‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬ ‫תרגול מס' ‪ – 14‬כיוונון בקרי ‪ ,PID‬בקר עם שתי דרגות חופש – פתרון‬ ‫בקרי ‪ PID‬הינם בקרים מהצורה‬ ‫‪kd s ‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪CPID ( s ) = k p  1 + i +‬‬ ‫‪s 1 + kd s N ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר מטרת הפרמטר ‪ N‬היא לאפשר מימוש לרכיב הגזירה ומקובל לבחור אותו בין ‪ 3‬ל ‪ .20‬באנליזה‪ ,‬לשם נוחות‪,‬‬ ‫לוקחים ∞ → ‪ . N‬קיימת שיטה על שם זיגלר וניקולס לכוונון הפרמטרים של הבקר‪ ki , k p ,‬ו ‪. kd‬‬ ‫שיטת הרגישות הגבולית‪:‬‬ ‫משתמשים בשיטה עבור תהליכים ללא קטבים ב ‪ ,ORHP‬רצוי על מרוסנים‪ ,‬כאשר ניתן להביא את המערכת לסף‬ ‫יציבות עם שני קטבים מדומים )אך רצוי ללא יציבות מותנית(‪ .‬שלבים עבור תהליך נתון‪:‬‬ ‫‪ .1‬סוגרים את החוג עם בקר פרופורציונאלי ומחשבים את ההגבר הקריטי ‪ Ku‬ואת מחזור התנודות הקריטיות ‪. Tu‬‬ ‫‪ .2‬מחשבים את פרמטרי הבקר מתוך הטבלה הבאה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתון התהליך‬ ‫‪10‬‬ ‫) ‪( s + 3) ( s 2 + 2s + 10‬‬ ‫= ) ‪ . P ( s‬דרוש לבקר את התהליך בחוג סגור כך ששגיאות מצב מתמיד לכניסות‬ ‫מדרגה באות הייחוס ובאות ההפרעה תתאפסנה‪.‬‬ ‫א‪ .‬תכננו בקר ‪ PI‬ובקר ‪ PID‬בשיטת של זיגלר – ניקולס‪ .‬חשבו את עודפי היציבות עבור שני הבקרים וציירו את‬ ‫תגובות החוג הסגור לכניסות מדרגה באות הייחוס ובהפרעה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף א'‬ ‫ראשית נבדוק האם ניתן להשתמש בשיטת הרגישות הגבולית‪.‬‬ ‫צריך שהחוג שייסגר עם התהליך הנתון ובקר פרופורציונאלי יהיה בעל תחום יציבות סופי‪ .‬נסמן על הבודה של‬ ‫התהליך את מידת קרבת החוג לאי יציבות‪.‬‬ ‫‪Gm = 14 dB (at 4 rad/s) , Pm = Inf‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪-180‬‬ ‫)‪Phase (deg‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪-270‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫איור ‪ :1‬עקום בודה של התהליך בשאלה ‪1‬‬ ‫הערה‪ :‬עודפי היציבות המסומנים בבודה הם עבור הגברי בקר חיוביים‪ .‬לתהליך הנתון יש תחום יציבות גם עבור‬ ‫הגברים שליליים‪ ,‬אך בסף יציבות מתקבל קוטב בודד בראשית‪ ,‬לכן לא נקבל תנודות קריטיות‪ ,‬אז נשאר עם ‪ K‬חיובי‪.‬‬ ‫למערכת אמנם עודף פאזה אינסופי )כי הגבר התהליך קטן מ ‪ 1‬בכל תדר(‪ ,‬אך עודף ההגבר של המערכת סופי‪ ,‬ולכן יש‬ ‫תחום סופי של בקרי הגבר ‪ K‬עבורם החוג הסגור יציב‪ .‬ההגבר הקריטי כמובן שווה לעודף ההגבר של התהליך‪.‬‬ ‫‪Ku = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒ ‪µ g = 14[dB ] ≈ 5‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫עם הגבר זה לחוג הסגור יהיה קוטב יציב אחד ושני קטבים על הציר המדומה בנקודות ‪ ± jω p = ±4 j‬ולחוג הסגור‪,‬‬ ‫במצב מתמיד‪ ,‬תנודות קריטיות בתדר זה‪ .‬כלומר‪ ,‬תדר התנודות הקריטיות הוא ]‪ ωu = ωφ = 4[r s‬וזמן המחזור שלהן‬ ‫‪2π‬‬ ‫הוא ]‪⇒ Tu = 1.571[sec‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ωu‬‬ ‫= ‪. Tu‬‬ ‫נחשב את הפרמטרים של הבקרים ‪ PI‬ו ‪ PID‬מתוך הטבלה‪.‬‬ ‫‪k p = 0.6 Ku = 0.6 ⋅ 5 = 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ ki‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.273‬‬ ‫‪PID : ‬‬ ‫‪Tu 1.571‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪kd = Tu = 1.571 = 0.196‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪k p = 0.45Ku = 0.45 ⋅ 5 = 2.25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪PI : ‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪ki = T = 1.571 = 0.764‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫הבקרים המתקבלים עבור התהליך הנתון‪ ,‬הינם‪:‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.273‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪CPID ( s ) = k p  1 + i + kd s  = 3  1 +‬‬ ‫‪+ 0.196s ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k ‬‬ ‫‪ 0.764 ‬‬ ‫‪CPI ( s ) = k p  1 + i  = 2.25  1 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫‪-45‬‬ ‫‪L=CpiP‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪L=CpidP‬‬ ‫‪-180‬‬ ‫)‪Phase (deg‬‬ ‫‪-135‬‬ ‫‪-225‬‬ ‫‪-270‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫איור ‪ :2‬עקומי בודה של החוג הפתוח עם הבקרים בשאלה ‪1‬‬ ‫נחשב את עודפי היציבות של החוג בשני המקרים‪ .‬עבור בקר ‪ ,PI‬מהבודה מקבלים‪:‬‬ ‫)‬ ‫]‪= 0.92[ r s‬‬ ‫‪(ω‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪; µ ph = 112°‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫]‪= 3.72[ r s‬‬ ‫‪(ω‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫]‪CPI ( s ) : µ g = 4.82[dB‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫עבור בקר ‪ ,PID‬מהבודה מקבלים‪:‬‬ ‫)‬ ‫]‪= 3.38[ r s‬‬ ‫‪(ω‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪; µ ph = 45.7°‬‬ ‫)‬ ‫]‪= 14.1[ r s‬‬ ‫‪(ω‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫] ‪CPID ( s ) : µ g = 30.1[ dB‬‬ ‫הערה ‪ :1‬בפועל בקר ה‪ PID‬ימומש כסיבתי‪ ,‬לכן גם הפאזה שלו תתכנס ל ‪ −270°‬ועודפי היציבות יהיו קטנים יותר‪.‬‬ ‫נצייר את תגובות המדרגה של החוג הסגור לכניסת מדרגה באות הייחוס ובהפרעה עבור שני הבקרים‪.‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪PI‬‬ ‫‪PI‬‬ ‫‪PID‬‬ ‫‪PID‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.05‬‬ ‫איור ‪ :3‬מע' בשאלה ‪ .1‬ימין – תגובת מדרגה באות הייחוס‪ ,‬שמאל – תגובת מדרגה בהפרעה‬ ‫רואים כי בשני המקרים קיבלנו תגובות תנודתיות‪ ,‬אך עבור בקר ‪ PID‬הביצועים מעט טובים יותר‪ :‬מקבלים תגובה‬ ‫מהירה יותר לכניסה באות הייחוס ) ‪ ωc‬גדול יותר( ותגובת יתר נמוכה יותר בתגובה להפרעה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תכננו למערכת בקר עם שתי דרגות חופש כך שבנוסף הדרישות בסעיף א' הבקר ימזער את התנודות בתגובת החוג‬ ‫הסגור לכניסת מדרגה באות הייחוס‪ .‬בחרו את הבקר בתוך החוג להיות אחד הבקרים שתכננתם בסעיף א'‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף ב'‬ ‫נבחר את הבקר בתוך החוג להיות ‪ CPID‬כי הוא נתן ביצועים טובים יותר‪ .‬חוג הבקרה עם שתי דרגות חופש יראה כך‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪P ( s‬‬ ‫)‪C ( s‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪K ( s‬‬ ‫איור ‪ :4‬חוג בקרה עם שתי דרגות חופש בשאלה ‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫המפצה המקדים ) ‪ K ( s‬אינו משפיע על תגובת החוג להפרעה )בשביל זה יש את ) ‪ ( C ( s‬אך הוא כן משפיע על תגובת‬ ‫החוג לאות הייחוס‪ .‬ניתן לבטל את תנודת התגובה לאות הייחוס בשני אופנים‪.‬‬ ‫דרך אחת – צמצום הקטבים המרוכבים‪.‬‬ ‫נרשום את תמסורת החוג הסגור ‪. y r‬‬ ‫)‪C (s) P (s‬‬ ‫) ‪5.88 ( s + 2.664 )( s + 2.438‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪= K (s‬‬ ‫)‪(s) = K (s‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪1+ C ( s) P ( s‬‬ ‫‪( s + 2.974 )( s + 0.865) s 2 + 1.161s + 14.85‬‬ ‫‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪p =−0.581±3.81i‬‬ ‫למערכת בחוג סגור יש שני קטבים מרוכבים שיוצרים את התנודות‪ .‬נבחר את המפצה המקדים באופן הבא‪:‬‬ ‫‪14.85 ⋅ 0.865‬‬ ‫‪= 1 → k = 5.056‬‬ ‫‪2.664 ⋅ 2.438 ⋅10‬‬ ‫‪; k‬‬ ‫)‬ ‫) ‪+ 1.161s + 14.85 ( s + 0.865‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(s‬‬ ‫‪K (s) = k‬‬ ‫) ‪( s + 2.664 )( s + 2.438)( s + 10‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪29.73‬‬ ‫= )‪(s‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) ‪( s + 2.974 )( s + 10‬‬ ‫⇒‬ ‫ביטלנו את הקטבים התונדים של ‪ y r‬אך על הדרך‪ ,‬כדי ש ) ‪ K ( s‬יהיה ‪ ,proper‬צמצמנו את אפסי התהליך וגם‬ ‫צמצמנו קוטב איטי ב ‪ -0.865‬ובמקומו הכנסנו קוטב מהיר ב ‪ .-10‬לא נשכח לשמור על הגבר סטטי ‪ 1‬של החוג הסגור‪.‬‬ ‫דרך שנייה – תכנון פילטר שיסנן אות בתדר התנודה הלא רצויה‪.‬‬ ‫ללא ) ‪ , K ( s‬התמסורת ‪ y r‬מהווה מסנן שמעביר היטב את התדר שבו תונדת תגובת המדרגה‪ .‬ניתן למצוא תדר זה‬ ‫מגרף תגובת המדרגה )איור ‪ 3‬ימין(‪ .‬נחשב את זמן מחזור התנודות על ידי חישוב מרחק בין שני פיקים‪.‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫] ‪= 3.7[r s‬‬ ‫‪T‬‬ ‫=‪→ ω‬‬ ‫]‪T ≈ 3.9 − 2.2 = 1.7[sec‬‬ ‫נצייר עקום בודה של ‪) y r‬איור ‪5‬א'(‪ .‬הפיק קורה בדיוק בתדר שחישבנו )כצפוי(‪ .‬נתכנן את ) ‪ K ( s‬שיבצע הנחתה‬ ‫טובה בתדר זה‪ .‬על מנת לבטל את התדר הנ"ל ניתן לתכנן מסנן בורר‪ .Notch Filter ,‬למסנן בורר אידיאלי יש אנטי‪-‬‬ ‫פיק אינסופי בתדר הרצוי‪ ,‬ועל ידי כך הוא מנחית את התדר לחלוטין‪ .‬אנו נתכנן מסנן בורר עם אנטי‪-‬פיק סופי‪ ,‬כאשר‬ ‫את רוחב האנטי‪-‬פיק )הפרמטר ‪ (β‬נקבע בניסוי וטעיה‪ .‬המסנן שנבחר הוא‬ ‫‪, β = 1.1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪s 2 + β s + 3.7 2‬‬ ‫‪( s + 3.7 )2‬‬ ‫= )‪K (s‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Gyr‬‬ ‫‪Kfilter‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪K*Gyr‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-70‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫איור ‪5‬א'‪ :‬עקום בודה )הגבר( של החוג הסגור ‪ y r‬ללא מסנן ) ‪ K ( s‬ועם ) ‪ K ( s‬כמסנן בורר‬ ‫ניתן לראות שביטלנו את הפיק‪ ,‬אך יצא שהקטנו את רוחב הסרט של החוג הסגור‪ .‬נתבונן כעת בעקום בודה של החוג‬ ‫הסגור עם המפצה המקדים שתכננו בשיטת ביטול קטבים )איור ‪5‬ב'(‪ .‬אמנם התכנון היה משיקולי צמצום קטבים‬ ‫ואפסים בלבד‪ ,‬במישור התדר יצא שביטלנו את הפיק ואף הגדלנו מעט את רוחב הסרט של החוג הסגור‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Gyr‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪K*Gyr‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪Kpoles‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-70‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫איור ‪5‬ב'‪ :‬עקום בודה )הגבר( של החוג הסגור ‪ y r‬ללא מסנן ) ‪ K ( s‬ועם ) ‪ K ( s‬כמסנן מבטל קטבים‬ ‫נראה את תגובת החוג הסגור למדרגה באות הייחוס עם המפצים המקדימים שתכננו‪ .‬התגובה עם המסנן‪-‬בורר יותר‬ ‫איטית מהתגובה עם מסנן מבטל קטבים‪ .‬בשני המקרים התנודות בוטלו לחלוטין‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering 1.4 no K Kpoles 1.2 Kfilter 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 ‫ תגובות מדרגה של החוג הסגור עם מפצים מקדימים שונים‬:6 ‫איור‬ 2 ‫שאלה‬ . P= 0.1⋅ e−1.5s s( s 2 + 0.05s + 1) :‫נתון התהליך‬ .‫ בשיטת הרגישות הגבולית‬PID ‫תכננו בקר‬ 2 ‫פתרון שאלה‬ :‫נסתכל על עקום בודה ועקום פולארי של התהליך‬ P 2 1.5 System: P Phase Margin (deg): -18.8 Delay Margin (sec): -0.344 At frequency (rad/s): 0.952 Closed loop stable? Yes 1 0.5 0 -0.5 System: P Gain Margin (dB): 5.11 At frequency (rad/s): 0.897 Closed loop stable? Yes -1 -1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 7 0 0.5 1 1.5 ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫)‪Gm = 5.11 dB (at 0.897 rad/s) , Pm = -18.8 deg (at 0.952 rad/s‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Phase (deg‬‬ ‫‪-360‬‬ ‫‪-720‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1080‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Frequency (rad/s‬‬ ‫ניתן לראות שאם נסגור את החוג עם בקר פרופורציונאלי‪ ,‬יהיה קיים הגבר שמביא את החוג לאי יציבות עם קטבים‬ ‫מדומים‪ .‬זהו עודף ההגבר המינימאלי של המערכת‪ .‬נחלץ את הפרמטרים הדרושים לכוונון בעזרת זיגלר‪-‬ניקולס‪.‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪0.897‬‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ωφ‬‬ ‫= ‪Tu‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪Ku = µg = 5.11dB = 1.801‬‬ ‫קבועי הבקר )על פי כיוונון פסן( הם‪:‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪, kd = u‬‬ ‫‪Tu‬‬ ‫‪6.7‬‬ ‫= ‪k p = 0.7Ku , ki‬‬ ‫נציב בנוסחה לבקר ‪:PID‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.357‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C = k p 1 + i + kd s  = 1.26 1 +‬‬ ‫‪+ 1.045s ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נסתכל על דיאגרמת ניקוויסט של החוג הפתוח‬ ‫‪8‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫ניתן לראות כי החוג הסגור אינו יציב‪ .‬תגובת החוג הסגור למדרגה עם הבקר שהתקבל‪:‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−20‬‬ ‫‪−40‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪100‬‬ ‫)‪Time (sec‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−60‬‬ ‫כאמור‪ ,‬הבקר שהתקבל מוציא את החוג הסגור מיציבות‪ .‬שיטת זיגלר‪-‬ניקולס אינה מתאימה לכל סוגי התהליכים‪.‬‬ ‫‪9‬‬