T ES/L EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE Rappel Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale N(ο ;ο³²) lorsque π = πβο ο³ suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de π est symétrique par rapport à la droite d'équation π₯ = ο Exercice 1 Une assurance s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2013. On note X la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût. L'étude des années précédentes montre que X suit la loi normale de moyenne 1130 et d'écart type 180. Quelle est la probabilité qu'en 2013 un sinistre pris au hasard coûte entre 850 et 1700 euros ? Exercice 2 Une usine fabrique des puzzles de 512 pièces. Pour tester la conformité des puzzles, le service qualité de l'entreprise prélève au hasard un puzzle de 512 pièces. On appelle X la variable aléatoire qui à un puzzle donné associe le nombre de pièces non conforme. On estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'écart type 3. 1) Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 12 pièces non conformes dans le puzzle. 2) Déterminer le réel π₯0 tel que π(π > π₯0 ) = 0,01. En déduire le plus petit entier k tel que la probabilité que le puzzle comporte plus de k pièces non conformes soit inférieure à 0,01. Exercice 3 On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par la société Toutdeloi sont distribuées normalement avec une moyenne de 250g et d'un écart type de 10g. On considère qu'un bloc n'est pas rentable si sa masse est plus grande ou égale à 265g. Calculer le pourcentage de blocs non rentables fabriqués par cette société. Exercice 4 La sélection chez les vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir » (*) La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race Française Frisonne Pis Noir peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne ο =6000 et d'écart type ο³=400. La fonction π désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1) Afin de gérer au mieux son quota laitier, en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres de lait par an. b) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an. c) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres de lait par an. 2) Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître : a) La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau. b) La production minimale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau. Exercice 5 Réglage d'une machine d'embouteillage dans une coopérative (*) Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne ΞΌ et dβécart-type ο³ = 2. La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. 1) a) À quelle valeur de la moyenne ΞΌ doit-on régler la machine pour respecter cette législation? b) La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors, dans ces conditions, la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage? 2) Le directeur de la coopérative veut qu'il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent au risque de ne plus suivre la législation. a) Quelle est alors la valeur de ΞΌ? b) Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d'un litre? 3) Déterminer ΞΌ et Ο afin quβil y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de de bouteilles qui débordent. 1% Exercice 6 Durée de vie dβun appareil (*) La durée de vie d'un certain type dβappareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et dβécart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 1) Quelles sont les valeurs de ο et ο³² ? 2) Quelle est la probabilité dβavoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours ? Exercice 7 Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids dβune plaquette de 125 g suit une loi normale dβespérance π = 125 et dβécart type ο³ = 0,5. La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre π β 3ο³ et π + 3ο³. 1) Calculer la probabilité quβune plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme. 2) Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids dβalerte π β β et π + β tels que π (π β β β€ π β€ π + β ) = 0,99. Ces poids dβalerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. Déterminer ces poids dβalerte. (*) Tiré des documents ressources de Terminale Exercice 8 Pondichery 2013 (S) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique ΞΌ et l'écart type Ο de la variable aléatoire X. 2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. πβπ π par la loi normale centrée Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z<x pour quelques valeurs du nombre réel x. x -1,55 -1,24 -0,93 - 0,62 - 0,31 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P(Z<x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à10β2 près de la probabilité de l'évènement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ». T ES/L CORRECTION EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE Rappel Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale N(ο ;ο³²) lorsque π = πβο ο³ suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de π est symétrique par rapport à la droite d'équation π₯ = ο Exercice 1 Une assurance s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2013. On note X la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût. L'étude des années précédentes montre que X suit la loi normale de moyenne 1130 et d'écart type 180. Quelle est la probabilité qu'en 2013 un sinistre pris au hasard coûte entre 850 et 1700 euros ? Méthode 1 : Directe avec la calculatrice et la modification de ΞΌ et Ο . On intéresse à p (850 β€ X β€ 1700) β 0,939 Méthode 2 : Avec la calculatrice et la loi centrée réduite N(0;1) X suit la loi N(1130,180²) βΊ π = πβ1130 180 850β1130 Alors π(850 β€ π β€ 1700) = π ( 180 suit la loi centrée réduite N(0;1) β€πβ€ 1700β1130 180 β280 570 ) = π ( 180 β€ π β€ 180) Exercice 2 Une usine fabrique des puzzles de 512 pièces. Pour tester la conformité des puzzles, le service qualité de l'entreprise prélève au hasard un puzzle de 512 pièces. On appelle X la variable aléatoire qui à un puzzle donné associe le nombre de pièces non conforme. On estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'écart type 3. 1) Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 12 pièces non conformes dans le puzzle. π(π β€ 12) β 0,8413 , on utilise la calculatrice avec π = 9 et = 3 . πβ9 12β3 On peut aussi retrouver ce résultat avec : π β€ 12 β 3 β€ π β€ 3 β π β€ 1 π (π β€ 12) β π (π β©½ 1) et en utilisant la loi centrée réduite N(0;1) 2) Déterminer le réel π₯0 tel que π(π > π₯0 ) = 0,01. π₯0 β 15, 97 Utilisation de la calculatrice et InvNorm. En déduire le plus petit entier k tel que la probabilité que le puzzle comporte plus de k pièces non conformes soit inférieure à 0,01. π = 16 pièces. Exercice 3 On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par la société Toutdeloi sont distribuées normalement avec une moyenne de 250g et d'un écart type de 10g. On considère qu'un bloc n'est pas rentable si sa masse est plus grande ou égale à 265g. Calculer le pourcentage de blocs non rentables fabriqués par cette société. π (π β₯ 265) β 0,06 Soit 6%. Exercice 4 La sélection chez les vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir » (*) La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race Française Frisonne Pis Noir peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne ο =6000 et d'écart type ο³=400. La fonction π désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1) Afin de gérer au mieux son quota laitier, en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres de lait par an. π (π β€ 5800) β 0,308 b) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an. π (5900 β€ π β€ 6100) β 0,197 c) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres de lait par an. π (6250 β€ π) β 0,2659 2) Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître : a) La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau. π( π β€ π₯0 ) β 0,3 Soit π₯0 β 5790 Les 30% des vaches les moins productives produiront un maximum de 5790 litres. b) La production maximale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau. π( π₯1 β€ π ) β 0,2 Les 20% des vaches les plus productives produiront un minimum de 6336 litres. Exercice 5 Réglage d'une machine d'embouteillage dans une coopérative (*) Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne ΞΌ et dβécart-type ο³ = 2. La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. 1) a) À quelle valeur de la moyenne ΞΌ doit-on régler la machine pour respecter cette législation? Il sβagit déterminer la valeur de ΞΌ telle que π(π < 100) < 0,001. On détermine d'abord la valeur π§ (on dit aussi quantile) de la loi normale centrée réduite, telle que π(π < π§) = 0,001. On trouve, à la calculatrice à lβaide de FracNormale() ou InvN, π§ β β3,09. πβπ 100βπ Comme π = 2 , on obtient β3,09 β 2 soit ο β 100 + 2 × 3,09 On trouve β 106,18 . b) La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors, dans ces conditions, la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage? Avec π β 106,18, on obtient π(π > 110) β 0,028. 2) Le directeur de la coopérative veut qu'il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent au risque de ne plus suivre la législation. a) Quelle est alors la valeur de ΞΌ? Il sβagit cette fois de déterminer ΞΌ tel que π(π > 110) < 0,01. On détermine d'abord la valeur π§ de la loi normale centrée réduite, telle que π(π > π§) = 0,01 ou π(π < π§) = 0,99. On trouve, à la calculatrice à lβaide de FracNormale() ou InvN, π§ β 2,33. πβπ 110βπ Comme π = 2 , on obtient 2,33 = 2 On trouve β 105,34 . b) Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d'un litre? Avec cette valeur de ΞΌ , on obtient π(π < 100) β 0,0038, ce qui est plus élevé que dans le cas précédent. 3) Déterminer ΞΌ et Ο afin quβil y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui débordent. On cherche donc à déterminer les valeurs de ΞΌ et de Ο de sorte que : π(π < 100) < 0,001 et π(π > 110) < 0,01. Les deux contraintes sur les probabilités fournissent les deux conditions suivantes. On détermine d'abord la valeur π§sup de la loi normale centrée réduite telle que π(π > π§π π’π ) = 0,01 c'est-à-dire que π(π < π§π π’π ) = 0,99 On trouve avec la calculatrice π§π π’π β 2,33. On détermine ensuite la valeur π§πππ telle que π(π < π§πππ ) = 0,001. On trouve π§πππ β β3,09. Les deux contraintes se traduisent donc par les deux inégalités suivantes : 110βο 100βο β₯ 2,33 et β€ β3,09 ο³ ο³ On obtient donc un domaine de solutions et une discussion pourra être menée quant aux choix pertinents que le directeur de coopérative pourrait faire. Exercice 5 Durée de vie dβun appareil (*) La durée de vie d'un certain type dβappareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et dβécart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 1) Quelles sont les valeurs de ο et ο³² ? On note X la variable durée de vie. Les spécifications se traduisent par : π(120 β€ π β€ 200) = 0,8 et π(π < 120) = 0,05 Alors π(π β€ 200) = 0,8 + 0,05 et π(π < 120) = 0,05 Donc π(π β€ 200) = 0,85 et En notant toujours π = π (π β€ 200βο ο³ πβο ο³ π(π < 120) = 0,05 la variable centrée réduite, on obtient : ) = 0,85 et π (π β€ 120βο ο³ ) = 0,05 On trouve, à la calculatrice à lβaide de FracNormale() ou InvN, π§ β 1,04. et π§ β β1,65. πβπ πβπ π= 2 et π= 2 1,04 = 200βπ ο³ ο = 200 β 1,04ο³ Par la résolution du système, { ο = 200 β 1,04ο³ 0 = 80 β 2,69ο³ ο = 200 β 1,04ο³ 80 { ο³ = 2,69 Alors { 120βπ et β1,65 = et ο = 120 + 1,65ο³ ο = 200 β 1,04ο³ ο = 120 + 1,65ο³ ο³ ο = 200 β 1,04 × { ο³= ο = 169,07 { ο³ β 29,74 8000 269 8000 269 On obtient donc ο = πππ et ο³² β ππ, ππ² β πππ 2) Quelle est la probabilité dβavoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours ? En utilisant la calculatrice, on obtient : π(200 β€ π β€ 230) β 0,13 Exercice 7 Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids dβune plaquette de 125 g suit une loi normale dβespérance π = 125 et dβécart type ο³ = 0,5. La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre π β 3ο³ et π + 3ο³. 1) Calculer la probabilité quβune plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme. La probabilité quβune plaque soit conforme est égale à π (π β 3ο³ β€ π β€ π + 3ο³) β 0,997 Donc la probabilité quβune plaquette ne soit pas conforme vaut environ 0,003. 2) Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids dβalerte π β β et π + β tels que π (π β β β€ π β€ π + β ) = 0,99. Ces poids dβalerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. Déterminer ces poids dβalerte. Afin de pouvoir utiliser la calculatrice, il faut déterminer π(π β€ ο + β). On a π(π β€ ο + β) = π(π β€ ο) + π(ο β€ π β€ ο + β) Or π(π β€ ο) = 0,5 (Rappel la courbe de la fonction densité est symétrique par rapport à la droite dβéquation π₯ = ο) 1 Et π(ο β€ π β€ ο + β) = 2 π(ο β β β€ π β€ ο + β) = 0,99 2 = 0,495 Alors π(π β€ ο + β) = 0,5 + 0,495 = 0,995 Avec la calculatrice, comme π suit la loi normale N(125 ;0,5²), on trouve ο + β = 126,29 Alors β = 126,29 β ο = 126,29 β 125 = 1,29 Donc ο + β = 125 β 1,29 = 123,71 Dβoù les poids dβalerte sont 123,71 et 126,29 Grâce à des échantillons prélevés en fin de chaîne, ces poids dβalerte permettent de déceler lβexistence dβanomalies de fonctionnement avant le dépassement des normes π β 3ο³ et π + 3ο³ (*) Tiré des documents ressources de Terminale Exercice 8 Pondichery 2013 (S) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique ΞΌ et l'écart type Ο de la variable aléatoire X. La situation revient à répéter 220 fois de façon indépendante une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès (le salarié est malade) vaut 0,05. Donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de salariés malades suit une loi binomiale B(220 ;0,05) (n=220 et p=0,05). En utilisant les formules du cours on a : π = ππ = 220 × 0,05 = 11 π = βππ(1 β π) = β11(1 β 0,05) β 3,23 2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. πβπ π par la loi normale centrée Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z<x pour quelques valeurs du nombre réel x. x -1,55 -1,24 -0,93 - 0,62 - 0,31 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P(Z<x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à10 β2 près de la probabilité de l'évènement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ». π(7 β€ π β€ 15) = π( Avec 7βπ π β 7β11 3,23 7βπ π β€πβ€ β β1,24 et 15βπ π 15βπ π ) β 15β11 3,23 β 1,24 . Donc il faut calculer π(β1,24 β€ π β€ 1,24) où Z suit la loi N(0 ;1). Par lecture dans le tableau on a : π(π < β1,24) β 0,108 et π(π < 1,24) β 0,892. Donc π(β1,24 β€ π β€ 1,24)= π(π < 1,24) - π(π < β1,24) β 0,892 β 0,108 β 0,78 Donc la probabilité que le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 est de 0,78.
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