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UFR des Sciences, Département EEA
M1 EEAII
Parcours ViRob
Fabio MORBIDI
E-mail: [email protected]!
http://home.mis.u-picardie.fr/~fabio/Teaching.html
Année Universitaire 2014/2015
Plan du cours
Chapitre 1 : Généralités
1.1 Définitions
1.2 Constituants d’un robot
1.3 Classification des robots
1.4 Caractéristiques d’un robot
1.5 Les générations de robot
1.6 Programmation des robots
1.7 Utilisation des robots
Chapitre 2 : Degrés de liberté - Architecture
2.1 Positionnement
• Rotation et représentation de la rotation
• Attitude et matrices homogènes
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Plan du cours
2.2 Cinématique
• Vitesse d’un solide
• Vecteur vitesse de rotation
• Mouvement rigide
• Torseur cinématique
Chapitre 3 : Modélisation d’un robot
3.1 Modèle géométrique
• Convention de Denavit-Hartenberg
• Modèle géométrique direct
• Modèle géométrique inverse
3.2 Modèle cinématique
• Jacobien direct d’un robot
• Jacobien inverse d’un robot
3.3 Modèle dynamique
• Equation d’Euler-Lagrange
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Modèle dynamique d’un robot
• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour:
• La simulation du mouvement
• Analyser la structure d’un robot
• Le développement d’algorithmes de contrôle
• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement
d’un manipulateur dans l’espace articulaire:
1. La méthode basée sur la formulation de Lagrange
• Conceptuellement simple et systématique
2. La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler
(on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un
segment générique du manipulateur)
• Elle produit un modèle de façon récursive
• Plus avantageuse du point de vue computationnel
que la formulation de Lagrange
• De manière similaire au cas cinématique, on peut encore définir:
¨ (t))
• Un problème dynamique direct (trouver les accelerations q
• Un problème dynamique inverse (trouver les couples articulaires τ (t))
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
• Le modèle dynamique d’un manipulateur nous permet de décrire
la relation entre les couples des actionneurs sur les articulations et
le mouvement de la structure.
• Avec la formulation de Lagrange les équations de mouvement peuvent
être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du
référentiel que nous avons choisi.
• Lorsque les variables
qi , i ∈ {1, . . . , n} “coordonnées généralisées”
ont été fixées (elle décrivent la position des segments d’un manipulateur
à n DDL), le lagrangien L du système peut être défini en fonction des
coordonnées généralisées, de la manière suivante:
L = T −U
Énergie cinétique totale
Énergie potentielle totale
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
• Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:
où
d ∂L
∂L
−
= ξi ,
dt ∂ q˙i
∂ qi
i ∈ {1, . . . , n}
ξi est la force généralisée associée à la coordonnée généralisée qi
• Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les équations de Lagrange comme:
d
dt
�
∂L
∂ q˙
�T
−
�
∂L
∂q
�T
= ξ
où, pour un manipulateur (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées
sont réunies dans le vecteur des variables articulaires
q
• Les contributions aux forces généralisées sont données
par les forces non-conservatives dans le système:
• Les couples des actionneurs sur les articulations
• Les forces de frottement sur les articulations
• Les couples sur les articulations générées par les forces
de contact de l’effecteur avec l’environnement
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
• Les équations de Lagrange:
d ∂L
∂L
−
= ξi ,
dt ∂ q˙i
∂ qi
i ∈ {1, . . . , n}
nous fournissent une relation entre les forces généralisées ξi appliquées
au manipulateur, et les positions, vitesses et accelerations des variables
articulaires, c’est-à-dire qi , q˙i , q¨i , i ∈ {1, . . . , n}
• Ces équations nous permettent de déterminer le modèle dynamique
d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
r
moteur
F
θm
θ
rm
�
I m , Fm
I, F
r, rm
: longueur de la tige
: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe
de rotation et son coefficient de frottement visqueux
: moment d'inertie de la tige et son coefficient
de frottement visqueux
: rayon des engrenages côté tige et côté moteur
kr = r/rm : braquet
θ, θm : position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si θ = 0, la tige
m, g
: masse de la tige et accélération de la pesanteur
cm : couple engendrée par le moteur
pointe vers le bas)
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
r
moteur
F
θm
θ
rm
Si on choisit θ comme coordonnée
généralisée, l’énergie cinétique du système est:
T =
1 ˙2
1
I θ + Im kr2 θ˙2
2
2
En outre, l’énergie potentielle du système
(définie à une constante près) est:
U = m g � (1 − cos θ)
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
Le lagrangien du système est donc:
L = T −U =
1 ˙2
1
I θ + Im kr2 θ˙2 − m g � (1 − cos θ)
2
2
Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange suivante
(nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle θ ):
d ∂L
∂L
−
= ξ
dt ∂ θ˙
∂θ
on trouve:
(I + Im kr2 ) θ¨ + m g � sin θ = ξ
La force généralisée ξ est donnée par plusieurs de contributions: la couple
d’actionnement au côté tige, et les couples de frottement visqueux −F θ˙ , −Fm kr2 θ˙
(la dernière couple a été reportée au côté tige):
ξ = τ − F θ˙ − Fm kr2 θ˙
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
Conclusion:
Nous trouvons ainsi le modèle dynamique complet du système, sous la forme
d’une équation différentielle ordinaire du second ordre:
(I + Im kr2 ) θ¨ + (F + Fm kr2 ) θ˙ + m g � sin θ = τ
On verra la prochaine leçon comment calculer
l’énergie cinétique et l’énergie potentielle d’un
un manipulateur générique avec n segments
rigides, pour trouver son modèle dynamique
(les “équations du mouvement’’) avec la
formulation de Lagrange.
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