1 גיאומטריה אנליטית
מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית y = mx + n )y – y1 = m(x – x1 משוואת ישר דרך נקודה: y2−y1 x2−x 1 שיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות: x 1 x 2 2 אמצע קטע: מרחק בין שתי נקודות: y1y 2 2 =X M =m = YM d= y2−y1 x 2 −x1 2 2 www.heisegyad.co.il מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מערכת צירים – תזכורת: במערכת צירים דו ממדית לכל נקודה יש שיעור xושיעור : y )(x, y )(x , y נתבונן בנקודה ): A(5 , 2 סמנו את הנקודות: )B(3 , 1) C(5 , 5 )D(2 , 5) E(0 , 4 )(x , y נתבונן בנקודה ): A(5 , -3 סמנו את הנקודות: )B(6 , -1) C(2 , -2 )D(0 , -4) E(4 , 0 רשמו לכל אחת מהנקודות ,את שיעורי ה X -וה:Y - © 1כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מרחק אופקי ואנכי בין נקודות: !!! קו האופק הוא הקו הדמיוני המחבר בין הרקיע והארץ !!! מרחק אופקי בין נקודות: במערכת הצירים שלפניכם מסומנות שתי נקודות וביניהן קו אופקי. אורך הקו הוא 5יחידות והוא מבטא את המרחק האופקי בין שיעורי ה X -של שתי הנקודות: dAB = 2 - (-3) = 5 סמנו את זוגות הנקודות הבאות על גבי מערכת הצירים וחשבו את המרחק ביניהן: )(3) K(-4 , -2) , L(3 , -2 )(2) M(0 , 4) , N(4 , 4 )(1) F(1 , -4) , E(4 , -4 = dKL = dMN = dEF מרחק אנכי בין נקודות: במערכת הצירים שלפניכם מסומנות שתי נקודות וביניהן קו אנכי. אורך הקו הוא 6יחידות והוא מבטא את המרחק האנכי בין שיעורי ה Y -של שתי הנקודות: dAB = 4 - (-2) = 6 סמנו את זוגות הנקודות הבאות על גבי מערכת הצירים וחשבו את המרחק ביניהן: )(6) K(-4 , -2) , L(-4 , 2 )(5) M(3 , 4) , N(3 , -2 )(4) F(2 , 1) , E(2 , 4 = dKL = dMN = dEF תשובות4 (6 , 6 (5 , 3 (4 , 7 (3 , 4 (2 , 3 (1 : © 2כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית שטח מלבן ומשולש – תזכורת נוסחת שטח מלבן: ) S = a.·bאורך כפול רוחב( נוסחת שטח משולש: a·h 2 S b a S =S h a תרגול: ) (1נתון מלבן ששיעורי קודקודיו הם: )A(-2 , 4) , B(4 , 4) , C(4 , 1) , D(-2 ,1 א .ציירו את המלבן על גבי מערכת צירים. ב .חשבו את אורכי צלעות המלבן. ג .חשבו את שטח המלבן. ד .חשבו את היקף המלבן. ) (2שיעורי קודקודי המלבן הם: )A(-4 , 2) , B(2 , 2) , C(2 , -3) , D(-4 ,-3 א .ציירו את המלבן על גבי מערכת צירים. ב .חשבו את שטח המלבן. ג .חשבו את היקף המלבן. ) (3שיעורי הקודקודים של משולש ישר זווית הם: )A(-2 , 3) , B(-2 , -2) , C(3 , -2 א .ציירו את המשולש על גבי מערכת צירים. ב .חשבו את אורכי הבסיס והגובה של המשולש. ג .חשבו את שטח המשולש. ) (4במשולש ישר זווית ,שיעורי הקודקודים הם: )A(-3 , 1) , B(3 , 1) , C(3 , 3 א .ציירו את המשולש על גבי מערכת צירים. ב .חשבו את שטח המשולש. תשובות: (1ב 6 .יח' 3 ,יח' ג 18 .יח"ר ד 18 .יח' (2 ,ב 30 .יח"ר ג 22 .יח' (3ב 5 .יח' 5 ,יח' ג 12.5 .יח"ר 6 (4 ,יח"ר © 3כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים: במלבן שצלעותיו מקבילות לצירים ,שידועות בו שיעורי נקודות לא צמודות ,ניתן למצוא בנקל את שיעורי הנקודות האחרות. נתבונן במלבן הבא: מציאת שיעורי הנקודה :D – הישר DCמקביל לציר ה Y -ולכן לנקודה Dשיעור Xכמו לנקודה .CכלומרXD = -3 : – הישר ADמקביל לציר ה X -ולכן לנקודה Dשיעור Yכמו לנקודה .AכלומרYD = 3 : קיבלנו ש: מצאו את שיעור הנקודה :B )D(-3 , 3 )__ B(__ , תרגול: ) (1במלבן שלפניכם נתונים שיעורי הנקודות Aו.C - מצאו את שיעורי הנקודות Bו ,D -אם ידוע שצלעות המלבן מקבילות לצירים. ) (2במלבן שלפניכם נתונים שיעורי הנקודות Bו.D - מצאו את שיעורי הנקודות Aו ,C -אם ידוע שצלעות המלבן מקבילות לצירים. תשובות: (-8 , -6) (4 , 2) (2 , (1 , -2) (-2 , 4) (1 © 4כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (3במלבן ABCDשצלעותיו מקבילות לצירים נתון ש , A(-2 , 4) :וC(3 , -2) - שרטטו את המלבן על גבי מערכת צירים ומצאו את שיעורי הקודקודים Bו.D - ) (4במלבן ABCDשצלעותיו מקבילות לצירים ,ידועים שיעורי הקודקודים, A(1 , 3) : ו .C(-4 , -2) -שרטטו את המלבן על גבי מערכת צירים ומצאו את שיעורי הקודקודים Bו.D - *) (5מרחק הנקודה Aמציר Yהוא 7 ומרחק הנקודה Dמציר Yהוא .2 מרחק הנקודה Bמציר Xהוא 4 ומרחק הנקודה Aמציר Xהוא .8 מצאו את שיעורי הקודקודים של המלבן. *) (6מרחק הנקודה Aמציר Yהוא 7 ומרחק הנקודה Bמציר Yהוא .2 מרחק הנקודה Cמציר Xהוא 3 ומרחק הנקודה Bמציר Xהוא .1 מצאו את שיעורי הקודקודים של המלבן. השימוש במערכת צירים על מנת לתאר מיקום של נקודה במישור או במרחב ,החל בשנת 1637ע"י המתמטיקאי והפילוסוף רנה דקארט. ומכאן שמה :מערכת צירים קרטזית. תשובות: (2 , 8) (2 , -4) (7 , -4) (7 , 8) (5 , (-4 , 3) (1 , -2) (4 , (-2 , -2) (3 , 4) (3 (-7 , -3) (2 , -3) (2 , 1) (-7 , 1) (6 © 5כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית משוואת הישר: הפרמטר – mמבטא את ערך השיפע דודו גולדשטיין y = mx + n הפרמטר – nמבטא את החיתוך של הישר עם ציר Y דוגמאות: )(1 )(2 y = 3x + 4 השיפוע הואm = 3 : y = mx + n נקודת החיתוך עם ציר yהיא(0 , 4) : y = x - 5שקול ל y = 1x - 5השיפוע הואm = 1 : y = mx + n נקודת החיתוך עם ציר yהיא(0 , -5) : תרגול: א .מצאו את השיפוע m -ואת נקודת החיתוך עם ציר Y (7) y = 4 ) ( , =m (4) y = x - 2 ) ( , (8) y = -x + 7 ) ( , =m ) ( , ) ( , (5) y = -2x ) ( , (9) y = x =m =m (1) y = 2x + 4 =m (2) y = 5x + 1 ) ( , (6) y = x - 9 ) ( , =m =m =m (3) y = -3x ) ( , =m ב .בנו משוואות ישר באמצעות השיפועים ונקודות החיתוך עם ציר Y )(0 , -2 (7) m = -2 )(0 , 0 =y )(0 , 7 (8) m = 0 =y )(0 , 3 =y )(0 , 0 (9) m = -1 =y (4) m = 2 )(0 , 2 (5) m = -3 =y )(0 , -4 =y )(0 , -3 (6) m = 0 =y (1) m = 4 (2) m = 1 =y )(0 , 1 (3) m = -1 =y © 6כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית ציור גרף של משוואת הישר: נצייר את גרף הישר y = 2x + 3 חיתוך עם ציר (0 , 3) :Yשיפוע: שלב א: סימון הנקודה ) (0 , 3על גבי ציר Y m=2 שלב ב: תזוזת משבצת 1ימינה ו 2-משבצות מעלה m = 2 כעת מעבירים ישר שעובר דרך שתי הנקודות. תרגול :ציירו את גרף הישר y = 2x +1חיתוך עם ציר (0 , 1) :Yשיפוע: נצייר את גרף הישר y = -x + 4 חיתוך עם ציר (0 , 4) :Yשיפוע: שלב א: סימון הנקודה ) (0 , 4על גבי ציר Y m=2 m = -1 שלב ב: תזוזת משבצת 1ימינה ומשבצת 1מטה m = -1 כעת מעבירים ישר שעובר דרך שתי הנקודות. תרגול :ציירו את גרף הישר y = -2x +2 חיתוך עם ציר (0 , 2) :Y שיפוע: m = -2 © 7כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית m=0 נצייר את גרף הישר y = 3 חיתוך עם ציר (0 , 3) :Yשיפוע: שלב א: סימון הנקודה ) (0 , 3על גבי ציר Y שלב ב: תזוזת משבצת 1ימינה )אין תזוזה מטה/מעלה( m = 0 כעת מעבירים ישר שעובר דרך שתי הנקודות. תרגול :ציירו את גרף הישר y = -2 חיתוך עם ציר (0 , -2) :Yשיפוע: m=0 ציירו את הגרפים של הישרים הבאים: (11) y = 2x + 3 ) ( , =m (6) y = x + 2 ) ( , (12) y = -x + 1 ) ( , =m ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , =m ) ( , =m ) ( , ) ( , =m (4) y = -2x - 3 ) ( , (10) y = 0 =m =m (3) y = -x - 3 (9) y = 4 (15) y = -1 =m =m =m (2) y = -2x + 4 (8) y = 3 (14) y = -2x =m ) ( , (7) y = 2x (13) y = -x =m =m (1) y = 2x - 1 =m (5) y = x + 3 ) ( , =m © 8כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . גיאומטריה אנליטית מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין התאמה בין גרף הפונקציה למשוואת הישר: דוגמה פתורה: נתונים שלושה ישרים ושלוש פונקציות קוויות: I) y = -x + 1 II) y = 2x + 1 III) y = 2x + 3 יש להתאים לכל פונקציה את הישר המתאים לה ולנמק. פתרון: הפונקציה y = -x + 1מתאימה לגרף – 3 )נימוק :שיפוע שלילי מתאים לגרף יורד( הפונקציה y = 2x + 1מתאימה לגרף – 1 )נימוק :החיתוך עם ציר yזהה לגרף – (3 הפונקציה y = 2x + 3מתאימה לגרף – ) 2נימוק :החיתוך עם ציר Yגבוהה מגרף – (1 תרגול: ) (1התאימו לכל ישר את הפונקציה המתאימה לו. נמקו את תשובותיכם. III) y = -x + 4 I) y = x - 2 II) y = -x ) (2התאימו בין הפונקציות לבין הישרים המתאימים. נמקו את תשובותיכם. II) y = x - 4 III) y = x + 2 I) y = -2x - 4 תשובות: I - 2 , II - 1 , III - 3 (2 , I - 2 , II - 3 , III - 1 (1 © 9כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מציאת משוואת ישר באמצעות נקודה ושיפוע: כדי למצוא את משוואת הישר , Y = mX + nאנו זקוקים לשני נתונים: שיפוע – , mונקודה )(x1 , y1 )y – y1 = m(x – x1 כל שעלינו לעשות הוא להציב את הנתונים בנוסחה: השלימו את התרגיל מימין ,בהתאם לדוגמה משמאל: מצאו את משוואת הישר העובר דרך מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה ) C(3 , 4ובעל שיפוע m = -1 הנקודה ) C(1 , 4ובעל שיפוע m = 2 הצבת נתונים בנוסחה: y – y1 = m(x – x1)d )y – 4 = 2(x – 1 פתיחת סוגריים : סידור הנוסחה : y – 4 = 2x – 2 y = 2x – 2 +4 y = 2x + 2 פתרון: פתרוןY = __X + __ : Y = 2X + 2 תרגול: ) (1מצאו משוואת ישר בעל שיפוע , m = 1שעובר דרך הנקודה ). A(2 , 5 ) (2דרך הנקודה ) B(3 , -2עובר ישר בעל שיפוע . m = -1מצאו את משוואת הישר. ) (3מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3ושעובר דרך הנקודה ).B(2 , 4 ) (4במשלוש ABCהתיכון שיוצא מקודקוד )A(2 , 4 הוא בעל שיפוע . m = 0.5 מצאו את משוואת התיכון לצלע .BC תשובות: 1) y = x + 3 , 2) y = -x + 1 , 3) y = 3x – 2 , 4) y = 0.5x + 3 © 10כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (5במעגל שמרכזו בנקודה ) O(1 , 4העבירו קוטר עם שיפוע . m = 1 מצאו את משוואת קוטר המעגל. ) (6במשולש ABCהגובה שיוצא מהקודקוד ) B(-2 , -3הוא בעל שיפוע . m = -2 מצאו את משוואת הגובה. ) (7במלבן ABCDשיפוע האלכסון BDהוא 0.5 ושיפוע האלכסון ACהוא . -0.5 מצאו את משוואות האלכסונים ,אם ידוע שנקודת מפגש האלכסונים היא.O(2 , 6) : ) (8בטרפז שלפניכם שיפוע השוק ADהוא 3 ושיפוע השוק BCהוא . -2 מצאו את משוואות שוקי הטרפז. תשובות: 5) y = x + 3 , 6) y = -2x - 7 , 7) y = 0.5x + 5 , y = -0.5x + 7 , 8) y = 3x + 9 , y = -2x + 9 © 11כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית תנאי מקבילות של שני ישרים: !!! ישרים בעלי אותו שיפוע הם ישרים מקבילים !!! נתבונן בפונקציות הקוויותy = 2x + 4 : y = 2x + 1 , שני הקווים מקבילים זה לזה, מכיוון שלשניהם אותו שיפועm = 2 : מתחו קו בין זוגות של ישרים מקבילים מטור א' וטור ב': טור א טור ב טור א טור ב y=x+2 y = -3x + 2 y = -x y = 3x + 3 y = -4x - 3 y = 2x - 4 y = -2x - 9 y=x+3 y = 3x y = 7x + 8 y = 3x + 5 y = 5x - 1 y = 6x + 1 y = -4x + 3 y = -x + 6 y = 2x + 4 y = 2x + 6 y = 6x y =5x y = -2x y = 7x + 3 y=x+4 y=x+5 y = -x + 1 תרגול: ) (1מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ושעובר דרך הנקודה ).A(1 , 3 ) (2דרך הנקודה ) B(2 , -1עובר ישר המקביל לישר . y = -3x + 1מצאו את משוואת הישר. ) (3נתון ישר שמשוואתו . y = -x + 6מצאו ישר המקביל לישר זה ,אשר עובר דרך הנקודה ).(4 , 8 תשובות: 1) y = 2x + 1 , 2) y = -3x + 5 , 3) y = -x + 12 © 12כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (4הישר , y = 5x -12מקביל לישר ABשעובר דרך הנקודה ) .(2 , -5מצאו את משוואת הישר .AB ) (5מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = -2x -5 ושעובר דרך הנקודה ).A(2 , 4 ) (6דרך הנקודה ) B(-2 ,2עובר ישר המקביל לישר .y = 3x מצאו את משוואת הישר. ) (7נתון ישר שמשוואתו . y = x + 4מצאו ישר המקביל לישר זה ,אשר עובר דרך הנקודה ).(-4 , 1 ) (8הישר , y =2x - 1מקביל לישר ABשעובר דרך הנקודה ) .(-2 , 5מצאו את משוואת הישר .AB ) (9נתון טרפז שמשוואת בסיסו הקטן הואy = x + 3 : מהי משוואת הבסיס הגדול אם ידועים שיעורי הקודקוד )? D(3 , 1 ) (10במקבילית ABCDמשוואת הצלע AB היאy = 0.5x + 4 : ומשוואת הצלע BCהיא. y = 2x – 6.5 : מצאו את משוואות הצלעות ADוCD - אם נתון שיעורי הקודדקוד ).D(-4 , -4 תשובות: 4) y = 5x - 15 , 5) y = -2x + 8 , 6) y = 3x + 8 , 7) y = x + 5 , 8) y = 2x + 9 9) y = x – 2 , 10) y = 2x + 4 , y = 0.5x - 2 © 13כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . גיאומטריה אנליטית מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין נקודות על גבי הישר : לפניכם גרף המתאר את משוואת הישרy = 0.5x + 1 : לכל נקודה על גבי הישר יש שיעור xושיעור : y נמצא את שיעור ה y -של הנקודה A בה נתוןx = 2 : נציב במשוואת הישרy = 0.5x + 1 : y = 0.5•(2) + 1 = 2 קיבלנו שA(2 , 2) : תרגול: ) (1מצאו את שיעורי הנקודות D , Cו. E - ) (2מצאו שלוש נקודות שונות הנמצאות על הישר. y = x +3 : )הנחיה :עליכם לבחור שיעורי xכרצונכם ולחשב את שיעורי ה(y - האם הנקודה ) F(3 , 3נמצאת על הישר ? y = 0.5x + 1 כדי לענות על שאלה זו נציב את שיעורי הנקודה במקום xובמקום :y y = 0.5x + 1 3 = (3)•0.5 + 1 3 = 2.5 קיבלנו פסוק שקר ולכן הנקודה Fאינה על הישר. תרגול: ) (3מצאו אילו מבין הנקודות הבאות ,נמצאות על גבי הישרy = 5x – 4 : )A(1 , 1) , B(2 , 5) , C(0 , -3 ) (4מצאו אילו מבין הנקודות הבאות ,נמצאות על גבי הישר3x – y = 9 : )A(2 , -3) , B(4 , 0) , C(3 , 0 תשובות: , A (3 , (4 , 3) (-1 , 0.5) (0 , 1) (1ו A , C (4 © 14כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית שיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות: דודו גולדשטיין y2−y1 x 2−x1 =m שיפוע ישר מוגדר כמנה של הפרש הגובה ) (∆Yושל הפרש הרוחב ) (∆Xבין נקודות על הישר בגרף משמאל המנה היא2 : )לכל "צעד" ימינה מתקיימים " 2צעדים" למעלה( כלומר ,שיפוע הישר הוא: m=2 y2−y1 חישוב השיפוע באמצעות הנוסחה: x 2−x1 =m 2−−2 4 = =2 3−1 2 =m בגרף משמאל המנה היא1 : )לכל "צעד" ימינה מתקיים "צעד" 1למעלה( כלומר ,שיפוע הישר הוא: m=1 חישוב השיפוע באמצעות הנוסחה: 1−−2 3 = =1 4−1 3 =m חשבו את שיפועי הישרים העוברים דרך זוגות הנקודות: )(4) A(6 , 10) , B(-4 , 20) (7) A(6 , 0) , B(3 , 6 )(1) A(4 , 3) , B(1 , 0 3−0 3 = =1 4−1 3 =m )(8) A(6 , -1) , B(1 , -6 )(5) A(5 , -1) , B(1 , -9 )(2) A(4 , 2) , B(2 , 4 )(9) A(-3 , -2) , B(5 , 2 )(6) A(1 , 3) , B(-4 , -2 )(3) A(-1 , 3) , B(0 , 6 תשובות: 2) -1 , 3) 3 , 4) -1 , 5) 2 , 6) 1 , 7) -2 , 8) 1 , 9) 0.5 © 15כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (10נתון מרובע שקודקודיו הם: )D(-4 , -1) , C(1 , -4) , B(2 , 2) , A(-3 , 4 מצאו את שיפועי האלכסונים ACוBD - ) (11נתון מרובע ששיעורי קודקודיו הם: )D(-2 , -3) , C(1 , 3) , B(2 , 7) , A(-1 , 1 א .מצאו את שיפועי הצלעות ABוDC - ב .מצאו את שיפועי הצלעות CBוAD - ג .כיצד נקרא מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו ,מקבילות זו לזו ? ) (12נתון מרובע ששיעורי קודקודיו הם: )D(-3 , -8) , C(7 , 2) , B(0 , 5) , A(-5 , 0 א .מצאו את שיפועי הצלעות ABוDC - ב .מצאו את שיפועי הצלעות CBוAD - ג .כיצד נקרא מרובע בו ,זוג אחד של צלעות נגדיות מקביל זה לזה ,והזוג השני אינו מקביל ? ) (13לפניכם שיעורי קודקודי מרובע : ABCD )D(-6 , -4) , C(2 , -1) , B(-1 , 5) , A(-9 , 2 חשבו את שיפועי צלעות המרובע והסבירו איזה מרובע הוא ? תשובות: (11 , 0.5 , -2 (10א , 2 .ב , 4 .ג .מקבילית (12 ,א ,1 .ב , -3/7 , -4 .ג .טרפז (13 ,מקבילית © 16כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית נוסחת הישר העובר דרך שתי נקודות מצאו את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות ,בהתאם לדוגמה משמאל: )C(2 , 6) , D(1 , 4 )A(1 , 3) , B(2 , 6 שלב :Iחישוב השיפוע m - שלב :Iחישוב השיפוע – m הצבת שיעורי הנקודות בנוסחת השיפוע: y 2−y1 6−4 2 = = =2 x 2−x 1 2−1 1 =m שלב :IIהצבת השיפוע ושיעורי אחת הנקודות בנוסחת הישרy – y1 = m(x – x1) : )y – 4 = 2(x – 1 y – 4 = 2x – 2 / +4 y = 2x – 2 + 4 y = 2x + 2 פתרוןy = 2x + 2 : תרגול: ) (1מצאו את משוואת הישר ,שעובר בין שתי הנקודות. B(0 , 2) , A(2 , 6) : ) (2מצאו את משוואת הישר העובר בין זוג הנקודות. C(1 , 3) , D(0 ,0) : ) (3נתון מלבן , ABCDששיעורי קודקודיו הם: )D(1 , -2) , C(5 , -2) , B(5 , 6) , A(1 , 6 א .מצאו את משוואת האלכסון AC ב .מצאו את משוואת האלכסון BD ) (4נתון משולש ABCששיעורי קודקודיו הםC(0 , 5) , B(4 , 7) , A(1 , 4) : א .מצאו את משוואת הצלע AB ב .מצאו את משוואת הצלע BC תשובות: 1) y = 2x + 2 , 2) y = 3x , 3) y = -2x + 8 , y = 2x – 4 , 4) y = x + 3 , y = 0.5x + 5 © 17כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית נוסחת שיעורי אמצע קטע: x 1x 2 = XM 2 שיעור ה , x -של אמצע קטע הוא ממוצע שיעורי ה x -של קצות הקטע : y 1y 2 2 שיעור ה , y -של אמצע קטע הוא ממוצע שיעורי ה y -של קצות הקטע : = YM את נקודת האמצע נהוג לסמן באות (Middle) M - מצאו את נקודת אמצע הקטע ,בהתאם לדוגמה משמאל: )C(3 , 2) , D(7 , -1 )A(1 , 0) , B(5 , 4 הצבת שיעורי הנקודות בנוסחאות: y1 y2 2 =Y M x1 x 2 2 = XM =Y M 37 =5 2 = XM 2−1 =0.5 2 פתרון :נקודת האמצע היאM(5 , 0.5) : מצאו את נקודת האמצע של כל זוג נקודות: )(5) A(-4 , 2) , B(4 , -2 )(3) A(-1 , 2) , B(4 , -5 )(1) B(2 , 6) , C(4 , 0 )(6) A(-3 , 5) , B(7 , 1 )(4) D(0 , 0) , E(8 , 4 )(2) D(3 , 4) , E(9 , 0 תשובות: (2 , 3) (6 , (0 , 0) (5 , (4 , 2) (4 , (1.5 , -1.5) (3 , (6 , 2) (2 , (3 , 3) (1 © 18כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (7במלבן ABCDנתונים שיעורי הקודקודים: )D(2 , 0) , C(6 , 0) , B(6 , 6) , A(2 , 6 מצאו את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים. ) (8קוטר המעגל עובר בין שתי נקודות על המעגל: ) A(8 , 6וB(-2 , -4) - מצאו את שיעורי מרכז המעגל. ) (9במשולש ABCששיעורי קודקודיו הם: )C(4 , 4) , B(5 , 1) , A(1 , 3 א .מצאו את שיעורי אמצע הצלע .AB ב .מצאו את משואת התיכון לצלע .AB ) (10במשולש ABCששיעורי קודקודיו הם: )C(5 , 3) , B(-3 , -1) , A(-3 , 3 א .מצאו את שיעורי אמצע הצלע .CB ב .מצאו את משואת התיכון לצלע .CB תשובות: Y = -0.5x + 1.5 , (1 , 1) (10 , Y = 2x -4 , (3 , 2) (9 , (3 , 1) (8 , (4 , 3) (7 © 19כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מציאת נקודת קצה: מצאו את שיעורי הנקודה Bמימין בהתאם לדוגמה משמאל: מציאת שיעור הX - מציאת שיעור הX - מ A -ל M-יש "לזוז שמאלה" 3יחידות ולכן גם מ M -ל B -נזוז שמאלה 3יחידות. כך נגיע לXB = -3 : מציאת שיעור הY - מציאת שיעור הY - מ A -ל M-יש "לעלות" 2יחידות ולכן גם מ M -ל B -נעלה 2יחידות. כך נגיע לYB = 2 : תשובהB(-3 , 2) : חשבו את נקודות הקצה אם Mהיא נקודת מרכז כל אחד מהקטעים: )(1 )(2 )(3 )(4 תשובות: (2 , 0.5) (4) , (1 , 3) (3 , (-5 , 1) (2 , (-4 , 3) (1 © 20כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (5במלבן ABCDנתונים שיעורי הקודקודים ) D(0 , 0ו.C(4 , 0) - מצאו את שיעורי הקודקודים Aו – , Bאם ידוע שאלכסוני המלבן נפגשים בנקודה ). M(2 , 3 ) (6נתון מעוין שאלכסוניו נחתכים בראשית הצירים ) .(0 , 0מצאו את שיעורי הקודקודים Dו , C -אם ידועים שיעורי הקודקודים A(0 , 5) :ו. B(-3 , 0) - ) (7במשולש שווה שוקיים נתונים שיעורי הקודקודים: ) B(0 , -2ו.A(-10 , 8) - BDהוא תיכון לצלע .AC נתון גםD(0 , 8) : א .מצאו את שיעורי הקודקוד .C ב .מצאו את משוואת הישר .BC ) (8במשולש ABCנתונים שיעורי הקודקודים: ) B(3 , 0ו .A(-4 , -2) -הנקודה ,Dנמצאת על אמצע הצלע ACושיעוריה ).D(-1 , 0 א .מצאו את שיעורי הקודקוד .C ב .מצאו את משוואת הישר .BC תשובות: (7 , (0 , -5) , (3 , 0) (6 , (4 , 6) , (0 , 6) (5א , (10 , 8) .בy = x - 2 . (8א , (2 , 2) .בy = -2x + 6 . © 21כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מציאת מרחק בין שתי נקודות: נתבונן בשתי נקודות על גבי מערכת צירים: )(x1 , y1 )(x2 , y2 )A(4 , 5) , B(1 , 1 כדי למצוא את המרחק ביניהן ניתן להשתמש בנוסחה: d= y 2−y 12 x 2−x 12 d= 5−12 4−12= 25 d=5 הנוסחה הנ"ל היא בעצם משפט פיתגורס בצורת רישום שונה. דרך אחרת לפתרון היא באמצעות השלמה למשולש ישר זווית ושימוש במשפט פיתגורס: ) c2 = a2 + b2 ( c2 = 32 + 42 = 25 / c=5 מצאו את המרחק בין שתי הנקודות מימין בהתאם לדוגמה משמאל: )C(-4 , 6) D(11 , -2 סימון הנקודות: )B(9 , 1 )A(-3 , 6 )(x2 , y2 )(x1 , y1 )B(9 , 1 )A(-3 , 6 הצבה בנוסחת המרחק: d= y 2−y 12 x2−x 12 d= 1−62932= 169 d = 13 © 22כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית תרגול: חשבו את המרחקים בין זוגות הנקודות הבאות: )A(2 , 7) B(6 , 4) (1 )C(-4 , 5) D(8 , 0) (2 )E(3 , 6) F(3 , 12) (3 ) (4חשבו את המרחק בין הנקודה ) A(8 , 15לבין ראשית הצירים ).(0 , 0 ) (5חשבו את המרחק בין הנקודה ) B(7 , 24לבין ראשית הצירים. ) (6במלבן שלפניכם נתונים שיעורי הקודקודים. חשבו את אורך אלכסון המלבן. ) (7במקבילית שלפניכם נתונים שיעורי הקודקודים. חשבו את אורכי אלכסוני המקבילית. ) (8הנקודות ) A(3 , -8ו B(-2 , 4) -הן קודקודים סמוכים של ריבוע. א .חשבו את אורך הקטע .AB ב .חשבו את שטח הריבוע. ג .חשבו את היקף הריבוע. תשובות: 61, 29 (7 , 17 (6 , 25 (5 , 17 (4 , 6 (3 , 13 (2 , 5 (1 (8א , 13 .ב , 169 .ג52 . © 23כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מציאת נקודות החיתוך עם הצירים: )(x , y נקודות על ציר ה X -נראות כך(__ , 0) : )(x , y נקודות על ציר ה Y -נראות כך(0 , __) : נתבונן בגרף הישר :y = 2x + 4 הנקודה Aנמצאת על ציר ה y -ולכן x = 0 y = 2•0 + 4 = 4 קיבלנו שA(0 , 4) : הנקודה Bנמצאת על ציר ה x -ולכן y = 0 0 = 2x + 4 / -2x )-2x = 4 / :(-2 x = -2 קיבלנו שB(-2 , 0) : מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים בהתאם לדוגמה משמאל: y = 2x + 8 y = -2x - 6 חיתוך עם ציר : Y x=0 y = -2•0 - 6 = -6 תשובה (0 , -6) : חיתוך עם ציר : X y=0 0 = -2x -6 / +2x 2x = -6 / :2 x = -3 תשובה (-3 , 0) : © 24כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחת ממשואות הישר: (5) y = 2x (3) y = x - 1 (1) y = 2x - 6 (6) y = x (4) y = -x + 2 (2) y = -3x + 3 ) (7הישר ABשמשוואתו היאy = -x + 4 : יוצר עם הצירים משולש ישר זוית. א .מצאו את שיעורי הנקודות Aו.B - ב .חשבו את שטח המשולש .AOB ) (8הישר ABשמשוואתו היאy = 2x + 6 : יוצר עם הצירים משולש ישר זוית. א .מצאו את שיעורי הנקודות Aו.B - ב .חשבו את שטח המשולש .AOB ) (9הישר שמשואתו y = x + 2והישר שמשואתו , y = -x + 2יוצרים עם ציר ה – x משולש שווה שוקיים .ABC א .מצאו את שיעורי הקודקודים A , B , C ב .מצאו את המרחק בין קודקוד AלB - ג .חשבו את שטח המשולש ABC ) (10הישר שמשואתו y = x + 4והישר שמשואתו , y = -x - 4 יוצרים עם ציר ה – yמשולש שווה שוקיים .ABC א .מצאו את שיעורי הקודקודים A , B , C ב .מצאו את המרחק בין קודקוד AלB - ג .חשבו את שטח המשולש ABC תשובות: (0 , 0) (5 , (2 , 0) (0 , 2) (4 , (1 , 0) (0 , -1) (3 , (1 , 0) (0 , 3) (2 , (3 , 0) (0 , -6) (1 (7 , (0 , 0) (6א , (4 , 0) (0 , 4) .ב 8 .יח"ר (8 ,א , (-3 , 0) (0 , 6) .ב 9 .יח"ר (9א (0 , 2) (-2 , 0) (2 , 0) .ב 4 .יח' ג4 .יח"ר (10 ,א (-4 , 0) (0 , -4) (0 , 4) .ב 8 .יח' ג16 .יח"ר © 25כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים: שני ישרים שחותכים זה את זה ,הם בעלי נקודה משותפת )(x , y נתבונן בישרים x = 1 :ו y = x + 4 -ונסמן את נקודת החיתוך ביניהם באות : A שיעור ה x -של הנקודה Aהוא (x = 1) 1 את שיעור ה y -של הנקודה , Aנמצא ע"י הצבה במשוואת הישר y = x + 4 y = (1) + 4 = 5 מכאן ששיעורי הנקודה AהםA(1 , 5) : מצאו את נקודות החיתוך של כל זוג ישרים: (3) x = 3 y = 2x - 1 (2) x = -2 y = 2x + 4 (1) x = 4 y = -x + 1 נתבונן בישרים y = x + 3 :ו y = 4 -ונסמן את נקודת החיתוך ביניהם באות : B שיעור ה y -של הנקודה Bהוא (y = 4) 4 את שיעור ה x -של הנקודה , Bנמצא ע"י הצבה במשוואת הישר y = x + 3 (4) = x + 3 / -3 4–3=x x=1 מכאן ששיעורי הנקודה BהםB(1 , 4) : מצאו את נקודות החיתוך של כל זוג ישרים: (6) y = 3 y = 2x - 7 (5) y = -2 y = 2x + 4 (4) y = 2 y = -x + 5 תשובות: (5 , 3) (6 , (-3 , -2) (5 , (3 , 2) (4 , (3 , 5) (3 , (-2 , 0) (2 , (4 , -3) (1 © 26כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . גיאומטריה אנליטית מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין נתבונן בישרים y = -2x + 8 :ו y = x + 2 -ונסמן את נקודת החיתוך ביניהם באות : E שיעור ה – yבנקודת החיתוך הוא זהה ) (y = yולכן: x + 2 = -2x + 8 \ +2x -2 x + 2x = 8 - 2 3x = 6 \ :3 x=2 את שיעור ה y -של הנקודה , Eנמצא ע"י הצבה במשוואת הישר y = x + 2 y = (2) + 2 = 4 מכאן ששיעורי הנקודה EהםE(2 , 4) : מצאו את נקודות החיתוך של כל זוג ישרים: (3) y = 2x - 1 y=x+4 (2) y = x - 3 y = 2x - 4 (1) y = x - 5 y = -2x + 1 ) (4הישר שמשואתו y = x - 2והישר שמשואתו , y = -x + 4יוצרים עם ציר ה x -משולש ABC א .מצאו את שיעורי הקודקוד .C ב .מהו אורך גובה המשולש, כאשר ABמוגדר כבסיס המשולש ? ) (5הישרים שמשואותיהם y = -2x – 3וy = -0.5x + 1.5 - יוצרים עם ציר ה y -משולש ABC א .מצאו את שיעורי הקודקוד .C ב .מהו אורך גובה המשולש, כאשר ABמוגדר כבסיס המשולש ? תשובות: (4 , (5 , 9) (3 , (1 , -2) (2 , (2 , -3) (1א , (3 , 1) .ב 1 .יח' (5 ,א , (-3 , 3) .ב 3 .יח' © 27כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . גיאומטריה אנליטית מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין גיאומטריה אנליטית – תרגול מסכם: ) (1נתונות ארבע נקודות במישור: )D(0 , -1) , C(0 , -2) , B(4 , -2) , A(0 , 3 א .חשבו את שטח המשולש . BCD ב .חשבו את שטח המשולש . ABC ג .חשבו את שטח המשולש . ADB ) (2בריבוע ABCDהצלעות מקבילות לצירים .נתונים הקודקודים ) A(-2 , -3וC(2 , 1) - א .שרטטו את הריבוע על גבי מערכת צירים ומצאו את שיעורי הקודקודים Bו.D - ב .חשבו את שטח הריבוע ) (3נתונים קודקודי המרובע :ABCD )A(4 , 6) , B(2 , -1) , C(-6 , -5) , D(-4 , 2 הוכיחו כי המרובע הוא מקבילית. ) (4קודקודי מרובע הםD(0 , -1) , C(-5 , 0) , B(1 , 6) , A(3 , 2) : א .הוכיחו כי ) AD || BCהישר BCמקביל לישר (AD ב .האם המרובע ABCDהוא מקבילית ? נמקו. ) (5א .רשמו את משוואת הישר ,העובר דרך הנקודה ) (1 , 4ומקביל לישר y = -3x + 2 ב .רשמו שיעורי נקודה נוספת ,הנמצאת על הישר שמצאתם בסעיף הקודם. ) (6במקבילית נתונים שיעורי הקודקודים: )A(1 , -1) , B(-3 , -1) , C(-1 , 2) , D(3 , 2 א .מצאו את משוואות הצלעות ADו. BC - ב .חשבו את אורכי האלכסונים . תשובות: (1א 2 .יח"ר ב 10 .יח"ר ג 8 .יח"ר (2 ,א (-2 , 1) , (2 , -3) .ב 16 .יח"ר (5א , y = -3x + 7 .ג (6א y = 1.5x – 2.5 , y = 1.5x + 3.5 .ב 45 , 13 . © 28כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (7צלעות הריבוע ABCDמקבילות לצירים .אלכסוני הריבוע הם AC :ו.BD - נתונים שיעורי הקודקוד ) A(-4 , 4ושיעורי נקודת מפגש האלכסונים ).M(-1 , 1 א .מצאו את שיעורי הקודקוד .C ב .מצאו את שיעורי הקודקודים Dו.B - ג .חשבו את שטח הריבוע. ) (8במקבילית ABCDנתונים שיעורים של שלושה קודקודיםA(-4 , -2) , B(0 , 2) , C(10 , 2) : א .מצאו את נקודת מפגש האלכסונים. ב .מצאו את שיעורי הנקודה .D ) (9הנקודות ) A(-4 , -2) , B(4 , -2) , C(4 , 4הן שלושה קודקודים של משולש. א .חשבו את שטח המשולש. ב .הנקודה Eהיא אמצע הצלע . BC מצאו את שיעורי הנקודה . E ג .חשבו את שטח המשולש . ABE ד .חשבו את שטח המשולש . AEC ) (10במשולש ABCנתונים שיעורי הקודקודים )A(2 , 10) , B(0 , 0 הנקודה ) D(6 , 6נמצאת על אמצע הצלע .AC א .מצאו את שיעורי הקודקוד . C ב .מצאו את משואות הישרים BCו. AB - ) (11במשולש ABCנתונים שיעורי הקודקודיםA(4 , -2) , B(-4 , -2) , C(2 , 4) : מצאו את משואת התיכון לצלע .AB תשובות: (7א (2 , -2) .ב (-4 , -2) , (2 , 4) .ג 36 .יח"ר (8 ,א (3 , 0) .ב(6 , -2) . (9א 24 .יח"ר ב (4 , 1) .ג 12 .יח"ר ד 12 .יח"ר (10 ,א (10 , 2) .בy = 5x , y = 0.2x . y = 3x – 2 (11 © 29כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . גיאומטריה אנליטית מתמטיקה בהישג יד 1 - דודו גולדשטיין ) (12א .מצאו את משואת הישר ששיפועו 2ושעובר דרך הנקודה )B(5 , 4 ב .מצאו את נקודת החיתוך של הישר עם הצירים. ג .ציירו את הישר על גבי מערכת צירים. ד .חשבו את שטח המשולש בציור. ) (13לפניכם שרטוט של שני ישרים. נתונות שלוש פונקציותy = x + 4 (1) : )y = -x + 1 (2 )y = -x + 4 (3 א .התאימו לכל ישר את הפונקציה המתאימה לו .נמקו את תשובותיכם. ב .מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים. ג .מצאו את משוואת הישר ,שמקביל לישר IIושעובר דרך ראשית הצירים ).(0 , 0 ) (14לפניכם שרטוט של שלושה ישרים. נתונות שלוש פונקציותy = x + 4 (1) : )y = -0.25x - 1 (2 )y = x - 1 (3 א .התאימו לכל ישר את הפונקציה המתאימה לו .נמקו את תשובותיכם. ב .מצאו את שיעורי הנקודות D , C , B , Aהמסומנות בסרטוט. ג .מצאו את משוואת הישר . AB ד .חשבו את שטח המשולש . ACD ) (15הישר שמשואתו y = 0.5x + 4והישר שמשואתו y = -x + 1יוצרים עם ציר ה x -משולש ABC א .מצאו את שיעורי הקודקודים B, Aו – . C ב .חשבו את המרחק בין שני קודקודי המשולש המונחים על ציר . x ג .חשבו את שטח המשולש .ABC תשובות: (12א y = 2x – 6 .ב (0 , 6) (3 , 0) .ד 9 .יח"ר (13 ,א I – 1 , II – 3 .ב (0 , 4) .גy = -x . (14א I – 2 , II – 3 , III – 1 .ב (-4 , 0) (0 , -1) (1 , 0) (0 , 4) .ג y = -4x + 4 .ד 10 .יח"ר (15א (-8 , 0) (-2 , 3) (1 , 0) .ב 9 .יח' ג 13.5 .יח"ר © 30כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (16הישר שמשואתו y = -0.5x - 5והישר שמשואתו y = -2x + 4 יוצרים עם ציר ה y -משולש . EFG א .מצאו את שיעורי הקודקודים F , Eו – . G ב .מצאו את המרחק בין שני קודקודי המשולש המונחים על ציר ה. y - ג .מהקודקוד Fמעבירים אנך לציר .yמהו אורך האנך בין הקודקוד לבין ציר ה? y - ד .חשבו את שטח המשולש . EFG ) (17הישרים y = 2x – 3ו y = -3x + 2 -נחתכים בנקודה . M א .מצאו את שיעורי הנקודה . M ב .חשבו את מרחק הנקודה Mמראשית הצירים ). (0 , 0 ג .האם הישר y = x – 2עובר דרך הנקודה ? Mנמקו . ) (18נתון מרובע שקודקודיו הםD(-5 , 0) , C(-5 , 4) , B(0 , 4) , A(0 , 0) : א .הראו שהמרובע הוא מלבן. ב .חשבו את שטח המלבן. ג M .היא נקודת מפגש האלכסונים. מצאו את שיעורי הנקודה . M ד .חשבו את שטח המשולש . AMD ) (19נתון מרובע שקודקודיו הםD(0 , -5) , C(3 , 0) , B(0 , 5) , A(-3 , 0) : א .הראו שהמרובע הוא מעוין. ב M .היא נקודת מפגש האלכסונים. מצאו את שיעורי הנקודה . M ג .חשבו את שטח המשולש . CMB ד .חשבו את שטח המעוין. ה .הראו שמכפלת אורכי האלכסונים גדולה פי 2משטח המעוין. תשובות: (16א (0 , 4) (6 , -8) (0 , -5) .ב 9 .יח' ג 6 .יח' ד 27 .יח"ר (17 ,א (1 , -1) .ב 2 .ג .כן (18ב 20 .יח"ר ג (-2.5 , 2) .ד 5 .יח"ר (19 ,ב (0 , 0) .ג 7.5 .יח"ר ד 30 .יח"ר © 31כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il . מתמטיקה בהישג יד 1 - גיאומטריה אנליטית דודו גולדשטיין ) (20הצלע ABשל משולש מונחת על ציר xואורכה 6יח' .שיעורי הקודקוד השלישי הםC(5 , 6) : א .חשבו את שטח המשולש . ABC ב .הנקודה Dמונחת על אמצע הצלע .ABחשבו את שטח המשולש . ACD ג .הנקודה Eמונחת על אמצע הצלע .ACחשבו את שטח המשולש . ABE ד .חשבו את שטח המשולש . BCE ) (21נתון מרובע ששיעוריו הםA(-4 , 7) , B(3 , -1) , C(-4 , -9) , D(-11, -1) : הוכיחו כי המרובע הוא מעוין. ) (22הנקודה ) B(-2 , 3נמצאת על הישר BEהמקביל לציר . y דרך נקודה Eעובר ישר CEשמשואתו y = x – 1 :שחותך את ציר yבנקודה ) Cראו ציור(. א .חשבו את שיעורי הנקודה . E ב .חשבו את אורך הקטע . BE ג .חשבו את אורך הקטע . CE ד M .היא אמצע הקטע .BEמצאו את משואת הישר . MC ) (23קודקודי משולש ABCהםA(0 , 0) , B(-3 , 6) , C(-9 , 3) : דרך הקודקוד Bעובר ישר ,המקביל לציר yוחותך את הצלע ACבנקודה . E א .מצאו את משואת הישר . AC ב .מצאו את שיעורי הנקודה . E ג .מצאו את אורך הקטע BEואת שטח המשולש . ABE ) (24הנקודות ) A(1 , 3ו B(4 , 7) -הן קודקודים סמוכים של ריבוע. א .חשבו את אורך הצלע . AB ב .חשבו את שטח הריבוע . ג .חשבו את אורך אלכסון הריבוע . ד .הראו שמכפלת אורכי האלכסונים של הריבוע גדולה פי 2משטח הריבוע . תשובות: (20א 18 .יח"ר ב 9 .יח"ר ג 9 .יח"ר ד 9 .יח"ר (22 ,א (-2 , -3) .ב 6 .יח' ג 8 .דy = -0.5x - 1 . (23א y = -1\3x .ב (-3 , 1) .ג 5 .יח' 7.5 ,יח"ר (24 ,א 5 .יח' ב 25 .יח"ר ג 50 . © 32כל הזכויות שמורות .אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחברwww.heisegyad.co.il .
© Copyright 2024