Mathématique arabes
Les arabes n'ont pas inventé les chiffres.Les chiffres utilisés quotidiennement ne
sont pas une invention arabes.Malgres leur nom les chiffres de notre systeme
decimal sont en realité indiens.Les arabes les ont reutilisés dans leur travaux mais
ne les ont pas découverts.Si aujourdhui on les appelle encore les chiffres arabes
c'est parce que les européens les ont découvert au sein de l'empire arabomusulman
plus tardivement. Ils ont synthetisé à la fois les connaissances indiennes en
observation et en calcul et la démarche d'analyse grecque à savoir la démonstration
. À cela ils ont apporté une nouvelle approche fondamentale la recherche des
preuves qui va devenir une des caracteristiques de la science. A partir des acquis
anciens, cette civilisation développe enormement le monde des mathematiques.
Le peuple arabe a joué un rôle fondamental dans l'histoire des mathématiques: en
reprenant les acquis des sciences grecques et indiennes et en les améliorant, il a
permis le renouveau scientifique européen en algèbre comme en géométrie...
Bagdad (Irak actuel) fut même la capitale culturelle du monde.
Les deux grandes réussites des mathématiques musulmanes sont:
l'algèbre moderne et l'aboutissement de la trigonométrie.
Dans l'histoire des mathématiques, on désigne par les expressions de
mathématiques arabes, ou mathématiques islamiques, les contributions apportées
par les mathématiciens du monde musulman jusqu'au milieu du XVe siècle.
Les sciences arabes, et en premier plan, les mathématiques, s'exercent à travers les
califats islamiques, établis en Moyen-Orient, en Asie centrale, en Afrique du Nord ,
dans la péninsule ibérique, et au sud de la France au VIIIe siècle. Les textes sont
écrits en arabe, qui était une des langues des sciences et de la culture à cette
époque, d'où l'emploi des termes de « sciences arabes » et de « mathématiques
arabes », cela sans considération de la langue maternelle des savants et quelles
que puissent être leurs origines ethniques ou leur religion.
Les mathématiques arabes se sont constituées par assimilation des mathématiques
grecques ou mathématiques indiennes. Elles ont également été influencées par les
mathématiques chinoises et babylonienne avant de connaître un développement
propre. C'est principalement par leurs traductions en arabe et leurs commentaires
que l'Europe prit connaissance des ouvrages des mathématiciens grecs. De
récentes recherches ont démontré que beaucoup d'idées, qu'on pensait nées dans
l'Europe du XVIe, XVII e ou X VIII e siècle, étaient déjà présentes dans les
mathématiques grecques ou furent développées par des mathématiciens
arabes.L'étude des sciences arabes est très récente. Elle n'a commencé qu'au début
du 19ème siècle. On sait que les mathématiques arabes proviennent des héritages
anciens grecs et indiens. Plusieurs phases sur l'échelle du temps résument
l'histoire des mathématiques arabes.
La première phase (plutôt courte) commence à la fin du 8ème siècle (de l'ère
chrétienne) et se termine au début du 9ème siècle.C'est la phase de
"l'appropriation". Cette phase est celle où les arabes rassemblent les
connaissances scientifiques, les traduisent et les étudient. La deuxième phase est
une phase d'éclosion, il y a beaucoup d'innovations, de découvertes en
mathématiques. La troisième phase, du (12ème au 13ème siècle), c'est une phase
"palier", les mathématiciens arabes sont encore novateurs mais elle fait apparaître
des indices d'un langage propre aux mathématiques. La quatrième et dernière
phase qui va du 14ème siècle au 16ème siècle, c'est une période de dynamisme au
niveau des découvertes.
S'il y a un personnage incontournable des mathématiques arabes c'est bien
Muhammad Ibn Moussa Al Khawarizmi né dans les années 780, originaire de Khiva
dans la région du Khwarezm qui lui a donné son nom, dans l'actuel Ouzbékistan,
mort vers 850 à Bagdad, est considéré comme le plus grand mathématicien de
bagdad , est géographe, astrologue et astronome musulman perse , membre des Maisons
de la sagesse dont les écrits, rédigés en langue arabe, ont permis l'introduction de
l'algèbre en Europe. Sa vie s'est déroulée en totalité à l'époque de la dynastie
abbasside. C'est le premier à écrire un livre contenant le mot algèbre, il est
considéré comme l'inventeur de la discipline algébrique et est donc à l'origine des
mots « algorithme » (qui n'est autre que son nom latinisé: "algoritmi" ) et « algèbre »
ou encore de l'utilisation des chiffres arabes dont la diffusion dans le Moyen-Orient
et en Europe provient d'un autre de ses livres (qui lui-même traite des
mathématiques indiennes). Son livre: "Le livre d'Al Khawarizmi" est un livre
d'algèbre révolutionnaire, il est à l'origine du développement futur des
mathématiques. Par exemple, il défend une nouvelle méthode; selon lui, il est
préférable de démontrer une formule que d'en trouver une sans développement
logique puis de la tester. C'est lui qui a fait connaître le système décimal positionnel
indien (les chiffres que l'on utilise actuellement) au monde chrétien, au moyen
orient et au califat de Cordoue.Ces écrits, rédigés en langue arabe, ont permis
l'introduction de l'algèbre en Europe.
Son apport en mathématiques fut tel qu'il est également surnommé « le père de
l'algèbre », avec Diophante d'Alexandrie, dont il reprendra les travaux. En effet, il fut
le premier à répertorier de façon systématique des méthodes de résolution
d'équations en classant celles-ci.
Al-Khuwarizmi est considéré comme l'un des plus grands savants arabes, qui ont le
plus influencé les sciences mathématiques et astronomiques dans le monde. Aldo
Mieli dit, à cet effet : «Si nous nous penchions sur les mathématiques et
l'astronomie, nous trouverions, dès le départ, des savants de premier ordre, le plus
célèbre étant Abu Abdullah Mohamed Ibn Musa Al-Khuwarizmi».
Contributions scientifiques
Al-Khuwarizmi avait un apport indéniable dans les mathématiques, la géographie,
l'astronomie et la cartographie, il a aussi des écrits sur les dispositifs mécaniques
tels que l'astrolabe, et le cadran solaire.Au XIIe siècle,ses travaux ont été diffusé en
Europe,ce qui avait-à travers les traductions latines un impact significatif sur les
progrès en mathématiques.
Il fut, par ailleurs, le premier à utiliser le terme "jabr" pour désigner la science
connue aujourd'hui comme l'algèbre, nom qu'elle conserve, par sa racine arabe,
dans toutes les langues européennes. Tous les mots européens finissant par
«algorithme» se rattachent, en fait, à al-Khuwarizmi. Il est aussi le premier à avoir
écrit sur l'algèbre. Il a également introduit les chiffres indiens (connus aujourd'hui
comme les chiffres arabes). Parmi les importantes contributions d'al-Khuwarizmi
figurent la découverte et le développement de certaines règles dans le domaine des
mathématiques, entre autres, la règle de la double erreur, la méthode géométrique
de résolution des carrés inconnus, connue aujourd'hui comme l'équation du second
degré. Sans oublier sa publication des premières tables des sinus et tangentes des
triangles, traduites vers le latin au XVIIIe siècle
En Algèbre et en Arithmétique
Le livre 'Al Kitab Al Mkhtassar Fi Al-jabr wal-Moukabala traduit en latin sous le nom
de 'Liber algebrae ét almucabala' par Robert de Chester (Ségovie, 1145),ce livre était
également traduit par Gérard de Crémone. Il existe encore une copie arabe réservée
à Oxford traduite en 1831, par F. Rosen.
Ce livre contient six chapitres, consacrés chacun à un type particulier d'équation. Il
ne contient aucun chiffre. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Le
carré de l'inconnue est nommé « le carré » ou mâl, l'inconnue est « la chose » ou
shay (šay),la racine est le jidhr, la constante est le dirham ou adǎd. Le terme al-jabr
fut repris par les Européens et devint plus tard le mot algèbre.Inspiré entre autre par
les travaux de l’indien Brahmagupta 598 ; 660),al Khwarizm contribuera à nous
transmettre le système décimal provenant de l'Inde qu'il expose dans son traité de
mathématiques datant de 830, "Livre de l'addition et de la soustraction d'après le
calcul des Indiens". On y trouve les principes des opérations, y compris
multiplications et divisions, la règle de trois (appelée aujourd'hui "quatrième
proportionnelle"), ainsi que la méthode d'extraction de racines carrées.
Il étudie également des propriétés sur les figures usuelles comme le cercle et
travaille sur les volumes de solides tels que la sphère, le cône ou la pyramide.Son
ouvrage Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, « Le livre du rajout et de l'équilibre » qui sera
traduit en latin au XIIème siècle sous le titre d'Algebra présente sa méthode de
résolution des équations (muadala).Elle consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est
devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en
débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de
l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
- al hatt (2x = 8 devient x = 4)
Division de chaque terme par un même nombre.
Al Khwarizmi distinguera suivant les signes des termes six cas différents
d’équations de degrés 1 et 2. Les exemples ci-dessus présentent des équations de
degré 1. Une équation de degré 2 est une équation dont l’inconnue x possède un
exposant égal à 2.
(Par exemple l’équation :x2+10x= 39
Il y a d'autres mathématicien arabe célèbre comme:THABIT BEN QURRA né en 826
et mort en 921 . C'est un célèbre traducteur des œuvres grecques. Entre autres, il
précise à nouveau l'aire d'un segment de parabole . Il écrit sur la théorie des
nombres et l'adapte aux rapports entre quantités géométriques. Il prouve aussi la
théorie des leviers.
Il nous a légué une généralisation du théorème dePythagore.
AL BATTANI né en 850 et mort en 929
Il y fait un grand usage de la trigonométrie (sinus, cosinus, tangente et cotangente).
On lui doit la formule : tan A = sin a sur cos a
ABOUL WAFA né en 940 et mort en 998
ll effectue les constructions fondamentales à l'aide de la règle et du compas et
améliore la trigonométrie.
On lui doit les formules:
sin(a + b)= sin a × cos b + sin b × cos a;
cos2α=1− 2(sinα)²;
sin2α=2sin α cos α;
Les Arabes manient très aisément les opérations de base sur les nombres
entiers et les fractions . Ils seront des spécialistes des équations.
Un mathématicien ira même jusqu'à résoudre un système de 210 équations à 10
inconnues.
Un autre émet l'idée que l'équation x³ + y³ = z³ n'a pas de solutions entières, ce qui
deviendra plus tard la célèbre conjecture de Fermat.
Les Arabes développent considérablement la trigonométrie. Ils définissent
clairement les sinus, cosinus, tangente et établissent les fameuses formules :c
os (a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b;
(sin α)² + (cos α)² = 1;
Al kashi
AL-KASHI ( ne vers 1400, mort en 1429) fait la synthèse des mathématiques arabes
depuis sept siècles : les liens entre l'algèbre et la géométrie, les liens entre l'algèbre
et la théorie des nombres, la trigonométrie, l'analyse combinatoire la résolution des
équations par radicaux (seulement avec les quatre opérations et les racines carrées,
cubiques...). Il réussit un calcul de π avec 16 décimales, record qui ne sera dépassé
qu'à la fin du XVIème siècle. Nous allons démontrer un des théorème dAL- Kashi
1) Théorème d’Al-Kashi
a) Théorème :
le theoreme dal kashi dit :Dans un triangle ABC, en notant: a= BC ; b= AC ; c= AB
nous avons :
•a²=b²+c²-2bcCOSÂ
b²=c²+a²-2acCOSB
C²=a²+b²-2abCOS C
Démonstration:
• BC² = vecteur de BC²=(BA+AC)²=(AC-AB)²=AC²+AB²-2ACxAB
Comme ACxAB=ACxABxcosA alors :
BC²=AC²+AB²-2ACxABxcosa
comme a=BC b=AC c=AB
Nous obtenons donc :
a²=b²+c²-2bcxCOSa
Les autres égalités se démontrent de manière identique.
ABOUL-WAFA (940 - 998), iranien :
I
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