1. No category

PCSI2
Exercices: Chapitre 15 - Espaces vectoriels
 Eléments de correction en ligne
Sous-espaces vectoriels
15.1 Démontrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de E.
a. A = { (x,x,y)
3
b. B = { (x,y,z)
3
, x,y
} dans E =
3
.
, x + 2y = 0 } dans E =
3
.
c. D = { (un)n tel que n , un+2 = 3un+1 - 2un } dans E =
d. F = { x
acosx + bsinx, (a,b) ² } dans E =
e. G = { f0([0,1], ) ,

1
0
.
.
f( t ) dt  0 } dans E = 0([0,1], ).
f. H = { f( , ), x , f'(x) = 2f(x) } dans E = ( , ).
 a b 



g. F = 
 , a  b  c  d  0  dans E = M2( )


 c d 

15.2 Expliquer pourquoi la partie F n'est pas un sous-espace vectoriel de E
a. E = ² et F = { (x,y) ², x+y = 1 }.
b. E = ² et F = { (x,y) ², x²-y² = 0 }.
c. E = 0( , ) et F = { fE, x , f(x)  0 }.
 15.3 Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de
a. L’ensemble des suites décroissantes ? Des suites monotones ?
b. L’ensemble des suites bornées ?
c. L’ensemble des suites arithmétiques ? Des suites géométriques ?
ℕ
?
d. L’ensemble des suites (un) telles que : nℕ, un + 2 = a.un + 1 + b.un où a et b sont deux réels
fixés.
 15.4 Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de
a. L’ensemble des fonctions lipschitziennes sur ?
b. L’ensemble des fonctions f telles que f (0) = 1 ?
c. L’ensemble des fonctions f telles que f (1) = 0 ?
d. L’ensemble des fonctions de signe constant ?
?
15.5 a. Dans 3, a-t-on Vect{(2, 3, –1), (3, 7, 0)} = Vect{(1, –1, –2), (5, 0, –7)} ?
b. Soit x et y deux vecteurs de E, montrer que Vect(x, y) = Vect(x, y, x + y)
15.6 Dans E =
3
, on donne u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 1, 1) et t = (1, 0, 1).
On pose F = vect( u, v ) et G = vect( w, t ), Déterminer FG et F+G.
15.7 Equations de sous-espaces vectoriels.
a. Soit u = (1, 1, 1) et v = (1, 2 ,3) deux vecteurs de ℝ3.
Trouver une CNS sur les réels x, y et z pour que X = (x, y, z)Vect(u, v).
b. Soit u = (1, 1, 1, 0) et v = (0, 0, 1, 1) deux vecteurs de ℝ4.
Trouver une CNS sur les réels x, y, z et t pour que X = (x, y, z, t)Vect(u, v).
 15.8 Soit E un -espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
a. Montrer que FG est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F  G ou G  F.
b. Montrer que FG = F+G  F = G
15.9 Sous-espaces supplémentaires: Dans chacun des cas suivants, démontrer que E = F  G
a. F = Vect ( (1,-1) ), G = vect( (1,2) ) et E = ²
b. F = { (x,y,z)
3
, x + y - z = 0 }, G = vect((2,-1,0)) et E =
3
.
N.Véron-LMB-mars 2015
PCSI2
c. F = { (x1,x2,...xn)
d. F = { f0( , ),
n
, x1 + x2 + ...+ xn = 0 }, G = vect( u ) avec u = (1,1,...,1) et E =
1
 f(t)dt  0 }, G le SEV des fonctions constantes sur
0
 e. F = { f1( , ), f(0) = f'(0) = 0 }, G = { x
n
.
et E = 0( , )
ax+b, (a,b) ² } et E = 1( , )
Applications linéaires
15.10 Dire si f :E→F est linéaire dans les cas suivants :
a. E = ², F= 3 et f:(x,y) (x+y, x-2y, 0)
b. E = F = 3 et f:(x,y,z)
(x²+x, y-z, x+y-z)
c. E = F = ² et f:(x,y)
(1, x-2y)
d. E = 3, F = et f:(x,y,z) = x – y + z
e. E = ², F = et f:(x,y) = xy
f. E = C1( , ), F = C0( , ) et uE, f(u) :x
u’(x) + (x²+1)u(x)
g. E = F =
et f(u) = u
h. E =
et F = ² et f:(un)
(u0,u1)
i. E = {suites réelles convergentes}, F =
et f :(un)
lim un
 15.11 On considère les applications linéaires suivantes :
 3 3
 3
 2 2



, g:
, h:
.
f:
(x  2y, y, y  z)
x yz
(x  y, x y)



(x, y,z)
(x, y,z)
(x, y)
a. Préciser lesquelles sont des endomorphismes, des formes linéaires.
b. Déterminer gf. Quelle est sa nature ?
c. Montrer que f est un automorphisme et expliciter f-1.
d. Déterminer h² = hh, puis hn = hh...h où n .
15.12 Pour chacune des applications suivantes sont linéaires, déterminer Kerf et Imf puis
préciser la nature de ces applications :
a) E = ², F = 3 et f:(x,y)
(x+y,x-y,x+y)
b) E = F = ² et f(x,y)
(x+y,x-y)
c) E = C1( , ), F = C0( , ) et f:u u'
d) E = F = C( *+, ) et f:u 2xu'-u
x
e) E = C0( , ), F = C1( , ) et x , f(u)(x) =
 u( t ) dt
0
15.13 Montrer qu'il existe une unique application f L( 3, ²) telle que
f(1,0,0) = (1,1) f(0,0,1) = (-1,0) et f(1,1,1) = (0,2). Préciser f(x,y,z), Kerf et Imf.
 15.14 Trace d'une matrice carrée Soit M une matrice carrée on appelle trace de M et on
note Tr(M) la somme de ses éléments diagonaux.
a) Montrer que M
Tr(M) est une forme linéaire sur Mn().
b) Montrer que M,NMn(), Tr(MN) = Tr(NM)
c) Existe-t-il un couple de matrices carrées (A,B) tel que AB – BA = In?
15.15 Résolution d’une équation linéaire



Soit f : 
.
v telle que n  , vn  un 1  2un

u
a. Montrer que f est linéaire et déterminer f(t) avec
b. Déterminer Kerf
c. On pose n , wn = n, résoudre f(u) = w
n , tn = -n - 1
N.Véron-LMB-mars 2015
PCSI2
Endomorphismes
Dans L(E) on note fn = ff...f n fois
15.16. Soit fL(E).
a. Comparer Kerf et Kerf² puis Imf et Imf² au sens de l’inclusion
b. Démontrer que Kerf = Kerf²ImfKerf = { 0 E } puis que Imf = Imf²  E = Imf+Kerf.
15.17 Soit fL(E) tel que f²-3f+2IdE = 0
a. Justifier que fGL(E) et préciser f-1.
b. Démontrer que Ker(f - IdE) et Ker(f - 2IdE) sont des SEV supplémentaires de E.
15.18 On note 0L(E) l'endomorphisme nul de L(E). Soit fL(E) tel que f5 = 0L(E).
Montrer que g = IdE - f et h = IdE+fGL(E) et exprimer g-1 et h-1 en fonction de fk, k .
 15.19 Soit f et g deux endomorphismes qui commutent dans L(E).
Montrer que f(Kerg)  Kerg et que f(Img)  Img
 15.20 Soit f et g deux endomorphismes de L(E) vérifiant fg = IdE.
a. Montrer que Ker(gf) = Kerf et Im(gf) = Img.
b. Montrer que Kerf et Img sont supplémentaires dans E.
c. A quelle condition sur f peut-on affirmer que f et gGL(E) et g = f-1?
Projecteurs et symétries
15.21 Soit E = 3, F = { (x,y,z) 3, x –y +3z = 0 } et G = { (x,y,z) 3, y-z = 0 et 2x + z = 0 }
a. Démontrer que E = FG.
b. Soit f la projection sur F parallèlement à G déterminer f(1,2,0), puis f(x,y,z)
c. Donner l'expression de la symétrie par rapport à G parallèlement à F.
15.22 On a vu que F = { f0( , ),
1
 f(t)dt  0 }, G le SEV des fonctions constantes sur
0
0
étaient supplémentaires dans E =  ( , ) (exercice 1.8)
Déterminer la projection de la fonction exponentielle sur F parallèlement à G.
 15.23 Dans ² on note D1 = {(x,y) ², x=3y} et D2 = {(x,y) ², x+y = 0}
a. Montrer que ² = D1D2
b. Donner l'expression de la symétrie par rapport à D1 parallèlement à D2.
15.24 Identifier l'application de
²
dans
² définie par (x,y) ², s(x,y) = (y,x).
 3  3

15.25 Soit p: 
xz
 x  z , on note In = IdE avec E = n.
(
x,
y,z
)
(
,
0,
)

2
2

a. Montrer que p est un projecteur et donner ses éléments caractéristiques.
b. On pose q = I3-p, déterminer pq et qp
c. On donne g = p+2I3. Exprimer gn = gg...g en fonction de p et q pour tout entier n1.
 15.26 Soient f et g deux éléments de L(E). Montrer l’équivalence des deux propositions
suivantes :
a. fg = f et gf = g
b. f et g sont deux projecteurs de même noyau
15.27 Soit E un -espace vectoriel. On considère p et q deux projecteurs de E.
a. Montrer que : p + q projecteur ⇔ pq = qp = 0.
b. Montrer que dans ce cas, on a : Im(p + q) = Im p⊕Im q et Ker(p + q) = Kerp  Kerq.
N.Véron-LMB-mars 2015