‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬ ‫מרצה ‪ :‬פרופסור אבישי מנדלבאום‬ ‫מתרגלת‪ :‬ניצן כרמלי‬ ‫תאריך הבחינה‪15.7.2012 :‬‬ ‫מס' סטודנט ______________________‬ ‫שם ____________________________‬ ‫הנדסת מערכות שירות – ‪096324‬‬ ‫מועד א' – סמסטר אביב תשע"ב ‪2012‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪-‬‬ ‫המבחן נמשך שלוש שעות‪ .‬באחריותך להחזירו במועד‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫המבחן בחומר סגור‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מותר להשתמש במחשבון‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫המבחן כולל ‪ 32‬עמודים‪ ,‬כולל עמוד זה ועמוד ‪) 32‬התפלגויות מהקורס בהסתברות(‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כאשר נדרשים חישובים‪ ,‬ניתן לעגלם באופן שאינו פוגע בהבנת התשובה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מלאו את הפרטים הנדרשים בראש העמוד‪ ,‬בכתב ברור בבקשה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫על התשובות יש לענות במקומות המיועדים‪ ,‬שאמורים להספיק‪ :‬מלל מיותר יגרע ניקוד‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫יש לתת הסברים או הוכחות רק אם התבקשתם במפורש לעשות זאת‪.‬‬ ‫ניקוד‪ :‬שאלה ‪1‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫______ מתוך ‪ 10‬נקודות‬ ‫______ מתוך ‪ 10‬נקודות‬ ‫______ מתוך ‪ 20‬נקודות‬ ‫______ מתוך ‪ 10‬נקודות‬ ‫סה"כ‬ ‫_____ מתוך ‪ 50‬נקודות‬ ‫הרצאות\תרגולים\בחינות קודמות‬ ‫תרגילי בית‬ ‫יישום‬ ‫תיאוריה‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪ - 1‬תרגילי כיתה‪/‬הרצאות‪/‬מבחנים קודמים )‪ 10‬נקודות(‬ ‫חלק ‪ – 1‬מופעים‪ ,‬תחזיות ו‪SEESTAT -‬‬ ‫‪ 1.1.1‬הגרף הבא מציג את סך השיחות הנכנסות למוקד טלפוני ביום בתקופה ‪1/7/2002-‬‬ ‫‪ .30/8/2002‬אילו מסקנות )בעלות משמעות תפעולית( ניתן להסיק מהגרף?‬ ‫)התייחסו בתשובתכם למגמות‪ ,‬מחזוריות‪ ,‬ימים חריגים ועוד(‪.‬‬ ‫גרף ‪1‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫ניתן לראות כי יש הבדל משמעותי בין ימי חול לסוף השבוע‪ .‬ימי שני הם העמוסים ביותר בעוד‬ ‫שבימי שבת וראשון מספר השיחות הנכנסות נמוך באופן משמעותי משאר ימי השבוע‪.‬‬ ‫ניתן לראות כי אין מגמה כללית כלשהי‪ ,‬כלומר‪ ,‬אין עליה או ירידה לאורך זמן בכמות השיחות‬ ‫הנכנסות‪ .‬ה‪ 4.7.2002-‬הינו יום חריג‪ ,‬זהו יום העצמאות של ארה"ב ולפיכך כמות השיחות‬ ‫הנכנסות בו קטנה מימי אמצע שבוע אחרים‪.‬‬ ‫לאבחנות אלו יש כמובן משמעות תפעולית בהקשר של החלטות איוש או כל היבט אחר‬ ‫בהתמודדות עם עומס‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1.1.2‬להלן מתוארים שלושה ניסיונות לחזות קצב מופע למוקד שירות טלפוני בארה"ב‪ .‬התחזית‬ ‫היא למספר המופעים החל משעה ‪ .12:00‬הנקודות מתארות את המספר האמיתי‪ .‬סכמו בקצרה‬ ‫את המסקנות העיקריות הנובעות מדוגמה זו‪.‬‬ ‫גרף ‪2‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫נתונים מהבוקר )‪ (7:00-10:00‬מאפשרים לשפר את איכות החיזוי בצורה משמעותית )ביחס‬ ‫לתחזיות ע"פ נתונים עד יום קודם(‪ .‬אין הבדל משמעותי בין תחזיות על סמך נתונים עד ‪ 10‬בבוקר‬ ‫ותחזיות על סמך נתונים עד ‪ 12‬בצהריים‪ .‬ז"א‪ ,‬השעות ‪ 10:00-12:00‬לא מוסיפות אינפורמציה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בגרפים הבאים מתוארים מופעים למוקד שירות טלפוני בארץ‪ ,‬בימים שונים של השבוע‪ :‬הגרף‬ ‫הראשון מתאר מספר מופעים לחצי שעה והשני את מספר מופעים זה ביחס לממוצע היומי‬ ‫)באחוזים(‪.‬‬ ‫גרף ‪3‬‬ ‫גרף ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 1.1.3‬בהנחה שהמופע למוקד הוא פואסון לא הומוגני בזמן‪ ,‬באיזה מודל מתמטי לקצב המופע‬ ‫‪  (t ), t  0‬הייתם ממליצים להשתמש‪ ,‬ובאילו שיטות הייתם חוזים אותו?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫אנו ממליצים על שימוש במודל ) ‪  (t )  C % (t‬כאשר המ"מ ‪ C‬הינו מספר המופעים ביום מסוים‬ ‫והפונקציה ) ‪ % (t‬היא הצורה של המופעים ששונה עבור ימי חול‪ ,‬ימי שבת וימי ראשון‪.‬‬ ‫אפשר לחזות את ‪ C‬ע"פ שיטות פשוטות כגון שיטת הממוצע הנע‪:‬‬ ‫‪N j 7,k  N j 14,k  N j  21,k  N j  28,k‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Fj ,k ‬‬ ‫או ‪Fj ,k  N j 7,k :Most Recent Observation‬‬ ‫או ע"פ שיטות מתחום סדרות עתיות‪.‬‬ ‫על פי "צורת" היום המתקבלת בגרף השני ניתן למצוא את ) ‪ , % (t‬בהתאם ליום המסוים בשבוע‪.‬‬ ‫‪ 1.1.4‬נניח כי דוח ה – ‪ ACD‬המופיע בעמוד הבא מתאר את ההגעות לאותו מוקד טלפוני ב‪-‬‬ ‫‪ .1.7.2002‬כיצד ניתן לבדוק‪ ,‬בעזרת הדוח הנ"ל‪ ,‬את ההשערה הבאה‪" :‬המופעים בין השעה ‪ 7:00‬ל‪-‬‬ ‫‪ 24:00‬ב‪ 1.7.2002-‬מתאימים לתהליך פואסון לא הומוגני בזמן "? הסבירו תשובתכם במילים )אין‬ ‫צורך בנוסחאות מתמטיות‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫כדי לבדוק זאת‪ ,‬יש לחלק את היממה למקטעים קטנים שבהם ניתן להניח שהקצב קבוע )לדוגמה‬ ‫קטעים באורך ‪ 10‬שניות(‪ .‬נבצע בעזרת שיטת ‪ ,Brown‬טרנספורמציה של הזמנים הבין מופעיים בכל‬ ‫אינטרוול לזמנים עם קצב ‪) 1‬בכל אינטרוול הטרנספורמציה תהיה בהתאם לקצב הממוצע‬ ‫באינטרוול( ונבדוק‪ ,‬בעזרת ‪ ,QQ Plot‬האם קיבלנו זמנים )בין מופעיים( המתפלגים מעריכית עם‬ ‫קצב ‪.1‬‬ ‫הערה‪ :‬ליתר דיוק‪ ,‬ההשערה אותה בודקים היא לתהליך פואסון‪ ,‬לא הומוגני בזמן‪ ,‬עם קצב מופע‬ ‫קבוע למקוטעין‪.‬‬ ‫‪5‬‬ 6 ‫‪ 1.1.5‬להלן היסטוגרמה המתארת את משכי השהייה )אשפוז( במחלקה פנימית בבית חולים גדול‬ ‫בארץ‪ .‬כיצד ניתן להסביר את הצורה המיוחדת של היסטוגרמה זו?‬ ‫גרף ‪5‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫ניתן לראות כי יש ‪ Peak‬בהיסטוגרמה בערך כל ‪ 24‬שעות‪ .‬הגרף למעשה מדגים את ההשפעה שיש‬ ‫למדיניות השחרור מהמחלקות הפנימיות על משכי השהייה בהן‪ .‬שחרור חולים מהמחלקה מתבצע‬ ‫פעם ביום‪ ,‬באותה השעה‪ ,‬ולכן להתפלגות משכי השהייה יש פיקים במרווחים של ‪ 24‬שעות‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫חלק ‪ –2‬תחומים תפעוליים‬ ‫בעמוד ‪ 10‬נתונות ‪ 3‬דוגמאות של דו"חות ‪ ACD‬ממוקד שירות טלפוני בארץ‪.‬‬ ‫‪ 1.2.1‬התאימו לכל דוח את התחום התפעולי המתאים מבין‪ ED ,QED :‬ו‪ .QD -‬נמקו בקצרה אך‬ ‫במדויק ככל שתוכלו‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫דוח‬ ‫מדיניות‬ ‫נימוק קצר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫אחוז נטישות גבוה‪ ,‬בין ‪ 20%‬ל‪ ,40%-‬ממוצע זמן ההמתנה מסדר גודל של‬ ‫זמן שרות‪ ,‬אחוז הלקוחות המקבלים שירות מיידי אפסי‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪QD‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪QED‬‬ ‫נטישות והמתנות זניחות‪ ,‬כולם נענים מיידית‪.‬‬ ‫קיימות נטישות אך באחוזים נמוכים‪ ,‬בין ‪ 2%‬ל‪ ,6%-‬ממוצע זמן ההמתנה‬ ‫מסדר גודל אחז פחות מזמן שרות‪ ,‬אחוז הלקוחות הנענים מיידית נע בין‬ ‫‪ 25%‬ל‪ - 75% -‬לא קרוב ל‪ 0%-‬ולא ל‪.100%-‬‬ ‫בסעיפים הבאים נתמקד בשורה השנייה בכל דוח )מודגשת(‪ :‬בדוח מספר ‪ ,22:30-23:00 – 1‬בדוח‬ ‫מספר ‪ ,14:00-14:30 – 2‬ובדוח מספר ‪.13:30-14:00 – 3‬‬ ‫‪ 1.2.2‬כתבו את כלל איוש שנראה מתאים ביותר לכל דו"ח‪ ,‬המקשר בין העומס המוצע ‪ R‬ומספר‬ ‫השרתים ‪ .n‬חשבו את דרגות השירות )ערכי הפרמטרים של כללי האיוש( עבור השורה השניה של‬ ‫כל דוח‪.‬‬ ‫דרגת השירות‬ ‫דוח‬ ‫כלל איוש‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  R   R,   0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 0.363‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  R   R,   0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1  0.791‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n  R   R , - < <‬‬ ‫‪nR‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.2.3‬נניח כי מספר המופעים היה גדל פי ‪ 9‬וגם מספר המוקדנים )שרתים( היה גדל פי ‪) 9‬כל שאר‬ ‫הפרמטרים נשארים כפי שהיו(‪.‬‬ ‫תנו הערכתכם לממוצע זמן ההמתנה תחת תרחיש חדש זה‪ .‬נמקו בקצרה ובמדויק ככל שתוכלו‪.‬‬ ‫דוח‬ ‫ממוצע זמן‬ ‫ההמתנה הנוכחי‬ ‫ממוצע זמן ההמתנה‬ ‫החדש‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 163.2‬שניות‬ ‫‪ 163.2‬שניות –‬ ‫לא משתנה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 17.1‬שניות‬ ‫‪5.7‬‬ ‫נימוק קצר‬ ‫אחוז הנוטשים אינו משתנה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (1  P( Ab))   N  P  Ab   1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ N ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ומכיוון שתוחלת הסבלנות אינה משתנה‬ ‫ומתקיים הקשר ] ‪ P ( AB)   E[Wq‬גם זמן‬ ‫ההמתנה הממוצע לא ישתנה‪.‬‬ ‫מערכת גדולה יותר‪ ,‬סביר שלא תהיה גרועה‬ ‫יותר‬ ‫‪ ‬היה שווה קודם ל‪ 0-‬ונשאר שווה ל‪.0-‬‬ ‫) ‪f (  , , ‬‬ ‫במדיניות ‪QED‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪E[Wq ] ‬‬ ‫מכיוון ש ‪  ,  ,  -‬אינם משתנים ממוצע זמן‬ ‫ההמתנה יקטן פי ‪.3‬‬ ‫‪9‬‬ 10 ‫שאלה ‪ – 2‬תרגילי בית )‪ 10‬נקודות(‬ ‫חוק ‪Little‬‬ ‫חולים הפונים לחדר מיון בבית חולים מסוים עוברים את תהליך הטיפול לפי התרשים המצורף‪.‬‬ ‫התהליך מתחיל בהרשמה‪ .‬אחרי ההרשמה‪ ,‬החולים עוברים בדיקה אצל אחיות שמסווגות אותם‬ ‫לחולים משתחררים פוטנציאלים )הנשלחים לרופא "רגיל"‪ ,‬מקבלים הוראות וטיפול ולא‬ ‫מאושפזים( או מאושפזים פוטנציאלים )הנשלחים לטיפול דחוף ובסוף הטיפול יאושפזו(‪ .‬שני סוגי‬ ‫החולים מחכים בתורים נפרדים לקראת בדיקת רופא‪ .‬הרופא בודק את החולים‪ .‬לאחר בדיקת‬ ‫הרופא‪ ,‬החולים המאושפזים נשלחים למחלקות בבית‪-‬החולים; החולים המשתחררים מקבלים‬ ‫טיפול והוראות להמשכו )למשל מרשמים( ואז משתחררים לביתם‪ .‬נניח‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬שאחיות המיון‬ ‫לא עושות טעויות וממינות ‪ 100%‬של החולים בצורה נכונה‪.‬‬ ‫מדידות מראות שממוצע קצב הגעת חולים למיון הוא ‪ 50‬חולים בשעה‪ ,‬מתוכם בסופו של דבר‬ ‫מאושפזים ‪ 10%‬מהפונים‪ .‬תהליך הרשמה של חולה נמשך ‪ 2‬דקות בממוצע‪ .‬בדיקת אחות אורכת‬ ‫‪ 3‬דקות בממוצע‪ .‬משך זמן בדיקת רופא משתנה בין שני סוגי החולים‪ 5 :‬דקות למשתחררים‬ ‫פוטנציאליים ו‪ 30 -‬דקות למאושפזים פוטנציאליים‪ ,‬בממוצע‪.‬‬ ‫נמצא גם כי בממוצע ‪ 20‬חולים ממתינים בתור להרשמה ו‪ 5-‬חולים ממתינים בתור לאחות‪ .‬בנוסף‪,‬‬ ‫תור החולים המשתחררים )הרגילים( לקראת בדיקת רופא הוא ‪ 15‬חולים בממוצע ותור החולים‬ ‫המאושפזים )הדחופים( הוא חולה אחד בממוצע‪.‬‬ ‫כניסת‬ ‫חולים‬ ‫‪90%‬‬ ‫תור‬ ‫להרשמה‬ ‫הרשמה‬ ‫תור‬ ‫לאחיות‬ ‫אחות‬ ‫‪10%‬‬ ‫‪11‬‬ ‫תור‬ ‫לרופא‬ ‫רגיל‬ ‫תור‬ ‫לרופא‬ ‫מהיר‬ ‫בדיקת‬ ‫רופא‬ ‫בדיקת‬ ‫רופא‬ ‫משתחררים‬ ‫)‪(90%‬‬ ‫מאושפזים‬ ‫)‪(10%‬‬ ‫‪ 2.1‬כמה זמן בממוצע ישהה חולה בחדר המיון?‬ ‫תשובה‪ :‬נחלק את חדר המיון לשש מערכות‪ – 1 :‬תור להרשמה‪ – 2 ,‬הרשמה‪ – 3 ,‬תור לאחיות‪– 4 ,‬‬ ‫בדיקת אחיות‪ – 5 ,‬תור לרופאים‪ – 6 ,‬בדיקת רופא‪.‬‬ ‫נחשב את זמני השהיה בכל שלב ונסכם אותם‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪  customers per min‬‬ ‫‪ 24 min‬‬ ‫‪L1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L1  20,W1 ‬‬ ‫‪W2  2 min‬‬ ‫‪ 6 min‬‬ ‫‪L3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L3  5, W3 ‬‬ ‫‪W4  3min‬‬ ‫‪ 19.2 min‬‬ ‫‪L5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L5  15  1  16,W5 ‬‬ ‫‪W6  5  90%  30 10%  7.5 min‬‬ ‫‪W  W1  W2  W3  W4  W5  W6  61.7 min‬‬ ‫‪ 2.2‬כמה חולים בממוצע יהיו סה"כ בחדר המיון?‬ ‫תשובה‪ :‬על סמך חוק ‪:Little‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪L  W   61.7  51.4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 2.3‬כמה זמן בממוצע ישהו מאושפזים פוטנציאליים בחדר המיון?‬ ‫תשובה‪ :‬ההבדל בזמני השהיה של חולים מאושפזים למשתחררים נובע רק משלבים ‪ 5‬ו‪ 6 -‬ולכן‪:‬‬ ‫‪ 12 min‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10%‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Lhosp‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪hosp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪hosp‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪W6hosp  30 min‬‬ ‫‪W  W1  W2  W3  W4  W5hosp  W6hosp  77 min‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 2.4‬מהו מספר הפקידים המינימלי בעמדת ההרשמה שיאפשר מצב שבו נצילותם לא תעלה על‬ ‫‪.80%‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫נחשב את ה‪R   E[ S ]   2  min :offered load -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪R 5‬‬ ‫לכן‪ ,‬מספר הפקידים המינימלי הוא ‪ .3‬הנצילות שלהם תהיה ‪  55.5%‬‬ ‫‪n 9‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 2.5‬מהו מספר הרופאים המינימלי שנדרש כדי להבטיח את יציבות המערכת?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫נחשב את ה‪ offered load -‬בנפרד למשתחררים ולמתאשפזים‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Rhosp   10%  E[ S ]   0.1  30  2.5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Rdis    90%  E[ S ]   0.9  5  3.75‬‬ ‫‪6‬‬ ‫לכן‪ ,‬מספר הרופאים המינימלי הוא ‪ 7‬רופאים‪.‬‬ ‫בבדיקה נוספת התגלה כי למרות שרק ‪ 90%‬מהחולים משתחררים )ולכן אינם דחופים(‪ ,‬האחות‬ ‫מסווגת ‪ 92%‬מחולים כרגילים‪ .‬הרופא שמבצע את הבדיקה הרגילה הוא שמגלה את הטעות‬ ‫בסיווג של ‪ 2%‬הנותרים‪ .‬כתוצאה מכך‪ ,‬תור החולים הרגילים לקראת בדיקת רופא הוא ארוך‬ ‫יותר ומונה ‪ 21‬חולים בממוצע‪) .‬תור החולים הדחופים נשאר חולה אחד בממוצע‪(.‬‬ ‫החולים שמסווגים בטעות כרגילים שוהים אצל הרופא הרגיל ‪ 10‬דקות בממוצע‪ ,‬לאחר מכן הם‬ ‫נשלחים להמשך טיפול אצל הרופא הדחוף‪ .‬משך זמן בדיקת רופא דחוף נשאר ‪ 30‬דקות‪ .‬שימו לב‬ ‫כי החולים שמסווגים באופן שגוי מחכים בפועל בשני תורים )לרופאים(‪ .‬הניחו כי כל שאר‬ ‫הנתונים נשארו זהים למה שנמצא קודם לכן‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ 2.6‬השלם את האיור כך שיתאר את המצב החדש‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪92%‬‬ ‫כניסת‬ ‫חולים‬ ‫תור‬ ‫להרשמה‬ ‫הרשמה‬ ‫תור‬ ‫לאחיות‬ ‫תור‬ ‫לרופא‬ ‫רגיל‬ ‫משתחררים‬ ‫)‪(90%‬‬ ‫בדיקת‬ ‫רופא‬ ‫‪2%‬‬ ‫אחות‬ ‫‪8%‬‬ ‫תור‬ ‫לרופא‬ ‫דחוף‬ ‫מאושפזים‬ ‫)‪(10%‬‬ ‫בדיקת‬ ‫רופא‬ ‫‪ 2.7‬כמה זמן בממוצע ישהה חולה בחדר המיון?‬ ‫תשובה‪.:‬‬ ‫הזמנים שהשתנו הם זמן ההמתנה לרופא והזמן הממוצע שלוקח ביקור רופא‪ .‬נחשב אותם ונסכם‬ ‫את הזמנים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Lhosp‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 12 min‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10%‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪rel‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ 27.39 min‬‬ ‫‪W5rel  5rel ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 92%‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪W5  27.39  90%  12 10%  39.39  2%  26.4 min‬‬ ‫‪hosp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪hosp‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪W6  5  90%  30  8%  40* 2%  7.7 min‬‬ ‫‪W  W1  W2  W3  W4  W5  W6  24  2  6  3  26.4  7.7  69.1min‬‬ ‫‪14‬‬ ‫שאלה ‪ – 3‬יישום )‪ 20‬נקודות(‬ ‫תכנון שדות תעופה‬ ‫להלן כתבה שהתפרסמה ב –‪ YNET‬ב – ‪ ,7.5.2010‬אין צורך לקרוא את הכתבה‪ ,‬כל המידע הדרוש‬ ‫יופיע בשאלות עצמן‪.‬‬ ‫יוסי‪ ,‬העובד בחברת האדריכלות שזכתה במכרז לתכנון טרמינל הנוסעים בשדה החדש‪ ,‬נדרש‬ ‫לקבוע את השטח הדרוש לאזור ה – ‪ Check-in‬של טיסות פנים‪ .‬לצורך כך עליו להעריך את כמות‬ ‫הנוסעים הצפויה לשהות בזמן נתון‪ ,‬באזור דלפקי ה – ‪ Check-in‬של שתי החברות המפעילות‬ ‫טיסות פנים – אל‪-‬על וארקיע‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫בשלב הראשון‪ ,‬יוסי מעוניין להעריך את כמות הנוסעים בטיסות מקומיות‪ ,‬הצפויה לשהות באזור‬ ‫ה – ‪ Check in‬של חברת אל‪-‬על‪ .‬החברה תפעיל ‪ 3‬טיסות ביום )ב‪ 14:00 ,7:00-‬ו‪ (19:00-‬משדה‬ ‫התעופה לתל‪-‬אביב‪ .‬החברה תאייש ‪ 4‬דלפקים החל משעתיים לפני הטיסה‪.‬‬ ‫ראשית‪ ,‬לשם הפשטות‪ ,‬מנתח יוסי את מערכת התור לפני טיסת אל‪-‬על אחת בודדת‪ .‬הוא מעריך‬ ‫כי נוסעים יגיעו לאזור הדלפקים של החברה בטווח של בין שעתיים לפני הטיסה ועד חצי שעה‬ ‫לפני הטיסה‪ .‬שוב לפשטות‪ ,‬הוא מניח כי ההגעות בטווח זמן זה הינן לפי תהליך פואסון עם קצב‬ ‫של ‪ 100‬נוסעים בשעה וכי משך השירות בכל אחד מהדלפקים מתפלג מערכית עם תוחלת של ‪2.25‬‬ ‫דקות לנוסע‪ .‬בנוסף מניח יוסי כי המערכת מגיעה במהירות למצב יציב‪.‬‬ ‫‪ 3.1‬איזה מודל מתמטי מתאים לתיאור מערכת התור בטווח של שעתיים עד חצי שעה לפני טיסת‬ ‫אל‪-‬על? מהן הנחות המודל? מהם הפרמטרים של המודל?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫המודל המתמטי המתאים הוא מודל ‪ .M/M/n – Erlang C‬הנחות המודל והפרמטרים‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הגעות לפי תהליך פואסון עם קצב של ‪   100‬נוסעים לשעה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫משכי שירות מפולגים )‪0.0375 , exp(   26.667‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ 4‬שרתים‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כמו כן מניחים כי אין נטישות ולא קיימת תלות בין תהליך ההגעה למשכי השירות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫שעות‪.‬‬ ‫‪ 3.2‬שרטטו על גבי הגרף המצורף את קצב הגעת נוסעים לטיסות אל‪-‬על לתל אביב לאורך כל שעות‬ ‫היום‪ .‬האם הגעת הנוסעים לטיסות אל‪-‬על לתל אביב במשך יממה אחת מהווה תהליך פואסון‬ ‫הומוגני בזמן? נמקו את תשובתכם‪) .‬הקפידו על היחידות המתאימות(‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫קצב הגעה לטיסת פנים של אל‪-‬על‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪00:00‬‬ ‫‪23:00‬‬ ‫‪22:00‬‬ ‫‪21:00‬‬ ‫‪20:00‬‬ ‫‪19:00‬‬ ‫‪18:00‬‬ ‫‪17:00‬‬ ‫‪16:00‬‬ ‫‪15:00‬‬ ‫‪14:00‬‬ ‫‪13:00‬‬ ‫‪12:00‬‬ ‫‪11:00‬‬ ‫‪10:00‬‬ ‫‪09:00‬‬ ‫‪08:00‬‬ ‫‪07:00‬‬ ‫‪06:00‬‬ ‫‪05:00‬‬ ‫‪04:00‬‬ ‫‪03:00‬‬ ‫‪02:00‬‬ ‫‪01:00‬‬ ‫‪00:00‬‬ ‫)‪Time (resolution = 30 min‬‬ ‫‪Arrival rate‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫התהליך אינו תהליך פואסון הומוגני בזמן‪ .‬ישנן שעות )שעתיים עד חצי שעה לפני טיסה( בהן קצב‬ ‫ההגעה הוא ‪ 100‬נוסעים לשעה בעוד שבשאר השעות קצב ההגעה הינו ‪ .0‬בגרף הנ"ל קצב המופע‬ ‫הוא ממוצע מספר מופעים לחצי שעה‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫שימו לב‪ :‬פונקציית ‪ Garnett‬ודפי הרצאה רלוונטיים לפתרון הסעיפים הבאים מופיעים בסוף‬ ‫השאלה‪.‬‬ ‫‪ 3.3‬מהי ההסתברות שנוסע שהגיע לטיסת פנים של אל‪-‬על בטווח שבין שעתיים לחצי שעה לפני‬ ‫הטיסה ייאלץ להמתין?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫העומס המוצע‪ 3.75 :‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪R   E[ S ]  100 ‬‬ ‫‪n  R 4  3.75‬‬ ‫‪‬‬ ‫דרגת השירות‪ 0.129 :‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכיוון שאין נטישות‪ ,‬אנו מסתכלים בפונקציית ‪ Halfin-Whitt‬על הגרף של ‪ Garnett‬ומקבלים כי‬ ‫עבור ה ‪  -‬הנתונה ‪. P Wait  0  0.9‬‬ ‫)ניתן לחשב גם ישירות מנוסחת ‪ , E2,n‬אך חישוב זה מסורבל(‪.‬‬ ‫‪ 3.4‬מהו אורך התור הממוצע לדלפקי ה ‪ Check-in -‬של חברת אל‪-‬על )בטווח הזמן של שעתיים‬ ‫עד חצי שעה לפני הטיסה(?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫בסעיף הקודם מצאנו כי ההסתברות להמתנה הינה‪. E2,n  P Wait  0  0.9 :‬‬ ‫בתור ‪:M/M/n‬‬ ‫‪0.9375‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪  ‬ולכן‪ 0.9  13.5 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר ‪ 0.9375‬‬ ‫‪1  0.9375‬‬ ‫‪n 4  26.667‬‬ ‫דרך נוספת‪:‬‬ ‫בתור ‪:M/M/n‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E2,n  ‬‬ ‫‪ 0.9 ‬‬ ‫ולכן‪ 0.135 :‬‬ ‫‪ 4 1  0.9375‬‬ ‫‪26.67‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫ומחוק ‪E[ Lq ]   E[Wq ]  100  0.135  13.5 :Little‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪E[Wq ] ‬‬ ‫‪E2, n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪E[ Lq ] ‬‬ ‫כעת יוסי מעוניין לעדן מספר הנחות שעשה בניתוח הראשוני‪ .‬ידוע כי ‪ 30%‬מהנוסעים הינם‬ ‫לקוחות עסקיים המגיעים לדלפק ה – ‪ Check in‬ללא מזוודות למסירה‪ .‬עבור נוסעים אלו משך‬ ‫השירות בדלפק מתפלג מעריכית עם ממוצע של חצי דקה בלבד‪ 70% .‬מהנוסעים הם תיירים ומשך‬ ‫השירות שלהם מתפלג מעריכית עם ממוצע של ‪ 3‬דקות‪.‬‬ ‫ההנחה לגבי תהליך ההגעה אינה משתנה לעת עתה‪.‬‬ ‫‪ 3.5‬איזה מודל מתמטי מתאים לתיאור המערכת כעת? מהן הנחות המודל?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫המודל המתמטי המתאים הוא מודל ‪ .M/PH/n‬הנחות המודל והפרמטרים‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הגעות לפי תהליך פואסון עם קצב של ‪   100‬נוסעים לשעה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫משכי שירות מפולגים ‪) PH‬משך שירות היפר‪-‬מעריכי(‪ ,‬עם שתי פאזות במקביל‪ :‬מעריכית עם‬ ‫‪1‬‬ ‫ממוצע‬ ‫‪2‬‬ ‫דקה בסיכוי ‪ ,0.3‬ומעריכית עם ממוצע ‪ 3‬דקות בסיכוי ‪.0.7‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ 4‬שרתים‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כמו כן מניחים כי אין נטישות ולא קיימת תלות בין תהליך ההגעה למשכי השירות‪.‬‬ ‫חלק זה של העמוד נשאר ריק‬ ‫‪18‬‬ ‫‪ 3.6‬מה יהיה כעת אורך התור הממוצע לדלפקי ה ‪ Check-in -‬של חברת אל‪-‬על )בטווח הזמן של‬ ‫שעתיים עד חצי שעה לפני הטיסה(? השוו אותו לאורך התור הממוצע שקיבלתם בסעיף ‪ .3.3‬האם‬ ‫תוצאה זו הייתה צפויה? נמקו תשובתכם‪.‬‬ ‫תזכורת‪ :‬אם ) ‪ X  exp(‬אזי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E[ X 2 ]  ( E[ X ]) 2  Var ( X ) ‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫כאמור‪ ,‬משך השירות מתפלג כעת לפי התפלגות ‪ .(Hyper-exponential) PH‬ניתן לתאר את משך‬ ‫השירות באופן הבא‪:‬‬ ‫נחשב את תוחלת ושונות משך השירות‪:‬‬ ‫‪E[ S ]  0.3  0.5  0.7  3  2.25 min  0.0375hour‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E[ S 2 ]  0.3 exp(120)   0.7 exp(20)   0.3 ‬‬ ‫‪ 0.7  2  0.0035‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Var ( S )  E[ X 2 ]  ( EX ) 2  0.003  0.03752  0.00213‬‬ ‫מכיוון שתוחלת משך השירות לא השתנתה וקצב ההגעה לא השתנה‪ ,‬נשתמש ב‪Allen-Cunneen -‬‬ ‫) ‪Var ( s‬‬ ‫‪ ,Approximation‬כאשר כל שעלינו לעשות הוא לחשב את‬ ‫‪( E ( S )) 2‬‬ ‫‪ C ( S ) 2 ‬ולהציבו בנוסחא;‬ ‫כל השאר נשאר כפי שהיה בתור ‪.M/M/n‬‬ ‫‪0.00213‬‬ ‫‪ 1.518‬‬ ‫‪0.03752‬‬ ‫‪C ( S )2 ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1  C ( S )2‬‬ ‫‪1  1.518‬‬ ‫‪ 0.135‬‬ ‫‪ 0.17 ‬‬ ‫‪E2,n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E[Wq ] ‬‬ ‫ומחוק ‪:Little‬‬ ‫‪. E[ Lq ]   E[Wq ]  100  0.17  17‬‬ ‫קיבלנו שממוצע אורך התור גדל‪ .‬תוצאה זו הייתה צפויה שכן בהתפלגות ‪Hyper-exponential‬‬ ‫‪ ,C>1‬כלומר‪ ,‬יש יותר אקראיות במערכת ולכן‪ ,‬עם אותו מספר שרתים )ועם אותה תוחלת משך‬ ‫שירות ואותו קצב הגעה( נקבל משכי המתנה ארוכים יותר ואורכי תורים ארוכים יותר‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫במחשבה נוספת‪ ,‬יוסי מבין כי על מנת שיוכל להעריך את השטח הדרוש לאזור ה – ‪,Check in‬‬ ‫עליו לאמוד את המספר המקסימאלי של לקוחות בתור ולא את הממוצע‪ .‬כמו כן‪ ,‬הוא בודק את‬ ‫נתוני ההגעות של לקוחות אל‪-‬על לטיסות פנים היוצאות משדה התעופה באילת ומגלה כי ההנחות‬ ‫הראשוניות שעשה אינן מדוייקות‪.‬‬ ‫בפועל‪ ,‬נוסעים אכן מגיעים לאזור ה – ‪ Check in‬החל משעתיים לפני הטיסה אך לא ע"פ תהליך‬ ‫פואסון‪ .‬קצב ההגעה משתנה כפונקציה של הזמן עד הטיסה‪ .‬הנוסע האחרון יגיע ‪ 15‬דקות לפני‬ ‫הטיסה‪.‬‬ ‫כמו כן מתברר לו כי אמנם החברה פותחת את הדלפקים החל משעתיים לפני הטיסה אך‬ ‫מתחילים לקבל נוסעים רק שעה וחצי לפני הטיסה‪.‬‬ ‫על סמך נתונים אלו יוסי משרטט את הגרף הבא‪:‬‬ ‫גרף ‪6‬‬ ‫‪20‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫ציר ה – ‪ X‬מתאר את הזמן עד ליציאת הטיסה‪.‬‬ ‫)‪ = A(t‬כמות הנוסעים המצטברת באזור ה – ‪ Check in‬עד זמן ‪.t‬‬ ‫)‪ = D(t‬כמות הנוסעים המצטברת שנכנסה ל – ‪ Check in‬עד זמן ‪.t‬‬ ‫בשאלות הבאות בטאו את תשובותיכם בעזרת ‪ t A , t B , tC , t D , t E‬מהגרף‪.‬‬ ‫‪ 3.7‬באילו זמנים קיים תור במערכת?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫קיים תור במערכת מזמן ‪ t A‬עד זמן ‪ . t B‬בזמן זה נוסעים מתחילים להגיע לאזור ה – ‪Check in‬‬ ‫אך הדלפקים אינם פתוחים‪ .‬כמו כן קיים תור מזמן ‪ tC‬עד זמן ‪. t E‬‬ ‫‪ 3.8‬מה ניתן לומר על היחס בין קצב ההגעה לקצב השירות החל מפתיחת הדלפקים )‪ 90‬דקות לפני‬ ‫הטיסה( ועד ל‪ 65-‬דקות לפני הטיסה )מי גדול ממי(? מה ניתן לומר על נצילות הפקידים החל מזמן‬ ‫‪ t B‬ועד ‪ 65‬דקות לפני הטיסה?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫קצב השירות בזמן שבין ‪ 90‬דקות לפני הטיסה ועד ‪ t B‬גבוה מקצב ההגעה‪ .‬עם פתיחת הדלפקים‬ ‫ניתן לומר כי קצב השירות גבוה בהרבה מקצב ההגעה שכן הפקידים מצליחים להתמודד‬ ‫במהירות עם התור שהצטבר טרם הפתיחה וכן לטפל בכל הלקוחות שהגיעו לאחר הפתיחה‪ .‬החל‬ ‫מזמן ‪ t B‬ועד ‪ 65‬דקות לפני הטיסה נצילות הפקידים קטנה מ‪ ;100%-‬ניתן לראות כי השיפוע של‬ ‫)‪ D(t‬בזמן זה קטן מהשיפוע של )‪ D(t‬כאשר יש תור במערכת‪ ,‬כלומר קצב השירות המקסימאלי‬ ‫גבוה מקצב השירות הנדרש בפועל ומקבלים כי קצב השירות זהה לקצב הכניסה‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ 3.9‬באיזה אינטרוול זמן קצב ההגעה הוא הגבוה ביותר? מתי מתקבל אורך התור הארוך ביותר?‬ ‫זמן ההמתנה הארוך ביותר? הסבירו את התופעה המתקבלת‪.‬‬ ‫סמנו את אורך התור המקסימאלי ‪ , qmax -‬ואת זמן ההמתנה המקסימאלי ‪ , wmax -‬על גבי גרף ‪.6‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫קצב ההגעה הוא הגבוה ביותר בין ‪ tC‬ל ‪ , t D -‬ניתן לראות שהשיפוע של )‪ A(t‬הוא התלול ביותר‬ ‫בזמן זה‪ .‬התור המקסימאלי מתקבל בזמן ‪ t D‬וכך גם זמן ההמתנה הארוך ביותר‪ .‬ראינו תופעה זו‬ ‫גם בהרצאות ובתרגולים כאשר ה – ‪ Peak Congestion‬מפגר בזמן אחרי ה – ‪ .Peak Load‬מרגע‬ ‫שקצב ההגעה עולה על קצה השירות המקסימאלי‪ ,‬מתחיל להיווצר תור‪ .‬התור ימשיך לגדול עד‬ ‫אשר קצב ההגעה ישתווה שוב לקצב השירות המקסימאלי ו‪/‬או ירד מתחתיו‪ .‬לפיכך‪ ,‬אם קצב‬ ‫ההגעה עולה מעל קצב השירות המקסימאלי ואז יורד שוב‪ ,‬ברגע שקצב ההגעה ישתווה לקצב‬ ‫השירות המקסימאלי נקבל את אורך התור המקסימאלי ובהתאמה גם את משך ההמתנה הגבוה‬ ‫ביותר‪.‬‬ ‫הגרפים הבאים ממחישים את התופעה‪:‬‬ ‫) ‪ -  (t‬קצב הכניסה‪ -  (t )   ,‬קצב השירות המקסימאלי‪.‬‬ ‫לסימונים המתאימים ראו גרף ‪.6‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ 3.10‬מה מתאר השטח המקווקו בגרף? בטאו את השטח המקווקו ‪ S‬באמצעות )‪ A(t‬ו – )‪.D(t‬‬ ‫כיצד ניתן לחשב את אורך התור הממוצע ומשך ההמתנה הממוצע על סמך ‪?S‬‬ ‫רשמו את הנוסחאות המתאימות תוך שימוש בסימוני הגרף‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪tE‬‬ ‫‪ – S‬זמן ההמתנה הכולל במערכת )של כל הלקוחות שהגיעו למערכת(‪S    A(t )  D(t )  dt .‬‬ ‫‪tA‬‬ ‫נסמן ב – ‪ W‬את משך ההמתנה הממוצע‪.‬‬ ‫נסמן ב – ‪ N‬את סך מספר הנוסעים שהגיעו לאזור ה – ‪ Check in‬עד הטיסה )ע"פ גרף ‪ 6‬ערך זה‬ ‫שווה לגובה הגרף בנקודה ‪ ,E‬נסמנו גם כן ב – ‪.(E‬‬ ‫נסמן ב – ‪ L‬את אורך התור הממוצע‪.‬‬ ‫משך ההמתנה הממוצע מתקבל מחלוקת זמן ההמתנה הכולל בסך מספר האנשים שנכנסו‬ ‫‪S S‬‬ ‫‪‬‬ ‫למערכת‪:‬‬ ‫‪N E‬‬ ‫אורך התור הממוצע מתקבל מחלוקת סך משך ההמתנה באינטרוול הזמן הרלוונטי‪ ,‬במקרה שלנו‬ ‫‪.W ‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫אינטרוול הזמן הוא ‪ , T  t E  t A‬ואורך התור הממוצע הוא‪:‬‬ ‫‪T tE  t A‬‬ ‫חלק זה של העמוד נשאר ריק‬ ‫‪23‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ 3.11‬גבי‪ ,‬העובד גם הוא בחברת האדריכלות המתכננת את השדה החדש‪ ,‬אחראי לתכנון מסלולי‬ ‫הנחיתה של טיסות פנים‪ .‬על‪-‬פי ההנחיות‪ ,‬יוקצה רק מסלול אחד לנחיתות של טיסות פנים‪.‬‬ ‫תהליך ההגעה של טיסות פנים הינו תהליך פואסון עם קצב של ‪ ‬טיסות בשעה‪ .‬כאשר מטוס‬ ‫נוחת במסלול הוא תופס אותו לזמן קבוע ‪ .D‬טיסות פנים אשר מגיעות בזמן שהמסלול תפוס יופנו‬ ‫למסלול אחר‪ .‬כיצד מתפלג הזמן מרגע תחילת נחיתה במסלול המיועד לטיסות פנים ועד לרגע‬ ‫תחילת הנחיתה הבאה במסלול זה?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫נסמן ‪ – Y‬הזמן בין שתי נחיתות עוקבות של טיסות פנים )לאו דווקא במסלול המוקצה לטיסות‬ ‫פנים(‪.‬‬ ‫) ‪Y  exp(‬‬ ‫נסמן ‪ – X‬הזמן בין שתי נחיתות עוקבות במסלול לטיסות פנים‪ .‬זמן זה מורכב מזמן קבוע ‪ D‬שבו‬ ‫המסלול חסום מרגע נחיתת המטוס הראשון והזמן מרגע ‪ D‬ועד שתנחת טיסת הפנים הבאה‪.‬‬ ‫נסמן‪. X  D  RD :‬‬ ‫נשים לב כי במהלך הזמן שהמסלול חסום מגיעות טיסות פנים נוספות המופנות למסלולים‬ ‫אחרים‪ RD .‬מבטא למעשה את "שארית משך החיים" של ‪ Y‬בנקודת זמן ‪ .D‬נקודת זמן זו נופלת‬ ‫באקראי במקום כלשהו ב‪ Y -‬ומתכונת חוסר זיכרון גם ) ‪. RD  exp(‬‬ ‫כעת נמצא את פונקציית ההתפלגות של ‪ .X‬עבור ‪ D  t‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪P ( X  t )  P( D  RD  t )  P( RD  t  D)  1  e  ( t  D‬‬ ‫כלומר‪ X ,‬מתפלג לפי התפלגות מעריכית מוזזת עם הפרמטרים ‪ ‬ו‪) D -‬הזזה בגובה ‪.(D‬‬ ‫‪ 3.12‬מהו אחוז טיסות הפנים שמופנות למסלולים אלטרנטיביים? ניתן גם לחשב תשובה זו ע"פ‬ ‫נוסחה שנלמדה בקורס – מהי הנוסחה?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫על סמך התשובה מהסעיף הקודם‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. E( X )  D ‬‬ ‫מתוך זמן זה המסלול חסום ‪ D‬יחידות זמן‪.‬‬ ‫ע"פ ‪ % ,PASTA‬טיסות מופנות = ‪ %‬הזמן שהמסלול תפוס =‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D 1‬‬ ‫כמודל ‪ ,(Erlang B) M/D/1/1‬נוסחת ‪ Erlang B‬תשחזר את הביטוי הנ"ל‪.‬‬ ‫‪24‬‬ 25 26 27 28 ‫שאלה ‪ – 4‬תיאוריה )‪ 10‬נקודות(‬ ‫‪ 4.1‬במערכת שירות ‪ , M t | G | ‬המופע הוא פואסוני לא הומוגני בזמן עם קצב מופע‬ ‫}‪ , { (t ), t  0‬ומשכי השירות ‪ S‬הם בלתי‪-‬תלויים‪ ,‬שווי התפלגות‪ ,‬ובלתי תלויים במופע‪ .‬נסמן ב‪-‬‬ ‫)‪ L(t‬את מספר האנשים במערכת בזמן ‪ t‬ויהי )‪ R(t‬ממוצע מספרם‪. R(t )  EL(t ) :‬‬ ‫ניתן להראות ש‪ R (t ) -‬נתון על ידי כל אחד משני הביטויים הבאים‪:‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫)) ‪R (t )  E    (u )du   E ( S )  E ( (t  Se‬‬ ‫‪t S‬‬ ‫‪‬‬ ‫מטרת שני הסעיפים הבאים היא להוכיח את הנוסחאות הנ"ל במקרה פרטי של משך שירות‬ ‫דטרמיניסטי‪.‬‬ ‫‪ 4.1.1‬נניח שמשך השירות ‪ S‬הוא דטרמיניסטי ‪ .S=D :D‬הוכיחו את השוויון בין שתי ההצגות‬ ‫של ) ‪ R (t‬למקרה זה‪ ,‬ז"א‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)) ‪  (u )du  D  E ( (t  Se‬‬ ‫‪tD‬‬ ‫כאשר ‪ Se‬הוא זמן שארית השירות המתאים ל‪ S -‬דטרמיניסטי ‪.D‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ Se‬מתפלג אחיד על ]‪. Se  U (0, D) . [0, D‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪RHS  D  E ( (t  Se ))  D     (t  x)dx    (t  x)dx    (u )du  LHS‬‬ ‫‪u t  x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t D‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 4.1.2‬הוכיחו שמתקיים‪R (t )    (u )du :‬‬ ‫‪tD‬‬ ‫‪tD‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪tD‬‬ ‫רמז‪  (u )du    (u )du    (u )du :‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫נסמן ) ‪ = A(t‬מספר המופעים המצטבר עד זמן ‪ .t‬אזי )‪ , L(t )  A(t )  A(t  D‬כי בזמן ‪ t‬נמצאים‬ ‫‪d‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫במערכת כל המופעים באינטרוול הזמן ] ‪ . (t  D, t‬בנוסף‪ , A(t )  Poisson    (u )du  ,‬ולכן‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪tD‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪tD‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪R (t )  E ( L(t ))    (u )du    (u )du    (u )du‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪ 4.2‬בכתה הוסבר ש‪ R(t) -‬הנ"ל משמש כהגדרת העומס המוצע )‪ (Offered Load‬למערכת‬ ‫שירות בזמן ‪ , t‬כאשר המופע אליה ומשכי השירות בה הם כמתואר בחלק ‪ 1‬הנ"ל‪) .‬כזכור‪R(t) ,‬‬ ‫נמדד ב‪.(Erlang -‬‬ ‫הסבירו בקצרה מדוע אכן ההגדרה מתאימה‪ .‬את הסברכם חלקו לשלושה חלקים‪:‬‬ ‫‪ 4.2.1‬המקרה הפרטי של מופע פואסוני בקצב קבוע ) ‪ : ( (t )  ‬מהו )‪ R(t‬במקרה זה ומדוע‬ ‫הגדרתו מתאימה?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫במקרה זה ‪ , R(t )   E[ S ]  R‬אינו תלוי ב – ‪!t‬‬ ‫‪ = ‬מספר ממוצע של מופעים ליחידת זמן‪ .‬כל מופע מביא עמו בממוצע )‪ E(S‬יחידות עבודה‪,‬‬ ‫הנמדדת ביחידות זמן שירות‪ .‬לכן ‪ = R‬כמות העבודה המגיעה למערכת ליחידת זמן‪ ,‬כאשר עבודה‬ ‫נמדדת ביחידות זמן שירות‪.‬‬ ‫‪ 4.2.2‬דוגמא ‪ -‬חדר מיון בבית חולים‪ ,‬שבו משך השהייה הממוצע ‪ 6‬שעות‪ :‬מדוע ההגדרה מסעיף‬ ‫‪ 4.2.1‬איננה מתאימה למקרה שכזה?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫כאשר ‪ S‬מקבל ערכים יחסית גדולים‪ ,‬כמות העבודה בזמן ‪ t‬במערכת כוללת עבודה שהגיעה זמן‬ ‫רב יחסית לפני ‪ ,t‬ואם קצב המופע משתנה‪ ,‬כמו בחדר מיון‪ ,‬קצב מופע העבודה לפני זמן רב יכול‬ ‫להיות שונה בהרבה מקצב המופע בזמן ‪.t‬‬ ‫‪ 4.2.3‬המקרה הכללי‪ :‬מדוע הגדרת )‪ R(t‬בחלק ‪ 4.1‬הנ"ל אכן מתאימה?‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫בהמשך ל‪ = R (t ) ,4.2.2 -‬כמות העבודה הנמצאת במערכת בזמן ‪ ;t‬עבודה נמדדת ביחידות זמן‬ ‫שירות‪ ,‬או לחילופין מספר יחידות זמן‪-‬שרת הנדרשות לטיפולה‪ .‬לכן ) ‪. R (t )  E ( L(t‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫הביטוי ‪ R (t )  E    (u )du ‬ממחיש יפה את העובדה שכמות העבודה בזמן ‪ t‬כוללת עבודה‬ ‫‪ t S‬‬ ‫‪‬‬ ‫שהגיעה לפני כן‪ ,‬בקצב תלוי זמן ) ‪.  (t‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ 4.3‬ניתן להראות )על ידי שינוי משתני אינטגרציה בלבד( שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪E    (u )du     (u )[1 G (t  u )]du‬‬ ‫‪ t S‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫כאשר )‪ G (‬היא פונקצית ההתפלגות של משך השירות ‪ .S‬שימו לב ליחס‪:‬‬ ‫}‪1  G (t  u )  P{S  t  u‬‬ ‫היעזרו בעובדות אלו כדי לחדד את הסברכם בסעיף ‪ ,4.2.3‬ז"א תנו הסבר מדויק יותר לעובדה ש‪-‬‬ ‫)‪ R(t‬הוא אכן ההגדרה המתאימה לעומס המוצע )‪ (Offered Load‬בזמן ‪.t‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪ =  (u ) .1‬קצב המופע בזמן ‪ . u‬לכן ) ‪   (u‬ממוצע מספר המופעים במשך ) ‪. (u, u  du‬‬ ‫‪ % = 1  G (t  u ) .2‬המופעים בזמן ‪ u‬שעדיין נמצאים במערכת בזמן ‪. t  u‬‬ ‫‪  [ (u )du ]  [1  G (t  u )] .3‬כמות העבודה במערכת בזמן ‪ ,t‬שמקורה במופעים שהתרחשו‬ ‫במשך ) ‪. (u, u  du‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ =   (u )[1  G (t  u )]du .4‬כמות העבודה במערכת בזמן ‪. t  0 ,t‬‬ ‫‪‬‬ ‫שאלת בונוס‪ :‬עשו חלק זה רק אחרי שסיימתם את יתר הבחינה‪.‬‬ ‫‪ 4.4‬הסבירו כיצד ניתן להרחיב את המקרה הדטרמיניסטי ב‪ 4.1.1 -‬הנ"ל למקרה של ‪ S‬כללי‪,‬‬ ‫דהיינו כיצד מוכיחים שאכן‪:‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫)) ‪E    (u )du   E ( S )  E ( (t  Se‬‬ ‫‪ t S‬‬ ‫‪‬‬ ‫רמז‪ :‬ניתן לקרב כל משתנה מקרי‪ ,‬בדיוק רב כרצונכם‪ ,‬על ידי משתנה מקרי המקבל מספר סופי‬ ‫של ערכים )מ"מ דיסקרטי(‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫נסמן ‪ , S  Di w. p. pi‬מ"מ דיסקרטי‪.‬‬ ‫‪pi Di‬‬ ‫על סמך אמידה מוטה‬ ‫) ‪E (S‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ Se  U i w. p.‬כאשר ) ‪. U i  U (0, Di‬‬ ‫לכן‪,‬‬ ‫)) ‪ D E ( (t  U‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i (u )du ‬‬ ‫‪4.1.1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t  Di‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (u )du ‬‬ ‫‪i   pi‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t  Di‬‬ ‫‪pi Di‬‬ ‫‪E ( (t  U i ))  E ( S ) E ( (t  Se ))  RHS‬‬ ‫) ‪E (S‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪LHS   pi‬‬ ‫‪ E ( S )‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ 32