9 Donner dans chacun des cas le meilleur encadrement possible de a. b. c. e. d. f. Fonctions carré et inverse – Exercices Fonction carré 1 À l’aide d’un contre-exemple, montrer que les affirmations suivantes sont fausses. a. Deux nombres et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. b. Pour tout réel , on a . c. Si , alors . d. Un réel est toujours inférieur à son carré. 2 Comparer sans calculatrice cas suivants. a. et . b. et . c. et . d. et . e. et . et 10 Indiquer le minimum et le maximum de la fonction inverse sur les intervalles suivants. a. b. c. Signe d’une fonction 11 Soit une fonction dont le tableau de signe est donné ci-dessous. dans chacun des 3 Donner le meilleur encadrement possible de chacun des cas suivants. a. b. d. c. Signe de 1. Déterminer les signes de 2. Résoudre les inéquations dans 4 Donner le minimum et le maximum de la fonction carré sur les intervalles suivants. a. b. c. 5 Comparer sans calculatrice les nombres a. et . b. et . , , et et . . 12 Dresser les tableaux de signe des fonctions représentées ci-dessous. a. b. 13 (Règle des signes) 1. Rappeler la règle des signes d’un produit. 2. et sont des fonctions dont les tableaux de signes sont les suivants. Signe de 6 On considère les cinq propositions suivantes : [1] ou [2] [3] [4] ou [5] 1. L’implication [1] est-elle vraie ? 2. Dresser la liste des implications du type … qui sont vraies. 3. Dresser la liste des implications du type … qui sont vraies. 4. En s’inspirant des questions précédentes, dresser une liste de quatre conditions impliquant . Fonction inverse 7 Vrai ou faux ? Justifier. a. Un nombre réel non nul et son inverse sont de même signe. b. Si et sont deux réels non nuls tel que , alors . c. Il n’existe aucun couple de réels vérifiant et . d. Si alors . 8 Dans chacun des cas suivants, comparer, si c’est possible et . a. b. c. d. e. et Signe de Compléter le tableau de signe de . Signe de 3. Résoudre les inéquations et . 14 Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes. a. b. c. d. 15 Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes. a. b. 16 On considère la fonction . 1. Représenter graphiquement et conjecturer son signe. 2. Vérifier que 3. Dans un même tableau, faire apparaître le signe de et celui de . En déduire le tableau de signe de . 4. Résoudre les inéquations et . Fonctions carré et inverse – Exercices – Seconde – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier 17 Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes. a. b. c. 18 Soit . 1. Résoudre graphiquement . 2. Montrer que . 3. Justifier que pour tout , on a 4. Résoudre par le calcul . . Position relative de deux courbes 24 On a tracé dans le repère ci-contre la courbe d’équation . Soit la droite d’équation . 1. Tracer la droite et conjecturer la position relative de et . 2. Montrer que 3. Construire le tableau de signe de et prouver la conjecture. . 19 Soit 1. Pour quelle valeur de le dénominateur de s’annule-t-il ? Donner l’ensemble de définition de . 2. Construire le tableau de signe de . 3. Résoudre les inéquations et . Résolution d’inéquations 20 On considère la fonction définie sur par 1. a. Résoudre graphiquement l’inéquation b. Montrer que cette inéquation équivaut à 25 Un nombre est-il toujours plus grand que son carré ? Émettre une conjecture graphique et la démontrer. Même question avec l’inverse. 26 Soit . Pour tout , on considère la droite . 1. Tracer ainsi que les droites pour quelques valeurs de . Que constate-t-on ? On pourra utiliser GeoGebra et créer un curseur pour . 2. Factoriser et conclure. 3. Mêmes question avec et les droites (pour ). 27 Soit l’hyperbole et la droite . et retrouver les solutions grâce à une étude de signe. 2. a. Résoudre graphiquement l’inéquation . b. Transformer l’inéquation et la résoudre à l’aide d’un tableau de signe. 21 Soit la fonction définie sur par . On a représenté ci-dessous sa courbe représen- tative . 1. En utilisant le graphique, résoudre a. b. 2. a. Montrer que résoudre . 1. Tracer la droite et conjecturer la position relative de et . revient à résoudre b. Construire le tableau de signe de . c. Retrouver le résultat de la question 1.a. 3. Résoudre par le calcul l’inéquation de la question 1.b. 22 Résoudre graphiquement l’inéquation 23 Résoudre par le calcul les inéquations suivantes. a. b. c. a’. b’. c’. . 2. Prouver que conjecture. 28 (Comparaison de puis démontrer la et ) 1. Justifier que pour , on a . 2. Conjecturer à l’aide de la calculatrice la comparaison de et . 3. On note et . a. Compléter le raisonnement suivant. La fonction est . . . . . sur l’intervalle , donc pour , . . , c’est-à-dire . . La fonction est . . . . . sur l’intervalle , donc pour , . . , c’est-à-dire . . Finalement pour tout , . . . . . b. Reprendre cette démonstration pour . 4. Démonstration algébrique. a. Montrer que pour tout non nul, on a b. Montrer que duire le signe de . c. Construire le tableau de signe de Fonctions carré et inverse – Exercices – Seconde – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier et en déet conclure.