1. No category

MATHÉMATIQUES :
PROPORTIONNALITÉ
Séquence
Niveau : V
Conditions de travail :
Face à face ou autoformation
Pré requis : Niveau VI
Support : Livret papier
Sommaire
I.
TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ ......................................................................3
A.
NOTION DE PROPORTIONNALITÉ ..................................................................3
B.
COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITÉ ........................................................5
C.
LE PRODUIT EN CROIX ....................................................................................6
II. CONVERSION DES MONNAIES .............................................................................7
III. LES ÉCHELLES .......................................................................................................8
A.
NOTION D’ÉCHELLE .........................................................................................8
B.
DÉFINITION .......................................................................................................9
C.
Agrandissement ou réduction .............................................................................9
IV. VITESSE ................................................................................................................ 12
A.
Vitesse moyenne .............................................................................................. 12
B.
Conversion ....................................................................................................... 13
C.
Vitesses et mouvement uniforme ..................................................................... 13
V. POURCENTAGE .................................................................................................... 14
A.
Prendre le pourcentage d’une valeur................................................................ 14
B.
Trouver le pourcentage .................................................................................... 15
VI. FONCTION LINÉAIRE ........................................................................................... 16
VII. LES INDICES ......................................................................................................... 19
VIII. Exercices d’application proportionnalité ................................................................. 21
IX.
PROPRIÉTÉS DES PROPORTIONS .................................................................. 24
X. PARTAGES PROPORTIONNELS.......................................................................... 25
XI. Exercices d’application : partage proportionnel ...................................................... 26
XII. L'INTÉRÊT SIMPLE ............................................................................................... 28
A.
Définition........................................................................................................... 28
B.
LA DURÉE DU PLACEMENT........................................................................... 28
C.
CALCUL DE L'INTÉRÊT SIMPLE .................................................................... 29
D.
LA VALEUR ACQUISE ..................................................................................... 30
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09 PROPORTIONNALITÉ
RECOMMANDATIONS
Il est conseillé de :
•
faire les exercices sur des feuilles de classeur
•
rédiger les solutions des exercices
•
justifier tous les calculs
•
noter les unités
•
encadrer les résultats par un cadre rouge
•
corriger immédiatement chaque exercice et demander de l’aide si on n’identifie
pas l’origine de l’erreur
•
classer soigneusement ses feuilles dans un classeur en fin de séance.
Il est impératif de soigner la présentation et de noter :
•
la référence du dossier,
•
le numéro de la page,
•
le numéro de l’exercice, ceci afin de faciliter la correction.
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09 PROPORTIONNALITÉ
I.
TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ
A. NOTION DE PROPORTIONNALITÉ
Exemple 1 :
Le tableau suivant indique les quantités d’ingrédients nécessaires pour préparer des
crêpes pour 2, 4, 6 ou 8 personnes :
ère
1
Nombre de personnes
Farine
Œufs
Lait
Sucre
colonne
ème
2
colonne
ème
3
colonne
ème
4
colonne
2
250 g
3
4
500 g
6
6
750 g
9
8
1 000 g
12
50 cl
40 g
100 cl
80 g
150 cl
120 g
200 cl
160 g
Examinons la 1ère colonne et la 2ème colonne de ce tableau.
Nous constatons que : 4 personnes = 2 x 2 personnes
Pour obtenir les quantités d’ingrédients nécessaires pour 4 personnes, nous avons dû
multiplier par 2 (doubler) les quantités d’ingrédients nécessaires pour 2 personnes.
Nous avons ainsi obtenu :
1ère colonne
x 2 = 2ème colonne
250 g de farine
3 œufs
50 cl de lait
40 g de sucre
x2=
x2=
x2=
x2=
C’est-à-dire :
500 g de farine
6 œufs
100 cl de lait
80 g de sucre
De même pour la 3ème colonne : 6 personnes = 3 x 2 personnes
Pour obtenir les quantités d’ingrédients nécessaires pour 6 personnes, nous avons dû
multiplier par 3 (tripler) les quantités d’ingrédients nécessaires pour 2 personnes.
Nous avons ainsi obtenu :
1ère colonne
x 3 = 3ème colonne
250 g de farine
3 œufs
50 cl de lait
40 g de sucre
x3=
x3=
x3=
x3=
C’est-à-dire :
750 g de farine
9 œufs
150 cl de lait
120 g de sucre
Enfin pour obtenir les quantités d’ingrédients nécessaires pour 8 personnes, nous
devons multiplier par 4 les quantités d’ingrédients nécessaires pour 2 personnes.
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09 PROPORTIONNALITÉ
Nous obtenons ainsi :
1ère colonne
C’est-à-dire :
250 g de farine
3 œufs
50 cl de lait
40 g de sucre
x 4 = 4ème colonne
x4=
x4=
x4=
x4=
1 000 g de farine
12 œufs
200 cl de lait
160 g de sucre
En résumé, nous pouvons dire que :
les quantités d’ingrédients sont proportionnelles au nombre de personnes.
En effet, lorsque :
le nombre de personnes est multiplié par 2, les quantités sont aussi multipliées par 2
le nombre de personnes est multiplié par 3, les quantités sont aussi multipliées par 3
le nombre de personnes est multiplié par 4, les quantités sont aussi multipliées par 4
le nombre de personnes est multiplié par 5, les quantités sont aussi multipliées par 5
et ainsi de suite…
Exemple 2 :
Considérons deux suites de nombres :
* 1ère suite : (2 ; 5 ; 10 ; 25)
* 2ème suite : (3 ; 7,5 ; 15 ; 37,5)
Calculer les rapports suivants :
3
7.5
= 1,5
= 1,5
2
5
15
= 1,5
10
37.5
= 1,5
25
On constate que ce rapport est constant.
Les deux suites de nombres considérées sont des suites de nombres
proportionnels.
Exercice 1.
La consommation d'essence est-elle proportionnelle à la distance parcourue ? Justifiez
votre réponse.
Distance parcourue en kilomètres
Nombre de litres d'essence
100
200
300
400
6
12
18
24
Exercice 2.
Le prix est-il proportionnel à la masse ? Justifiez votre réponse.
Masse en kg
Prix payé en €
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2
13
5
32.5
4/30
12
78
20
110
50
200
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09 PROPORTIONNALITÉ
B. COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITÉ
Exemple : Le salaire d'un employé est donné par le tableau ci-dessous :
x 56
Nombre d'heures de travail
1
2
5
30
Salaire en Euros
56
112
280
1680
: 56
Il est possible de passer de la première ligne à la deuxième ligne en x par 56.
Le nombre 56 représente le coefficient de proportionnalité.
Calcul du coefficient de proportionnalité :
56 112 280 1680
=
=
=
= 56
1
2
5
30
Exercice 3.
Quel est le coefficient de proportionnalité des suites des exercices 1 et 2
Exercice 4.
a) La valeur de y est-elle proportionnelle à celle de x ?
b) Calculer le coefficient de proportionnalité.
x
y
1
2.5
2
5
3
7.5
4
10
5
12.5
6
15
Exercice 5.
La rémunération d'un représentant est proportionnelle à son chiffre d'affaire.
Compléter le tableau :
Mois
Décembre
Chiffre d’affaire
Salaire
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6 000
Janvier
Février
50 000
75 000
5 000
5/30
Mars
Avril
85 000
4 000
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09 PROPORTIONNALITÉ
C. LE PRODUIT EN CROIX
Dans un tableau proportionnel de quatre valeurs, les produits des valeurs en diagonales
sont égaux, on appelle cela les produits en croix. Nous pouvons déduire de 3 des
valeurs la quatrième, il s'agit de la règle de trois.
Le produit en croix est une application de la proportionnalité. Il va nous permettre de
répondre à des questions telles que : s'il faut 3 kg de peinture pour couvrir 12 m².
Quelle masse de peinture M faut-il pour couvrir 36 m² ?
Ce que je connais
Ce que c’est
Ce que je cherche
kg
3 kg
M
Surface
12 m²
36 m²
ATTENTION : il faut garder la même unité sur toute la ligne.
M x 12 = 3 x 36
M (Masse de peinture pour couvrir 36 m²) = 3 x
Exercice 6.
Calculer les produits en croix ci-dessous :
36
12
= 3 x 3 = 9 kg
2
10
5
?
7.5
?
5
9
?
6.6
12
11
85
2
?
3.2
Exercice 7.
Un piéton parcourt 350 mètres en 6 minutes. Combien parcourt-il en 30 minutes ? (s'il
continue à marcher bien sûr !…)
Ce que c’est
Ce que je connais
Ce que je cherche
Mètres
Minutes
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09 PROPORTIONNALITÉ
II.
CONVERSION DES MONNAIES
On appelle change, l'opération qui consiste à échanger une certaine quantité de
monnaie d'un pays contre l'équivalent en monnaie d'un autre pays. Les grandeurs sont
proportionnelles.
Exemple :
Calculer en francs le prix d'une canette de boisson gazeuse coûtant actuellement 0,5 €.
(taux fixé le 01/01/1999. 1 € = 6,55957 F)
Ce que c’est
Ce que je cherche
Ce que je connais
Euros (€)
1€
0,5 €
Francs (F.)
6.55957 F
?
Le prix en francs est : 0,5 x 6.55957 = 3.28 F
Exercice 8.
Le SMIC mensuel brut pour 151heures s'élève à 1 286,09 €. (au 1er juillet 2004).
Calculer le montant du SMIC mensuel brut en francs.
Exercice 9.
Calculer en francs le prix d’une calculatrice coûtant 40 €.
Calculer en francs le prix d’un kilogramme de café coûtant 6,5 €.
Calculer en francs le prix d’une voiture coûtant 9 999 €.
Exercice 10.
Vous voulez changer 300 € contre des dollars US. Les conditions sont les suivantes
Cours de vente : 1 $ = 0,92 €
Calculez combien vous allez recevoir de dollars.
Ce que c’est
Ce que je connais
Ce que je cherche
Euros (€)
Dollars ($.)
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 11.
Vous désirez vous rendre en Suisse et changer 500 €. Le cours est de 0,66052 € pour
1 franc suisse. Combien aurez-vous de francs suisses ?
III.
LES ÉCHELLES
A. NOTION D’ÉCHELLE
Lorsque sur un plan les distances sont proportionnelles aux distances réelles, on dit
que le plan est « à l’échelle ».
Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux
distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s’appelle l’échelle du plan.
Sur un plan à l’échelle
1
, les distances sont 4 fois plus petites que dans la réalité.
4
1 cm sur le plan représente donc 4 cm dans la réalité.
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09 PROPORTIONNALITÉ
B. DÉFINITION
Une échelle est le rapport entre la mesure d'un objet réel et la mesure de sa
représentation (carte géographique, maquette, etc.).
Échelle =
L'échelle est donnée :
•
sous forme d'une fraction:
•
ou sous forme décimale :
Distance sur le plan
Distance réelle
(1/1000ème ou un millième) ;
(1/5000ème ou un 5 millièmes)
1
2
= 0,5
Dire qu'un plan est à l'échelle 1/1000 signifie que 1 cm sur le plan représente 1000 cm
de distance réelle ou bien que 1 m sur le plan représente 1000 m de distance réelle.
Une échelle est toujours donnée sans unité.
Attention : les distances doivent être exprimées dans la même unité.
C. Agrandissement ou réduction
Lorsque le coefficient de proportionnalité est strictement supérieur à 1 il s’agit d’un
agrandissement.
Lorsque le coefficient de proportionnalité est strictement compris entre 0 et 1 il s’agit
d’une réduction.
Exercice résolu :
Sur un plan à l'échelle est 1/500ème un mur mesure 12,5 centimètres de longueur.
Quelle sera sa longueur réelle ?
Longueur = 12.5 cm
Solution : calcul de la longueur sur le plan
Ce que c’est
Plan
1 cm
12,5 cm
Réel
500 cm
?
Longueur réelle =
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Ce que je cherche
Ce que je connais
9/30
500×12,5
1
= 6250 cm = 62,50 m
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice résolu :
Sur une carte de France la distance entre Paris et Nice est de 66 cm. A vol d’oiseau (en
ligne droite) la distance réelle est de 798,6 km. Quelle est l’échelle de cette carte ?
Solution : calcul de l’échelle :
Ce que c’est
Ce que je cherche
Ce que je connais
Plan
66 cm
1 cm
Réel
79 860 000 cm
79 860 000 x 1
= 1 210 000 cm
66
1
L’échelle est donc
1 210 000
Longueur réelle =
Exercice 12.
a)
Quelle est l'échelle d'un plan si 1 cm représente 1 m ?
b)
Quelle est l'échelle d'un plan si 1 cm représente 100 km ?
Exercice 13.
Compléter le tableau :
Échelle
1/10ème
1/200ème
2 Km
100 m
1/5 000ème 1/10 000ème
1 cm sur le plan représente
dans la réalité (en cm)
Exercice 14.
Compléter le tableau :
1 cm sur le plan représente
dans la réalité
50 m
100 dam
Trouver l’échelle
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 15.
Sur le plan d'un village au 1/1 000ème, la mairie et l'église sont distantes de 5 cm.
Calculer la distance réelle en mètres séparant ces deux édifices.
Exercice 16.
Voici le plan du dortoir dans une crèche.
Longueur
DORTOIR
1. On mesure la longueur du dortoir sur le plan et on trouve 6 cm. Ce dortoir
mesure 12 mètres en réalité. Calculer l’échelle de ce plan.
2. On Mesure la largeur du dortoir sur le plan et on trouve 3 cm. En déduire la
largeur réelle du dortoir.
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09 PROPORTIONNALITÉ
IV. VITESSE
A. Vitesse moyenne
Définition : la vitesse moyenne d’un mobile sur un parcours est le quotient de la
distance parcourue par la durée du parcours.
distance parcourue
v=
vitesse moyenne
𝑑
𝑡
durée
Attention : il faut penser à exprimer la durée en heures décimales !
Exemple : une voiture a parcouru 290 km en 3h30min. Quelle fut sa vitesse moyenne ?
290
3h30min = 3,5 h
donc v =
≈ 83 km/h
3,5
Remarque : la voiture a pu parfois rouler à 50 km/h, parfois à 90 km/h sur
certaines portions du trajet.
A une vitesse moyenne donnée, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du
parcours.
On peut donc utiliser le produit en croix pour faire des calculs de vitesse. La vitesse
moyenne est alors la distance parcourue en 1 h
Ce que c’est
Ce que je cherche
Ce que je connais
Distance
290 km
?
Temps
3,5 h
1h
La vitesse moyenne =
290×1
3,5
≈ 83 km/h
Exercice 17.
Un avion vole à une vitesse moyenne de 800 km/h pendant 7h 45min. Quelle distance
parcourt-il ?
A la même vitesse combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 9600 km ?
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09 PROPORTIONNALITÉ
B. Conversion
Une vitesse peut se mesurer en km/h ou en m/s : 1 km = 1 000 m et 1h = 3 600 s
Exemple : Un piéton a une vitesse moyenne de 4,5 km/h. Quelle est sa vitesse
moyenne en m/s ?
4,5 km = 4 500 m et 1h = 3 600 s
Ce que c’est
Ce que je cherche
Ce que je connais
Distance (m)
4 500 m
Temps (s)
1 h = 3 600 s
v=
Exercice 18.
4500
3600
=
4,5
3,6
1s
= 1,25 m/s
La vitesse moyenne du guépard en course est de 30 m/s. Convertir en km/h.
Astuce : pour convertir en km/h une vitesse donnée en m/s il faut la multiplier par
3 600 et la diviser par 1 000. Soit la multiplier par
𝟑𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
Vitesse en km/h = Vitesse en m/s x 3,6 et Vitesse en m/s =
C. Vitesses et mouvement uniforme
= 3,6.
Vitesse en km/h
3,6
Il peut arriver que la vitesse soit toujours la même tout le long du parcours.
On parle alors de vitesse constante et de mouvement uniforme.
Dans la plupart des cas, il est impossible de connaître la vitesse à chaque instant d'un
trajet; de même, il est difficile d'imaginer qu'une vitesse soit rigoureusement constante.
On utilise donc la notion de vitesse moyenne, et on considère alors que cette vitesse
moyenne est constante sur l'ensemble du parcours.
Exercice 19.
Un train parcourt 196 km en 56 min.
Quelle est sa vitesse en supposant qu’elle est constante ?
Exercice 20.
Une voiture roule pendant 3h 40 min. à la vitesse constante de 110 km/h.
Quelle est la distance parcourue ?
Exercice 21.
Combien faudra-t-il de temps pour parcourir à pied 24 km, en marchand à la vitesse de
4,8 km/h ?
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Exercice 22.
Une voiture roule à une vitesse constante v égale à 130 km/h. On dispose du tableau
suivant :
t
(temps de parcours
exprimé en heures)
d
(distance parcourue
en kilomètres)
1
2
3
130
780
Compléter le tableau et donner une relation entre la distance d et le temps t.
V.
POURCENTAGE
A. Prendre le pourcentage d’une valeur
Dire que 5 % des élèves d’un collège sont roux c'est dire que : sur 100 élèves, 5 élèves
sont roux.
Le pourcentage est une grandeur proportionnelle.
Il y a 360 élèves dans le collège. Combien sont roux ?
On utilise donc un tableau de proportionnalité.
Ce que c’est
Ce que je cherche
Ce que je connais
Total
100
Élèves roux
5
360
Nombre d’élèves roux : 360 ×
5
360×5
100 = 100 = 18
Prendre le pourcentage d’une valeur c’est multiplier la valeur par le pourcentage.
Exercice 23.
60 % d’un salaire est consacré au logement.
Calculer le prix du logement si le salaire est de 800 €.
Exercice 24.
L’emballage représente 3% de la masse totale d’un colis.
Quelle est la masse de l’emballage si ce colis a une masse totale de 442 kg.
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 25.
La TVA représente 19,6 % du prix hors taxe d’un produit.
Calculer le montant de la TVA pour ce produit dont le prix H.T. est 1000 €.
Exercice 26.
Prendre 4,5 % de 20 500 €.
B. Trouver le pourcentage
Dans un autre établissement de 1 050 élèves, il y a 252 élèves bruns. Quel est le
pourcentage d’élèves bruns ?
Ce que c’est
Ce que je cherche
Ce que je connais
Total
1 050
Élèves bruns
252
Pourcentage d’élèves bruns :
100
252×100
1050
= 24 donc 24,00 %
Trouver quel pourcentage représente une quantité donnée par rapport à une quantité
quantité donnée
totale c’est faire le rapport
quantité totale
Exemple :
252
1050
= 0,24 = 24 %
Exercice 27.
Lors d’un examen, 329 candidats ont été admis sur 470 inscrits.
Calculer le pourcentage d’admis sur le nombre d’inscrits.
Exercice 28.
Un fleuriste commande des fleurs à deux grossistes A et B.
Grossistes
Roses commandées
Roses abîmées à la réception
A
900
81
B
500
70
Quel grossiste parait le plus avantageux ?
Pour chaque grossiste, calculer le nombre de roses abîmées pour 100 fleurs
commandées.
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VI. FONCTION LINÉAIRE
Reprenons les deux suites de nombres de l’exemple 2.
x 1,5
𝒙
𝒚
2
5
10
25
3
7.5
15
37,5
Traçons le graphique représentant ces suites de nombres proportionnels.
On peut écrire : 3 = 1,5 x 2
7,5 = 1,5 x 5 …………37,5 = 1,5 x 25
Et par extension : 𝒚 = 𝟏, 𝟓𝒙
−
𝒚 = 𝟏, 𝟓𝒙 est l’équation de la droite qui représente les couples de nombres (𝒙 , 𝒚).
C’est une fonction linéaire de coefficient 1,5.
𝒚 = 𝒂𝒙 est l’équation d’une droite.
C’est une fonction linéaire.
La droite qui représente une fonction linéaire passe toujours par l’origine.
Le nombre 𝒂 s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Pour tout 𝒙 différent de 0, le coefficient de proportionnalité 𝒂
=
𝒚
𝒙
Propriété des fonctions linéaires :
Si deux suites de nombres sont proportionnelles, alors elles sont représentées par
une droite passant par l’origine (et réciproquement).
Remarque : le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur (ou pente) de la
droite.
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09 PROPORTIONNALITÉ
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 29.
Complétez les tableaux et tracez les graphiques dans le même repère.
Que remarquez-vous de la position des droites les unes par rapport aux autres ?
x
0
1
2
5
7
0
1
2
5
7
0
1
2
5
7
0
1
2
5
7
0
1
2
5
7
y=1x
x
y=2x
x
y=3x
x
y=5x
x
y=0,5x
Exercice 30.
Tracez les graphiques correspondant aux tableaux des exercices 1 et 2.
Écrire si c’est possible l’équation de la courbe représentée.
A l’aide d’un des deux graphiques, donnez :
−
La distance parcourue pour une consommation de 20 l de carburant.
−
Le prix d’une masse de 10 kg.
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09 PROPORTIONNALITÉ
VII. LES INDICES
Les indices sont des nombres qui permettent de faire des comparaisons.
Le calcul de l’indice permet de mesurer l’évolution du prix d’un produit à partir d’une
année de référence.
Exemple : l’indice des prix à la consommation était égal à 113 en 1996 (base 100 en
1990).
Cet indice signifie que les prix ont augmenté de (113 – 100) % = 13 % entre
1990 et 1996.
L’année de référence a toujours un indice de 100.
Règle de calcul du prix à une époque t 𝑷𝒓𝒊𝒙𝒕
en fonction du prix à l’époque 0 𝑷𝒓𝒊𝒙𝟎 et de l’indice 𝑰𝒕/𝟎 :
𝑃𝑟𝑖𝑥𝑡 =
Exercice résolu :
𝑃𝑟𝑖𝑥0 × 𝐼𝑡/0
100
Calculer le prix d’une plaquette de beurre de 250 g en 1990 (indice 100) coûtant 1,48 €
en 1998.
L’indice des prix à la consommation en 1998 est de 116.
Année
1990
1998
Le prix en 1990 :
Exercice résolu :
Indice
100
116
Prix
?
1,48
100 x 1,48 ÷ 116 = 1,28 €
Prix de vente d’un kilogramme de café en 1980 : 4,34 €
Prix de vente d’un kilogramme de café en 1998 : 5,40 €
Calculer l’indice du prix de vente d’un kilogramme de café en 1998, en prenant pour
base le prix en 1980.
Année
1980
1998
Indice
100
?
Prix
4,34
5,40
L’indice I 1998/1980 : 5,40 x 100 ÷ 4,34 = 124 (arrondi à l’unité prés)
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 31.
Le prix du loyer d’un appartement type F3 en 1984 est de 363,80 €.
Calculer le prix du loyer d’un appartement type F3 en 1998 si le montant du loyer est
basé sur l’indice INSEE de la construction (784 en 1984 et 1058 en 1998).
Année
1984
1998
Indice
Prix
Exercice 32.
Le budget mensuel type d'une famille de 4 personnes a évolué comme suit :
Année
Budget en F
1974
2 630
1975
2 995
1976
3 225
1977
3 645
1978
3 990
1979
4 560
Calculer les indices simples du budget mensuel type de 1975 à 1979, base 100 en
1974 (résultats au dixième près par défaut).
I 1975/1974 =
I 1977/1974 =
I 1979/1974 =
I 1976/1974 =
I 1978/1974 =
Exercice 33.
Compléter le tableau ci-dessous :
Article A
Article B
Article C
époque 0
19 €
époque t
26 €
179,42 €
11,05 €
I t/0
135
141,2
Exercice 34.
Compléter le tableau ci-dessous :
Époque
1970
1972
1974
1976
1978
1980
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Prix du produit A
0,53 €
0,58 €
Indice It / 1970
100
112
0,61 €
126
0,69 €
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 35.
Un commerçant achète en 1982 une machine dont le prix brut hors taxe s’élève à
686,00 €.
L’indice de 1981 (base 100 en 1978) était 132 et l’indice de 1982 est 136,5.
Calculer le prix de la machine en 1981.
VIII. Exercices d’application proportionnalité
Exercice 36.
1. Une voiture roule à 85 km/h ; donner sa vitesse en mètres par seconde. (m/s)
2. Le débit d’une rivière est 27 m3 par seconde (m3 /s). Comment s ‘exprime ce débit
en litres par minute ?
3. Un cycliste parcourt 13 km en 16 min. Quelle est sa vitesse en km/h ?
4. Une isolation thermique permet de réduire les frais de chauffage de 12%. Quelle
était la dépense avant isolation si l’on paye après 649,44 €.
Exercice 37.
Sur une carte de l’I.G.N. au 1/25 000, la distance d correspond à une distance D sur le
terrain.
1. Exprimer d en fonction de D , puis D en fonction de d.
2. A quelle distance sur le terrain correspond une distance de 12 cm sur la carte ?
3. A quelle distance sur la carte correspond une distance sur le terrain de 1,8 km ?
Exercice 38.
La masse d’un mètre d’un certain fil de fer est de 30 g.
1. Déterminer et représenter graphiquement l’application linéaire exprimant la masse
en fonction de la longueur du fil.
2. Montrer comment sur ce graphique on peut lire la masse de 5 mètres de fil.
3. Montrer comment sur ce graphique on peut lire la longueur d’un fil pesant 235 g.
Exercice 39.
Une automobile consomme 6 litres d’essence pour parcourir 100 km à la vitesse de 90
km/h. On désigne par d la distance parcourue et par x la quantité d’essence utilisée.
1. Calculer la consommation d’essence pour 1 km.
2. Calculer la distance parcourue avec 1 litre d’essence.
3. Représenter graphiquement l’application linéaire donnant la distance en fonction de
la quantité d’essence utilisée.
4. Montrer sur ce graphique la distance que l’on peut parcourir avec 14 litres.
Montrer sur ce graphique la quantité d’essence nécessaire pour parcourir 420 km.
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 40.
1) Avant la mise en service du T.G.V,le train le plus rapide sur la ligne Paris-Lyon
(511km) roulait à une vitesse moyenne de 146 km/h.
a)Quelle était la durée du parcours ?
b) Quelle était la distance parcourue en 3 h ?
4
2) Maintenant, le trajet en T.G.V ne dure que deux heures sur la nouvelle ligne qui est
moins longue de 87 km.
Quelle est la vitesse moyenne du T.G.V en km/h ?en m/s ?
E
A
A
Exercice 41.
Dans une élection, un candidat a obtenu les résultats suivants :
1) Dans la commune A , il y a 2500 votants et il a obtenu 32% des voix.
Quel est son nombre de voix ?
2) Dans la commune B, il a obtenu 792 voix soit 36% des voix. Quel est le nombre de
votants ?
3) Dans la commune C, il a obtenu 750 voix sur 2500 votants.
Quel est le pourcentage de voix obtenues ?
Exercice 42.
Pleins d’essence
A une station service, le litre d’essence 98 sans plomb est affiché au prix de 1,05 euros.
a) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de litres
d’essence X
10
20
30
40
50
Montant en euros Y
Noter aussi le coefficient de proportionnalité.
b) Trouvez l’équation de la droite et tracez la.
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Exercice 43.
Consommation en électricité, prix à payer.
Sachant que le prix du kWh consommé est de 0,12 € :
a) Reproduire et compléter le tableau :
x
y
Périodes
Consommation
(kWh)
Janv/Fév.
Mars/Avril
Mai/Juin
Juillet/Août
Sept/Oct.
Nov/Déc.
840
620
460
380
540
700
Prix facturé (€)
b) Montrer que ces grandeurs sont proportionnelles.
c) Les représenter sur un graphique (Échelle : 2 cm pour 100 kWh, 2 cm pour 10 €) en
plaçant les couples (x ; y) du tableau.
d) Comment les points sont situés les uns par rapport aux autres ?
e) Joindre tous les points consécutifs. Passe-t-on par l'origine 0 des axes ?
De quel type de fonction s’agit-il ?
Exercice 44.
Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 90 km/h.
a) Reproduire et compléter le tableau suivant, où d est la distance parcourue en
kilomètres et t le temps exprimé en heure.
t en heures
0,5
1
2
2,5
5
d en kilomètres
b) Représenter ces données dans un graphique.
c) Exprimer la distance d en fonction du temps. (Équation de la droite).
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09 PROPORTIONNALITÉ
IX.
PROPRIÉTÉS DES PROPORTIONS
Exemple : Soient les suites de nombres suivantes : (9 ; 18) et (3,6 ; 7,2)
Calculons
9
et
3,6
18
, nous trouvons le même résultat : 2,5
7,2
Donc ces deux rapports sont égaux. Nous pouvons donc écrire :
Cette égalité s'appelle une proportion.
Définition :
𝒂
Une proportion est égalité de deux rapports :
𝒃
=
9
3,6
=
18
7,2
𝒄
𝒅
Première propriété des proportions :
le produit des extrêmes est égal au produit des moyens :
Si
Exemple :
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
alors a x d = b x c
Le produit des extrêmes vaut : 9 x 7,2 = 64,8
Le produit des moyens vaut : 18 x 3,6 = 64,8
9 x 7,2 = 18 x 3,6 = 64,8
Deuxième propriété des proportions :
Si la suite de nombres (a, b et c) est proportionnelle aux nombres (2 ,3 et 4), nous
pouvons écrire :
𝒂 𝒃 𝒄 𝒂+𝒃+𝒄 𝒂+𝒃+𝒄
= = =
=
𝟐 𝟑 𝟒 𝟐+𝟑+𝟒
𝟗
Exemple :
Considérons la proportion
9
3,6
=
Donc
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18
7,2
= 2,5 et
3,6
=
9
18
7,2
=
9+18
3,6+7,2
9+18
3,6+7,2
24/30
9
3,6
=
=
et
18
,
7,2
27
10,8
= 2,5
27
10,8
= 2,5
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09 PROPORTIONNALITÉ
Exercice 45.
Vérifier que les nombres (9 ; 7) et (4,5 ; 3,5) forment une proportion et dans le cas où
c’est vrai, vérifier les deux propriétés
Même question pour : (10 ; 3) et (15 ; 4,5).
X.
PARTAGES PROPORTIONNELS
Exemple :
On souhaite partager entre trois personnes une somme de 1 360 € proportionnellement
aux nombres 3, 5 et 8.
On appelle a, b et c les trois parts.
D'après la deuxième propriété des suites proportionnelles :
𝒂 𝒃 𝒄 𝒂+𝒃+𝒄 𝒂+𝒃+𝒄
= = =
=
𝟏𝟔
𝟑 𝟓 𝟖 𝟑+𝟓+𝟖
De plus on sait que a +b + c = 1 360 €
D’où
𝒂
𝒃
𝒄
𝒂+𝒃+𝒄
= 𝟓 = 𝟖 = 𝟑+𝟓+𝟖 =
𝟑
Donc :
𝒂
𝟑
𝒃
𝟓
𝒄
𝟖
𝒂+𝒃+𝒄
= 85  a = 85 x 3 = 255 €
𝟏𝟔
=
𝟏𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟔
= 85
= 85  b = 85 x 5 = 425 €
= 85  c = 85 x 8 = 680 €
Exercice 46.
Une société partage 100 000 € de bénéfice proportionnellement aux parts des
associés : 500 000 €, 600 000 €, 800 000 €. Quelle est la part de chacun ?
Exercice 47.
Quatre personnes ont acheté en commun un studio en montagne coûtant 499 200 €.
Quelle somme devra payer chaque propriétaire si leur participation est proportionnelle
au nombre de semaines d'occupation du studio : 4, 9, 12 et 27 semaines ?
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Exercice 48.
Un employeur partage une prime de 24 960 € entre ses 5 salariés proportionnellement
à leur ancienneté. Calculer la prime de chaque salarié.
Salarié
Ancienneté
A
2
B
4
C
6
D
8
E
10
Exercice 49.
Le périmètre d'un triangle est 105 m.
Calculer les longueurs x, y, z, des côtés de ce triangle sachant que la suite des côtés
(x, y, z) est proportionnelle à la suite des nombres (3, 5, 7).
Compléter le tableau ci-dessous :
Calculer le coefficient de proportionnalité.
Calculer x, y, z.
x
y
z
3
5
7
périmètre
15
XI. Exercices d’application : partage
proportionnel
Exercice 50.
Un chef d'entreprise partage une prime de fin d'année d'un montant de 8 000 € entre 3
employés, Mr CHOSE, Madame MACHIN et Mr BIDULE proportionnellement à leur
ancienneté de service. Sachant qu'ils ont respectivement une ancienneté de 13 ans, 8
ans et 19 ans, calculer la prime de chacun.
Exercice 51.
3 ménagères ont fait venir de Marseille un colis de savon qui revient à 150 €.
Que devra payer chaque ménagère sachant que la 1ère a pris 20 kg de savon, la 2ème
16 kg et la 3ème 44 kg ?
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Exercice 52.
Deux cultivateurs veulent faire transporter un même nombre de sacs de pommes de
terre, le premier à 20 km, le second à 28 km. Dans ce but, ils louent une voiture à frais
communs et le voiturier réclame 86,40 € pour le transport.
Combien chaque cultivateur doit-il payer ?
Exercice 53.
Quatre parieurs, jean, Pierre, Paul et Jacques ont gagné en jouant aux courses de
chevaux. La somme de leurs mises est égale à 200 €.
Sachant que les gains sont proportionnels aux mises, calculer les mises de chacun.
On donne:
Gain de Jean: 10 000 €.
Gain de Pierre: 6 250 €.
Gain de Paul: la moitié de celui de Jean.
Gain de Jacques: 3 750 €.
Exercice 54.
3 communes s'entendent pour faire construire un pont à frais communs et répartissent
la dépense proportionnellement au nombre de leurs habitants. Le devis du pont qui
s'élevait à 19 020 € a subi une majoration de 5 %.
Sachant que la première commune compte 149 habitants, la seconde 257 et la
troisième 862, quelle sera la part contributive de chacune d'elles ?
Exercice 55.
3 petits cultivateurs achètent en commun une moissonneuse-lieuse pour le prix de
4 200,00 €.
Comme ils paient comptant on leur fait une remise de 6 %. Ils règlent leur achat
proportionnellement à l'importance de leurs exploitations. Le premier possède 5 ha, le
2ème 7 ha et le 3ème autant que les 2 premiers réunis.
Combien chacun doit-il payer ?
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XII. L'INTÉRÊT SIMPLE
A. Définition
L'intérêt simple est le revenu d'une somme d'argent prêtée ou placée (à la banque
par exemple).
Le montant de l'intérêt dépend :
- de la somme placée appelée : Capital
- de la durée du placement
- du taux d'intérêt (par exemple 10 % signifie que 100 € placés pendant 1 an vont
rapporter 10 € d'intérêts).
B. LA DURÉE DU PLACEMENT
L'usage est d'employer l'année commerciale : 12 x 30 jours = 360 jours
(au lieu de 365 j)
Mais, si une date est exprimée d'une date à une autre, on compte les mois pour leur
valeur réelle.
Exemple :
Durée de placement depuis le 20 mai jusqu'au 25 juillet.
en mai : 31 - 20 = 11 jours
en juin :
en juillet :
Total
11 jours + 1 =
=
=
=
12 jours
30 jours
25 jours
67 jours
Exercice 56.
Calculer la durée d'un placement depuis le 2 août jusqu'au 28 octobre.
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C. CALCUL DE L'INTÉRÊT SIMPLE
1 - La durée du placement est exprimée en années :
I = C x t x a
I
C
t
a
=
=
=
=
intérêt
capital
taux du placement exprimé en %
nombre d'années
Exemple :
Calculer l'intérêt produit par un capital de 6 000 € placé à 4,5 % pendant 2 ans.
I = C x t x a
I = 6 000 x
4,5
x 2
100
I = 540 €
Exercice 57.
Calculer l'intérêt produit par un capital de 1 000 € placé à 15 % pendant 3 ans.
2 - La durée du placement est exprimée en mois :
I =
I
C
t
m
=
=
=
=
CxtXm
12
intérêt
capital
taux du placement exprimé en %
nombre de mois
Exercice 58.
Calculer l'intérêt produit par un capital de 2 500 € placé à 17,5 % pendant 7 mois.
3 - La durée du placement est exprimée en jours :
I=
I
C
t
n
=
=
=
=
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Cxtxn
360
intérêt
capital
taux du placement exprimé en %
nombre de jours
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Exercice 59.
Calculer l'intérêt produit par un capital de 885 € placé à 16,5 % du 8 août au 15
septembre.
Exercice 60.
Un capital de 1 150 € placé à intérêts simples pendant 8 mois a produit un intérêt de
92 €. Quel était le taux de placement ?
Exercice 61.
Calculer le capital qui produit un intérêt de 80 € lorsqu’il est placé à 12 % pendant 240
jours.
D. LA VALEUR ACQUISE
A = C + I
A = Valeur Acquise
I = intérêt
C = capital
Exercice 62.
Calculer la valeur acquise par un capital de 11 550 € placé à 10,5 % pendant 25 jours.
Exercice 63.
Calculer la valeur acquise par un capital de 550 € placé à 3,5 % pendant 4 mois.
Exercice 64.
La valeur acquise par un capital de 22 825 €, placé au taux de 17,6 % par an, est de
23 204,40 €.
1 - Calculer le montant de l'intérêt produit en un an.
2 - Calculer (en jours) la durée du placement correspondant à la valeur acquise de
23 204,40 €.
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