1. No category

Mathématiques
1S
Mathématiques
2.
TD LOI BINOMIALE
P(X = 5) et P(X = 10) ;
•
P(X ⩽ 8) et P(X > 5) ;
b. Ecrire un algorithme qui donne en sortie le nombre minimum d'épreuves pour que cette probabilité soit
•
strictement supérieure à 0,9. Le programmer puis répondre à la question posée.
P(4 ⩽ X ⩽ 8) et P(4 < X < 8).
A chaque tir, un archer atteint sa cible avec une probabilité égale à 0,7.
deux fois ? Au moins trois fois ?
Il effectue 20 tirs identiques et indépendants.
 Exercice 7 :
On considère l'algorithme ci-contre :
On appelle X le nombre de fois où il atteint la cible.
2.
 Exercice 6 : Le tir à l’arc
Combien de tirs doit-il effectuer pour que, avec une probabilité supérieure ou égale 0,99, il atteigne la cible au moins
 Exercice 2 :
Un archer vise une cible, qu'il atteint avec une probabilité p = 0,8.
1.
On répète cette épreuve n fois de suite.
a. Prouver que la probabilité Pn d'obtenir au moins une fois la réalisation de S est 1 − (5/6)n.
 Exercice 1 :
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,2. Calculer, à 10−3 près :
•
1S
Déterminer la loi de probabilité de X.
On répondra aux questions suivantes à l'aide de la calculatrice. Aucune justification n'est attendue.
a. Déterminer la probabilité qu'il réussisse 3 tirs.
b. Déterminer la probabilité qu'il réussisse :
3.
i.
moins de 5 tirs.
iii.
plus de 10 tirs.
ii.
au moins 6 tirs.
iv.
5, 6, 7 ou 8 tirs.
1.
Déterminer le nombre moyen de tirs réussis.
Dans l'expérience aléatoire simulée par cet algorithme, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C
affichée.
 Exercice 3 :
Monsieur C., commercial d'une entreprise, doit visiter 10 clients dans une journée.
Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
Chacune de ces 10 visites est indépendante des autres. Monsieur C. a constaté que la probabilité pour qu'il rencontre
effectivement le client lors d'une visite est 0,8.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Pour les questions suivantes, on indiquera le calcul qui permet d'obtenir la valeur exacte puis une valeur approchée
On tire successivement et avec remise 10 boules de l'urne.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
sera obtenue avec la calculatrice.
1. Ecrire une algorithme qui simule cette expérience.
Déterminer, à 10−4 près, la probabilité que Monsieur C. rencontre :
a.
3.
exactement 3 clients.
Compléter cet algorithme pour qu'il affiche en sortie une valeur approchée de P(X = 4) .
 Exercice 8 :
Une urne contient 3 boules noires et 2 boules blanches.
On note X le nombre de clients effectivement rencontrés.
1.
Préciser ses paramètres.
2.
b. au moins cinq clients.
c.
2.
entre 3 et 5 clients.
a.
Combien de clients Monsieur C. peut-il espérer rencontrer au cours de sa journée ?
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
b. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, P(X = 6) puis P(4 ≤ X ≤ 8) .
 Exercice 4 :
On administre un vaccin à des enfants. La proportion des enfants présentant une réaction forte à ce vaccin est 30 %.
On examine 10 enfants. On assimilera cet examen à dix tirages indépendants.
 Exercice 9 : Le quorum
Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale.
On note X le nombre d'enfants qui ont eu une réaction forte suite à l'un des vaccins.
Les statistiques montrent que chaque adhérent assiste à l’assemblée avec la probabilité 0,8.
1.
Quelle loi suit X ?
Les décisions prises par l’assemblée n’ont de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à
2.
Quelle est la probabilité que deux enfants exactement aient eu une réaction forte ?
l’assemblée.
3.
Quelle est la probabilité qu'au moins un des enfants ait eu une réaction forte ?
4.
Quelle est la probabilité qu'entre 4 et 6 enfants aient eu une réaction forte ?
Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ?
 Exercice 5 :
Une épreuve consiste à lancer 2 dés cubiques parfaits, l'un bleu et l'autre rouge dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note S l'événement "la somme des numéros des deux dés est supérieure ou égale à 10".
Qui a raison ?
On donnera la valeur approchée arrondie à 10−3 près.
~ 1/3 ~
Sara objecte : « Pas du tout. Dans le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, dans le deuxième cas, elle
est inférieure à 0,5. ».
Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois la réalisation de S lors des dix épreuves ?
P. CHATEL / J. DALARUN / S. ROUSSEL
au moins deux six avec 8 lancers ».

On répète dix fois de suite cette épreuve dans les mêmes conditions.
1.
 Exercice 10 : Paradoxe
 Paul affirme : « Avec un dé régulier, on a autant de chance d’obtenir au moins un six en 4 lancers que d’obtenir
12 mai 2015
P. CHATEL / J. DALARUN / S. ROUSSEL
~ 2/3 ~
12 mai 2015
Mathématiques
1S
 Exercice 11 :
Un sac contient 3 boules bleues et 7 boules rouges, toutes indiscernables au toucher.
On tire successivement et avec remise plusieurs boules du sac et on note R la variable aléatoire égale au nombre de
boules rouges tirées.
Partie A On procède à neuf tirages.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire R.
2. Dans cette question, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est attendue. Les
probabilités seront données sous forme décimale, au besoin arrondies à 10−3 près.
a. Calculer la probabilité de l’événement (R = 6).
b. Calculer P(5 ⩽ R ⩽ 8) .
c. Calculer la probabilité d’obtenir au plus six boules rouges.
d. Calculer la probabilité d’obtenir au moins huit boules rouges.
Partie B On effectue n tirages (n ∈ ℕ*)
1. Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn d'obtenir au moins une boule rouge.
2.
a. Ecrire un algorithme qui affiche en sortie la valeur de n à partir de laquelle la probabilité pn
d'obtenir une boule rouge sera strictement supérieure à 0,99.
b. Donne la valeur de n affichée en sortie.
 Exercice 12 :
On s’intéresse, dans cet exercice, à la masse des pots de con tures produits dans une usine.
Une étude a montré que la probabilité qu'un pot ait une masse inférieure à 490 grammes est égale à 0,2.
Partie A. On prélève au hasard 20 pots dans la production totale.
On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise de 20 pots.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 20 pots, associe le nombre de pots dont la masse est
inférieure à 490 grammes.
1.
2.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
Les calculs suivants seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est attendue.
On donnera des valeurs approchées arrondies au millième.
a. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 7 pots de masse inférieure à 490 grammes.
b. Calculer la probabilité qu’il y ait entre 6 et 9 pots (6 et 9 inclus) de masses inférieures à 490 grammes.
c.
Calculer la probabilité qu’il y ait au moins dix pots de masse inférieure à 490 grammes.
Partie B On prélève au hasard n pots dans la production totale (n ∈ *).
1.
2.
Exprimer, en fonction de n, P(X ≥ 1).
Donner, à l'aide de la calculatrice, le nombre de pots à prélever pour que la probabilité d'obtenir au moins un pot
de masse inférieure à 490 grammes soit supérieure ou égale à 0,99.

P. CHATEL / J. DALARUN / S. ROUSSEL
~ 3/3 ~
12 mai 2015