies.
p
p
p(1 ° p)
0, 85 £ 0, 15
=
º 0, 0179
p
p
n
400
ce qui nous donne l’intervalle de fluctuation [0, 823; 0, 877].
II. Prise de décision à partir d’un échantillon
1) Utilisation d’un intervalle de fluctuation pour faire des tests d’hypothèse
L’intervalle de fluctuation au seuil 95% est un intervalle qui contient au moins 95% des fréquences observées dans les
échantillons de taille n. Cela signifie donc qu’il y a un risque de 5% pour cette fréquence de ne pas se trouver dans cet
intervalle.
On peut donc, en faisant une hypothèse sur une proportion dans une population, utiliser un échantillon pour savoir si
cette hypothèse est acceptable, ou non.
110
Terminale S
Mathématiques - TS
III.. ESTIMATION D’UNE POPULATION
Théorème 92.
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un caractère est p. On
observe f comme fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille n.
Soit l’hypothèse : “la proportion de ce caractère dans la population est p.”
Si I est l’intervalle de fluctuation de la fréquence à 95% dans les échantillons de taille n, alors la règle de décision est la
suivante :
• Si f 2 I : on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population n’est pas remise en
question, et on l’accepte.
• Si f 2 I : on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut p.
◆
✓
Ce sont Jerzy Neyman, et Egon Pearson, spécialistes de la statistique moderne, qui
ont été les premiers à utiliser cette méthode de prise de décision.
2) Déterminer pratique de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%
⇣
⌘
Si les hypothèses d’approximation n > 30, np > 5, n(1 ° p) > 5 sont vérifiées, on utilise l’intervalle de fluctuation asymptotique déterminé précédemment :
"
#
p
p
p(1 ° p)
p(1 ° p)
p ° 1, 96
; p + 1, 96
p
p
n
n
h
i
Sinon, on utilise l’intervalle déterminé en Première avec la loi binomiale : na ; nb , où a est le plus petit entier tel que
P(X 6 a) > 0, 025 et b le plus petit entier tel que P(X 6 b) > 0, 975, X suivant une loi B (n; p).
Remarque 49.
On peut bien évidemment utiliser un autre seuil que 95%. On utilisera alors l’intervalle général vu
précédemment, en déterminant les valeurs adéquates de u Æ .
Exemple 65.
Une machine fabriquant des chaises fonctionne de manière satisfaisante si le pourcentage de
chaises défectueuses est de 1 pour 1000. Sur un échantillon de 10000 chaises, on a trouvé 15 chaises défectueuses.
On veut savoir si la machine est bien réglée.
• On détermine tout d’abord un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance 0, 95 de la fréquence
de pilules défectueuses dans notre cas.
On a n = 10000, p = 0, 001, 1°p = 0, 999. Les conditions np > 5 et n(1°p) > 5 sont vérifiées. Donc un intervalle
de fluctuation au seuil de confiance 0, 95 est donné par
p
p
∑
∏
0, 001 £ 0, 999
0, 001 £ 0, 999
0, 001 ° 1, 96
; p + 1, 96
= [0, 0003; 0, 0017]
p
p
10000
10000
• On énonce la règle de décision : soit f la fréquence observée de chaises défectueuses dans un échantillon de
taille 10000. Si f 2 [0, 0003; 0, 0017], on accepte l’hypothèse p = 0, 001 au seuil de risque 5%, sinon on la rejette.
• On conclut : ici, f = 0, 0015 2 [0, 0003; 0, 0017]. Donc on accepte l’hypothèse p = 0, 001.
On peut donc dire que la machine est bien réglée, au seuil de risque 5%.
III. Estimation d’une population
Le problème est l’inverse de celui de l’échantillonnage. On connait la fréquence observée f sur un échantillon, et on
souhaite avoir une estimation de la proportion p correspondante à la population tout entière. L’exemple classique de
l’utilisation d’estimation est le sondage.
Soit p un réel fixé de ]0; 1[. Soit X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre n et p.
111
Terminale S
Proposition 25.
CHAPITRE
Mathématiques
17. ESTIMATION
- TS ET FLUCTUATION D’ÉCHANTILLONNAGE
Il existe un entier n 0 tel que, si n > n 0 alors
µ
∂
1
Xn
1
P p°p 6
6 p + p > 0, 95
n
n
n
Théorème 93.
Soit Fn la variable aléatoire fréquence qui, à tout échantillon de taille n extrait d’une population
dans laquelle la proportion
d’un caractère
est p, associe la fréquence obtenue.
∑
∏
1
1
Alors, l’intervalle Fn ° p ; Fn + p
contient, pour n assez grand, la proportion p avec une probabilité au moins
n
n
égale à 0, 95.
µ
∂
1
1
Preuve. D’après la proposition précédente, P p ° p 6 Fn 6 p + p > 0, 95. Or
n
n
1
1
1
1
p ° p 6 Fn 6 p + p , Fn ° p 6 p 6 Fn + p
n
n
n
n
Donc
µ
∂
µ
∂
1
1
1
1
P p ° p 6 Fn 6 p + p > 0, 95 , P Fn ° p 6 p 6 Fn + p > 0, 95
n
n
n
n
Définition 74.
Soit f la fréquence observée d’un caractère dans un échantillon de taille n extrait d’une population
dans lequel la proportion
de ce caractère
est p.
∑
∏
1
1
Alors l’intervalle f ° p ; f + p
est un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 95%.
n
n
Remarque 50.
On utilise cet intervalle dès que n > 30, n f > 5, n(1 ° f ) > 5.
Remarque 51.
exemple
Il existe des intervalles de confiance plus précis, utilisant la loi normale centrée réduite, par
"
f ° 1, 96
p
f (1 ° f )
; f + 1, 96
p
n
p
f (1 ° f )
p
n
#
Exemple 66.
Dans une population donnée, on s’intéresse à la proportion de blonds. Dans un échantillon de
taille 100 extrait de cette population, on a trouvé 22 blonds. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion
des blonds dans la population au niveau de confiance 95%.
Ici, n = 100 et f = 0, 22. Les conditions d’approximation sont vérifiées : n > 30, n f = 22 > 5, n(1 ° f ) = 78 > 5. Un
intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95% est donc
∑
∏
1
1
0, 22 ° p
; 0, 22 + p
= [0, 12; 0, 32]
100
100
112
Sommaire
1 Raisonnement par récurrence
7
2 Suites
9
I.
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1)
Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2)
Deux types de définition de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
a)
Définition explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
b)
Définition par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Représentation graphique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1)
Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2)
Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
III. Monotonie, majoration, minoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3)
II.
1)
Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2)
Méthodes de recherche des variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
a)
13
b)
3)
Pour les suites u n = f (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autres méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Limites de suites
I.
15
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1)
Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2)
Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3)
Suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4)
Suite sans limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1)
Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2)
Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3)
Convergence des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
III. Opération sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
IV.
19
II.
Suites adjacentes (Hors Programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
Mathématiques - TS
Terminale S
SOMMAIRE
4 Probabilités, probabilités conditionnelles
I.
21
Probabilités - Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1)
Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2)
Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3)
Loi équiprobable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4)
Propriétés des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Variables aléatoires - Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1)
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2)
Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
III. Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
II.
IV.
V.
1)
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2)
Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1)
Réunion d’événements incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2)
Formules des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5 Limites de fonctions
I.
Limites à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1)
Limites nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2)
Limites finies : l 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3)
II.
27
Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Limites en a 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
III. Opération sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
IV.
Limite de f + g
Limite de f £ g
f
g
3)
Limite de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4)
Quelques indéterminations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5)
Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1)
Théorème d’encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2)
Comparaison à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6 Continuité
I.
II.
28
33
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1)
Continuité en un point, sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2)
Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3)
Continuité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4)
Tableau de variation et convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Fonctions continues et résolution d’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
114
Mathématiques - TS
Terminale S
SOMMAIRE
1)
Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2)
Fonction continue strictement monotone sur [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3)
Extension à un intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4)
Méthode d’encadrement d’une solution par dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7 Généralités dans l’espace
I.
39
Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1)
Parallèlisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1)
Orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2)
Orthogonalité d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3)
Plan médiateur d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
III. Vecteurs dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
II.
IV.
V.
1)
Notion de vecteur de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2)
Propriétés de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3)
Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4)
Caractérisation vectorielle d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5)
Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1)
Décomposition d’un vecteur dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2)
Repère de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3)
Calcul avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Systèmes d’équations paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1)
Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2)
Représentation paramétrique d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
8 Dérivation
I.
47
Nombre dérivé - Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1)
Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2)
Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3)
Approximation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Fonction dérivée - Opération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1)
Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2)
Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3)
Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4)
Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
III. Application aux variations de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
II.
1)
Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2)
Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
115
Mathématiques - TS
Terminale S
SOMMAIRE
9 Trigonométrie
I.
51
Rappel de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1)
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2)
Equation cos x = cos Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Etude des fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1)
Fonctions dérivées de cos et sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2)
Dérivabilité en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3)
Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4)
Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
III. Etude de la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3)
II.
Equation sin x = sin Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
10 Fonction exponentielle
I.
II.
51
57
La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1)
Existence et unicité de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2)
Premier résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3)
Démonstration de l’unicité de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4)
Premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Propriétés de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
1)
Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2)
Conséquences de la relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
III. Etude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
IV.
Notation e
x
1)
Variations de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2)
Limite à l’infini et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3)
Tableau de variation et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Autres résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1)
61
Limite importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
2)
Croissance comparée de e et de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3)
Dérivée de exp ±u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
11 Nombres complexes
I.
63
Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1)
Ecriture algébrique et ensemble C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2)
Calculs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
a)
Egalité dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
b)
Addition dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
c)
Produit dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
116
Mathématiques - TS
Terminale S
II.
SOMMAIRE
Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3)
Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4)
Opérations sur les conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
III. Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
1)
Coordonnées polaires d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2)
Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3)
Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4)
Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5)
Egalité entre deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Propriétés des modules et arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1)
Module et argument d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2)
Module et argument d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3)
Avec la forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Equation du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
VI. Plan complexe : nombres complexes en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
IV.
V.
1)
Affixe d’un point et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2)
Vecteur, et milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3)
Somme de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4)
Propriétés vecteurs / affixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
12 Fonction logarithme népérien
I.
73
Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1)
Retour sur la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3)
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Logarithme d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1)
Propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2)
Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
III. Etude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
II.
IV.
1)
Variation de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2)
Dérivée de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3)
Limites et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Autres résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
1)
Limites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2)
Dérivée d’une fonction ln ±u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3)
Logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Primitives
77
79
117
Mathématiques - TS
Terminale S
I.
II.
SOMMAIRE
Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2)
Différentes primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3)
Fonction continue et prmitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4)
Fonction primitive et condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1)
Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2)
Utilisation des formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
14 Intégration
I.
83
Notion d’intégrale sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
1)
Définition pour une fonction constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2)
Définition pour une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3)
Définition pour une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4)
Encadrement de l’intégrale d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
1)
Cas où a et b sont quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2)
Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3)
Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4)
Aire d’un domaine entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
III. Propriétés d’encadrement et valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
II.
IV.
1)
Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2)
Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Primitives et calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
1)
Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2)
Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3)
Intégration par partie (Hors Programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
15 Lois de probabilité continues
I.
93
Rappels : loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
1)
Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2)
Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3)
Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Densité et loi de probabilité continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1)
Notion de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2)
Loi de probabilité continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4)
Espérance mathématique d’une loi continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5)
Loi uniforme sur [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
III. Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
II.
118
Mathématiques - TS
Terminale S
IV.
V.
1)
Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2)
Durée de vie sans vieillissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3)
Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1)
Théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2)
Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3)
Espérance et variance de N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4)
Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1)
Loi normale N (µ, æ2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2)
Espérance, variance des lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3)
Intervalles de fluctuation d’une loi N (µ, æ2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
16 Produit scalaire dans l’espace
I.
II.
SOMMAIRE
103
Produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3)
Définitions équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Application du produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1)
Equation d’une droite connaissant un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2)
Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3)
Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
III. Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV.
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3)
Avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Application du produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1)
Equation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2)
Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
17 Estimation et fluctuation d’échantillonnage
I.
II.
109
Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1)
Intervalle de fluctuation à l’aide de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2)
Propriété de la fréquence de succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3)
Intervalle de fluctuation asympotitque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Prise de décision à partir d’un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1)
Utilisation d’un intervalle de fluctuation pour faire des tests d’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2)
Déterminer pratique de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
III. Estimation d’une population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
119