TP – Résolution d’équations f(x) = 0
But de ce TP : Etudier une situation physique où la résolution numérique d’équations est nécessaire.
Situation étudiée (cf Ch.P13) :
On s’intéresse à la chute d’un grêlon que l’on considère sphérique de rayon R = 10 mm et de masse
m = 3,9 g. Son mouvement par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, est repéré par la
position de son centre M. On choisit (Oz) la verticale ascendante et (Oxy) le plan horizontal.
On étudie l’influence des frottements exercés par l’air sur le mouvement du grêlon dans le champ de
pesanteur, supposé uniforme et noté 𝑔⃗.
A t = 0, le grêlon a une vitesse nulle et il se trouve au-dessus de O à une altitude h = 1,0 km.
Sur le site de Météo France, il est indiqué qu’un tel grêlon atteint le sol avec une vitesse de 75 km.h -1
soit environ 21 m.s-1.
Si l’on modélise les frottements par une force de frottements linéaire : 𝑓⃗ = −𝛼𝑣⃗, on obtient les
résultats suivants (cf Ch.P13) :
 Equation du mouvement :
𝑑𝑣⃗ 𝛼
+ 𝑣⃗ = 𝑔⃗
𝑑𝑡 𝑚
𝑚
On pose 𝜏 = 𝛼 , le temps caractéristique du régime transitoire.
 Projection de l’équation du mouvement selon (Oz) :
𝑑𝑣𝑧 𝛼
+ 𝑣 = −𝑔
𝑑𝑡 𝑚 𝑧
Avec 𝑣𝑧 = 𝑧̇ la composante de 𝑣⃗ selon (Oz).
 Solution analytique pour 𝑣𝑧 (𝑡) :
𝑡
𝑣𝑧 (𝑡) = 𝑣𝑧 𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 −𝜏 )
Avec 𝑣𝑧 𝑙𝑖𝑚 = −𝜏𝑔 = −
𝑚𝑔
𝛼
 Solution analytique pour l’altitude du grêlon z(t) :
𝑧(𝑡) = 𝑣𝑧 𝑙𝑖𝑚 (𝑡 + 𝜏(𝑒 −𝑡⁄𝜏 − 1) +
ℎ
𝑣𝑧 𝑙𝑖𝑚
)
Analyse des solutions analytiques :
Pour un système sphérique, il existe une expression empirique du coefficient de frottements 𝛼 :
𝛼 = 6𝜋𝜂𝑅 avec R le rayon du système et 𝜂 la viscosité du fluide dans lequel se produit le
mouvement, on a 𝜂𝑎𝑖𝑟 = 1,7. 10−5 𝑈𝑆𝐼.
AN : La vitesse limite 𝑣𝑧 𝑙𝑖𝑚 ≈ 1,2. 104 𝑚. 𝑠 −1 est atteinte au bout d’environ 5𝜏 ≈ 1 h 41 min.
Problème posé :
On veut vérifier que la chute du grêlon dure moins que 1 h 41min et on veut également connaître la
vitesse du grêlon lorsqu’il atteint le sol.
 Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer la durée de la chute ?
On utilise une méthode numérique permettant d’obtenir une valeur approchée de la durée de la
chute du grêlon que l’on note t_sol.
TP_info_f(x)=0
1
1. Par dichotomie
 Sous Python, définir la fonction z(t) puis utiliser l’algorithme de résolution par dichotomie pour
donner une valeur approchée de t_sol à 10-2 s près.
Justifier les valeurs de a et b choisies correspondant aux bornes de l’intervalle sur lequel on applique
la méthode de dichotomie.
2. Par la méthode de Newton
𝑡
On connaît la dérivée de z(t) : 𝑧̇ (𝑡) = 𝑣𝑧 (𝑡) = 𝑣𝑧 𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 −𝜏 ).
 Sous Python, définir la fonction 𝑣𝑧 (𝑡) puis utiliser l’algorithme de résolution par la méthode de
Newton pour donner une valeur approchée de t_sol à 10-2 s près.
Justifier la valeur de u choisie correspondant au point de départ d’application de la méthode de
Newton.
3. Analyse des résultats
Analyse physique :
 Commenter les 2 résultats obtenus sur les durées de chute.
 Utiliser la fonction 𝑣𝑧 (𝑡) pour calculer la vitesse avec laquelle le grêlon atteint le sol.
 Conclure.
Analyse informatique :
 Modifier légèrement les fonctions zeroDicho et Newton pour qu’elles affichent le nombre
d’itérations réalisées pour obtenir le résultat.
 Comparer les nombres d’itérations des deux fonctions de résolution lorsqu’elles renvoient une
valeur approchée de t_sol à 10-2 s près, avec les choix de a, b et u des § 1 et 2.
Autre problème : en électricité…
Un panneau solaire, formé par des jonctions simples PN, a pour caractéristique courant-tension en
convention générateur : 𝐼 = 𝐼𝑠 − 𝐼0 (𝑒 𝑈⁄𝑈0 − 1) où 𝐼𝑠 , 𝐼0 et 𝑈0 sont des constantes supposées
connues.
On souhaite déterminer pour quelle tension U aux bornes du panneau la puissance fournie P est
𝑈
𝐼
maximale. En posant 𝑥 = 𝑈 et 𝑘 = 𝐼𝑆 pour adimensionner le problème, cette puissance s’écrit :
0
0
𝑃 = 𝑈𝐼 = 𝑈0 𝐼0 𝑥(𝑘 + 1 − 𝑒 𝑥 ). 𝑘 étant en pratique une constante très grande devant 1, on peut
montrer que 𝑃 n’a qu’un seul extremum sur [0,+∞[ et que c’est obligatoirement entre 𝑥 = 0 et
𝑥 = ln(𝑘). Il est toutefois impossible de trouver analytiquement l’abscisse de cet extremum.
Pour un panneau solaire tel que 𝑘 = 1. 107 , déterminer à 0,001 près la valeur 𝑥𝑚𝑎𝑥 de x qui
maximise la puissance 𝑃 fournie par le panneau.
TP_info_f(x)=0
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