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IES HISPANIDAD
Departamento de Matemáticas
VECTORES EN EL ESPACIO
Vector
⃗. Origen A, extremo B.
Módulo de
Dirección de
ella.
⃗ es la distancia de A a B. Se designa por
⃗.
⃗ es la de la recta sobre la que están A y B y la de todas las rectas paralelas a
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: de A a B y de B a A.
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido.
Cuando queramos hacer uso de un vector podemos tomar, en su lugar, cualquiera de los que son
iguales a él. Todos ellos son representantes de un único vector.
1. OPERACIONES CON VECTORES
1.1. Producto de un vector por un número
El producto de un número
≠ 0 por un vector ⃗ es otro vector ⃡ que tiene:
 Dirección: la misma que ⃗.
 Sentido: el mismo que el de ⃗ o su opuesto, según que k sea positivo o negativo.
 Módulo: igual al producto del módulo de ⃗ por el valor absoluto de k; esto es,
| ⃗| = | | ∙ | ⃗|
1.2. Vectores unitarios
Los vectores de módulo 1 se llaman unitarios. El vector
| ⃗|
⃗ es un vector unitario con la
misma dirección y el mismo sentido que ⃗. De igual modo, el vector
| ⃗|
⃗ es un vector unitario
con la misma dirección que ⃗, pero con sentido opuesto.
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1.3. Suma y resta de vectores
 Para sumar dos vectores, ⃗ y ⃗, se sitúa ⃗ a continuación de ⃗
de manera que coincida con el origen de ⃗ coincida con el extremo de
⃗.
 Para restar dos vectores, ⃗ − ⃗, se le suma a ⃗ el opuesto de ⃗:
⃗ − ⃗ = ⃗ + (− )⃗
 Si colocamos ⃗ y ⃗ con origen común y completamos un
paralelogramo, entonces:
o La diagonal cuyo origen es el de ⃗ y ⃗ es el vector suma
⃗ + ⃗.
o La diagonal que va del extremo de ⃗ al de ⃗ es ⃗ − ⃗.
1.4. Propiedades de las operaciones con vectores
Suma de vectores
( ⃗ + ⃗ ) + ⃗ = ⃗ + ( ⃗ + ⃗)
⃗+ ⃗= ⃗+ ⃗
⃗ + 0⃗ = ⃗
VECTOR OPUESTO
⃗ + (− )⃗ = 0⃗
ASOCIATIVA
CONMUTATIVA
VECTOR NULO
Producto de números por un vector
· ( · ⃗) = ( · ) · ⃗
( + )· ⃗ = · ⃗ + · ⃗
· ( ⃗ + ⃗) = · ⃗ + · ⃗
1· ⃗ = ⃗
ASOCIATIVA
DISTRIBUTIVA I
DISTRIBUTIVA II
PRODUCTO POR 1
Todas estas propiedades le confieren al conjunto de los vectores la estructura de espacio
vectorial.
2. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
2.1. Combinación lineal de vectores
Dados varios vectores, ⃗, ⃗, ⃗, … , ⃗ y varios números a, b, c, …, m la expresión
⃗ + ⃗ + ⃗ + ⋯ + ⃗ se llama combinación lineal de los vectores.
Por ejemplo: 4 ⃗ + 2 ⃗, 5 ⃗ − 3 ⃗ son combinaciones lineales de los vectores ⃗ e ⃗.
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2.2. Dependencia e independencia lineal
Varios vectores se llaman linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como
combinación lineal de los demás. Cuando no es así, se llaman linealmente independientes.
Por ejemplo:
 Dos vectores alineados son linealmente dependientes.
 Dos vectores no alineados son linealmente
independientes.
 Tres vectores coplanarios (que están en el mismo plano)
son linealmente dependientes, pero tres vectores no coplanarios
son independientes.
Recordemos la definición de rango de una matriz es el número de filas o de columnas que son
linealmente independientes.
Ejm: Dados los vectores ⃗ (1, −3,2); ⃗ (2,0,1); ⃗(5, −3,4); ⃗(−2,6, −4)
a) ¿Cuántos de ellos son linealmente independientes?
b) Expresa, si se puede, ⃗ como combinación lineal de ⃗ y ⃗.
c) Expresa, si se puede, ⃗ como combinación lineal de ⃗ y ⃗.
d) Calcula m para que el vector ⃗(−1, , 7) sea combinación lineal de ⃗ y ⃗.
a) Calculamos el rango de la matriz formada por los cuatro vectores; esto es,
 1 3 2 


0
1 
 2
 5 3 4 


  2 6  4


1 −3 2
1 −3
1 −3
= 6 ≠ 0; 2 0 1 = 0; 2
0
2 0
5 −3 4
−2 6
2
1 =0
−4
De estos resultados se deduce que:


⃗ y ⃗, son linealmente independientes pues el menor de orden 2 indicado tiene
determinante distinto de cero.
⃗ depende linealmente de ⃗ y ⃗, pues la matriz formada por las coordenadas de los tres
vectores tiene determinante cero. Lo mismo le pasa a ⃗.
Por tanto, solo de ellos son linealmente independientes.
b)
⃗ = ⃗ + ⃗ ⇒ (5, −3,4) = (1, −3,2) + (2,0,1) ⇒igualando coordenada a
coordenada tenemos el sistema:
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5= +2
4=2
−3 = −3 ⇒
=1 ⇒
4=2 +
2=
c)
= 1; = 2. Por tanto, ⃗ = ⃗ + 2 ⃗.
⃗ = ⃗ + ⃗ ⇒ (5, −3,4) = (1, −3,2) + (−2,6, −4) ⇒ análogamente al apartado
anterior tenemos el sistema:
.
5= −2
15 = 3 − 6
−3 = −3 + 6 ⇒ −3 = −3 + 6 ⇒
12 = 0
4=2 −4
4= 2 −4
4=2 −4
El sistema es incompatible, por lo que no tiene solución, lo que se traduce en que el
vector ⃗ no se puede expresar como combinación lineal de ⃗ y ⃗.
d) El vector ⃗ es combinación lineal de ⃗ y ⃗ si el determinante que determinan las
coordenadas de esos tres vectores es nulo; esto es,
1 −3 2
0= 2
0 1 = 3 + 4 − + 42 ⇒ 3 + 45 = 0 ⇒ = −15
−1
7
2.3. Base
Tres vectores no coplanarios ⃗, ⃗, ⃗ son linealmente independientes y, además, cualquier otro
vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos de forma única. Por eso
decimos que forman una base: = { ⃗, ⃗, ⃗}.
Tres vectores no coplanarios cualesquiera forman una base del
espacio vectorial tridimensional.
Si los tres vectores son perpendiculares entre sí, se dice que forman
una base ortogonal. Si además tienen la misma longitud (que se toma
como unidad), se dice que la base es ortonormal.
2.4. Coordenadas de un vector respecto de una base
Dada una base,
= { ⃗, ⃗, ⃗}, cualquier vector, ⃗, se puede expresar de forma única como
combinación lineal de sus elementos.
⃗=
⃗+ ⃗+ ⃗
A los números a, b, c se los llama coordenadas del vector ⃗ respecto de la base
así: ⃗ = ( , , ) ó ⃗( , , ).
Las coordenadas de los elementos de la base
. Se expresa
= { ⃗, ⃗, ⃗} son:
⃗ (1,0,0); ⃗ (0,1,0); ⃗(0,0,1)
Las coordenadas del vector nulo son 0⃗(0,0,0) en cualquier base.
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2.5. Operaciones con coordenadas
Sean los vectores ⃗( ,
,
SUMA: ⃗ + ⃗ = (
,
+
) y ⃗( ,
+
,
PRODUCTO POR UN NÚMERO:
COMBINACIÓN LINEAL:
)
,
)
+
⃗=(
,
⃗+ ⃗=(
+
)
,
,
+
,
)
+
Como consecuencia de estos resultados será muy cómodo trabajar los vectores a partir de sus
coordenadas.
Ejm: Las coordenadas de ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ respecto de una cierta base son:
⃗ (1, −2,0); ⃗ (0, −1,3); ⃗(1,0, −5); ⃗(−1,1,0)
Hallar a, b y c para que se cumpla ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗.
(1, −2,0) + (0, −1,3) + (1,0, −5) = ( + , −2 − , 3 − 5 )
Si igualamos coordenada a coordenada con el vector ⃗, tenemos un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas:
+ = −1
−2 − = 1 resolvemos por el método de Cramer, puesto que el determinante de la matriz de
3 −5 = 0
coeficientes es distinto de cero; esto es,
1
= −2
0
0
1
−1 0 = 1 · (−1) · (−5) + 0 · 0 · 0 + 1. (−2) · 3 −
3 −5
−[0 · (−1) · 1 + 0 · 3 · 1 + 0 · (−2) · (−5)] = 5 − 6 = −1 ≠ 0
Entonces,
=
=
=
(
)·(
)·(
)
=
· ·
(
)·(
= 2;
)·
=
· ·
=
· ·(
) (
)·(
)·(
)
= −5
= −3;
Ejercicios.1) Si ⃗(−3,5,1); ⃗ (7,4, −2), halla las coordenadas:
a. 2 ⃗
c. 0 ⃗
b. 2 ⃗ + ⃗
d. ⃗ − ⃗
e. − ⃗
f. 5 ⃗ − 3 ⃗
2) Sean los vectores ⃗(1, −5,2); ⃗ (3,4, −1), ⃗(6,3, −5); ⃗(24, −26, −6). Halla a, b y c
para que se cumpla: ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗.
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3. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar de dos vectores ⃗ y ⃗ es:
⃗ · ⃗ = | ⃗| · | ⃗ | ·
⃗, ⃗
| ⃗| y | ⃗ | son números positivos. Por tanto, ⃗ · ⃗ es un número positivo o negativo según el
ángulo que forman ⃗ y ⃗.

Si ⃗, ⃗ si es agudo, el coseno es positivo ⇒ ⃗ · ⃗ es positivo.

Si ⃗, ⃗ si es obtuso, el coseno es negativo ⇒ ⃗ · ⃗ es negativo.
3.1. Propiedad fundamental
El producto escalar de dos vectores no nulos es cero solo y cuando son perpendiculares.
⃗ ≠ 0, ⃗ ≠ 0; ⃗ · ⃗ = 0 ⇔ ⃗ ⊥ ⃗
3.2. Módulo, ángulo y proyección
 Módulo de un vector: | ⃗| = √ ⃗ · ⃗
⃗, ⃗ = |

Ángulo de dos vectores:

Vector proyección de ⃗ sobre ⃗ es |
⃗· ⃗
⃗|
⃗· ⃗
⃗|·| ⃗|
⃗
3.3. Operatoria con el producto escalar
El producto escalar de dos vectores verifica las siguientes propiedades:
CONMUTATIVA: ⃗ · ⃗ = ⃗ · ⃗
ASOCIATIVA: ( ⃗ · ⃗ ) = ( ⃗ ) · ⃗ = ⃗ · ( ⃗ )
DISTRIBUTIVA: ⃗ · ( ⃗ + ⃗) = ⃗ · ⃗ + ⃗ · ⃗
3.4. Expresión analítica del producto escalar

Si
= ⃗, ⃗, ⃗ es una base ortonormal, se cumple que:
⃗·⃗ = 1
⃗· ⃗= 0
⃗· ⃗ = 1
⃗· ⃗ = 0
⃗· ⃗=1
⃗· ⃗ = 0
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
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Si las coordenadas de ⃗ ( , , ) y ⃗ ( ,
= ⃗, ⃗, ⃗ , entonces ⃗ · ⃗ = · + ·
) respecto de una base ortonormal
,
+
·
4. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
Ejm1: Dar un vector perpendicular a ⃗ (3, −1,5).
En principio, planteamos el problema de forma general: localizar un vector ⃗ ( , , ) que
cumpla la igualdad ⃗ · ⃗ = 0 ⇒ ( , , ) · (3, −1,5) = 0 ⇒ 3 − + 5 = 0.
Esta ecuación con tres incógnitas tiene infinitas soluciones; por ejemplo (1, −2, −1);
(2,11,1); etc ( le damos a dos incógnitas cualquiera el valor que queramos, y despejamos la
tercera de la ecuación; esto es, a = 1, b = – 2 entonces 3 · 1 – (– 2) + 5 · c = 0; 5c = – 5;
c = – 1).
Pero hay una forma muy sencilla de obtener rápidamente un vector perpendicular a ⃗:
cambiar dos coordenadas de lugar, y una de ellas, además, de signo. La otra coordenada la
hacemos cero. Por ejemplo si permutamos las dos primeras coordenadas, y cambiamos de
signo una de ellas y hacemos cero la tercera, tenemos (1, 3, 0) que claramente verifica
(3, −1,5) ∙ (1,3,0) = 0
De la misma manera podemos obtener (5,0, −3); (0,5,1) que también son perpendiculares
al vector ⃗.
Ejm2: Respecto de una base ortonormal tenemos ⃗(3, −4, 12); ⃗ (5, −2, −6). Calcular:
a)
⃗· ⃗
d) ⃗, ⃗
b) | ⃗| y | ⃗ |
e) Proyección de ⃗ sobre ⃗
c) ¿Cuánto ha de valer x para que ⃗(7, , −2) sea perpendicular a ⃗?
⃗ · ⃗ = (3, −4,12) ∙ (5, −2, −6) = 3 · 5 + (−4) · (−2) + 12 · (−6) = 15 + 8 − 72 =
= −49
b) | ⃗| = √ ⃗ ∙ ⃗ = (3, −4,12) ∙ (3, −4,12) = √9 + 16 + 144 = √169 = 13
a)
| ⃗ | = √25 + 4 + 36 = √65
c)
⃗ ⊥ ⃗ ⟺ ⃗ ∙ ⃗ = 0 entonces (3, −4,12) ∙ (7, , −2) = 0
⇒3·7−4·
d)
⃗, ⃗ = |
+ 12 · (−2) = 0 ⇒ 21 − 4 − 24 = 0 ⇒ −4 = 24 − 21 ⇒
⃗∙ ⃗
⃗|∙| ⃗|
=
√
= −0,467 ⇒ ⃗, ⃗
=
−3
4
= arccos(−0,467) = 117º52′
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e) Segmento de proyección de ⃗ sobre ⃗ es
⃗∙ ⃗
| ⃗|
=
√
= −6,077
Significa que el vector proyección de ⃗ en la dirección de ⃗ tiene módulo 6,077 y
sentido contrario al de ⃗.
Vector proyección de ⃗ sobre ⃗ es
⃗∙ ⃗
| ⃗|
⃗=
(5, −2, −6) = (−3 77,1 51,4′52)
Ejm3: Obtener un vector perpendicular a ⃗ (3, −1,2) y a ⃗ (1,0,3).
Sea ⃗ = ( , , ) vector perpendicular a los vectores ⃗ y ⃗, entonces se cumple:
⃗ · ⃗ = 0 ⇒ ( , , ) ∙ (3, −1,2) = 0 ⇒ 3 − + 2 = 0
( , , ) ∙ (1,0,3) = 0
+3 = 0
⃗· ⃗ =0
Tenemos un sistema homogéneo dos ecuaciones con tres incógnitas, de rango 2, por tanto, tiene
infinitas soluciones proporcionales.
3 − +2 = 0
−3 − 9 = 0
⇒
− − 7 = 0(
+3 = 0
)
⇒
= −7
= −3
Es decir, el vector buscado es (– 3, – 7, 1) o cualquiera paralelo a él (he tomado c = 1).
Nota.- En el próximo apartado aprenderemos a obtener un vector perpendicular a otros dos
mediante un método más eficaz.
5. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores, ⃗ y ⃗, es un nuevo vector, ⃗ × ⃗, que se define del
siguiente modo:
 Si ⃗ y ⃗ son linealmente independientes, ⃗ × ⃗ es
un vector con las siguientes características:
o
Módulo: | ⃗ × ⃗ | = | ⃗| ∙ | ⃗ | ∙
o
Dirección: perpendicular a ⃗ y a ⃗.
o
Sentido: Si ⃗, ⃗ < 180, hacia arriba
⃗, ⃗
Si ⃗, ⃗ >180, hacia abajo
(Tomamos el ángulo en sentido
positivo, es decir, contrario al
movimiento de las agujas del reloj)
 Si ⃗ y ⃗ son linealmente dependientes, es decir, si alguno de ellos es 0⃗ o si tienen la
misma dirección, entonces ⃗ × ⃗ = 0⃗.
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Propiedades
1. El módulo del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo definido por los vectores ⃗ y ⃗.
2. ⃗ × ⃗ = − ⃗ × ⃗
3. ⃗ × ⃗ = 0⃗ cualquiera que sea ⃗.
4. Los vectores de la base = ⃗, ⃗, ⃗ cumplen que ⃗ × ⃗ =
⃗; ⃗ × ⃗ = ⃗; ⃗ × ⃗ = ⃗.
5. ( ⃗) × ⃗ = ( ⃗ × ⃗ ) = ⃗ × ( ⃗ )
6. El producto vectorial no posee la propiedad asociativa; esto es,
( ⃗ × ⃗) × ⃗ ≠ ⃗ × ( ⃗ × ⃗)
7. Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores:
⃗ × ( ⃗ + ⃗) = ⃗ × ⃗ + ⃗ × ⃗
8. Expresión analítica del producto vectorial, si ⃗ = ( , , ) y ⃗ = ( ,
entonces:
⃗
⃗
⃗
⃗× ⃗=
,
,
o bien, ⃗ × ⃗ =
,
),
6. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
Ejm1: Calcular el producto vectorial de ⃗(3, −5,1) por ⃗ (4,7,6): comprobar que el producto es
perpendicular a cada uno de los factores.
⃗
⃗× ⃗= 3
4
⃗
⃗
−5 1 = −30⃗ + 4⃗ + 21 ⃗ − −20 ⃗ + 7⃗ + 18⃗ = −37⃗ − 14⃗ + 41 ⃗
7 6
= (−37, −14,41)
Comprobemos que son perpendiculares a los dos factores, calculando su producto escalar y
comprobando que vale cero.
(3, −5,1) ∙ (−37, −14,41) = 3 · (−37) − 5 · (−14) + 1 · 41 = −111 + 70 + 41 = 0
(4,7,6) · (−37, −14,41) = 4 · (−37) + 7 · (−14) + 6 · 41 = −148 − 98 + 246 = 0
Por tanto, ⃗ × ⃗ es perpendicular a ⃗ y a ⃗.
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Ejm2: Hallar el área del triángulo rojo:
Hallamos el área del paralelogramo definido por ⃗ y ⃗. El área del triángulo será la mitad del
resultado obtenido.
Área del paralelogramo = | ⃗ × ⃗ | = |(−37, −14,41)| = √37 + 14 + 41 = √3246 =
56,97
Área del triángulo = 56,97 : 2 = 28,49 u2.
Ejm3: Hallar un vector perpendicular a ⃗ (3,7, −6) y ⃗ (4,1, −2).
Un vector perpendicular a ⃗ y a ⃗, aplicando la definición de producto vectorial, es
⃗
⃗ ⃗
⃗ × ⃗ = 3 7 −6 = −14⃗ − 24⃗ + 3 ⃗ − 28 ⃗ − 6⃗ − 6⃗ = −8⃗ − 18⃗ − 25 ⃗
4 1 −2
= (−8, −18, −25)
7. PRODUCTO MIXTO
Se llama producto mixto de los vectores ⃗, ⃗, ⃗, y se designa [ ⃗, ⃗, ⃗],
al número que se obtiene al operarlos del siguiente modo:
[ ⃗, ⃗, ⃗] = ⃗ ∙ ( ⃗ × ⃗ ).
7.1. Interpretación geométrica
⃗ ∙ ( ⃗ × ⃗) = | ⃗| ∙ | ⃗ × ⃗| ∙
=
=
=(
= | ⃗ × ⃗| ∙ (| ⃗| ∙
)
ó
Á
⃗
⃗
∙
⃗
⃗
Á
í
⃗
í
⃗
⃗
í
∙
⃗, ⃗
⃗, ⃗
⃗
⃗)
Conclusión: El producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo definido por
dichos vectores (acaso con signo menos).
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7.2. Expresión analítica
Sean ⃗( ,
,
), ⃗ ( ,
,
) y ⃗( ,
,
)
⃗
[ ⃗, ⃗, ⃗] = ⃗ ∙ ( ⃗ × ⃗) = ( ,
,
⃗
)∙
⃗
=
7.3. ¿Cómo influye el orden de los vectores en el producto mixto?
Tanto la interpretación geométrica como la expresión analítica permiten concluir que, si
permutamos los vectores del corchete, cambia, a lo sumo, el signo del resultado, pero no su
valor absoluto. Por tanto, para el cálculo de volúmenes tomaremos los vectores en el orden que
convenga.
Ejercicios.1) Determinar m y n para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmente
dependientes.
a. ⃗( , −3,2); ⃗ (2,3, ); ⃗(4,6, −4)
b. ⃗(3,2,5); ⃗ (2,4,7); ⃗ (1, −1, )
2) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base?
a.
= {(1,2,1), (1,0,1), (2,2,2)}
b.
= {(1,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (0,0,1)}
c.
= {(−3,2,1), (1,2, −1), (1,0,1)}
3) ¿Para qué valores de a el conjunto de vectores
base?
= {(1,1,1), ( , 1,1), (1, , 0)} es una
4) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por ⃗(1,2,3), ⃗ (−2,1,0) y
⃗ = ⃗ × ⃗. Justifica por qué el resultado es | ⃗ × ⃗ | .
5) Calcula el valor de m para que los vectores ⃗ (2, −3,1), ⃗ (1,
coplanarios.
, 3) y ⃗(−4,5, −1) sean
6) Prueba que los vectores (1, , ), (0,1, ), (0,0,1) son linealmente independientes
cualesquiera que sean a, b y c.
7) Dados los vectores ⃗(2,0,0), ⃗(0,1, −3), ⃗ = ⃗ +
cumplir a y b para que ⃗ sea ortogonal al vector ⃗ (1,1,1)?
8) Calcula las coordenadas de un vector
⃗(1, −1,1) y tal que [ ⃗, ⃗, ⃗] = 19.
⃗, ¿qué relación deben
⃗ que sea ortogonal a
⃗ (1,2,3) y
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9) a) Obtén
para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:
⃗(3,2,5), ⃗(2,4,7) y ⃗(1, −3, ).
b) Para = 3, expresa el vector ⃗ (7,11,14) como combinación lineal de ⃗, ⃗ y ⃗.
10) a) Determina los valores de a para los que resultan linealmente dependientes los
vectores (-2, a, a), ( , −2, ) y ( , , −2).
b) Obtén en esos casos una relación de dependencia entre los vectores.
11) Dados los vectores ⃗(1, −1,2) y ⃗ (3,1, −1), halla el conjunto de vectores que, siendo
perpendiculares a ⃗, sean coplanarios con ⃗ y ⃗.
12) Dados los vectores ⃗( , 1 + , 2 ), ⃗ ( , 1, ) y ⃗(1, , 1), se pide:
a. Halla los valores de a para que los vectores sean linealmente dependientes.
b. Estudia si el vector ⃗(3,3,0) depende linealmente de ⃗, ⃗ y ⃗ para el caso a = 2.
c. Justifica razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad ⃗ ∙ ( ⃗ × ⃗) = 0.
13) a) Halla el número de vectores linealmente independientes que hay en el conjunto
= {(1,1,1), (0,2,1), (2,0, −3), (−1,1,2)}.
b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes iguales. ¿Puede escribirse como
combinación lineal de los dos primeros vectores de S?
c) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes iguales a 1, se
pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S.
14) Halla un vector ⃗ de la misma dirección que ⃗ (1, −2,3) y tal que determine con el
vector ⃗(−2,4, −1) un paralelogramo de área 25 u2.
15) Halla un vector ⃗ coplanario con ⃗ (2, −1,1) y ⃗(1,0,3) y ortogonal a ⃗(2,3,0).
16) Sean ⃗ y ⃗ tales que | ⃗ | = 4 y ⃗ = 2, con ⃗, ⃗ = 60º. Calcula ⃗ + ⃗ y ⃗ − ⃗ .
17) De dos vectores ⃗ y ⃗ sabemos que son ortogonales y que | ⃗| = 6 y | ⃗ | = 10. Calcula
| ⃗ + ⃗ | y | ⃗ − ⃗ |.
18) Calcula el ángulo que forman ⃗ y ⃗ sabiendo que | ⃗ | = 3, ⃗ = 5 y ⃗ + ⃗ = 7.
19) Sean ⃗ , ⃗ y ⃗ tres vectores linealmente independientes. Indica razonadamente cuál o
cuáles de los siguientes productos mixtos valen cero:
⃗ + ⃗, ⃗ − ⃗, ⃗ + ⃗ + ⃗ ; ⃗ + ⃗, ⃗, ⃗ + ⃗ ; ⃗ − ⃗, ⃗ − ⃗, ⃗ − ⃗
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