1. No category

Cours
3a-1
Linéarité
proportionnalité
Discipline
Sommaire
1 Fonctions affines et linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Représentation graphique
1.2 Linéarité et proportionnalité
2 Propriétés de linéarité et tableaux de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Linéarité additive
2.2 Linéarité multiplicative
2.3 Rapports égaux
2.4 Produits en croix
3 Comment déterminer une quatrième proportionnelle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Passage par l’unité
3.2 Règle de trois
3.3 Produit en croix
4 quelques exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Prix payé en fonction du poids
4.2 Mouvement à vitesse constante
4.3 Échelle sur une carte
4.4 Calcul de pourcentage
La notion de proportion est présente chez Euclide dans le Livre V des Éléments
(compilation du savoir géométrique qui resta le noyau de l’enseignement mathématique pendant près de 2000 ans). Cependant, Euclide ne considère que des rapports
de grandeurs de même type. Voilà la définition qu’il donne :
« On dit de quatre grandeurs, a, b, c, d, prises dans cet ordre, que la première est
à la deuxième dans le même rapport que la troisième est à la quatrième, quand
n’importe quel équimultiple de la première et de la troisième grandeur est en même
temps et respectivement soit supérieur, soit égal, soit inférieur à n’importe quel
équimultiple de la deuxième et de la quatrième grandeur. »
Je laisse au lecteur le soin de traduire, en langage mathématique, cette définition ;-)
2
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
Euclide (environ -325 à -265)
CM3a-1
Linéarité et proportionnalité - Discipline
M1-MEEF-PE
1 Fonctions affines et linéaires
1.1 Représentation graphique
Définition 1.
a et b sont deux réels donnés. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b
est appelée fonction affine, elle est représentée par une droite où
• le réel a est le coefficient directeur de cette droite ;
• le réel b est l’ordonnée à l’origine.
Dans le cas où b = 0, la fonction est appelée fonction linéaire, représentée
par un droite passant par l’origine.
Comme pour n’importe quelle fonction, pour tracer une fonction affine, on choisit
des points que l’on place dans un repère (deux suffisent, éventuellement un troisième
pour vérifier !).
Dans le cas d’une fonction linéaire, il suffit d’un point en plus de O.
Exemple 2
Représentation graphique des fonctions :
• C1 : f (x) = x + 1,
C2
1
0 1
• C2 : f (x) = 2,
C4
C1
• C3 : f (x) = −3x,
3
• C4 : f (x) = x − 3.
4
C3
La fonction est croissante si a est positif, constante si a est nul, et décroissante si a
est négatif.
1.2 Linéarité et proportionnalité
Définition 3.
Deux suites de n nombres réels (x1 , x2 , . . . , xn ) et (y1 , y2 , . . . , yn ) sont proportionnelles si tout nombre de l’une est obtenu en multipliant tout
nombre de même rang de l’autre par un nombre constant appelé coefficient de proportionnalité, ou par son inverse.
En terme de fonction, l’une est l’image de l’autre par une fonction linéaire
f définie par y = f (x) = a × x où le nombre non nul a est le coefficient
de proportionnalité.
N@thalie DAVAL
2/6
ESPE de la Réunion
Linéarité et proportionnalité - Discipline
CM3a-1
M1-MEEF-PE
Exemple 4
Soit les suites (0; 1; 2; 3; 4) et (0; 0, 5; 1; 1, 5; 2) :
abscisse
ordonnée
0
0
1
0,5
2
1
3
1,5
4
↓ ×0, 5
2
Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité (ici 0, 5) est le coefficient
directeur de la droite.
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Propriété 5.
On reconnaît une situation de proportionnalité lorsque la représentation
graphique est une droite passant par l’origine du repère.
2 Propriétés de linéarité et tableaux de proportionnalité
2.1 Linéarité additive
Propriété 6.
Si deux suites sont proportionnelles, f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ), c’est à dire
que l’image d’une somme est égale à la somme des images.
Exemple 7
4
12
+
+
=
5
15
9
27
=
18
54
6
18
Dans ce tableau, dans la première ligne on peut dire que 4+5 = 9.
Dans la ligne du dessous, on a également 12 + 15 = 27.
2.2 Linéarité multiplicative
Propriété 8.
Si deux suites sont proportionnelles, f (k × x) = k × f (x).
En particulier, l’image du double, triple. . . d’un nombre est le double, le triple. . . de
l’image de ce nombre.
Exemple 9
4
12
5
15
9
27
×2 ÷3
18 6
54 18
×2 ÷3
N@thalie DAVAL
Dans ce tableau, dans la première ligne on a 9×2 = 18 et 18÷3 = 6
et dans la ligne du dessous 27 × 2 = 54 et 54 ÷ 3 = 18.
3/6
ESPE de la Réunion
Linéarité et proportionnalité - Discipline
CM3a-1
M1-MEEF-PE
2.3 Rapports égaux
Propriété 10.
Les rapports obtenus en faisant le quotient d’un nombre de la deuxième
suite par le nombre correspondant de la première suite sont tous égaux au
coefficient de proportionnalité.
Exemple 11
÷3 ↑
4
12
5
15
9
27
18
54
6
↓ ×3
18
On a :
18
54
27
15
12
=
=
=
=
= 3.
6
18
9
5
4
Remarque 12
Le coefficient de proportionnalité peut ne pas être entier. Dans le tableau ci-dessous,
7
le coefficient de proportionnalité est le nombre fractionnaire .
3
3
7
7
18
↓× .
42
3
6
14
2.4 Produits en croix
Propriété 13.
Dans un tableau de proportionnalité, les produits « en diagonale » (ou produits en croix) sont deux à deux égaux. Ceci permet de déterminer une
quatrième proportionnelle.
Exemple 14
Dans le tableau de proportionnalité
4
8
7
, on a l’égalité 4 × 14 = 8 × 7.
14
3 Comment déterminer une quatrième proportionnelle ?
on considère que les
stylos ont tous la
même valeur
On considère le problème suivant, bien connu (cf. vidéo de Xavier Darcos) :
Si 4 stylos coûtent 2,42 e, combien coûtent 14 stylos ?
Voici quelques techniques de résolution :
3.1 Passage par l’unité
Cette technique consiste à chercher la valeur d’une unité, ici le prix d’un stylo, puis
de multiplier par le nombre de stylos recherchés.
on peut passer par
les prix de 2 stylos
puis multiplier par 7
N@thalie DAVAL
4 stylos coûtent 2,42 e donc, 1 stylo coûte 2,42 e ÷ 4 = 0,605 e.
14 stylos coûtent 14 × 0, 605 e = 8, 47 e.
4/6
ESPE de la Réunion
CM3a-1
Linéarité et proportionnalité - Discipline
M1-MEEF-PE
3.2 Règle de trois
Il s’agit, en fait, de la même technique que précédemment, à ceci près que dans la
règle de trois, le calcul est fait en une seule fois, donc plus rapidement, mais il est
apparenté à une « recette de cuisine » où le sens est parfois oublié.
4 stylos coûtent 2,42 e donc, 14 stylos coûtent 14 × 2, 42 e ÷ 4 = 8,47 e.
3.3 Produit en croix
Cette technique, non utilisée à l’école primaire, consiste à résoudre une équation.
Pour cela, on peut utiliser un tableau.
On a le tableau de proportionnalité :
Nombre de stylos
Prix des stylos en e
4
2,42
14
x
d’où l’égalité : 4 × x = 2, 42 × 14.
On calcule la donnée manquante : x = 2, 42 × 14 ÷ 4 = 8, 47.
4 quelques exemples
4.1 Prix payé en fonction du poids
Au marché, le prix des letchis est de 1,2 e le kilogramme. On reporte dans un
tableau le prix payé en fonction de la quantité de letchis achetée. Le coefficient de
proportionnalité est 1,2.
Poids des letchis en kg
Prix en e
1
1,2
5
6
3
2 0,5 1,5 10
↓ ×1, 2
3,6 2,4 0,6 1,8 12
4.2 Mouvement à vitesse constante
Propriété 15.
l’unité de vitesse
dépend des unités de
distance et de temps
La vitesse moyenne v d’un objet qui parcourt une distance d en un temps t
d
est donnée par v = .
t
Exemple 16
400 (km)
Une voiture parcourt 400 km en 5 heures, sa vitesse moyenne est de
= 80 km/h.
5 (h)
Connaissant la vitesse moyenne d’un objet, on peut calculer la distance parcourue
en un temps donné par la formule d = v × t ou le temps mis pour parcourir une
d
distance donnée par la formule t = .
v
Lorsqu’un véhicule se déplace toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité
entre la distance parcourue et le temps.
N@thalie DAVAL
5/6
ESPE de la Réunion
CM3a-1
Linéarité et proportionnalité - Discipline
M1-MEEF-PE
Exemple 17
Temps écoulé (s)
Distance parcourue (m)
5
15
8
24
15
45
100
↓ ×3
300
Ce tableau est un tableau de proportionnalité de
coefficient 3 : la vitesse est de 3 mètres par seconde.
4.3 Échelle sur une carte
Définition 18.
L’échelle d’une carte est le coefficient de proportionnalité entre une mesure
réelle et sa mesure sur la carte, ces deux mesures étant exprimées dans la
même unité.
Exemple 19
Une carte au 1/200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm sur le terrain,
soit 2 km. Combien 5 km sur le terrain font-ils sur la carte ?
↑ ÷2
Distance sur la carte (cm)
Distance sur le terrain (km)
1
2
x
↓ ×2
5
x = 1 × 5 ÷ 2 = 2, 5 donc, 5 km sur le terrain sont représentés par 2,5 cm sur la carte.
4.4 Calcul de pourcentage
Définition 20.
Le pourcentage d’un effectif est le nombre qui aurait été proportionnellement
obtenu si l’effectif avait été de 100.
Propriété 21.
Pour calculer le pourcentage d’une quantité x par rapport à une quantité
x
y, on calcule : × 100.
y
x
.
Pour calculer x % d’un nombre, on multiplie ce nombre par
100
Exemple 22
Dans un collège, il y a 125 filles et 180 garçons. 40 % des filles et 60 % des garçons mangent
à la cantine.
Quel est le pourcentage d’élèves qui mangent à la cantine parmi tous les élèves du collège ?
• Calcul du nombre de filles qui mangent à la cantine : 40 % de 125.
40
× 125 = 50. Donc, 50 filles mangent à la cantine.
100
• Calcul du nombre de garçons qui mangent à la cantine : 60% de 180.
60
× 180 = 108. Donc, 108 garçons mangent à la cantine.
100
• Calcul du pourcentage d’élèves du collège qui mangent à la cantine : 158 élèves sur 305.
158
× 100 ≈ 51, 8.
305
Le pourcentage d’élèves du collège qui mangent à la cantine est d’environ 51,8 %.
N@thalie DAVAL
6/6
ESPE de la Réunion