Ejercicios de ALN (4) 18 de marzo de 2015. Revisado el 27 de marzo. Añadidos los 2 ejercicios 16 y 17. Dependencia e independencia lineal Sea V un espacio vectorial y u1 , u2 , u3 , . . . vectores de V. Recordamos la definición de vectores linealmente independientes: Los vectores u1 , u2 , . . . , un son linealmente independientes si y solo si no hay relación lineal no– trivial entre ellos. La misma cosa, dicha de otra manera, es: Los vectores u1 , u2 , . . . , un son linealmente independientes si y solo si para cualesquiera λ1 , λ2 , . . . , λn en R, λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn un = ~0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0 De vectores que no son linealmente independientes, decimos que son linealmente dependientes. Ejercicio 1. 1. Demostrar que: el vector u1 es linealmente dependiente si y solo si u1 6= ~0. 2. En un espacio vectorial, decimos que dos vectores u1 y u2 son proporcionales si uno es múltiplo del otro. Es decir, si existe λ ∈ R tal que u1 = λu2 o u2 = λu1 . Demostrar que: u1 y u2 son linealmente dependientes si y solo si son proporcionales. 3. Demostrar que u1 , u2 y u3 son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es combinación lineal de los otros dos. 4. Más generalmente, convencerse de que u1 , u2 , . . . , un son linealmente dependientes si y solo si uno de los vectores es combinación lineal de otros. Comprobar que es conforme con las caracterizaciones obtenidas para n = 1 y n = 2. A continuación, vamos a demostrar que, en el espacio vectorial de las funciones de R en R, las funciones seno, coseno y x son linealmente independientes, con “el truco de evaluar funciones”. Consideremos una combinación lineal entre estas tres funciones, es decir una identidad: α cos( x ) + β sen( x ) + γx = 0, Evaluando esta identidad en x = 0, en obtenemos las tres ecuaciones:   + sen(0) β  cos(0)α cos(π/2)α + sen(π/2) β   cos(π )α + sen(π ) β para cualquier x ∈ R. x = π/2 y en x = π y + 0γ = 0 + π/2γ = 0 + πγ = 0 Más explícitamente, este sistema es   +  α β + π/2γ  −α + πγ = 0 = 0 = 0 Resolvemos este sistema y vemos que tiene como única solución (0; 0; 0). Esto demuestra que la única relación lineal entre les tres Estos valores los elegimos porque conocemos los valores que toman aquí el coseno y del seno. ejercicios de aln (4) funciones es la relación trivial, y, por tanto, estas tres funciones son linealmente independientes. Ejercicio 2. Demostrar de la misma manera que las funciones f , g, h definidas por f ( x ) = 1, g( x ) = x, h( x ) = x2 para cualquier x ∈ R, son linealmente independientes. Ejercicio 3. En http://personal.us.es/dana/ProblemasTema2_1. pdf, resolver le problema 8. Sistemas de ecuaciones Ejercicio 4. Resolver por el método de Gauss–Jordan los sistemas de los problemas 5 y 6 de http://personal.us.es/dana/ ProblemasTema2_1.pdf. Cálculos con matrices Ejercicio 5. Sean u y v dos vectores en Rn . Sea [u] (resp. [v]) la matriz–columna cuyas entradas son las componentes de u (resp. v). De que tamaño son las matrices [u][v]t y [u]t [v]? ¿Qué rango tienen? Ejercicio 6. Buscar todas las matrices M que cumplen M2 = 10 01 . Ejercicio 7. Hallar dos matrices A y B, tan simples como posible, pero distintas de la matriz nula, tales que AB = 0. Ejercicio 8. Hallar una matriz A, tan simple como posible, sin descomposición LU. Ejercicio 9. Hallar una matriz simétrica S, tan simple como posible, sin descomposición de Cholesky. Ejercicio 10. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. ¿Cómo se desarrolla ( A + B)2 ?¿Y ( A + B)3 ? Ejercicio 11. Sean A, P y D matrices cuadradas de orden n tal que: P es regular, y A = P−1 DP. ¿Cómo se expresa A2 en función de P y D? ¿Y A3 ? Ejercicio 12. Consideramos la sucesión definida por inducción por:   un+2 = un +un+1 , para cualquier n ≥ 0, u0 = 1   u = 1 1 1. Comprobar que un+2 = un + un+1 , para cualquier n ≥ 0 es lógicamente equivalente a: ( u n +2 = u n +1 + u n , u n +1 = u n +1 para cualquier n ≥ 0. 2 ejercicios de aln (4) 2. Comprobar que la familia de sistemas anterior se reescribe, con matrices: Vn+1 = AVn , para cualquier n ≥ 0, donde notamos: " # 1 1 A= , 1 0 " u Vn = n+1 un 3. Comprobar que A = P−1 DP con " # α 0 D= , 0 α # para cualquier n ≥ 0. " α P= 1 α 1 # con α y α las dos soluciones de X 2 = X + 1. 4. Expresar An en función de P, D y n. Deducir una expresión para Vn en función de P, D, n y V0 . deducir finalmente una formula explícita para un . Se puede utilizar que α y α cumplen α2 = α + 1, y α2 = α + 1, ya que son soluciones de X 2 = X + 1 Proyecciones Ejercicio 13. En R3 con coordenadas x1 , x2 , x3 , sea P el plano de ecuación x3 = 0 y R la recta generada por el vector (1, 1, 1). Demostrar que cualquier vector se descompone de manera única como suma de un vector de L y de un vector de R. Ejercicio 14. Consideramos funciones de R en R. Una función f es par si cumple f (− x ) = f ( x ) para cualquier x ∈ R, y es impar si cumple f (− x ) = − f ( x ) para cualquier x ∈ R. 1. Dar un ejemplo de función par y un ejemplo de función impar, y dibujar sus gráficas. 2. Demostrar que cualquier función de R en R se descompone, de manera única, como suma de una función par y de una función impar. Ejercicio 15. Sea n un entero positivo. Consideramos matrices cuadradas de orden n. Una matriz M es simétrica si es igual a su traspuesta (M = Mt ), y antisimétrica si cumple M = − Mt . 1. Dar un ejemplo de matriz simétrica, y un ejemplo de matriz antisimétrica. 2. Demostrar que cualquier matriz se descompone, de manera única, como suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica. Cambios de base Ejercicio 16. En R3 conn coordenadas x, y, z, sea L la variedad lineal de ecuación x + z = y. Sea B la base de L formada de los vectores (1, 1, 0) y (0, 1, 1). Sea C la base de L formada de los vectores (1, 2, 1) y (1, 0, −1). Hallar [B]C y [C]B . Indicación: Para una función cualquiera, ¿Qué podemos decir de ( g( x ) + g(− x ))/2? ¿De ( g( x ) − g(− x ))/2 ? 3 ejercicios de aln (4) Ejercicio 17. En el espacio de la funciones de R en R, sea P2 la variedad de las funciones polinomiales de grado a lo sumo 2. Sea C la base formada de las funciones 1, x y x2 , y sea L la base de interpolación de Lagrange en puntos 0, 1, 2, es decir: L = ( L0 , L1 , L2 ) donde L0 vale 1 en 0 y vale 0 en 1 y 2; L1 vale 1 en 1 y vale 0 en 0 y 2; L2 vale 1 en 2 y vale 0 en 0 y 1. Hallar las matrices [C]L y [L]C . 4