משוואות ופרבולות למתקדמים

2 - ‫מתמטיקה בהישג יד‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
a – b = (a + b)(a – b)
2
2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
−b ±  b −4ac
X 1,2=
2a
2
www.heisegyad.co.il
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫תזכורת‪ :‬פתיחת סוגריים באמצעות הנוסחה‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫‪(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪(3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4‬‬
‫‪(x - 4)2 = x2 - 8x + 16‬‬
‫פתחו סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר‪:‬‬
‫= ‪(2x - 4)2‬‬
‫= ‪(x - 3)2‬‬
‫= ‪(x + 4)2‬‬
‫= ‪(2x - 3)2‬‬
‫= ‪(x - 4)2‬‬
‫= ‪(x + 5)2‬‬
‫= ‪(3x + 5)2‬‬
‫= ‪(x - 7)2‬‬
‫= ‪(x + 9)2‬‬
‫= ‪(3x + 2)2‬‬
‫= ‪(x - 8)2‬‬
‫= ‪(x + 10)2‬‬
‫= ‪(3x - 9)2‬‬
‫= ‪(2x + 5)2‬‬
‫= ‪(x + 1)2‬‬
‫= ‪(5x - 1)2‬‬
‫= ‪(3x + 6)2‬‬
‫= ‪(x + 6)2‬‬
‫= ‪(4x - 3)2‬‬
‫= ‪(4x + 7)2‬‬
‫= ‪(x + 7)2‬‬
‫פתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪(6) x(x – 3) = (x – 2)2 + 1‬‬
‫)‪(1) (x + 3)2 = x(x - 3‬‬
‫‪(2) x(x - 1) = (x + 2)2 + 1‬‬
‫)‪(3) (x - 4)2 = 6 -x(3 - x‬‬
‫‪(4) (x + 2)2 = x2 + 12‬‬
‫‪(5) (x + 4)2 -5x = 4 + x2‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪ © 1‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים‪:‬‬
‫)‪x2 + 3x = x(x + 3‬‬
‫)הגורם המשותף הוא – ‪(x‬‬
‫)‪5x + 10 = 5(x + 2‬‬
‫)הגורם המשותף הוא ‪(5 -‬‬
‫הוציאו גורם משותף מחוץ לסוגריים‪:‬‬
‫= ‪2t2 - 4t‬‬
‫= ‪5x + 10‬‬
‫= ‪3x + 3‬‬
‫= ‪2t2 + 8t‬‬
‫= ‪4x2 + 6x‬‬
‫= ‪4x + 8‬‬
‫= ‪t3 - t2‬‬
‫= ‪-x2 + 6x‬‬
‫= ‪-2x + 10‬‬
‫= ‪t5 + t4‬‬
‫= ‪15x + 25‬‬
‫= ‪10x + 15‬‬
‫= ‪3t4 - t3‬‬
‫= ‪-5x + x2‬‬
‫= ‪-5x + 20‬‬
‫= ‪2x3 + 4x2 - x‬‬
‫= ‪4x3 - 4x‬‬
‫= ‪4x - 20‬‬
‫= ‪4x3 – x2 + 6x‬‬
‫= ‪x4 + 5x2‬‬
‫= ‪x2 + 3x‬‬
‫העשרה – שיטה להכפלה ב ‪:5 -‬‬
‫מכפילים ב‪ 10 -‬ומחלקים בשניים )מכיוון ש‪ 5 -‬הוא חצי מ‪.(10 -‬‬
‫לדוגמה‪5•12 = 60 :‬‬
‫‪ 12‬כפול ‪ 10‬הם ‪ 120‬ולכן התשובה היא ‪ 60) 60‬הם חצי מ‪. (120 -‬‬
‫דוגמה נוספת‪5•16 = 80 :‬‬
‫‪ 16‬כפול ‪ 10‬הם ‪ .160‬ולכן התשובה היא ‪ 80) 80‬הם חצי מ‪. (160 -‬‬
‫נסו בעצמכם ללא שימוש במחשבון‪:‬‬
‫= ‪(7) 5 • 47‬‬
‫= ‪(5) 5 • 23‬‬
‫= ‪(3) 5 • 11‬‬
‫= ‪(1) 5 • 13‬‬
‫= ‪(8) 5 • 58‬‬
‫= ‪(6) 5 • 30‬‬
‫= ‪(4) 5 • 15‬‬
‫= ‪(2) 5 • 14‬‬
‫‪ © 2‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫תשובות‪290 (8 , 235 (7 , 150 (6 , 115 (5 , 75 (4 , 55 (3 , 70 (2 , 65 (1 :‬‬
‫‪ © 3‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫צמצום באמצעות פירוק לגורמים‪:‬‬
‫‪3x12 3x4‬‬
‫=‬
‫‪=3‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫תרגול‪:‬‬
‫‪−3x−9‬‬
‫=‬
‫‪x3‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪2x8‬‬
‫=‬
‫‪x 4‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪x−2‬‬
‫=‬
‫‪2x−4‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪3x−9‬‬
‫=‬
‫‪x −3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x−1‬‬
‫=‬
‫‪4x−4‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪4x−16‬‬
‫=‬
‫‪x−4‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x 4‬‬
‫=‬
‫‪2x8‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪2x−16‬‬
‫=‬
‫‪x−8‬‬
‫)‪(4‬‬
‫שיטה להכפלה ב‪ :15 -‬מכפילים כפול ‪ 10‬ומוסיפים חצי מהתשובה )מכיוון ש‪ 5 -‬הוא חצי מ‪.(10 -‬‬
‫לדוגמה‪15•7 = 105 :‬‬
‫‪ 7‬כפול ‪ 10‬הם ‪ 70‬מוסיפים עוד ‪ 35) 35‬הוא חצי מ‪ (70 -‬ןמקבלים ‪.105‬‬
‫דוגמה נוספת‪15•16 = 240 :‬‬
‫‪ 16‬כפול ‪ 10‬הם ‪ .160‬מוסיפים עוד ‪ 80) 80‬הוא חצי מ‪ (160 -‬ומקבלים ‪.240‬‬
‫נסו בעצמכם ללא שימוש במחשבון‪:‬‬
‫= ‪(13) 15 • 47‬‬
‫= ‪(11) 15 • 23‬‬
‫= ‪(9) 15 • 11‬‬
‫= ‪(7) 15 • 9‬‬
‫= ‪(14) 15 • 58‬‬
‫= ‪(12) 15 • 30‬‬
‫= ‪(10) 15 • 15‬‬
‫= ‪(8) 15 • 12‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪1) 2 , 2) 3 , 3) 4 , 4) 2 , 5) -3 , 6) 0.5 , 7) 0.25 , 8) 0.5‬‬
‫‪ © 4‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫חזרה ‪ -‬פתרון משוואה ריבועית מהסוג‪ax2 + bx + c = 0 :‬‬
‫‪3x2 - 3x = 4 - 2x‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪3x2 - 3x + 2x - 4 = 0‬‬
‫נעביר את כל האיברים לאגף שמאל ונשווה ל ‪:0 -‬‬
‫‪3x2 - x - 4 = 0‬‬
‫זיהוי המקדמים‪:‬‬
‫הצבה בנוסחה‪:‬‬
‫‪−b ±  b2 −4ac‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a = 3 , b = -1 , c = -4‬‬
‫‪−−1±  −12−4• 3•−4 1 ± 7‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫=‬
‫‪2 •3‬‬
‫‪6‬‬
‫=‪X 1,2‬‬
‫‪1−7‬‬
‫‪=−1‬‬
‫‪6‬‬
‫=‪X 2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫פתרו את המשוואות שלפניכם‪:‬‬
‫‪4x 24x1‬‬
‫‪=5‬‬
‫‪3x−1‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪(1) x2 – 7x + 12 = 0‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪(2) x2 + x - 6 = 0‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪(3) x2 + 5x + 4 = 0‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪(4) 2x2 – 6x + 4 = 0‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪(5) 3x2 – 3x - 18 = 0‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪(6) 2x2 + 11x + 5 = 0‬‬
‫)‪(14‬‬
‫)‪(7) (x + 1)2 + 2x(x – 3) = 2(x + 5‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪1) x = 3 , 4 , 2) x = 2 , -3 , 3) x = -1 , -4 , 4) x = 2 , 1 , 5) x = -2 , 3 , 6) x = -5 , -0.5‬‬
‫‪7) x = 3 , -1 , 8) x = 2 , 0.75 , x ≠ -1/3‬‬
‫‪ © 5‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫שרטוט פרבולות‪:‬‬
‫הגרף של פונקציה ריבועית נקרא "פרבולה"‬
‫א‪ .‬נקודות החיתוך עם הצירים‬
‫נתבונן בפרבולה המתארת את הפונקציה הריבועית‪y = x2 – x – 2 :‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על ציר ‪) y‬ולכן ‪( x = 0‬‬
‫)‪C (0, -2‬‬
‫‪y = (0)2 - (0) - 2 = -2‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬נמצאות על ציר ה‪) x -‬ולכן ‪( y = 0‬‬
‫‪x2 – x – 2 = 0‬‬
‫‪2- = c , 1- = b , 1 = a‬‬
‫‪−−1± −12−4• 1•−2 1± 3‬‬
‫=‬
‫‪2 •1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪B (2, 0‬‬
‫)‪A (-1, 0‬‬
‫‪1−3‬‬
‫‪=−1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 2‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫תרגול‪:‬‬
‫)‪ (1‬לפניכם גרף הפונקציה‪y = x2 - 5x + 6 :‬‬
‫מצאו את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪. C -‬‬
‫)‪ (2‬לפניכם גרף הפונקציה ‪y = -x2 + 4x - 4‬‬
‫א‪ .‬מצאו את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו – ‪. B‬‬
‫ב‪ .‬מהו מרחק הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים ?‬
‫תשובות‪:‬‬
‫א‪B(2, 0) .‬‬
‫)‪ , A(0, -4‬ב‪ 4 .‬יח'‬
‫)‪1) A(0, 6) B(2, 0) C(3, 0) , 2‬‬
‫‪ © 6‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫ב‪ .‬שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫א‪ .‬מצאו את שיעורי נקודת קודקוד הפרבולה של הפונקציה‪y = x – 6x + 8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬סרטטו את גרף הפונקציה על גבי מערכת צירים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודת החיתוך עם ציר ‪y‬‬
‫)‪(x=0‬‬
‫‪y = (0)2 – 6•(0) + 8 = 8‬‬
‫נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ‪( y = 0 ) x‬‬
‫)‪(0 , 8‬‬
‫‪0=x 2−6x8‬‬
‫‪a = 1 , b = -6 , c = 8‬‬
‫‪−−6±  −62−4 •1 •8 6 ± 2‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫=‬
‫‪2 •1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6−2‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(2 , 0) , (4 , 0‬‬
‫=‪X 2‬‬
‫‪62‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ y‬היא‪ , (0 , 8) :‬נקודות החיתוך עם ציר ‪ x‬הן‪(4 , 0) , (2 , 0) :‬‬
‫נסמן‪ :‬שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה ק ‪ , X‬שיעור ה‪ y -‬של קודקוד הפרבולה ק ‪Y‬‬
‫קודקוד הפרבולה נמצא באמצע הקטע‪ ,‬שבין שתי נקודות החיתוך עם ציר ה‪x -‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את שיעור שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה‪:‬‬
‫נחשב את שיעור ה‪ y -‬של קודקוד הפרבולה‪:‬‬
‫‪42‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪2‬‬
‫=ק ‪X‬‬
‫‪ =32−6 •38=−1‬ק‪Y‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו שקודקוד הפרבולה נמצא בנקודה )‪(3 , -1‬‬
‫נסמן את ‪ 4‬הנקודות שמצאנו על גבי מערכת צירים‪:‬‬
‫עיברו על הקו המקווקו ושרטטו את הפרבולה‪.‬‬
‫סרטטו את הגרפים של הפונקציות הבאות‪ ,‬בעזרת נקודות החיתוך עם הצירים וקודקוד הפרבולה‪:‬‬
‫‪(5) y = -x2 - 6x‬‬
‫‪(3) y = x2 - 4‬‬
‫‪(1) y = x2 – 6x + 5‬‬
‫‪(6) f(x) = -x2 + 9‬‬
‫‪(4) f(x) = x2 - 4x‬‬
‫‪(2) f(x) = -x2 – 6x -5‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫)‪1) (5 , 0) (1 , 0) (0 , 5) , (3 , -4) , 2) (-1 , 0) (-5 , 0) (0 , -5) , (-3 , 4‬‬
‫)‪3) (2 , 0) (-2 , 0) (0 , -4) , (0 , -4) , 4) (0 , 0) (4 , 0) (0 , 0) , (2 , -4‬‬
‫)‪5) (0 , 0) (-6 , 0) (0 , 0) , (-3 , 9) , 6) (3 , 0) (-3 , 0) (0 , 9) , (0 , 9‬‬
‫‪ © 7‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫קריאה וכתיבה של אי שיויונים‪:‬‬
‫" ‪ x‬גדול מ‪ " 3 -‬בכתיב מתמטי‪:‬‬
‫‪ x > 3‬ובסימון גרפי‪:‬‬
‫"‪ x‬קטן מ‪ " 2 -‬בכתיב מתמטי‪x < 2 :‬‬
‫ובסימון גרפי‪:‬‬
‫" ‪ x‬גדול מ‪ 1 -‬וקטן מ‪ " 5 -‬בכתיב מתמטי‪ 1 < x < 5 :‬ובסימון גרפי‪:‬‬
‫סמנו באופן גרפי את אי השויונים הבאים‪:‬‬
‫‪(5) -2 < x < 4‬‬
‫‪(1) x > 4‬‬
‫‪(6) x > -3‬‬
‫‪(2) x < 1‬‬
‫‪(7) x < 8‬‬
‫‪(3) 2 < x < 7‬‬
‫‪(8) x > 0‬‬
‫‪(4) x < -2‬‬
‫תארו בכתיב מתמטי את המשמעות של הגרפים הבאים‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫)‪(9‬‬
‫)‪(13‬‬
‫)‪(10‬‬
‫)‪(14‬‬
‫)‪(11‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪9) -1 < x < 3 , 10) x > -2 , 11) x < 0 , 12) 2 < x < 6 , 13) x < -4 , 14) x > 5‬‬
‫‪ © 8‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפרבולה‪:‬‬
‫גרף הפונקציה יורד עד ל‪x = 2 :‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה יורדת בתחום‪x < 2 :‬‬
‫הגרף עולה מ‪ x = 2 :‬ואילך‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה עולה בתחום‪x > 2 :‬‬
‫רשמו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של הפרבולות הבאות‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫__________‬
‫_________‬
‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬
‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬
‫__________‬
‫_________‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום עלייה‪:‬‬
‫_________‬
‫_________‬
‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬
‫ב‪ .‬תחום ירידה‪:‬‬
‫_________‬
‫_________‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪(1‬א‪ x > -2 .‬ב‪x < -2 .‬‬
‫‪ (4‬א‪ x > 1 .‬ב‪x < 1 .‬‬
‫‪ (2‬א‪ x < 2 .‬ב‪x > 2 .‬‬
‫‪ (3‬א‪ x > 3 .‬ב‪x < 3 .‬‬
‫‪ © 9‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫תחומי חיוביות ושליליות של הפרבולה‪:‬‬
‫הפרבולה בעלת ערך חיובי כאשר היא מעל לציר ה‪x -‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה חיובית בתחום‪ x < 1 :‬או ‪x > 3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫הפרבולה בעלת ערך שלילי כאשר היא מתחת לציר ה‪x -‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה שלילית בתחום‪1x3 :‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולות הבאות‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬
‫__________‬
‫_________‬
‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬
‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬
‫__________‬
‫_________‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום חיובי‪:‬‬
‫_________‬
‫________‬
‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬
‫ב‪ .‬תחום שלילי‪:‬‬
‫_________‬
‫________‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫<‬
‫‪-4‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫>‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫<‬
‫‪x‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪(2 ,‬א‪ -4 < x < 0 .‬ב‪.‬‬
‫‪(1‬א‪ x > 1 , x < -2 .‬ב‪.‬‬
‫‪(3‬א‪ x > 3 , x < 3 .‬ב‪ .‬אין ‪(4 ,‬א‪ 1 < x < 5 .‬ב‪x > 5 , x < 1 .‬‬
‫‪ © 10‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫יחס הדדי בין פרבולה וישר )לא מוכן(‬
‫על גבי מערכת צירים נצייר את הגרפים‬
‫של הפרבולה‪y = x2 - x - 2 :‬‬
‫ושל הישר‪:‬‬
‫‪y=x+1‬‬
‫נמצא את נקודות החיתוך בין שני הגרפים‪:‬‬
‫‪y=y‬‬
‫‪x2 - x - 2 = x + 1‬‬
‫‪x2 - x - x - 2 -1 = 0‬‬
‫‪x2 - 2x - 3 = 0‬‬
‫‪a = 1 , b = -2 , c = -3‬‬
‫‪−−2 ± −22−4• 1•−3 2 ± 4‬‬
‫=‪X 1, 2‬‬
‫=‬
‫‪2 •1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2−4‬‬
‫‪=−1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫‪24‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪X 1‬‬
‫כעת נציב את הערכים של ‪ X‬באחת‬
‫הפונקציות ונחשב את הערכים של ‪:Y‬‬
‫‪y=x+1‬‬
‫‪y2 = -1 + 1 = 0‬‬
‫‪y1 = 3 + 1 = 4‬‬
‫)‪(3 ,4) (1- ,0‬‬
‫תרגול ‪ -‬באיזה תחום הפונקציה ‪h(x) > f(x) s‬‬
‫‪(1) y = x2 + 3x - 4 , y = 3x - 4‬‬
‫‪(2) y = 2x2 - x + 1 , y = 3x - 1‬‬
‫‪(3) y = 3x2 + 2x - 3 , y = -10x - 15‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪ © 11‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות בשני נעלמים ממעלות שונות )לא מוכן(‬
‫‪ © 12‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫ביטויים אלגבריים – תרגול מסכם‪:‬‬
‫‪8x 28x2‬‬
‫‪=6‬‬
‫‪6x3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2x 2−16x32‬‬
‫‪=8‬‬
‫‪x−4‬‬
‫)‪(x + 2)2 – (3x +1)(3x -1) = 7(x – 3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪(3) x = -2 , x = 1.625‬‬
‫‪(2) x = 4‬‬
‫‪(1) x = 8‬‬
‫‪ © 13‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫)‪(4‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫לפניכם גרף הפונקציה ‪y = x2 - 3x :‬‬
‫א‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬
‫)‪(6‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫)‪ (5‬לפניכם גרף הפונקציה‪y = 3x2 – 15x + 12 :‬‬
‫א‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬
‫)‪ (7‬גרף הפרבולה שלפניכם מתאר את הפונקציה‬
‫גרף הפונקציה הריבועית ‪y = x2 - 4‬‬
‫הריבועית ‪y = x2 + 4x + 3‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬
‫עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית‬
‫ג‪ .‬רשמו שני ערכי ‪ x‬שבהן הפונקציה חיובית‬
‫)‪(8‬‬
‫להלן גרף הפרבולה‪y = -x2 - 6x -9 :‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודת החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו הערך המקסימלי של הפונקציה ?‬
‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬
‫ד‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה עולה ?‬
‫)‪ (9‬נתונה הפונקציה‪f(x) = x2 + x - 6 :‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם‬
‫הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה חיובית ?‬
‫ג‪ .‬רשמו ערך אחד של ‪ , x‬שבו הפונקציה חיובית‬
‫וערך נוסף שבו הפונקציה שלילית‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫)‪(2, 0) (-2 , 0‬‬
‫‪(5) x < 1 x > 4 , 1 < x < 4 (6) (0, -4) ,‬‬
‫‪(8) (-3, 0) , (0 , -9) , y = 0 , x ≠ 3 , x < - 3‬‬
‫‪(4) x < 0 x > 3 , 0 < x < 3‬‬
‫)‪(7) (0, 3) , (-3, 0) , (-1, 0‬‬
‫‪(9) (0, -6) , (-3 , 0) , (2, 0) , x < -3 , x > 2‬‬
‫‪ © 14‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬
‫משוואות ופרבולות למתקדמים‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪2 -‬‬
‫)‪ (10‬נתונה הפונקציה ‪y = (x + 1)(x - 3) d :‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים‬
‫וציירו את הפרבולה‪.‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫‪y = -x2 + 2x + 8‬‬
‫)‪ (11‬לפניכם תיאור הפונקציה‪:‬‬
‫נתון שהקטע ‪ DC‬מקביל לציר ‪.x‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים ואת‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬
‫שיעורי הנקודה ‪.c‬‬
‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת ?‬
‫ב‪ .‬חשבו את שטח המשולש ‪. ADB‬‬
‫ד‪ .‬מהו הערך המינימלי של הפונקציה ובאיזה‬
‫ג‪ .‬חשבו את שטח הטרפז ‪. ADCB‬‬
‫נקודה הוא מתקבל ?‬
‫)‪ (12‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪f(x) = -x2 + 6x - 10‬‬
‫א‪ .‬מצאו את שיעורי הקודקוד של הפונקציה‬
‫ב‪ .‬הסבירו מדוע גרף הפונקציה אינו חותך‬
‫את ציר ה‪.x -‬‬
‫)‪ (13‬לפניכם גרף הפרבולה‪f(x) = -x2 + 4x - 4 :‬‬
‫וגרף הישר‪h(x) = - x :‬‬
‫א‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך בין שני הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכים מתקיים ‪f(x) > h(x) a‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫)‪(10) (0, -3) , (-1, 0) , (3, 0) , -1 < x < 3 , x < 1 , (1 , -4‬‬
‫לא ‪(12) (3, -1) ,‬‬
‫‪(11) (0, 8) , (-2, 0) , (4, 0) , (2, 8) , S1 = 24 , S2 = 32‬‬
‫‪(13) (1, -1) , (4, -4) , 1 < x < 4‬‬
‫‪ © 15‬כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪www.heisegyad.co.il .‬‬