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Chapitre 11
Travail et énergie
1 Travail
• Pour traduire le résultat de l’application d’une force tout au long du déplacement d’un point matériel, on va définir la grandeur appelée travail ;
• Cette grandeur est distincte du sens commun sur quelques points, que nous
préciserons ; par exemple, tenir un poids énorme immobile sur ses épaules
peut épuiser, mais au sens de la mécanique cette situation correspond à un
travail nul, puisqu’il n’y a aucun déplacement ;
• On se place dans la suite dans le cas d’une force constante, c’est à dire une
−
→
force F dont la direction, le sens et l’intensité restent inchangés au cours du
temps, dans le but d’une simplification mathématique.
1.1 Définition du travail
B
−
→
F
−
→
F
−
→
AB
A
−
→
F
−
→
Le travail d’une force F constante, lors de son déplacement
quelconque d’un point A à un point B, est :
−
→ −
→ −
→
WAB F = F · AB = F · AB · cos α
−
→ −
→
−
→
où F · AB est le produit scalaire des vecteurs force F et dépla−
→
cement AB, et α l’angle entre les vecteurs force et déplacement.
1
Unités : W en joule (J), F en newton (N), AB en mètre (m).
−
→
Le travail d’une force F constante d’un point A à un point B
ne dépend pas du chemin suivi pour aller du point A au point
B.
−
→
Le travail WAB F est une grandeur algébrique dont le signe est déterminé
par la valeur de l’angle α :
• Si α est un angle aigu, le travail est moteur, la force favorise le déplacement :
0o ¶ α < 90o
⇔
WAB
−
→
F >0
B
−
→
AB
α
A
−
→
F
• Si α est un angle obtu, le travail est résistant, la force favorise le déplacement :
90o < α ¶ 180o
⇔
WAB
−
→
F <0
B
−
→
AB
α
A
−
→
F
o
• Si α = 90 , les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, alors le travail est nul, la force ne travaille pas (simple modification de la direction du
mouvement, sans accélération ni décélération) :
α = 0o
⇔
WAB
B
−
→
AB
A
α = 90o
−
→
F
−
→
F =0
Exemples
a . Soit une péniche tirée sur 1 km par un remorqueur dans un canal supposé rectiligne. Calculer le travail appliqué par le remorqueur à la péniche
sachant que la force appliquée sur le câble vaut F = 866 N.
W = F · d = 866 × 1 000 = 8, 66 × 105 J
b . La méthode ancestrale consiste à tirer
la péniche depuis un chemin de halage
à l’aide d’un cheval. Calculer le travail
exercé par le cheval sachant que l’angle
α = 30o et que la force appliquée sur le
câble vaut F = 1 000 N.
W = F · d · cos α = 1 000 × 1 000 × cos 30o = 8, 66 × 105 J
1.2 Travail du poids
→
Dans une région au voisinage de la Terre où le champ de pesanteur −
g est
−
→
uniforme, le poids P d’un objet est une force constante.
Lors d’un déplacement d’un point A à un point B, le travail du poids d’un point
matériel de masse m a pour expression :
WAB
−
→ −
→ −
→
−
→
→
P = P · AB = m · −
g · AB
−
→
−
→
→ −
→ −
Dans le repère O; i , j , k associé au référentiel terrestre, tel que k est
vertical et orienté vers le haut, les composantes des vecteurs sont :
0
−
→
g 0
−g
x − x
A
−
→ B
AB yB − yA
zB − zA
et
Le produit scalaire s’exprime comme la somme des produits des composantes :
−
→
P = m × 0 × (x B − x A ) + m × 0 × ( yB − yA ) + m × (−g) × (zB − zA )
−
→
WAB P = m · g · (zA − zB )
WAB
Encore une fois, ce travail est indépendant du chemin suivit pour aller de A à
B. En revanche, il dépend de la dénivellation ou différence d’altitude entre les
points de départ et d’arrivée.
−
→
Le travail du poids P d’un point matériel de masse m qui se
déplace d’un point A d’altitude zA à un point B d’altitude zB
dans un champ de pesanteur uniforme est :
−
→
WAB P = m · g · zA − zB
Si zA − zB > 0 alors le travail est moteur : le poids contribue à la diminution de
l’altitude.
Exemple
c . Travail sur une masse de 100 grammes qui tombe de 1,00 m ?
W
−
→
P = 9, 81 × 0, 100 × 1, 00 = 0, 981 J
Chute donc travail moteur.
1.3 Travail d’une force électrique
Une particule de chargé électrique q, placée dans un champ électrostatique
−
→
−
→
uniforme E , est soumis à une force électrique F e constante :
−
→
−
→
Fe = q · E
⇒
Fe = |q| · E
Lors du déplacement de A à B d’une particule de charge électrique q dans un
−
→
−
→
champ électrostatique E uniforme, le travail de la force électrique F e a pour
expression :
WAB
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→
F e = F e · AB = q · E · AB
−
→
On peut montrer que le produit scalaire du champ électrostatique E et du
−
→
vecteur AB est égal à la tension UAB ou différence de potentiel entre les points
A et B :
−
→ −
→
E · AB = UAB
En remplaçant dans l’expression du travail :
−
→
Le travail de la force électrique F e qui s’exerce sur une particule portant une charge q, qui se déplace d’un point A à un
−
→
point B, dans un champ électrique E uniforme, a pour expression :
−
→ −
→ −
→
WAB F e = F e · AB = q · UAB
Exemple
−
→
d . Soit un champ électrique E produit par la tension électrique UAB = 9, 0 V.
Calculer le travail sur un proton et un électron. Donnée : charge élémentaire e = 1, 602 × 10−19 C.
W(proton) = 1, 602 × 10−19 × 9, 0 = 1, 4 × 10−18 J
electron) = −1, 602 × 10−19 × 9, 0 = −1, 4 × 10−18 J
W(´
Travail moteur sur le proton, travail résistant sur l’électron. Et leurs mouvements seront très dissemblables, l’électron étant presque deux milles fois plus
léger.
1.4 Travail d’une force de frottement
Lorsqu’un solide est en mouvement sur un support ou dans un fluide, il est
−
→
soumis à une force de frottement f . Cette force de frottement est toujours
tangente à la trajectoire (α = 180o ) et opposée au mouvement (travail résistant).
WAB
−
→ −
→ −
→
f = f · AB = f · AB · cos α = − f · AB
−
→
Le travail d’une force de frottement f est résistant :
−
→
WAB f = − f · AB < 0
2 Énergies
2.1 Énergie cinétique
2.2 Énergies potentielles
L’énergie potentielle d’un système est liée à la position des éléments qui le
composent.
• Énergie potentielle de pesanteur.
L’utilisation de l’énergie potentielle de pesanteur impose la définition d’un
niveau de référence des altitudes (z = 0 m), pour lequel Ep = 0 J.
• Énergie potentielle élastique.
Après avoir été étiré ou comprimé, un ressort revient, une fois lâché, vers
sa position d’équilibre. Sa déformation lui confère ainsi une certaine forme
d’énergie, appelée énergie potentielle élastique.
L’énergie potentielle élastique Ep d’un ressort de constante de
raideur k est liée à la position x de son extrémité libre par
rapport à sa position d’équilibre :
1
kx2
2
où Ep est en joule (J), k constante de raideur en newton par
mètre (N · m−1 ) et x est l’élongation en mètre (m).
Ep =
2.3 Énergie mécanique
Par définition, l’énergie mécanique d’un système est la somme
de ses énergies potentielle et cinétique :
Em = Ep + Ec
En l’absence de frottements ou lorsqu’ils restent négligeables,
les variations d’énergie potentielle compensent les variations
d’énergie cinétique : il y a conservation de l’énergie mécanique.
3 Étude des oscillateurs
3.1 Définition
Un oscillateur mécanique est un système qui évolue de façon périodique autour
d’une position d’équilibre.
Lorsque le système est abandonné à lui-même, les oscillations sont dites libres.
La période propre, notée T0 , caractérise alors la durée d’une oscillation, c’est-àdire d’un aller-retour. Pour décrire le mouvement d’un oscillateur autour de sa
position d’équilibre, on étudie l’évolution temporelle de son élongation. L’amplitude est la valeur maximale de rélongation.
3.2 Paramètres influençant la période propre
• Pour un pendule simple, si l’amplitude θm des oscillations est suffisamment
faible (θm < 20o ), la période propre T0 est indépendante de l’amplitude θm .
Elle est proportionnelle à la racine carrée de la longueur ℓ du pendule et
indépendante de sa masse m :
T0 = 2π
r
ℓ
g
• Pour un pendule élastique (ressort), la période propre ne dépend que de la
constante k du ressort et de la masse m du système :
T0 = 2π
Ç
m
k
3.3 Transferts d’énergie
Lorsqu’il est en mouvement, un oscillateur est le siège d’une succession d’échanges
énergétiques : l’énergie potentielle emmagasinée est transférée sous forme d’énergie cinétique et inversement.
Si les frottements peuvent être négligés ou en leur absence,
l’énergie mécanique d’un oscillateur reste constante. Sa valeur
ne dépend que des conditions initiales (vitesse initiale ou amplitude). L’oscillateur est non amorti.
4 Amortissement et dissipation d’énergie
4.1 Oscillations libres amorties
En présence de frottements non négligeables (dus à l’air par exemple), il y a
amortissement des oscillations.
Dans le cas de frottements faibles, l’amplitude des oscillations décroît progressivement au cours du temps : roscillateur n’effectue que quelques oscillations avant de reprendre sa position d’équilibre. On parle de régime pseudopériodique. La période T, appelée pseudo-période, est proche de T0 tant que
l’amortissement n’est pas trop fort. Elle augmente d’autant plus que l’amortissement est important.
Dans le cas de frottements importants, il n’y a plus d’oscillation du tout : on
parle de régime apériodique.
4.2 Dissipation d’énergie
La présence de frottements entraîne une diminution de l’énergie mécanique du
système au cours du temps.
La variation de l’énergie mécanique entre deux positions A et
−
→
B d’un système est égale au travail de la force f qui modélise
l’action des frottements entre ces deux positions :
−
→
∆Em,AB = WAB f
−
→
< 0), alors
Le travail des forces de frottements étant résistant (WAB f
∆Em,AB < 0 : l’énergie mécanique diminue. Elle est dissipée sous forme d’énergie thermique au milieu extérieur, dont la température s’élève.