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MATHÉMATIQUES :
PROBABILITÉS
Séquence
Niveau : IV
Conditions de travail :
Face à face ou autoformation
Pré requis : Niveau V
Support : Livret papier
Sommaire
I.
Notion de probabilités ....................................................................................... 3
A.
Vocabulaire ................................................................................................... 3
1.
2.
3.
4.
II.
A.
Expérience aléatoire ............................................................................................ 3
Éventualités, Univers ........................................................................................... 4
Évènements......................................................................................................... 4
Évènements équiprobables ................................................................................. 6
Dénombrement ................................................................................................. 6
Les représentations graphiques des éventualités ......................................... 6
1.
2.
3.
Le diagramme de Venn........................................................................................ 6
Le tableau à double entrée .................................................................................. 8
L’arbre ................................................................................................................11
III.
Probabilités ..................................................................................................... 13
A.
Calculer la probabilité d’un évènement en situation équiprobable ............... 13
B.
Quelques propriétés des probabilités .......................................................... 14
C.
Expériences aléatoires à deux épreuves ..................................................... 18
1.
2.
D.
Probabilités conditionnelles ......................................................................... 21
1.
2.
3.
IV.
Arbre pondéré par les probabilités ......................................................................19
Propriété .............................................................................................................20
Définition ............................................................................................................22
Définition mathématique .....................................................................................22
Formule de Bayes...............................................................................................22
Exercices d’application ................................................................................... 24
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14 PROBABILITÉS
RECOMMANDATIONS
Il est conseillé de :
•
faire les exercices sur des feuilles de classeur
•
rédiger les solutions des exercices
•
justifier tous les calculs
•
noter les unités
•
encadrer les résultats par un cadre rouge
•
corriger immédiatement chaque exercice et demander de l’aide si on
n’identifie pas l’origine de l’erreur
•
classer soigneusement ses feuilles dans un classeur en fin de séance.
Il est impératif de soigner la présentation et de noter :
•
la référence du dossier,
•
le numéro de la page,
•
le numéro de l’exercice, ceci afin de faciliter la correction.
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I.
Notion de probabilités
La notion de « probabilités» se rapproche de celle de « chance », elle évoque
l’incertitude…
La probabilité exprime le nombre attendu de réalisations d’un « évènement » à
l’issue d’une épreuve.
Exemples :
Une urne contient 70 boules rouges et 30 boules noires. On tire au hasard une
boule de l’urne. Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ?
Quelle est la probabilité d‘interroger une fille dans cette classe ?
Quelle est la probabilité de tirer une carte de cœur dans un jeu de 32 cartes ?
Les probabilités sont un outil que l'on retrouve dans :
•
les jeux de hasard, le poker
•
la météo
•
l'évaluation des risques dans des
installations industrielles
•
la médecine
•
etc.
A. Vocabulaire
1. Expérience aléatoire
On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible
de façon certaine (notion de hasard).
Exemples :
Le lancer d'un ou de plusieurs dés, le tirage de cartes ou de numéros sont des
expériences aléatoires : on connait les résultats possibles mais on ne sait pas
lequel va se produire avant d’avoir réalisé l'expérience.
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2. Éventualités, Univers
Les résultats possibles d'une expérience aléatoire sont appelés éventualités ou
issues.
L'ensemble de toutes les éventualités est appelé univers, on le note Ω.
Exemple : On lance un dé cubique.
Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
L'univers des possibles est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
3. Évènements
Une partie de l'univers est appelée évènement. On définit un évènement par une
phrase.
Un évènement élémentaire est un évènement ne comportant qu’une seule issue
(constitué d'une seule éventualité).
L’union de deux évènements A et B, notée A ∪ B est le « regroupement » de ces
deux évènements. On dit qu’on a A ou B.
L’intersection de deux évènements A et B, notée A ∩ B contient les éléments qui
sont à la fois dans A et dans B. On dit qu’on a A et B.
L’évènement contraire de l’évènement A, nommé « non A » qu’on note 𝑨, est celui
qui se réalise lorsque A n’a pas lieu. Deux évènements sont contraires lorsque leur
union est l'univers Ω et leur intersection est vide : noté ∅.
Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps.
Si A et B sont incompatibles, alors A ∩ B = ∅.
Exemples : On lance un dé cubique.
L'évènement A « obtenir un nombre impair » est constitué des nombres 1; 3; 5 ;
A = {1, 3, 5}. L'évènement contraire 𝐴 = {2; 4; 6}.
L'évènement B « obtenir six » est constitué du nombre 6 : c'est un évènement
élémentaire. B = {6}
Les évènements A et B sont incompatibles : A ∩ B = ∅
L'évènement C « obtenir 8 » est égal à l’ensemble vide ∅ : c'est un évènement
impossible. C = ∅
L'évènement D « obtenir un nombre inférieur à 10 » est égal à l'univers des
possibles Ω : c'est l'évènement certain. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Exercice 1.
Dans chacune des situations décrites ci-dessous, énoncer l’évènement contraire de
l’évènement donné.
1) Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard.
A : « Les deux élèves sont des filles ».
2) Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne.
B : « La personne est un homme belge ».
3) Au restaurant, C : « Je prends un plat et un dessert ».
4) A une loterie, j’achète 3 billets. D : « L’un des billets au moins est gagnant ».
Exercice 2.
Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. On tire une boule de l’urne.
On note :
A : « Tirer une boule blanche ».
B : « Tirer une boule ni blanche ni rouge ».
C : « Tirer une boule noire ou une boule rouge ».
1) A et B sont-ils incompatibles ?
2) B et C sont-ils incompatibles ?
3) Traduire 𝐴 par une phrase ne comportant pas de négation.
4) Traduire 𝐵 par une phrase ne comportant pas de négation.
Exercice 3.
Lors d’un jet de deux dés cubiques, on s’intéresse aux évènements suivants :
A : « La somme obtenue est supérieure ou égale à 5 ».
B : « La somme obtenue est inférieure ou égale à 5 ».
C : « La somme obtenue est strictement inférieure à 3 ».
1) A et B sont-ils contraires ?
2) 𝐵 et C sont-ils incompatibles ?
3) Traduire 𝐶 par une phrase.
4) A et 𝐶 sont-ils incompatibles ?
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4. Évènements équiprobables
Lorsque chaque évènement élémentaire a la même probabilité de se réaliser, on dit
que les évènements élémentaires sont équiprobables.
Exemples :
Le lancer d'un dé non pipé (= bien équilibré) est associé à six évènements
élémentaires équiprobables : p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6.
On peut aussi estimer qu'il y a une chance sur deux d'avoir une fille quand on
attend un enfant. Dans ce cas, on a défini une probabilité sur l'univers de sorte
que les évènements élémentaires soient équiprobables : p(F)=p(G)=1/2.
II.
Dénombrement
Dénombrer c’est compter, déterminer le nombre d’issues d’une expérience aléatoire.
Nous allons examiner les cas les plus courants à partir d’exemples en s’aidant de
diagrammes, d’arbres ou de tableaux.
A. Les représentations graphiques des éventualités
1. Le diagramme de Venn
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces.
On souhaite étudier l'évènement A = « obtenir un multiple de 3 ou de 5 »
Les éventualités correspondant à cet évènement sont :
•
•
•
e3 : obtenir la face 3
e5 : obtenir la face 5
e6 : obtenir la face 6
La représentation graphique sous forme de diagramme donne :
Ω
𝑨
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Le dé étant équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6
de sortir.
On en conclut finalement que la probabilité de l'évènement A est égale à :
3 1
𝑝(𝐴) = = = 0,5
6 2
Exercice résolu :
Un centre de loisirs accueille 100 enfants. Deux sports sont proposés : le football et
le tennis.
A la question : Aimez-vous le football ?
60 enfants lèvent la main.
A la question : Aimez-vous le tennis ?
45 enfants lèvent la main.
A la question : Aimez-vous le tennis et le football ?
18 enfants lèvent la main.
En faisant un diagramme de Venn représentant ces données, répondre aux
questions suivantes :
• Combien d'enfants aiment le football mais n'aiment pas le tennis ?
• Combien d'enfants aiment le tennis mais n'aiment pas le football ?
• Combien d'enfants n'aiment aucun des deux sports ?
• Combien d'enfants aiment au moins un des deux sports ?
Solution :
On représente par un diagramme de Venn l'ensemble E des 100 enfants.
A l'intérieur de cet ensemble, on dessine les deux sous-ensembles :
F : représentant les enfants qui aiment le football ;
T : représentant les enfants qui aiment le tennis ;
F ∩ T : qui se lit « F et T », représente
l’intersection de F et de T.
F
L’union de F et de T, notée F ∪ T, se lit « F ou T ».
42
13
18
E
27
T
F∩Τ
On peut alors dire que :
• 60 – 18 = 42 enfants aiment le football mais n'aiment pas le tennis,
• 45 – 18 = 27 enfants aiment le tennis mais n'aiment pas le football,
• 100 – (42 + 18 + 27) = 13 enfants n'aiment aucun des deux sports,
• 60 + 45 – 18 = 87 enfants aiment au moins un des deux sports (le tennis ou le
football).
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14 PROBABILITÉS
À retenir :
Intersection ∩
L’évènement A ∩ B est formé des issues
qui réalisent à la fois A et B.
Union ∪
L’évènement A ∪ B est formé des issues
qui réalisent A ou B.
Exercice 4.
Dans un village, 450 personnes parlent le français, 350
parlent l’anglais, 150 parlent les deux langues et 50
personnes parlent une autre langue.
1) Créer le diagramme de Venn qui représente cette
situation.
2) En déduire le nombre de personnes habitant dans ce village.
2. Le tableau à double entrée
Pour visualiser toutes les éventualités d'une expérience comportant deux
paramètres, on peut utiliser un tableau à double entrée.
On lance simultanément deux dés équilibrés, et on étudie le
couple de numéros obtenu :
2nd dé
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
er
1 dé
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Exercice résolu :
Un sondage auprès de 150 personnes a donné les résultats suivants :
À la question « Consommez vous régulièrement de l'alcool ? », 50 personnes
répondent oui.
À la question « Êtes-vous fumeur ? », 80 personnes répondent oui.
À la question « Êtes-vous un fumeur consommant régulièrement de l'alcool ? », 35
personnes répondent oui.
En faisant un tableau représentant ces données, répondre aux questions suivantes :
• Combien de personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement
de l'alcool ?
• Combien de personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas
fumeurs ?
• Combien de personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas
régulièrement de l'alcool ?
• Combien de personnes sont fumeurs ou consomment régulièrement de
l'alcool ?
(Remarque : Cet exercice pourrait aussi être traité en utilisant un diagramme.)
Solution :
On peut créer le tableau suivant dans lequel on place les données du texte :
Fumeurs
Consommateurs
Non
d'alcool
consommateurs
35
Total
80
Non fumeurs
Total
50
150
On peut ensuite compléter ce tableau en effectuant les opérations suivantes :
Fumeurs
Consommateurs
Non
d'alcool
consommateurs
35
80 – 35 = 45
Non fumeurs
50 – 35 = 15
Total
50
Total
80
150 – 80 = 70
150 – 50 = 100
150
On peut alors terminer le tableau en remplissant la dernière cellule.
Deux calculs sont possibles :
70 – 15 ou 100 – 45 et ils donnent le même résultat : 55
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14 PROBABILITÉS
On obtient alors :
Consommateurs
Non
d'alcool
consommateurs
35
45
Fumeurs
Total
80
Non fumeurs
15
55
70
Total
50
100
150
On peut alors, par lecture directe du tableau, dire que :
• 45 personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement de l'alcool,
• 15 personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas fumeurs,
• 55 personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas régulièrement de
l'alcool.
Et par addition des nombres contenus dans les cellules grisées, on obtient que :
• 95 personnes sont fumeurs ou consomment régulièrement de l'alcool.
Voici ci-dessous le diagramme correspondant à la représentation de ces données :
55
A
F
15
35
45
Exercice 5.
Une urne contient 4 boules de couleurs différentes (blanche, noire, verte et rouge).
On tire au hasard une première boule, on la remet dans l’urne, puis on en tire une
seconde. On note leurs couleurs. Déterminer à l’aide d’un tableau toutes les issues
de cette expérience et celles qui réalisent l’évènement A : « les 2 boules tirées sont
de même couleur ».
Exercice 6.
Dans un cours de danse il y a 5 femmes et 3 hommes.
Déterminer à l’aide d’un tableau combien de couples différents
on peut former.
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3. L’arbre
Une branche relie deux évènements.
Un chemin est une suite de branches.
Un nœud est le point de départ d’une ou
plusieurs branches.
Pour visualiser toutes les éventualités d'une expérience comportant plusieurs
apparitions chronologiques, on peut utiliser un arbre.
On lance une pièce équilibrée trois fois de suite, et on note les apparitions des P=pile
ou F=face :
On peut lister l'univers des possibles Ω = {PPP;PPF;PFP;PFF;FPP;FPF;FFP;FFF}.
Le nombre d’issues possibles, noté Card (Ω) = 8.
Remarque : Si l’univers est constitué des résultats d’une expérience comportant
deux ou trois étapes (voire plus), on peut déterminer toutes les issues
de l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre.
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Exercice résolu :
Un restaurant propose à ses clients un menu qui se compose :
• d'une entrée à choisir parmi trois entrées possibles notées : E1, E2, E3
• d'un plat principal à choisir parmi quatre plats possibles : P1, P2, P3, P4
• d'un dessert à choisir parmi trois desserts possibles : D1, D2, D3
a) Dénombrer le nombre de menu différents que peut composer un client. On
peut utiliser « un arbre ».
b) Quelle est la probabilité qu’un client commande le plat P2 ?
Solution :
a) Chaque client a le choix entre 3 entrées possibles.
Une fois l'entrée choisie, il peut choisir le plat principal de 4 façons différentes.
Il reste alors à choisir un dessert parmi trois desserts possibles.
On obtient l’arbre suivant :
Chacune des branches de l’arbre est nommée un « chemin ». Chaque
chemin correspond à un des menus possibles.
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On peut alors compter le nombre de chemins qui est égal à Card (Ω) = 36.
Ce nombre correspond à 3 x 4 x 3.
En effet on dispose de 3 possibilités pour choisir l'entrée.
Pour chaque entrée choisie, il y a 4 possibilités de choisir le plat principal, ce
qui donne donc 3 x 4 = 12 possibilités pour le choix d'une entrée et d'un plat.
Enfin pour chacune de ces 12 possibilités, il y a 3 possibilités pour choisir le
dessert, ce qui donne finalement 12 x 3 = 36 possibilités de menus différents.
b) Il y a 3 x 1 x 3 = 9 possibilités de menus comportant le plat P2 soit une
probabilité de 9/36 = 1/4
Exercice 7.
Une marque automobile produit 4 modèles A, B, C, D ; chaque modèle existe en
version berline ou break ; chaque voiture est proposée en 7 coloris. Combien de
choix s’offrent à un client désirant acheter une voiture de cette marque ?
Exercice 8.
Tony, Jo et Michel ont décidé simultanément, sans le savoir, d’aller au cinéma. Deux
films sont à l’affiche, un film comique, un film d’action. On note CT, la possibilité que
Tony choisisse le film comique, AJ la possibilité que Jo choisisse le film d’action.
1)
Représenter, à l’aide d’un arbre, toutes les issues possibles.
2)
Déterminer les issues de l’évènement A : « les 3 garçons se sont retrouvés à
la projection du même film ».
III.
Probabilités
A. Calculer la probabilité d’un évènement en
situation équiprobable
Pour calculer la probabilité d’un évènement A lorsque toutes les issues de
l’expérience sont équiprobables :
•
On détermine toutes les issues de l’expérience ;
•
On calcule le nombre d’issues possibles : Card(Ω)
•
On calcule les issues qui réalisent l’évènement A : Card(A)
•
On effectue le quotient :
𝒑(𝑨) =
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𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′ 𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔 𝒓é𝒂𝒍𝒊𝒔𝒂𝒏𝒕 𝑨
𝐂𝐚𝐫𝐝(𝑨)
=
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′ 𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
𝐂𝐚𝐫𝐝(Ω)
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14 PROBABILITÉS
Exemple :
Dans un casino, un joueur décide de jouer à la roulette. Celle-ci comporte 37
cases numérotées de 0 à 36. Le joueur veut
connaître la probabilité de l’évènement A « la boule
s’arrête sur un nombre multiple de 7 ». Calculer
cette probabilité.
Cette expérience aléatoire a 37 issues possibles.
Les multiples de 7 sont : 0, 7, 14, 21, 28, 35. Il ya 6
issues réalisant l’évènement A.
Donc : 𝑝(𝐴) =
6
37
= 0,162
Les résultats de calculs de probabilités sont donnés soit sous forme
décimale, arrondis si nécessaire, soit sous forme de fraction (ou, plus
rarement, sous forme de pourcentage).
B. Quelques propriétés des probabilités
Propriété 1 : La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre 0 et 1.
𝟎≤𝒑≤𝟏
Propriété 2 : 0 est la probabilité de l'évènement impossible
et 1 est la probabilité de l'évènement certain.
Plus la probabilité d'un évènement est proche de 1, plus l'évènement a des
« chances » de se réaliser.
Propriété 3 : La probabilité d'un évènement est égale à la probabilité des
évènements élémentaires qui le composent.
Propriété 4 : La somme des probabilités de l'évènement A et de son contraire 𝑨
est égale à 1.
é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕 à
𝒑(𝑨) + 𝒑�𝑨� = 𝟏 ��������� 𝒑�𝑨� = 𝟏 − 𝒑(𝑨)
Propriété 5 : La somme des probabilités associées à chaque issue d’une
expérience aléatoire est égale à 1.
𝒑(Ω) = 𝟏
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Propriété 6 : si deux évènements A et B sont incompatibles :
p(A ou B) = p(A ∪ B) = p(A) + p(B) et p(A et B) = p(A ∩ B) = 0
si deux évènements A et B ne sont pas incompatibles :
p(A ou B) = p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Exemple : On lance un dé cubique.
L'évènement A « obtenir un multiple de 3 » est constitué des nombres 3 et 6 ;
2
A = {3, 6}. 𝑝(𝐴) = 6 = 0,33
L'évènement contraire 𝐴 = {1, 2; 4; 5}. 𝑝�𝐴� = 1 − 𝑝(𝐴) = 0,67
L'évènement B « obtenir un nombre impair » est constitué des nombres 1; 3; 5 ;
3
B = {1, 3, 5}. 𝑝(𝐵) = 6 = 0,5
L'évènement contraire 𝐵 = {2; 4; 6}. 𝑝�𝐵� = 1 − 𝑝(𝐵) = 0,5
= {1, 5}
= {3}
= {6}
= {2, 4}
1
= 0,17
6
1
𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 6} ∩ {2, 4, 6} = {6}
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = = 0,17
6
2
𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5} = {1, 5}
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = = 0,33
6
𝟐
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟓} ∩ {𝟐, 𝟒, 𝟔} = {𝟐, 𝟒}
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = = 𝟎, 𝟑𝟑
𝟔
4
𝐴 ∪ 𝐵 = {3, 6} ∪ {1, 3, 5} = {1, 3, 5, 6}
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = = 0,67
6
2 3 1 4
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵)– 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = + − = = 0,67
6 6 6 6
𝟐
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟐, 𝟒}
𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = = 𝟎, 𝟑𝟑
𝟔
𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 6} ∩ {1, 3, 5} = {3}
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
Égalité remarquable : 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩
Propriété 7 : p(𝐀 ∩ 𝐁) = p(𝐀 ∪
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𝐁)
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14 PROBABILITÉS
Astuce : La probabilité d'un évènement peut être calculée de deux manières
différentes. Soit en utilisant le dénombrement, soit en utilisant une des
formules du cours.
Exercice 9.
On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes : As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7
dans les quatre couleurs, soit cœur, carreau, trèfle et pique. Calculer la probabilité
des évènements suivants :
a) A : « La carte tirée est une dame », alors p(A) =
b) B : « La carte tirée est un cœur », alors p(B) =
c) C : « La carte tirée est la dame de cœur », alors p(C) =
d) D : « La carte tirée est un cœur ou une dame », alors p(D) =
e) E : « La carte tirée n'est ni une dame, ni un cœur », alors p(E) =
Exercice 10.
On tire une carte au hasard d'un jeu de 52 cartes : Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5,
4, 3, 2 et As dans les quatre couleurs, soit cœur, carreau, trèfle et pique.
a) Calculer la probabilité de A : « tirer la dame de pique ».
b) Calculer la probabilité de B : « tirer un roi ».
c) Calculer la probabilité de C : « tirer une carte qui ne serait pas un pique ».
d) Calculer la probabilité de D : « tirer un joker ».
Exercice 11.
On lance deux dés.
1) Avec quelle probabilité la somme des points obtenus est-elle égale à 12 ? à 11 ?
à 10 ? à 9 ? à 8 ? à 7 ?
2) Calculer la probabilité de l’évènement A : « la somme des points obtenus est
supérieure ou égale à 7 ».
3) Calculer la probabilité de l’évènement B : « la somme des points obtenus est
inférieure à 7 ».
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14 PROBABILITÉS
Exercice 12.
On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note :
A l'évènement : « La carte choisie est un pique ».
B l'évènement : « La carte choisie est rouge (cœur ou carreau) ».
C l'évènement : « La carte choisie est une figure (valet, dame, roi) ».
1) Déterminer les probabilités des évènements A, B, C, A∩B, B∩C, A∪B, A∪C.
2) Déterminer la probabilité de l'évènement D « La carte choisie n'est ni un pique ni
une figure ».
Exercice 13.
On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite.
1) Donner la liste de tous les résultats possibles en notant
P pour Pile et F pour Face (exemple : PPF).
2) Donner la probabilité des évènements suivants :
A « le tirage ne comporte que des Piles ».
B « le tirage comporte au moins une fois Face ».
Exercice 14.
Dans une assemblée de 250 personnes, on ne remarque que les hommes portant la
cravate ou ayant les yeux bleus. Il y a 120 hommes qui portent la cravate, 85
hommes qui ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate.
On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemblée.
1) Quelle est la probabilité que ce soit un homme portant la cravate ?
2) Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la
cravate ?
3) Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la
cravate ?
4) Quelle est la probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux
yeux bleus, ni un homme portant la cravate ?
Exercice 15.
Lors d’un référendum, deux questions étaient posées.
65 % des personnes ont répondu « oui » à la première question, 51 % ont répondu
« oui » à la seconde question, et 46 % ont répondu « oui » aux deux questions.
1) Quelle est la probabilité qu’une personne ait répondu « oui » à l’une ou l’autre des
questions ?
2) Quelle est la probabilité qu’une personne ait répondu « non » aux deux
questions ?
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Exercice 16.
On lance un dé à 6 faces. On note pi la probabilité de sortie de la face marquée i . Ce
dé est truqué de telle sorte que les probabilités de sortie des faces sont : p1 = 0,1 ;
p2 = 0,2 ; p3 = 0,3 ; p4 = 0,1 ; p5 = 0,15.
1) Quelle est la probabilité de sortie de la face marquée 6 ?
2) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
Exercice 17.
On lance un dé à 6 faces. On suppose que la probabilité
d’apparition de chaque face est proportionnelle au numéro
inscrit sur elle.
1) Calculer la probabilité d’apparition de chaque face.
2) Calculer la probabilité de l’évènement A : « obtenir un nombre pair ».
C.Expériences aléatoires à deux épreuves
Exemple :
On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait
tourner la roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le numéro du secteur qui
s'arrête face au repère.
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Arbre des possibles :
Pièce
Roue
6 issues sont possibles : (P ; 1) (P ; 2) (P ; 3) (F ; 1) (F ; 2) (F ; 3)
L'univers des possibles est Ω = {(P ; 1), (P ; 2), (P ; 3), (F ; 1), (F ; 2), (F ; 3)}
1. Arbre pondéré par les probabilités
Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante.
Pour compléter les branches de cet arbre, on respecte la règle suivante : la somme
des probabilités figurant sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Pièce
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Roue
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On admet que la probabilité d'obtenir l'issue (P ; 1) est égale au produit des
1 1
probabilités et rencontrées successivement sur les branches menant à cette
2 6
1
1
1
issue. Soit une probabilité de × =
2
6
12
2. Propriété
Propriété : Dans un arbre pondéré, la probabilité de l’issue à laquelle conduit un
chemin est égal au produit des probabilités rencontrées le long de ce
chemin.
Exercice 18.
Dans un lycée, quel que soit le niveau,
un élève peut être externe ou demi-pensionnaire.
L’arbre ci-contre indique la répartition selon le
niveau et la qualité de l’élève (E : externe ;
DP : demi-pensionnaire).
1) Recopier et compléter cet arbre.
2) Déterminer le pourcentage d’élèves
externes dans ce lycée.
3) Déterminer la part des Terminales parmi
les externes.
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D.Probabilités conditionnelles
La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision
d'une information complémentaire. Par exemple, si je tire au hasard une carte d'un
jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la probabilité d'obtenir un cœur ;
mais si j'aperçois un reflet rouge sur la table, je corrige mon estimation à une chance
sur deux. Cette seconde estimation correspond à la probabilité d'obtenir un cœur
sachant que la carte est rouge. Elle est conditionnée par la couleur de la carte ;
donc, conditionnelle.
Exemple :
On jette deux dés distincts. On a Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (5, 6), (6, 6)}.
On a donc 36 évènements élémentaires qui ont chacun
la même probabilité d’apparaître, soit 1/36.
On veut connaitre la probabilité de l’évènement B :
« la somme des dés vaut 8 ».
On remarque que
B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}, d’où p(B) = 5/36.
Maintenant on cherche toujours la même probabilité, mais on sait déjà que le
premier dé donne un 3. On note A l’évènement : « le premier dé vaut 3 ».
Quelle est la probabilité que la somme soit 8 sachant que le premier dé vaut 3 ?
La probabilité recherchée est appelée probabilité conditionnelle de B
sachant A et est notée 𝒑𝑨 (𝑩).
Sachant que le premier dé vaut 3, on ne considère plus que le deuxième dé (c’est
comme-ci on ne lançait plus qu’un dé).
Il y a alors 6 résultats dans cette expérience : {1, 2, 3, 4, 5, 6} et chacune a la
même probabilité d’apparaître, soit 1/6.
Par conséquent la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 8 sachant
que le premier dé vaut 3 est 𝑝𝐴 (𝐵) = 1/6 (il n’y a qu’une possibilité : le deuxième
dé doit valoir 5).
On remarque que l’évènement A ∩ B est l’évènement : « le premier dé donne 3 et
la somme des chiffres vaut 8 lorsqu’on lance deux dés ».
On a alors A ∩ B = {(3, 5)}
dans l’ensemble Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (5, 6), (6, 6)} de cardinal 36.
D’autre part, on a A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}.
D’où p(A ∩ B) = 1/36 et p(A) = 6/36 = 1/6.
On remarque que :
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑨) × 𝒑𝑨 (𝑩)
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1. Définition
Soient A et B deux évènements. On note pA (B), ce qui se lit « probabilité de B
sachant A », la probabilité que l'évènement B se réalise sachant que l'évènement A
est réalisé.
2. Définition mathématique
Soient A et B deux évènements (avec p(A) ≠ 0).
La probabilité conditionnelle pA (B), notée aussi p(B|A), de B sachant A est définie
par :
𝑝𝐴 (𝐵) =
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝(𝐴)
3. Formule de Bayes
Considérons les deux évènements A et B représentés dans l’arbre suivant :
𝑝(𝐴)
𝑝(𝐴)
𝐴
𝐴
𝑝𝐴 (𝐵)
𝐵
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴 (𝐵)
𝑝𝐴 �𝐵�
𝐵
𝑝�𝐴 ∩ 𝐵� = 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴 (𝐵)
𝑝𝐴 (𝐵)
𝐵
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴 (𝐵)
𝑝𝐴 (𝐵)
𝐵
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴 (𝐵)
L’évènement B se réalise quand (A ∩ B) se réalise ou quand (𝐴 ∩ B) se réalise.
B = (A ∩ B) ∪ (𝐴 ∩ B)
D’où la formule :
𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴 (𝐵) + 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴 (𝐵)
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Exercice 19.
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés
aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage
horaire. Leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la
photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un
de ces stages.
Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
• la magie a été choisie par la moitié des enfants
et 20% des adultes ;
• 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Magie
Théâtre
Photo
numérique
Total
Adultes
Enfants
Total
On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser
les notations suivantes :
• A l'évènement « la personne appelée est un adulte ».
• E l'évènement « la personne appelée est un enfant ».
• M l'évènement « la personne appelée a choisi la magie ».
• T l'évènement « la personne appelée a choisi le théâtre ».
• N l'évènement « la personne appelée a choisi la photo numérique ».
2. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
3. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que
c'est un adulte ?
4. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le
théâtre ?
5. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
6. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a
deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre
réponse.
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IV. Exercices d’application
Exercice 20.
Dans un troupeau, un berger possède des brebis de deux races A et B. La race A est
représentée dans la proportion de 40%. Une étude sur la fécondité des races A et B
a donné les résultats suivants :
• 2,5% des brebis A sont stériles.
• 5% des brebis B sont stériles.
1. Décrire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités,
en précisant les probabilités sur chacune des branches.
2. On choisit une brebis au hasard. Calculer la probabilité pour qu’elle soit stérile.
Exercice 21.
On lance une pièce de monnaie et un dé bien équilibrés.
Tomber sur PILE rapporte 1 €, tomber sur FACE ne rapporte rien.
Tomber sur 6 rapporte 2 €, tomber sur un nombre pair autre que 6
rapporte 1 €, tomber sur un nombre impair ne rapporte rien.
a) Calculer la probabilité de l’évènement A : « obtenir 3 € ».
b) On sait que la pièce est tombée sur PILE ;
calculer la probabilité de l'évènement B :
« obtenir exactement 1 € à la fin du jeu ».
c) Calculer la probabilité de l’évènement C : « tomber sur FACE et obtenir 1 € ».
d) Calculer la probabilité de l'évènement D : « obtenir 1 € ».
e) Calculer la probabilité de l’évènement E : « gagner de l'argent ».
Exercice 22.
Un joueur de tennis a droit à 2 tentatives pour réussir son service.
Il réussit sa première balle de service dans 60 % des cas. Quand il
échoue à sa première balle, il réussit la seconde dans 80 % des cas.
Quelle est la probabilité qu’il réussisse son service ?
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Exercice 23.
Dans un carton, on recense des cubes rouges et bleus et
des boules rouges et bleues.
Soit A l’évènement « Choisir un cube »
et B l’évènement : « Choisir un objet rouge ».
On donne : p(A ∪ B) = 0,8 ; p(A) = 1/3 et p(B) = 1/2.
1) Énoncer A ∩ B et calculer sa probabilité p(A ∩ B).
2) Sachant qu’il y a 180 objets dans le carton,
compléter le tableau ci-dessous :
Rouge
Bleu
Total
Cube
Boule
Total
180
3) Sachant que l’objet choisi est une boule, calculer la probabilité pour qu’elle soit
bleue.
4) Représenter toutes les données à l’aide d’un arbre pondéré.
Exercice 24.
Tony Parker est un basketteur professionnel plutôt adroit aux lancers
francs. Après étude de ses performances, son entraîneur a constaté
que lorsqu’il bénéficie d’une série de deux lancers francs :
• Il réussit le premier lancer dans 95% des cas.
• Quand il rate le premier lancer, il rate aussi le deuxième dans 3
cas sur 10.
• Quand il réussit le premier lancer, il réussit aussi le deuxième
dans 90% des cas.
Au cours d’un match, Tony Parker bénéficie d’une série de deux lancers francs.
On note :
A : « Tony Parker réussit le premier lancer franc ».
B : « Tony Parker réussit le deuxième lancer franc ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis si nécessaire à 10−4 près !
1. Décrire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités, en précisant les probabilités
sur chacune des branches (arbre de Venn pondéré).
2. Calculer la probabilité de voir Tony Parker réussir les deux lancers francs.
3. Calculer la probabilité qu’il réussisse le deuxième lancer franc.
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