1. No category

Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale.
Activités
I-
Répétition d’expériences indépendantes
Enoncé 1:
Le cycle d’allumage d’un feu tricolore est le suivant :
- Feu vert pendant 20 secondes
- Feu orange pendant 5 secondes
- Feu rouge pendant 35 secondes
Un automobiliste rencontre 3 feux identiques à celui décrit qui fonctionnent de
manière indépendante (voir définition du cours)
1- Représenter la situation par un arbre pondéré
2- Calculer les probabilités des évènements suivants :
A : « l’automobiliste rencontre 3 feux verts »
B : « l’automobiliste rencontre un seul feu rouge »
C : « l’automobiliste rencontre au moins un feu vert »
II-
Loi de Bernoulli et loi binomiale
Enoncé 2: précipitations neigeuses …..
Un étudiant a analysé précisément les précipitations neigeuses sur les quatre derniers jours de
l’année. Il a déterminé qu’il y avait chaque jour une probabilité égale à de neiger et que les
précipitations de chaque jour pouvaient être considérées comme indépendantes.
On note S l’évènement : « il neige dans la journée » .
On appelle la variable aléatoire égale au nombre de jours de neige au cours des quatre jours
considérés.
1. Réaliser un arbre pondéré permettant de modéliser la situation. Déterminer
0 puis
4
2. Dans l’arbre construit, combien de chemin conduisent à l’évènement
1 ?
3. Déterminer la loi de probabilité de , puis son espérance.
III-
Coefficients binomiaux
Enoncé 3: Découverte …
L’objectif est de mettre en place des méthodes permettant de déterminer le nombre de
chemins conduisant à la réalisation de k succès dans un schéma de Bernoulli à n épreuves.
On s’intéresse à la fabrication d’une série de pièces mécaniques. Chaque pièce produite à
une probabilité d’être conforme aux normes de fabrication, et , d’être non conforme, avec
1
. Lorsqu’on prélève au hasard n pièces de façon indépendante, on appelle
la
variable aléatoire égale au nombre de pièces conformes dans le prélèvement.
1- Pour
1, construire un arbre décrivant la situation. Combien de chemins, dans cet arbre,
mènent à l’évènement (
0 ?
Même question pour les évènements (
1 1
2- Pour
2, construire un arbre décrivant la situation. Combien de chemins, dans cet arbre,
mènent à l’évènement (
0 ?
Même question pour les évènements (
1 et (
2
3- Pour
3, construire un arbre décrivant la situation. Combien de chemins, dans cet arbre,
mènent à l’évènement (
0 ?
1 ,(
2 et (
3
Même question pour les évènements (
4- Pour
4, construire un arbre décrivant la situation. Combien de chemins, dans cet arbre,
mènent à l’évènement (
0 ?
Même question pour les évènements (
1 ,(
2 ,(
1 et (
4
5- Pour un entier naturel , et pour tout entier tel que 0
, on note
kparmin le
nombre de chemins conduisant à l’évènement (
dans l’arbre correspondant
au prélèvement de n pièces. En vous appuyant sur les questions précédentes, déterminez
,
,
,
.
6- Grâce aux résultats des questions 1,2,3 et 4 compléter les lignes correspondantes du
tableau ci-dessous, donnant les valeurs de
en fonction de et .
k
0
1
2
3
4
5
6
n
1
2
3
4
5
6
7- A l’aide de la calculatrice, déterminer
précédent
,
,
,
,
,
puis compléter le tableau
a) Modèles TI (84, mais aussi 83 et 82 avec des modifications mineures)
• Valeur des coefficients binomiaux
Touche MATH puis PRB et instruction Combinaison .
Syntaxe « n, combinaison, k ».
b) Modèle Casio (graph 35+)
• Valeur des coefficients binomiaux
Touche OPTN puis PRB et instruction nCr . Syntaxe : « n nCr k ».
8- On a fait apparaître en couleur, trois séries de 3 cellules. Trouver une relation simple entre
ces 3 cellules. Conjecturer une relation entre
,
et
9- En utilisant la conjecture précédente, compléter la ligne 6 du tableau de la question 6.
Vérifier à l’aide de la calculatrice.
10Application à l’informatique : Un octet est une unité informatique constituée de 8 binary digit (bit). Un bit ne peut
prendre que deux valeurs 1 ou 0.
2
a. Combien de codes différents peut-on obtenir sur un octet sachant que 3 bits
sont à « 1 » et 5 bits à « 0 »
b. Combien de codes différents peut-on obtenir sur un octet.
Enoncé 4: Démonstration
Démontrer la propriété suivante :
Soit n et k deux entiers naturels.
0
, IV-
Loi binomiale et échantillonnage
Enoncé 5 : Loi binomiale …
L’objectif est de mettre en place une méthode permettant de déterminer la probabilité
d’obtenir k succès dans une loi binomiale de paramètres n, p .
Soit p0;1 et q=1-p
On dispose d’une pièce non équilibrée, dont la probabilité d’obtenir pile après un lancé est p.
On lance cette pièce n fois de manière indépendante et on note X la variable aléatoire qui
donne le nombre de fois que pile a était obtenue.
1. Dans cette question n=1.
1.1. Déterminer la loi de probabilité de X :
0
1
1.2. Calculer l’espérance de X.
2. Dans cette question n=2.
2.1. Construire un arbre pondéré puis déterminer la loi de probabilité de X :
0
1
2
2.2. Calculer l’espérance de X.
3. Dans cette question n=3.
3.1. Construire un arbre pondéré puis déterminer la loi de probabilité de X :
0
1
2
3
3.2. Calculer l’espérance de X.
4. Conjecture : On lance cette pièce n fois, compléter
……………….
Dans la suite de l’exercice, on suppose que n=10 et p=0,4
5. A l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité d’obtenir 4 fois pile.(
4 .
6. A l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité d’obtenir au plus 8 fois pile (
8 )
3
Notices d’utilisation des calculatrices :
a) Modèles TI (84, mais aussi 83 et 82 avec des modifications mineures)
• Calcul de probabilités avec une loi binomiale
- Probabilité de l’événement { X = k }
Instruction DISTR (touches 2ND VARS ) puis sélectionner binomFDP( .
Syntaxe : (nombre d’essais, probabilité de succès, valeur désirée pour la probabilité).
- Probabilité de l’événement { X ≤ k }
Instruction DISTR (touches 2ND VARS ) puis sélectionner binomFrép(.
Syntaxe : (nombre d’essais, probabilité de succès, valeur désirée pour la probabilité).
• Valeur des coefficients binomiaux
Touche MATH puis PRB et instruction Combinaison .
Syntaxe « n, combinaison, k ».
b) Modèle Casio (graph 35+)
• Calcul de probabilités dans le cadre d’une loi binomiale
- Probabilité de l’événement { X = k }
Icône STAT, choisir DIST (touche F5 ) et BINM (touche F5 ). Enfin, Bpd (touche F1 ) et VAR
(touche F2 ).
Renseigner la boîte de dialogue :
Data : variable ; x : valeur désirée pour la probabilité ; Numtrial : nombre d’essais ; p :
probabilité de succès
- Probabilité de l’événement { X ≤ k }
Icône STAT puis saisir dans la liste 1 les valeurs prises par k : 0, 1, …, n.
choisir DIST (touche F5 ) et BINM (touche F5 ). Enfin, Bcd (touche F1 ) et VAR (touche F2 ).
Renseigner la boîte de dialogue :
Data : List ;
x : List1 ;
Numtrial : nombre d’essais ;
p : probabilité de succès
Pour chaque valeur de k, la valeur de la probabilité de l’événement { X ≤ k } est affichée dans
une liste.
• Valeur des coefficients binomiaux
Touche OPTN puis PRB et instruction nCr . Syntaxe : « n nCr k ».
Enoncé 6: Nombre de garçons
Des études statistiques ont montré qu’à la naissance, la probabilité d’avoir un garçon est égale
à 0,51. On rencontre au hasard une famille de 3 enfants, dont les naissances sont supposées
indépendantes, et on s’intéresse au nombre de garçon.
a- Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale. Préciser ses
paramètres.
b- On appelle La variable aléatoire égale au nombre de garçons. Déterminer la loi de
probabilité de .
c- Calculer la probabilité que cette famille ait au moins un garçon.
d- On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante 10 familles de trois
enfants. (les hypothèses sont les mêmes qu’au début de l’exercice). Calculer la
probabilité que neuf familles exactement sur les dix aient au moins un garçon.
Enoncé 7 : Analyse d’une production ….
4
Une entreprise fabrique chaque jour 10 000 composants électroniques. Chaque composant
présente un défaut avec la probabilité 0,002. Si le composant est repéré comme étant
défectueux, il est détruit par l’entreprise, et chaque composant détruit fait perdre 1 € à
l’entreprise.
a) Les composants sont contrôlés un à un, et chaque contrôle coûte 0,1 €. Quel est le
coût moyen journalier pour l’entreprise (contrôles et destruction des composants
défectueux) ?
b) Les composants sont regroupés par lots de 10, et on effectue un unique contrôle
automatique de chaque lot, qui coûte lui aussi 0,1 €. À l’issue de ce contrôle, le lot est
accepté si tous les composants sont sains, et globalement détruit si l’un au moins des 10
composants présente un défaut. Quel est le coût moyen journalier pour l’entreprise de ce
nouveau dispositif (contrôles et destruction des composants défectueux) ?
Enoncé 8 : Représentation graphique d’une loi binomiale…
Produire sur Excel la représentation graphique d’une loi binomiale B(10 ;0.3). Vous
utiliserez la fonction « LOI.BINOMIALE(…) » en analysant au préalable l’aide d’Excel sur
le prototype de cette fonction .
Fluctuation et règle de décision
Enoncé 9: une élection …
Monsieur Z, chef du gouvernement d’un pays lointain, affirme que 52 % des électeurs lui font
confiance. On interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour
considérer qu’il s’agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles
fréquences, au seuil de 95 %, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Monsieur Z,
dans un sens, ou dans l’autre.
1. On fait l’hypothèse que Monsieur Z dit vrai et que la proportion
des électeurs qui lui font confiance dans la population est 0,52.
k
P(X ≤ k) ≈
Montrer que la variable aléatoire X, correspondant au nombre
40
0,0106
d’électeurs lui faisant confiance dans un échantillon de 100
41
0,0177
électeurs, suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,52
42
0,0286
43
0,0444
2. On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités
…
…
cumulées P(X ≤ k) où X suit la loi binomiale de paramètres
61
0,9719
n = 100 et p = 0,52.
62
0,9827
a. Déterminer a et b tels que :
63
0,9897
• a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 0,025 ;
64
0,9941
• b est le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975.
b. Comparer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %,
; , ainsi obtenu grâce à la loi binomiale, avec l’intervalle
√
;
√
.
3. Énoncer la règle décision permettant de rejeter ou non l’hypothèse que la proportion des
électeurs qui font confiance à Monsieur Z dans la population est 0,52, selon la valeur de la
fréquence f des électeurs favorables à Monsieur Z obtenue sur l’échantillon.
5
4. Sur les 100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Monsieur Z.
Peut-on considérer, au seuil de 95 %, l’affirmation de Monsieur Z comme exacte ?
Fluctuation et règle de décision (activité informatique)
Enoncé 10: problème de justice aux USA
En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est condamné à huit ans
de prison. Il attaque ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté est, selon
lui, discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine. Alors que 80 % de la
population du comté est d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées pour être
jurés lors des années précédentes, il n’y a eu que 339 personnes d’origine mexicaine.
Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produit des arguments pour convaincre du bien
fondé de la requête de l’accusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, pouvez-vous
décider si les Américains d’origine mexicaine sont sous-représentés dans les jurys de ce
comté ?
6