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INTRODUCCION A LOS VECTORES
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Hallar el vector resultantede dos vectoresfuerza de 4 kp y 3 kp aplicaclosen un punto O y formando
un iingulo de a) 90', ó) ó0". Aplicar el método del paralelogramo.
Solución grAtica
En cada uno de los casos se comienza dibujando los
dos vectores OA y OB, de forma que sus módulos representen 4 kp y 3 kp a la escala elegida y formando los ángulos
que dice el enunciado. Se constiuye el paralelogramo trazando BR paralela a OA y AR paralela a OB.
La diagonal OR representa, en cada uno de los casos,
el vector resultante de los dos dados.
4
(ó)
(a)
En (¿), midiendo OR con la escalaadoptada se obtiene 5 kp. El ángulo e, medido con un semiclrculo
graduado, resulta de 37oEn (á), OR representa6,1 kp y el ángulo ¡ vale 25o.
Solución snalitica
(a) OARes un triángulorectángulo.EntoncesOR2 : 42 * 32: 25 y OR : 5 kp.
.ARJ : 37o
:
:o,75
:
y
7 : tg-r0,75(esdecir,ángulocuyatangenrees0,T5)
rg
"
.
6j
;
(r) LOAR :120o, Para calculai el módulo del vector resultanteOR, se aplica la ley o teoremadel coseno.
ORz: OA2+ ARz-2(OA)(AR) cos l20o: 42 + 32-2(4X3X- O,5): 37
y
OR:
6,1 kp.
Para calcular a se aplica el teoremade los senos.
0.86Á
sen d
len " : sen 12@ o
Deaquísena-0,43 y ¿:S€n-r0,43:25o.
l- : : - t r
AR
;?
Nota. sen l20o : sen(1800- l20o) : sen 600,cos 120" -_-- cos (180o- l20o) : - cos ó0o.
2.
Resolver el Problema I por el método del polígono vectorial.
Solución gráfic¡
En amboscasossedibuja el v*tot OA que represe¡lte
una fuerzade 4 kp. DesdeI selleva lR : 3 kp, formando con el anterior el ángulo correspondiente.Se traz¿ OR
para completarel triángulo
El vector OR es el resultantey su módulo es igual
O
a 5 kp en (¿) y 6,1 kp en (á).
La resoluciónanalíticaes exactamenteigual a la del
Problemal.
3.
4
(o)
(b)
Cuatro vectoresfuerza coplanariosestánaplicadosa un cuerpo en un punto O, como indica la Fig. (o),
Hallar gráficamente su resultante.
ló0
(b)
Solución
A partir de O se trazan los cuatro vectores,uno a continuaciónde otro, dG maneraque el origen de cada
uno coincida con el extremo del anteridr, como se indica en ta Fig. (á). El vector R que une el origen del
prinrr vector con el extremo del i¡ltimo es el vector resultante.
Midiendo R en la escalautilizada se cncuentrael valor I 19 kp. El ángulo r, medido con un semicírculo
lr¿duado, vale 37o.Por tanto, el módulo de X es l19 kp y su direcciónforma un ángulode 37ocon el semiejex
ry¡rivo (o bien, un ángulo 0": 180"- a: l43o con el semieje.t positivo).
INTRODUCCION
4,
A IJOS VECTORES
Hallar gráficamente las siguientes sumas y diferencias con los vectores A, B y c.
a ) A+8 ,
b) A+ B+ C,
c ) A- 8,
d \ A +B - C .
Solución
Las.nperacionespedidasse observanen las Figs. (a) a (d). La Fig. (c) representata operaciónA - B :
: A + (- B); es decir, para restarel vector B del A, se suma vectorialménte,{
con el opüestode B. A¡álog ame nte ,en (d) , s er epr es ent alaoper ac iónA+ B - C : A ¡ B +( - C ) , s i e n d o _ C e l v e c t o r o D u e s t o a l C .
4',
I
I
I
$/
{/
i/^
I
I
I
:/
ul
ri/
rl
TI
Jl' t
(b,
(c)
(d)
5. Sabiendoque el módulo del vector resultanted-eotros dos, correspondientes
a sendasfuerzasperpendiculares,
es de 100kp, y que uno de ellosforma un ángulode 30. con dicha resultant.,tt"tt".
esta fuerza.
Solucién
Se construyeun rectángulo de manera que la diagonal forme
un ángulode 30ocon la horizontal y cuya longitud represente100kp.
Tambiénsepuedeconstruirun triángulorectángulocuya hipó_
tenusa forme un ángulo de 3@ con la horizontal y cuya iongiiud
r€presente100 kp.
X: 100 x cos 30o: 100 x 0,8ó6: 86,6kp.
4
6. Sabiendo que el vector fuerza resultante de otros dos que for-
man un ángulo recto es de l0 kp, y que uno de ellos es <ieó kp,
calcular el otro.
Solución
Sea IZel vector fuerza buscado.Se construyeun rectángulode
forma que uno de sus lados representaun vector fuerza det kp y
su diagonal al de l0 kp, El otro lado representaráy.
También se puedeconstruir un triángulo rect¿i{rgulo
de manera
que uno desus catetosrepres€nteal vector fuerzade 6 kp y su hipotenusa al de l0 kp.
Yt: 10 2-62 : 100- 36: 64
Y: 8 k p .
7.
y
La velocidad de un bote-en agla en reposo es de 8 km/h. Sabiendo que la velocidad de la corriente
del rio es de 4. km/h, hallar el ángulo que debe formar, óon la orilla, la ruta del bote para que alcance
un punto de la otra orilla enfrente al de partida.
Solución gnifica
Escogiendouna escalaadecuada,s€ construyeel vector OA que representea la velocidadde 4 km/h de la corricnte del río.
Se traza oN perpendicurara oA. sobre ésta se debe hailar gl vector
resultante.con l como c€ntro se traza un arco de radio igual a g km/h,
que corta a ON en R.
Se une / con R y se completa el paralelogramoAB,
I-a direcc-iónde oB es ra pedida. Midiendo el ánguroDoB se obtiene
un valor de 6(F.
Solución &nalftica
cosLDOB : cosLOAR: 4/S : 0,j
Por tanto, LDOB : cos-r 0.5 : 60p
E-' - -
A
fl
t.
t
t
'a
I
INTRODUCCIoN A, tos VECTORES
y4
I
.1
s.
{
12 nucon una velocidsd
Un barco navega hacia el norte
nudosv
dela marcaesde 5-de
il;.;;L;e"
f,uela velocidad
v sentido
i[i¿ál-i-"li".io.tt , cartoiattr módulo'dirección
del barco'
áJi-u."totvclocidadresultante
Soloción
rcspoctoa ti6ra' cs
La vclocidadrcsultantcR del barco'condirigiü haciacl
nu¿os
tá
¿J
ü;id"¡
d"-ú
r" .ufi.'iüoi"-r
ccstc'
el
hacia
dirigirta
nu¿os
5
de
ia
;;;;"
Módulodc.R: Vf + A' : 13nudos'
cuy¿tangpnto
l¡ dircccióndc R vionodcfinidapor e-lángulo
:0,42, conlo qucc:23o'
;;:'t¡tt
toult"ni" o dc 13nudosy.formaun án'
^ El vcctorvclocidad
gulotl'iió ñ".ia cl ocstcmedidosa partir dcl nortc'
1
M¿todo dcl
paralclo¡ramo
MétoCo dcl
triángulo
velocidaddc
con-^una
9. Un motoristase dirigc hacia el norte de 30 km/h soplando
es
vicnto
Jit
;o'üÁ.-ñ";tocidád
calcular la veücidad aparentedel viento obi;;í;t".
servadaPor el motorista'
Solución
vclocico-n-una
Cuandoel motoristasc dirigehaciacl norte
rcp€cto a él cs de
con
viento
dót
il7rl-i"-"olo.¡¿"¿
ü;0
d"d
velocidad'sumado
5Okm/h soplandota"t" ltur' Estcvector
da.clvectorveocslo
cl
hacia
km/h
30
dc
cl
;;¿i;ü;;;;n
motorista'
al
rcapccto
con
vicnto
¡
¿a
ñffi.ñ;ünrc
i.
i,
ti
,)i
n : Vlo + so : 58km/h'
Y a :3 l o '
t ga: 3 0 /5 0 :0 ,6
de58km/h
conunavclocidad
El vientosopla,aparentemente'
a partir
contados
oeste
el
rta"ii
v
ii;
¿,ie"io'¿e
f"-;;á;';;
delsu¡.
!i"
1:,
il
que
Descomponerun v@tor fuerzade I 000 kp
sus
en
horizontal
la
con
53o
foirn"-ui ¿ngulode
vertical y horizontal'
componetttes
1t
Sotución
r0.
{¡
tit
1
::
't
F,
horizontar
componcnte
: I ffiü,'r|il) : 602kp
verrical
cómponente
Método
" : iffiñlrrrrü: Tsukp
l;
'I
ii
:t
t!;
:l
tl
'l
l,i
Ii
,'l
fi
;
:.
\¡
.1
11
ll.
dcl Paralclogamo
Método dcl triángulo
Un muchachotira de unacuerdaatadaa un cuer;-;;; ;;" fuerzade 20 kp. La cuerdaformaun
ánculode 30ocon el suelo.Hallar el valor de ta
el cuerpo'
iu.'á qu. tiendea elevaiverticalmente
Sohclóo
L¿ fuc¡zaquetiendea moverel cuerpoa lo-largo
Método dcl
triln¡ulo
r*iffiS
icl sr-rlc cs la componente horizontal F'' I'zfllclzz
qrx rrcodc a elevarlo verticalmente cs la componcntc
rtftrc¿l Fr.
kP x co s 3 0P:20 kP x 0'E 6ó F ,:8
F¡ : úkP x sta W : frkP x 0'5S -
l 7'3 kP
l0'0kP
INTRODUCCION, A LOS VECTORES
12. Un bloque prismático de peso W : 300 kp se apoya sin
rozamiento en un plano inclinado 25o con la horizontal,
a) Hallar las componentesde ll' normal y paralela al
plano.
b) 1',Qué
fuerza F. paralela al plano será necesarioaplicar al cuerpo para que asciendapor la rampa?
Solución
a)
Se descompone el vector I/ en dos F, y F, normal y paralela al plano, respectivamente.
F, : componente de |tl normal al plano
.= ll'cos 25o : 300 kp x 0,9063 :272kp
.
F,.:
componente de W paralela al plano
ll/ sen 25o =, 300 kp x 0,4226: 127 kp hacia abajo
b) Ft : - Fz == 127 kp hacia arriba
:
r3.
Hallar la mínima fuerzaF, paralelaa un plano inclinado
sin rozamiento, de 18 m de longitud, que es necesario
apficar a un cuerpo de peso l{ :90Q kp, para arrastrarlo sobre él hasta una plataforma situada a 5 m del
suelo.
Solución
Se descomponeel vector fuerza de 900 kp en dos: una
normal y otra paralelaal plano.
Por tanto, rr :900 kp x sen a:90o kp r 5/18 :
: 250 kp es la que empujaal cuerpohaciaabajo,y la fuerza
buscadaserá F" =. - n --- 250 kp hacia arriba.
14. Hallar la resultantede los cinco vectoresfuerza coplanarios ( 1 9 . 1 5 . 1 6 , I l , 1 2 k p ) a p l i c a d o sa u n
cuerpo en un punto ,4, como indica la Fig. (a).
ü
mi
-
ll cos 30.*
Descomposicitin dc lts fucrz¡s dc 15, i6 y | | kp
c n s us C Om ponc nt( '\l l or i /ontf,l ¡ - v c r tr c r l
Solución
r)
t\
Cada fuerza se descompone en sus componentes horizontal y vertical. (La fuerz¿ de l9 kp, que es horizontal y con sentido hacia la derecha, no tiene componenle-yer{ical l-a ft¡crza de l2 kp que actúa a lo
largo de la vertical y con sentido hacia abajo no tiene componentc horizontal.)
Las componentes horizontales con sentido hacia la derecha se considcran positivas y hacia la izquierda
negativas. Las verticales hacia arriba se toman positivas y hacia abajo negarivas.
3) Las componentes horizontales se surnan por separado algebraicamentei se hace lo mismo con las com-
ponentes verticales y se obtienen dos componentes resultantes(EF" y lFv), que forman un ángulo rccto.
La resultante de EF, y EFu es R.
4)
l,as componentes horizontales y verticales de los cinco v€ctores fuerzas son las sisuientes:
_-I
I
l
'I
tl
io
.
INTRODUCCION A LOS VECTORES
;
!t
.ti
Componente vertical
Componente horizontal
19kp
l5 kp
16kp
ll kp
l2 kp
a)
b\
c)
d)
e)
19,0
7,5
15cos 6@ -:
- 16c os 45o: - 11, 3
- ll cos 30o: - 9,5
0'0
! F, :
* 5, 7k p
-
0'0
15sen600 :
13,0
I 1,3
16sen45o:
ll sen30o: - 5,5
-t 2,0
XFy : -¡ 6,3 ¡O
Módulode R : l'tr¡;f + (lF,r - lG¡¡ + (ós,' : 8,9kp
Zh
^ :
yts0
EE
:ffi6.8 kp : t,z dedonde0:50o'
La resultantees una fuerza de 8,9 kp formando un ángulo de 5(P con la direccióndel ejc.
ut.
Un telescopio que mira hacia una estrella fija situada en
la vertical del lugar pres€nta una inclinación de 20,5 segundos con dicha vertical, Debido al movimiento orbital de la
tierra, el telescopio está animado de una velocidad de
29,76 kmls, formando un ángulo recto con la dirección
de la estrella. De estos datos, deducir la velocidad de la luz.
N
Solución
Seanc : velocidadde la luz y v : velocidaddel telescopio.
La inclinacióndcl telescopiodebesertal que el tiempo t invertido
por la luz en recorrerla distanciaBC (t : BC lc) sa igual al que
empleael telescopioen recorrerla distanciaAC (t : AC lv). Por
t^r*o, BClc : AClv, obien, ACIBC : tg ¿ : v/c, y de aquf'
c:
v
_ 29, 79k m , \ : 3x l05k m / s
tEn, s - : e, e4"¡ g- o
Este método fue utilizado por Bradley en 1728,para determina¡ la velocidadde la luz. El ángulode 20,5" recibióel nombre
dc ángulo de aberración.
Nota. [,os senosy tangentesde ángulosmuy pequeñosse pue'
de¡ considerarigualesy con un valor numérico igual al
á¡gulo expresadoen radianes.
8,5" : h,5" x ,m
I
i
l\
.-
- f#9
: e.e4
x ro-rrad
d
t\
\r\\
INTRODUCCION A LOS VECTORES
\
PROBLEMAS PROPUESTOS
t6. Hallar la resultantede dos fuerzasde 80 y 100 kp, cuyaslíneasde acción forman
un ángulo de ó0o.
Sol. R : 156 kp y c : 34ocon la fuerza de g0 kp.
17. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzasde l@ kp cuyaslíneasde acción
forman un ángulo de 1200.Há:lar.rha
fuerza que sea capaz de.a) remplazaral sistómaie fuerzasdado, á) equilibrar
el sistemade fuerzasdado.
sol. a) ResultanteR : I00 kp formando 600con cada una de rasfuerzas,
á) Equilibrante E : 100kp opuestaa la resultante.
6./
Prob. ló
Prob. 17
tt.
Un hombre anda 50 m hacia el este;a continuación,30 m hacia el sur; después,20
m hacia el oeste,y fiaalmente, l0 m haciael norte. Determinarel vectoÍ desplazamientodeJé ;i;"."t;h"
pu.ti¿u ul á" lrii¡dd". -'
.SoL 36 m formando un ángulo de 34o sur, contadosa partir del este.
.
19. Hallar el vector suma de los cuatro desplazamientos
siguientes:ó0 m norte, 30 m oeite, 40-m en una dirccción que forma 6@ con el norte contadoshacia el oes1e,50 m en una diiécción qu"
io.r*-ió[ ;; ;i:;--contadoshacia el oeste.Resolverel problemag¡áficamentey por el método analíticó
de tas componirri;-.
sol. 96,8 m formando un ángulo de 67,1ocon el norte y contadoshacia el oeste.
20. Dad oslosve c t or es
Ay By el
OP, MP, PN,NM.
,5 ¿¡/.OP: A + B, M P:
par alelogr am ooM P N , e x p r e s a r l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e n f u n c i ó n
deAyB:
B, PN:
_A, NM : _B
21. SiendoCM una medianadel-triángulo,rf
BC y CM:
* A.
zy MB:
gidosen funciónde c y p: CB, AM, MA, AB: CA.
p, AB: 29, C A : t _
^ So/. CB: a + 9, AM : B, M A- -
p, expresarlos siguientes
segmentos
dirig.
Dados los vectoresA : 80 m/s orientado hacia el norte y I : 60 m/s hacia el este,hallar
el vector diferencia A - B.
:
Sol. 100m/s, a
37ocon el norte contadoj haciael oeste.
Pro b. 20
E-
:
Prob. 2l
Prob. X2
I
Capftulo I
Introducción a los vectores
NA MAGNITUD ESCALAR es aquellaquc solo tienc módulo, como por-ejemplo,cl tiempo,el vo.
t--'-hil;,
la masay la densidadde los cuerpos,el-trabajo,la.cantidadde dinero, etc'
sGsrunanpor los métodbsordinariosdel álgebra;por ejemplo:2 s * 5 s : 7 s.
tbs escalares
y
UNA MAGNITUD VECTORIAL es aquellaque, ademásde módulo, poseedirccción sentido.Por
cjemplo:
-ii
"
Vn avión que vuela a una distanciade 160 km hacia el sur.
El desplazamiento:
qu€ navega-e20 nudoshacia cl este'
Un.barco
veioc¡dad:
la
2i
l¡ In ¡rrrtot Una fuerzaae tO tp aplicadaa un cuerposegúnla verticaly con sentidohacia
arriba.
Una magnitud vectorial se representapor medio de una flechaa una cierta escala.La Longitud
de la flechaiepresentael móduló óel vecior -desplazamiento,velocidad,fúeúr,, etc.-. La lfnca
etc.-, y el sentidoesel indicado
sobrela queseéncuentraesla direccióndel vector--desplazamiento,
por la flecha
Los vectoress€ suman por métodos gcométricos.
EL VECTOR RESULTANTE de un sistemaesun v€ctorúnico queproducelos mismosefectosquetodos
los dados.
EL VECTOR EQUILIBRANTE de un sistemadado es un vector único capazde.compensarla acción
Tiene el mismomódulo y direcciónque el vector
de todos los vectores,actuandosimultáneamente.
pero
contrario.
sentido
resultante,
dCdOSVCCTOTES
DEL PARALELOGRAMO PARA LA SUMA VECTORIAL. LA TESUITANTC
METODO
---;y;direcciones
forman un ángulo se repres€ntapor un vector cuya direcciónes la diagonaldel
p"i"trtog."nro formado con loivectores dadosy cuyo origen coincidecon el común de ambos.
DEL POLIGONO PARA LA SUMA VECTORIAL. Estemétodode hallar el vectbr resul-METODO
t"nt. consisteen dibujar, a escala,y a partir de un punto cualquiera,cadauno de los vectorcsdados,
de forma que el origende uno de elloscoincidacon el extremodel anterior. El ordenen que sevan
tomando lbs vectoréses arbitrario. I-a longitud del segmentoque une el punto de partida con el
extremodel último vector es el módulo, tanto del vector resultantecomo del equilibrante.
El vector resultantetiene por origen el punto de partida y Por extremoel del último vector.
El vector equilibrantetiene por oiigen él extremodel último vector y Por extremo,el punto
de partida.
SUSTRACCIONDE VECTORES.Pararestarel vectorI delvectorI bastacon sumar,geométricamente,
el vector ,{ con el opuestoal 8; es decir, I - fi : A + (- B)'
COMPONENTE DE UN VECTOR segúnuna direcciónes la proyeccióndel vector sobredicha dirección. Por ejemplo,la componenteñorizontalde un vectoressu proyecciónsobrela direcciónhori'
del mismo
zontal. Toáo vector se puide considerarcomo el resultantede dos o más componentes
es igual al vector original. En general,lo más cómodoes desel vector suma de las cómponentes,
entre
segúndos direccio¡esperpendiculares
o componentes
componerun vectoren susproyecclones
sl, cüandose trate de problemasen el plano, y en tres, si es en el espacio.