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INSA DE LYON
2014-2015
Correction du QCM : Espaces vectoriels, Applications linéaires, Matrices (début) Espaces vectoriels
Qu 1. Il est possible qu’un espace vectoriel possède exactement :
0 élément
1 élément
2 éléments
une infinité d’éléments
Soient E un espace vectoriel sur K, F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E.
Qu 2.
Qu 3.
Qu 4.
Qu 5.
Qu 6.
Qu 7.
Qu 8.
F ∩ H est un sous-espace vectoriel de E.
VRAI
FAUX
F ∪ H est un sous-espace vectoriel de E.
VRAI
FAUX
F + H est un sous-espace vectoriel de E.
VRAI
FAUX
Si E = F ⊕ G et E = F ⊕ H alors G = H.
VRAI
FAUX
Si dim F + dim G = dim E alors F et G sont supplémentaires.
VRAI
Si dim F = dim G = 2 alors dim F + G = 4.
VRAI
FAUX
Si E = R5 et dim F = dim G = 3 alors F ∩ G 6= {0E }.
VRAI
FAUX
FAUX
Dans chacun des cas suivants, dire si l’affirmation « F est un sous-espace vectoriel de E »
est vraie ou fausse.
Qu 9.
F = (x, y, z) ∈ R3 3x + 2z = 0 et x + y = 0 avec E = R3 .
Qu 10.
F = (x, y, z) ∈ R3 x > 0 avec E = R3 .
Z
1
Qu 11.
F = P ∈ R[X] P (t)dt = 0 avec E = R[X].
0
Qu 12.
Qu 13.
F = P ∈ R[X] P + P 0 = 1 avec E = R[X].
F = P ∈ R5 [X] deg(P ) > 2 avec E = R5 [X], l’ensemble des
polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 5.
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie p, soit B = (v1 , v2 , . . . , vn ) une famille de
n vecteurs de E et soit vn+1 un vecteur de E qui n’est pas dans B. Dans ce qui suit, j désigne
un entier entre 1 et n.
Qu 14.
Si aucun des vi (pour 1 6 i 6 n) n’est combinaison linéaire des autres,
alors B est libre.
1
VRAI
FAUX
Qu 15.
Qu 16.
Qu 17.
Qu 18.
Qu 19.
Qu 20.
Qu 21.
Qu 22.
Si les vi (pour 1 6 i 6 n) sont non colinéaires 2 à 2, alors B est libre.
VRAI
FAUX
Si B est libre, alors B \ {vj } est libre.
VRAI
FAUX
Si B est liée, alors B \ {vj } est liée.
VRAI
FAUX
Si B est libre, alors B ∪ {vn+1 } est libre.
VRAI
FAUX
Si B est liée, alors B ∪ {vn+1 } est liée.
VRAI
FAUX
Si n > p, alors B est liée.
VRAI
FAUX
Si n > p, alors B est génératrice de E.
VRAI
FAUX
Si B est libre, elle peut se compléter en une base de E.
VRAI
FAUX
Soient E un espace vectoriel sur K muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ) et V1 = 2e1 + e2 − e3 ,
V2 = −e1 + 2e2 + 5e3 et V3 = 5e2 + 9e3 des vecteurs de E.
Qu 23.
La famille (V1 , V2 ) est libre.
Qu 24.
La famille (V1 , V2 , V3 ) est libre.
Qu 25. Cocher les cases correspondant à des bases de E :
(V1 , V2 )
(V1 , V2 , V3 )
(e1 , V1 , V2 , V3 )
(e1 , V2 , V3 )
Qu 26.
Les sous-espaces Vect(V1 , V2 ) et Vect(V3 ) sont supplémentaires dans E.
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
(V1 , V2 , V3 + e3 )
VRAI
FAUX
Soit E = R3 [X]. Cocher les cases correspondant à des affirmations vraies.
Qu 27. La famille B1 = (1 + 3X, X + X 2 , 3X + X 3 ) est :
libre
génératrice de E
une base de E
ni libre, ni génératrice
Qu 28. La famille B2 = (2X + X 3 , −2X + X 3 , −1 + X 2 , 1 + X 2 ) est :
libre
génératrice de E
une base de E
ni libre, ni génératrice
Qu 29. La famille B3 = (−1, 7 + X, X − 3X 3 , 2 + X 3 , 5 − X + X 3 ) est :
libre
génératrice de E
une base de E
ni libre, ni génératrice
Qu 30. La famille B4 = (−1, 3 + X, 5 + 4X 2 , 2X 2 , X + X 2 + X 3 ) est :
libre
génératrice de E
une base de E
2
ni libre, ni génératrice
Applications linéaires
Soit f l’application de R2 dans R3 définie par : f (x, y) = (2x + y, x − y, x − y).
Qu 31. Alors f est :
une application linéaire
Qu 32.
Qu 33.
Qu 34.
R2
Ker(f ) est :
f est :
un endomorphisme
{(0, 0)}
injective
Vect((1, 1))
surjective
un isomorphisme
Vect((2, 1, 1), (1, −1, 1))
ni l’un ni l’autre
un automorphisme
{(0, 0, 0)}
bijective
Im(f ) est :
R3
Vect((2, 1, 1), (1, −1, −1))
Vect((0, 1, 0))
Qu 35. Le rang de f est égal à :
0
1
2
le plan d’équation y = z
3
Soient E un espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E :
Qu 36.
Qu 37.
f + g, g ◦ f et f ◦ g sont des endomorphismes de E.
VRAI
FAUX
Si f ◦ f = f , alors f est une symétrie.
VRAI
FAUX
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, f : E → F une
application linéaire, et k un entier non nul.
Qu 38.
Si (e1 , . . . , ek ) est une famille génératrice de E, alors (f (e1 ), . . . , f (ek ))
est une famille génératrice de F .
VRAI
FAUX
Qu 39. S’il existe une base B telle que f (B) soit une base de F , alors :
f est injective
f est surjective
f est bijective
Qu 40.
S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille liée, alors f n’est
pas injective.
Qu 41.
Qu 42.
Qu 43.
VRAI
FAUX
rg(f ) 6 min(n, p).
VRAI
FAUX
p = rg(f ) + dim Ker(f ).
VRAI
FAUX
f est surjective si et seulement si rg(f ) = n.
VRAI
FAUX
Matrices
Soit E un espace vectoriel muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ).
On définit les vecteurs v 1 = e1 + e2 + e3 , v 2 = e1 − e3 , v 3 = e2 + e3 et f l’endomorphisme de
E tel que :
f (e1 ) = 2e1 − 3e2 + e3 , f (e2 ) = −e1 + e2 − 3e3 et f (e3 ) = e1 − e3 .
3
Qu 44. La matrice de f par rapport à B est :






2 −3
1
2 −2
1
2 −1
1
1 −3
1 −3
1
0
−1
−1
−3
1
0 −1
1 −1
0
1 −3 −1
Qu 45. L’image par f de v 1 a pour coordonnées dans la base B :
 
 
 
2
2
0
−2
−3
−3
−3
−2
0
Qu 46. Le rang de f est égal à :
0
1
2

1
1
1
1
0
−1

0
1
1
3
1 2 −2 0
Soit H =
et soit g ∈ L(R4 , R2 ) canoniquement associée à H.
2 −1 −4 1
Qu 47. Le rang de H est égal à :
1
2
4
8
Qu 48. L’application g est :
injective
surjective
bijective
Qu 49. Le noyau de g est de dimension :
Qu 50.
Qu 51.
1
2
3
4
Le vecteur (2, 0, 1, 0) est dans le noyau de g.
VRAI
FAUX
Soit x ∈ R et v = (x, x, x, x). Alors g(v) = (x, 2x).
VRAI
FAUX
4