MPSI B 6 juin 2015 ´ Enonc´ e Partie II. Suppl´ ementaires d’un sous-espace donn´ e. Dans tout le probl`eme, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n’est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels consid´er´es sont des K espaces vectoriels de dimension finie. L’objet du probl`eme est d’´etablir des propri´et´es des familles de sous-espaces vectoriels de mˆeme dimension. Si A et B sont deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E, on dira que A est un hyperplan de B si et seulement si A ⊂ B et dim A = dim B − 1. Seule cette d´efinition est utilis´ee dans le probl`eme, aucune interpr´etation en terme de forme lin´eaire n’est n´ecessaire. La partie III est ind´ependante des deux premi`eres. Soit A et B deux sous-espaces suppl´ementaires d’un espace vectoriel E. On se propose de montrer que l’ensemble des suppl´ementaires de B est en bijection avec l’ensemble L(A, B) des applications lin´eaires de A dans B. 1. Soit f ∈ L(A, B). Montrer que l’application ( A→E ϕf : a → a + f (a) est lin´eaire et injective. Que peut-on en d´eduire pour dim(Im ϕf ) ? Dans toute la suite, on notera : ∀f ∈ L(A, B) : Af = Im ϕf 2. Montrer que pour tout f ∈ L(A, B), Af est un suppl´ementaire de B. 3. Montrer que si f et g sont deux applications lin´eaires de A vers B : Partie I. Dans cette partie, E d´esigne un espace vectoriel fix´e. Af = Ag ⇒ f = g 1. (question de cours) Soit A et B deux sous-espaces vectoriels de E. 4. Soit A1 un suppl´ementaire quelconque de B. On note : a. Montrer que l’application : pA1 ,B la projection sur A1 parall´element ` aB ( ϕ : pB,A1 la projection sur B parall´element ` a A1 A×B →E (a, b) → a + b Soit f la restriction ` a A de −pB,A1 . Montrer que Af = A1 est lin´eaire. Pr´eciser son image. 5. Conclure en pr´ecisant le rˆ ole des questions pr´ec´edentes. 6. Montrer que l’ensemble des hyperplans d’un K-espace vectoriel E est infini. 7. (hors bar`eme - hors programme) Dans le cas o` u le corps K est fini de cardinal q et E de dimension n, montrer que E est fini. Combien a-t-il d’´el´ements ? Pourquoi le r´esultat qui est l’objectif de la partie III est-il faux dans ce cas ? Combien un sous-espace vectoriel B de dimension s admet-il de suppl´ementaires ? b. Montrer, en pr´ecisant l’isomorphisme, que ker ϕ est isomorphe `a A ∩ B. c. En d´eduire dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩ B) 2. Soit A un sous-espace vectoriel de E et x un vecteur de E qui n’appartient pas `a A. Montrer que Partie III. Suppl´ ementaire commun dim(Vect(A ∪ {x})) = dim A + 1 Dans cette partie, on consid`ere des familles (A1 , A2 , · · · , Ap ) de sous-espaces d’un espace vectoriel E telles que les Ai soient deux ` a deux distincts et de mˆeme dimension m (0 < m < dim E). On veut montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel B qui est un suppl´ementaire de chacun des sous-espaces Ai . 3. Soit A et B deux hyperplans distincts de E. Montrer que A ∩ B est un hyperplan de B. 4. Soit A un sous-espace vectoriel de E qui n’est pas E. Montrer qu’il existe un hyperplan contenant A. Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Partage des Conditions Initiales a ` l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1 R´ emy Nicolai Aalglin20 MPSI B 6 juin 2015 A2 = Vect(a2 ) B1 = Vect(b1 ) 4. On veut maintenant montrer le r´esultat annonc´e ; c’est ` a dire l’existence d’un suppl´ementaire commun B aux sous-espaces d’une famille (A1 , A2 , · · · , Ap ) v´erifiant les conditions indiqu´ees en d´ebut de partie. A3 = Vect(a3 ) a. Cas m = dim E − 1. Soit x un vecteur qui n’est pas dans A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap , montrer que Vect(x) est un suppl´ementaire commun. A1 = Vect(a1 ) A4 = Vect(a4 ) b. Montrer le r´esultat dans le cas g´en´eral. B = Vect(b) Fig. 1 – Partie III. dim E = 2. 1. Cas dim E = 2. Dans ce cas, chaque Ai est une droite vectorielle (c’est aussi un hyperplan). Il existe des vecteurs non nuls a1 , · · · , ap tels que A1 = Vect(a1 ), · · · , Ap = Vect(ap ) a. Justifier l’existence d’un vecteur b1 tel que (a1 , b1 ) soit une base de E. b. Pour i entre 2 et p, on note αi et βi les coordonn´ees de ai dans la base (a1 , b1 ). Montrer que βi 6= 0 pour i entre 2 et p. c. Justifier l’existence d’un scalaire λ tel que b = λa1 + b1 6∈ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap 2. Dans cette question, on pourra utiliser le r´esultat de la question II.6 (dans un espace vectoriel il existe une infinit´e d’hyperplans). Soit (A1 , A2 , · · · , Ap ) une famille d’hyperplans v´erifiant les conditions indiqu´ees en d´ebut de partie. Montrer que A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap 6= E 3. Soit (A1 , A2 , · · · , Ap ) une famille v´erifiant les conditions indiqu´ees en d´ebut de partie. Montrer que A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap 6= E Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Partage des Conditions Initiales a ` l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 2 R´ emy Nicolai Aalglin20 MPSI B 6 juin 2015 Corrig´ e Cette inclusion signifie exactement que (a1 , · · · , ap , x) engendre V . Montrons enfin que (a1 , · · · , ap , x) est libre. Comme on sait que (a1 , · · · , ap ) est libre, si (a1 , · · · , ap , x) ´etait li´ee, x serait combinaison lin´eaire de (a1 , · · · , ap ) donc x serait dans A. Cette famille est donc libre et g´en´eratrice, c’est une base de V . Partie I. 1. a. Avec les op´erations d´efinies dans le produit cart´esien de deux espaces vectorieils, la lin´earit´e est ´evidente : 3. Soit A et B deux hyperplans distincts de E. Comme ils sont distincts, ils ne sont pas mutuellement inclus l’un dans l’autre. Il existe donc un vecteur x qui est dans l’un et pas dans l’autre. Disons que x ∈ B et x 6∈ A (le raisonnement se ferait de la mˆeme mani`ere dans l’autre cas). D’apr`es la question pr´ec´edente : ϕ((a, b) + (a0 , b0 )) = ϕ((a + a0 , b + b0 )) = (a + a0 ) + (b + b0 ) = (a + b) + (a0 + b0 ) = ϕ((a, b)) + ϕ((a0 , b0 )) dim (Vect(A ∪ {x})) = dim A + 1 = dim E et par un d´eveloppement analogue : car A est un hyperplan.On en d´eduit ϕ(λ(a, b)) = λϕ((a, b)) L’image de ϕ est A + B par d´efinition de la somme de deux sous-espaces. Vect(A ∪ {x}) = E b. Montrons que ker ϕ = {(a, −a), a ∈ A ∩ B}. Cela montrera que ker ϕ est l’image de A ∩ B par l’application a → (a, −a) Comme A + B est un sous-espace vectoriel qui contient A et x : Vect(A ∪ {x}) ⊂ A + B qui est clairement lin´eaire et injective (donc un isomorphisme entre A ∩ B et ker ϕ). Il est ´evident que, (a, −a) ∈ ker ϕ pour a ∈ A ∩ B. Cela entraˆıne une inclusion. R´eciproquement : (a, b) ∈ ker ϕ ⇒ a = −b ∈ A ∩ B ∈A On en d´eduit E =A+B dim E = dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩ B) ∈B dim E = 2(dim E − 1) − dim(A ∩ B) prouve l’autre inclusion. dim(A ∩ B) = dim E − 2 = dim B − 1 c. Par isomorphisme, la dimension du noyau est celle de l’intersection. Le th´eor`eme du rang entraˆıne alors la formule demnd´ee. Ceci montre bien que A ∩ B est un hyperplan de B. 2. Soit (a1 , · · · , ap ) une base de A (tout sous-espace d’un espace de dimension finie est de dimension finie). On va montrer que (a1 , · · · , ap , x) est une base de V = Vect(A ∪ {x}). Cela assurera que dim (Vect(A ∪ {x})) = p + 1 = dim A + 1 4. Soit A un sous espace vectoriel de E qui n’est pas E. Ce sous-espace A admet une base (a1 , · · · , ap ) (avec p < dim E = n). Cette base est une famille libre de E. D’apr`es le th´eor`eme de la base incompl`ete, il existe des vecteurs bp+1 , · · · bn tels que (a1 , · · · , ap , bp+1 , · · · bn ) Remarquons d’abord que tous les vecteurs de cette famille sont dans A ∪ {x} donc dans V . Montrons ensuite que (a1 , · · · , ap , x) engendre V . En effet Vect(a1 , · · · , ap , x) est un sous-espace vectoriel qui contient A = Vect(a1 , · · · , ap ) et x donc, par d´efinition d’un espace vectoriel engendr´e : Soit une base de E. Il est alors ´evident que Vect(a1 , · · · , ap , bp+1 , · · · bn−1 ) est un hyperplan qui contient A. V ⊂ Vect(a1 , · · · , ap , x) Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Partage des Conditions Initiales a ` l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 3 R´ emy Nicolai Aalglin20 MPSI B 6 juin 2015 Partie II. 6. L’ensemble des suppl´ementaires ` a une droite vectorielle fix´ee B est en bijection avec L(H, B) o` u H est un suppl´ementaire de B (on sait qu’il en existe). Comme L(H, B) est un espace vectoriel de dimension dim B dim H = dim E − 1 = n − 1, il est en bijection avec Kn−1 donc infini lorsque K est infini. L’ensemble de tous les hyperplans est donc ´egalement infini. 7. si K est fini de cardinal q. L’espace E de dimension finie n est en bijection avec Kn donc fini et ]E = q n 1. La lin´earit´e est ´evidente. De plus, x ∈ ker ϕf ⇒ x + f (x) = 0E ⇒ x = −f (x) ∈ A ∩ B = {0E } assure l’injectivit´e. D’apr`es le th´eor`eme du rang, on peut en d´eduire que dim(Im ϕf ) = dim Af = dim A 2. On sait d´ej` a que Af est de la bonne dimension. Il suffit donc de montrer que le noyau est r´eduit ` a 0E . Le r´esultat de la partie III est faux car l’ensemble des sous-espaces vectoriels est fini lui aussi. L’ensemble de tous les hyperplans est ´egal ` a E. Comme l’ensemble des suppl´ementaires de B est en bijection avec L(A, B) qui est de dimension dim A dim B, le nombre de ces suppl´ementaires est : x ∈ Af ∩ B ⇒ ∃a ∈ A, ∃b ∈ B tel que x = a + f (a) = b ⇒ a = b − f (a) ∈ A ∩ B ⇒ a = 0E ⇒ x = 0E q dim A dim B 3. Soit f et g deux applications lin´eaires de A dans B telles que Af = Ag . Alors, pour tout a ∈ A : Partie III. a + f (a) ∈ Af = Ag ⇒ ∃a0 ∈ A tel que a + f (a) = a0 + g(a0 ) 1. a. La famille (a1 ) est libre car le vecteur est non nul, on peut former une base de deux vecteurs par le th´eor`eme de la base incompl`ete. b. Si βi est nul, ai ∈ A1 donc Ai = A1 or on a suppos´e les sous-espaces deux ` a deux distincts. c. Il suffit de choisir un λ diff´erent de tous les αβii . C’est possible car le corps est infini. 2. On va raisonner par r´ecurrence sur la dimension de l’espace. La propri´et´e est vraie lorsque dim E = 2 ` a cause de la question pr´ec´edente. Montrons maintenant que la propri´et´e ` a l’ordre n − 1 entraine la propri´et´e ` a l’ordre n. Consid´erons une famille (A1 , · · · , Ap ) d’hyperplans deux ` a deux distincts dans un espace E de dimension n. Comme l’ensemble des hyperplans est infini, il existe un hyperplan H qui est distinct de tous les Ai . D’apr`es la question I.3., chaque Ai ∩ H est un hyperplan de H. Ils ne sont pas forc´ement deux ` a deux distincts mais on peut en extraire une famille (B1 , · · · , Bq ) (avec q ≤ p) form´ees d’hyperplans de H deux ` a deux distincts. alors : alors a − a0 = g(a0 ) − f (a) ∈ A ∩ B ⇒ a = a0 ⇒ f (a) = g(a) en r´einjectant dans a + f (a) = a0 + g(a0 ). On en d´eduit f =g 4. Soit f = −pB,A1 avec les notations de l’´enonc´e. Pour tout x ∈ Af , il existe a ∈ A tel que x = a − pB,A1 (a) = pA1 ,B (a) ∈ A1 Ainsi : Af ⊂ A1 Mais comme les deux sous-espaces sont de mˆeme dimension : Af = A1 5. Les questions pr´ec´edentes montrent que A1 ∪ · · · ∪ Ap = E ⇒ (A1 ∩ H) ∪ · · · ∪ (A1 ∩ H) = H ⇒ B1 ∪ · · · ∪ Bq = H f → Af en contradiction avec la propri´et´e appliqu´ee ` a H pour la dimension n − 1. 3. Lorsque la famille n’est pas form´ee d’hyperplans, on peut inclure chaque Ai dans un hyperplan d’apr`es I.4. et utiliser la question pr´ec´edente. d´efinit une bijection entre L(A, B) et l’ensemble des suppl´ementaires de B. La question 2 assure que Af est bien un suppl´ementaire. La question 3 assure l’injectivit´e et la question 4 assure la surjectivit´e. Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Partage des Conditions Initiales a ` l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 4 R´ emy Nicolai Aalglin20 MPSI B 4. 6 juin 2015 a. Si x n’est pas dans l’union des Ai , il n’est dans aucun et Vect(x) ∩ Ai = {0E } ⇒ dim (Vect(x) + Ai ) = 1 + dim Ai = dim E ⇒ Vect(x) + Ai = E Ainsi Vect(x) est un suppl´ementaire commun aux Ai . b. On d´emontre le r´esultat par une r´ecurrence descendante. On sait que lorsque les Ai sont de dimension dim E − 1, ils admettent un suppl´ementaires communs. Montrons que le r´esultat pour des sous-espaces de dimension p + 1 entraine le r´esultat pour des sous-espaces de dimension p. Consid´erons donc des Ai de dimension p. D’apr`es 3., il existe un vecteur x n’appartenant ` a aucun des Ai . Formons la famille des Vect(Ai ∪ {x}). D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, il existe un suppl´ementaire commun B `a ces sous-espaces. On v´erifie alors facilement que Vect(B ∪ {x}) est un suppl´ementaire commun aux Ai . Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Partage des Conditions Initiales a ` l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 5 R´ emy Nicolai Aalglin20