EXERCICES - ETUDES DE FONCTIONS OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2011) Une entreprise produit un bien dont le coût total de production en euros est donné par la fonction CK définie par : 20 CK (q) = + 0, 2 q + 0, 8 K, K −q ¡ ¢ où K est la capacité de production (K > 0) et q la production q ∈ [0, K[ . On note (CK ) la ¡ − → → −¢ courbe représentative de la fonction CK dans un repère orthonormal O, i , j . (1) On suppose dans cette question que K = 200. (a) Etudier les variations de la fonction C200 puis dresser son tableau de variation. (b) Déterminer le point A de la courbe de la fonction C200 où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x. Donner une équation de cette tangente que l’on note D. (c) Tracer la courbe (C200 ) représentative de la fonction C200 ainsi que la droite D. (d) Calculer la valeur moyenne sur l’intervalle [0, 195]. (2) Etude de la fonction CK . (a) Etudier les variations de la fonction CK puis dresser son tableau de variation. (b) Démontrer que la droite D est tangente à la courbe (CK ) en un point AK dont on précisera les coordonnées. (c) Tracer dans le repère précédent les courbes (C100 ) et (C60 ). (3) Dans cette question, la production est fixée à une valeur q0 et on considère la fonction F définie sur ]q0 , +∞[ par : 20 Fq0 (K) = + 0, 2 q0 + 0, 8 K. K − q0 A chaque capacité K, Fq0 associe le coût total de production pour un niveau de production q0 . (a) Etudier le sens de variation de Fq0 . (b) Déterminer la capacité K0 qui minimise le coût total au niveau de production q0 et exprimer CK0 (q0 ) en fonction de q0 . Cette valeur est appelée coût total de long terme. Exercice 2 (2010) Soit f la fonction définie par : f (x) = 0.5 × 1.52x−4 − 1.5x−2 + 10 pour x réel positif ou nul. Cette fonction est le coût marginal de fabrication d’un produit. La quantité x est exprimée en tonnes et le coût marginal en milliers d’euros. (1) Calculer f(4). (2) Vérifier que les dérivées première et seconde de f sont ( f 0 (x) = log(1.5) · (1.5x−2 − 1) · 1.5x−2 , f 00 (x) = log2 (1.5) · 1.5x−2 (2 × 1.5x−2 − 1). 1 2 OLIVIER COLLIER (3) Etudier la convexité de f sur ]0, +∞[. (4) Résoudre dans ]0, +∞[ l’équation f 0 (x) = 0. (5) Déduire des questions précédentes que la fonction f admet un minimum que l’on calculera sur ]0.5, +∞[. (6) Quel est le coût marginal minimum pour une production supérieure à 500 kg ? (7) Etudier les variations de f sur [0, +∞[. (8) Pour quelles productions le coût marginal est-il inférieur à 10 281, 25 euros ? (9) Déterminer la fonction de coût total sachant que les frais fixes s’élèvent à 1 147, 45 euros. Exercice 3 (2009) Sur le marché d’un produit, dont le prix est noté x (x ≥ 0), la fonction de demande est donnée par q = f (x) = 20(x + 1)e−(x+1) . (1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (2) Etudier la convexité de cette fonction et préciser les éventuels points d’inflexion. (3) Tracer la représentation graphique de f sur [0, 8] dans un repère orthonormé. (4) On suppose que le prix de départ est p1 et qu’il subit une augmentation de taux t pour passer à la valeur p2 (p2 > p1 ). (a) Calculer en fonction de p1 et t l’élasticité-arc de la demande par rapport au prix, quand le prix passe de p1 à p2 . (b) Application numérique : p1 = 2 et t = 4%. Donner l’interprétation de votre résultat. 0 (x) (5) On définit le taux instantané de croissance f par T (x) = ff (x) pour x ≥ 0. (a) Calculer T (x). Calculer T (2) et en déduire l’élasticité, notée Eq/x (2) de la demande par rapport au prix pour x = 2. Interpréter cette élasticité. (b) Confronter le résultat de la question précédente avec le résultat de la question (4)(b). (6) On appelle taux moyen de croissance T de la fonction f sur l’intervalle [x1 , x2 ] (0 ≤ x1 < x2 ) la valeur moyenne de T sur [x1 , x2 ]. (a) Donner l’expression de T en fonction de f , x1 et x2 . (b) Calculer le taux moyen de croissance de f sur [2, 4]. (c) Montrer que f (x2 ) = f (x1 )eT (x2 −x1 ) . Exercice 4 Exercice 1. Une entreprise envisage un investissement d’un montant l. Une étude a estimé que cet investissement procurerait un profit net annuel d’un montant égal au septième du montant de l’investissement. Par ailleurs, la valeur résiduelle de l’investissement décroît de 20% par an jusqu’à la dixième année (amortissement géométrique dégressif). La durée maximale de cet équipement est de 10 ans. On note i le taux d’intérêt annuel et k la durée d’exploitation de cet équipement (exprimée en années). (1) Donner, en fonction de k et de l, l’expression de la valeur résiduelle v(k), pour k entier naturel compris entre 1 et 10. (2) On définit la fonction f pour i ∈ [0, +∞[ par : 1 1 1 + + ... + . f (i) = 1 + i (1 + i)2 (1 + i)k (a) Calculer f (0) et limi→+∞ f (i). EXERCICES - ETUDES DE FONCTIONS 3 (b) Donner le sens de variation de f sur [0, +∞[. (3) On rappelle que la VAN (la valeur actuelle nette d’un investissement) désigne le bénéfice actualisé d’un investissement et le TIR (taux interne de rentabilité) le taux d’actualisation qui annule la VAN. (a) Donner l’expression de la valeur actuelle nette de cet investissement (VAN) en fonction de i et de k pour 1 ≤ k ≤ 10 (on distinguera les cas i = 0 et i 6= 0). (b) On suppose que la durée d’exploitation k est de 9 ans et que le montant de l’investissement est l = 500 000e. Déterminer une valeur approchée du TIR à partir des données suivantes : Taux i (en %) 6,5 7,5 VAN (en euros) 2702,09 -1872,47 (4) Pour k entier naturel compris entre 1 et 10, on définit sur [0, +∞[ la fonction g par ( −k g(i) = 1−(1+i) + 0, 8k (1 + i)−k − 1 si i 6= 0, 7i g(0) = k7 + 0, 8k − 1. (a) Justifier la continuité de g en 0. (b) Etudier rapidement les variations de la fonction g et dresser le tableau de variation de g. (c) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur k pour qu’il existe des valeurs de i telles que g(i) > 0. (5) On pose h(x) = x7 + 0, 8x − 1 pour x ∈ [0, +∞[. Sa représentation graphique est donnée ci-jointe et pourra être exploitée pour répondre aux questions qui suivent. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 0 2 4 6 8 10 4 OLIVIER COLLIER On se propose de trouver une valeur approchée de la solution non-nulle, notée a, de l’équation h(x) = 0. On définit la suite (xn ), n ∈ N, par : ( n) xn+1 = xn − hh(x 0 (x ) , n x0 = 5. On admet ¡ que cette ¢ suite est définie pour tout entier naturel n et on introduit les points Mn = xn , h(xn ) et Pn = (xn+1 , 0). (a) Montrer que la droite (Mn Pn ) est tangente à la courbe représentative de la fonction h. (b) Etudier le sens de variation de la suite (xn ). (c) On admet que la suite (xn ) converge. Démontrer qu’elle converge vers a. (d) Calculer x1 , x2 et x3 et en déduire une valeur approchée de a. (6) En déduire que l’investissement ne peut être rentable, relativement au critère de la VAN, que si la durée d’exploitation de l’équipement est au minimum de cinq ans. Exercice 5 (2008) Une entreprise réalise une campagne de publicité pour relancer ses ventes. (1) Le coût de cette campagne est de 50 000 euros le premier jour et de 46 000 euros le trentième jour. (a) Calculer le pourcentage d’évolution du coût entre les trente premiers jours. Quel est le pourcentage journalier moyen d’évolution ? (b) On suppose que cette évolution journalière reste identique toute l’année et on note un le coût de la campagne publicitaire le nième jour de l’année. Quelle est la nature de la suite (un ) ? En déduire le coût total de la campagne publicitaire sur la première année. (2) On modélise finalement le coût journalier de cette campagne publicitaire de la manière suivante : entre le (t − 1)ième jour et le tième jour, la campagne publicitaire coûte, en milliers d’euros : 54 f (t) = . 1 + e0,005t (a) Construire le tableau de variation de la fonction f . (b) Déterminer au bout de combien de jours le coût journalier devient inférieur à 20 000 euros. (c) Approcher, à l’aide d’une intégrale, le coût annuel de la campagne publicitaire. R 365 (d) Calculer 0 [54 − f (t)] dt et en déduire le coût annuel de cette campagne. (3) Le montant journalier des recettes supplémentaires est modélisé, en milliers d’euros, par g(t) = 0, 03(540 − t)e0,003t . (a) Construire le tableau de variation de la fonction g et donner l’allure de sa courbe représentative. (b) Estimer les recettes supplémentaires générées sur l’année par cette campagne publicitaire. Conclure.