A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Mécanique – Chapitre 3 : Energies d’un point matériel Plan du chapitre : I. Travail et puissance d’une force 1. Définitions 2. Travail sur une trajectoire 3. Cas d’une force uniforme 4. Cas d’une force de frottement II. Théorème de l’énergie cinétique 1. Energie cinétique d’un point matériel 2. Théorème de l’énergie cinétique 3. Exemples d’application III. Forces conservatives et énergie potentielle 1. Définitions 2. Exemples de forces conservatives et énergies potentielles associées IV. Energie mécanique 1. Définition 2. Théorème de l’énergie mécanique 3. Exemples d’application 4. Etat lié ou de diffusion pour un système conservatif V. Equilibre d’un point matériel dans un champ de force 1. Condition d’équilibre – problème à un degré de liberté 2. Stabilité de l’équilibre 3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti 4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique Notions Capacités exigibles Extrait du programme de 1ère S Energie d’un point matériel en mouvement dans le champ de pesanteur uniforme : énergie cinétique, énergie potentielle de pesanteur, conservation ou non conservation de l’énergie mécanique. Frottements ; transferts thermiques ; dissipation d’énergie. Principe de conservation de l’énergie Extrait du programme de TS Travail d’une force Force conservative ; énergie potentielle Forces non conservatives : exemple des frottements Energie mécanique Etude énergétique des oscillations libres d’un système mécanique Dissipation d’énergie Etablir et exploiter les expressions du travail d’une force constante (force de pesanteur, force électrique dans le cas d’un champ uniforme) Etablir l’expression du travail d’une force de frottement d’intensité constante dans le cas d’une trajectoire rectiligne Analyser les transferts énergétiques au cours d’un mouvement d’un point matériel Extrait du programme de BCPST1 Puissance et travail d’une force. Théorème de l’énergie cinétique. Energie potentielle et énergie mécanique dans un cas unidimensionnel. Théorème de l’énergie mécanique. Mouvement conservatif à une dimension. Position d’équilibre ; stabilité. Petits mouvements au voisinage d’une position d’équilibre stable ; approximation locale par un puits de potentiel harmonique. Connaître et utiliser l’expression de l’énergie cinétique d’un solide en translation et de l’énergie potentielle de pesanteur d’un solide au voisinage de la Terre. Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours Distinguer force conservative et force non conservative. Démontrer et utiliser le théorème de l’énergie cinétique. Etablir l’expression de l’énergie potentielle connaissant la force (dans le cas unidimensionnel). Distinguer le caractère attractif ou répulsif d’une force. Utiliser les expressions de l’énergie potentielle de pesanteur (dans un champ de pesanteur uniforme) et de l’énergie potentielle élastique. Démontrer le théorème de l’énergie mécanique. Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la nature de la trajectoire possible : non bornée, bornée, périodique. Déduire d’un graphe la position et la nature stable ou instable des positions d’équilibre Etablir l’équation du mouvement à partir de l’énergie mécanique. Reconnaître l’équation d’un oscillateur harmonique non amorti. Relier la période et la dérivée seconde de l’énergie potentielle à l’équilibre. 1 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Ce qu’il faut en retenir Savoir Savoir-faire Travail élémentaire d’une force et travail le long d’une courbe Puissance d’une force Energie cinétique Théorème de l’énergie cinétique et de la puissance cinétique Energie potentielle et forces conservatives Définition de l’Ep des forces conservatives classiques (de pesanteur, élastiques, d’interaction Newtonienne) Théorème de l’énergie mécanique Condition d’équilibre et stabilité d’un équilibre Approximation harmonique Savoir calculer le travail d’une force (force conservative ou force de frottement) Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour trouver une inconnue ou l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur Distinguer force conservative et force non conservative. Etablir l’expression de l’énergie potentielle connaissant la force (dans le cas unidimensionnel). Distinguer le caractère attractif ou répulsif d’une force. Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour trouver une inconnue ou l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la nature de la trajectoire possible Déduire d’un graphe la position et la nature stable ou instable des positions d’équilibre Reconnaître l’équation d’un oscillateur harmonique non amorti. Relier la période et la dérivée seconde de l’énergie potentielle à l’équilibre. Savoir utiliser l’approximation harmonique. Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 2 A. Guillerand – BCPST 1 A I. Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours  Calcul du travail élémentaire d’une force : Travail et puissance d’une force 1. Définitions en coordonnées cartésiennes : a. Travail élémentaire Soit un point matériel soumis à une force le vecteur déplacement élémentaire, entre et , on note le vecteur position , et en coordonnées polaires : Figure 1 : trajectoire du point M Définition : On appelle travail élémentaire de au cours du déplacement élémentaire : b. Puissance mécanique d’une force Soit un point matériel dans le référentiel . Remarques : soumis à une force  Autre manière de le définir : , on note la vitesse du point Définition : On appelle puissance mécanique de la force  Le travail est une grandeur extensive (additive) : on peut définir le travail élémentaire de la somme des forces qui s’exerce sur le point : à un instant : On peut donc écrire : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 3 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 3. Cas d’une force uniforme 2. Travail sur une trajectoire Propriété : Figure 2 : trajectoire du point M Le travail effectué par la force la manière suivante : le long de la trajectoire de jusqu’à Démonstration : se calcule de Soit une force uniforme dans l’espace A partir de la puissance mécanique : Propriétés :  On somme sur toute la trajectoire les travaux élémentaires : le travail de la force dépend donc a priori du chemin parcouru par le point . Exemple : cas de la force de pesanteur uniforme  A retenir : le travail d’une force perpendiculaire au mouvement à chaque instant est nul. Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 4 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours 4. Cas d’une force de frottement Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Travail des forces : Propriété : Exemple d’application : Un point matériel glisse avec frottement sur l’axe frottement dynamique tel que . . On définit le coefficient de Schéma : Bilan des forces : Principe fondamental de la dynamique : Projection sur la base cartésienne : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 5 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours II. Théorème de l’énergie cinétique et de la puissance cinétique c. Remarques 1. Energie cinétique d’un point matériel Soit un point matériel sa masse. Analyse du signe du travail : en mouvement dans le référentiel , on note sa vitesse et Définition : On appelle énergie cinétique de dans En considérant une seule force on a : - Si : - Si : : 2. Théorème de l’énergie cinétique a. Enoncé Théorème de l’énergie cinétique On étudie le mouvement d’un point matériel de masse , de vitesse dans un référentiel galiléen , soumis à la somme des forces extérieures , se déplaçant de vers . La variation d’énergie cinétique entre et vérifie la loi suivante : Théorème de la puissance cinétique : Ce théorème peut aussi s’écrire en terme différentiel, on l’appelle dans ce cas le théorème de la puissance cinétique : En divisant par : b. Démonstration Avec 3. Exemples d’application Le principe fondamental de la dynamique permet de déterminer les équations horaires et l’équation de la trajectoire. Avec le théorème de l’énergie cinétique, nous n’avons qu’une équation, donc nous ne pourrons déterminer qu’une inconnue à un instant donné mais sans passer par la détermination des équations horaires. Ce qui sera souvent moins fastidieux. a. Exemples de mouvement de glissement Sans frottement : ex. 1 du TD P12 Avec frottement : ex.2 du TD P12 b. Exemple du pendule simple Ex. 3 du TD P12 Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 6 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Remarque : III. Forces conservatives et énergie potentielle 1. Définitions Définition d’une force conservative : - L’énergie potentielle est définie à une constante près, puisqu’elle est définie en termes de variation. - On dit que la force « dérive » de l’énergie potentielle. Propriété : Une force conservative est une force qui ne dépend que de la position du point sur lequel elle s’exerce : on dit alors que le point se trouve dans un champ de force. 2. Exemples de forces conservatives et énergie potentielle associée a. Energie potentielle de pesanteur (champ de pesanteur uniforme) Attention une force conservative n’est pas forcément constante Remarques : On emploie le terme « conservative » car ce sont des forces qui lorsqu’elles sont seules à s’exercer sur le système permet une conservation de l’énergie mécanique que l’on définira plus loin. Définition : On considère le champ de pesanteur terrestre, l’axe étant orienté vers le haut. L’énergie potentielle associée est appelée énergie potentielle de pesanteur et s’exprime : Définition d’une énergie potentielle : Démonstration : Cette définition respecte bien le fait que le travail ne dépende que de la position des points et . On utilisera aussi par la suite la définition élémentaire de l’énergie potentielle : Soit : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 7 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours c. Energie des forces d’interaction newtoniennes : en b. Energie potentielle élastique Formule générale des forces d’interaction newtoniennes : Définition : La force de rappel élastique définie de la façon suivante : Remarque : on introduit souvent qui donne : dérive de l’énergie potentielle élastique Si : Si : (changement d’origine du repère), ce Exemples : force universelle gravitationnelle force électrostatique de Coulomb Démonstration : Energie potentielle associée : Démonstration : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 8 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours b. Cas général : théorème de l’énergie mécanique IV. Energie mécanique 1. Définition Théorème de l’énergie mécanique : Définition : On appelle énergie mécanique d’un système la somme de son énergie cinétique et des énergies potentielles des forces conservatives. Démonstration : 2. Théorème de l’énergie mécanique a. Cas particulier d’un système soumis uniquement à des forces conservatives On étudie le mouvement d’un point matériel de masse , de vitesse dans un référentiel galiléen , soumis forces conservatives, se déplaçant de vers : Conservation de l’énergie mécanique pour les systèmes soumis uniquement à des forces conservatives : Remarque : en général les forces non conservatives sont des forces de frottement dont le travail est résistant ( ). Ainsi l’énergie mécanique en est plus faible que celle en : il y a une perte d’énergie mécanique. Démonstration : 3. Exemples d’application Ce théorème est une alternative au théorème de l’énergie cinétique, on peut donc l’utiliser pour les mêmes applications. a. Chute libre sans frottement Ex. 4 du TD P12 b. Exemple avec frottements de glissement Ex. 5 du TD P12 c. Exemple du ressort vertical Ex. 6 du TD P12 Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 9 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 4. Etat lié ou de diffusion pour un système conservatif La connaissance de l’énergie mécanique d’un système conservatif, qui restera constante, et de la valeur de l’énergie potentielle en chaque point de l’espace, permettra de déterminer les positions possibles pour le système. Il existe deux cas selon l’énergie mécanique du système que l’on fournit au départ :  et initial compris entre et a. Définitions sur l’exemple du mouvement d’un point matériel le long d’un axe sous l’action d’une force conservative. Soit un point matériel de masse en mouvement le long d’un axe soumis à une force , conservative. On peut donc définir son énergie potentielle : Ci-dessous on représente une allure quelconque de l’énergie potentielle en fonction de : Figure 4 Figure 3 : Allure de l’énergie potentielle Analyse : Condition pour déterminer le domaine spatial du mouvement : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 10 A. Guillerand – BCPST 1 A  ou extremum par la suite) Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours (en admettant qu’il n’y ait pas d’autre b. Exemple : cas de l’interaction gravitationnelle Système : satellite de masse Référentiel : géocentrique supposé galiléen Bilan des forces extérieures : Energie potentielle : Système conservatif :  Cas lié : satellite en orbite circulaire Figure 6 Figure 5 Analyse : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 11 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours  Cas de diffusion Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Remarque : On se place dans le cas où un satellite lancé du sol terrestre avec une vitesse initiale est susceptible d’atteindre un point infiniment éloigné avec une vitesse : il échappe à l’attraction terrestre. Pour les champs newtoniens avec alors : Figure 7 Calculer la vitesse de libération, c’est-à-dire la vitesse minimale d’impulsion initiale permettant au satellite d’échapper à l’attraction terrestre. Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 12 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours V. Equilibre d’un point matériel dans un champ de force Exemple d’application : pendule simple 1. Conditions d’équilibre – problème à un degré de liberté a. Exemple d’un mouvement rectiligne dans un champ de force Soit un point de force : en mouvement rectiligne selon l’axe soumis à l’action d’un champ , étant une grandeur algébrique. Figure 9 Figure 8 dérive d’une énergie potentielle telle que : Déterminons la condition sur l’énergie potentielle à l’équilibre : b. Généralisation On étudiera dans la suite des situations où seule une variable de position suffit ( ou par exemple). Pour les systèmes décrits à l’aide d’une seule variable de position (distance ou angle) que l’on notera ici, alors : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 13 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 2. Stabilité de l’équilibre b. Etude de la stabilité a. Déplacement autour de l’équilibre Soit un petit déplacement algébrique autour de la position d’équilibre . Figure 10 On peut approximer la force au voisinage de l’équilibre par son développement limité au premier ordre à l’aide de la formule de Taylor. Formule de Taylor donnant une approximation de la fonction de : au voisinage Figure 11 Définitions : équilibre stable ou instable DL au premier ordre de la force au voisinage de : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 14 A. Guillerand – BCPST 1 A Il faut donc étudier le signe de Document de cours Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 : Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 15 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti a. Exemple d’oscillateur harmonique : le ressort horizontal b. Généralisation Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position , d’énergie potentielle et la position d’équilibre stable du système. Définition : oscillateur harmonique Un oscillateur harmonique est un oscillateur unidimensionnel dont le mouvement vérifie l’équation différentielle harmonique suivante : et possède une énergie potentielle de type : Figure 13 Allure de l’énergie potentielle et nature de l’équilibre L’énergie potentielle du système d’étude (la masse au bout du ressort), s’écrit : avec Si on pose l’origine de l’énergie potentielle en Elle fait donc apparaître un puits de potentiel avec comme position d’équilibre stable : Allure : courbe parabolique (avec origine de l’ en : c. Technique pour retrouver l’équation différentielle du mouvement à partir de l’énergie potentielle ) Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 16 A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours 4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique a. Exemple d’oscillateur harmonique linéarisé : le pendule simple Il faut effectuer un DL au premier ordre pour obtenir une équation harmonique. De la même façon à l’aide d’un DL l’énergie potentielle pourra se mettre sous la forme d’une fonction parabolique : Développement limité au 1er ordre de Développement limité au 2ème ordre de au voisinage de : au voisinage de Figure 14 L’énergie potentielle du système d’étude (la masse s’écrit (en prenant pour origine ): au bout du pendule), L’équation différentielle vérifiée par le système s’écrit : Allure : courbe parabolique (avec origine de l’ Equilibres stables pour en ) Equilibre instables pour Allure de la courbe d’énergie potentielle : L’équation différentielle n’est pas harmonique, l’énergie potentielle n’est pas un puits parabolique. Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 17 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 d. Généralisation Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position , d’énergie potentielle et la position d’équilibre stable du système. Approximation harmonique : Si un oscillateur n’est pas rigoureusement harmonique, on peut effectuer l’approximation harmonique au voisinage de la position d’équilibre stable : Si on pose l’origine de l’énergie potentielle en : Remarque : Pour déterminer l’équation différentielle à partir de l’énergie potentielle approchée on peut comme précédemment utilise le théorème de l’énergie mécanique : Mais attention l’énergie cinétique ne s’écrira pas toujours dans le cas du pendule simple . En particulier . Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours 18