‫‪1‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪ . 5‬חלקיק חופשי‬ ‫הקדמה‬ ‫בפרקים הקודמים למדנו כי הפיזיקה הקלאסית אינה נותנת הסבר לתופעות ניסיוניות רבות‪ .‬קשרים "מוזרים"‬ ‫שפיתחו פלאנק‪ ,‬אינשטיין‪ ,‬קומפטון ודה‪-‬ברוגלי כולם מראים שהגלים הם חלקיקים עם תכונות‬ ‫גליות‬ ‫והחלקיקים הם גליים‪ .‬כלומר יש לכל הישויות בטבע אופי דואלי‪ .‬אנו נבנה כעת את המכאניקה החדשה שבה‬ ‫יהיה מקום למהויות שיש להן גם התגלמות חלקיקית וגם גלית‪ .‬המטרה היא לבנות אינטרפרטציה למושג‬ ‫הדואליות המהווה גם מסגרת להבנת יציבות האטומים‪ ,‬מדוע וכיצד נוצר הקשר הכימי וכד'‪ .‬המסגרת חייבת‬ ‫להיות כמותית‪ ,‬כלומר התיאוריה שנבנה תוכל להסביר את התופעות הנמדדות באופן כמותי ברמת דיוק גבוהה‪.‬‬ ‫פונקצית ‪ -‬הגל של חלקיק‬ ‫המושג הבסיסי במכאניקה החדשה‪ ,‬המכונה מכאניקת הקוואנטים‪ ,‬המקשר בין חלקיקים וגלים הוא פונקצית‬ ‫הגל של החלקיק‪ .‬מצבו הפיזיקאלי של חלקיק מתואר על‪-‬ידי פונקצית הגל שלו‪ .‬כל האינפורמציה שניתן למדוד‬ ‫או לקבוע באשר לחלקיק מגולמת בפונקצית הגל‪.‬‬ ‫‪ERWIN WITH HIS PSI CAN DO‬‬ ‫‪Calculations quite a few.‬‬ ‫‪But one thing has not been seen‬‬ ‫‪Just what does psi really mean.‬‬ ‫‪Felix Bloch's translation of a poem by Walter Hückel.‬‬ ‫פונקצית הגל של חלקיק מתאימה לכל נקודה‬ ‫של החלקיק להימצא ב‪-‬‬ ‫במרחב מספר (מרוכב)‬ ‫המכונה אמפליטודת‪-‬הסיכויים‬ ‫‪ .‬בהצגת מושג זה‪ ,‬אנו מוותרים על דטרמיניסטיות ומקבלים בתמורה אפשרות‬ ‫להתאבכות‪ .‬לכן‪ ,‬לשאלה "היכן יתגלה החלקיק?" אין תשובה וודאית לפני שמבצעים בפועל מדידה שמטרתה‬ ‫לענות על כך! כאשר חלקיק כמו אלקטרון "נזרק" לעבר מסך פוספורסנטי‪ ,‬אין אפשרות לקבוע מראש באיזו‬ ‫נקודה נבחין בנצנוץ על המסך‪ .‬במקום וודאות‪ ,‬המכניקה החדשה מגישה לנו כלי לקבוע את הסיכוי להתגלות‬ ‫החלקיק בכל נקודה נתונה‪ .‬הסיכוי הזה נגזר מפונקציית‪-‬גל‬ ‫|‬ ‫שהחלקיק יתגלה בנקודה ‪ .‬ולמעשה‪,‬‬ ‫‪ .‬ממנה מפיקים את צפיפות‪-‬הסיכויים‬ ‫| היא צפיפות‪-‬הסיכויים הזו‪ .‬פונקציית הגל מכילה‬ ‫בתוכה את כל המידע בנוגע למצב החלקיק‪ .‬עלינו לוותר על וודאות לא רק לגבי המקום אלא גם‪ ,‬למשל‪ ,‬לגבי‬ ‫במהירות‪ .‬לכן‪ ,‬פונקציית הגל מכילה גם את המידע המאפשר לקבל את צפיפות‪-‬הסיכויים לגילוי החלקיק כאשר‬ ‫הוא נע במהירות‬ ‫כלשהי‪.‬‬ ‫פונקצית הגל היא הישות שמשלבת את שתי המהויות‪ ,‬הגלית והחלקיקית‪ .‬אם רוצים לדעת את הסיכוי שחלקיק‬ ‫יתגלה בנפח ‪ V‬כלשהו‪ ,‬הרי שיש לסכום את צפיפות‪-‬הסיכויים בנפח זה‪:‬‬ ‫)‪(5.1‬‬ ‫|∫‬ ‫|‬ ‫‪1‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫כמובן‪ ,‬אם‬ ‫‪2‬‬ ‫הוא נפח המרחב כולו הרי הסיכוי שהחלקיק יתגלה במקום כלשהו ביקום הוא ‪( 1‬בהנחה שאנו‬ ‫יודעים שהחלקיק קיים)‪:‬‬ ‫⟩ | ⟨‬ ‫)‪(5.2‬‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫∫‬ ‫בשוויון האחרון כאן השתמשנו בסימון מקוצר לאינגרל של מכפלת פונקציה‬ ‫שניה‬ ‫בצמוד המרוכב של פונקציה‬ ‫‪:‬‬ ‫⟩ | ⟨‬ ‫)‪(5.3‬‬ ‫∫‬ ‫דוגמה‪ :‬חלקיק חד‪-‬ממדי מצוי במצב המתואר על‪-‬ידי פונקצית גל הפרופורציונית ל‪-‬‬ ‫שהחלקיק ימצא במרחק‬ ‫| |‬ ‫‪ .‬חשב מה הסיכוי‬ ‫או יותר מהראשית‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬ראשית‪" ,‬ננרמל" את פונקציית הגל‪ .‬נרשום‬ ‫ונקבע את‬ ‫| |‬ ‫∫‬ ‫פונקצית הגל המנורמלת היא‪:‬‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫|‬ ‫מתנאי הנורמליזציה‪:‬‬ ‫⟩ | ⟨‬ ‫| ∫‬ ‫‪ .‬הסיכוי שהחלקיק ימצא במרחק מהראשית הקטן מ‪: -‬‬ ‫| |‬ ‫|‬ ‫∫‬ ‫| ∫‬ ‫| |‬ ‫לכן הסיכוי שיהא במרחק גדול מ‪:y -‬‬ ‫| |‬ ‫| |‬ ‫ערך ה תצפית של מקום החלקיק ( ‪) EXPECTATION VALUE‬‬ ‫תמורת הויתור על וודאות בקביעת מקום החלקיק‪ ,‬נותנת לנו מכניקת הקוונטים כלי שבעזרתו נוכל לקבוע את‬ ‫הסיכויים להמצאו בנפח כלשהו‪ .‬אולם לעיתים רוצים לדעת אם לא איפה החלקיק אז איפה הוא קיים "בממוצע"‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מהי התוחלת או הממוצע של מקום החלקיק במדידות חוזרות ונשנות המקום‪ .‬גודל זה מכונה "ערך‬ ‫התצפית של מקום החלקיק" והוא מוגדר על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫)‪(5.4‬‬ ‫⟩ | | ⟨‬ ‫∫‬ ‫|‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫| ∫‬ ‫במקרים רבים זהו גודל מאד שימושי‪ ,‬שכן למרות שאיננו מצפים לוודאות במיקום‪ ,‬הרי שערך התצפית נותן לנו‬ ‫מושג לגבי איפה כדאי לצפות שהוא יתגלה‪ .‬כמו כל גודל סטטיסטי‪ ,‬עם הממוצע יש גם אי‪-‬וודאות‪ .‬מקובל לאמוד‬ ‫אי וודאות זו באמצעות הסטייה הממוצעת‪ ,‬שריבועה נתון על ידי ה"שונות"‪⟨ ⟩ ⟩ :‬‬ ‫ריבוע אי הודאות הקשר הבא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⟨‬ ‫‪ .‬קיים גם לגבי‬ ‫‪3‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫)‪(5.5‬‬ ‫⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟩ ⟩ ⟨‬ ‫⟨‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫ובצורה מפורשת‪:‬‬ ‫⟩ | | ⟨‬ ‫)‪(5.6‬‬ ‫| ⟨‬ ‫⟩ |‬ ‫|‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫דוגמה‪ :‬לחלקיק פונקצית גל‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫| ∫‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫‪ .‬שימו לב שהפונקציה תלויה בשני פרמטרים‪ ,‬מספר‬ ‫גל ונקודה על ציר – ‪ .‬מהו ערך התצפית של מקום החלקיק? מהי אי הוודאות?‬ ‫פתרון‪ :‬ראשית‪ ,‬ננרמל‪:‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫√√‬ ‫לכן‬ ‫∫‬ ‫‪ .‬ערך התצפית של המקום הוא‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫]‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫∫ [‬ ‫שימו לב שהאינטרל הראשון מתאפס בשל סימטריה ואינטגרל השני‪ ,‬כפול‬ ‫הוא ‪ 1‬בגלל ש‪-‬‬ ‫הוא מקדם‬ ‫נרמול‪ .‬על‪-‬מנת לחשב את אי‪-‬הוודאות‪ ,‬נחשב גם (ניתן להיעזר בטבלת אינטגרלים בסוף הפרק)‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫]‬ ‫מכאן‪ ,‬אי הודאות היא‪:‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫⟩‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫[‬ ‫⟨√‬ ‫הערך המסתבר של מקום החלקיק ( ‪) MOST PROBABLE LOCATIONS‬‬ ‫פרט לערך התצפית‪ ,‬ניתן גם להגדיר את הערך המסתבר למקום החלקיק‪ :‬הנקודה (או הנקודות) בהם יש ל‪-‬‬ ‫|‬ ‫| מכסימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫{‬ ‫דוגמה‪ :‬לחלקיק פונקצית גל‪:‬‬ ‫‪ .‬מהו ערך התצפית והערך‬ ‫המסתבר של מקום החלקיק?‬ ‫∫‬ ‫פתרון‪ :‬מקדם נרמול‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫ערך התצפית של המקום הוא‬ ‫(אין צורך במקדם נרמול כי מיקום המכסימום לא מושפע ממנו)‪.‬‬ ‫הערך המסתבר הוא במכסימום של‬ ‫נגזור ונשווה לאפס‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪|f(x)|2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫>‪xmp <X‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫איור ‪ :1‬דוגמה לגל ממוקם‪ Xmp .‬הינו המקום המסתבר ביותר (זהו המכסימום של‬ ‫‪2‬‬ ‫|)‪ .)|f (x‬ערך התצפית של המקום הינו >‪<x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(נקבע לפי התנאי שהשטח מתחת ל‪ |f (x)| -‬שווה בשני צדדיו של >‪.)<X‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪| f (x) |2‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫איור ‪ :2‬פונקצית גל המתארת שני מיקומים של חלקיק מירום אחד סביב ‪ x = 5‬ומקום שני סביב ‪.x=15‬‬ ‫חבילת גלים גאוסיאנית‬ ‫הדוגמה הנפוצה ביותר לחבילת גלים הינה חבילת הגלים ה גאוסיאנית‬ ‫לעיל‬ ‫√‬ ‫‪ .‬זו פונקציה סימטרית‪ ,‬לכן ערך התצפית של המקום הינו‬ ‫המקום הוא בראשית (שם המכסימום)‪ .‬והאי ודאות היא‬ ‫חבילת הגלים הגאוסיאנית הינו כ‪-‬‬ ‫√‬ ‫(זהו בערך הרוחב של‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .‬מקדם הנרמול חושב‬ ‫⟩ ⟨‪ .‬גם הערך המסתבר של‬ ‫‪ .‬בלשון מעט מדוייקת פחות אומרים פשוט שרוחב‬ ‫בחצי הגובה)‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪~s‬‬ ‫‪f(x)/N‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪x/s‬‬ ‫גלים ממוקמים וגלים מונוכרומטים ‪ :‬יש קשר ביניהם ?‬ ‫בפרק ‪ 2‬ראינו כי כל גל על מיתר ניתן לרשום כקומבינציה לינארית (סופרפוזיציה) של אבני בניין – אותם גלים‬ ‫פשוטים המכונים "אופני תנודה נורמלים"‪ .‬הדבר נכון גם לפונקציות גל‪ .‬אלא שאבני הבניין כאן הם גלים‬ ‫מונוכרומטים‪ .‬לכן‪ ,‬גם גל ממוקם הנו למעשה קומבינציה ליניארית של גלים מונוכרומטים‪ .‬למשל‪ ,‬עבור‬ ‫‪ ,‬נוכל להרכיב סופרפוזיציה של גלים מונוכרומטים השווה לה כך‪:‬‬ ‫פונקצית‪-‬גל‬ ‫∫‬ ‫)‪(5.7‬‬ ‫כאשר‬ ‫הם מקדמי הסופרפוזיציה‪ .‬כל פונקציה היא סופרפוזיציה של גלים מונוכרומטים!‬ ‫דוגמה ‪ :1‬הראה כי פונקציית הגל הממוקמת‬ ‫שהמקדמים הם‪:‬‬ ‫היא סופרפוזיציה של גלים מונוכרומטים‪ .‬הראה‬ ‫‪) .‬מומלץ לצפות בהדגמות ‪ wavepacketBuilder.html‬להדגמה)‪.‬‬ ‫√‬ ‫פתרון‪ :‬יש לעכוב אחר הפיתוח הבא‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫נשלים את לריבוע‪:‬‬ ‫) )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫))‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫∫‬ ‫כאשר בשוויון האחרון השתמשנו בזהות‪:‬‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫∫‪ ,‬הנכונה אפילו אם‬ ‫‪5‬‬ ‫∫‬ ‫‪A‬‬ ‫מרוכב‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫רואים שכאשר מפרקים חבילת גלים גאוסיאנית לרכיבים מונוכרומטים‪ ,‬משקל הרכיב ה‪-‬‬ ‫שהוא פונקציה של ‪ ,‬הוא גם כן בעל צורה גאוסיאנית –‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ ,‬כלומר‬ ‫‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪0.45‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.35‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪~1/s‬‬ ‫‪g(k)/s‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ks‬‬ ‫עיקר המשקל מגיע מאיזור המכסימום של הגאוסיאן הזה כלומר מ‪-‬‬ ‫ב‪-‬‬ ‫כעת נבחן מה קורה כאשר מכפילים את‬ ‫‪:‬‬ ‫דוגמה ‪ :2‬הראה כי הפונקציה‬ ‫מקדמים‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬נוכל לפרק לרכיבים כמו קודם‪:‬‬ ‫היא סופרפוזיציה של גלים מונוכרומטים עם‬ ‫‪) .‬מומלץ לצפות בהדגמות ‪ wavepacketBuilder.html‬להבהרת‬ ‫√‬ ‫המושגים)‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬יש לעכוב אחר המניפולציות הבאות‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫ראינו ש ‪-‬‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫כאשר השתמשנו בתוצאה הקודמת‪ ,‬היינו‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪ .‬כלומר‪ ,‬הכפלה של פונקציית הגל הגאוסיאנית ב‪-‬‬ ‫המקדמים של הגלים המונוכרומטיים ב‪: -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫∫‬ ‫גרמה ל"הזזה" של‬ ‫‪7‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫‪0.45‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.35‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪~1/s‬‬ ‫‪G(k)/s‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ks‬‬ ‫הכפלה של‬ ‫ב‪-‬‬ ‫ימינה ב‪! -‬‬ ‫גורמת להזזת הפונקציה‬ ‫תנועה של חלקיק חופשי‬ ‫תנועת חבילות גל בתווך אחיד‬ ‫כעת‪ ,‬נדון בתנועה של חבילת גלים כלשהי‪ .‬כלומר‪ ,‬נחזיר את מימד הזמן לתמונה (עד כה הקפאנו את הזמן ודנו‬ ‫רק בקואורדינאטה המרחבית )‪ .‬אנו נניח תווך אחיד‪ ,‬כמו מיתר אינסופי בו מתקדם גל של מתיחות או חומר‬ ‫הינו בעל תלות זמן פשוטה‪:‬‬ ‫שקוף אחיד בו מתקדם גל אור‪ .‬במצב זה כל גל מונוכרומטי‬ ‫(‪)8.5‬‬ ‫יש לשים לב שכמו בגלים על מיתר‪ ,‬מספר הגל קובע את התדירות‪ ,‬והדבר מסומן כך‪:‬‬ ‫תלויה ב‪ . -‬בכדי לקבוע את ההתקדמות בזמן של חבילת גלים כלשהי‬ ‫∫‬ ‫‪ ,‬כלומר התדירות‬ ‫נפרק אותה לגלים מונוכרומטים‪:‬‬ ‫וניתן לכל רכיב מונוכרומטי להתפתח בזמן בהתאם למשוואה (‪)8.5‬‬ ‫∫‬ ‫(‪)8.5‬‬ ‫∫‬ ‫לדוגמה‪ ,‬נתבונן בתלות הפשוטה ביותר‪ ,‬היא התלות הלינארית‪:‬‬ ‫(‪)8..5‬‬ ‫באשר‬ ‫היא מהירות הפאזה‪ ,‬התלויה בתווך בו מתקדם הגל‪ .‬יחס מסוג זה מכונה יחס דיספרסיה לינארי‪ .‬הוא‬ ‫מתקיים בכל מקרה בו הגל אינו משנה את תכונות התווך בו הוא נע‪ .‬דוגמה לגל כזה הוא גל האור בריק‪ ,‬בו‬ ‫ו‪-‬‬ ‫מהירות‬ ‫היא מהירות האור‪ .‬ביחס דיספרסיה זה כל הגלים‪ ,‬ללא תלות במספר הגל‪ ,‬נעים באותה‬ ‫‪ .‬לכן גם חבילת גלים‬ ‫‪ ,‬המורכבת מהרבה גלים מונוכרומטים עם מספרי גל שונים‪ ,‬תנוע‬ ‫במהירות ‪ .‬הבה נבחן טענה זו בפירוט‪ .‬תלות הזמן שלה‬ ‫יחס הדיספרסיה הליניארי‪ ,‬כך ש‪-‬‬ ‫מתקבלת ממשוואה (‪ )8.5‬ובה יש להציב את‬ ‫‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫)‪(5.11‬‬ ‫רואים‪ ,‬שחבילת הגלים אמנם נוסעת במהירות‬ ‫‪.‬‬ ‫אבל היא גם מוכפלת בגורם פאזה תלוי בזמן‬ ‫ניתן במקרים מסויימים להשתמש בקרוב הלינארי כדי לבחון מה קורה ביחס דיספרסיה לא‪-‬לינארי‪ .‬בחבילות‬ ‫גלים רחבות מאד ניתן לקבוע את הדינאמיקה לזמן קצר על‪-‬ידי "לינאריזציה" של יחס הדספרסיה‪ .‬אם החבילה‬ ‫רחבה מאד הרי ש‪-‬‬ ‫שנסמנו ב‪-‬‬ ‫היא צרה מאד‪ .‬נניח אם כן ש‪-‬‬ ‫בטור טיילור סביב‬ ‫‪ .‬נפתח את‬ ‫היא מאד מחודדת סביב מספר גל כלשהו‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(5.12‬‬ ‫מכיוון ש‪-‬‬ ‫ל‬ ‫צרה סביב‬ ‫‪ ,‬הרי שהתרומה המכרעת לאינגטרל במשוואה (‪ )8.5‬מגיעה מרכיבים עם‬ ‫כלומר שעבורם‬ ‫במקרה הלא‪-‬לינארי‪ ,‬אם‬ ‫הדספרסיה ב‬ ‫קטן‪ .‬לכן‪ ,‬ניתן להזניח את החזקות הגבוהות של‬ ‫קרוב‬ ‫‪ .‬מכאן רואים שגם‬ ‫מחודדת‪ ,‬אפשר לעשות קירוב לינארי‪ ,‬ומהירות החבורה נקבעת מיחס‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(5.13‬‬ ‫גודל המכונה "מהירות החבורה" של יחס‬ ‫כך‪ ,‬מקבלים‪ ,‬שחבילת הגלים נעה במהירות‬ ‫הדיספרסיה‪ .‬וחבילת הגלים מתפתחת בזמן בקירוב כך‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‪(5.14‬‬ ‫(‬ ‫מכאניקה קלאסית ‪ :‬חלקיק נקודתי‬ ‫ראינו שחבילת גלים מאד רחבה מבחינה מרחבית וצרה במספר הגל‪ ,‬כך שרק מספרי גל קרובים ל‪-‬‬ ‫מתנהגת בדומה לחלקיק הנע במהירות קבועה‬ ‫כלשהו‬ ‫‪ .‬מכיוון שאנו יודעים כיצד מתנהג חלקיק לפי חוקי‬ ‫המכניקה הקלאסית ננסה להשתמש בנוסחת איינשטיין ודה ברוי לקבוע איך תתנהג חבילת הגלים אם עליה‬ ‫להדמות ככל הניתן לחלקיק קלאסי‪.‬‬ ‫לפי חוק ניוטון‪ ,‬חלקיק חופשי‪ ,‬היינו חלקיק שסך הכוח הפועל עליו שווה אפס‪ ,‬נע בקו ישר ובמהירות קבועה ‪.‬‬ ‫התנע הוא‪:‬‬ ‫‪ ,‬באשר‬ ‫מסת החלקיק‪ ,‬והאנרגיה הקינטית היא ‪:‬‬ ‫האנרגיה הקינטית קבועים עבור חלקיק חופשי‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ .‬גם התנע וגם‬ ‫‪9‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫המשימה שלנו היא לבנות חבילת גלים המתארת תנועה של חלקיק החופשי שבמובן כלשהו מכבדת שלושה‬ ‫חוקים‪ :‬את חוקי המכניקה הקלאסית‬ ‫ויחס איינשטיין‬ ‫‪ ,‬את יחס דה‪-‬ברוגלי‬ ‫‪ .‬שילוב‬ ‫החוקים האלה נותן‪:‬‬ ‫ניוטון‬ ‫⏞‬ ‫)‪(5.15‬‬ ‫⏟‬ ‫⏟‬ ‫איינשטיין‬ ‫דה ברוי‬ ‫רואים‪ ,‬שקיבלנו יחס דיספרסיה‪ .‬כלומר‪ ,‬קיבלנו את "אופי הגל" המשלב את כל האלמנטים הללו‪ .‬במילים‬ ‫אחרות‪ ,‬על‪-‬מנת שחבילת גלים רחבה תתאר‪ ,‬בקרוב‪ ,‬תנועה של חלקיק חופשי‪ ,‬יש לדרוש שקשר הדיספרסיה‬ ‫יהיה‪:‬‬ ‫)‪(5.16‬‬ ‫הבה נבחן מה קורה לחלקיק בעל חבילת גלים רחבה במקרה זה‪ .‬נסתכל על חלקיק במצב שהוא חבילת הגלים‬ ‫שבה‬ ‫החבורה‬ ‫צרה וממוקמת סביב‬ ‫גדול כך שהחבילה‬ ‫‪ .‬וזה באמת תואם את יחס דה‪-‬ברוי‬ ‫‪ .‬חבית הגלים תנוע במהירות‬ ‫‪.‬‬ ‫מצבים עצמיים של חלקיק חופשי‬ ‫במקום להשתמש ב‪-‬‬ ‫‪ ,‬מקובל להשתמש באנרגיה‬ ‫חלקיק חופשי‬ ‫∑‬ ‫‪ .‬לפי משוואה (‪ )8.5‬כל חבילת גלים של‬ ‫מתפתחת בזמן כך‪:‬‬ ‫∫‬ ‫)‪(5.17‬‬ ‫החבילה‬ ‫היא סופרפוזיציה של רכיבים מהסוג‪:‬‬ ‫בהכפלה בגורם פאזה טהור ‪-‬‬ ‫באשר‬ ‫והשינוי בזמן של הרכיב ה ‪ -‬כרוך‬ ‫‪.‬‬ ‫פונקציות‪-‬גל שהשינוי שלהם בזמן כרוך רק בהכפלה בגורם פאזה טהור‪ ,‬להן קראנו עד כה "אבני בניין"‪,‬‬ ‫נקראות גם פונקציות עצמיות של ההתקדמות בזמן‪ .‬שם אלטרנטיבי‪ :‬מצבים עצמיים של ההתקדמות בזמן‪.‬‬ ‫בהמשך הקורס ננתח מערכות רבות ובכל אחת נזהה את המצבים העצמיים של ההתקמות בזמן‪.‬‬ ‫עיקרון אי ‪ -‬הודאות של הייזנברג‬ ‫מושג חבילת הגל מאפשר שילוב של האופי החלקיקי והגלי של החומר‪ .‬נתבונן בחבילת גלים‬ ‫‪ .‬מכיוון שזו אינה מגדירה מקום מדויק לחלקיק‪ ,‬אנו אומרים שיש בה אי‪-‬וודאות למקום החלקיק‪.‬‬ ‫√√‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫כבר הגדרנו למעלה את מושג האי‪-‬וודאות‪ ,‬כממוצע הסטייה (משוואה ‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟨√‬ ‫‪ .)‎‬עבור צפיפות גאוסית‪:‬‬ ‫‪ .‬במקרה של הגאוסיאן‪:‬‬ ‫∫‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫√‬ ‫)‪(5.18‬‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫⟩‬ ‫⟨‬ ‫מכאן ‪:‬‬ ‫)‪(5.19‬‬ ‫√‬ ‫כפי שראינו‪ ,‬כאשר מסתכלים על ההרכב המונוכרומטי של חבילת הגלים‪ ,‬רואים שיש‬ ‫פרמטר רוחב‬ ‫גם הוא גאוסיאן עם‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(5.20‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫גם כאן יש אי‪-‬וודאות במספר הגל‪:‬‬ ‫)‪(5.21‬‬ ‫√‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫⟩‬ ‫⟨√‬ ‫לפי יחס דה‪-‬ברוי אי‪-‬וודאות במספר הגל היא אי‪-‬וודאות בתנע‪:‬‬ ‫)‪(5.22‬‬ ‫⟩ ⟨‬ ‫√‬ ‫⟩‬ ‫⟨√‬ ‫נשים לב לקשר מעניין‪ ,‬שמכפלת אי הודאויות היא‪:‬‬ ‫)‪(5.23‬‬ ‫כלומר‪ ,‬בחבילות גל גאוסיות מכפלת אי‪-‬הודאות איננה תלויה בדבר פרט לקבוע פלאנק‪ .‬המשמעות של השוויון‬ ‫הזה היא‪ ,‬שלא ניתן למדוד גם את המקום של חלקיק וגם את המהירות שלו בצורה מדוייקת‪ .‬אם נצליח לקבוע‬ ‫בודאות גבוהה את מקום החלקיק נצטרך לוותר על הוודאות בתנע‪ .‬וההפך‪ ,‬אם נקבע בוודאות גבוהה את התנע‬ ‫נאבד בהכרח את הוודאות לגבי מיקום החלקיק‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫האם הדבר נכון גם לגבי פונקציות אחרות‪ ,‬לאו דווקא גאוסיאניות? כהכללה של קשר זה‪ ,‬הראה המדען הגרמני‬ ‫הייזנברג שבכל פונקציית גל‪ ,‬בין שהיא גאוסיאנית או לא‪ ,‬קיים אי‪-‬השוויון הבא בין אי‪-‬הוודאויות במקום ובתנע‪:‬‬ ‫)‪(5.24‬‬ ‫יחס זה מראה שיש מגבלה פונדמנטאלית לגבי היכולת שלנו לקבוע את המצב הקלאסי של חלקיק‪ .‬אנו יכולים‬ ‫להקטין את אי הודאות במקום החלקיק ככל שנרצה‪ ,‬אבל אז‪ ,‬בהכרח‪" ,‬נשלם" באי ודאות ביחס לתנע של‬ ‫החלקיק‪ .‬מעניין שבקשר זה מופיע קבוע פלאנק‪ .‬זה מראה את תפקידו של קבוע פלאנק כמגביל את יכולתינו‬ ‫לקבוע בודאות תנע ומקום‪ .‬עיקרון אי הודאות מראה את ההבדל התפיסתי שאינו ניתן לגישור בין מכניקה‬ ‫קוונטית למכניקה קלאסית‪ :‬אי הוודאות איננה ניתנת להסרה‪.‬‬ ‫סיכום‪ ,‬למדנו על‪:‬‬ ‫|‬ ‫‪‬‬ ‫|‬ ‫| היא צפיפות‪-‬סיכויים‪ .‬יש "לנרמל" כך ש‪-‬‬ ‫|∫ ‪.‬‬ ‫ערך תצפית של המקום‪ ,‬והמקום המסתבר – מדדים למיקום האלקטרון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫גלים מונוכרומטיים המתארים חלקיק חופשי‬ ‫‪‬‬ ‫"חבילת גלים" עבור חלקיק חופשי היא קומבינאציה לינארית של גלים מונוכרומטים‪ .‬אם לחבילה זו‬ ‫יש תנע סביב‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,‬כאשר‬ ‫‪.‬‬ ‫מהירות ההתקדמות של החבילה היא‬ ‫ראינו כיצד נעה חבילת גלים עם תנע כלשהו – במהירות השווה לתנע חלקי המסה‬ ‫אינטגרלים שימוישיים‪:‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫‪11‬‬ ‫∫‬ ‫‪12‬‬ ‫מבוא לקשר כימי‪ /‬פרופ' רועי בר‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪12‬‬