1. No category

Exercices sur les lois de probabilités continues.
Enoncé n° 1
La production quotidienne X d’un produit en tonnes est une variable aléatoire continue qui prend ses valeurs dans
l’intervalle I = [ 0;10] avec la densité de probabilité f définie par f ( x) = 0, 006 (10 x − x 2 ) .
a) Vérifier que f est une densité de probabilité sur I = [ 0;10] .
b) Calculer la probabilité des deux événements suivant : A « X ≤ 7 » puis B « La production quotidienne
dépasse 6 tonnes ».
c) Calculer l’espérance mathématique de cette variable aléatoire X.
Enoncé n° 2
f est la fonction de densité de probabilités de la loi d’une variable aléatoire X continue sur I = [ 0;5] et on donne
∫
2
0
f ( x)dx = 0, 22 et
a) P ( X ≤ 2 )
∫
5
4
f ( x)dx = 0,18 . Déterminer les probabilités suivantes :
d) P ( X > 2 )
b) P ( 4 < X < 5 )
c) P ( X ≤ 5 ) .
e) P ( X ≤ 4 )
f) P ( 2 < X < 4 ) .
Enoncé n° 3
Soit a ∈ \ +* et f ( x) = 2e − x définie sur I = [ 0; a ] . Déterminer le réel a pour que la fonction f soit une densité de
probabilité sur I = [ 0; a ]
Enoncé n° 4
Dans un supermarché, un jour de grande affluence, le temps d’attente T, à la caisse en minutes, suit une loi uniforme
sur l’intervalle I = [ 2; 20] .
a) Définir la fonction de densité de probabilités f de la loi de la variable aléatoire T.
b) Quelle est la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure ?
c) Quel est le temps d’attente moyen à la caisse ?
Enoncé n° 5
La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur I = [ 4;14] .
a) Définir la fonction de densité de probabilités f de la loi de la variable aléatoire X.
b) Déterminer les deux probabilités P ( X < 7 ) puis P ( X ≤ 10 ) .
c) Déterminer P ( 7 ≤ X ≤ 10 ) .
d) Déterminer l’espérance mathématique de X.
Enoncé n° 6
Soit b ∈ \ , la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur I = [ 4; b ] tel que b > 4 et de plus on sait que
P ( X < 10 ) = 0,8 . Déterminer le réel b puis l’espérance mathématique de X.
1
Enoncé n° 7
On choisit un point M au hasard sur le segment [ AB ] avec AB = 10 :
a) Définir une variable aléatoire X permettant de modéliser cette situation.
b) Calculer la probabilité des événements suivants :
G1 :" M est à égale distance de C et de D" puis
G2 :" M est plus près de C que de D"
Enoncé n° 8
La durée d’attente, en minutes, au départ d’une remontée mécanique dans une station de sport d’hiver est une
variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 05 .
a) Calculer, e, minutes, le temps moyen d’attente au départ de cette remontée mécanique.
b) Calculer, à 10−2 près, la probabilité d’attendre au départ de cette remontée mécanique :
(i) Moins de 30 minutes.
(ii) entre 10 et 30 minutes.
c) Un skieur arrive à la remontée mécanique. Un panneau indique que le temps d’attente est d’au moins 10
minutes. Calculer, à 10−2 près la probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.
Enoncé n° 9
La variable aléatoire X égale à la durée de vie d’un atome radioactif d’iode 131 avant désintégration suit une loi
exponentielle. On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à deux jours est égale à 0,160 à 10−3
près.
a) Calculer, à 10−3 près, le paramètre λ de cette loi exponentielle.
b) La demi-vie d’une substance radioactive est le temps t au bout duquel la moitié des atomes initiaux sont
désintégrés. Calculer, à 0,1 près, la demi-vie de l’iode 131.
Enoncé n° 10
La durée de vie (exprimée en heures) d’un certain type d’ampoules électriques est une variable aléatoire T qui suit la
loi exponentielle de paramètre λ = 0, 002 . Calculer, à 10−3 près, la probabilité pour qu’une ampoule de ce type :
a) N’ait pas de défaillance avant 100 heures.
b) Fonctionne encore au bout de 600 heures sachant qu’elle fonctionnait encore au bout de 500 heures.
Enoncé n° 11
Pour une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ , on a P (T > 3) = 0, 2 .
a) Exprimer P (T > 3) en fonction de λ .
b) En déduire la valeur de λ .
c) Déterminer E (T ) .
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Enoncé n° 12
Un commerçant vend des moteurs électriques dont la durée de vie en années est une variable aléatoire qui suit la loi
exponentielle de paramètre λ = 0, 2 .
a) Si le moteur est garanti un an, quelle proportion de ses clients le commerçant devra-t-il dépanner avant la
fin de la garantie ?
b) Quelle durée de garantie maximale (en mois) doit être choisie pour que le commerçant ait à dépanner
moins de 10 % de ses clients durant cette garantie ?
Enoncé n° 13
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite :
a) Calculer les probabilités suivantes en arrondissant au millième le plus proche avec la calculatrice :
P ( X = 1) ; P ( −1,5 ≤ X ≤ 2, 2 ) ; P ( X < 1,3) et P ( X > 0, 22 ) .
b) Soient les événements A :" X > −0,38" et B :" X < 1, 02" . Calculer PA ( B ) .
Enoncé n° 14
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite : En utilisant la calculatrice, déterminer les valeurs
approchées au centième le plus proche des réels suivant :
a) Le réel a tel que P ( X ≤ a ) = 0,1256 .
b) Le réel b tel que P ( X > b ) = 0, 2347 .
c) Le réel c tel que P ( 0 < X < c ) = 0, 4988 .
Enoncé n° 15
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite : En utilisant la calculatrice, déterminer les valeurs
approchées au millième le plus proche des probabilités suivantes :
5⎞
⎛1
a) P ⎜ < X < ⎟ .
3⎠
⎝3
3⎞
⎛
b) P ⎜ X ≥ − ⎟ .
7⎠
⎝
Enoncé n° 16
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite : En utilisant la calculatrice, déterminer la valeur
approchées au millième le plus proche du réel a tel que : P ( X > a ) = 0,158
Enoncé n° 17
La courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite est
représentée ci-contre. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près du
réel a sachant que l’aire colorée vaut 0,92.
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Enoncé n° 18
Déterminer, à 10−3 près, la valeur de uα tel que P ( −uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α avec la calculatrice, en considérant que X
suit la loi normale centrée réduite dans les deux cas suivants :
a) uα pour α = 0, 05 .
b) uα pour α = 0, 01 .
Enoncé n° 19
Utilisation d’un tableur pour calculer avec la loi normale centrée réduite, à 10−3 près :
a) P ( X < 1, 754 ) .
b) P ( −1,34 < X < 2, 27 ) .
c) Déterminer le réel a tel que P ( X < a ) = 0, 275 .
d) Déterminer le réel u0,1 tel que P ( −u0,1 ≤ X ≤ u0,1 ) = 0,90 .
Enoncé n° 20
Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids, en grammes,
des rations de viande. On suppose que X suit une loi N ( μ = 120; σ 2 = 225 ) . Les probabilités seront arrondies au
millième le plus proche.
1°) Quel est le poids moyen d’une ration de viande ?
2°) Quelle est la probabilité pour que le poids d’une ration de viande soit compris entre 110 g et 135 g ?
3°) Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le
poids dépasse 130 g ?
Enoncé n° 21
La variable aléatoire X suit une loi N ( μ = 90; σ 2 = 400 ) . Les probabilités seront arrondies au dixième le plus
proche. Donc μ = 90 et σ = 20
1°) Déterminer le réel k1 tel que P ( X < k1 ) = 0,98
2°) Déterminer le réel k2 tel que P ( X > k2 ) = 0, 60
3°) Déterminer un intervalle I de centre μ tel que P ( X ∈ I ) = 0,85 .
Enoncé n° 22
La société K produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm3 . On désigne par X la variable aléatoire qui a
chaque bonbonne tirée au hasard dans la production, associe sa contenance en dm3 . On admet que la variable
aléatoire X suit une loi normale N ( μ = 44; σ 2 = 0, 04 ) .
1°) Quelle est la probabilité que la contenance d’une bonbonne de gaz choisie au hasard soit inférieure à 44,3 dm3 ?
2°) Quelle est la probabilité que la contenance d’une bonbonne de gaz choisie au hasard soit comprise entre 43,8 et
44,3 dm3 ?
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Enoncé n° 23
La variable aléatoire X suit une loi N ( μ = 125; σ 2 = 100 ) . Les probabilités seront arrondies au millième le plus
proche. Donc μ = 125 et σ = 10
1°) Déterminer le réel a tel que P ( X < a ) = 0, 705
2°) Déterminer le réel b tel que P ( X ≤ b ) = 0, 208
3°) Déterminer le réel c tel que P ( X ≥ c ) = 0, 409
4°) Déterminer le réel d tel que P ( X ≥ d ) = 0,822
Enoncé n° 24
Une machine fabrique en grande série des disques de verre dont le diamètre doit être de 30 millimètres. . On appelle
X la variable aléatoire qui, à chaque disque pris au hasard, associe son diamètre exprimée en millimètres.
Cette variable aléatoire X suit une loi N ( μ = 30; σ 2 = 0, 0324 ) . On accepte les disques dont le diamètre est compris
entre 29,76 mm et 30,14 mm. Les probabilités seront arrondies au dix millième le plus proche. Donc
μ = 30 et σ = 0,18
1°) Déterminer la probabilité P ( 29, 76 ≤ X ≤ 30,14 ) .
2°) Quel nombre de disques refusés peut-on prévoir sur un lot de 1 000 pièces ?
Enoncé n° 25
La variable aléatoire X suit une loi N ( μ ; σ 2 ) . Avec μ = 2 ×10100 et σ = 10100
Déterminer à 0,01 près la valeur de P ( X < 1,5 ×10100 )
Enoncé n° 26
Une fabrique de desserts glacés dispose d’une chaîne automatisée pour emplir et emballer des cônes de glace.
Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque cône
prélevé au hasard dans la production, associe la masse (exprimée en grammes) de glace qu’il contient. On suppose
que x suit une loi N ( μ = 100; σ 2 ) .
1°) Dans cette question σ = 2 2 . On choisit au hasard un cône remplit de glace. Calculer, à 0,01 près, la probabilité
que la masse de glace qu’il contient soit comprise entre 95 g et 105 g.
2°) Un cône est considéré comme « bon » lorsque la masse de glace qu’il contient appartient à l’intervalle [95;105] .
Déterminer, à 0,01 près, la valeur de σ tel que la probabilité de l’événement : « Le cône est bon » soit égale à 0,95.
Enoncé n° 27
La variable aléatoire X suit une loi N ( μ ; σ 2 ) . Déterminer les valeurs approchées arrondies à l’entier le plus proche
des cœfficients μ et σ sachant que :
⎧⎪ P ( X < 55 ) = 0, 7977
⎨
⎪⎩ P ( X > 48 ) = 0, 6306
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Enoncé n° 28
La duré de vie exprimée en heures d’un certain types d’ampoules électriques est une variable aléatoire T qui suit la
loi exponentielle de paramètre 0,002.
a) Calculer à 10−3 près, la probabilité pour qu’une ampoule du même type ait une défaillance avant 500 heures.
b) Calculer à 10−3 près, la probabilité pour qu’une ampoule du même type n’ait pas de défaillance avant 100
heures.
c) Calculer la probabilité pour qu’une ampoule de ce type fonctionne encore au bout de 600 heures sachant
qu’elle fonctionne au bout de 500 heures. Que remarque – t –on ?
Enoncé n° 29
La variable aléatoire X égale à la durée de vie d’un atome d’iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle.
On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à 2 jours est à 10−3 près, égale à 0,160.
a) Calculer, à 10−3 près, le paramètre de cette loi exponentielle.
b) Calculer, les probabilités des événements ( X = 7 ) et ( 6 < X < 10 ) .
c) La demie – vie d’un nuclide (ou nucléide, c’est-à-dire noyau atomique caractérisée par son nombre de
protons et par son nombre de neutrons), est le temps T au bout duquel la moitié des atomes initiaux sont
désintégrés. Calculer à 0,1 près la demi-vie de l’iode 131.
d) Justifier par un calcul la loi de désintégration radioactive suivante « la probabilité pour qu’un atome
radioactif se transforme durant un intervalle de temps ( Δt ) petit est approximativement λΔt ».
On utilisera le fait que eu − 1 u pour u voisin de 0.
Enoncé n° 30
Soit X la variable aléatoire égale à la durée d’attente, en minutes, à un guichet d’une banque. On admet que X suit
une loi exponentielle de paramètre λ .
1°) Déterminer une valeur approchée de λ à 10−4 près sachant que la probabilité qu’un client attende moins de
8 minutes est 0,7.
2°) Calculer la probabilité qu’un client attende :
a) Plus de 4 minutes.
b) Entre 15 et 20 minutes.
3°) Déterminer la probabilité qu’un client attende plus de 11 minutes sachant qu’il attend déjà depuis 5 minutes.
+∞
4°) On admet que E ( X ) = ∫ λ xe − λ x dx . Déterminer la durée moyenne d’attente pour un client.
0
5°) On admet que la médiane de X est la valeur x pour laquelle P ( X < x ) = 0,5 .
Déterminer la médiane de X et interprétez ce résultat.
6°) On interroge au hasard dix clients de cette banque. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients ayant
attendu plus de 15 minutes au guichet.
a) Calculer P (Y = 6 ) et interprétez ce résultat.
b) Quelle est la probabilité que plus de huit clients attendent plus de 15 minutes ?
c) Déterminer l’espérance de Y et interprétez ce résultat.
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Enoncé n° 31
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Indiquer la quelle, en justifiant la réponse.
On s’intéresse à la durée de vie, exprimées en années, d’un appareil ménager avant sa première panne.
On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité P de durée de vie sans vieillissement de paramètre λ .
1°) Pour tout réel t positif ou nul, la valeur exacte de P ([t ; +∞ ]) est :
a ) 1 − eλt
b) e λ t
c) 1 + eλt
2°) La valeur de t telle que P ([ 0; t ]) = P ([t ; +∞ ]) est :
a)
ln(2)
λ
b)
λ
c)
λ
ln(2)
2
3°) D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne avant la fin de la première année est
0,18, la valeur exacte de λ est alors :
ln(82)
⎛ 50 ⎞
⎛ 41 ⎞
a) ln ⎜ ⎟
b) ln ⎜ ⎟
c)
ln(100)
⎝ 41 ⎠
⎝ 50 ⎠
4°) Sachant que l’appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la
probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :
a) P ([1; +∞ ])
b) P ([3; +∞ ])
c) P ([ 2;3[ )
5°) La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est :
a ) 0,5523
b) 0,5488
c) 0,5514
6°) Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable aléatoire
égale au nombre d’appareils qui n’ont pas eu de panne au cours des trois premières années.
La valeur la plus proche de la probabilité de l’événement ( X = 4 ) est :
a ) 0,555
b) 0,8022
c) 0,1607
Enoncé n° 32
On considère un noyau radioactif. On admet que sa durée de vie en années est une variable aléatoire X qui suit une
loi sans vieillissement de paramètre λ .
1°)
a) Déterminer la densité de probabilité f de X.
b) Déterminer la fonction de répartition F de X.
c) Soit t et h deux réels positifs. Calculer P ( t ≤ X ≤ t + h ) et expliquer ce que représente ce nombre.
d) On sait que ce noyau radioactif n’est pas désintégré à l’instant t. Démontrer que la probabilité que ce
noyau se désintègre entre les instants t et t +h ne dépend pas de t.
2°) On appelle demi-vie d’un élément radioactif la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement
1
présents sont désintégrés, c’est-à-dire le nombre T tel que P ( X ≤ t ) = .
2
Exprimer en fonction de λ la demi-vie T d’un élément radioactif.
3°) Les déchets radioactifs sont classés en plusieurs catégories. La première catégorie concerne les déchets de faible
ou moyenne activité et de courte durée de vie. On estime qu’un déchet a une courte durée de vie lorsque sa demi-vie
est inférieure à 30 ans.
a) Déterminer un minorant de λ .
b) Ces déchets doivent être isolée de l’homme pendant la durée nécessaire pour que la probabilité qu’un
noyau se désintègre soit supérieure à 99,9 %. Déterminer ce nombre minimal d’années.
4°) Lors de la catastrophe de Tchernobyl (en 1986), vingt radionucléides ont été disséminés, et parmi eux l’iode 131
(d’une demi-vie de 8 jours) et le césium 137 (d’une demi-vie de 30 ans).
Les mesures actuelles effectuées sur l’iode 131 peuvent-elles être concluantes ?
Répondre à cette question pour le césium 137.
7
Enoncé n° 33 Devoir Maison TICE . Points d’inflexion de la courbe de Gauss
ϕ désigne la fonction de Laplace – gauss.
1°)
a) Démontrez que, pour tout x ∈ \ , on a ϕ '( x) = − xϕ ( x) et ϕ ''( x) = ( x 2 − 1) ϕ ( x) .
b) Déduisez-en que la fonction ϕ ' admet un maximum et un minimum.
2°) On appelle ( Γ ) la courbe de Gauss et I son point d’abscisse 1.
a) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe ( Γ ) au point I.
b) A l’aide du logiciel GEOGEBRA, tracer la courbe ( Γ ) et la tangente (T ) .
Observez qu’en I, la tangente ( Γ ) traverse la courbe ( Γ ) . On ne demande pas de démontrer ce dernier
résultat.
3°) Expliquer, sans calculs, pourquoi il en est de même au point J d’abscisse −1 .
Remarque : On dit que les deux points I et J sont des points d’inflexion de la courbe ( Γ )
Enoncé n° 34, Espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loi normale.
Si la variable aléatoire suit la loi normale N ( μ ; σ 2 ) alors son espérance mathématique est μ et sa variance est σ 2 .
On se propose dans cet exercice de démontrer ce théorème.
2
On admet que les deux propriétés suivantes : E ( aY + b ) = aE (Y ) + b et V (Y ) = E ⎡Y − E (Y ) ⎤ vraies pour une
⎣
⎦
variable aléatoire discrète Y, restent vraies pour une variable aléatoire à densité.
X −μ
1°) On pose Z =
.
σ
a) Précisez E ( Z ) et V ( Z ) .
b) Démontrer que V ( Z ) = E ( Z 2 ) .
c) Exprimer X en fonction de Z.
2°) Déduisez-en que E ( X ) = μ .
3°) Déduisez-en que V ( X ) = σ 2 .
Enoncé n° 35
Une variable aléatoire X suit la loi normale N ( μ = −4; σ 2 = 49 ) , donc sa moyenne vaut μ = −4 et son écart type
vaut σ = 7 . Calculer alors avec trois décimales, les probabilités suivantes :
a) P ( X ≤ −11) et P ( X > 3)
b) P ( −11 ≤ X ≤ 3)
c) P ( X < −11 ou X > 3) .
d) P ( −18 < X < 10 )
e) P ( X ≤ −18 ou X ≥ 10 )
f) P ( X ≤ −10 ou X ≥ 18 ) .
8
Enoncé n° 36. Algorithme , la méthode de Monte-Carlo.
Dans un repère orthonormé, on appelle C le carré de centre O et de rayon 1, construit sur le repère et D le domaine
1
situé entre les abscisses 0 et 1, sous la courbe ( H ) d’équation y = f ( x) =
.
x +1
1°) On choisit au hasard un point dans le carré C . Calculer la probabilité qu’il soit dans le domaine D , c’est-à-dire
le rapport de l’aire de D à l’aire de C .
2°) On choisit 10 000 points au hasard dans le carré C . On appelle X la variable aléatoire indiquant le nombre de
ces points qui sont dans le domaine D . Calculer P ( 6800 < X < 7050 ) .
3°) L’algorithme ci-dessous, écrit avec ALGOBOX, permet de réaliser l’expérience de la question n° 2 et fournit en
résultat la valeur prise par la variable aléatoire X. On vous demande de compléter cet algorithme, en remplaçant les
parties en pointillés par les valeurs manquantes pour que cet algorithme fonctionne correctement.
4°) Réalisez un programme correspondant à cet algorithme et, exécutez-le plusieurs fois. Le résultat de la deuxième
question est-il confirmé ?
Enoncé n° 37
Vous voulez calculer P ( 0 < Z < 1, 5 ) , où la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite N ( 0;1) . Mais
votre calculatrice ne dispose pas de la fonction Φ . Ecrivez alors un algorithme permettant d’obtenir le résultat de
cet probabilité P ( 0 < Z < 1,5 ) à 10−2 près.
9
Enoncé n° 38 Densité de la loi normale
Soit X la variable aléatoire suivant la loi normale N ( μ ; σ 2 ) . Le but de cet exercice est de déterminer l’expression
de sa densité de probabilité noté f .
On appelle F sa fonction de répartition c’est-à-dire la fonction définie par F ( x) = P ( X ≤ x ) .
1°)
⎛ x−μ ⎞
a) Démontrer que pour tout nombre x on a F ( x) = Φ ⎜
⎟ avec Φ la fonction définie sur \ par
⎝ σ ⎠
Φ ( x) = P ( X ≤ x ) , donc Φ ( x) = F ( X ) = P ( X ≤ x ) .
b) Sachant que la fonction F est une primitive de la fonction f , déduisez-en que pour tout nombre x on a
1 − x2
⎛ x−μ ⎞
f ( x) = × ϕ ⎜
,
avec
ϕ
la
fonction
de
Laplace-Gauss
définie
sur
\
par
ϕ
x
=
e .
(
)
⎟
σ
2π
⎝ σ ⎠
a) Représentez f à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, par exemple GEOGEBRA : Vous définirez
deux curseurs μ et σ , pour faire varier μ entre −10 et 10 , puis pour faire varier σ entre 0 et 5 .
b) Observez l’évolution des courbes selon que μ ou σ varie.
a) Démontrer que la courbe représentative de la fonction f admet pour axe de symétrie la droite d’équation
x=μ.
b) Précisez les coordonnées exactes du sommet de la courbe représentative de la fonction f .
a) Afficher l’aire du domaine situé sous la courbe entre les abscisses μ − 2σ et μ + 2σ
(Il faut dans GEOGEBRA, utilisez l’instruction suivante : Intégrale ( f , μ − 2σ , μ + 2σ )
1
2°)
3°)
4°)
2
b) Que peut-on conjecturer en faisant varier μ et σ ?
c) Démontrer cette conjecture.
Enoncé n° 39
Une enquête a montré que 50 % des élèves du Lycée Delacour utilisent quotidiennement un ordinateur. On interroge
successivement et de manière indépendante 64 élèves de ce lycée choisis au hasard et « avec remise ».
On note X la variable aléatoire qui comptabilise ceux qui utilisent quotidiennement u ordinateur.
1°) Justifiez que la loi de probabilité de X est une loi binomiale et précisez les paramètres de cette loi.
2°) Justifiez que cette loi peut être approchée par une loi normale dont vous préciserez les paramètres.
3°) Calculez la probabilité qu’au plus 36 élèves utilisent quotidiennement un ordinateur ;
D’après BTS Informatique de Gestion.
Enoncé n° 40
Dans un centre de collecte de sang, on commence par mesurer la température corporelle et la pression artérielle des
personnes qui se présentent pour un don. On admet que pour une personne prise au hasard parmi celles qui se
présentent :
- La température corporelle T ( en D C ) suit une loi normale d’espérance 37 et d’écart type 0,4.
- La pression artérielle systolique S ( en cm.Hg ) suit une loi normale d’espérance 12 et d’écart type 2
1°) On note F l’événement : « La personne a de la fièvre », c’est-à-dire que sa température dépasse 37,8. Calculez la
probabilité de cet événement F.
2°) On note H l’événement : « La personne est hypotendue », c’est-à-dire que sa pression artérielle systolique est
inférieure à 9. Calculez la probabilité de cet événement H.
3°) Le don de sang est refusé si la personne a de la fièvre (risque d’infection) ou si la personne est hypotendue
(risque d’évanouissement). On admet, pour simplifier, que ce sont les seuls cas de refus.
En supposant indépendants les événements F et H, calculer la probabilité que le don soit refusé.
4°) La personne s’est vue refuser le don du sang. Quelle st la probabilité, arrondie au millième de :
a) Qu’elle est de la fièvre ?
b) Qu’elle ait de l’hypotension ?
c) Qu’elle ait de la fièvre et de l’hypotension.
10
Enoncé n° 41
Une entreprise fabrique en grande quantité des plaques métalliques rectangulaires pour l’industrie. Dans ce qui suit,
les résultats seront arrondies à 10−3 près.
On prélève au hasard une pièce dans la production, et on appelle X et Y les variables aléatoires qui indiquent
respectivement sa longueur et sa largeur, en mm.
On suppose que X → N ( μ = 250; σ 2 = 4 ) et Y → N ( μ = 150; σ 2 = 2, 25 )
1°) Calculer la probabilité de l’événement A : « La longueur est- comprise entre 246 et 254 ».
2°) Calculer la probabilité de l’événement B : « La largeur est- comprise entre 146 et 154 ».
3°) Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254, et sa largeur entre 146 et 154. On admet
que les deux événements A et B sont indépendants. Calculer la probabilité que la pièce soit conforme.
4°) La pièce prélevée est non conforme. Quelle est la probabilité :
a) Que sa longueur soit inférieure à 246 ?
b) Que sa largeur soit supérieure à 154 ?
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Problèmes sur les lois de probabilités.
Rappel de cours. Densité d’une loi de probabilité sur un intervalle [a ;b].
Soit [ a; b] un intervalle. La fonction numérique f définie et continue sur cet intervalle [ a; b] est une densité de
probabilité sur [ a; b] si f est positive sur [ a; b] et si on a
b
∫ f (t )dt = 1 . Dans ces conditions, si P désigne la loi de
a
probabilité de densité f , quels que soient les réels c et d de l’intervalle [ a; b] tels que c ≤ d , on a :
d
P ([ c; d ]) = ∫ f (t ) dt .
c
Problème n° 1. Loi uniforme sur [a ;b].
La loi uniforme sur un intervalle [ a; b] , où a et b sont deux réels tels que a < b , modélise le tirage au hasard d’un
réel dans l’intervalle [ a; b] . Elle est caractérisée par la propriété suivante :
« La probabilité de tout intervalle est proportionnelle à son amplitude ». On admet que la loi uniforme sur [ a; b] est
une loi à densité continue, c’est-à-dire qu’il existe une fonction continue f définie sur [ a; b] et telle que, pour tout
d
c ≤ d dans l’intervalle [ a; b] , on a : P ([ c; d ]) = ∫ f (t )dt .
c
On se propose ici de déterminer la fonction f .
1°) Soit F une primitive de f .
a) Démontrer qu’il existe un réel k tel que, pour tous réels c et d de [ a; b] , tels que c ≤ d , on a :
F ( d ) − F (c ) = k × ( d − c ) .
b) Soit x0 ∈ [ a; b ] ; justifier la dérivabilité de F en x0 et préciser la valeur de F ' ( x0 ) . En déduire que f
est constante sur [ a; b] .
2°)
a) A l’aide de l’égalité P ([ a; b ]) = 1 , préciser l’expression de f (t ) pour t ∈ [ a; b] .
b) Tracer la représentation graphique de f sur [ a; b] et interpréter graphiquement les résultats obtenus ci-
dessus (on prendra a = −1 et b = 4 .)
3°) Application :
On choisit au hasard un nombre dans l’intervalle [ −1; 4] .
a) Quelle est la probabilité qu’il appartienne à l’intervalle [ 0;1] ?
b) Quelle est la probabilité qu’il soit inférieur à −0, 39 sachant qu’il est négatif ?
Problème n° 2.
Un skieur doit traverser un glacier en suivant une piste de longueur 1 km. La probabilité pour qu’il rencontre une
crevasse sur son chemin est p . Si cette crevasse existe, sa répartition sur le chemin suit une loi uniforme sur
l’intervalle [ 0;1] . A la distance d du point de départ ( 0 < d < 1) se trouve un refuge, où le skieur peut se reposer un
instant. On note C l’événement : « la crevasse existe effectivement sur le chemin parcouru par le skieur » ; A : « Il
existe une crevasse entre le départ et le refuge » ; et B : « Il existe une crevasse entre le refuge et l’arrivée ».
PC ( A) et PC ( B ) , puis exprimer ces probabilités en
a) Interpréter les deux probabilités suivantes :
fonction de d .
b) Construire un arbre des possibilités faisant intervenir C, C , A et B. Calculer P ( A) et P ( B ) en fonction
de p et d .
c) Sachant que le skieur est parvenu sans encombre au refuge, quelle est la probabilité pour qu’il rencontre la
crevasse sur la suite du parcours ?
d) Combien vaut cette dernière probabilité si p = 1 ? Interprétez ce résultat.
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Problème n° 3. Désintégration radioactive
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0; +∞[ par f ( x) = e − x , et P est la loi de probabilité de densité
f sur [ 0; +∞[ .
1°) Etudier la fonction f et tracer sa représentation graphique.
2°)
a) Calculer P ([ 0;1]) et interpréter graphiquement cette quantité. En déduire la valeur de P ([1; +∞[ ) .
b) On note s un réel positif quelconque. Calculer alors la probabilité conditionnelle suivante :
P[1;+∞[ ([1;1 + s ]) .
3°)
a) Soit s et t deux réels positifs quelconques. Calculer alors la probabilité conditionnelle suivante :
P[1;+∞[ ([t ; t + s ]) . Cette quantité dépend-elle de t ?
b) L est un intervalle contenu dans [ 0; +∞[ ; on admet que P ( L ) est la probabilité pour un noyau radioactif
donné d’une certaine substance radioactive de se désintégrer à un instant t appartenant à L . En quoi le résultat du
3°) a) justifie-t-il le nom de « loi de durée de vie sans vieillissement » pour P ?
Problème n° 4. Loi de durée de vie sans vieillissement.
On appelle P la « loi de durée de vie sans vieillissement » sur [ 0; +∞[ de paramètre λ > 0 . Ce paramètre λ est
attaché à une substance radioactive, et on admet que, si L est un intervalle contenu dans [ 0; +∞[ , P ( L ) désigne la
probabilité pour un noyau donné de cette substance de se désintégrer à un instant t appartenant à L .
1°) Soit s et t deux réels positifs quelconques. Calculer alors la probabilité :
P ([t ; t + s ]) . Que représente ce
nombre ?
2°) On sait qu’un noyai n’est pas désintégré à l’instant t . Quelle est la probabilité qu’il se désintègre entre les
instants t et t + s ?
Ce résultat dépend-il de t ?
1
3°)
a) Calculer en fonction de λ le temps τ tel que P ([ 0;τ ]) = . Ce nombre τ est appelé la demi-vie, ou
2
période, de l’élément radioactif considéré.
b) Quelle est la probabilité pour qu’un noyau donné se désintègre entre les instants t et t + τ sachant qu’il
n’est pas désintégré à l’instant t ?
4°) La demi-vie τ et la constante λ sont très variables d’un élément radioactif à l’autre.
a) Le « carbone 14 » a une demi-vie de 5 730 années : calculer sa constante de désintégration annuelle.
b) La constante de désintégration annuelle de « l’uranium 238 » est de 1, 54 ×10−10 environ. Quelle demi-vie
peut-on en déduire pour l’uranium 238 ?
Problème n° 5.
1°)
a) Démontrer que la fonction f : t → 4t 3 est al densité d’une loi de probabilité définie sur l’intervalle [ 0;1] .
b) Calculer la probabilité P ([ 0, 25;0, 75])
2°) Soit P ' une loi de probabilité sur l’intervalle [1;10] de densité g : t → kt −2 , où k est une constante positive.
a) Déterminer la valeur du réel k , puis étudier et représenter graphiquement la fonction g sur [1;10] .
b) Calculer les probabilités P ' ([1;5]) et P ' ([5;10 ]) . Représenter graphiquement ces quantités sur la figure
réalisée précédemment.
c) Comparer les amplitudes et les probabilités des intervalles [1;5] et [5;10] : commenter en comparant à
la loi uniforme sur [ 0;1] .
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Problème n° 6.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0;1] par :
f ( x) = k .x 2 , où k est un réel fixé.
1°) déterminer la valeur de k sachant que f est la densité d’une loi de probabilité P sur l’intervalle [ 0;1] .
Représenter graphiquement cette fonction f .
⎛⎡ 1⎤⎞
⎛ ⎡1 ⎤⎞
2°) Calculer les probabilités P ⎜ ⎢0; ⎥ ⎟ et P ⎜ ⎢ ;1⎥ ⎟ . Représenter graphiquement ces quantités sur la figure
⎝ ⎣ 2⎦⎠
⎝⎣2 ⎦⎠
réalisée précédemment.
⎛ ⎡1 ⎤⎞
⎛⎡ 1⎤⎞
P ⎜ ⎢ ; a ⎥ ⎟ = P ⎜ ⎢0; ⎥ ⎟ .
3°) Déterminer le réel a tel que :
⎝⎣2 ⎦⎠
⎝ ⎣ 2⎦⎠
4°) Existe-t-il deux intervalles de même amplitude et de même probabilité suivant la loi P ?
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