הסתברות מ - Anat Etzion

‫) – חורף תשע"א‬440032( ‫מבוא לסטטיסטיקה‬
:‫פונקצית התפלגות מצטברת‬
.
:‫שונות וסטיית תקן‬
:‫הגדרה‬
Fx ( x )  P ( X  x )
.‫לא יורדת‬
. lim
.
:‫רציף‬
f x ( x ) dx

Fx ( x ) 
)2
Fx ( x )
d
fx ( x ) 
)5
Fx ( x )
dx
lim
 Fx ( x )  1
)1
Fx ( x )  0
)3
x  
.‫רציפה מימין‬
.‫לכל פונקציה‬
F
‫וגם‬
. V ar ( c )
f
‫קבוע אמ"מ‬
 0
SD ( X ) 
 x , y : PX Y  x , y   PX  x  PY  y 
‫אם הסתברות משותפת היא מכפלת שתי‬
,y ‫ והשנייה של‬x ‫ האחת של‬,‫פונקציות‬
‫תלות‬-‫ אזי ניתן להסיק שקיימת אי‬f ( x )  g ( y )
.‫בין המשתנים‬
‫קבוצות זרות של מ"מ‬-‫ פונקציות ותת‬:‫הערה‬
.‫בלתי תלויים הן בלתי תלויות‬
Var ( X )
  Y  E  Y | X   2 | X  :‫שונות מותנית‬
)6
U ni [ 0 , 1 ]
:‫תלות מ"מ בדידים‬-‫אי‬
‫מ"מ הם ב"ת אם"ם‬
‫אם‬
X ,Y
 V ar (Y
V ar  Y   E
X)
  V ar  E  Y X  
x
z
Z

2
z
1
2
e
2
Z
‫נורמלי‬
N ( 0 , 1)
:‫ואריאנס‬-‫קו‬
C ov ( X , X )  Var ( X )
  X 
C ov ( X , Y )  E
  Y  Y  
x
 E
 XY  
E  X 
E  X  E Y 
)


 P Z a
X
 

  a
P a Z b

 
 
C ov  X ,Y  
  b   a
N ( , 
Y
2
-‫ו‬
)
2
.
N ( , 
X
1
N (
X  Y
2
  ,
1
:‫סכום נורמלים‬
)
1
2
2
 
1
2
‫ גאמא‬: -‫ נורמלי ב‬.‫ מתפלגת קושי‬:‫מנת נורמלים‬
,‫ ש"ה‬,‫ב"ת‬
X

n
N ,
2 

n 


n
lim
X    , E X  
2
:‫נגדיר‬
Xi
Var
i
i 1

X
:‫משפט הגבול המרכזי‬
n
n
1

n
X 1 , X 2 , ..., X
n 
S n  n

P


  X i 
/
x  P( X  x)  
x
X 1 , X 2 , ..., X
 nx
x
f m in

)
d  c
S


n

 S n 1 e  S dS   n 1 !

 n  1 x 

X   a , b 

 P  a X b 

 a
 a
U ni [ 0, x ]
 b
f x ( x ) dx
1

(X | Y  y)   x  P(X  x | Y  y)
x
 (Y )    (Y | X  x )  P ( X  x )
x
‫פונקצית צפיפות של‬
.
:‫סטנדרטיזציה‬
 V ar  X

1


‫ ותמיד‬
fx ( x )  0
‫אם‬
fx ( x )
f x ( x ) dx  1
E X
xf X
 x y  dx
Y
:‫תוחלת של רציף‬
x  f x ( x ) dx

E g X


.N ‫ מ‬n ‫ ובוחרים‬n1
P (n

E Y  
x  f x ( x ) dx  
‫התוחלת קיימת רק כאשר‬




f x ( x )  y  fY

 

‫ב"ת‬
,
X i exp(  )
S
E
 X Y | X Y 

 y x  dy  dx



 EX
0
 
exp  p
:‫אז‬
P (T  t  s T t )  P (T  s )


 

2
V ar  X    x  f X  x dx    x  f X  x  dx 



 

.Y

Gamma n , 
X 1 , X 2 , ..., X
 ,Y
n
:Gamma ‫התפלגות‬
n


Xi
‫ נגדיר‬,
X
i 1
ˆ  X
2
1
   
2

  n    n 1    n  1 
 
 n
,
.
X


Gamma r , 
X  Y Gamma  r  s ,  
‫כנ"ל יתקיים‬
X,Y
n
 exp
Y
X Y
XiX
(X  Y Y )  (X Y )  Y
ˆ  1 X


 
Beta r , s
(X

2
2
)   ( ( X
‫אז נקבל‬
| Y  y )  V ar ( X | Y  y )  (  ( X Y  y ))
‫ מ"מ ב"ת‬N .

exp 1/ 

‫תצפיות‬
 Xi

2
Xi
:wald ‫משפט‬
XN
,
Xi
-‫בכל ה‬
…
f

:‫ס"מ לשונות כשהתוחלת ידועה‬
:‫ס"מ לתוחלת כשהשונות ידועה‬
- B er  p  , exp    , P o is   
 
X
:QQ-PLOT
n
pa

 ... 

N
 n


 Nk

 nk








B in

M
n,
N M

e
 k

.‫האירוע האחרון‬
k!
:‫מירוץ פואסון‬
‫משני מאורעות בהסתברויות‬
pb  1
1


e
1

X
X
1 
 xi   
1
n
n   xi 
 1 


  e
e
 
:  -‫ ס"מ ל‬. S   X i :  -‫ס"מ ל‬
  ,   -‫ ס"מ ל‬. S
 i / n 1
 X
I{X
1 
1 
 }
.) h  x   1 ( S  X 1  ,  X i
F

x
X

p
 x
F
X
   P  X   
p
p
f
p

X


 1
 xi
S 
1
n
 2
 p    
p

2
Xi  X
2

1
n


n
  xi 
x i or
 XiX 
2
  X i   2    X i  X     X  
2
 1
 ln xi
p
.‫ הנחת ההתפלגות נכונה‬-‫קו ישר בגרף‬

:2-‫דוגמא‬
-‫ שברונית תיאורטיים‬:x ‫ציר‬
i / n 1
.‫ תצפיות ממוינות לפי הסדר‬:y ‫ציר‬
:‫דוגמא‬
‫מוצאים כיצד לבטא‬
p  i / n 1 ‫ ע"י‬
p

‫מוסיפים‬

n

:‫סטטיסטי מספיק‬
X
1
exp   
 -‫ ס"מ ל‬   ,
‫ב"ת‬
2
E  S N   EX EN   EN
U  0 ,
B er  p 
  Xi  
EX i  
S N  X1
i
i/n+1
p X
2
j  k) 


 N2 
 n 
 2 
. P o is ( p a   ), P o is ( p b   ) ‫מ"מים ב"ת שמתפלגים‬
‫ מתקיים פיצול לכל שתי אפשרויות של‬:!‫ב"ת‬
!‫ אלו שני פואסון ב"ת‬.‫"האנשים" שמגיעים‬
‫ כל ערך מתוך טווח‬:Uni(k,n) ‫התפלגות אחידה‬
.‫ מתקבל באותה הסתברות‬,‫ערכים מסוים‬
:‫ דוגמא‬-‫סטטיסטי מספיק‬
 ( X Y )   (  ( X Y | Y  y ))
| Y  y ))
P o is   
B in  n , p 
  X i2 ,  X i 
2

2
pˆ  X
‫כאשר‬
Gamma s , 

(X


 N1 
 n 
 1
| Y  y )  y   ( X | Y  y )  ( XY | Y )  Y   ( X | Y )
‫התפלגות‬
N  ,
2
  2X
ˆ  X
 
‫ עבור‬:Gamma ‫חילוק‬
X
n

n
x0
 ‫ אם‬:Gamma ‫חיבור‬
‫ב"ת אז‬
.‫ המנה והסכום בשני הנ"ל ב"ת‬.
‫©ענת עציון‬
 
G am m a 1 , 
 n 1 ! : ‫שלם‬
ˆ  X
 
  e   x  x n 1  e   x  x n 1
 
 


f X  x  
 n 
 n 1  !

otherw ise
0
1

ˆ  X
E xp 
i
‫מומנטים‬.‫ש‬
2
‫כאשר‬:‫מרובה סוגים‬
 n
k
‫ קטן אז‬p-‫ גדול ו‬n ‫ כאשר‬:‫קירוב פואסוני לבינומי‬
.   np ‫ניתן לקרב את הבינומי לפואסוני עם‬
!‫מג"מ‬-‫הערה! ניתן לעשות קירוב נורמלי לבינומי‬
Y
P ois (  ) , X
P ois (  ) :‫סכום פואסונים ב"ת‬
. ( X  Y ) P ois (    )
‫ ואז מתרחש אחד‬Z P ois (  ) ‫ אם‬:‫פיצול פואסון‬
f x ( x ) E ( Y X  x ) dx
(X  Y | Y  y)  (X | Y  y)  y
ˆ
 ..  n
 

X 1| X 1  X 2  n Bin  n , 1
1   2 

:‫נוסחאות נוספות‬
 P ( X  x ) dx ‫נוסחת הזנב‬
0
‫אנ"מ‬
of type 1 
‫אם‬
X
‫ אם‬. G ( t )  P ( T  t ) ‫ נגדיר‬, T ‫ נתון מ"מ‬:‫משפט‬
. T ~ E xp (  ) ‫ כך ש‬ ‫ קיים‬, G ( t  s )  G ( t )  G ( s )
,‫מ"מ ב"ת‬

.  1 ‫ אז‬, F  x  0 ‫ באזורים בהם‬:‫לב‬-‫לשים‬
:‫ שונות של רציף‬ ( X Y


j
n  N, D  N
 
N 
 
 n 
p  k 


 1 Fx ( x )  dx

:‫סכום עם גיאומטרי‬
N
 X
i
i 1

N
P(X  Y ) 
‫ לא היה‬t ‫ אם נתון כי עד רגע‬:‫תכונת חוסר זיכרון‬
‫ אז הזמן עד למופע הבא מתחיל מהתחלה‬,‫מופיע‬
.

:‫תחרות בין אקספוננציאלים‬
X ,Y
X ~ E xp (  ), Y ~ E xp (  ) 
N Geo ( p )
E X


 N D 
 nk 


‫ מספר האירועים‬:Pois(  )‫התפלגות פואסון בדידה‬
‫ אם ידוע כי הם מתרחשים בקצב‬,‫ביחידת זמן נתונה‬
‫ ובאופן ב"ת בפרק הזמן מאז‬  0 ‫ממוצע קבוע‬

X ~ Exp (  ), Y ~ Exp (  )  M in ( X , Y ) ~ Exp (    )
 
D
k 
 
X ~ HG (n, N , M )  X


X
 km11 p m q k  m
‫ גדול מאוד‬N ‫ כאשר‬:‫קירוב בינומי להיפר גיאומטרי‬
‫ אזי תוצאת החישוב עם ההחזרה‬, n -‫ביחס ל‬
‫(הבינומית) קרובה לתוצאת החישוב בלי החזרה‬
. p  D / N , n  n .)‫(ההיפר גיאומטרית‬
‫אז‬
‫במקרה הרציף‬
g  x  f x ( x ) dx
p k 
‫ בכד‬:HG(N,D,n) ‫גיאומטרית‬-‫התפלגות היפר‬
.‫ כדורים לבנים‬M -‫ כדורים שחורים ו‬N ‫נמצאים‬
‫ ההסתברות‬.‫ כדורים באקראי ללא החזרה‬n ‫מוציאים‬
.‫ כדורים שחורים‬k ‫שבין הכדורים שהוצאו נמצאים‬
 ( X )  (  ( X |Y ))  ( g ( Y ))

. 
:‫במקרה הרציף‬
 ( X | Y )  g (Y )


B (n, p)
k 1
‫אם‬
:‫נוסחת ההחלקה‬
:‫הסת' שלמה‬

:‫מינימום של אקספוננט הוא אקספוננט‬
k
X
B (m  n, p)
 ( X )    ( X | Y  y )  P (Y  y )
y


X ,Y




(X | Y  y) 
k
.
‫ב"ת אז‬
( X | Y )  ( X )


f X  x    f X |Y  x |Y  k  P  Y  k 
2

 x
x0
f X  x   e
otherw ise

0
 e
:‫תוחלת מותנית‬
,
‫הסתברות הצלחה‬
p
p . p ‫הסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא‬
‫ אם ידוע שלא הייתה הצלחה עד לניסוי‬:‫חוסר זיכרון‬
‫ הינה‬m+k ‫ אז ההסתברות כי היא תקרה בניסוי‬m-‫ה‬
.‫עדיין כמו בנוסחה‬
:NB(m,p) ‫התפלגות בינומית שלילית‬
‫ית בדיוק‬- m -‫ההסתברות לקבל את ההצלחה ה‬
. p ‫ כאשר לכל ניסוי הסת' הצלחה‬k -‫בניסיון ה‬
:‫נוסחת הזנב‬

X
:‫מעבר לאקספוננט‬
X 
E
f x ( x ) dx
P  a X b   P  X b   P  X  a 
n 1
exp   


 0

( X )   P( X  k )
k 1
(
X 
a
FX ( x )  P ( X  a ) 
.


P  lim | X n   |  0  1
 x 

)



dx  0

U [ 0 , 1]
ba

 
bin / n
‫ אם‬:‫סכום בינומים‬
: ‫ בשניהם) אז‬p ‫(אותו‬
:Geo(p) ‫התפלגות גיאומטרית‬
-‫ההסתברות להצלחה ראשונה בנסיון ה‬
X  Y
P(k ) 
:‫ אז‬EX i
P |X n   |  0
:‫החזק‬
2
2

b
X a
,   ln 1U  
x
‫וגם‬
B (m, p)
‫כאשר‬
 nk  p k q n  k
‫כמו סכום של גיאומטרי‬
1 n

n i 1 X i  
a
otherw ise
 m in|m ax  x 

b
a xb
‫ אם‬:‫סטטיסטי הסדר‬
n 1
x e
 y)
Var  X   pq
EX  p
‫ עבור‬:‫חוק המספרים הגדולים‬
‫ לכל‬:‫החלש‬
:‫פונקצית הצפיפות‬
2
 1

f ( x )  ba
x
0

U  0 ,1 
n
U [a, b] 
 e
:‫תקנון‬
Xi
:‫התפלגויות רציפות‬
P
P(X  a)  e
 a  X b 

 x, Y
x y
-‫ב"ת ו‬
:‫אינטגרלים‬
d x 1
0
‫ זמן בין מאורעות‬:‫התפלגות אקספוננציאלית‬
.‫פואסון‬
P
x
 aE X  b
 ( XY )  ( X ) ( Y ) ‫ ב"ת אז‬X , Y ‫ אם‬:‫כלל הכפל‬
.‫ בלתי מתואמים‬:‫זוג מ"מ שמקיים את הנוסחה‬
E  XY     xyP  X  x ,Y  y  :‫לכל שני מ"מ‬
‫) לכל‬6
a
X
a  b
( X ) 
E ( X m in ) 

,   e

Y
 x)
0
Xi
i 1
b  a
2
n 1
U [ 0 ,1 ]
 ( g ( X ))   g ( x )  P ( X
x

2
e  z dz  
E aX  b
 ( g ( X , Y ))    g ( x , y )  P ( X
x y
n
n
X
‫קבוע‬
X  X
X *
:‫ כאשר‬,

‫מ"מ רציף אז‬
 ( X m ax ) 
)5

X *Y * 

2
N (n   , n 
12
n 1


E

:)‫התפלגות אחידה (יוניפורמית‬
(b  a )
 Z )  C ov ( Y , X )  C ov ( X , Z )
 0

 EX  EY
‫) אם‬1
X
)4
. C ov ( X , a )
‫כלומר‬
  (a)
-‫ו‬
 b , cY  d )  acC ov ( X , Y )
0
 0 ,1
FX  P ( c  X  d ) 
:‫ב"ת‬

i 1
n
:‫אז‬
C orr  X ,Y

a


n
U [ 0 ,1] f X  x  1
V ar ( X ) 
n 
. C ov ( aX
. C ov ( X , Y
 
 N 0 ,1

n
1
 N
n
X n 
‫כלומר‬
Y
.)‫ (ההפך לא בהכרח נכון‬.‫ בלתי מתואמים‬ ‫ב"ת‬
.‫ סימטריות‬- C ov ( X , Y )  C ov ( Y , X ) )3

i
 X Y 
E
‫ב"ת אז‬
 0
.‫ ב"ת‬X , Y  Cov ( X , Y )  0 ‫בד"כ ההיפך לא נכון‬
.‫ בלתי מתואמים‬X , Y ‫ אז‬C ov ( X , Y )  0 ‫) אם‬2
‫ב"ת אז‬
)
2
. C ov ( X , Y )
2
f m ax
 V ar  X  Y  V ar  X  V ar  Y  
1
2
2
P  k 
p k  q
x
F
.
‫ ההסתברות לקבל‬:Bim(n,p) ‫התפלגות בינומית‬
‫ ניסויים שלכל אחד‬n ‫ הצלחות בסדרה של‬k ‫בדיוק‬
:‫תוחלת‬
xP  X  x 

x R X
:‫פונקצית הסתברות של מ"מ‬
 1
‫ ניסוי בעל שתי תוצאות‬:Ber(p) ‫ניסוי ברנולי‬
: F -'‫ ו'כישלון‬S -'‫ 'הצלחה‬:‫האפשריות‬
:‫התפלגות שולית‬
PX  x    PXY  x , y 
y

:‫ניסויים ב"ת והתפלגויות בדידות‬
P  X  x ,Y  y   PX Y  x , y 
. Var  X |Y Var  X 
c
SD ( aX  b )  | a |  SD ( X )
)4
Fx ( x )
:‫ב"ת‬

0  p X x
‫ חיתוך המאורעות‬:‫התפלגות משותפת‬
2
  (( X   ( X )) )
Var ( X  Y )  Var ( X )  Var ( Y )
x  1  F ( x )   0
. lim
‫ אז‬E  X    ‫אם‬
‫ שימוש בטבלה עבור מ"מ‬:‫התפלגות נורמלית‬
x 
2
 Var ( X )
V a r (Y X )  E
x
X
)  (  ( X ))
V ar ( X  Y ) V ar ( X ) V ar ( Y )  2 C ov ( X ,Y )
.0
Fx ( x )  1
x 
:‫בדיד‬
P ( X t )
t x

2
Var ( aX  b )  a
x

Fx ( x ) 
2
V ar ( X )   ( X
:‫התפלגות משותפת ושולית‬
2
‫מבוא לסטטיסטיקה (‪ – )440032‬חורף תשע"א‬
‫רווח סמך‪:‬‬
‫ר"ס להפרש תוחלות בשני מדגמים מזווגים‪:‬‬
‫בונים מדגם של הפרשים‬
‫ר"ס לתוחלת במדגם מהתפלגות נורמאלית‪:‬‬
‫כאשר ‪ ‬לא ידוע‪:‬‬
‫כאשר ‪ ‬ידוע‪:‬‬
‫‪X ‬‬
‫‪N  0 ,1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪/ n‬‬
‫‪t  n 1 ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪  X  z1  / 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X ‬‬
‫‪ Di‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪S/ n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  X  t  n 1  ,1  / 2‬‬
‫‪n‬‬
‫גודל המדגם הדרוש כדי שבביטחון של ‪1  ‬‬
‫הסטייה בין ממוצע המדגם ל ‪ ‬לא תעלה על ‪: d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2d  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1/ n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B in  n , p ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ Xi n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪pˆ  1  pˆ ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  / 2‬‬
‫‪F  m  1 , n 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z1  / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 .2 5 , n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪pˆ  p‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  n , / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z1  / 2 pˆ  1  pˆ ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ XiX ‬‬
‫‪  n 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ n  1  S 2 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  n 1  , / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 1 S 2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Yi‬‬
‫‪G am m a  n ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 n  , / 2   2 n  ,1  / 2‬‬
‫‪ Yi‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫ר"ס להפרש תוחלות בשני מדגמים ב"ת‪:‬‬
‫כאשר ‪ ‬ידוע‪:‬‬
‫‪N  0 ,1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ X Y     X  Y ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪nm2‬‬
‫‪ X Y     X  Y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ X  Y   t  df ,1 / 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SY‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪14%‬‬
‫זוגי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 ,1 ‬‬
‫‪ 2n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  Zi ‬‬
‫‪Wn  n‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  n 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  n 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪M X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫תחום בין רבעונים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫התפלגות שונות המדגם‪:‬‬
‫תוחלת ידועה‪:‬‬
‫‪X ‬‬
‫‪i‬‬
‫לא ידועה‪ X i  X  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ XiX ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Xi X‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ Q‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ˆ 2  ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Xi  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Q ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪t k ‬‬
‫‪ X  Y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k k 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0 , V ar T‬‬
‫‪ S2 S2‬‬
‫‪df   X  Y‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪E T‬‬
‫‪X ‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪S/ n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ M SE‬‬
‫‪ ‬אבל עדיין‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪M SE‬‬
‫עקיבות‪ :‬אומד שה‪ MSE-‬שלו שואף ל‪.0-‬‬
‫‪M SE  0‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ˆ  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫אם לכל ‪   0‬האמד‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim P |ˆ   |    1‬‬
‫‪n ‬‬
‫הערה‪ :‬בד"כ כשה‪ MSE-‬לא שואף ל‪ ,0-‬לא עקיב‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ˆ‪ ‬עקיב ל‪  -‬אז לפונקציה רציפה‬
‫‪   ˆ ‬עקיב ל‪( .     -‬ליניארית שומרת אח"ה)‪.‬‬
‫סטטיסטי מספיק‪:‬‬
‫פונקציה שבה כל המידע במדגם ביחס לפרמטר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 X‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x | ‬‬
‫‪X ‬‬
‫‪  x   1  x d x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 M 1‬‬
‫‪ 2  ˆ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬אם ˆ‪ ‬אנ"מ ל ‪ ‬אז ˆ‪ ‬הוא פו' של ס"מ ‪. S‬‬
‫משפט הפירוק‪ :‬סטטיסטי ‪ S‬מספיק ביחס ל ‪‬‬
‫אם ‪ g  S  x1 .. x n | ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V a r ˆ  V a r  X 1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ n ˆ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ n 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ ‬‬
‫בתצפיות ו‪ g -‬שתלויה ב‪ ,  -‬כאשר ‪ S‬היא‬
‫המידע מהתצפיות בתוך ‪. g‬‬
‫משפט‪ :‬אנ"מ תלוי במדגם מקרי דרך ס"מ‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪  e  I { X   } S  X‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆ  M 1  X‬‬
‫‪:) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆ  S    X i  X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫שיטת הנראות המירבית‪:‬‬
‫בחירת הערך ‪ p‬עבורו ההסתברות של תוצאות‬
‫המדגם היא הגדולה ביותר‪.‬‬
‫פונקצית נראות‪ :‬פו' צפיפות משותפת‪-‬‬
‫‪  f  xi ‬‬
‫‪ x1 .. x n ‬‬
‫‪ f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h x1 .. x n‬‬
‫‪ x1 .. x n | ‬‬
‫‪f‬‬
‫כלומר‪ :‬מפרקים את ‪ f‬ל‪ h -‬שתלויה רק‬
‫אמידת התוחלת (הפרמטר הוא‪:)  -‬‬
‫‪E ˆ  ‬‬
‫*‬
‫‪S‬‬
‫ס"מ וגם ‪ f  S ‬ס"מ כאשר ‪ f‬חח"ע‪.‬‬
‫‪1  E‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ P  X 1  x1 .. X n  x n | S  s ‬לא תלויה ב ‪.  s , ‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .2‬ס"מ אינו יחיד‪ ,‬אם ‪ , S  g  S * ‬גם‪:‬‬
‫‪.Mk ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  1  x‬‬
‫אמידת השונות (הפרמטר הוא‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬סימטרית סביב ‪0.‬‬
‫‪ .2‬זנבות עבים משל הנורמאלית‪.‬‬
‫‪t  n  ,0 .1   t  n  ,0 .9‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k  E X‬‬
‫‪ X ik‬‬
‫‪‬‬
‫‪,0  x  1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪Wk / k‬‬
‫אמד מוטה‪ .‬אח"ה‪:‬‬
‫‪n 1‬‬
‫שואף לפרמטר בהסת' ‪:1‬‬
‫השיטה‪ :‬מבטאים את הפרמטר ע"י המומנטים של‬
‫האוכלוסייה ואז מציבים במקומם את המומנטים‬
‫של המדגם‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ V ar ˆ  E ˆ  ‬‬
‫אמידה נקודתית‪:‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫התפלגות ‪:t‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪M SE ˆ ‬‬
‫‪‬‬
‫אם"ם הצפיפות ‪ f  X 1 .. X n | S  s ‬או התפלגות‬
‫‪E   n 1   n  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫נעדיף את האמד‬
‫שבו ה‪MSE-‬‬
‫הקטן ביותר‪.‬‬
‫‪ :LW‬התצפית המינימאלית שגדולה מ‪.LF-‬‬
‫‪ :UW‬התצפית המקסימאלית שקטנה מ‪.UF-‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪ Xi  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪I{X‬‬
‫‪ e‬‬
‫הגדרה‪ S  S  X 1 ,,, X n  :‬סטטיסטי מספיק‬
‫המומנט ה‪ k-‬באוכלוסיה‪:‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V a r   n 1   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפי ה‪:MSE-‬‬
‫מומנטים הם עקיבים‬
‫וח"ה‪ ,‬וגם אמד שהוא‬
‫פו' רציפה שלהם‪.‬‬
‫‪step ‬‬
‫המומנט ה‪ k-‬המדגמי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  e‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪  } e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ E ˆ  ‬‬
‫‪IQ R  Q‬‬
‫סטטיסטי‪ :‬פונקציה של התצפיות במדגם‪.‬‬
‫פרמטר‪ :‬גודל שהוא מאפיין מסכם של האוכלוסייה‪.‬‬
‫אמד‪ :‬סטטיסטי שאיתו אומדים את הפרמטר‪.‬‬
‫אומדן‪ :‬הערך של האמד‪ ,‬המחושב מהמדגם‪.‬‬
‫שיטת המומנטים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪    xi  ‬‬
‫בהתפלגות אחידה‪ :‬האנ"מ עדיף ל ‪ n  3‬אבל הוא‬
‫‪L F  Q1  step U F  Q 3  step‬‬
‫‪Wn‬‬
‫‪ n V ar W n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  e‬‬
‫‪n‬‬
‫השגיאה הריבועית הממוצעת‪-‬תוחלת הסטייה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ Q3  Q1 ‬‬
‫‪E Wn‬‬
‫‪‬‬
‫‪   xi‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪I{X‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪L ‬‬
‫אמד חסר הטייה אם‪. E  ˆ    :‬‬
‫‪W‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫}‪ ‬‬
‫‪ˆ  X 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪:BOX-PLOT‬‬
‫‪W‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪I { xi  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   xi  ‬‬
‫‪3‬‬
‫שונות המדגם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בקירוב לערך הפרמטר אותו רוצים לאמוד‪ˆ .‬‬
‫רבעון שלישי‪:Q3-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L ‬‬
‫כאשר ‪ x‬מוגבל ע"י הפרמטר‪ ,‬מכניסים אינדיקטור‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Q  X‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪3 4   3  n 1   4   3  n 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪34%‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪l     ln  L  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  ln  x i   0  ˆ  ‬‬
‫חציון‪:M-‬‬
‫‪P | X   | d‬‬
‫כאשר השונות לא ידועה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ P  W n  n 1      P W n  n 1    ‬‬
‫כאשר ‪ ‬לא ידוע והשונויות שונות‪:‬‬
‫‪SX‬‬
‫‪X‬‬
‫ההסתברות שאנ"מ לשונות במדגם נורמאלי‬
‫יסטה ממנה בסטייה יחסית שינה עולה על ‪: ‬‬
‫‪ X   Y   X  Y   t  n  m  2 ,1  / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  , 2 / n ‬‬
‫‪ Xi  ‬‬
‫‪  N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ln x i‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪1‬‬
‫אי‪-‬זוגי‪:‬‬
‫‪nm ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n  1  S X2   m  1  S Y2‬‬
‫‪ m 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪/ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪‬‬
‫‪    1  xi    1 ‬‬
‫‪   n ln    1     ln  x i ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪L ‬‬
‫חוסר הטייה‪ :‬ממוצע האומדנים יהיה שווה‬
‫‪1  r  x  k   rx  k 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ ‬לא ידוע והשונויות זהות‪:‬‬
‫‪ S2 S2 ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ Y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Xn ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪  xi ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P X  P‬‬
‫רבעון ראשון‪:Q1-‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ G am m a  , ‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪SP   ‬‬
‫‪n m‬‬
‫‪, X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪F  k ,m ‬‬
‫שגיאת דגימה‪ :‬שגיאה כתוצאה מכך שנאספו‬
‫נתונים על מדגם שהינו חלק מכלל האוכלוסייה‪.‬‬
‫גודלה תלוי בשיטת הדגימה ובגודל המדגם‪.‬‬
‫ממוצע קטום‪ :‬ממוצע ללא הנמוך והגבוה‪.‬‬
‫‪n  1 p    n  1  p ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n Z‬‬
‫‪1  / 2 d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪SP   ‬‬
‫‪n m‬‬
‫‪ k ,m ‬‬
‫‪‬‬
‫הערך ש‪ p% -‬מהאוכלוסייה מתחתיו‪.‬‬
‫חישוב השברון המדגמי‪:‬‬
‫‪X ,‬‬
‫‪ d‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪ / n‬‬
‫‪ n 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪nm 2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ X   Y   X  Y   z1  / 2  ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ pˆ X‬‬
‫‪F‬‬
‫בראש הטבלה‪:‬‬
‫הסתברות‪ .p-‬בפנים‪:‬‬
‫‪P  X  a  p a‬‬
‫‪F0.05‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y   ln  X  , Y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ m ,k ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ‪.  ‬‬
‫‪    ‬יהיה‪:‬‬
‫סטטיסטיקה תיאורית ושיטות גרפיות‪:‬‬
‫קשר ל‪ Gamma-‬ולנורמאלי‪:‬‬
‫‪ ln X i‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪Q  2   Yi G am m a  n ,     2 n  , f X   x‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ Yi‬‬
‫‪pˆ X  1  pˆ X‬‬
‫‪ pˆ Y   z1 / 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .4‬אדטיביות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  n 1  ,1  / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪pˆ X 1  pˆ X‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ pˆ X‬‬
‫‪Q‬‬
‫התפלגות חי‪-‬בריבוע‪:‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬צפיפות לא סימטרית עם זנב ימני‪.‬‬
‫‪ .2‬התפלגות חיובית‪.‬‬
‫‪ .3‬עבור ‪ ,n>50‬קרוב לנורמאלי‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪pˆ Y 1  pˆ Y‬‬
‫‪2%‬‬
‫‪ n 1 S‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m ,k ‬‬
‫חוק התקנון‪   ,  2  ,2   3  :‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬אינו רווח סמך אופטימאלי עבור רמת סמך נתונה‪.‬‬
‫‪ .2‬רווח סמך עבור סטיית תקן‪ :‬שורש על שני הקצוות‪.‬‬
‫ר"ס ל‪  -‬במדגם מהתפלגות ‪)Gamma( F  x   x ‬‬
‫‪exp    ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ ‬לא ידוע‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ pˆ Y    p X  p Y‬‬
‫‪V ar  F  ‬‬
‫‪k m 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F0.95‬‬
‫גודל המדגם כדי ש‪- P  | X   |  d   1   :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הסתברות שהסטייה המוחלטת לכל היותר ‪: d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  n ,1 / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ /2‬‬
‫‪F m  1 , n  1  ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.2‬‬
‫התפלגות הממוצע‪:‬‬
‫‪ 0 ,1 ‬‬
‫‪  X i    n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  X i    ,   X i    ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SX‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SY‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪.3 t  k ‬‬
‫‪F 1, k‬‬
‫‪X 0.95  Z 0.95    Z 0.15   Z 0.85‬‬
‫‪Xi‬‬
‫ר"ס לשונות במדגם מהתפלגות נורמאלית‪:‬‬
‫כאשר ‪ ‬ידוע‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SY‬‬
‫‪pˆ Y 1  pˆ Y‬‬
‫‪  , 2 ‬‬
‫‪pˆ 1  pˆ ‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪k m 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F  k ,m ‬‬
‫‪ .3‬אם ˆ‪ ‬אנ"מ ל‪  -‬אז לכל פו ‪ ,    ‬אנ"מ ל‪-‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬התפלגות לא סימטרית עם ד"ח במונה ובמכנה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SY ‬‬
‫‪Wm / m‬‬
‫‪m 4‬‬
‫התפלגות נורמאלית‪:‬‬
‫גודל המדגם כדי שבביטחון של ‪ 1  ‬הסטייה בין‬
‫הפרופורציה במדגם ל ‪ p‬לא תעלה על ‪: d‬‬
‫‪, p 1 p‬‬
‫‪E F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SD‬‬
‫התפלגויות דגימה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SX‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SY ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Wk / k‬‬
‫שברון ‪ p‬באוכלוסייה‪,  p :‬‬
‫‪B er  p  , pˆ  X ‬‬
‫‪N  0 ,1  p  pˆ  z1  / 2‬‬
‫‪SX Y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SX 1‬‬
‫‪F n 1 , m 1 ‬‬
‫‪2z‬‬
‫ר"ס לפרופורציה במדגם מהתפלגות נורמאלית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  Di  D ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m2‬‬
‫ר"ס להפרש פרופורציות בשני מדגמים ב"ת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q X‬‬
‫‪,  ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ר"ס ל‪  -‬במדגם מהתפלגות אחידה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪px  p y ‬‬
‫‪1 / 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ D  D  t  n 1,1 / 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫ר"ס ליחס שונויות בשני מדגמים ב"ת‪:‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬זהו רווח סמך הקצר ביותר ברמת סמך נתונה‪.‬‬
‫‪ .2‬אורכו קבוע מראש רק כאשר השונות ידועה‪.‬‬
‫‪ .3‬אורך הרווח עולה עם הגדלת רמת הסמך והשונות‪.‬‬
‫‪ .4‬אורך הרווח קטן עם עליה בגודל המדגם‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  / 2‬‬
‫‪‬‬
‫התפלגות ‪:F‬‬
‫‪ X   Y   D D i N  D , D D ‬‬
‫‪2‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬אנ"מ אינו בהכרח יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬לפעמים קל יותר למקסם את ‪l     ln L   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪g X 1  | ‬‬
‫משפט ‪ ˆ :Rao-Blackwell‬אמד ו‪ S -‬ס"מ‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  *  E  ˆ | S  .1‬הוא אמד‪. E  *  E  ˆ  .2 .‬‬
‫‪( M S E *     M S E ˆ    .3‬שוויון ‪ ˆ -‬כבר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מבוסס על הס"מ)‪.‬‬
‫דוגמא‪, B er  p  , exp    :‬אומד‪ . X 1 :‬שיפורו‪:‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P X 1 1|  x i  s‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪L  | x1 .. x n‬‬
‫מוצאים אמד שימקסם את ‪ L   ‬ע"י גזירה‬
‫והשוואה ל‪.0-‬‬
‫‪‬‬
‫‪h x ‬‬
‫‪: Pois   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪B in s , 1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ X 1 |  xi ‬‬
‫‪ X 1 |S ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1 n‬‬
‫‪s‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫©ענת עציון‬