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MPSI B
6 juin 2015
´
Enonc´
e
Partie II. Suppl´
ementaires d’un sous-espace donn´
e.
Dans tout le probl`eme, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n’est
pas un ensemble fini.
Tous les espaces vectoriels consid´er´es sont des K espaces vectoriels de dimension finie.
L’objet du probl`eme est d’´etablir des propri´et´es des familles de sous-espaces vectoriels de
mˆeme dimension.
Si A et B sont deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E, on dira que A est
un hyperplan de B si et seulement si A ⊂ B et dim A = dim B − 1. Seule cette d´efinition est
utilis´ee dans le probl`eme, aucune interpr´etation en terme de forme lin´eaire n’est n´ecessaire.
La partie III est ind´ependante des deux premi`eres.
Soit A et B deux sous-espaces suppl´ementaires d’un espace vectoriel E.
On se propose de montrer que l’ensemble des suppl´ementaires de B est en bijection avec
l’ensemble L(A, B) des applications lin´eaires de A dans B.
1. Soit f ∈ L(A, B). Montrer que l’application
(
A→E
ϕf :
a → a + f (a)
est lin´eaire et injective. Que peut-on en d´eduire pour dim(Im ϕf ) ? Dans toute la suite,
on notera :
∀f ∈ L(A, B) : Af = Im ϕf
2. Montrer que pour tout f ∈ L(A, B), Af est un suppl´ementaire de B.
3. Montrer que si f et g sont deux applications lin´eaires de A vers B :
Partie I.
Dans cette partie, E d´esigne un espace vectoriel fix´e.
Af = Ag ⇒ f = g
1. (question de cours) Soit A et B deux sous-espaces vectoriels de E.
4. Soit A1 un suppl´ementaire quelconque de B. On note :
a. Montrer que l’application :
pA1 ,B la projection sur A1 parall´element `
aB
(
ϕ :
pB,A1 la projection sur B parall´element `
a A1
A×B →E
(a, b) → a + b
Soit f la restriction `
a A de −pB,A1 . Montrer que
Af = A1
est lin´eaire. Pr´eciser son image.
5. Conclure en pr´ecisant le rˆ
ole des questions pr´ec´edentes.
6. Montrer que l’ensemble des hyperplans d’un K-espace vectoriel E est infini.
7. (hors bar`eme - hors programme) Dans le cas o`
u le corps K est fini de cardinal q et E
de dimension n, montrer que E est fini. Combien a-t-il d’´el´ements ?
Pourquoi le r´esultat qui est l’objectif de la partie III est-il faux dans ce cas ? Combien
un sous-espace vectoriel B de dimension s admet-il de suppl´ementaires ?
b. Montrer, en pr´ecisant l’isomorphisme, que ker ϕ est isomorphe `a A ∩ B.
c. En d´eduire
dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩ B)
2. Soit A un sous-espace vectoriel de E et x un vecteur de E qui n’appartient pas `a A.
Montrer que
Partie III. Suppl´
ementaire commun
dim(Vect(A ∪ {x})) = dim A + 1
Dans cette partie, on consid`ere des familles (A1 , A2 , · · · , Ap ) de sous-espaces d’un espace
vectoriel E telles que les Ai soient deux `
a deux distincts et de mˆeme dimension m (0 <
m < dim E).
On veut montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel B qui est un suppl´ementaire de chacun
des sous-espaces Ai .
3. Soit A et B deux hyperplans distincts de E. Montrer que A ∩ B est un hyperplan de
B.
4. Soit A un sous-espace vectoriel de E qui n’est pas E. Montrer qu’il existe un hyperplan
contenant A.
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
e-Partage des Conditions Initiales a
` l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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A2 = Vect(a2 )
B1 = Vect(b1 )
4. On veut maintenant montrer le r´esultat annonc´e ; c’est `
a dire l’existence d’un
suppl´ementaire commun B aux sous-espaces d’une famille (A1 , A2 , · · · , Ap ) v´erifiant
les conditions indiqu´ees en d´ebut de partie.
A3 = Vect(a3 )
a. Cas m = dim E − 1. Soit x un vecteur qui n’est pas dans A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap ,
montrer que Vect(x) est un suppl´ementaire commun.
A1 = Vect(a1 )
A4 = Vect(a4 )
b. Montrer le r´esultat dans le cas g´en´eral.
B = Vect(b)
Fig. 1 – Partie III. dim E = 2.
1. Cas dim E = 2. Dans ce cas, chaque Ai est une droite vectorielle (c’est aussi un
hyperplan). Il existe des vecteurs non nuls a1 , · · · , ap tels que
A1 = Vect(a1 ), · · · , Ap = Vect(ap )
a. Justifier l’existence d’un vecteur b1 tel que (a1 , b1 ) soit une base de E.
b. Pour i entre 2 et p, on note αi et βi les coordonn´ees de ai dans la base (a1 , b1 ).
Montrer que βi 6= 0 pour i entre 2 et p.
c. Justifier l’existence d’un scalaire λ tel que
b = λa1 + b1 6∈ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap
2. Dans cette question, on pourra utiliser le r´esultat de la question II.6 (dans un espace vectoriel il existe une infinit´e d’hyperplans). Soit (A1 , A2 , · · · , Ap ) une famille
d’hyperplans v´erifiant les conditions indiqu´ees en d´ebut de partie. Montrer que
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap 6= E
3. Soit (A1 , A2 , · · · , Ap ) une famille v´erifiant les conditions indiqu´ees en d´ebut de partie.
Montrer que
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap 6= E
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
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Corrig´
e
Cette inclusion signifie exactement que (a1 , · · · , ap , x) engendre V . Montrons enfin que
(a1 , · · · , ap , x) est libre. Comme on sait que (a1 , · · · , ap ) est libre, si (a1 , · · · , ap , x) ´etait
li´ee, x serait combinaison lin´eaire de (a1 , · · · , ap ) donc x serait dans A.
Cette famille est donc libre et g´en´eratrice, c’est une base de V .
Partie I.
1.
a. Avec les op´erations d´efinies dans le produit cart´esien de deux espaces vectorieils,
la lin´earit´e est ´evidente :
3. Soit A et B deux hyperplans distincts de E. Comme ils sont distincts, ils ne sont pas
mutuellement inclus l’un dans l’autre. Il existe donc un vecteur x qui est dans l’un et
pas dans l’autre. Disons que x ∈ B et x 6∈ A (le raisonnement se ferait de la mˆeme
mani`ere dans l’autre cas). D’apr`es la question pr´ec´edente :
ϕ((a, b) + (a0 , b0 )) = ϕ((a + a0 , b + b0 )) = (a + a0 ) + (b + b0 )
= (a + b) + (a0 + b0 ) = ϕ((a, b)) + ϕ((a0 , b0 ))
dim (Vect(A ∪ {x})) = dim A + 1 = dim E
et par un d´eveloppement analogue :
car A est un hyperplan.On en d´eduit
ϕ(λ(a, b)) = λϕ((a, b))
L’image de ϕ est A + B par d´efinition de la somme de deux sous-espaces.
Vect(A ∪ {x}) = E
b. Montrons que ker ϕ = {(a, −a), a ∈ A ∩ B}. Cela montrera que ker ϕ est l’image
de A ∩ B par l’application
a → (a, −a)
Comme A + B est un sous-espace vectoriel qui contient A et x :
Vect(A ∪ {x}) ⊂ A + B
qui est clairement lin´eaire et injective (donc un isomorphisme entre A ∩ B et
ker ϕ).
Il est ´evident que, (a, −a) ∈ ker ϕ pour a ∈ A ∩ B. Cela entraˆıne une inclusion.
R´eciproquement :
(a, b) ∈ ker ϕ ⇒ a = −b ∈ A ∩ B
∈A
On en d´eduit
E =A+B
dim E = dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩ B)
∈B
dim E = 2(dim E − 1) − dim(A ∩ B)
prouve l’autre inclusion.
dim(A ∩ B) = dim E − 2 = dim B − 1
c. Par isomorphisme, la dimension du noyau est celle de l’intersection. Le th´eor`eme
du rang entraˆıne alors la formule demnd´ee.
Ceci montre bien que A ∩ B est un hyperplan de B.
2. Soit (a1 , · · · , ap ) une base de A (tout sous-espace d’un espace de dimension finie est de
dimension finie). On va montrer que (a1 , · · · , ap , x) est une base de V = Vect(A ∪ {x}).
Cela assurera que
dim (Vect(A ∪ {x})) = p + 1 = dim A + 1
4. Soit A un sous espace vectoriel de E qui n’est pas E. Ce sous-espace A admet une
base (a1 , · · · , ap ) (avec p < dim E = n). Cette base est une famille libre de E. D’apr`es
le th´eor`eme de la base incompl`ete, il existe des vecteurs bp+1 , · · · bn tels que
(a1 , · · · , ap , bp+1 , · · · bn )
Remarquons d’abord que tous les vecteurs de cette famille sont dans A ∪ {x} donc
dans V .
Montrons ensuite que (a1 , · · · , ap , x) engendre V . En effet Vect(a1 , · · · , ap , x) est un
sous-espace vectoriel qui contient A = Vect(a1 , · · · , ap ) et x donc, par d´efinition d’un
espace vectoriel engendr´e :
Soit une base de E. Il est alors ´evident que
Vect(a1 , · · · , ap , bp+1 , · · · bn−1 )
est un hyperplan qui contient A.
V ⊂ Vect(a1 , · · · , ap , x)
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Partie II.
6. L’ensemble des suppl´ementaires `
a une droite vectorielle fix´ee B est en bijection avec
L(H, B) o`
u H est un suppl´ementaire de B (on sait qu’il en existe). Comme L(H, B) est
un espace vectoriel de dimension dim B dim H = dim E − 1 = n − 1, il est en bijection
avec Kn−1 donc infini lorsque K est infini. L’ensemble de tous les hyperplans est donc
´egalement infini.
7. si K est fini de cardinal q. L’espace E de dimension finie n est en bijection avec Kn
donc fini et
]E = q n
1. La lin´earit´e est ´evidente. De plus,
x ∈ ker ϕf ⇒ x + f (x) = 0E ⇒ x = −f (x) ∈ A ∩ B = {0E }
assure l’injectivit´e. D’apr`es le th´eor`eme du rang, on peut en d´eduire que
dim(Im ϕf ) = dim Af = dim A
2. On sait d´ej`
a que Af est de la bonne dimension. Il suffit donc de montrer que le noyau
est r´eduit `
a 0E .
Le r´esultat de la partie III est faux car l’ensemble des sous-espaces vectoriels est fini
lui aussi. L’ensemble de tous les hyperplans est ´egal `
a E.
Comme l’ensemble des suppl´ementaires de B est en bijection avec L(A, B) qui est de
dimension dim A dim B, le nombre de ces suppl´ementaires est :
x ∈ Af ∩ B ⇒ ∃a ∈ A, ∃b ∈ B tel que x = a + f (a) = b
⇒ a = b − f (a) ∈ A ∩ B ⇒ a = 0E ⇒ x = 0E
q dim A dim B
3. Soit f et g deux applications lin´eaires de A dans B telles que Af = Ag . Alors, pour
tout a ∈ A :
Partie III.
a + f (a) ∈ Af = Ag ⇒ ∃a0 ∈ A tel que a + f (a) = a0 + g(a0 )
1.
a. La famille (a1 ) est libre car le vecteur est non nul, on peut former une base de
deux vecteurs par le th´eor`eme de la base incompl`ete.
b. Si βi est nul, ai ∈ A1 donc Ai = A1 or on a suppos´e les sous-espaces deux `
a deux
distincts.
c. Il suffit de choisir un λ diff´erent de tous les αβii . C’est possible car le corps est
infini.
2. On va raisonner par r´ecurrence sur la dimension de l’espace.
La propri´et´e est vraie lorsque dim E = 2 `
a cause de la question pr´ec´edente.
Montrons maintenant que la propri´et´e `
a l’ordre n − 1 entraine la propri´et´e `
a l’ordre n.
Consid´erons une famille (A1 , · · · , Ap ) d’hyperplans deux `
a deux distincts dans un espace E de dimension n. Comme l’ensemble des hyperplans est infini, il existe un hyperplan H qui est distinct de tous les Ai . D’apr`es la question I.3., chaque Ai ∩ H est
un hyperplan de H. Ils ne sont pas forc´ement deux `
a deux distincts mais on peut en
extraire une famille (B1 , · · · , Bq ) (avec q ≤ p) form´ees d’hyperplans de H deux `
a deux
distincts. alors :
alors
a − a0 = g(a0 ) − f (a) ∈ A ∩ B ⇒ a = a0 ⇒ f (a) = g(a)
en r´einjectant dans a + f (a) = a0 + g(a0 ). On en d´eduit
f =g
4. Soit f = −pB,A1 avec les notations de l’´enonc´e. Pour tout x ∈ Af , il existe a ∈ A tel
que
x = a − pB,A1 (a) = pA1 ,B (a) ∈ A1
Ainsi :
Af ⊂ A1
Mais comme les deux sous-espaces sont de mˆeme dimension :
Af = A1
5. Les questions pr´ec´edentes montrent que
A1 ∪ · · · ∪ Ap = E ⇒ (A1 ∩ H) ∪ · · · ∪ (A1 ∩ H) = H ⇒ B1 ∪ · · · ∪ Bq = H
f → Af
en contradiction avec la propri´et´e appliqu´ee `
a H pour la dimension n − 1.
3. Lorsque la famille n’est pas form´ee d’hyperplans, on peut inclure chaque Ai dans un
hyperplan d’apr`es I.4. et utiliser la question pr´ec´edente.
d´efinit une bijection entre L(A, B) et l’ensemble des suppl´ementaires de B.
La question 2 assure que Af est bien un suppl´ementaire. La question 3 assure l’injectivit´e et la question 4 assure la surjectivit´e.
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a. Si x n’est pas dans l’union des Ai , il n’est dans aucun et
Vect(x) ∩ Ai = {0E } ⇒ dim (Vect(x) + Ai ) = 1 + dim Ai = dim E
⇒ Vect(x) + Ai = E
Ainsi Vect(x) est un suppl´ementaire commun aux Ai .
b. On d´emontre le r´esultat par une r´ecurrence descendante. On sait que lorsque les
Ai sont de dimension dim E − 1, ils admettent un suppl´ementaires communs.
Montrons que le r´esultat pour des sous-espaces de dimension p + 1 entraine le
r´esultat pour des sous-espaces de dimension p.
Consid´erons donc des Ai de dimension p. D’apr`es 3., il existe un vecteur x n’appartenant `
a aucun des Ai . Formons la famille des Vect(Ai ∪ {x}). D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, il existe un suppl´ementaire commun B `a ces sous-espaces.
On v´erifie alors facilement que Vect(B ∪ {x}) est un suppl´ementaire commun aux
Ai .
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